mecanica structurilor navale - curs nave - c. mocanu

INTRODUCERE OBIECTUL ŞI PROBLEMELE CURSULUI DE STATICA STRUCTURILOR

Ca orice construcţie inginerească, navele (şi structurile offshore) trebuie să posede rezistenţa şi rigiditatea necesare pentru a face faţă în bune condiţii şi cu eficienţă maximă acţiunii sarcinilor ce le solicită în timpul construcţiei, transportului, lansării, exploatării şi reparaţiilor. Din familia disciplinelor ce oferă inginerilor cele mai raţionale metode de proiectare a navelor/structurilor offshore face parte şi Statica structurilor. Proiectarea este un proces tehnic care include o serie de analize structurale şi sinteza propriu-zisă – când dintr-o gamă de table şi profile se realizează proiectul structurii de rezistentă a navei (sau structurii offshore). În acest proces trebuie avute în vedere o serie de cerinţe de fiabilitate şi eficienţă care trebuie satisfăcute în aşa fel încât prin materializarea proiectului să se realizeze o construcţie optimă. Dintre aceste cerinţe se menţionează: siguranţă cu un coeficient cât mai mic de risc la o greutate minimă, menţinerea calităţilor iniţiale pe toată durata de exploatare, volum de lucru şi cost de fabricaţie competitive, gabarit minim al structurilor pentru realizarea de spaţii interioare maxime, accesibilitate facilă pentru întreţinere, inspecţii şi eventuale reparaţii, utilizare cât mai extinsă a elementelor standardizate şi tipizate, confort şi aspect plăcut. Până nu foarte demult (anii ’970), proiectarea structurilor de nave se efectua cu predilecţie după Regulile Societăţilor de Clasificare şi Construcţie a navelor, care au fost stabilite mai ales pe baza unei îndelungate experienţe de construcţie şi exploatare. Extinderea transportului pe apă – ca fiind cel mai ieftin mijloc de transport, diversificarea funcţional/constructivă a tipurilor de nave, creşterea dimensiunilor acestora, modificarea rapoartelor între dimensiunile principale impuse de noi forme de transport/categorii de mărfuri transportate precum şi creşterea exigenţelor legate de manipularea unor produse periculoase şi de protecţie a mediului, impun tot mai frecvent o proiectare mixtă bazată atât pe Reguli cât şi pe calcul, Regulile servind la o evaluare iniţială operativă. Proiectarea prin calcul direct este indispensabilă atunci când nu există Reguli şi este folosită frecvent în ultimul timp la elaborarea lor. Este unanim recunoscută relativa uşurinţă de proiectare a structurilor după Regulile de Registru – care oferă relaţii simple de dimensionare (eşantionare), comode pentru avizare. Proiectarea după Reguli prezintă însă şi o serie de dezavantaje, mai ales în contextul cerinţelor menţionate mai sus. Astfel, datorită complexităţii şi interdependenţei stărilor limită în care se pot afla structurile în exploatare, după Regulile de Registru este foarte dificil sau chiar imposibil de evidenţiat rezerva reală de siguranţă. În consecinţă, apar dificultăţi în adoptarea celor mai avantajoase (optime) soluţii constructive. Se ştie, de asemenea că relaţiile de dimensionare conform Regulilor de Registru sunt de cele mai multe ori acoperitoare, ele referindu-se la o anumită gamă de situaţii în care se poate afla structura. Este posibil însă ca aceste relaţii, deşi pot avea un domeniu destul de larg de aplicabilitate, să nu corespundă în totalitate destinaţiei, criteriilor de eficienţă ale navei proiectate sau altor exigenţe ale beneficiarului. Aplicarea mecanică – fără discernământ – a Regulilor de Registru nu permite să se evidenţieze rolul fiecărei structuri în ansamblul din care face parte, greşelile făcute anterior şi nici nu oferă posibilităţi sigure de îmbunătăţire a proiectelor. În ultimul timp, Societăţile de Clasificare şi Construcţie a navelor nu numai că au încurajat dezvoltarea concepţiei de proiectare prin calcul direct, dar au organizat colective proprii de cercetare ce elaborează metodologii şi sisteme de programe de calcul al structurilor. Începând cu 1997, Societăţile de Clasificare-Construcţie a navelor au impus obligativitatea analizelor structurale locale/globale prin MEF. Regulile de Registru sunt supuse astfel unui permanent proces de perfecţionare şi adaptare la noi cerinţe. Indiferent de concepţia adoptată, la proiectarea structurală a corpului navei se parcurg trei etape. I. În prima etapă, se definitivează geometria corpului navei şi se stabilesc poziţiile elementelor structurale majore – pereţi despărţitori şi alte planşee componente. Aceste aspecte nu sunt obiective ale cursului. II. Etapa a doua – proiectarea structurală preliminară – constă în stabilirea dimensiunilor elementelor principale de structură ale navei. În linii mari, proiectarea structurală preliminară include : a) stabilirea încărcărilor exterioare şi a efectelor acestora (eforturi, tensiuni, deplasări) în toate cazurile posibile de încărcare, luând pentru dimensiuni valorile obţinute după Reguli sau nave similare ; b) stabilirea valorilor limită ale efectelor încărcărilor ; c) stabilirea factorilor de fiabilitate ca rapoarte între efectele încărcărilor şi valorile lor limită (factorii de fiabilitate reprezintă inversul coeficienţilor de siguranţă) ; d) compararea factorilor de fiabilitate cu cei obţinuţi pe baza cerinţelor de fiabilitate normate şi efectuarea unor eventuale redimensionări – care constau în reducerea sau majorarea grosimii unor table, modificări de profile şi/sau distanţe etc.

STATICA STRUCTURILOR

2

Satisfacerea optimă simultană a tuturor cerinţelor de fiabilitate în urma acestor redimensionări solicită experienţă şi cunoştinţe evoluate din partea inginerului de structuri şi poate să necesite un mare număr de iteraţii. De obicei se apelează la programe speciale de optimizare. În acest caz valorile limită ale efectelor încărcărilor servesc la formularea matematică a restricţiilor de rezistenţă, la care se mai adaugă restricţii tehnologice, funcţionale, estetice. Extremizând funcţia obiectiv stabilită pe baza criteriului de optimizare adoptat se obţin variabilele de proiectare – care în general sunt dimensiuni ale elementelor principale de structură ale navei. Prin utilizarea unor programe de optimizare au fost obţinute proiecte mai eficiente faţă de cele care s-ar fi obţinut pe baza Regulilor standard de Registru. Ca exemplu se citează cazul unei nave cisternă de 96.000 tdw. pentru care s-a obţinut o reducere de 6% a costului iniţial (cca 1,2 mil. dolari la nivelul anilor ’990) şi de 13% dacă se ţine seama şi de creşterea capacităţii de transport pe toată durata ei de viaţă. III. Etapa a treia are în vedere detaliile constructive (îmbinări, întărituri, decupări etc). Deşi de multe ori este minimalizată importanţa proiectării de detaliu, trebuie menţionat faptul că realizarea corectă a detaliilor constructive contribuie la obţinerea unor nave cu rezistenţă bună la oboseală şi cu durată sporită de viaţă. Datorită numărului mare de elemente de detaliu, proiectarea acestora se recomandă a se face pe baza Regulilor de Registru sau a unor Normative standard elaborate pe baza experienţei de exploatare şi a cercetărilor teoretice şi experimentale efectuate pe structuri de nave reale în exploatare sau/şi în laboratoare, pe modele ale acestora. În proiectarea de detaliu un rol de seamă îl au factorii tehnologici. În general, nici aceste aspecte nu sunt abordate în prezentul curs. În etapa de proiectare preliminară a structurilor inginerul este pus în faţa următoarelor trei probleme principale, menţionate deja anterior şi cunoscute din cursul de Rezistenţa materialelor : 1) problema forţelor exterioare ; 2) problema forţelor interioare ; 3) problema stărilor limită. 1) Problema forţelor exterioare constă în stabilirea forţelor ce acţionează asupra navei în ansamblu şi asupra structurilor componente ale acesteia în timpul construcţiei, lansării, exploatării (în orice condiţii de marş şi variante posibile de încărcare) şi eventualelor reparaţii. Forţele exterioare pot fi clasificate după multe criterii. Într-o primă clasificare, forţele ce acţionează asupra navei în ansamblu se pot împărţi în două categorii: 1a) greutăţi (corpul şi echipamentele navei, marfa sau/şi pasagerii transportaţi, echipajul şi proviziile); 1b) forţe exterioare ce apar datorită acţiunii mediului (reacţiuni exercitate asupra navei de calele de construcţie şi lansare, presiuni exercitate de apă, vânt etc.). *) Forţele din prima categorie (1a) au caracter determinist şi se pot obţine relativ simplu. La fel stau lucrurile cu acele forţe exterioare din a doua categorie care apar datorită acţiunii mediului în timpul operaţiilor de construcţie, lansare, încărcare-descărcare, reparare). Forţele exterioare care apar datorită acţiunii mediului exterior (1b) în timpul marşului – perioada cea mai lungă din viaţa multor nave – sunt cauzare de presiunile ce apar la plutirea în apă liniştită şi de cele suplimentare cauzate de vânt şi valuri (presiuni de val, forţe de inerţie, şocuri şi vibraţii – slamming, springing). Spre deosebire de forţele de presiune care apar la plutirea în apă liniştită, efectele produse în corpul navei de forţele suplimentare menţionate pot fi evaluate numai prin utilizarea metodelor probabilistice, considerând starea mării ca un fenomen aleator. Dar chiar şi prin utilizarea metodelor statistice, evaluarea forţele suplimentare cauzate de vânt şi valuri păstrează totuşi un pronunţat caracter convenţional. †) 2) Problema forţelor interioare constă în stabilirea eforturilor, tensiunilor şi deplasărilor ce apar în elementele structurilor de rezistenţă ca urmare a forţelor exterioare ce acţionează asupra lor. Răspunsurile la aceste probleme se obţin în cadrul analizelor structurale. Având în vedere marea varietate a forţelor ce solicită corpul navei şi structurile lor de rezistenţă, metodele analizei structurale trebuie să ofere posibilitatea de a rezolva structuri încărcate cu orice sisteme de forţe, posibile din punct de vedere fizic.

*) O altă clasificare a forţelor exterioare se referă la modul în care acestea acţionează în timp asupra structurii. Din acest

punct de vedere ele pot fi statice şi dinamice. În categoria forţelor statice se includ şi forţele cvasistatice – care sunt forţe dinamice cu o perioadă de variaţie apreciabil mai mare decât perioada armonicii fundamentale a vibraţiilor libere ale structurii. Corespunzător acestor două categorii de forţe exterioare, analizele structurale pot fi statice sau dinamice. În funcţie de caracterul liniar sau neliniar al relaţiei dintre forţe şi deplasările pe care ele le produc, analizele dinamice pot fi efectuate în “domeniul frecvenţe“ sau în “domeniul timp“. Pe de altă parte, în funcţie de maniera de definire a forţelor exterioare, analiza răspunsului unei structuri poate fi deterministă sau probabilistă.

†) În general, stabilirea forţelor exterioare necesită cunoştinţe evoluate de mecanică, matematică, teoria navei, hidrodinamică etc. Determinarea forţelor suplimentare cauzate de vânt şi valuri reprezintă o problemă de graniţă a proiectării preliminarii – ce revine mai ales hidrodinamicienilor.

