INTRODUCERE OBIECTUL I PROBLEMELE CURSULUI DE STATICA STRUCTURILORCa orice construcie inginereasc, navele (i structurile offshore) trebuie s posede rezistena i rigiditatea necesare pentru a face fa n bune condiii i cu eficien maxim aciunii sarcinilor ce le solicit n timpul construciei, transportului, lansrii, exploatrii i reparaiilor. Din familia disciplinelor ce ofer inginerilor cele mai raionale metode de proiectare a navelor/structurilor offshore face parte i Statica structurilor. Proiectarea este un proces tehnic care include o serie de analize structurale i sinteza propriu-zis cnd dintr-o gam de table i profile se realizeaz proiectul structurii de rezistent a navei (sau structurii offshore). n acest proces trebuie avute n vedere o serie de cerine de fiabilitate i eficien care trebuie satisfcute n aa fel nct prin materializarea proiectului s se realizeze o construcie optim. Dintre aceste cerine se menioneaz: siguran cu un coeficient ct mai mic de risc la o greutate minim, meninerea calitilor iniiale pe toat durata de exploatare, volum de lucru i cost de fabricaie competitive, gabarit minim al structurilor pentru realizarea de spaii interioare maxime, accesibilitate facil pentru ntreinere, inspecii i eventuale reparaii, utilizare ct mai extins a elementelor standardizate i tipizate, confort i aspect plcut. Pn nu foarte demult (anii 970), proiectarea structurilor de nave se efectua cu predilecie dup Regulile Societilor de Clasificare i Construcie a navelor, care au fost stabilite mai ales pe baza unei ndelungate experiene de construcie i exploatare. Extinderea transportului pe ap ca fiind cel mai ieftin mijloc de transport, diversificarea funcional/constructiv a tipurilor de nave, creterea dimensiunilor acestora, modificarea rapoartelor ntre dimensiunile principale impuse de noi forme de transport/categorii de mrfuri transportate precum i creterea exigenelor legate de manipularea unor produse periculoase i de protecie a mediului, impun tot mai frecvent o proiectare mixt bazat att pe Reguli ct i pe calcul, Regulile servind la o evaluare iniial operativ. Proiectarea prin calcul direct este indispensabil atunci cnd nu exist Reguli i este folosit frecvent n ultimul timp la elaborarea lor. Este unanim recunoscut relativa uurin de proiectare a structurilor dup Regulile de Registru care ofer relaii simple de dimensionare (eantionare), comode pentru avizare. Proiectarea dup Reguli prezint ns i o serie de dezavantaje, mai ales n contextul cerinelor menionate mai sus. Astfel, datorit complexitii i interdependenei strilor limit n care se pot afla structurile n exploatare, dup Regulile de Registru este foarte dificil sau chiar imposibil de evideniat rezerva real de siguran. n consecin, apar dificulti n adoptarea celor mai avantajoase (optime) soluii constructive. Se tie, de asemenea c relaiile de dimensionare conform Regulilor de Registru sunt de cele mai multe ori acoperitoare, ele referindu-se la o anumit gam de situaii n care se poate afla structura. Este posibil ns ca aceste relaii, dei pot avea un domeniu destul de larg de aplicabilitate, s nu corespund n totalitate destinaiei, criteriilor de eficien ale navei proiectate sau altor exigene ale beneficiarului. Aplicarea mecanic fr discernmnt a Regulilor de Registru nu permite s se evidenieze rolul fiecrei structuri n ansamblul din care face parte, greelile fcute anterior i nici nu ofer posibiliti sigure de mbuntire a proiectelor. n ultimul timp, Societile de Clasificare i Construcie a navelor nu numai c au ncurajat dezvoltarea concepiei de proiectare prin calcul direct, dar au organizat colective proprii de cercetare ce elaboreaz metodologii i sisteme de programe de calcul al structurilor. ncepnd cu 1997, Societile de ClasificareConstrucie a navelor au impus obligativitatea analizelor structurale locale/globale prin MEF. Regulile de Registru sunt supuse astfel unui permanent proces de perfecionare i adaptare la noi cerine. Indiferent de concepia adoptat, la proiectarea structural a corpului navei se parcurg trei etape. I. n prima etap, se definitiveaz geometria corpului navei i se stabilesc poziiile elementelor structurale majore perei despritori i alte planee componente. Aceste aspecte nu sunt obiective ale cursului. II. Etapa a doua proiectarea structural preliminar const n stabilirea dimensiunilor elementelor principale de structur ale navei. n linii mari, proiectarea structural preliminar include : a) stabilirea ncrcrilor exterioare i a efectelor acestora (eforturi, tensiuni, deplasri) n toate cazurile posibile de ncrcare, lund pentru dimensiuni valorile obinute dup Reguli sau nave similare ; b) stabilirea valorilor limit ale efectelor ncrcrilor ; c) stabilirea factorilor de fiabilitate ca rapoarte ntre efectele ncrcrilor i valorile lor limit (factorii de fiabilitate reprezint inversul coeficienilor de siguran) ; d) compararea factorilor de fiabilitate cu cei obinui pe baza cerinelor de fiabilitate normate i efectuarea unor eventuale redimensionri care constau n reducerea sau majorarea grosimii unor table, modificri de profile i/sau distane etc.

2

STATICA STRUCTURILOR

Satisfacerea optim simultan a tuturor cerinelor de fiabilitate n urma acestor redimensionri solicit experien i cunotine evoluate din partea inginerului de structuri i poate s necesite un mare numr de iteraii. De obicei se apeleaz la programe speciale de optimizare. n acest caz valorile limit ale efectelor ncrcrilor servesc la formularea matematic a restriciilor de rezisten, la care se mai adaug restricii tehnologice, funcionale, estetice. Extremiznd funcia obiectiv stabilit pe baza criteriului de optimizare adoptat se obin variabilele de proiectare care n general sunt dimensiuni ale elementelor principale de structur ale navei. Prin utilizarea unor programe de optimizare au fost obinute proiecte mai eficiente fa de cele care s-ar fi obinut pe baza Regulilor standard de Registru. Ca exemplu se citeaz cazul unei nave cistern de 96.000 tdw. pentru care s-a obinut o reducere de 6% a costului iniial (cca 1,2 mil. dolari la nivelul anilor 990) i de 13% dac se ine seama i de creterea capacitii de transport pe toat durata ei de via. III. Etapa a treia are n vedere detaliile constructive (mbinri, ntrituri, decupri etc). Dei de multe ori este minimalizat importana proiectrii de detaliu, trebuie menionat faptul c realizarea corect a detaliilor constructive contribuie la obinerea unor nave cu rezisten bun la oboseal i cu durat sporit de via. Datorit numrului mare de elemente de detaliu, proiectarea acestora se recomand a se face pe baza Regulilor de Registru sau a unor Normative standard elaborate pe baza experienei de exploatare i a cercetrilor teoretice i experimentale efectuate pe structuri de nave reale n exploatare sau/i n laboratoare, pe modele ale acestora. n proiectarea de detaliu un rol de seam l au factorii tehnologici. n general, nici aceste aspecte nu sunt abordate n prezentul curs. n etapa de proiectare preliminar a structurilor inginerul este pus n faa urmtoarelor trei probleme principale, menionate deja anterior i cunoscute din cursul de Rezistena materialelor : 1) problema forelor exterioare ; 2) problema forelor interioare ; 3) problema strilor limit. 1) Problema forelor exterioare const n stabilirea forelor ce acioneaz asupra navei n ansamblu i asupra structurilor componente ale acesteia n timpul construciei, lansrii, exploatrii (n orice condiii de mar i variante posibile de ncrcare) i eventualelor reparaii. Forele exterioare pot fi clasificate dup multe criterii. ntr-o prim clasificare, forele ce acioneaz asupra navei n ansamblu se pot mpri n dou categorii: 1a) greuti (corpul i echipamentele navei, marfa sau/i pasagerii transportai, echipajul i proviziile); 1b) fore exterioare ce apar datorit aciunii mediului (reaciuni exercitate asupra navei de calele de construcie i lansare, presiuni exercitate de ap, vnt etc.). *) Forele din prima categorie (1a) au caracter determinist i se pot obine relativ simplu. La fel stau lucrurile cu acele fore exterioare din a doua categorie care apar datorit aciunii mediului n timpul operaiilor de construcie, lansare, ncrcare-descrcare, reparare). Forele exterioare care apar datorit aciunii mediului exterior (1b) n timpul marului perioada cea mai lung din viaa multor nave sunt cauzare de presiunile ce apar la plutirea n ap linitit i de cele suplimentare cauzate de vnt i valuri (presiuni de val, fore de inerie, ocuri i vibraii slamming, springing). Spre deosebire de forele de presiune care apar la plutirea n ap linitit, efectele produse n corpul navei de forele suplimentare menionate pot fi evaluate numai prin utilizarea metodelor probabilistice, considernd starea mrii ca un fenomen aleator. Dar chiar i prin utilizarea metodelor statistice, evaluarea forele suplimentare cauzate de vnt i valuri pstreaz totui un pronunat caracter convenional. ) 2) Problema forelor interioare const n stabilirea eforturilor, tensiunilor i deplasrilor ce apar n elementele structurilor de rezisten ca urmare a forelor exterioare ce acioneaz asupra lor. Rspunsurile la aceste probleme se obin n cadrul analizelor structurale. Avnd n vedere marea varietate a forelor ce solicit corpul navei i structurile lor de rezisten, metodele analizei structurale trebuie s ofere posibilitatea de a rezolva structuri ncrcate cu orice sisteme de fore, posibile din punct de vedere fizic.

O alt clasificare a forelor exterioare se refer la modul n care acestea acioneaz n timp asupra structurii. Din acest punct de vedere ele pot fi statice i dinamice. n categoria forelor statice se includ i forele cvasistatice care sunt fore dinamice cu o perioad de variaie apreciabil mai mare dect perioada armonicii fundamentale a vibraiilor libere ale structurii. Corespunztor acestor dou categorii de fore exterioare, analizele structurale pot fi statice sau dinamice. n funcie de caracterul liniar sau neliniar al relaiei dintre fore i deplasrile pe care ele le produc, analizele dinamice pot fi efectuate n domeniul frecvene sau n domeniul timp. Pe de alt parte, n funcie de maniera de definire a forelor exterioare, analiza rspunsului unei structuri poate fi determinist sau probabilist. ) n general, stabilirea forelor exterioare necesit cunotine evoluate de mecanic, matematic, teoria navei, hidrodinamic etc. Determinarea forelor suplimentare cauzate de vnt i valuri reprezint o problem de grani a proiectrii preliminarii ce revine mai ales hidrodinamicienilor.

*)

Introducere Modelri n Statica structurilor

3

3) Problema strilor limit apare n mod firesc la normare, atunci cnd se stabilesc condiiile de funcionare ce asigur fiabilitatea structurilor de nave. Pentru o normare corect este evident necesar s se tie ct mai corect strile limit ce pot apare n diverse situaii critice, pentru a fi evitate. Dei unele stri limit sunt evideniate n Normele de Registru, n ultimul timp inginerii sunt tot mai frecvent pui n situaia de a evalua stri limit neconvenionale care nu sunt reglementate prin Reguli sau de a preciza prin calcul pe cele care sunt doar presupuse. Aceste probleme sunt deosebit de complexe i rezolvarea lor nu poate fi conceput fr o profund cunoatere a proceselor de analiz structural. Se remarc faptul c, n condiiile n care forele suplimentare cauzate de vnt i valuri precum i forele interioare corespunztoare lor sunt tratate ca fenomene stohastice, problema strilor limit trebuie de asemenea privit de pe poziii probabilistice. Pentru rezolvarea problemelor sale, proiectantul de structuri face apel la o serie de metode analitice i numerice. Dei au un domeniu limitat de aplicabilitate permind numai rezolvarea problemelor relativ simple, metodele analitice stau la baza dezvoltrii unor eficiente metode numerice. Pentru folosirea corect a metodelor numerice, este necesar nelegerea fenomenelor fizice care se realizeaz n cea mai mare msur tocmai n procesul de stabilire a ecuaiilor difereniale care descriu fenomenul studiat. Numai pentru acei ingineri care neleg n profunzime fenomenele fizice i care apeleaz i utilizeaz corect cele mai adecvate metode numerice de analiz, multitudinea de programe de calculator existente reprezint instrumente reale i utile n rezolvarea problemelor complexe de calcul a structurilor. Altfel, apare riscul ca numeroasele softuri existente s rmn pentru ei adevrate cutii negre. Obiectivul principal al cursului este prezentarea unora dintre cele mai importante aspecte ale proiectrii structurale preliminare. Se vor urmri problemele de baz ale modelarii n vederea analizei statice a structurilor dar i cele privind condiiile n care pot apare stri limit (deformare plastic, instabilitate a configuraiei de echilibru) ale unor elemente primare ale structurilor i a navei n ansamblu, evaluarea corect a acestor condiii reprezentnd problema esenial n normare i n sinteza structural. Aspectele privind cedarea prin rupere fragil i oboseal necesit o examinare aparte. Aceast scurt prezentare a obiectului i problemelor cursului de Statica structurilor are menirea de a evidenia importana pe care o are cursul n pregtirea unui viitor inginer ce i va desfura activitatea n domeniul ingineriei navale, chiar dac el va fi implicat doar n procese de producie sau exploatare deoarece rezolvarea corect n domeniul naval a multor probleme practice necesit o erudit cultur tehnic. Pentru acei ingineri ce vor lucra direct n proiectarea structurilor, cunotinele cuprinse n acest curs reprezent doar o iniiere, fiind necesar completarea i adncirea lor prin studierea vastei bibliografii de specialitate existent.

MODELRI N STATICA STRUCTURILORAnaliza unei structuri este precedat de definirea modelul fizic pe baza cruia se stabilete modelul matematic de analiz propriu-zis. Analiza este urmat de interpretarea rezultatelor, operarea unor modificri i/sau repetarea analizei sau unor pri ale acesteia. A defini modelul fizic nseamn a stabili schema de calcul. Structurile reale prezint o multitudine de particulariti geometrice (dimensionale i de form), constitutive (de material) i mecanice (interaciuni). A ine seama n calcule de toate particularitile structurii reale nu este posibil, dar nici nu este neaprat necesar. Acceptnd o serie de simplificri (ipoteze), structura real se nlocuiete cu un model (schem de calcul), cruia i se ataeaz un numr redus din atributele structurii reale. Prin astfel de simplificri se obtine o modelare geometric, de comportare a materialului i de interaciune a structurii studiate cu cele nvecinate. MODELAREA GEOMETRIC Cele mai simple modele geometrice utilizate n studiul structurilor marine sunt elementele primare cunoscute din cursul de Rezistena materialelor (bare, plci, masive), utilizate larg i n analizele prin Metoda Elementelor Finite (MEF) n care se mai folosesc diverse aa numite super- sau macro-elemente. Barele sunt elemente de structur care au o dimensiune predominant fa de celelalte dou. Ele sunt definite geometric prin ax i seciune transversal. Axa barei este locul geometric al centrelor de greutate ale seciunilor sale transversale. Barele pot fi clasificate din punct de vedere al formei i dimensiunilor axei i seciunii transversale precum i dup tipul de ncrcare ce impune o anumit metod de calcul. Pe parcurs se vor prezenta aspecte specifice modelrii geometrice a barelor din alctuirea structurilor de rezisten ale navelor precum i a conexiunilor dintre ele (zone rigide sau deformabile la extremiti, fii adiionale etc.). Plcile sunt elemente de structur care au dou dimensiuni predominante fa de a treia. Plcile au ponderea cea mai mare n greutatea total a corpului navei. Geometric, o plac este definit prin grosime i suprafaa median. Plcile pot fi clasificate dup forma suprafeei mediane i conturul acesteia, dup mrimea

4

STATICA STRUCTURILOR

grosimii plcii, dup modul de ncrcare i comportarea plcii la aciunea acestora. Plcile cel mai des ntlnite n alctuirea structurilor de nav sunt cele dreptunghiulare, de grosime constant. Pe parcurs vor fi prezentate aspecte specifice modelrii acestora. Masivele au cele trei dimensiuni comparabile ntre ele. Ele sunt de o foarte mare diversitate. Apar mai rar n structura corpului navelor i structurilor marine, ntlnindu-se la diverse maini i instalaii, cum ar fi de exemplu palele, butucul i conul elicei sistemului de propulsie. Barele i plcile intr n componena unor modele geometrice mai complicate cum sunt: grinzi continue, cadre (plane sau spaiale), reele de bare sau planee care sunt plci consolidate cu nervurile sau/i grinzile ntrite ale osaturii. La nave de suprafa, marea majoritate a planeelor sunt plane i au contur dreptunghiular (planee de fund, de punte, de bordaj etc). Dou planee plane, paralele, situate unul fa de cellalt la distan relativ mic n comparaie cu dimensiunile din planul lor, solidarizate ntre ele prin diafragme, formeaz un planeu dublu (dublu fund, dublu bordaj etc.). Din punct de vedere geometric, corpul navei are o structur foarte complex. Grosier, el poate fi asimilat cu o grind cheson de mari dimensiuni, alctuit dintr-un nveli exterior (bordaje, punte, fund) rigidizat cu diafragme transversale (perei transversali) i longitudinale (perei longitudinali, puni intermediare, dublu nveli) care sunt planee simple sau duble. O analiz riguroas a structurii ntregului corp al navei se poate efectua prin MEF, considernd-o ca un ansamblu de planee formate la rndul lor din plci, grinzi ntrite, nervuri, gusee. Astfel de analize necesit un mare efort material (de modelare i timp de calculator), mai ales n probleme de stri limit. Ele au eficien maxim i se justific atunci cnd ncrcrile de calcul sunt apropiate de cele reale iar normarea valorilor admisibile pentru efectele ncrcrilor are o baz sigur, tiinific argumentat. Convenionalitatea admis nc pentru sarcinile de calcul i nivelul limitat de cunoatere a strilor limit n toat complexitatea lor pledeaz pentru efectuarea de analize pe modele simplificate ale corpului navei sau pe modele ale unor zone limitate ale acestuia. Cel mai uzual model simplificat al corpului navei este modelul de bar numit grinda nav, utilizat nc frecvent n practica proiectrii navale. Nave petrolier cu 2-3 perei longitudinali sunt modelate uneori ca reele ortogonale de bare constituite din planeele verticale (bordaje i perei longitudinali respectiv transversali); planeele orizontale se includ ntr-un astfel de model ca fii adiionale. n ultima vreme se efectueaz frecvent analize pe module de corp, constituite din cteva compartimente din zona central a navei. Indiferent de modelul de analiz adoptat, modelarea geometric este o etap complex care poate fi rezolvat corect dac sunt bine stpnite toate problemele proiectrii preliminare. MODELAREA COMPORTRII MATERIALELOR Materialele din care sunt confecionate structurile metalice se consider continue, adic se mediaz interaciunile discrete dintre particulele acestor materiale i se face abstracie chiar i de structura lor cristalin. n afara continuitii, se accept i ipoteza omogenitii materialelor. n calculul structurilor, comportarea materialelor se modeleaz prin relaii constitutive care au forma general f (T , T , t, T) = 0, unde T , T sunt tensorii strii de tensiune respectiv deformaie iar t i T sunt timpul respectiv temperatura. La solicitarea monoaxial, cel mai simplu model constitutiv folosit larg n analiza structurilor este modelul liniar al Elasticitii clasice (modelul Hooke) exprimat prin relaia = E , unde E este modulul lui Young (modul de elasticitate longitudinal). La solicitarea de forfecare pur (rsucire liber), legea lui Hooke este dat de relaia = G , unde G este modulul lui Kirchhoff (modulul de elasticitate transversal). La solicitri spaiale, n absena efectelor termice, modelul Hooke se exprim prin relaia matriceal = D , unde i sunt matrice coloan ale cror elemente sunt componentele distincte ale tensorilor T respectiv T iar D este matricea constantelor elastice ale materialului. Frecvent, structurile de nave se confecioneaz din materiale metalice cu proprieti de izotropie, caracterizate n elastic de constantele E i G (uneori se folosete coeficientul lui Poisson, = E/2G 1). MODELAREA NCRCRILOR n principiu, orice structur (bar, cadru, plac, planeu etc) poate fi studiat separat cu condiia s fie determinate toate interaciunile acesteia cu exteriorul. Aceste interaciuni reprezint fore exterioare pentru structura studiat. Ele pot fi cunoscute sau necunoscute (urmnd a fi determinate). Atunci cnd sunt cunoscute, interaciunile cu exteriorul ale unei structuri se numesc ncrcri sau sarcini exterioare. Ele pot fi nu numai mecanice dar i termice. La nave i structuri marine ncrcrile mecanice provin din aciunea mediului exterior (presiunea mrfii, apei i vntului) i din greutatea proprie. Primele se aplic pe suprafaa exterioar (S) a structurii i se numesc ncrcri superficiale (de suprafa) notndu-se

Introducere Modelri n Statica structurilorp = p ( px , py , pz) < F/L2 > .

5(1.1)

ncrcrile din greutatea proprie se numesc volumice. Pentru notare se foloseste simbolul b (body forces), b = b (b x , b y , b z ) < F/L3 > . (1.2)1

a

qj

b

q q

c

d)

Fig. 1.1 Funcie de dimensiunile zonei pe care acioneaz i de modelul geometric adoptat n studiul unei structuri, forele superficiale i cele volumice pot fi nlocuite cu fore concentrate (Q) sau distribuite liniar (q), Q = Q (Q x , Q y , Q z ) < F > , q = q (q x , q y , q z ) < F/L > . (1.3) Cuplurile de fore concentrate sau de fore distribuite liniar pot fi nlocuite prin momente concentrate (1.4) (M) sau distribuite liniar (m ), M = M (M x , M y , M z ) < FL > , m = m (m x , m y , m z ) < FL/L > . nlocuirea interaciunilor reale (superficiale, volumice) prin mrimi globale (q, Q, M, m) echivalente d. p. d. v. static cu cele reale este util n studiul structurilor alctuite din bare i/sau plci dar nu permite analiza unor stri locale de tensiune. La modelarea ncrcrilor trebuie s se in seama de metoda de analiz folosit i de natura structurii studiate, pentru a nu se denatura rspunsul acesteia. Se consider, de exemplu, corpul unei nave petrolier cu doi perei longitudinali (fig. 1.1, b) Pentru calculul ncovoierii generale a navei ca o grind, ncrcrile exterioare se pot modela prin sarcini distribuite liniar ca n figura 1.1, a, c). Dac se ine seama i de ncovoierea pereilor transversali n planul lor (nava se calculeaz ca o reea de bare), ncrcrile exterioare se pot modela ca n figura 1.1, d iar pentru calculul corpului navei prin MEF sau pentru analiza unui cadru transversal, trebuie considerat distribuia real a ncrcrii din figura 1.1, b. Cazurile tipice de ncrcare i distribuiile corespunztoare ale forelor exterioare pentru diverse tipuri de nave este o problem reglementat n general prin norme, prezentate n detaliu la cursul de Calculul i construcia navei iar stabilirea prin calcul direct a ncrcrii navei n mare real reprezint o problem complex de hidrodinamic.