Introducere – Modelări în Statica structurilor

3

3) Problema stărilor limită apare în mod firesc la normare, atunci când se stabilesc condiţiile de funcţionare ce asigură fiabilitatea structurilor de nave. Pentru o normare corectă este evident necesar să se ştie cât mai corect stările limită ce pot apare în diverse situaţii critice, pentru a fi evitate. Deşi unele stări limită sunt evidenţiate în Normele de Registru, în ultimul timp inginerii sunt tot mai frecvent puşi în situaţia de a evalua stări limită neconvenţionale care nu sunt reglementate prin Reguli sau de a preciza prin calcul pe cele care sunt doar presupuse. Aceste probleme sunt deosebit de complexe şi rezolvarea lor nu poate fi concepută fără o profundă cunoaştere a proceselor de analiză structurală. Se remarcă faptul că, în condiţiile în care forţele suplimentare cauzate de vânt şi valuri precum şi forţele interioare corespunzătoare lor sunt tratate ca fenomene stohastice, problema stărilor limită trebuie de asemenea privită de pe poziţii probabilistice. Pentru rezolvarea problemelor sale, proiectantul de structuri face apel la o serie de metode analitice şi numerice. Deşi au un domeniu limitat de aplicabilitate permiţând numai rezolvarea problemelor relativ simple, metodele analitice stau la baza dezvoltării unor eficiente metode numerice. Pentru folosirea corectă a metodelor numerice, este necesară înţelegerea fenomenelor fizice care se realizează în cea mai mare măsură tocmai în procesul de stabilire a ecuaţiilor diferenţiale care descriu fenomenul studiat. Numai pentru acei ingineri care înţeleg în profunzime fenomenele fizice şi care apelează şi utilizează corect cele mai adecvate metode numerice de analiză, multitudinea de programe de calculator existente reprezintă instrumente reale şi utile în rezolvarea problemelor complexe de calcul a structurilor. Altfel, apare riscul ca numeroasele softuri existente să rămână pentru ei adevărate cutii negre. Obiectivul principal al cursului este prezentarea unora dintre cele mai importante aspecte ale proiectării structurale preliminare. Se vor urmări problemele de bază ale modelarii în vederea analizei statice a structurilor dar şi cele privind condiţiile în care pot apare stări limită (deformare plastică, instabilitate a configuraţiei de echilibru) ale unor elemente primare ale structurilor şi a navei în ansamblu, evaluarea corectă a acestor condiţii reprezentând problema esenţială în normare şi în sinteza structurală. Aspectele privind cedarea prin rupere fragilă şi oboseală necesită o examinare aparte. Această scurtă prezentare a obiectului şi problemelor cursului de Statica structurilor are menirea de a evidenţia importanţa pe care o are cursul în pregătirea unui viitor inginer ce îşi va desfăşura activitatea în domeniul ingineriei navale, chiar dacă el va fi implicat doar în procese de producţie sau exploatare – deoarece rezolvarea corectă în domeniul naval a multor probleme practice necesită o erudită cultură tehnică. Pentru acei ingineri ce vor lucra direct în proiectarea structurilor, cunoştinţele cuprinse în acest curs reprezentă doar o iniţiere, fiind necesară completarea şi adâncirea lor prin studierea vastei bibliografii de specialitate existentă.

MODELĂRI ÎN STATICA STRUCTURILOR Analiza unei structuri este precedată de definirea modelul fizic pe baza căruia se stabileşte modelul

matematic de analiză propriu-zisă. Analiza este urmată de interpretarea rezultatelor, operarea unor modificări şi/sau repetarea analizei sau unor părţi ale acesteia. A defini modelul fizic înseamnă a stabili schema de calcul. Structurile reale prezintă o multitudine de particularităţi geometrice (dimensionale şi de formă), constitutive (de material) şi mecanice (interacţiuni). A ţine seama în calcule de toate particularităţile structurii reale nu este posibil, dar nici nu este neapărat necesar. Acceptând o serie de simplificări (ipoteze), structura reală se înlocuieşte cu un model (schemă de calcul), căruia i se ataşează un număr redus din atributele structurii reale. Prin astfel de simplificări se obtine o modelare geometrică, de comportare a materialului şi de interacţiune a structurii studiate cu cele învecinate.

MODELAREA GEOMETRICĂ

Cele mai simple modele geometrice utilizate în studiul structurilor marine sunt elementele primare cunoscute din cursul de Rezistenţa materialelor (bare, plăci, masive), utilizate larg şi în analizele prin Metoda Elementelor Finite (MEF) – în care se mai folosesc diverse aşa numite super- sau macro-elemente. Barele sunt elemente de structură care au o dimensiune predominantă faţă de celelalte două. Ele sunt definite geometric prin axă şi secţiune transversală. Axa barei este locul geometric al centrelor de greutate ale

secţiunilor sale transversale. Barele pot fi clasificate din punct de vedere al formei şi dimensiunilor axei şi secţiunii transversale precum şi după tipul de încărcare ce impune o anumită metodă de calcul. Pe parcurs se vor prezenta aspecte specifice modelării geometrice a barelor din alcătuirea structurilor de rezistenţă ale navelor precum şi a conexiunilor dintre ele (zone rigide sau deformabile la extremităţi, fâşii adiţionale etc.). Plăcile sunt elemente de structură care au două dimensiuni predominante faţă de a treia. Plăcile au ponderea cea mai mare în greutatea totală a corpului navei. Geometric, o placă este definită prin grosime şi suprafaţa mediană. Plăcile pot fi clasificate după forma suprafeţei mediane şi conturul acesteia, după mărimea


4

E/2G – 1).

grosimii plăcii, după modul de încărcare şi comportarea plăcii la acţiunea acestora. Plăcile cel mai des întâlnite în alcătuirea structurilor de navă sunt cele dreptunghiulare, de grosime constantă. Pe parcurs vor fi prezentate aspecte specifice modelării acestora. Masivele au cele trei dimensiuni comparabile între ele. Ele sunt de o foarte mare diversitate. Apar mai rar în structura corpului navelor şi structurilor marine, întâlnindu-se la diverse maşini şi instalaţii, cum ar fi de exemplu palele, butucul şi conul elicei sistemului de propulsie. Barele şi plăcile intră în componenţa unor modele geometrice mai complicate cum sunt: grinzi continue, cadre (plane sau spaţiale), reţele de bare sau planşee – care sunt plăci consolidate cu nervurile sau/şi grinzile întărite ale osaturii. La nave de suprafaţă, marea majoritate a planşeelor sunt plane şi au contur dreptunghiular (planşee de fund, de punte, de bordaj etc). Două planşee plane, paralele, situate unul faţă de celălalt la distanţă relativ mică în comparaţie cu dimensiunile din planul lor, solidarizate între ele prin diafragme, formează un planşeu dublu (dublu fund, dublu bordaj etc.). Din punct de vedere geometric, corpul navei are o structură foarte complexă. Grosier, el poate fi asimilat cu o grindă cheson de mari dimensiuni, alcătuită dintr-un înveliş exterior (bordaje, punte, fund) rigidizată cu diafragme transversale (pereţi transversali) şi longitudinale (pereţi longitudinali, punţi intermediare, dublu înveliş) – care sunt planşee simple sau duble. O analiză riguroasă a structurii întregului corp al navei se poate efectua prin MEF, considerând-o ca un ansamblu de planşee formate la rândul lor din plăci, grinzi întărite, nervuri, gusee. Astfel de analize necesită un mare efort material (de modelare şi timp de calculator), mai ales în probleme de stări limită. Ele au eficienţă maximă şi se justifică atunci când încărcările de calcul sunt apropiate de cele reale iar normarea valorilor admisibile pentru efectele încărcărilor are o bază sigură, ştiinţific argumentată. Convenţionalitatea admisă încă pentru sarcinile de calcul şi nivelul limitat de cunoaştere a stărilor limită în toată complexitatea lor pledează pentru efectuarea de analize pe modele simplificate ale corpului navei sau pe modele ale unor zone limitate ale acestuia. Cel mai uzual model simplificat al corpului navei este modelul de bară numit grinda navă, utilizat încă frecvent în practica proiectării navale. Nave petrolier cu 2-3 pereţi longitudinali sunt modelate uneori ca reţele ortogonale de bare constituite din planşeele verticale (bordaje şi pereţi longitudinali respectiv transversali); planşeele orizontale se includ într-un astfel de model ca fâşii adiţionale. În ultima vreme se efectuează frecvent analize pe module de corp, constituite din câteva compartimente din zona centrală a navei. Indiferent de modelul de analiză adoptat, modelarea geometrică este o etapă complexă care poate fi rezolvată corect dacă sunt bine stăpânite toate problemele proiectării preliminare.

MODELAREA COMPORTĂRII MATERIALELOR

Materialele din care sunt confecţionate structurile metalice se consideră continue, adică se mediază interacţiunile discrete dintre particulele acestor materiale şi se face abstracţie chiar şi de structura lor cristalină. În afara continuităţii, se acceptă şi ipoteza omogenităţii materialelor. În calculul structurilor, comportarea materialelor se modelează prin relaţii constitutive care au forma generală f (Tσ , Tε , t, T) = 0, unde Tσ , Tε sunt tensorii stării de tensiune respectiv deformaţie iar t şi T sunt timpul respectiv temperatura. La solicitarea monoaxială, cel mai simplu model constitutiv folosit larg în analiza structurilor este modelul liniar al Elasticităţii clasice (modelul Hooke) exprimat prin relaţia σ = E ε, unde E este modulul lui Young (modul de elasticitate longitudinal). La solicitarea de forfecare pură (răsucire liberă), legea lui Hooke este dată de relaţia τ = G γ, unde G este modulul lui Kirchhoff (modulul de elasticitate transversal). La solicitări spaţiale, în absenţa efectelor termice, modelul Hooke se exprimă prin relaţia matriceală σ = D ε , unde σ şi ε sunt matrice coloană ale căror elemente sunt componentele distincte ale tensorilor Tσ respectiv Tε iar D este matricea constantelor elastice ale materialului. Frecvent, structurile de nave se confecţionează din materiale metalice cu proprietăţi de izotropie, caracterizate în elastic de constantele E şi G (uneori se foloseşte coeficientul lui Poisson, υ =

MODELAREA ÎNCĂRCĂRILOR

În principiu, orice structură (bară, cadru, placă, planşeu etc) poate fi studiată separat cu condiţia să fie determinate toate interacţiunile acesteia cu exteriorul. Aceste interacţiuni reprezintă forţe exterioare pentru structura studiată. Ele pot fi cunoscute sau necunoscute (urmând a fi determinate). Atunci când sunt cunoscute, interacţiunile cu exteriorul ale unei structuri se numesc încărcări sau sarcini exterioare. Ele pot fi nu numai mecanice dar şi termice. La nave şi structuri marine încărcările mecanice provin din acţiunea mediului exterior (presiunea mărfii, apei şi vântului) şi din greutatea proprie. Primele se aplică pe suprafaţa exterioară (S) a structurii şi se numesc încărcări superficiale (de suprafaţă) notându-se

Introducere – Modelări în Statica structurilor

5

p = p ( px , py , pz) < F/L2 > . (1.1)

Încărcările din greutatea proprie se numesc volumice. Pentru notare se foloseste simbolul b (body forces), b = b (bx , by , bz) < F/L3 > . (1.2)

1

Fig. 1.1

Funcţie de dimensiunile zonei pe care acţionează şi de modelul geometric adoptat în studiul unei structuri, forţele superficiale şi cele volumice pot fi înlocuite cu forţe concentrate (Q) sau distribuite liniar (q),

Q = Q (Qx, Qy, Qz) < F > , q = q (qx, qy, qz) < F/L > . (1.3)

Cuplurile de forţe concentrate sau de forţe distribuite liniar pot fi înlocuite prin momente concentrate (M) sau distribuite liniar (m ), M = M (M x, M y, M z) < FL > , m = m (mx, my, mz) < FL/L > . (1.4) Înlocuirea interacţiunilor reale (superficiale, volumice) prin mărimi globale (q, Q, M, m) echivalente d. p. d. v. static cu cele reale este utilă în studiul structurilor alcătuite din bare şi/sau plăci dar nu permite analiza unor stări locale de tensiune. La modelarea încărcărilor trebuie să se ţină seama de metoda de analiză folosită şi de natura structurii studiate, pentru a nu se denatura răspunsul acesteia. Se consideră, de exemplu, corpul unei nave petrolier cu doi pereţi longitudinali (fig. 1.1, b) Pentru calculul încovoierii generale a navei ca o grindă, încărcările exterioare se pot modela prin sarcini distribuite liniar ca în figura 1.1, a, c). Dacă se ţine seama şi de încovoierea pereţilor transversali în planul lor (nava se calculează ca o reţea de bare), încărcările exterioare se pot modela ca în figura 1.1, d iar pentru calculul corpului navei prin MEF sau pentru analiza unui cadru transversal, trebuie considerată distribuţia reală a încărcării din figura 1.1, b. Cazurile tipice de încărcare şi distribuţiile corespunzătoare ale forţelor exterioare pentru diverse tipuri de nave este o problemă reglementată în general prin norme, prezentate în detaliu la cursul de Calculul şi construcţia navei iar stabilirea prin calcul direct a încărcării navei în mare reală reprezintă o problemă complexă de hidrodinamică.

BIBLIOGRAFIE 1. Beschea N., Rezistenţa materialelor – capitole speciale, EDP, Bucureşti, 1971 2. Hughes O. F., Ship Structural Design, Jersey City, 1988 3. Leonard Domnişoru, Metoda Elementului finit în Construcţii Navale, Editura Tehnică, Bucureşti, 2001 4. Modiga M., Mecanica construcţiilor de nave, Univ. Galaţi, 1980 5. Modiga M., Nicolau M., Mecanica construcţiilor de nave, Culegere de probleme, Univ. din Galaţi, 1979 6. Olaru V. D., Dimache A., Modiga M., Rezistenţa materialelor, EDP, Bucureşti, 2004 7. Modiga M., Dimache A., Olaru D., Statica structurilor de nave, Ed. Academica, Galaţi, 2005 8. Stoicescu L., Rezistenţa materialelor, vol. I, II, Editura Evrika, Brăila, 2004 9. Stoicescu L., Modiga M., Metode matriceale în Teoria structurilor de nave, Inst. Polit. Galaţi, 1973 10. *** Manual pentru calculul construcţiilor, Editura Tehnică, Bucureşti, 1977

a

q c

d)

q

bqj

MODELAREA LEGĂTURILOR

Conexiunile structurii studiate cu cele învecinate, conexiuni în care apar interacţiuni necunoscute, se numesc legături. Conexiunile se realizează pe suprafeţele exterioare ale structurii, deci legăturile au caracter distribuit. În consecinţă, interacţiunile din legături sunt forţe distribuite. Ele pot fi considerate concentrate atunci când conexiunile se realizează pe suprafeţe foarte mici. De obicei, legăturile distribuite se modelează prin legături concentrate, dispuse discret pe suprafaţa/linia pe care se face conexiunea. Legăturile restricţionează parţial sau total unele deplasări. Forţele sau/şi momentele care apar în legături se numesc forţe de legătură sau reacţiuni.

Fig. 1

Legături rigide

Legăturile pot fi rigide sau deformabile. Legăturile rigide sunt idealizări ale legăturilor reale care întotdeauna sunt deformabile, în particular elastice. Legăturile rigide, cunoscute din Mecanică, sunt reprezentate grafic în figurile 1. Ele pot fi: reazeme simple (fig. 1, a), articulaţii (în figura 1, b este reprezentată o articulaţie cilindrică) şi încastrări (în figura 1, c este reprezentată o încastrare plană fixă iar în figurile 1, d şi 1, e sunt reprezentate încastrări plane deplasabile – pe orizontală respectiv pe verticală). În figurile 1, deplasările permise de legături sunt reprezentate cu linii întrerupte. Deplasările nereprezentate sunt nule.

Legături elastice. Rigiditatea legăturilor elastice

Legăturile reale nu sunt rigide. Cele mai simple legături nerigide sunt cele liniar-elastice. O modalitate comodă de evidenţiere şi de lucru cu legăturile – oricât de complexe ar fi acestea – este înlocuirea lor cu legături simple ce operează după o singură direcţie. Ele pot fi de translaţie şi de rotaţie. O legătură elastică simplă se referă deci numai la translaţia sau numai la rotaţia pe o direcţie. Legăturile elastice simple de translaţie şi de rotaţie vor fi numite în continuare reazeme elastice respectiv încastrări elastice. Ele se pot reprezenta grafic în diferite moduri, de exemplu ca în figurile 2, a, b. Cantitativ, o legătură liniar-elastică simplă este caracterizată de rigiditatea ei, care este o constantă. Rigiditatea unei legături liniar-elastice simple dispusă pe o direcţie dată este forţa (în cazul unui reazem elastic) sau momentul (în cazul unei încastrări elastice) care produce legăturii o deplasare unitară. Deplasarea este liniară în cazul unui reazem elastic şi unghiulară în cazul unei încastrări elastice. Dacă se folosesc notaţiile Q, pentru forţa sau momentul aplicat legăturii elastice şi Δ, C, pentru deplasarea respectiv rigiditatea ei, ecuaţia unei legături elastice simple se scrie sub forma generală

Q = C Δ . (1)

Rigiditatea C depinde numai de caracteristicile geometrice şi mecanice ale legăturii, deci în relaţia (1) se pot folosi orice alte simboluri. Dacă se folosesc notaţiile din figura 2, rigidităţile legăturilor elastice simple de translaţie respectiv de rotaţie se determină din relaţiile:

1 ,F NC Fmυυ Δ =

υ= =

Δ ; 1 ,r

M NmC Mradυυ θ =

υ= =

θ . (2)

În continuare, frecvent, rigiditatea unui reazem elastic se va nota cu simbolul C iar rigiditatea unei încastrări elastice se va nota cu simbolul K. Pentru determinarea rigidităţii unei legături elastice se încarcă structura-legătură cu o forţă F sau cu un moment M în punctul (secţiunea) de conexiune cu structura analizată, se determină deplasarea liniară (Δ) sau unghiulară (θ) care apare şi se aplică apoi relaţia corespunzătoare din (2). Pentru obţinerea deplasărilor menţionate se folosesc metodele cunoscute din Rezistenţa materialelor (în unele cazuri, problema determinării

a

e

b

d

c

sau sau sau

sau sau


2

Fig. 2

Fig. 3

În figura 3 sunt arătate deformatele a două bare cu rezemări elastice. Rigidităţile legăturilor elastice pot

portantă că structura-legătură nu trebuie să fie încărcată (în afară de forţa

rigidităţii unei legături elastice poate fi comparabilă ca dificultate sau chiar mai complicată decât calculul propriu-zis al structurii la care se utilizează acea rigiditate).

avea orice valoare nenegativă. Valoarea infinită corespunde legăturii rigide iar cea nulă indică absenţa legăturii (v. exemplul din figura 3, b). Se face observaţia im(momentul) care se introduce pentru aflarea deplasării necesare determinării rigidităţii). În caz contrar, structura-legătură trebuie inclusă în cea studiată.

C C C

Δ2

R2

R2 = C2 Δ2R1 = C1 Δ1

R3 = C3 Δ3

R1 F R3

q

F

C C C

CCC

C C2 = ∞ C3 C= 0

R1 R1 = C1 Δ1

Δ1 Δ3

F

R2

Δ 0 2 =

R3 = 0

a)

b)

Δ3

Δ1

23

11 2 3

qj

C2 =∞

1 2 3

1 2 3

12 3

C3 = 0

jLegătură simplă de l

jLegătură simplă de jLegătură dublăj

υ

F

υ

Δυ

(Cυ)

F

υ (Cυ)

Δυ

Cυ , Crυ (Crυ)

Structura studiată

b) c

M(Crυ) θυ υ

M

θ

a

(Cυ)

(Cυ)

(Crυ)

(υ) (υ)

Structura

Structur

θυ

M

a

(Crυ)

M F υ (θυ) (Δ

Cυ , Crυ

υ)

Modelarea legăturilor

3

Grad de încastrare

În calculul barelor şi plăcilor se utilizează frecvent noţiunea de grad de încastrare al unei încastrări elastice, ca raport între momentul M care apare în acea încastrare şi momentul M ce ar apare în aceeaşi încastrare dacă aceasta ar fi rigidă, la acţiunea aceloraşi încărcări (v. fig. 4),

M

ρ =M

. (3)

Gradul de încastrare variază între 1 şi 0. Când ρ = 1 încastrarea elastică devine rigidă (C = ∞ şi M = M, fig. 4, b) iar când ρ = 0 ea devine o articulaţie (C = 0 şi M = 0, fig. 4, c). Momentul M variază între M şi 0.

K, K,

Fig. 4

Între C şi ρ există o legătură care poate fi uşor stabilită. Pentru grinzile din figurile 4, a şi b încărcate simetric, rotirile extremităţii din stânga au expresiile

( )1 1 3 6

aQ

M l M lEI EI

θ = θ − − , ( )1 1 0

3 6b

Ql l

EI EIθ = θ − − =

M M ,

de unde rezultă

1 1(1 )

2 1lEI K EI Kl

−ρ = ρ ⇒ ρ =+

M M2 /( )

. (4)

Influenţa legăturilor elastice asupra stării de tensiune în structură

La structuri static determinate, prezenţa legăturilor elastice nu influenţează starea de tensiune ci numai deplasările. Se dă un exemplu simplu. Momentul încovoietor în secţiunea de la mijlocul deschiderii grinzii care este rezemată elastic în stânga este q l 2 / 8, acelaşi ca la grinda rezemată rigid în stânga (v. fig. 5, b), dar săgeata la mijlocul grinzii din figura 5, a este 5ql

4 / (384EI) + ql / (4C), în timp ce pentru grinda din figura 5, b (unde C = ∞) are valoarea 5ql

4 / (384EI). La structuri static nedeterminate, rigiditatea legăturilor elastice influenţează nu numai asupra deplasărilor ci şi asupra stării de tensiune. Astfel, dacă grinzii din figura 5, c i se introduce la mijloc un reazem elastic de rigiditate C ≠ 0, ea devine static nedeterminată (v. fig. 5, d). Momentul la mijlocul grinzii este dependent de mărimea rigidităţii C. El are valori situate între limitele 8ql

2/ 64 (pentru C = 0, v. fig. 5, a) şi –

3ql 2/ 64, valoare care se obţine prin rezolvarea grinzii continue din figura 5, e, cu C = ∞.

a

MQ

M

θ

Q

M = 0 M = 0

ρ = 0

ρ= 1ρ

M MQ

b)

K = ∞, ρ = 1

M

MM M

K = ∞,ρ= 1

c

K = 0, ρ = 0 K = 0,ρ= 0

M

θ = 0 θ= 0 M

M


4

Fig. 5

Gruparea legăturilor elastice Grupând o legătură de translaţie cu una de rotaţie se obţine o legătură dublă, care se va reprezenta grafic în prezentul curs ca în figura 2, c. Este posibil ca o legătură elastică simplă (de translaţie sau de rotaţie) să fie constituită din mai multe elemente elastice cărora li se cunosc sau li se pot afla uşor rigidităţile Ci. În funcţie de modul de cuplare a elementelor elastice componente – în serie sau în paralel – rigiditatea echivalentă C a legăturii elastice se poate determina folosind relaţiile cunoscute

11/

serie

ii

CC

=∑

, paralelii

C C=∑ . (5)

Mediu continuu elastic

Considerarea conexiunilor continue ale unei structuri cu alte medii elastice este o problemă complexă de teoria elasticităţii. Pentru scopuri practice, mediile elastice continue au fost modelate. Cel mai simplu model este cel propus de Winkler (Fig. 6, b)

Fig. 6 Mediul continuu elastic se înlocuieşte cu o infinitate de reazeme liniar-elastice independente care înlocuieşte, în vederea calculului, grinda din figura 6, a aşezată pe un mediu continuu elastic (de ex. pământ afânat). Schematic, mediul continuu elastic se reprezintă ca în figura 6, c. Când se încarcă grinda, mediul elastic respectiv reazemele liniar-elastice independente se deformează. Dacă se notează cu k(x) rigiditatea mediului elastic, egală cu rigiditatea echivalentă a reazemelor elastice la abscisa x, montate în paralel pe

lungimea unitară a grinzii, se poate scrie relaţia 2( )( ) / ( ) ( ) ( )( )

r xk x N m r x k x w xw x

= ⟨ ⟩ ⇔ = , (6)

unde w(x) este săgeata grinzii egală cu a mediului elastic la abscisa x, iar r(x) este intensitatea reacţiunii (reacţiunea pe lungimea unitară) la aceeaşi abscisă. Rigiditatea k(x) depinde de caracteristicile mediului elastic. În absenţa altor rezemări, echilibrul de forţe şi de momente în stare deformată a grinzii pe mediu elastic se exprimă prin relaţiile , [ ( ) ( )]d 0

lq x k w x x− =∫ [ ( ) ( )] d 0

lq x k w x x x− =∫ . (7)

Mediul elastic poate exista în mod fizic, ca la modelul de grindă-navă în plutire, sau poate apare prin '' distribuirea '' rigidităţii unei succesiuni de reazeme elastice concentrate dispuse la distanţe relative mici.

a)

1r(x) = k(x) w(x)

d

z

l, EIy

x

c

b)

r(xx

k(x) k(x)

q(x)

z(wr(x

w (x)

l

x

C EI, l

q

a

q

EI, l C = ∞

C

cC =

q

l/2 l/2 d

q

l/2b e

C = ∞

SCHEMA GENERALĂ DE STUDIU A BAREI

Bara este cea mai simplă structură, posedând toate atributele esenţiale ale unei structuri complexe. Ea este formată dintr-un element de bară şi două noduri situate la extremităţile elementului de bară (v. fig. 1). Nodurile au rolul de conexiune a elementului de bară cu exteriorul. Elementul de bară este definit geometric de axă şi secţiune – care este transversală pe axă. Lungimea l a elementului de bară se măsoară de-a lungul axei sale între noduri – notate cu 1 şi 2 în schema din figura 1. Sistemul de referinţă la care se raportează bara este drept, cu originea în centrul de greutate al secţiunii situată la o extremitate a barei, cu axa x orientată către cealaltă extremitate şi cu axele y, z după direcţiile principale de inerţie ale secţiunii. Barele din componenţa structurilor de navă sunt confecţionate din profiluri subţiri. Caracteristici geometrice principale ale secţiunii transversale a barei: A – aria secţiunii transversale ; Afz , Afy – arii la forfecare, adică ariile prin care sunt preluate forţele tăietoare după axele z respectiv y ; pentru secţiuni alcătuite din profiluri subţiri, forţa tăietoare Tz (Ty) este preluată practic numai de elementele care sunt dispuse în secţiune paralel cu axa z ( y), prin tensiuni tangenţiale τzx

(τyx) constante pe grosimea acelor elemente dar variabile în lungul lor. După cum se va vedea, această variaţie este suficient de mică faţă de valoarea medie a lor, astfel încât tensiunile tangenţiale se consideră de obicei distribuite uniform pe ariile de forfecare; χz , χy – coeficienţi dependenţi de forma secţiunii, care ţin seama în calculul deplasărilor de neuniformitatea distribuţiei în secţiune a tensiunilor tangenţiale şi lunecărilor specifice corespunzătoare; Iy , Iz – momente de inerţie faţă de axele centrale principale y, z; It – moment de inerţie la torsiune ; atunci când în studiul răsucirii se consideră efectul de împiedicare a deplanării, apar şi alte caracteristici geometrice – prezentate şi studiate la cursul de Rezistenţa materialelor. Constitutiv, elementele de bară se consideră caracterizate de un set de constante elastice. Dacă sunt confecţionate din materiale izotrope, elementele de bară sunt complet definite constitutiv de

modulul de elasticitate al lui Young (E ) şi de coeficientul lui Poisson (υ). Încărcările (sarcinile) pot fi forţe şi momente concentrate aplicate direct pe noduri şi încărcări aplicate pe deschiderea elementului de bară. Forţele şi momentele aplicate direct în nodurile 1 şi 2 au fiecare câte 3 proiecţii pe axe, considerate pozitive când sunt orientate după direcţiile pozitive ale axelor sistemului de referinţă. Forţele şi momentele aplicate fiecărui nod formează vectorii , fiecare cu câte 6 elemente. Vectorul cu 12 elemente

*1 ,Q Q*

2

*)

(1) * * *1 2{ }T T T=Q Q Q

este vectorul forţelor aplicate direct nodurilor. Încărcările aplicate pe deschidere se vor nota simbolic cu (q) (a nu se confunda cu notaţia q care a fost folosită în capitolul 2 pentru forţele interioare la structurile liniar-elastice). Uneori ele sunt numite sarcini interne.