B IBLIOGRAFIE 1. Beschea N., Rezistena materialelor capitole speciale, EDP, Bucureti, 1971 2. Hughes O. F., Ship Structural Design, Jersey City, 1988 3. Leonard Domnioru, Metoda Elementului finit n Construcii Navale, Editura Tehnic, Bucureti, 2001 4. Modiga M., Mecanica construciilor de nave, Univ. Galai, 1980 5. Modiga M., Nicolau M., Mecanica construciilor de nave, Culegere de probleme, Univ. din Galai, 1979 6. Olaru V. D., Dimache A., Modiga M., Rezistena materialelor, EDP, Bucureti, 2004 7. Modiga M., Dimache A., Olaru D., Statica structurilor de nave, Ed. Academica, Galai, 2005 8. Stoicescu L., Rezistena materialelor, vol. I, II, Editura Evrika, Brila, 2004 9. Stoicescu L., Modiga M., Metode matriceale n Teoria structurilor de nave, Inst. Polit. Galai, 1973 10. *** Manual pentru calculul construciilor, Editura Tehnic, Bucureti, 1977

MODELAREA LEGTURILORConexiunile structurii studiate cu cele nvecinate, conexiuni n care apar interaciuni necunoscute, se numesc legturi. Conexiunile se realizeaz pe suprafeele exterioare ale structurii, deci legturile au caracter distribuit. n consecin, interaciunile din legturi sunt fore distribuite. Ele pot fi considerate concentrate atunci cnd conexiunile se realizeaz pe suprafee foarte mici. De obicei, legturile distribuite se modeleaz prin legturi concentrate, dispuse discret pe suprafaa/linia pe care se face conexiunea. Legturile restricioneaz parial sau total unele deplasri. Forele sau/i momentele care apar n legturi se numesc fore de legtur sau reaciuni.sau sau sau

asau

bsau

c

dFig. 1 Legturi rigide

e

Legturile pot fi rigide sau deformabile. Legturile rigide sunt idealizri ale legturilor reale care ntotdeauna sunt deformabile, n particular elastice. Legturile rigide, cunoscute din Mecanic, sunt reprezentate grafic n figurile 1. Ele pot fi: reazeme simple (fig. 1, a), articulaii (n figura 1, b este reprezentat o articulaie cilindric) i ncastrri (n figura 1, c este reprezentat o ncastrare plan fix iar n figurile 1, d i 1, e sunt reprezentate ncastrri plane deplasabile pe orizontal respectiv pe vertical). n figurile 1, deplasrile permise de legturi sunt reprezentate cu linii ntrerupte. Deplasrile nereprezentate sunt nule. Legturi elastice. Rigiditatea legturilor elastice Legturile reale nu sunt rigide. Cele mai simple legturi nerigide sunt cele liniar-elastice. O modalitate comod de evideniere i de lucru cu legturile orict de complexe ar fi acestea este nlocuirea lor cu legturi simple ce opereaz dup o singur direcie. Ele pot fi de translaie i de rotaie. O legtur elastic simpl se refer deci numai la translaia sau numai la rotaia pe o direcie. Legturile elastice simple de translaie i de rotaie vor fi numite n continuare reazeme elastice respectiv ncastrri elastice. Ele se pot reprezenta grafic n diferite moduri, de exemplu ca n figurile 2, a, b. Cantitativ, o legtur liniar-elastic simpl este caracterizat de rigiditatea ei, care este o constant. Rigiditatea unei legturi liniar-elastice simple dispus pe o direcie dat este fora (n cazul unui reazem elastic) sau momentul (n cazul unei ncastrri elastice) care produce legturii o deplasare unitar. Deplasarea este liniar n cazul unui reazem elastic i unghiular n cazul unei ncastrri elastice. Dac se folosesc notaiile Q, pentru fora sau momentul aplicat legturii elastice i , C, pentru deplasarea respectiv rigiditatea ei, ecuaia unei legturi elastice simple se scrie sub forma general Q = C . (1) Rigiditatea C depinde numai de caracteristicile geometrice i mecanice ale legturii, deci n relaia (1) se pot folosi orice alte simboluri. Dac se folosesc notaiile din figura 2, rigiditile legturilor elastice simple de translaie respectiv de rotaie se determin din relaiile:

C = F

= 1

=

F ,

N m

; Cr = M

= 1 =

M ,

Nm rad

.

(2)

n continuare, frecvent, rigiditatea unui reazem elastic se va nota cu simbolul C iar rigiditatea unei ncastrri elastice se va nota cu simbolul K. Pentru determinarea rigiditii unei legturi elastice se ncarc structura-legtur cu o for F sau cu un moment M n punctul (seciunea) de conexiune cu structura analizat, se determin deplasarea liniar () sau unghiular () care apare i se aplic apoi relaia corespunztoare din (2). Pentru obinerea deplasrilor menionate se folosesc metodele cunoscute din Rezistena materialelor (n unele cazuri, problema determinrii

2

STATICA STRUCTURILOR

rigiditii unei legturi elastice poate fi comparabil ca dificultate sau chiar mai complicat dect calculul propriu-zis al structurii la care se utilizeaz acea rigiditate).jLegtur

simpl de

l Structura studiat

jLegtur

simpl de

jLegtur

dublj

(C)

(Cr)

C , Cr () Structur a M Structur a M ()

(C) (C) (C)

F

(Cr)

(Cr)

M

C , Cr F M () ()

(Cr) F

a

b)Fig. 2

c

1 C R2 R1

2 C C

3 1 C 2 q

2 C F R3 C

3 F

a)

2 C C

1 1 R1 = C1 1

qj

3

3

R2 = C2 2

R3 = C3 3 C2 =

C

R1 1

b)

1 C

2 C2 =

3 C3 = 0

R1 = C1 1

1 C

2 2 = 0 R2

F C3 = 0 3 R3 = 0

3

Fig. 3 n figura 3 sunt artate deformatele a dou bare cu rezemri elastice. Rigiditile legturilor elastice pot avea orice valoare nenegativ. Valoarea infinit corespunde legturii rigide iar cea nul indic absena legturii (v. exemplul din figura 3, b). Se face observaia important c structura-legtur nu trebuie s fie ncrcat (n afar de fora (momentul) care se introduce pentru aflarea deplasrii necesare determinrii rigiditii). n caz contrar, structura-legtur trebuie inclus n cea studiat.

Modelarea legturilorGrad de ncastrare

3

n calculul barelor i plcilor se utilizeaz frecvent noiunea de grad de ncastrare al unei ncastrri elastice, ca raport ntre momentul M care apare n acea ncastrare i momentul M ce ar apare n aceeai ncastrare dac aceasta ar fi rigid, la aciunea acelorai ncrcri (v. fig. 4),

=

M M

.

(3)

Gradul de ncastrare variaz ntre 1 i 0. Cnd = 1 ncastrarea elastic devine rigid (C = i M = M, fig. 4, b) iar cnd = 0 ea devine o articulaie (C = 0 i M = 0, fig. 4, c). Momentul M variaz ntre M i 0.K, M Q M K,

aM =1 M M

=0 K = , = 1 Q K = , = 1 K = 0, = 0 Q K = 0, = 0

M

M =0

b)M

=0 M

c

M=0

M

M=0

M

Fig. 4 ntre C i exist o legtur care poate fi uor stabilit. Pentru grinzile din figurile 4, a i b ncrcate simetric, rotirile extremitii din stnga au expresiile( 1a ) = 1Q

Ml Ml 3EI 6 EI

( , 1b ) = 1Q

Ml Ml =0 , 3EI 6 EI(4)

de unde rezult

l 1 1 . (1 )M = M = 2 EI K 1 + 2 EI /( K l )Influena legturilor elastice asupra strii de tensiune n structur

La structuri static determinate, prezena legturilor elastice nu influeneaz starea de tensiune ci numai deplasrile. Se d un exemplu simplu. Momentul ncovoietor n seciunea de la mijlocul deschiderii grinzii care este rezemat elastic n stnga este q l 2 / 8, acelai ca la grinda rezemat rigid n stnga (v. fig. 5, b), dar sgeata la mijlocul grinzii din figura 5, a este 5ql 4 / (384EI) + ql / (4C), n timp ce pentru grinda din figura 5, b (unde C = ) are valoarea 5ql 4 / (384EI). La structuri static nedeterminate, rigiditatea legturilor elastice influeneaz nu numai asupra deplasrilor ci i asupra strii de tensiune. Astfel, dac grinzii din figura 5, c i se introduce la mijloc un reazem elastic de rigiditate C 0, ea devine static nedeterminat (v. fig. 5, d). Momentul la mijlocul grinzii este dependent de mrimea rigiditii C. El are valori situate ntre limitele 8ql 2/ 64 (pentru C = 0, v. fig. 5, a) i 3ql 2/ 64, valoare care se obine prin rezolvarea grinzii continue din figura 5, e, cu C = .

4q

STATICA STRUCTURILOR

cq C= EI, l

aC

dq

l/2

C

l/2 q

b

C=

eEI, l

l/2

C=

Fig. 5

Gruparea legturilor elasticeGrupnd o legtur de translaie cu una de rotaie se obine o legtur dubl, care se va reprezenta grafic n prezentul curs ca n figura 2, c. Este posibil ca o legtur elastic simpl (de translaie sau de rotaie) s fie constituit din mai multe elemente elastice crora li se cunosc sau li se pot afla uor rigiditile Ci. n funcie de modul de cuplare a elementelor elastice componente n serie sau n paralel rigiditatea echivalent C a legturii elastice se poate determina folosind relaiile cunoscute

C serie =

1 i 1/ Ci

, C paralel =

i Ci

.

(5)

Mediu continuu elastic Considerarea conexiunilor continue ale unei structuri cu alte medii elastice este o problem complex de teoria elasticitii. Pentru scopuri practice, mediile elastice continue au fost modelate. Cel mai simplu model este cel propus de Winkler (Fig. 6, b)

b) a)x q(x) l, EIy k(x) z x k(x) 1 r(x) = k(x) w(x) r(x x l r(x w (x)

Fig. 6 Mediul continuu elastic se nlocuiete cu o infinitate de reazeme liniar-elastice independente care nlocuiete, n vederea calculului, grinda din figura 6, a aezat pe un mediu continuu elastic (de ex. pmnt afnat). Schematic, mediul continuu elastic se reprezint ca n figura 6, c. Cnd se ncarc grinda, mediul elastic respectiv reazemele liniar-elastice independente se deformeaz. Dac se noteaz cu k(x) rigiditatea mediului elastic, egal cu rigiditatea echivalent a reazemelor elastice la abscisa x, montate n paralel pe lungimea unitar a grinzii, se poate scrie relaia k ( x) =

c

z(w

d

r ( x) N / m2 r ( x) = k ( x) w( x) , w( x)

(6)

unde w(x) este sgeata grinzii egal cu a mediului elastic la abscisa x, iar r(x) este intensitatea reaciunii (reaciunea pe lungimea unitar) la aceeai abscis. Rigiditatea k(x) depinde de caracteristicile mediului elastic. n absena altor rezemri, echilibrul de fore i de momente n stare deformat a grinzii pe mediu elastic se exprim prin relaiile [q ( x) k w( x)]dx = 0 , [q ( x) k w( x)] x dx = 0 . (7)

l

l

Mediul elastic poate exista n mod fizic, ca la modelul de grind-nav n plutire, sau poate apare prin '' distribuirea '' rigiditii unei succesiuni de reazeme elastice concentrate dispuse la distane relative mici.

SCHEMA GENERAL DE STUDIU A BAREI Bara este cea mai simpl structur, posednd toate atributele eseniale ale unei structuri complexe. Ea este format dintr-un element de bar i dou noduri situate la extremitile elementului de bar (v. fig. 1). Nodurile au rolul de conexiune a elementului de bar cu exteriorul. Elementul de bar este definit geometric de ax i seciune care este transversal pe ax. Lungimea l a elementului de bar se msoar de-a lungul axei sale ntre noduri notate cu 1 i 2 n schema din figura 1. Sistemul de referin la care se raporteaz bara este drept, cu originea n centrul de greutate al seciunii situat la o extremitate a barei, cu axa x orientat ctre cealalt extremitate i cu axele y, z dup direciile principale de inerie ale seciunii. Barele din componena structurilor de nav sunt confecionate din profiluri subiri. Caracteristici geometrice principale ale seciunii transversale a barei: A aria seciunii transversale ; Afz , Afy arii la forfecare, adic ariile prin care sunt preluate forele tietoare dup axele z respectiv y ; pentru seciuni alctuite din profiluri subiri, fora tietoare Tz (Ty) este preluat practic numai de elementele care sunt dispuse n seciune paralel cu axa z ( y), prin tensiuni tangeniale zx (yx) constante pe grosimea acelor elemente dar variabile n lungul lor. Dup cum se va vedea, aceast variaie este suficient de mic fa de valoarea medie a lor, astfel nct tensiunile tangeniale se consider de obicei distribuite uniform pe ariile de forfecare; z , y coeficieni dependeni de forma seciunii, care in seama n calculul deplasrilor de neuniformitatea distribuiei n seciune a tensiunilor tangeniale i lunecrilor specifice corespunztoare; Iy , Iz momente de inerie fa de axele centrale principale y, z; It moment de inerie la torsiune ; atunci cnd n studiul rsucirii se consider efectul de mpiedicare a deplanrii, apar i alte caracteristici geometrice prezentate i studiate la cursul de Rezistena materialelor. Constitutiv, elementele de bar se consider caracterizate de un set de constante elastice. Dac sunt confecionate din materiale izotrope, elementele de bar sunt complet definite constitutiv de modulul de elasticitate al lui Young (E ) i de coeficientul lui Poisson (). ncrcrile (sarcinile) pot fi fore i momente concentrate aplicate direct pe noduri i ncrcri aplicate pe deschiderea elementului de bar. Forele i momentele aplicate direct n nodurile 1 i 2 au fiecare cte 3 proiecii pe axe, considerate pozitive cnd sunt orientate dup direciile pozitive ale axelor sistemului de referin. * Forele i momentele aplicate fiecrui nod formeaz vectorii Q1 , Q* , fiecare cu cte 6 elemente. 2 Vectorul cu 12 elemente *)* Q* = {Q1T Q*T }T 2

(1)

este vectorul forelor aplicate direct nodurilor. ncrcrile aplicate pe deschidere se vor nota simbolic cu (q) (a nu se confunda cu notaia q care a fost folosit n capitolul 2 pentru forele interioare la structurile liniar-elastice). Uneori ele sunt numite sarcini interne.