*) În continuare va fi acceptată denumirea de vector pentru o matrice coloană. Un vector transpus este o matrice linie.


2

Conexiunile cu exteriorul se realizează prin legături elastice aplicate nodurilor. Legăturile rigide sunt cazuri particulare ale celor elastice. Dacă pe direcţiile axelor sunt aplicate în noduri legături simple elastice de translaţie şi de rotaţie, rigidităţile acestora se includ în matricea diagonală,

, 1

2

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦

C 0C

0 C

ix

ixr

iyi

iyr

iz

izr

CC

CC

CC

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

C , i = 1, 2 . (2)

Pentru o legătură dublă aplicată în i (i = 1, 2) după o direcţie oarecare υ (l, m, n), cu rigiditatea Ca pentru translaţie şi Ct pentru rotaţie, matricele Ci au forma (v. p. 1.4.5)

( )2

2

2

2

2

2

i

a

i

t

l lm lnml m mn Cnl nm n

l lm lnC ml m mn

nl nm n

⎡ ⎤⎢ ⎥×⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥×⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

C , i = 1, 2 . (3)

Răspunsul barei având legături elastice cu rigidităţile C şi supusă acţiunii încărcărilor (q) şi poate fi complet determinat dacă este cunoscut vectorul Δ al deplasărilor nodurilor – aceleaşi cu deplasările extremităţilor elementului de bară,

*Q

1 2T T T= { }Δ Δ Δ . (4)

În general, vectorul Δ are 12 componente, câte 6 la fiecare extremitate: 3 componente pe axe ale vectorului deplasare liniară şi 3 componente pe axe ale vectorului deplasare unghiulară. Componentele vectorului Δ sunt pozitive când sunt orientate în sensurile pozitive ale axelor sistemului de referinţă. Deplasările necunoscute Δ se obţin din analiza globală care constă în stabilirea şi rezolvarea ecuaţiilor de echilibru a barei. O bară este în echilibru când sunt în echilibru nodurile sale. Acestea sunt în echilibru sub acţiunea încărcărilor exterioare aplicate direct asupra lor, forţelor (– F )

transmise de la elementul de bară şi reacţiunilor (– CΔ) din legăturile elastice (semnul ”–” apare din cauză că reacţiunile se opun deplasărilor). Sub formă matriceală, echilibrul nodurilor este dat de ecuaţia (s-au păstrat notaţiile folosite la prezentarea MEF în cadrul capitolului 2)

*Q

– CΔ – F + = 0 . (5) *Q

Vectorul F conţine eforturile de la extremităţile elementului de bară. Fiind cauzate de încărcările (q) şi de deplasările Δ, expresiile componentelor vectorului F se obţin în două etape, folosind principiul superpoziţiei. 1. În prima etapă se consideră deplasările Δ nule şi se notează cu

Fq = { }1 2TT T

q qF F (6)

vectorul forţelor şi momentelor care apar la extremităţile fixe ale elementului de bară datorită încărcărilor (q). Acestea trebuie să fie evident în echilibru cu încărcările (q). Pentru obţinerea forţelor Fq este suficient să se determine reacţiunile pentru elementul de bară încastrat la capete şi încărcat cu

Bara – Schema generala de studiu

3

1

2

⎫⎬⎭

sarcinile (q). Determinarea forţelor Fq reprezintă o problemă locală, întrucât poate fi rezolvată indiferent de încărcările nodale şi de condiţiile la limită impuse prin legături. Forţele

Qo = – Fq (7)

transmise nodurilor de către elementul de bară în condiţia Δ = 0 se numesc sarcini de pe deschidere reduse la noduri. Ele transmit la noduri acţiunea sarcinilor interne, de aceea uneori sunt numite sarcini externe echivalente cu cele interne. Sarcinile de pe deschidere intervin în echilibrul nodurilor (deci în analiza globală a barei) tocmai prin aceste forţe Qo. 2. În a doua etapă se consideră nule încărcările (q) şi se notează cu FΔ forţele şi momentele (compatibile cu deplasările Δ şi autoechilibrate evident) de la extremităţile elementului de bară. În calculul liniar, între vectorii FΔ şi Δ se poate scrie relaţia

FΔ = k Δ , (8)

unde matricea pătrată k este matricea de rigiditate a elementului de bară. Elementele acestei matrice sunt mărimi constante care depind de caracteristicile geometrice şi mecanice ale elementului de bară (l, A, Afz, Afy, χz, Iy, Iz, It, E, υ). Scriind relaţia (8) sub forma partiţionată

1 11 12

2 21 22

Δ

Δ

⎧ ⎫ ⎡ ⎤ ⎧=⎨ ⎬ ⎨⎢ ⎥

⎩ ⎭ ⎣ ⎦ ⎩

F k kF k k

ΔΔ

, (9)

se obţin expresiile (v. şi fig. 1)

FΔ1 = k11 Δ1 + k12

Δ2 , FΔ2 = k21 Δ1 + k22

Δ2 . (10)

Din relaţia evidentă

F = FΔ + Fq (11)

şi ţinând seama de (8) şi (7), rezultă ecuaţia

F = k Δ + Fq ⇔ F = k Δ – Qo , (12)

numită ecuaţia de echilibru a elementului de bară sau simplu ecuaţia elementului de bară. Ecuaţia de echilibru a nodurilor se obţine prin înlocuirea relaţiei (12)2 în (5). Rezultă ( k + C ) Δ = Q* + Qo , (13, a) sau K Δ = Q , (13, b) unde s-a notat K = k + C , (14, a) Q = Q* + Qo . (14, b)

Echilibrul nodurilor implică automat echilibrul elementului de bară, de aceea relaţia ((13, b) se numeşte ecuaţia de echilibru a barei sau simplu ecuaţia barei iar K este matricea de rigiditate a barei. Schema folosită la obţinerea ecuaţiei ((13) este prezentată în figura 1. Ca aspect şi semnificaţie fizică, relaţia matriceală ((13, b) este similară relaţiei scrisă pentru o legătură elastică simplă, însă este mult mai complexă, deoarece : – în locul unei singure deplasări, în ((13, b) intervin toate cele 12 componente ale deplasărilor nodurilor barei (Δ) ; – în locul unei singure forţe (sau moment) care apare în ecuaţia legăturii elastice simple, în ecuaţia de echilibru a barei intervin toate forţele, aplicate atât elementului de bară (prin Qo) cât şi direct nodurilor (prin ); *Q


4

– în locul rigidităţii C a unei legături elastice simple, în ((13, b) intervine matricea de rigiditate a barei (K), care conţine atât coeficienţii de rigiditate ai elementului de bară (k) cât şi rigidităţile tuturor legăturilor elastice aplicate la noduri (C).

Q*1ι

Q*2ι

Fig. 1

x

z y

(q )

(q )

Δ1 Δ2

– C1Δ1ι

Q*1ι

F1 = F1Δ –

F1Δ = k11 Δ1 + k12 Δ2 F2Δ = k21 Δ1 + k22 Δ2

F2 = F2Δ – Qο2ι

Q*2ι

– C2Δ2

C2x,

C2z,

1C1x,

C1y, C2y, C1z,

Bara 1–2i

(l, A, Afz, Afy, χz, Iy, Iz, It, E,

Elementul de bară 1–2

– Qo1 = F1qi

C1ι C2ι

2

F2q = – Qo2i

– CΔι + Q* + Qo – k Δ =

Qo1 – Qo

2 –

Q = Q* +i

K = k + Cj

K Δ = Qj

– F1

FΔ = k Δο

(k( F1Δ ) ( F2Δ )

– F2

Nodurile 1 2

1 2

ÎNCOVOIEREA BAREI ÎN PLANUL ZX, neglijând efectul FORFECĂRII Notaţii. Ipoteze

Se consideră un element de bară (v. fig. 1) încărcat cu sarcini distribuite (qz) şi cu forţe aplicate la extremităţi, notate F1 , F2 , F3 , F4. Elementul de bară considerat este solicitat la încovoiere în planul zx (încovoiere după axa y). Se notează cu Δ1, Δ2, Δ3, Δ4 deplasările secţiunilor extreme ale elementului.

Fig. 1

Vectorii formaţi cu forţele F1 , F2 , F3 , F4 şi cu deplasările Δ1, Δ2, Δ3, Δ4 se notează

Fy = {F1 F2 F3 F4}T , Δy = {Δ1 Δ2 Δ3 Δ4}T . (1)

În secţiunile transversale ale elementului de bară apar momente încovoietoare şi forţe tăietoare. Relaţiile între (qz), Fy , Δy se pot obţine cu uşurinţă dacă se cunosc relaţiile generale de calcul pentru deplasări. Aceste relaţii se pot obţine pe baza a două teorii: – teoria Euler-Bernoulli (TEB) care ţine seama numai de momente încovoietoare ignorând prezenţa forţelor tăietoare; ea are la bază ipoteza secţiunilor plane şi normale la axa barei, conform căreia o secţiune plană şi normală la axa barei înainte de deformare, după deformare rămâne tot plană şi normală la axa deformată a barei; – teoria Timoshenko (TT) în care se ţine seama şi de prezenţa forţelor tăietoare; ea are la bază ipoteza secţiunilor plane, conform căreia o secţiune plană şi normală la axa barei înainte de deformare, după deformare rămâne tot plană, dar nu neapărat normală la axa deformată a barei; este evident că TEB este un caz particular al TT. În general, deplasarea liniară w(x) după axa z a centrului de greutate al secţiunii transversale a elementului de bară este dată de săgeata axei deformate care are două componente, date de încovoiere şi de forfecare,

w(x) = w b (x) + w s(x) . (2)

Deplasările date de încovoiere s-au notat cu indicele ” b ” (de la bending – încovoiere în lb. engleză) iar cele de forfecare cu indicele ”s ” (de la shear – forfecare în lb. engleză).

Unghiul tangentei la axa deformată este dat de relaţia,

atan (dw/dx) ≅ w ' = w 'b (x) + w's (x) . (3)

Corespunzător creşterilor pozitive pentru dw şi dx, unghiul w ' este pozitiv în sens trigonometric, adică invers faţă de sensul pozitiv al axei y. Rotirea secţiunii, notată θy (x), este pozitivă în sensul pozitiv al axei y (v. fig. 2, b). Ea are de asemenea două componente,

( ) ( ) ( )θ = θ + θb sy y yx x x . (4)

Întrucât '( ) ( )θ ≅ −by x w x (v. şi fig. 2, b), relaţia (4) devine

θy (x) = – w ' (x) + ( )θ s

y x . (5)

Fig. 2

x

z

y

a

(qz)

F3

F4 Δ3

Δ1l, Iy , Afz , χz F2

Δ2

Δ4 b

F1

+ w ' + θy

(y) w

dw

w ' =

dx x

a

x x

– w

'

z 90o

byθ

θ

sθy

b


2

Ecuaţia diferenţială a încovoierii. Tensiuni normale În teoria Euler-Bernoulli, w(x) = w b

(x) , '( ) ( )θ ≅ −y x w x , ( )θsy x = 0 (6)

şi (v. fig. 3) u(x, z) = z θy(x) = – z w'(x) . (7)

Din relaţia liniară a lui Cauchy se obţine deformaţia specifică liniară,

''∂θ∂ε = ε = = ≅ −

∂ ∂y

xu z zx x

w . (8)

Expresia neliniară a lui ε este dată de relaţia cunoscută din cursul de Rezistenţa materialelor,

''

' 2 3 / 2

( )d dd (1 )

ρ + θ − ρ θε = = = −

ρ θ ρ +y y y y

y y y

z z zww

, (9)

relaţie care devine (8) dacă se consideră . '2 1<<w

fig. 3

Din legea lui Hooke rezultă

''σ = ε = ≅ −ρy

iar din condiţia N = 0 (absenţa forţei axiale în secţiune) se obţine relaţia din care se determină poziţia axei neutre a secţiunii (poziţia axei y),

zE E E zw , (10)

d d 0 d= σ = = → =ρ∫ ∫ ∫A A A

0EN A z A z Ay

Din relaţia de echivalenţă dintre momentul încovoietor My şi momentul dat de tensiunile normale σ din secţiune, se obţine curbura 1/ρy ≅ – w'' în funcţie de My şi de rigiditatea EIy la încovoiere,

. (11)

2 ''d d= σ = → = ≅ −ρ ρ∫ ∫ y

y y yA Ay

E IE

y

M z A z A M E I w , (12)

unde I este momentul de inerţie al secţiunii faţă de axa y, y

2d= ∫y AI z A . (13)

Ţinând seama de ecuaţiile de echilibru ale unui element de bară, cunoscute din cursul de Rezistenţa materialelor,

2

2

d ddd ,

d d d= = − → =y yz −z z z

M MTT q

x x xq , (14)

mai rezultă relaţiile '' ' '' '', ( )( ) = − =y z yE I w T E I w qz , (15, a) sau, dacă mom

entul de inerţie este constant, ''' '''',= − =E I w T E I w qy z y z

Din . (15, b)

(10), (12)2 se obţine relaţia de calcul a tensiunilor normale din secţiunile unei bare solicitată la încovoiere în planul zx (formula Navier),

( )

( , )σ = y

y

M x zx z

I Tensiunile normale extreme (una maximă pozitivă şi alta minimă negativă) au expresiile

. (16)

90o90o

θy

z

w

z w

z

u

z

x (u)

a b)

x (u)

w

z

w

'

– u

zw

– θy = w

ρ

sa

ÎNCOVOIEREA BAREI ÎN PLANUL ZX – NEGLIJÂND FORFECAREA

3 σmax = My (x) / Wy(1) , ⎟ σmin⎟ = My (x) / Wy(2) , (17)

în care cu Wy(1) , Wy(2) s-au notat modulele de rezistenţă

Wy(1) = Iy /

zmax , Wy(2) = Iy /⎥ zmin⎟ . (18)

Valoarea absolută maximă a tensiunii normale este

max

( )σ = y

y

M xW

, (19)

unde Wy este modulul minim de rezistenţă,

max

= yy

IW

z . (20)

Observaţie. Din relaţia (16) se vede că tensiunile normale au aceeaşi valoare în punctele situate la aceeaşi distanţă faţă de axa y. Calcule mai exacte efectuate cu ajutorul aparatul matematic al teoriei elasticităţii, renunţând la ipoteza secţiunilor plane, arată că pentru secţiuni formate din înveliş, inimi şi platbandă liberă, în înveliş tensiunile normale au aceeaşi valoare numai dacă raportul l / b (l fiind lungimea barei iar b lăţimea platbandei) este suficient de mare. Pentru valori mici ale acestui raport, se constată o abatere sensibilă de la formula (16) bazată pe ipoteza secţiunilor plane. Se poate însă aplica şi în acest caz formula lui Navier, dacă lăţimea reală b se înlocuieşte cu o lăţime convenţională (mai mică decât cea reală), numită adiţională. Problema distribuţiei tensiunilor normale în platbandele unor astfel de grinzi reprezintă o problemă specială a elasticităţii plane.

Influenţa neomogenităţilor de material Există situaţii în care pentru realizarea unei grinzi (în particular grinda navă) se folosesc mai multe materiale, având module de elasticitate diferite, Ek. În aceste cazuri, relaţiile (11)1 şi (12)1 devin

d 0=∫ kAE z A ,

2

1d

=ρ ∫

y

kA

M

E z A . (21, a)

Dacă se consideră un modul de elasticitate de referinţă Eo (de obicei modulul de elasticitate al materialului care cantitativ este predominant), se exprimă modulele de elasticitate Ek prin relaţiile

oo

= =α ⇔ α kk k k

EE E

E . (22)

unde α sunt coeficienţi de transformare. Înlocuind (22) în (21, a), rezultă

, d 0α =∫ kAz A

2o

1d

=ρ α∫

y

kA

M

E z A . (23)

fig. 4

Aplicând coeficienţii de transformare (22)2 ariilor cu module diferite de elasticitate, secţiunea transversală devine

omogenă, având modulul de elasticitate Eo. Un exemplu este arătat în fig. 4. Astfel relaţiile (21, a) se pot scrie tot sub forma (11)2 şi (12)2, adică

d 0=∫trA

z A ; o

1=

ρy

y tr

ME I

, (21, b)

unde Atr = αA reprezintă aria transformată iar Iy tr este momentul de inerţie al ariei transformate faţă de axa determinată cu relaţia (21, b)1, 2d= ∫ tr

y tr AI z A . (21, c)

t ε σ

E1 = Eo

E2 = α2

α2 t

Eo

t α2 t

E

α2

α2 <

Eo


4 Tensiunea într-un element care are modulul de elasticitate Ek se determină cu relaţia (v. (10), (21, b) şi fig. 4)

oσ = ε = α → σ = αρ

yk k k k k

y tr

M zzE EI

. (24)

Deplasări datorate încovoierii Deplasările datorate încovoierii (în absenţa forţelor tăietoare) se pot obţine prin orice procedeu cunoscut din Rezistenţa materialelor: integrarea ecuaţiei diferenţiale, formula Mohr-Maxwell (teorema forţei unitare) etc. Problema fiind liniară, este valabil principiul suprapunerii efectelor. • Sub forma (12)2 , ecuaţia diferenţială se poate folosi numai pentru bare static determinate, când funcţia My(x) este cunoscută. Forma (15, b)2 a ecuaţiei diferenţiale se poate folosi pentru orice fel de bare, determinate sau nedeterminate static. Pentru încărcări complexe, soluţia poate fi scrisă sub forma cunoscută ca metoda parametrilor în origine. • Conform formulei Mohr-Maxwell, deplasarea liniară (unghiulară) în secţiunea x a barei încovoiate, când se ţine seama numai de momente, este

Δ(x) = ( ) ( )d

ξ ξξ∫ y y

ly

M mE I

, (25)

unde my(ξ) este momentul încovoietor din secţiunea curentă ξ datorat forţei (momentului) de mărime unitară aplicată în secţiunea x, iar My(ξ) este momentul încovoietor din secţiunea ξ datorat încărcărilor exterioare.

Săgeţi din încovoiere

Săgeţile din încovoiere (în absenţa forţelor tăietoare) se pot obţine prin integrarea ecuaţiei diferenţiale, formula Mohr-Maxwell etc. Ele depind de încărcarea totală a barei (Q) şi condiţiile la limită (care analitic determină anumite valori ale constantelor de integrare). Din (15,b)2 se vede că săgeata într-o secţiune a barei de lungime l se poate scrie sub forma

3

1= βb

y

QlwEI

, (26)

unde coeficientul β1 depinde de modul de rezemare, modul de repartizare a încărcării (Q) pe deschiderea grinzii şi poziţia secţiunii. Dacă încărcarea barei constă dintr-o singură forţă concentrată Fj aplicată în secţiunea j, pentru săgeata într-o secţiune i se obişnuieşte să se folosească notaţia

3

= γ jbi ij

y

F lw

EI , (27)

unde γij, numit coeficient de influenţă al săgeţii, depinde de modul de rezemare şi de poziţiile secţiunilor i şi j. Se prezintă două exemple simple, tipice pentru structuri navale, rezolvate cu metoda Mohr-Maxwell. 1. Săgeata la mijlocul grinzii simplu rezemate încărcată uniform (săgeata maximă). Cu formula Mohr-Maxwell şi procedeul Veresceaghin de integrare, pe baza figurii 5, a rezultă săgeata maximă de încovoiere

2 41 2 5 5( / 2) 2

3 8 2 8 4 384⎛ ⎞

= =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠y y

ql l l qlw lEI EI

. (28, a)

2. Săgeata la mijlocul grinzii încastrate perfect la capete, încărcată uniform (v. fig. 5, b). Folosind suprapunerea efectelor şi valorile pentru momente din încastrări, cu formula Mohr-Maxwell şi procedeul Veresceaghin rezultă săgeata maximă de încovoiere

2 21 2 5( / 2) 2

3 8 2 8 4 12 2 8 384⎛ ⎞

= − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

b

y y

ql l l ql l l qlw lEI EI

4

. (28, b)

Se observă că săgeata maximă din încovoiere a grinzii încastrată perfect la capete şi încărcată uniform este de 5 ori mai mică decât săgeata maximă a grinzii simplu rezemate cu aceeaşi încărcare.

ÎNCOVOIEREA BAREI ÎN PLANUL ZX – NEGLIJÂND FORFECAREA

5

Fig. 5

Rotiri la extremităţile barei simplu rezemate

Cu formula Mohr-Maxwell se vor determina expresiile Δ2 , Δ4 ale rotirilor secţiunilor extreme ale barei simplu rezemată la capete (Δ1 = Δ3 = 0), încărcată cu sarcina qz şi cu momentele concentrate F2 , F4 (v. fig. 6). Introducând la extremităţi momente egale cu unitatea, în secţiunile barei apar momentele încovoietoare my1 (x) = –

(l – x) / l respectiv my 2 (x) = x / l (v. şi fig. 6, b). Momentul My (x) se poate scrie sub forma

My (x) = Myo(x) – F2

(l – x) / l + F4 x / l , (29)

unde Myo(x) este momentul încovoietor dat numai de sarcina de pe deschidere (fără momentele concentrate de la

extremităţi) pe grinda simplu rezemată la capete. Folosind relaţia (25), rezultă

( )( )o2 2 4( ) ( ) / / ) / dΔ = − − + − −∫y yl

EI M x F l x l F x l l x l x ; ( )o4 2 4( ) ( ) / / / dΔ = − − +∫y yl

EI M x F l x l F x l x l x . (30)

Fig. 6

Efectuând calculele, deosebit de simple, se obţine

'

2 42 3 6 6

Δ = − − y

y y y

m lF l F lEI EI EI

; ''

2 44 6 3 6

Δ = − + + y

y y

m lF l F lEI EI EI y

, (31)

unde s-au introdus notaţiile

' o2 0

6 ( )( )d= −∫l

y ym M x l xl

x , ' ' o2 0

6 ( ) d= ∫l

y ym M x xl

x

''y

. (32)

Mărimile sunt termeni de încărcare, deoarece în ' ,ym m o ( )yM x intervin numai încărcările qz. Observaţie. Pentru încărcări simetrice faţă de mijlocul grinzii, momentele încovoietoare sunt funcţii simetrice,

Myo(x) = My

o(l – x) = Myo(x*) , (33)

unde x* = (l – x). Rezultă x = 0 → x* = l , x = l → x* = 0 şi dx* = – dx. Făcând aceste substituţii în (32)1,

a

q

11 ql 2 / 8

ql 2 / 12

l / 4 l / 4

b +

++

+

Q = ql Q = ql

–ql 2 / 8

l/2 l/2 l/2 l/2

oyM

F2

1

1

1F4

1

x l

x l

F2

F4

my

M

E, υ, Iy

qz

a b

1 2

my


6

0' o * * * o * * *

2 2 0

6 6( ) ( d ) ( ) d= − =∫ ∫l

y y ylm M x x x M x x x

l l , (34)

având în vedere şi (32)2, rezultă că, în cazul încărcărilor simetrice,

. (35) ' ''= =y ym m my

TENSIUNI CAUZATE DE FORŢE TĂIETOARE LA ÎNCOVOIEREA BAREI ÎN PLANUL ZX

Ipoteza lui Bernoulli postulează că lunecările şi tensiunile tangenţiale ce corespund acestora sunt nule. Acest lucru este adevărat numai în cazul încovoierii pure (solicitarea produsă de încărcări cu distribuţie Navier aplicate la capetele barei). Încărcările reale produc însă şi forţe tăietoare şi implicit tensiuni tangenţiale. La grinzi cu înălţime relativ mică faţă de lungime, cu secţiune masivă, tensiunile tangenţiale au valori mult mai mici faţă de cele normale, motiv pentru care în astfel de cazuri ele se neglijează, calculul de rezistenţă efectuându-se pe baza tensiunilor normale. Pentru secţiuni masive, acest lucru este justificat şi de faptul că tensiunile tangenţiale maxime în secţiune apar în axa neutră, adică acolo unde tensiunile normale sunt nule. La grinzi cu înălţime relativ mare faţă de lungime şi cu secţiuni de tip I, , U, tensiunile tangenţiale pot avea valori apreciabile, şi nu numai în axa neutră dar şi în apropierea extremităţilor secţiunii. O astfel de situaţie se întâlneşte la grinda navă în zonele de îmbinare a bordajelor sau pereţilor longitudinali cu puntea sau cu fundul navei. În aceste zone tensiunile normale au valori maxime dar şi tensiunile tangenţiale pot avea valori apreciabile, fiind necesar a se ţine seama şi de acestea din urmă în calculul tensiunilor echivalente, de exemplu după Huber-Mises, 2 3echσ = σ + τ2 . Observaţia menţionată se va ilustra numeric pe exemplul simplu al unei bare de secţiune I.