*)

n continuare va fi acceptat denumirea de vector pentru o matrice coloan. Un vector transpus este o matrice linie.

2

STATICA STRUCTURILOR

Conexiunile cu exteriorul se realizeaz prin legturi elastice aplicate nodurilor. Legturile rigide sunt cazuri particulare ale celor elastice. Dac pe direciile axelor sunt aplicate n noduri legturi simple elastice de translaie i de rotaie, rigiditile acestora se includ n matricea diagonal,Cix Cixr Ciy 0 , Ci = , i = 1, 2 . Ciyr C2 Ciz Cizr

C C= 1 0

(2)

Pentru o legtur dubl aplicat n i (i = 1, 2) dup o direcie oarecare (l, m, n), cu rigiditatea Ca pentru translaie i Ct pentru rotaie, matricele Ci au forma (v. p. 1.4.5) l2 ml nl Ci = lm m2 nm ln mn n2

Ca l2

Ct

ml nl

lm ln m 2 mn nm n 2

(i )

, i = 1, 2 .

(3)

Rspunsul barei avnd legturi elastice cu rigiditile C i supus aciunii ncrcrilor (q) i Q* poate fi complet determinat dac este cunoscut vectorul al deplasrilor nodurilor aceleai cu deplasrile extremitilor elementului de bar,T = { 1 T }T . 2

(4)

n general, vectorul are 12 componente, cte 6 la fiecare extremitate: 3 componente pe axe ale vectorului deplasare liniar i 3 componente pe axe ale vectorului deplasare unghiular. Componentele vectorului sunt pozitive cnd sunt orientate n sensurile pozitive ale axelor sistemului de referin. Deplasrile necunoscute se obin din analiza global care const n stabilirea i rezolvarea ecuaiilor de echilibru a barei. O bar este n echilibru cnd sunt n echilibru nodurile sale. Acestea sunt n echilibru sub aciunea ncrcrilor exterioare Q* aplicate direct asupra lor, forelor ( F ) transmise de la elementul de bar i reaciunilor ( C) din legturile elastice (semnul apare din cauz c reaciunile se opun deplasrilor). Sub form matriceal, echilibrul nodurilor este dat de ecuaia (s-au pstrat notaiile folosite la prezentarea MEF n cadrul capitolului 2) C F + Q* = 0 . (5)

Vectorul F conine eforturile de la extremitile elementului de bar. Fiind cauzate de ncrcrile (q) i de deplasrile , expresiile componentelor vectorului F se obin n dou etape, folosind principiul superpoziiei. 1. n prima etap se consider deplasrile nule i se noteaz cuT T Fq = Fq1 Fq 2

{

}

T

(6)

vectorul forelor i momentelor care apar la extremitile fixe ale elementului de bar datorit ncrcrilor (q). Acestea trebuie s fie evident n echilibru cu ncrcrile (q). Pentru obinerea forelor Fq este suficient s se determine reaciunile pentru elementul de bar ncastrat la capete i ncrcat cu

Bara Schema generala de studiu

3

sarcinile (q). Determinarea forelor Fq reprezint o problem local, ntruct poate fi rezolvat indiferent de ncrcrile nodale i de condiiile la limit impuse prin legturi. Forele Qo = Fq (7) transmise nodurilor de ctre elementul de bar n condiia = 0 se numesc sarcini de pe deschidere reduse la noduri. Ele transmit la noduri aciunea sarcinilor interne, de aceea uneori sunt numite sarcini externe echivalente cu cele interne. Sarcinile de pe deschidere intervin n echilibrul nodurilor (deci n analiza global a barei) tocmai prin aceste fore Qo. 2. n a doua etap se consider nule ncrcrile (q) i se noteaz cu F forele i momentele (compatibile cu deplasrile i autoechilibrate evident) de la extremitile elementului de bar. n calculul liniar, ntre vectorii F i se poate scrie relaia F = k , (8) unde matricea ptrat k este matricea de rigiditate a elementului de bar. Elementele acestei matrice sunt mrimi constante care depind de caracteristicile geometrice i mecanice ale elementului de bar (l, A, Afz, Afy, z, Iy, Iz, It, E, ). Scriind relaia (8) sub forma partiionat F1 k11 = F 2 k 21 k 12 1 , k 22 2

(9)

se obin expresiile (v. i fig. 1) F1 = k11 1 + k12 2 , F2 = k21 1 + k22 2 . Din relaia evident F = F + Fq i innd seama de (8) i (7), rezult ecuaia F = k + Fq F = k Qo , (12) (11) (10)

numit ecuaia de echilibru a elementului de bar sau simplu ecuaia elementului de bar. Ecuaia de echilibru a nodurilor se obine prin nlocuirea relaiei (12)2 n (5). Rezult ( k + C ) = Q* + Qo , sau K = Q , unde s-a notat K=k+C , Q = Q* + Qo .

(13, a) (13, b) (14, a) (14, b)

Echilibrul nodurilor implic automat echilibrul elementului de bar, de aceea relaia ((13, b) se numete ecuaia de echilibru a barei sau simplu ecuaia barei iar K este matricea de rigiditate a barei. Schema folosit la obinerea ecuaiei ((13) este prezentat n figura 1. Ca aspect i semnificaie fizic, relaia matriceal ((13, b) este similar relaiei scris pentru o legtur elastic simpl, ns este mult mai complex, deoarece : n locul unei singure deplasri, n ((13, b) intervin toate cele 12 componente ale deplasrilor nodurilor barei () ; n locul unei singure fore (sau moment) care apare n ecuaia legturii elastice simple, n ecuaia de echilibru a barei intervin toate forele, aplicate att elementului de bar (prin Qo) ct i direct nodurilor (prin Q* );

4

STATICA STRUCTURILOR

n locul rigiditii C a unei legturi elastice simple, n ((13, b) intervine matricea de rigiditate a barei (K), care conine att coeficienii de rigiditate ai elementului de bar (k) ct i rigiditile tuturor legturilor elastice aplicate la noduri (C).

Q*1 C1x, C1y, y C1 C + Q + Q k = K = k + Cj Q = Q* +i * o

Q*2 Bara 12i 1 (q ) C2y, 2 2 C2x, x C2z,

1

C1z, z

C2

K = Qj C11 Q*1 Qo1 Elementul de bar 12 F1 (l, A, Afz, Afy, z, Iy, Iz, It, E, (q ) F1 = F1 Qo1 = F1qi (k F1 = k11 1 + k12 2 ( F1 ) F = k ( F2 ) F2 = k21 1 + k22 2 F2q = Qo2i F2 = F2 Q2 F2 1 Nodurile 1 2 2 C22 Q*2 Qo2

Fig. 1

NCOVOIEREA BAREI N PLANUL ZX, neglijnd efectul FORFECRIINotaii. IpotezeSe consider un element de bar (v. fig. 1) ncrcat cu sarcini distribuite (qz) i cu fore aplicate la extremiti, notate F1 , F2 , F3 , F4. Elementul de bar considerat este solicitat la ncovoiere n planul zx (ncovoiere dup axa y). Se noteaz cu 1, 2, 3, 4 deplasrile seciunilor extreme ale elementului. y F2 z F1 (qz) l, Iy , Afz , z F3 F4 x 1 4 3

aFig. 1

2

b

Vectorii formai cu forele F1 , F2 , F3 , F4 i cu deplasrile 1, 2, 3, 4 se noteaz Fy = {F1 F2 F3 F4}T , y = {1 2 3 4}T . (1) n seciunile transversale ale elementului de bar apar momente ncovoietoare i fore tietoare. Relaiile ntre (qz), Fy , y se pot obine cu uurin dac se cunosc relaiile generale de calcul pentru deplasri. Aceste relaii se pot obine pe baza a dou teorii: teoria Euler-Bernoulli (TEB) care ine seama numai de momente ncovoietoare ignornd prezena forelor tietoare; ea are la baz ipoteza seciunilor plane i normale la axa barei, conform creia o seciune plan i normal la axa barei nainte de deformare, dup deformare rmne tot plan i normal la axa deformat a barei; teoria Timoshenko (TT) n care se ine seama i de prezena forelor tietoare; ea are la baz ipoteza seciunilor plane, conform creia o seciune plan i normal la axa barei nainte de deformare, dup deformare rmne tot plan, dar nu neaprat normal la axa deformat a barei; este evident c TEB este un caz particular al TT. n general, deplasarea liniar w(x) dup axa z a centrului de greutate al seciunii transversale a elementului de bar este dat de sgeata axei deformate care are dou componente, date de ncovoiere i de forfecare, w(x) = w b (x) + w s(x) . (2)

Deplasrile date de ncovoiere s-au notat cu indicele b (de la bending ncovoiere n lb. englez) iar cele de forfecare cu indicele s (de la shear forfecare n lb. englez). Unghiul tangentei la axa deformat este dat de relaia, atan (dw/dx) w ' = w 'b (x) + w's (x) . (3) Corespunztor creterilor pozitive pentru dw i dx, unghiul w ' este pozitiv n sens trigonometric, adic invers fa de sensul pozitiv al axei y. Rotirea seciunii, notat y (x), este pozitiv n sensul pozitiv al axei y (v. fig. 2, b). Ea are de asemenea dou componente, y ( x) = b ( x) + s ( x) . y yb ntruct y ( x) w ' ( x) (v. i fig. 2, b), relaia (4) devine s y (x) = w ' (x) + y ( x) .

(4)

(5)

x (y) z dw x dx w w= + w' + yb y s y'

x 90o w'

aFig. 2

b

2n teoria Euler-Bernoulli,

STATICA STRUCTURILOREcuaia diferenial a ncovoierii. Tensiuni normalew(x) = w b (x) , y ( x) w' ( x) , sy ( x) = 0 (6) (7)

i (v. fig. 3)

u(x, z) = z y(x) = z w'(x) . y u =z z w'' . x xz zw'' = , y (1 + w' 2 )3 / 2

Din relaia liniar a lui Cauchy se obine deformaia specific liniar,x = =

(8)

Expresia neliniar a lui este dat de relaia cunoscut din cursul de Rezistena materialelor,= ( y + z )d y y d y y d y =

(9)

relaie care devine (8) dac se consider w' 2 0, ceea ce nseamn c grinzile principale marginale sunt ntotdeauna susinute de grinzile secundare. n ce privete fora R2 , aceasta este pozitiv numai dac 11 > 21 . Pentru 11 < 21 , reaciunea R2 devine negativ, adic grinzile principale centrale nu numai c nu sunt susinute de grinzile secundare, dar sunt ncrcate suplimentar de acestea. Aceast situaie apare atunci cnd

22a 3 10l 3 34a 3 l + < 3EI 81EI o 3EI aPentru valorile numerice date, rezult

3

I < 3 3 1,1 3,1 . Io

11 =

30,33 36 5,67 , 22 = , 12 = 21 = , 1o = 2o = 9,8 Q , EI EI EIR1 = 0,28Q , R2 = 0,228Q .

iar prin rezolvarea sistemului se obine

4

STATICA STRUCTURILOR

2. Folosind metoda eforturilor, se determin interaciunile dintre grinda secundar i grinzile principale identice, echidistante i identic ncrcate ale reelei din figura 3, a (care au conturul de rezemare ).