Tensiuni de forfecare la bare din profiluri subţiri deschise

Pentru bare confecţionate din profiluri subţiri deschise (simplu conexe), tensiunile tangenţiale se determină din condiţia de echilibru scrisă pentru un element de bară izolat ca în figura 1, b, prin două secţiuni transversale şi una longitudinală. Considerând că tensiunile tangenţiale sunt constante pe grosimea profilului şi menţinând valabilitatea formulei lui Navier, rezultă formula lui Jurawski,

τxs (x, s) t (s) = ( ) ( )z y

y

T x S sI

= q(x, s) ⇔ τxs (x, s) = ( ) ( )( )

z y

y

T x S st s I

, (1)

unde Sy (s) = este momentul static faţă de axa y al ariei notată cu A(s) în figura ' ' '0

( ) ds

t s z s∫ 1, b. De obicei, produsul τxs

(x, s) t (s) = q(x, s) se numeşte flux al tensiunilor tangenţiale sau de forfecare.

Fig. 1

Tensiuni de forfecare la bare din profiluri subţiri închise

La bare confecţionate din profiluri subţiri închise (care formează una sau mai multe celule), tensiunile tangenţiale nu se pot determina dintr-o singură ecuaţie de echilibru aşa cum s-a procedat în cazul profilurilor subţiri deschise. Pentru a obţine în profilul (n + 1)-conex un element ca cel din figura 1, b nu este suficientă o secţiune longitudinală ci trebuie efectuate n + 1 secţiuni, în care apar n + 1 fluxuri de forfecare. Dispunând de o singură ecuaţie de echilibru (proiecţii pe x), problema este de n ori static nedeterminată. Pentru rezolvarea analitică a problemei se transformă mai întâi profilul închis de n ori (mărginit de n + 1 contururi) într-un profil deschis (mărginit de un singur contur), efectuând n tăieturi în care apar fluxurile qi, i = 1,i = n

q3

. Ca exemplu, în figura 1, c este reprezentată o secţiune mărginită de 4 contururi. Pentru deschiderea secţiunii sunt necesare 3 tăieturi în care se presupune că fluxurile qi sunt cunoscute. Efectuând o nouă secţiune longitudinală pentru profilul

s

zy

x

σ

dx

y

Tt(sdx

My t(s z

' τs

τx

a) A(s

q2q1

σ

σ + dσ

σ + dσ

q

b)

d)s

1 2 3 s

cC C C

s


2 transformat, aşa cum s-a procedat la profilul deschis, dintr-o ecuaţie de echilibru pe axa x se poate scrie expresia fluxului

de forfecare q(x, s) ≡ qs la orice s (v. fig. 1, d), ( ) ( )z y

s jy j

T x S sq q

I= + ∑ , (2)

unde Sy (s) şi suma după j se referă la una din părţile separate de coordonata s pe profilul transformat (deschis).

Fluxurile necunoscute qi ( 1,i = n ) se determină din n condiţii de continuitate a deplasărilor u (deplasări după x),

scrise în corespondenţa tăieturilor efectuate. Deplasarea u rezultă din relaţia ( )

sx ssx

q u vG t s G s xτ ∂ ∂

γ ≡ ≡ = +∂ ∂

, unde v este

deplasarea după s. În absenţa torsiunii, ∂v/∂x = 0, rezultă 1 d( )

squ

G t s= ∫ s . Continuitatea deplasărilor celor două feţe ale

unei tăieturi longitudinale impune ca la parcurgerea completă a conturului închis Ci căruia aparţine tăietura respectivă să se obţine aceeaşi valoare pentru u. Rezultă astfel n ecuaţii ale circulaţiei tensiunilor tangenţiale,

d 0 , 1,( )i

sC

qs i n

t s= =∫ . (3)

Înlocuind (2) în (3), se obţine sistemul de ecuaţii prin rezolvarea căruia se obţin fluxurile necunoscute qi . Şi la barele confecţionate din profiluri subţiri închise se defineşte centrul de forfecare ca fiind punctul prin care trebuie să treacă forţa tăietoare astfel încât faţă de acel punct tensiunile tangenţiale să dea moment nul.

DEPLASĂRI DATORATE FORŢELOR TĂIETOARE

Relaţia Mohr-Maxwell de calcul a deplasărilor din forfecare

Pentru calculul deplasărilor cauzate de forţe tăietoare se va folosi formula Mohr-Maxwell, conform căreia deplasarea în secţiunea x a unei bare datorată forţelor tăietoare este dată de relaţia

Δs(x) = '

( ) ( )dz z

lfz

T tG Aξ ξ

ξ∫ , (4)

unde tz(ξ) este forţa tăietoare în secţiunea curentă ξ dată de forţa unitară aplicată în secţiunea x (F(x) = 1), Tz(ξ) este forţa tăietoare din secţiunea ξ datorată sarcinilor exterioare iar G este modulul lui Kirchhoff. Aria '

fzA ţine seama de neuniformitatea distribuţiei tensiunilor tangenţiale în secţiune. Ea se obţine din echivalenţa energetică. Ţinând seama

numai de forfecare, se poate scrie ( ) ( )

' '=1 =1

1( ) d d ( ) d dx x

zzx zx z zx zx z zV l V lF F

fz fz

TV t x V T t x

GA Aγ τ = ⇒ τ τ =∫ ∫ ∫ ∫ . Tensiunile

tangenţiale τyx fiind autoechilibrate iar tensiunile tangenţiale τzx fiind echivalente global cu forţa tăietoare Tz, admiţând

pentru aceste tensiuni legea de distribuţie (1), ( ) 1

( ) ( ) ( ) ( ), ( )

( ) ( )x

z y z yzx zx F

y y

T x S s t x S st s I t s I=τ = τ = , se obţine

2

2 2 '

( )1 1d ( ) ( )d ( ) ( ) d( )

yz z z zl l

y fzA

S sA T x t x x T x t x x

I t s A=∫∫ ∫ ∫ ,

de unde rezultă

2

'2

2

0( )

d( )

yfz

y

A

IA

S sA

t s

=

∫∫ . (5)

De obicei, 'fzA se exprimă în funcţie de aria de forfecare prin relaţia

' fzfz

z

AA =

χ (6)

unde

2

2 2

( )d

( )fz y

z Ay

A S st s

I t sχ = ∫ . (7)

ÎNCOVOIEREA BAREI ÎN PLANUL ZX – EFECTUL FORFECĂRII

3 Coeficientul χz depinde numai de forma secţiunii. Pentru secţiunea I dublu simetrică, cu notaţiile din figura, din

relaţia (7) rezultă / 2 / 22 2

2 2 20 0

1 1 14 d 22 2 2 2 2 2

b hf

z p p py p

A b h h h ht y t s A t z z tI t t

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞χ = − + + − +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭∫ ∫ ds . După efectuarea

calculelor, se obţine

2 3

2

1,2 12 36 6

1 12 36

p p p

f f f pz

p p

f f

A A A tA A A t

A AA A

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠χ =⎛ ⎞

+ + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2

. (8)

Pentru secţiunea dreptunghiulară (Ap / Af = 0) se obţine χz = 1,2. Pentru un Ap / Af dat, χz creşte cu t / tp iar pentru un t / tp dat, χz creşte cu Ap / Af. Astfel, pentru raportul Ap / Af = 1, rezultă χz = 1,13 când t / tp = 1 şi χz = 1,27 când t / tp = 1,5. Dacă se consideră t / tp = 2, rezultă χz = 1,11 când Ap / Af = 0,5 şi χz = 1,41 când Ap / Af = 1,5. Pentru unele secţiuni simple, în literatură sunt date pentru χz expresii care sunt dependente şi de coeficientul lui Poisson, cum ar fi cea propusă de Cowper pentru secţiunea dreptunghiulară, χz = (12 +11υ)/(10 +10υ). Cu această relaţie, pentru oţel rezultă χz = 1,18.

Rotiri şi săgeţi din forfecare. Parametru de forfecare

Pentru grinda din figura 2, a se scrie Tz(ξ) sub forma Tz(ξ) = T o ( )z ξ + (F2 + F4) / l , (9) unde T o ( )z ξ este forţa tăietoare dată de sarcina de pe deschidere fără momentele din extremităţi. Sunt evidente relaţiile , o o( ) d d ( )z yT Mξ ξ = ξ o o(0) ( ) 0y yM M l= = . (10) • Pentru calculul rotirii secţiunii datorată forfecării, θ s (x), se introduce la abscisa x un moment unitar care produce forţa

tăietoare 1/ l (fig. 2, b). Înlocuind în (4), ' o 2 40

1( ) ( ) dls

fz y zF F

GA x Tl l+⎛θ = ⎞ξ + ξ⎜

⎝ ⎠∫ ⎟ şi ţinând seama de (10), se obţine

2 4'( )s

yfz

F Fx

l GA+

θ = = const. (11)

Se observă că rotirile din forfecare ale secţiunilor grinzii sunt date numai de forţele tăietoare (F2 + F4) / l produse de momentele concentrate de la extremităţi şi nu depind de încărcarea de pe deschidere. • Pentru calculul săgeţii din forfecare, se înlocuiesc în (4) expresia (9) şi expresiile forţelor tăietoare date de forţa

unitară introdusă în secţiunea x (v. fig. 2, b),

' o 2 4

0

( ) ( ) dx

sf z

F F l xGA w x Tl l+ −⎛ ⎞= ξ + ξ⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ + o 2 4( ) dl

zx

F F xTl l+⎛ ⎞ξ + ξ⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ . (12)

qz

Fig. 2

Ţinând seama de (10) şi efectuând calculele se obţine

o

'

( )( ) ys

fz

M xw x

GA= →

o'

'

( )( )s z

fz

T xw x

GA= . (13)

x l

x

ξ ξ

a) ξ ξ x l

1

1

z

( )sy

ztθ

T

ozT

1/l

(l – x) / l

x/l

F4

F, υ, Iy, Afz, χz

(F2 + F4) / l

F2

b)

( )swzt


4 Din relaţiile (13) se observă că săgeata şi panta liniei elastice cauzate de forfecare depind numai de încărcările transversale de pe deschidere, nu şi de momentele concentrate de la extremităţi. Săgeata din forfecare într-o secţiune

oarecare a barei poate fi scrisă sub forma 2 's

fz

QlwGA

= β , ' fzfz

z

AA =

χ , (14)

unde β2 este coeficientul din relaţia o2yM Ql= β , dependent de modul de distribuţie al sarcinii transversale totale Q ce

acţionează asupra barei simplu rezemată la capete.

• Săgeata grinzii dată de încovoiere şi forfecare este 3

21 2 ' 2 '

11 1

syb s b b

by fz fz

EIw Ql Qlw w w w wEIw GA l G

⎛⎛ ⎞ β⎜= + = + = β + β = +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟β⎝ ⎠ ⎝ ⎠A

⎞⎟ . Dacă se

notează cu Φz parametrul de forfecare,

2 ' 2

12 24 (1 )y zz

fz fz

EI Il GA l A

χ + υΦ = = y

) w

z

, (15)

rezultă (16) ( 2 11 /12 bzw = + β Φ β

Pentru a vedea influenţa raportului h / l asupra forfecării, se scrie momentul de inerţie sub forma 2y g fI C h A= (17)

Pentru secţiuni I ale barelor din table sudate, coeficientul Cg depinde de raportul Ap / Afz , unde Ap este aria

platbandei. Notând cu Ap aria A2 a platbandei, rezultă 1 112 2

pg

fz

AC

A= + . Coeficientul Cg este 1/12 pentru secţiunea

dreptunghiulară şi creşte sensibil cu creşterea raportului Ap / Afz . De exemplu, pentru raportul Ap / Afz = 1, se obţine Cg= 7/12 iar pentru Ap / Afz = 2, Cg= 13/12. Rezultă că, pentru bare alcătuite din table sudate, Cg are valori cu un ordin de

mărime mai mari decât pentru bare masive. Cu notaţia (17), parametrul (15) capătă forma 2

24 (1 )z z ghCl

⎛ ⎞Φ = χ + υ ⎜ ⎟⎝ ⎠

, (18)

astfel încât expresia săgeţii totale a grinzii devine 2

2

11 2(1 ) b

z ghw Cl

w⎡ ⎤β ⎛ ⎞= + + υ χ⎢ ⎥⎜ ⎟β ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

. (19)

Relaţiile (15), (19) sunt valabile pentru orice tip de secţiune. Se observă că parametrul de forfecare, deci influenţa forfecării asupra săgeţii din încovoiere – raportul ws/wb, creşte nu numai cu pătratul raportului h / l ci şi cu creşterea coeficientului Cg , dependent de forma secţiunii. Valorile cu un ordin de mărime mai mari ale acestui coeficient la grinzi din profiluri subţiri faţă de cele masive explică influenţa foarte mare a forfecării asupra săgeţii din încovoiere la astfel de grinzi, mai ales dacă şi raportul h / l creşte.

VECTORUL SARCINILOR REDUSE LA NODURI

Vectorul sarcinilor reduse la noduri este egal şi de sens contrar cu vectorul reacţiunilor ce apar în încastrările rigide ale extremităţilor barei, când Δ1 = Δ2 = Δ3 = Δ4 = 0 . Aceste reacţiuni se mai numesc forţe şi momente la extremităţile fixe ale elementului de bară. Pentru bara din figura 1, simplu rezemată la extremităţi (Δ1 = Δ3 = 0), se scriu deplasările Δ2 şi Δ4 ţinând seama de încovoiere şi forfecare şi se impun apoi condiţiile ca şi aceste deplasări să fie nule. Rezultă sistemul

'

2 4 2 4' 0

3 6 6q q y q q

y y y fz

F l F l m l F FEI EI EI lGA

+− − + = ;

'

2 4 2 4' 0

6 3 6q q y q q

y y y fz

F l F l m l F FEI EI EI lGA

+− + + + = , (1)

Fig. 1

din care se obţin componentele F2q şi F4q ale vectorului Fyq .

Celelalte două componente (F1q şi F3q) ale vectorului Fyq se determină din ecuaţiile de echilibru ale barei,

F1q l + F2q + F4q + = 0 ; – F3q l + F2q + F4q – l( ) ( ) dzl x q x x−∫ l

( ) dzx q x x∫ = 0 .

Efectuând calculele şi ţinând seama că elementele vectorului sarcinilor reduse la noduri sunt egale şi de sens contrar cu componentele F1q , F2q , F3q , F4q ale forţelor şi momentelor ce apar la extremităţile fixe ale elementului de bară (componentele vectorului Fyq), se obţine

' ''

' ''o1o

o 2o '' '

3o

4

'' '

1 ( ) ( )d(1 )

(2 / 2) (1 / 2)3(1 )

1 ( )d(1 )

(2 / 2) (1 / 2)3(1 )

y yzl

z

y z y z

zy yq

y yzl

z

y z y z

z

m ml x q x x

l l

m mQQQ m m

x q x xQ l l

m m

⎧ ⎫−+ −⎪ ⎪

+ Φ⎪ ⎪⎪ ⎪+ Φ − − Φ⎧ ⎫ ⎪ ⎪−⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ Φ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= − = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬

−⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ Φ⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎪ ⎪+ Φ − − Φ⎪ ⎪

+ Φ⎪ ⎪⎩ ⎭

∫

∫Q F , (2, a)

unde Φz este parametrul de forfecare. Integralele care intervin pe liniile 1 şi 3 ale vectorului (2, a) sunt reacţiunile grinzii simplu rezemate încărcată cu sarcina qz. Cazul particular în care se ignoră influenţa deformaţiilor din forfecare se obţine considerând infinită rigiditatea la forfecare (GAfz = ∞), adică luând pentru parametrul Φz valoarea zero. În acest caz se obţine

= = oy y= −Q F q

o1o2o3o4

QQQQ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

' ''

' ''

'' '

'' '

1 ( ) ( )d

( 2 ) / 3

1 ( )d

(2 ) / 3

y yzl

y y

y yzl

y y

m ml x q x x

l lm m

m mx q x x

l lm m

⎧ ⎫−+ −⎪ ⎪

⎪ ⎪⎪ ⎪− −⎪ ⎪⎨ ⎬

−⎪ ⎪+⎪ ⎪⎪ ⎪

−⎪ ⎪⎩ ⎭

∫

∫ . (2, b)

x l

x

z

Δ2 = 01

1

Δ4 = 01

2

F3q

F4q

F1q

qz(x)

F

E, υ, Ιy, Αfz, χz

2q

STATICA STRUCTURILOR DE NAVE

2

y În cazul încărcărilor simetrice, qz (x) = qz (l – x), termenii de încărcare sunt egali, , iar ' ''y ym m m= =

0 0 0

1 1 1( ) ( )d ( )d ( )d2

l l l

z z zl x q x x x q x x q x xl l

− = =∫ ∫ ∫ , (3)

rezultând următoarele expresii pentru componentelor vectorului sarcinilor simetrice reduse la noduri,

= oy y= −Q F q

o1o2o3o4

QQQQ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

=

1 ( )d2

/ 31 ( )d2

/ 3

zl

y

zl

y

q x x

m

q x x

m

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪−⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

∫

∫ . (4)

Se observă că forfecarea nu influenţează vectorul sarcinilor reduse la noduri numai pentru încărcări simetrice.

MATRICEA DE RIGIDITATE A ELEMENTULUI DE BARĂ

Se consideră elementul de bară din figura 2, a, pentru care se vor determina forţele F1Δ , F2Δ , F3Δ , F4Δ ce corespund deplasărilor Δ1 , Δ2, Δ3 , Δ4 impuse secţiunilor extreme.

Fig. 2

Deplasările şi forţele din figura 2, a se pot obţine printr-o suprapunere de efecte. Conform schemelor din figurile 2,

b şi c, se poate scrie Δ'

2 + Δ''2 = Δ2 ; Δ'

4 + Δ''4 = Δ4 , (5)

unde Δ'

2 = Δ'4 = (Δ1 – Δ3) / l , (6)

iar Δ''2 şi Δ''

4 au expresiile

Δ''2 = 2 4

3 6y y

F l F lEI EI

Δ Δ− + 2 4'fz

F Fl G A

Δ Δ+ ;

Δ''4 = 2 4

6 3y y

F l F lEI EI

Δ Δ− + 2 4'fz

F Fl G A

Δ Δ+ . (7)

Înlocuind (6) şi (7 în (5) şi scriind şi ecuaţiile de echilibru, rezultă sistemul

Δ1

l x

Δ3

F4Δ

a ≡ F3ΔF2Δ Δ4

F1Δ Δ2

+

b c

(Δ 1 – Δ3) / l

Δ1 Δ3

Δ'

Δ'

F1Δ

Δ'' Δ''z

F4Δ

≡ F2ΔF3Δ

Ecuaţia barei încovoiată în planul zx

3

2 4

3 6y y

F l F lEI EI

Δ Δ− + 2 4'fz

F Fl G A

Δ Δ+ = – 1 3

lΔ − Δ

+ Δ2 , 2 4

6 3y y

F l F lEI EI

Δ Δ− + 2 4'fz

F FlGAΔ Δ+

= – 1 3

lΔ − Δ

+ Δ4 , (8, a)

F2Δ + F4Δ + F1Δ l = 0 , F2Δ + F4Δ – F3Δ l = 0 . (8, b)

Rezolvând sistemul (8) se obţin forţele F1Δ, F2Δ, F3Δ, F4Δ în funcţie de deplasările Δ1 , Δ2 , Δ3 , Δ4 . Rezultatele se scriu sub forma matriceală FyΔ = ky

Δy , (9) în care

FyΔ =

1

2

3

4

FFFF

Δ

Δ

Δ

Δ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

, Δy =

1

2

3

4

Δ⎧ ⎫⎪ ⎪Δ⎪ ⎪⎨ ⎬Δ⎪ ⎪⎪ ⎪Δ⎩ ⎭

, (10)

iar ky este matricea de rigiditate a elementului de bară încovoiat după axa y.

ky = 2 2

32 2

12 6 12 66 (4 ) 6 (2 )12 6 12 6(1 )6 (2 ) 6 (4 )

y z z

zz z

l lEI l l l

l lll l l

− − −l

l

⎡ ⎤⎢ ⎥− + Φ − Φ⎢ ⎥−+ Φ ⎢ ⎥− − Φ + Φ⎣ ⎦

, (11)

cu Φz parametrul de forfecare. Matricea (11) ce se ţine seama de forfecare este obţinută în teoria de bară Timoshenko.

Cazul particular în care se ignoră influenţa deformaţiilor din forfecare se obţine considerând infinită rigiditatea la forfecare (GAfz = ∞), adică luând valoarea zero pentru parametrul Φz ,

ky = 2 2

32 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 66 2 6 4

y

l lEI l l l l

l lll l l l

− − −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎣ ⎦

. (12)

Matricea de rigiditate (12) în care se ignoră efectul forfecării este obţinută în teoria de bară Euler-Bernoulli.

Observaţii

1) Renunţând la indicele y, relaţia (9) se poate scrie şi sub forma

, i = 1, 2, 3, 4 . (13) 41

ji j

F k=Δ =

= ∑ ij jΔ

Un coeficient kij al matricei k are semnificaţia rigidităţii unei legături elastice, a cărei valoare este forţa sau momentul ce corespunde unei deplasări unitare. Într-adevăr, coeficientul kij din (13) reprezintă forţa care apare pe direcţia i la o deplasare unitară pe direcţia j, când toate celelalte deplasări sunt nule,

0 , 1, , ; 1r jij i r n r j

k F Δ Δ = = ≠ Δ == .

2) Matricea k este simetrică, kij = kji, în virtutea reciprocităţii coeficienţilor de rigiditate. 3) Orice forţă FiΔ se calculează prin înmulţirea liniei i, notată ki, cu vectorul Δ, adică FiΔ = ki Δ. 4) Matricea k este singulară deoarece între F1Δ, F2Δ, F3Δ, F4Δ există relaţiile (8, c, d), ce decurg din condiţiile de echilibru a elementului de bară. Aceste relaţii se pot scrie şi sub forma (k2 + k4 + l k1) Δ = 0, (k2 + k4 – l k3) Δ = 0. De asemenea, rezultă k1 = – k3 .

ECUAŢIA ELEMENTULUI DE BARĂ ŞI A BAREI

Ecuaţia elementului de bară încovoiat după axa y (în planul zx) se obţine din relaţia evidentă Fy = FyΔ + Fyq, în care FyΔ = ky

Δy iar Fyq = – . Rezultă oyQ

Fy = ky Δy + Fyq ⇔ Fy = ky

Δy – . (14) oyQ

Ecuaţia de echilibru a barei încovoiate după axa y se obţine pe baza echilibrului nodurilor de la extremităţile acesteia. În acest caz trebuie să se ţine seama nu numai de forţele transmise nodurilor de elementul de bară ci şi de forţele aplicate direct nodurilor precum şi de forţele din legături cu exteriorul, adică ecuaţia de echilibru a barei devine – Fy + – CyΔ

y = 0. *yQ


4

Înlocuind (14), rezultă – ky Δy – Fyq – Cy Δy + = 0 ⇔ – ky

Δy + Qo – Cy Δy + = 0 , sau *yQ *

yQ Ky Δy = Qy , (15) unde s-a notat Ky = ky + Cy ; Qy = Qy

o + . (16) *yQ

Prin vectorul se implementează condiţiile la limită mecanice iar prin matricea diagonală Cy cele impuse de legăturile elastice. Condiţiile la limită geometrice omogene (impunerea de deplasări nule) sunt cazuri limită ale condiţiilor la limită impuse de legăturile elastice. Prin astfel de condiţii se precizează deplasările de rigid ale barei; dacă deplasările de rigid nu sunt precizate, matricea Ky rămâne singulară. Dacă pe o direcţie este aplicată o legătură rigidă, se face nulă deplasarea pe direcţia respectivă, fără a mai interesa valoarea termenului corespunzător din matricea Cy . Acelaşi rezultat se obţine dacă se ia pentru rigiditatea corespunzătoare direcţiei respective o valoare foarte mare, practic infinită, fără a se mai impune valoarea nulă pentru deplasare; în urma efectuării calculului, deplasarea respectivă va rezulta practic nulă. Se pot impune şi condiţiile la limită geometrice neomogene (deplasări date, nenule), care de asemenea contribuie la precizarea deplasărilor de rigid ale barei.