1lj, Io a a 2j 1

aj +1

a

a

a)

1

jl, Io

n Qo

j Rj Qo Rj

xj Rj

1

g)

b)q = Q /a Q C C wj q k q

c

d) e

xj

k(x) q + qs

fk Fig. 3 O astfel de reea poate modela un planeu de bordaj constituit dintr-un singur stringher i un numr de n coaste, ncrcat cu o sarcin variabil triunghiular pe vertical. Notnd cu Rj fora de interaciune dintre stringher cu grinda principal j, sgeata n j a acesteia se scrie sub forma

wj =

R jl Qol 3 , EI o EI o

3

(4)

unde i sunt coeficieni de influen pentru sgeata din j, corespunztori ncrcrii Qo respectiv forei Rj (v. (3.64), (3.65)). Considernd c sarcina transversal aplicat reelei este preluat integral de grinzile principale, grinda secundar va fi ncrcat numai cu reaciunile Rj aplicate n punctele de intersecie cu grinzile principale (v. fig. 3, b). Expresiile acestor fore rezult din relaia anterioar,

EI o R j = Qo 3 w j . lSe observ c Rj are dou componente. Prima component,

(5)

Q = Qo ,

(6)

este constant. A doua component este dependent de sgeata wj, avnd sens contrar fa de prima. Ea poate fi interpretat ca reaciune a unui reazem elastic de rigiditate

Reele de bare C= EI o . l 3

5(7)

Pentru grinda secundar se obine schema de calcul reprezentat n figura 3, c, constnd dintr-o grind continu cu reazeme elastice independente, ncrcat cu forele concentrate Q. Astfel de grinzi se calculeaz dup metodologia prezentat la p. 4.7. Dup determinarea sgeilor wj, forele de interaciune dintre grinzile reelei se determin cu relaia (5). n cazul n 5, forele Rj pot fi nlocuite cu forele distribuite

rj =unde s-au introdus notaiile

Rj a

= q k wj ,k= 1 EI o . a l 3

(8)

q=

1 Qo , a

(9)

Se obine astfel schema de calcul din figura 3, d, constnd dintr-o grind pe mediu elastic cu rigiditatea k i ncrcarea convenional q, date de relaiile (9). Pentru aceast grind se folosesc rezultatele deja obinute la n capitolul 3. Cunoscnd sgeile w(xj), forele de interaciune dintre grinzile reelei se determin cu relaia (5). Se observ c reaciunile maxime apar acolo unde sgeata este minim, adic n dreptul grinzilor principale marginale. Pentru aceste grinzi sgeile fiind practic nule, se poate considera c grinda secundar reprezint reazeme rigide pentru grinzilor principale. Dimpotriv, reaciunile minime apar acolo unde sgeata este maxim, adic n dreptul grinzii principale centrale, unde se poate ntmpla chiar ca reaciunea s devin negativ, dac

EI o Qo < 3 wmax . l

(10)

n acest caz, grinzile principale centrale nu numai c nu sunt susinute de grinda secundar, dar sunt ncrcate suplimentar de aceasta. Observaii Se pot ntlni reele similare, cu o singur grind secundar i multe grinzi principale, al cror contur de rezemare nu este dreptunghiular, aa cum este conturul 1 din figura 3, a (v. i fig. 3 e, g). Astfel de reele pot modela planeele de fund ale extremitilor navei, ncrcate de obicei uniform. n aceste cazuri, dac grinzile principale de lungimi lj sunt rezemate identic i au aceeai rigiditate EIo, ncrcarea convenional q se determin cu aceeai relaia dar rigiditatea mediului elastic rezult variabil,

q=

1 Qo , a

k ( x) =

1 EI o . a l 3( x j )

(11)

Dac grinzile principale nu sunt echidistante i/sau nu sunt rezemate identic la capete, rezult variabile cu x att ncrcarea convenional q ct i rigiditatea mediului elastic. Grinzile principale pot s nu fie identice i echidistante. Ele pot avea rigiditi diferite, orice fel de rezemri la capete i ncrcri diferite. n acest caz, ncrcarea convenional i rigiditatea mediului elastic devin

q ( x) =

EI o j j 1 1 . Qo j , k ( x) = ( a j + a j +1 ) / 2 j ( a j + a j +1 ) / 2 j l 3 ( x j )

(12)

Dac o parte din ncrcarea aplicat reelei este preluat de grinzile secundare (qs), aceasta se adaug la ncrcarea q (v. fig. 3, f ) iar dac ncrcarea este aplicat numai grinzilor secundare, se obine schema obinuit de grind pe mediu elastic. 3. S se obin sistemul de ecuaii necesar rezolvrii prin metoda deplasrilor a structurii ntrite a unei puni intermediare (fig. 4, a), format din rame longitudinale i curenii de punte din prelungirea acestora, rame transversale i traversele din prelungirea acestora. Structura reprezint o reea simetric fa de planul diametral (P.D.), avnd conturul de rezemare format din bordaje i perei transversali. Considernd simetria fa de planul median al magaziei, este suficient s se analizeze reeaua format din barele AC, CB, DC, CE, EF. Rigiditatea barei EF se va lua pe jumtate. La evidenierea gradelor de libertate ale structurii s-a avut n vedere simetria i s-au eliminat nc de la numerotare deplasrile nule din legturile rigide (bordaj i perete) (v. fig. 4, b). Dac se aleg axele locale x(e) ca n figura 4, c, transformrile de axe nu mai sunt necesare. Gradele de libertate locale pentru un element (e) al reelei sunt reprezentate n figura 4, d. Asamblarea se realizeaz direct din matricele k(e), folosind vectorii de localizare corespunztori din matricea indicilor, ca n schema (13),

6e =5 e =4 e =3 e =2 e =1 6 2 5 2 0 7 4 0 3 0(e k12 ) (e k22 ) (e k32 ) (e k42 )

STATICA STRUCTURILOR0 6 2 0 2(e k13 ) (e k23 ) (e k33 ) (e k43 )

8 0 3 1 4(e k14 ) (e k24 ) (e k34 ) (e k44 )

Matricea indicilor e =1 e = 2 0 0 2 4F E

e=3 5 0 2 3

e=4 2 4 6 0

e=5 6 7 0 8

.

(13)

k (e)

(e k11 ) (e) k = 21) (e k31 (e) k41

2 3 0 1Bordaj

x a zPerete transversal A

B C

Gura de magazie D P.D.

Perete transversal

Fy

8 5

6 7 E

b

B

1 2

2 3 C 4

4 3

5

z

A

1

D y(1) 1 x(1)

C

B x(2)

y(2) 2 z(2) C

C 3 x(3)

y(3) z(3) D

Ac

z(1) y(4) 4 x C z(4) y(e)( 1e )(4)

y(5) E F x(5) E 5 z(5)

d

e

( 3e )

(e) 2

(e) 4

x(e) Fig. 4

Reele de bareFolosind aceast schem, se obine imediat matricea de rigiditate asamblat a reelei,

7

1(2) k44 (2) k14 (2) k24 0 k= 0 0 0 0 (1) 33

2(2) k41

3(2) k42 (3) 33 (3) 43 (4) 21 (4) 11

4 0(3) 34 (3) 44

5 0(4) 12

6 0 k(4) 13

7 0 0 0 0 0(5) 11

8 0 0 0 0 0 (5) k14 (5) k24 (5) k44 1 2 3 4 . 5 6 7 8

k +k +k +k k +k k +k (3) k13(2) 11 (2) 21 (1) 43

k +k k +k 0(2) 12 (2) 22 (3) k14

k +k 0(1) 34 (1) 44

k +k 0 k(4) 32

(4) 22

k k 0 0 0 0

(3) 31 (3) 41

0(4) k23 0

(3) k11

k

(4) 31

0 0

0 0 0

0 0

k +k (5) k21 (5) k41(4) 33

k k k

(5) 12 (5) 22 (5) 42

Dac structura conine i legturi elastice ale cror rigiditi sunt grupate n matricea diagonal C, la matricea k se adaug C, obinndu-se K. Vectorul ncrcrilor nodale ale structurii se obine de asemenea cu ajutorul matricei indicilor, din vectorii ncrcrilor reduse la noduri pentru elementele reelei, folosind schema (14),

Matricea indicilor e =1 e = 2 e = 3 e = 4 e = 5 . Q1o( e ) o( e ) Q = 2o( e ) Q3 Q4o( e ) 0 0 2 4 2 3 0 1 5 0 2 3 2 4 6 0 6 7 0 8(14)

Q o( e )

Rezult

Q4o(2) o(2) o(2) o(1) o(3) Q1 + Q4 + Q3 + Q3 Q2o(2) + Q4o(3) o(4) o(1) Q2 + Q4 o Q = o(3) Q1 Q1o(5) + Q3o(4) o(5) Q2 Q o(5) 4 o

1 2 3 4 5 6 7 8

.

Dac structura este ncrcat i cu sarcini aplicate direct nodurilor, grupate n vectorul Q*, acest vector se adaug la Q , obinndu-se Q. Rezolvnd sistemul K = Q se obin deplasrile cutate.

ECUAIILE PLCILOR PLANE SUBIRI Introducere Plcile sunt elemente de structur cu o dimensiune mic n comparaie cu celelalte dou. Ele se ntlnesc n construcii civile, industriale, marine, aerospaiale etc. Elementele geometrice care definesc o plac sunt suprafaa median i grosimea msurat pe normala la suprafaa median, de care este mprit n dou pri egale. De obicei grosimea este constant dar se ntlnesc i plci a cror grosime este variabil, continuu sau n trepte. Din punct de vedere al formei suprafeei mediane, plcile pot fi plane i curbe. Plcile curbe care nu au alte granie dect suprafeele menionate se mai numesc nveliuri. Plcile plane sunt limitate de unul sau de mai multe contururi cilindrice cu generatoare perpendiculare pe planul lor median. Intersecia contururilor cilindrice cu acest plan se numete contur. El poate avea cele mai diverse forme. O mare utilizare o au plcile plane mrginite de un singur contur dreptunghiular, precum i cele mrginite de unul sau dou contururi concentrice circulare. Din interaciunile cu exteriorul, n plci apar fore exterioare care pot fi concentrate sau/i distribuite pe linii sau/i pe suprafee (v. fig. 1). De obicei, plcile au rolul de a prelua sarcini normale pe plac, numite n continuare transversale. Obiectul de studiu al teoriei plcilor este determinarea strilor de tensiune i deformaie care apar n acestea datorit ncrcrilor exterioare. Ecuaiile difereniale utilizate n studiul plcilor sunt condiionate de rapoartele dimensionale ale acestora, de tipul ncrcrilor i condiiilor la limit precum i de mrimea deplasrilor punctelor plcii. Dac nu are loc pierderea stabilitii, forele din planul plcii produc tensiuni i deformaii specifice de ntindere-compresiune sau/i de forfecare constante pe grosimea plcii, spre deosebire de cele de ncovoiere cauzate de ncrcri transversale care sunt liniar variabile pe grosime. Forele din planul plcii i deformaiile specifice i tensiunile produse de ele se obinuiete s se spun c sunt de membran. ntr-o clasificare corelat cu teoriile de calcul, plcile plane sau curbe se mpart n : subiri, dac dmin /h > 20 (la plci plane) sau dac h / < 1/1000 (la plci curbe) ; (1) de grosime medie, dac 5 < dmin /h < 20 respectiv 1/1000 < h / < 1/50 ; groase, dac dmin /h < 5 (plci plane) respectiv h / > 1/50 (plci curbe), unde h este grosimea, dmin dimensiunea minim a suprafeei mediane a plcii iar , raza minim de curbur a plcii curbe. Clasificrile plcilor sunt evident destul de convenionale. Ele determin teoria necesar a fi utilizat n studiul lor. Pentru plci subiri frecvent ntlnite n practic, se aplic teoria plcilor subiri. Teoria plcilor de grosime oarecare ofer soluii att pentru calculul plcilor subiri ct i pentru cele groase, dar este considerabil mai complicat dect teoria plcilor subiri, unde se admit ipoteze simplificatoare. Tipul de teorie utilizat n studiul plcilor este condiionat i de mrimea deplasrilor punctelor plcii. n general, atunci cnd deplasrile w normale pe suprafaa median sunt mici n comparaie cu grosimea plcii, se folosesc ecuaii difereniale liniare. Dac deplasrile w sunt comparabile sau mai mari dect grosimea plcii, sunt necesare ecuaii difereniale neliniare, mult mai dificil de rezolvat. F b h y(v) z(w) Fig. 1 Ipoteze. Deplasri. Deformaii specifice n teoria tehnic a plcilor utilizat n calcule inginereti, n afara ipotezelor clasice folosite n mecanica solidului deformabil se introduc ipoteze suplimentare specifice plcilor. Rmn valabile ipotezele continuitii i omogenitii materialului. De asemenea, dei n plci reale aparinnd structurilor sudate exist tensiuni i deformaii remanente (iniiale), n teoria tehnic se face abstracie de ele. De asemenea se are n vedere comportarea n domeniul deformaiilor liniar elastice, acceptndu-se valabil legea lui Hooke (pentru materiale izotrope/ortotrope). Ipoteze specifice teoriei tehnice a plcilor plane subiri i consecinele care rezult din acestea 1) Ipoteza normalei drepte sau ipoteza lui Kirchhoff (uneori se ntlnete ca ipoteza Love-Kirchhoff), conform creia un segment de dreapt normal pe planul median nainte de deformaie rmne segment de dreapt i dup deformaie, normal la suprafaa median a plcii deformate i de aceeai lungime. Ipoteza lui Kirchhoff este analoag ipotezei seciunilor plane a lui Bernoulli din calculul barelor. Una din cele mai importante consecine ale acestei ipoteze este satisfacerea automat a continuitii n tot volumul plcii, cu condiia s fie satisfcut continuitatea n suprafaa median a ei. O alt consecin este obinerea unor relaii simple pentru descrierea geometriei deformaiilor, prin ignorarea deformaiile unghiulare transversale. 2) Se neglijeaz tensiunile normale z care apar n plane paralele cu planul median, fiind cu dou ordine de mrime mai mici fa de celelalte tensiuni. q p a px py x(u)

2

STATICA STRUCTURILOR DE NAVE

3) Unghiurile de rotire n jurul axelor x, y ale normalelor la suprafaa median a plcii sunt att de mici nct ptratele lor i produsele dintre ele se pot neglija fa de unitate. De asemenea, datorit raportului mare dintre dimensiunile n planul xy ale plcii i grosimea ei, se pot neglija unghiurile de rotire ale elementelor de plac fa de axa z. 4) Deformaiile specifice au acelai ordin de mrime ca i unghiurile de rotire ale normalei la suprafaa median a plcii n jurul axelor x, y. Ele sunt att de mici nct ptratele i produsele dintre ele se pot neglija fa de unitate. De asemenea, datorit dimensiunilor mari ale plcii n planul xy, se neglijeaz unghiurile de rotire ale elementelor de plac fa de axa z. Din ipotezele 3 i 4 rezult (2) | u | , | v | , | w | ; (13) Mxy , Myx momente de torsiune, < FL /L > ; Tx , Ty fore (eforturi) tietoare, < F /L > . Eforturile Nx , Ny , Nxy = Nyx se mai numesc eforturi de membran. Cu notaia

A =1 h (...) dA h / 2 (...) dz 1 h (...) dz , relaiile de echivalen au forma :N x = x dz , N y =h

h/2

h y dz,

, N xy = N yx = xy dz ; h

(14) (15)

Tx = zx dzhh

Ty = zy dz ;h

M x = x z dz , M y = y z dzh

, M xy = M yx = xy z dz . h

(16)

Introducerea eforturilor echivalente din punct de vedere global cu tensiunile permite a se nlocui ecuaiile de echilibru ale tensiunilor care acioneaz asupra unui paralelipiped elementar dx dy dz (aa s-a procedat n Teoria elasticitii cnd s-au obinut ecuaiile de echilibru Navier-Cauchy) cu ecuaiile de echilibru ale eforturilor aplicate elementului de plac dx dy h (reprezentat grafic prin suprafaa sa median dx dy).

4

STATICA STRUCTURILOR DE NAVE

dy = 1 dx = 1h/2

Myx O1 My Ny z T Mxy O2 Nxy Mx y Nx Nyx z T h/2 x

x d zy

dA

y zx

Fig. 3 Echilibru se scrie pentru eforturile Nx , Ny , Nyx , Nxy , Tx , Ty , Mx , My , Myx , Mxy reprezentate pe forma deformat a elementului de plac. n figura 4, a este reprezentat elementul deformat cu fore exterioare (ncrcri superficiale transversale p i volumice hX, hY) i eforturi-fore pe care restul plcii le aplic acestuia, iar n figura 4, b este reprezentat elementul ncrcat cu eforturi-momente aplicate de restul plcii. n scrierea ecuaiilor de echilibru se neglijeaz ptratele din dezvoltrile n serie ale funciilor sinus i cosinus ale unghiurilor mici, adic se consider sinusurile acestor unghiuri egale cu unghiul iar cosinusurile lor egale cu unitatea. Sistemul de axe putnd fi oarecare, se scriu ecuaiile de echilibru pe axele xo, yo, zo. Din ecuaia de echilibru a forelor pe axa xo , se obine N x + N x x N yx dx dy N x dy + N yx + dy dx N yx dx + hXdxdy = 0 . O y

ecuaie similar se obine din echilibrul pe axa yo. Rezult

N x N xy + + hX = 0 x yw /yT

,

N y yT

+

N yx xNy

+ hY = 0 .xo

(17)

w /x N xyzo h p hX

w /x + (2w /x2)dx

Nx yo

Nyx

dyi dxi

w /y + (2w /yx)dxNx + (Nx /x)dx Tx + (Tx /x)dx Nxy + (Nxy /y)dy Ty + (Ty /y)dy Ny + (Ny /y)dy Nyx + (Nyx /x)dx

w /y + (2w /y2)dy w /x + (2w /xy)dy Se scrie ecuaia de echilibru a forelor pe axa zo ,

Fig. 4, a

Ty N y w 2 w Tx N x w 2 w w Tx + x dx dy Tx dy + Ty + y dy dx Ty dx + N x + x dx dy x + 2 dx N x dy x + N y + y dy dx y + 2 dy x y N yx w 2 w N xy w 2 w w w w . N y dx + N yx + dx dy y + yx dx N yx dy y + N xy + y dy dx x + xy dy N xy dx x + pdxdy = 0 y x

Dup simplificri i neglijarea infiniilor mici de ordin superior, rezultTx Ty 2w 2w 2 w N x w N y w N yx w N xy w + + N x 2 + N y 2 + 2 N xy + + + + + p=0 , x y x y x x y y x y y x x y

(18

Ecuaiile plcilor plane subirisau, innd seama de (20), unde sunt neglijate ncrcrile hX i hY,Tx Ty 2w 2w 2w w w + + N x 2 + N y 2 + 2 N xy + p hX hY =0 . x y x y xy x y

5

(19)

ncrcrile hX, hY provin din greutatea proprie a plcii sau pot avea alte cauze. n general, efectul lor poate fi neglijat fa de cel al ncrcrilor aplicate normal sau pe conturul plcii, astfel nct ecuaiile (17) i (19) devinN x N xy + =0 x y

,

N y y

+

N yx x

=0 ,

(20) (21)

Tx Ty 2w 2w 2w + + N x 2 + N y 2 + 2 N xy + p=0 . x y xy x y

Mx Myx yo zo

w /x

Mxy My

xo

dyi

Myx + (Myx /x)dx

My + (My /y)dyo

dxiMxy + (Mxy /y)dy

Mx + (Mx /x)dx

Fig. 4, b

Din echilibrul momentelor pe axa y (v. fig. 4, a, b) se obineM xy M x Tx dx M x + x dx dy M x dy + M xy + y dy dx M xy dx Tx + x dx dydx pdxdy 2 = 0 .

(22)

O relaie similar se obine din echilibrul momentelor pe axa xo. Dup simplificri i ignorarea infiniilor mici de ordin superior, rezult M y M yx M x M xy + = Tx , + = Ty . (23) x y y x Ecuaia de echilibru a momentelor pe zo confirm reciprocitatea tensiunilor tangeniale, xy = xy Nxy = Nyx , Mxy = Myx . Sistemul format din 5 ecuaii de echilibru se poate simplifica. 1) Primele dou ecuaii de echilibru (20) sunt identic satisfcute dac eforturile de membran Nx, Ny, Nxy se exprim cu ajutorul unei funcii F numit funcia lui Airy sau funcie a tensiunilor de membran prin relaiileNx = h2F 2 F 2 F , N y = h 2 , N xy = h . 2 xy x y 2 F 2w 2 F 2w 2 F 2w = p h 2 + 2 2 . 2 xy xy x y 2 y x

(24)

2) n celelalte trei ecuaii se elimin eforturile tietoare i forele de membran. nlocuind (23 i (24) n (21), rezult2M x x 2 +2 2 M xy x y + 2M y y 2

(25)

Problema se rezolv n continuare considernd un anumit model fizic, dat de relaiile constitutive ntre deformaii specifice i tensiuni. Se consider modelul materialului izotrop. Tensiuni. Relaii constitutive. Ecuaiile lui Krmn Relaiile ntre tensiuni i deformaii specifice pentru materiale izotrope sunt date de legea lui Hooke, scris sub formax=

yz xy 1 1 1 ( y z x ) , xy = , z = ( z x y ) ; yz = ( x y z ) , y = Ey G G Ex E

, zx =

zx . (26) G

Plcile ortotrope sunt caracterizate din punct de vedere constitutiv de 2 constante elastice independente din cele trei (E, E G, ), deoarece G = . (27 2 (1 + ) Ipoteza lui Kirchhoff, conform creia z = 0 i z = 0, conduce la relaia contradictorie x + y = 0 . Ignornd aceast contradicie i innd seama i de relaiile yz = zx = 0, care decurg tot din ipoteza lui Kirchhoff (v. (8)), se poate scrie legea lui Hooke la plci izotrope sub urmtoarele forme invers i direct,

6x = x=

STATICA STRUCTURILOR DE NAVE1 1 2(1 + ) xy , z = yz = zx = 0 ; ( x y ) , y = ( y x ) , xy = E E E

(28 (29)

E E E ( x + y ) , y = ( y + x ) , xy = xy , z = yz = zx = 0 . 2(1 + ) 1 2 1 2

Pentru tensiuni de membran, formele direct i invers a legii lui Hooke devin E E E o ; o = (o + o ) , o = (o + o ) , o = x x x y y y xy xy 2 2 2(1 + ) 1 1 o = x1 o 1 2(1 + ) o xy . ( x o ) , o = (o o ) , o = x y y x xy E E E

(30) (31) (32) (33)

nlocuind (10) n (29), se obine x = o + x x undeo = x

,

y = o + y y

,

xy = o + xy , xy

Ey E E 1 o (o + o ) , o = (o + o ) , o = xy , y y x x y xy 2 2 1 1 2 2 1 sunt tensiuni de membran, obinute pentru z = 0, iarx =

Ez 1 2

2w 2w Ez 2 + 2 , y= x 1 2 y

2w E z 2w 2w 2 + 2 , xy = y 1 + xy x

(34)

sunt tensiuni de ncovoiere. Se nlocuiesc (32) n (14) i (16). ntruct (24) rezult relaiileo = x

h

dz = h ,

h

z dA = 0 ,

h

z 2 dz = h3 /12 , din (14) i

N y 2 F N xy Nx 2F 2 F = 2 , o = = = 2 , o = , xy y h h h xy y x

(35)

iar din (16) se obin expresiile momentelor n funcie de sgeata w, 2w 2w 2w 2w 2w , M x = D 2 + 2 , M y = D 2 + 2 , M xy = D (1 ) x y x y y x

(36)

unde cu D s-a notat rigiditatea la ncovoiere a plcii, D= E h3 , 12(1 2 ) < FL > . (37)

Se pot exprima i forele tietoare n funcie de sgei, nlocuind (36) n (23. Rezult 3w 3w Tx = D 3 + x xy 2

,

3 w 3 w Ty = D 3 + 2 , x y y

(38) (39)

sau, dac se folosete operatorul lui Laplace,

Tx = D (w) x

,

Ty =

D (w) . y

Tensiunile de membran i eforturile de membran Nx, Ny, Nxy (v. (35)) pot fi exprimate n funcie de deplasri, prin nlocuirea relaiilor (9) n (33),o = x Nx E = h 1 22 2 u w v 1 w E o Ny o = + o + + , y= y 2 x h 1 2 y x

v u o + o x y

2 2 1 w w + + x 2 y

o = xy

N xy h

=

E 1 uo vo w w + + . x x y 1 2 2 y

(40)

n cazurile n care sgeile sunt mici i influena lor asupra efectelor de membran se poate neglija, relaiile (40) devin N x = h o = x u v E h vo E h 1 uo vo E h uo + o , N xy = h o = + + o , N y = h o = . y xy 2 2 x x y 1 2 2 y 1 x 1 y (41)

nlocuind (31) n (12), rezult ecuaia de continuitate a deformaiilor specifice din suprafaa median a plcii n funcie de tensiunile de membran, 2 w 2 2 w 2 w 2 o 2 o 2 o xy o o . = E ( x y ) + 2 ( y x ) 2(1 + ) x y x y x 2 y 2 y 2 x

(42)

Ecuaiile plcilor plane subiriSe pot obine dou ecuaii difereniale cu dou funcii necunoscute: F = F(x, y) funcia lui Airy ; w = w (x, y) funcia sgeat. Prima ecuaie se obine nlocuind (35) n (42), 2 w 2 2 w 2 w 4 F 2 F 2 F 4 F . +2 2 + 4 = E + 2 xy x 4 x y 2 y x y 2 A doua ecuaie se obine nlocuind (36) n (25), 4w 2w 2w 4w p h 2 F 2w 2 F 2w 2 F 2w +2 2 + 4 = + 2 4 2 y x 2 + x 2 y 2 2 xy xy . D D x x y y 2 2 2 2 4 4 4 Introducnd operatorul dublu al lui Laplace, = 2 + 2 2 + 2 = 4 + 2 2 2 + 4 , y x y x x y x x ecuaiile (45) i (44) se scriu sub forma 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 w w w , w = p + h F w + F w 2 F w . F = E xy xy D D y 2 x 2 x 2 y 2 x y x 2 y 2

7

(43)

(44)

(45) (46)

(47)

Sistemul (47) a fost obinut pentru prima dat de Krmn n 1909. El este neliniar, de ordinul 4. Fiind cu derivate pariale, gradul de arbitrar al sistemului este dat de 16 constante. La plci dreptunghiulare se pot scrie cte patru condiii la limit pentru fiecare latur a plcii. Formularea acestor condiii i obinerea sub form general a soluiei sistemului neliniar al lui Krmn, aa cum s-a obinut la bare, nu este posibil datorit numrului foarte mare de variante posibile de ncrcare i fixare a plcii pe contur. Au fost rezolvate doar o serie de cazuri particulare i probleme practice cu ncrcri i condiii la limit concrete, folosind diverse metode analitice i numerice. Unele din acestea vor fi prezentate n capitolele urmtoare.Particularizri ale ecuaiilor lui Krmn

Prin particularizare, din sistemul (47)) se pot obine diverse ecuaii difereniale care pot fi integrate analitic pentru anumite condiii de ncrcare i rezemare a plcilor. Astfel au putut fi rezolvate o serie de probleme de stare plan, de ncovoiere i ncovoiere cuplat cu stare plan, de stabilitate. Prin aceste particularizri se face de fapt i o clasificare a plcilor. O astfel de clasificarea se bazeaz n esen pe stabilirea gradului de influen reciproc ntre ncovoiere i starea plan (starea de membran), pentru a obine diferite clase de plci care nu necesit utilizarea integral a ecuaiilor neliniare al lui Krmn. Cele ce urmeaz vizeaz plcile izotrope, dar sunt valabile i pentru plci ortotrope. Plcile pentru rezolvarea crora sunt necesare ecuaiile sistemului (47) fr simplificri, se numesc plci cu sgei mari sau de rigiditate finit. Pentru astfel de plci este esenial influena reciproc dintre funciile w i F. Dac ncrcrile transversale sunt nule iar cele de membran nu duc la apariia sgeilor w (placa nu-i pierde (48 stabilitatea), ecuaia (472 se verific identic iar (471 devine F = 0 , numit ecuaia diferenial a plcii n stare plan, sau discului, sau grinzii perete, sau aibei. Dac rigiditatea la ncovoiere este mare i sgeile plcii sunt mici iar eforturile de membran sunt nule sau au valori p ce nu influeneaz practic sgeile, ecuaia (472 devine w = . (49) D Ecuaia (49), obinut de Sophie-Germaine (1811), se numete ecuaia plcii cu rigiditate mare la ncovoiere. Dac termenii ce conin sgei pot fi neglijai n membrul al doilea din ecuaia (472, dar n acelai timp placa este suficient de subire nct influena eforturilor de membran asupra sgeii nu poate fi neglijat, rezult sistemul D 2 F 2w 2 F 2w 2 F 2w p , (50) F = 0 , w 2 2 +2 = 2 2 h xy xy h y x x y constituit din dou ecuaii difereniale practic decuplate. Plcile ce ndeplinesc aceste condiii se numesc plci flexibile cu sgei mici. Ecuaia (50, b) a fost obinut de Saint-Vnant nainte de deducerea ecuaiilor lui Krmn (n 1883). Ea poate fi rezolvat numai dup determinarea din ecuaia (50, a) a funciei F, ale cror derivate pariale sunt coeficieni n ultimii trei termeni din membrul stng al relaiei (50, b). Aceste derivate pariale sunt eforturile de membran (v. (24)). n particular, dac pe contur sunt aplicate fore constante n planul xy, ecuaia (50, a) este identic satisfcut iar sgeile w se obin direct din N xy 2 w N 2w N y 2w p . (51) ecuaia (50, b), care devine w x 2 2 = 2 D x D y D xy D Ecuaia (51) se folosete n studiul stabilitii i ncovoierii compuse a plcilor plane. n opozie cu plcile de rigiditate mare la ncovoiere sunt cele foarte subiri, cu rigiditate mic la ncovoiere, numite membrane. Ele se folosesc rar n structuri clasice, dar pot fi ntlnite (ca membrane din materiale nemetalice) la veliere, nave pe pern de aer etc. Membranele au rigiditatea la ncovoiere att de mic (D este funcie de cubul grosimii), nct tensiunile din ncovoiere sunt neglijabile fa de cele de membran. Membranele se studiaz cu ecuaiile (47), n care se face D = 0. Ele au fost obinute de A. Fppl n 1907 i se numesc ecuaiile plcilor-membrane.

8

STATICA STRUCTURILOR DE NAVE

n cazul particular n care pe conturul membranei sunt aplicate numai fore normale la contur i egale ca mrime (Nx = Ny = N, Nxy = 0), att de mari nct sgeile din sarcina transversal p sunt mici i nu influeeaz asupra mrimii foelor N, 2w 2w p . (52) ecuaia (50, a) este identic satisfcut iar ecuaia (50)2 devine o ecuaie de tip Poisson, w = 2 + 2 = N x y Plcile dreptunghiulare cu b >> a, ncrcate cu sarcini variabile numai n lungul axei x, se ncovoaie dup suprafae cilindrice, excepie fcnd zonele din apropierea laturilor scurte. Avnd generatoarele paralele la axa y, w = w (x) i w/y = 0, 2w/y2 = 0, 4w/y4 = 0. Comportarea unei plci ce se ncovoaie dup o suprafa cilindric se studiaz pe o fie de lungimea a i orice lime, de obicei 1. Notnd Nx cu N, ecuaia diferenial devine D w'''' N w'' = p . (53) xx x h b p(x) 1 1h y y x a w(x

p(x) x z w(x

Fig. 5 Relaia obinut difer de cea care s-ar obine pentru o fie izolat (bar cu seciunea dreptunghiular 1 h) prin faptul c rigiditatea la ncovoiere a fiei izolate, EIy = Eh3/12, s-a nlocuit cu D, adic E s-a nlocuit cu E/(1 2) (numit uneori modul efectiv de elasticitate). Aceast substituie are explicaie fizic. Aa cum se vede n figura 5, pentru fia aparinnd placii, y = (y x)/E = 0 y = x. nlocuind n prima relaie a lui Hooke, x = (x y)/E i notnd E1 = E/(1 2), se obine x = x /E1, similar cu relaia x = x /E care se folosete n studiul barei.Energia de deformaie a plcilor plane subiri1 (54) ( x x + y y + xy xy )dV . 2 V Expresia (54) poate fi scris n funcie numai de deformaii specifice, folosind relaiile (28 sau n funcie numai de 1 ( x + y ) 2 2(1 + )( x y 2 ) dV , tensiuni, folosind relaiile (29), U = (55) xy 2 E V Fcnd nlocuiri i innd seama c dV = dA dx, se obine U = Um + U , unde Um este energia de deformaie a suprafeei mediane a plcii iar U energie de deformaie la ncovoiere i rsucire a plcii. Ele sunt date de expresiile 2 2 w w w E h 1 w Nx dA , + Ny Um = (56) + (1 ) N xy x 2 x y 1 2 A y

innd seama de (28 i (29), energia potenial de deformaie a plcii este U =

Ui =

2 w 2 w 2 w 2 D (w) 2 2(1 ) 2 dA . 2 A x y 2 x y

(57)

n cazuri particulare cnd placa de orice form este ncastrat rigid pe contur sau placa dreptunghiular este rezemat pe un contur rigid, se arat c energia de deformaie la ncovoiere i rsucire devineUi = D (w) 2 dA . 2 A

(58)

PLCI N STARE PLAN Funcia lui Airy. Ecuaia plcii n stare plan Dac ncrcrile transversale sunt nule iar cele de membran nu duc la apariia sgeilor w (placa nu-i pierde stabilitatea), a doua ecuaie a lui Krmn se verific identic iar prima ecuaie devine F = 0, unde F = F(x, y) (1) este funcia de tensiuni a lui Airy. Ecuaia biarmonic F = 0 se poate obine direct din ecuaiile pentru starea pan. Neglijnd forele volumice din ecuaiile de echilibru y yx x xy + +X =0 , + +Y = 0 , (2) x y y x acestea se scriu sub forma x xy y A B A B , , y = i xy = , = xy . Ele sunt satisfcute dac x = = = y x y x y x y x

unde A = A(x, y) i B = B(x, y). Lund A = F / y i B = F / x rezult2 F 2 F 2 F , y = 2 , xy = . (3) 2 y x y x Pentru o distribuie dat de tensiuni, funcia F(x, y) se definete cu aproximaia unei funcii liniare n x i y, care nu influeneaz distribuia dat. Dac se ine seama de forele masice, relaia (3)3 devine 2 F xy = Xy Yx . (4) x y Relaiile (3) sunt valabile pentru orice mediu (elastic, plastic etc). Un mediu elastic izotrop, caracterizat de 2 constante E , are legea constitutiv elastice independente din cele trei (E, G, ), deoarece G = 2 (1 + ) x =1 1 2 F 2 F 1 1 2 F 2(1 + ) 2(1 + ) 2 F 2 F xy = ( x y ) = 2 2 , y = ( y x ) = 2 2 , xy = , (5) x y E E xy E E E E y x unde deformaiile specifice se exprim n funcie de deplasri prin relaiile lui Cauchy, u v u v x = + , y = , xy = . (6) y y x x Prin eliminarea deplasrilor din relaiile lui Cauchy, se obine relaia de continuitate (compatibilitate) a deformaiilor specifice ale plcii (relaia lui Saint-Vnant), 2 2 2 x y xy + =0 . (7) xy y 2 x 2 nlocuind (5) n (7), se obine ecuaia x=

4 F 4 F 4 F (8) + 2 2 2 + 4 = 0 F = 0 , 4 x x y y unde este dublul operator al lui Laplace. Ecuaia biarmonic (1) se numete ecuaia diferenial a plcii n stare plan, sau a discului, sau a grinzii perete, sau a aibei. Condiii la limit

Pe conturul plcii n stare plan pot fi aplicate ncrcri (fig. 1) sau/i deplasri. Cnd pe contur sunt aplicate ncrcri, se spune c problema este cu condiii la limit mecanice sau naturale sau Neumann. Dac pe contur sunt impuse deplasri, problema este cu condiii la limit geometrice sau eseniale sau Dirichlet. Exist i probleme cu condiii la limit mixte.

y B (xB, yB) x qy = hpydy ds yx dx d dy dx

qx = hpx

xy OFig. 1

y

A (xA, yA)

x

2

STATICA STRUCTURILOR DE NAVE

Pentru plci dreptunghiulare, impunerea condiiilor la limit mecanice este relativ simpl. Exist ns i plci cu contur oarecare supuse la stri plane de tensiune, cum sunt guseele, plcile ovale sau/i cu decupri ovale etc. n astfel de cazuri, se utilizeaz ecuaiile de echilibru pe contur l x + m xy = q x , l xy + m y = q y , exprimate cu ajutorul funciei Airy,2 F 2 F 2 F 2 F m = qx , l +m = qy . xy yx y 2 x 2 Considernd c la parcurgerea conturului (A B, fig. 1) placa rmne n stnga, se pot scrie relaiile y x x y l = cos = = , m = sin = = , s s astfel nct relaiile (9) devin l

(9)

(10)

2 F y 2 F x F 2 F y 2 F x F 2 = = qy . (11) + = = qx , 2 yx s x s s x y s yx s s y Se consider c ntr-un punct oarecare A de pe contur sunt cunoscute funcia lui Airy i derivatele pariale ale acesteia: FA, (F/x)A , (F/y)A . Integrnd relaiile (11), pentru un punct curent B(xB, yB) se obine F F , F F = + qx ds , (12) = q y ds x B x AAB

y B

y A

AB

yB xB F F F F dx + dy = FB FA = ( yB y A ) + qx ds dy q y ds dx . ( xB x A ) + x y x A y A A y A AB x A AB B

(13)

Rezult c, prin trecerea de la punctul A la punctul B de pe contur, creterile derivatelor pariale ale funciei F n raport cu x i y sunt egale, cu aproximaia unei constante, cu proieciile pe axele ( y) respectiv x ale ncrcrii aplicat ntre A i B (v. (12)), iar creterea funciei F este egal, cu aproximaia unei funcii liniare aditive, cu momentul fa de punctul B dat de toate ncrcrile aplicate ntre A i B (v. (13)). Dac torsorul forelor aplicate conturului este nul, la o parcurgere complet (ABA), integralele din (12), (13) se anuleaz, ceea ce nseamn c n acest caz funcia F i derivatele pariale ale acesteia n raport cu x i y sunt funcii uniforme (au valori unice). Constantele din (12), (13) nu intervin n expresiile tensiunilor. Pentru domenii simplu conexe ele pot avea orice valoare, n particular zero. Pentru domenii multiplu conexe, aceste constante nu pot fi luate arbitrar pe toate contururile. Dac pe un contur se iau egale cu zero, pe celelalte contururi se determin din condiia de unicitate a deplasrilor. Relaiile (12) permit determinarea derivatei lui F dup tangenta i normala la contur, F F x F y F F x F y = + = + , . (14) s x s y s x y Din ecuaia biarmonic (8) i condiiile la limit (12), (13) rezult teorema lui M. Levy, cu aplicaii n analiza experimental a tensiunilor: pentru plci izotrope simplu conexe cu condiii la limit mecanice, funcia tensiunilor nu depinde de constantele elastice. Aceast teorem permite a se nlocui studiul tensiunilor n piese metalice cu studiul tensiunilor pe modele ale acestora, confecionate din materiale izotrope transparente cu proprieti optice speciale, sensibile la deformaii. Evident, deplasrile sunt dependente de material. Pentru plci multiplu conexe, teorema este valabil numai dac pe fiecare contur torsorul ncrcrilor este nul. Soluii analitice elementare ale ecuaiei biarmonice Funcia Airy poate fi exprimat prin polinoame algebrice, serii de puteri, polinoame trigonometrice etc. Un procedeu eficient este cel propus de Bernoulli-Kantorowich, n care soluia se consider de forma F ( x, y ) = Fo ( x, y ) + n = 1, 2,... Fn ( x, y ) , (15) unde Fo (x, y) i Fn (x, y) sunt produse de dou funcii depinznd de cte o singur variabil, Fo (x, y) = Xo (x) Yo (y) , Fn (x, y) = Xn(x) Yn(y) , n = 1, 2, . O funcie Fn ce satisface ecuaia (8) este o soluie particular a acestei ecuaii. Introducnd (17) n (8), rezult X '''' X '' Y '' Y '''' X n''''Yn + 2 X n''Yn'' + X n Yn'''' = 0 , sau n + 2 n n + n = 0 . Xn X nYn Yn Prin derivarea expresiei (18) n raport cu y, se obine Yn'''' Yn'' Yn'''' X '' 1 2 = 2 n F1 ( x) = 2 n , + = 0 sau F2 ( y ) '' ' Yn (Yn / Yn ) Xn Yn Yn 2 unde valoarea comun 2 n a funciilor F1 (x), F2 (y) nu poate fi dect o constant. Rezult '' '' '''' X n + 2 X n = 0 X n = 2 X X n = 4 X n , [n] = [L 1] . n n n 2'' Xn Xn ' ' '

(16) (17) (18)

(19)

(20) (21) (22)

Dac n 0, ecuaia diferenial (20)1 are soluia Xn = Gn sin nx + Hn cos nx . Substituind (20)2,3 n (18), se obine Yn'''' 2 2 Yn'' + 4Yn = 0 . n n

Plci n stare plan. Fia adiionalEcuaia (22) are soluia Yn = An ch n y + Bn sh n y + ny (Cn ch n y + Dn sh n y) , astfel nct din (17), (21), (23) se obine Fn (x, y) = (Gn sin n x + Hn cos n x)[An ch ny +Bn sh n y + n y (Cn ch n y + Dn sh n y)] . '' '''' Pentru n = 0, X o = 0 i X o = 0 (v. (20)2) iar din (18) rezult Yo'''' = 0 . n consecin Xo = Go + Ho x ; Yo = Ao + Bo y + Co y 2 + Do y 3 , adic Fo (x, y) = (Go + Ho x) (Ao + Bo y + Co y 2 + Do y 3) . nlocuind (24) i (25) n (15), se obine

3(23) (24)

(25)

F = Go + H o x)( Ao + Bo y + Co y 2 + Do y 3 + (Gn sin n x + H n cos n x) [ An cosh n y + Bn sinh n y + n y (Cn cosh n y+ Dn sinh n y )] . (26)n

(

)

Dac se deriveaz (18) n raport cu x, rezult soluii identice cu cele obinute mai sus, n care x i y i-ar inversa locurile, ceea ce este echivalent cu rotirea sistemului de axe cu 90o. Soluii n polinoame Soluia care rezult prin reinerea n numai a termenilor polinomiali pn la gradul 3 n x sau n y i pn la gradul 4 n x i y (fr termenul x2y2) a fost propus de Mnag, (27) F ( x, y ) = (Go1+ H o1 x )( Ao1+ Bo1 y + Co1 y 2 + Do1 y 3 ) + (Go2 + H o2 y )( Ao2 + Bo2 x + Co2 x 2 + Do2 x 3 ) . n general, soluiile n polinoame au forma F(x,y) = Pm(x) Pn(y). Este evident c ele trebuie s satisfac ecuaia biarmonic F = 0. Coeficienii polinomului-soluie se obin din condiiile la limit. Dac funcia F este polinomial de grad 4 (fr nici o restricie), se stabilesc anumite relaii ntre coeficienii acesteia din condiia de biarmonicitate. Aplicaii qy y

b qx qxy

x

a y gros.

qx x qy

Fig. 2 Pentru placa dreptunghiular de grosime h, solicitat uniform la ntindere/compresiune pe direciile x i y de sarcinile qx respectiv qy N / m i la forfecare pur de sarcina q, aa cum se arat n figura 2, a, funcia lui Airy care satisface ecuaia biarmonic F = 0 i condiiile la limit pe orice element al conturului este y2 x2 xy F ( x, y ) = q x + qy qxy . (28) 2h 2h h Lund axa x pe axa de simetrie a unei plci dreptunghiulare (fig. 2, b) ncovoiate n planul ei de momentul ncovoietor

M, funcia lui Airy are expresia F ( x, y ) = 2

M y , dup cum se verific uor folosind relaiile (3) : h b 12 M y 6M y = xy = 0, x = ; x max = 2 . 3 hb hb

3

(29)

qx (0, b/2) = hx max qx b Mz

y

x max x

a x qx

ygros.

xMz

Fig. 3 Momentele Mz trebuie aplicate plcii pe laturile x = 0, a prin ncrcri cu aceeai lege de variaie ca i x, adic qx = x h. Pentru aceste ncrcri, rezultanta i momentul rezultant fa de mijlocul laturii sunt

b / 2 qx ( y) dy = 0

+b / 2

,

b / 2 qx ( y) y dy = M z

+b / 2

.

(30)

S se determine condiiile la limit mecanice (ncrcrile) pentru o plac dreptunghiular de grosime h, corespunztoare funciei lui Airy avnd expresia

4

STATICA STRUCTURILOR DE NAVEF ( x, y ) = 2Q ax y xy . + 1, 5Q h b bh3

(31)

y hx max Mzy =

a gros. b x x x Q

qx x hxymaxFig. 4 (32) (33) (34)

Q

Tensiunile i valorile acestora pe contur au expresiile (v. (3)) : 2 F ( x, y ) 2 F ( x, y ) 12Q = 0 ; x = = 3 (a x) y , x 2 y 2 hb M y Qa Qab x (a, y ) = 0 , x (0, y ) = y = z , x max/ min = x (0, b / 2) = y ; 2I z Iz Iz xy = 2 F ( x, y ) 3 Q Qy 2 3 Q y2 3 Q = +6 3 = , xy (b / 2) = 0 . 1 4 2 , xy max = xy 2 hb 2 hb 2 hb hb b

innd seama de aceste expresii, n fig. 4 sunt prezentate ncrcrile aplicate pe contur (condiiile la limit mecanice). Soluii n serii trigonometrice Pentru rezolvarea plcilor dreptunghiulare la care xy = 0 i u = 0 pe laturile x = 0, x = a, Ribire a propus (1898) soluia n cosinusuri de x, adic a considerat Gn = 0 n seria (26), F = [ An cosh n y + Bn sinh n y + n y (Cn cosh n y + Dn sinh n y ) cos n x] . (35)n

n 1903 Filon a propus soluia n sinusuri de x (considernd Hn = 0 n seria (26)) pentru plci dreptunghiulare la care x = 0 i v = 0 pe laturile x = 0 i x = a, F = [ An cosh n y + Bnsinh n y + n y (Cn cosh n y + Dn sinh n y ) sin n x] . (36)n

Pentru a fi ndeplinite condiiile mecanice impuse la x = a n soluiile Ribire (xy = 0) i Filon (x = 0), este necesar ca sin n a = 0, de unde rezult n = n / a , n = 1, 2, ... . n tabelul 1 sunt prezentate ca structur funciile cu ajutorul crora se obin tensiunile x, y, xy, deformaiile specifice x , x , xy i deplasrile u, v n soluiile Ribire i Filon. Condiiile la limit n tensiuni i deplasri, realizate automat n soluiile Ribire/Filon pe laturile x = 0/a, corespund legturilor din fig. 5. Tabel 1 Forma funciei n soluia Ribire Forma funciei n soluia Filon

F x y xy x y xy u v x v xy u

n g n ( y) cos n x n g1n ( y) cos n x n g 2n ( y) cos n x n g3n ( y) sin n x n g 4n ( y) cos n x n g5n ( y) cos n x n g6n ( y) sin n x n g7 n ( y) sin n x n g8n ( y) cos n xa b y x xy u =0 x v

n f n ( y) sin n x n f1n ( y) sin n x n f 2n ( y) sin n x n f3n ( y) cos n x n f 4n ( y) sin n x n f5n ( y) sin n x n f6n ( y) cos n x n f7 n ( y) cos n x n f8n ( y) sin n xa b y x

Fig. 5 Constantele An, Bn, Cn, Dn se obin din condiiile la limit pe laturile y = 0, b. Acestea pot fi mecanice sau/i geometrice. Condiii la limit mecanice (v. fig. 6 i tabel 1)

Plci n stare plan. Fia adiional n soluia Ribire: n g 2n (0) cos n x = q 1y ( x) ,

5(37) (38)

n g 2n (b) cos n x = q 2 y ( x) n f 2n (b) sin n x = q2 y ( x)

,

n g3n (b) sin n x = q 2 xy ( x)

n g3n (0) sin n x = q 1xy ( x) ;. ;

n soluia Filon: n f 2n (0) sin n x = q 1y ( x) , ,

n f3n (0 cos n x = q 1xy ( x) n f3n (b) cos n x = q 2 xy ( x) .; ; ; ;

(39) (40)

Condiii la limit geometrice n soluia Ribire: n g7 n (0) sin n x = u1 ( x) ,

n g7 n (b) sin n x = u2 ( x)

,

n g8n (0) cos n x = v1 ( x) n g8n (b) cos n x = v2 ( x) n f8n (0) sin n x = v1 ( x) n f8n (b) sin n x = v2 ( x)y a

(41) (42) (43) (44)

n soluia Filon: n f7 n (0) cos n x = u1 ( x) ,

n f7 n (0) cos n x = u2 ( x)

,

q2y

q2xy Condiii Ribire sau Filon x

Condiii Ribire sau Filon

b q1xy

q1y