*yQ

CAZUL GENERAL DE SOLICITARE

ÎNCOVOIEREA BAREI ÎN PLANUL XY

Elementul de bara încărcat cu sarcini dispuse paralel cu axa y este încovoiat după axa z (în planul xy). Deplasările extremităţilor şi forţele corespunzătoare acestora sunt reprezentate în figura 1, a. Prin rotaţia pozitivă cu 90o în jurul axei x se obţine reprezentarea din figura 1, b. Comparând orientările forţelor şi deplasărilor din această figură cu cele din figura 1, a, se observă că relaţiile obţinute la încovoierea după y pot fi utilizate şi pentru încovoierea după z, făcând substituţiile: qz → qy ; Iy → Iz ; Afz → Afy ; χz → χy ; (1) F1 , Δ1 → F5 , Δ5 , F3 , Δ3 → F7 , Δ7 ; F2 , Δ2 → – F6 , – Δ6 , F4 , Δ4 → – F8 , – Δ8 . (2)

F6 , Δ6

Fig. 1

Ultimele două substituţii impun nu numai schimbarea indicilor, ci şi a semnelor pe liniile şi coloanele pare din vectorul sarcinilor reduse la noduri şi din matricea de rigiditate de la încovoierea după axa y. Rezultă,

' ''

l

' ''o5o

o 6o '' '7o

l8'' '

1 ( ) d(1 )(2 / 2) (1 / 2)

3(1 )1 d

(1 )(2 / 2) (1 / 2)

3(1 )

z zy

y

z y z y

yz z

z zy

y

z y z y

y

m m q l x xl l

m mQQQ m m q x xQ l l

m m

⎧ ⎫−+ −⎪ ⎪+ Φ⎪ ⎪

⎪ ⎪+ Φ − − Φ⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ + Φ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= = ⎨ ⎬ ⎨ ⎬−⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ Φ⎩ ⎭

⎪ ⎪+ Φ − − Φ⎪ ⎪−⎪ ⎪+ Φ⎩ ⎭

∫

∫Q F ,

2 2

3

2 2

12 6 12 66 (4 ) 6 (2 )12 6 12 6(1 )6 (2 ) 6 (4 )

y yzz

y

y y

l ll l lEI

l lll l l

−l

l

⎡ ⎤⎢ ⎥+ Φ − − Φ⎢ ⎥=⎢ ⎥− − −+ Φ⎢ ⎥

− Φ − + Φ⎢ ⎥⎣ ⎦

k (3)

unde

' o2 0

6 ( )( )dl

z zm M x l xl

= −∫ x , '' o2 0

6 ( ) dl

z zm M x xl

= ∫ x , 2 ' 2

24 (1 )12 y zzy

fy fy

IEIl GA l A

χ + υΦ = = . (4)

Fig. 2

Observaţie. Sistemul de referinţă xyz considerat este cel folosit la studiul analitic al barelor şi plăcilor în multe din cursurile de Rezistenţa materialelor (inclusiv la Universitatea din Galaţi). Dacă sistemul de referinţă se dispune cu axa y orientată pe verticală în sus, ca în figura 2, b, expresiile pentru vectorul sarcinilor reduse la noduri şi matricea de rigiditate nu se modifică. Referitor la numerotarea locală a necunoscutelor, s-a preferat ordinea din figura 2, a celei din figura 2, b, respectându-se astfel succesiunea y, z pentru axele de încovoiere.

BARA SOLICITATĂ AXIAL

• Se consideră elementul de bară solicitat ca în figura 3, b prin forţele qx dispuse după axa barei. Vectorul sarcinilor reduse la noduri se obţine din condiţia evidentă Δl = 0, care se scrie sub forma

90 0 0

( ) d 1 d d 0l l x

q xN x x F q x x

EA EA⎛ ⎞≡ − −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫ = ⇔ ( )9

00 0

1 d dx llq

x xF l x q x xq xEA EA

− − − =∫ ∫ 0 , din care rezultă 90

1 ( )dl

q xF q l xl

= − −∫ x .

x

qy

F7 , Δ7 F6 , Δ6 y

x

F8 , Δ8

F5 , Δ5

F5 , Δ5 F7 , Δ7

EIz , GAfy ,χy , l

y

F8 , Δ8

a) b)

z

EIz , GAfy ,χy , l

z qy

Δ5

x

Δ7

y Δ8

F6

F8

F7

Δ6

F5

z

EIy , GAfy ,χy , l

a

Δ1

x

Δ3

y Δ4

F2

F4

F3

Δ2qy qy

F1 EIy , GAfy ,χy , l

z b


2

Din ecuaţia de echilibru se mai obţine 9 10 0d 0

l

q q xF F q x+ + =∫ 10 0

1 dl

q xF xq xl

= − ∫ . Componentele F9q , F10q ale

vectorului forţelor care apar la extremităţile fixe ale elementului de bară formează vectorul notat Faq . El este egal şi de sens contrar cu vectorul sarcinilor de pe deschidere reduse la noduri, . Se poate deci scrie o

a = −Q Faq

o

09o 9o

10 90

1 ( )d

1 d

l

xq

a aq lqx

q l x xF Q lF Q q x x

l

⎧ ⎫−⎪ ⎪− ⎧ ⎫⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= − = = =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

⎪⎬

⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

∫

∫Q F . (5)

qx qx ≠ 0

Fig. 3 • Pentru obţinerea matricei de rigiditate a elementului solicitat axial, se consideră bara din fig. 3, c fără sarcini pe

deschidere, cu deplasări Δ9 , Δ10 la extremităţi. Întrucât Δl = Δ10 – Δ9, unde 9( )F ll

EAΔ−

Δ = , rezultă 9 9( )EAFlΔ = Δ − Δ10

iar din ecuaţia de echilibru se mai obţine 9 10 0F FΔ Δ+ = 10 10 9(EAFlΔ )= Δ − Δ . Rezultă

9

10

1 11 1a a

EAlΔ

Δ− ⎧ ⎫⎡ ⎤= =⎨ ⎬⎢ ⎥ Δ−⎣ ⎦ ⎩ ⎭

F k aΔ , (6)

unde ka este matricea de rigiditate a elementului de bară solicitat axial,

1 1 1 11 1 1 1a a

EA kl

− −⎡ ⎤ ⎡= =

⎤⎢ ⎥ ⎢− − ⎥⎣ ⎦ ⎣

k⎦

a

. (7)

Ecuaţia elementului de bară solicitat axial este deci

. (8) oa a a −F = k QΔ

Matricea ka se putea obţine şi cu relaţia generală, acceptând pentru deplasarea axială legea liniară de interpolare

cu ajutorul polinoamelor Lagrange de grad zero, 9( ) 1 10x xu x . Elementului solicitat axial este cel mai simplu

element de bară iar matricea sa de rigiditate are cea mai simplă structură. Din l l

⎛ ⎞= Δ − + Δ⎜ ⎟⎝ ⎠

(6) se observă că pentru Δ9 = 0 (v. şi fig. 3, d), se obţine ecuaţia legăturii elastice simple de translaţie.

BARA SOLICITATĂ LA TORSIUNE

• Dacă sub acţiunea unor încărcări ce produc torsiunea barei deplanările secţiunilor acesteia nu sunt împiedicate, solicitarea este de torsiune liberă. În acest caz în bară apar numai tensiuni tangenţiale, numite Saint-Venant, care se determină cu relaţii ce depind de tipul secţiunii, deschisă sau închisă (simplu sau multiplu). Ele depind de răsucirea specifică, '

xθ = Mx / GIt , unde Mx este momentul de torsiune iar It este momentul de inerţie la torsiune, dependent de tipul secţiunii. De obicei răsucirea barei este cauzată de deplasările extremităţilor ca urmare a conexiunilor cu alte elemente.

Aceste deplasări şi momentele corespunzătoare (v. fig. 4, a) se notează 11 11

12 12

,t t

FFΔ

Δ⎧ ⎫ ⎧= =

⎫⎨ ⎬ ⎨Δ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

FΔ ⎬ . Ţinând seama de analogia

formală între relaţiile de calcul la torsiune şi cele de la solicitarea axială (v. figurile 3 şi 4), se poate scrie

FtΔ = kt Δt , (9) unde matricea de rigiditate este dată de expresia

1 1 1 11 1 1 1

tt t

GI kl

− −⎡ ⎤ ⎡= =

⎤⎢ ⎥ ⎢− − ⎥⎣ ⎦ ⎣

k⎦

. (10)

EAF Cl

= Δ = Δ

≡ + x l

F9q F10q

Δ9 = 0 Δ10 = 0 b)

F9Δ F10Δ

Δ10 ≠ 0Δ9 ≠ 0 qx = 0 c

x

EA F9 F10 Δ9 Δ10

a) l

+ EA, l

Δd)x l

Cazul general de solicitare

3 În absenţa momentelor distribuite qxx, momentul de torsiune şi răsucirea specifică rezultă constante (v. şi fig. 4, b), conform legii liniare care a fost acceptată pentru unghiul de răsucire θ(x),

11 12( ) 1 (0) ( ) 1x x xx x xx ll l l

⎛ ⎞ ⎛ ⎞θ = − θ + θ = Δ − + Δ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

xl

. (11)

GIt

Fig. 4 Dacă pe lungimea l a elementului sunt aplicate şi momente distribuite qxx (v. fig. 4, c), momentele reduse la noduri se deduc folosind relaţii similare cu (5),

o

0o 11o12

0

1 ( ) d

1 d

l

xx

t l

xx

q l x xQ lQ q x x

l

⎧ ⎫−⎪ ⎪⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎪ ⎪

⎪ ⎪⎩ ⎭

∫

∫Q . (12)

BARA SOLICITATĂ SPAŢIAL

Deplasările şi forţele de la extremităţile unui element solicitat spaţial sunt reprezentate în figura 5, a, unde simbolurilor folosite pentru notarea deplasărilor şi forţelor nodale li s-au adăugat indicii “ '

“. Se mai introduc notaţiile ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12{ } {T T T T T Ty z a t= = Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ ΔΔ Δ Δ Δ Δ }Δ Δ ,

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12{ } {T T T T T T

y z a t F F F F F F F F F F F F= =F F F F F } . (13)

Fig. 5 Observaţie. În figura 5 şi în notaţiile (13) nu au fost incluse gradele de libertate şi forţele generalizate corespunzătoare răsucirii împiedicate. Dacă s-ar ţine seama şi de împiedicarea deplanărilor, ar apare 14 deplasări şi forţe generalizate. Matricea de rigiditate a elementului de bară solicitat spaţial se poate scrie ca o matrice celulară cvasidiagonală, ale cărei elemente sunt matricele de rigiditate stabilite separat pentru încovoierea după y, încovoiere după z, axială şi de torsiune,

Mx Mx

Mx = (Δ12 – Δ11)GIt / lb)

x l

Δ11 F11 F12 21 Δ12

a)

θx(x GItΔ11 = θx(0) Δ12 = θx(l)

GIt

x l

qxx Δ12 = 0o11Q o

12QΔ11 = 0 c

F '11 , Δ'11 F '9 , Δ'

9 F '10 , Δ'10 F '12 , Δ'

12 x

y z

F '1 , Δ'1

F '6 , Δ'6

F '5 , Δ'5

F '2 , Δ'2

F '3 , Δ'3

F '8 , Δ'8

F '7 , Δ'7

F '4 , Δ'4a

F F4 , Δ 1 , Δ1 F

z

F3 , Δ3

F6 , Δ6

F2 , Δ2

F5 , Δ5

7 , Δ F10 , Δ10 x 4 7

bF9 , Δ9

F12 , Δ12

F8 , Δ8

F11 , Δ11

y


4

'

''

'

'

y

z

a

t

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

k 0 0 00 k 0 0

k0 0 k 00 0 0 k

. (14)

Făcând înlocuirile, se obţine matricea k' sub forma dezvoltată,

2 2

2 2

'

0 0 0 0 0 0 012 6 12 60 0 0 0 0 0 06 (4 ) 6 (2 )0 0 0 0 0 0 012 6 12 60 0 0 0 0 0 06 (2 ) 6 (4 )

12 6 12 6 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

y y y y

y z y y z y

y y y y

y z y y z y

y y y y

k lk k lklk l k lk l kk lk k lk

lk l k lk l kk lk k lk

− − −⎡⎢ − + Φ − Φ⎢⎢−⎢

− − Φ + Φ⎢⎢ −⎢⎢= ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

k

0000

2 2

2 2

0 06 (4 ) 6 (2 ) 0 0 0 012 6 12 6 0 0 0 06 (2 ) 6 (4 ) 0 0 0 0

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

y y y y y y

y y y y

y y y y y y

a a

a a

t t

t t


lk l k lk l kk kk k

k kk k

⎤

00

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

+ Φ − − Φ ⎥⎥− − − ⎥

− Φ − + Φ ⎥⎥− ⎥⎥−⎥

− ⎥⎥− ⎥⎦

, (15)

unde s-au folosit notaţiile: 3

12(1 )

yy

z

EIk

l=

+ Φ ,

312(1 )

zz

y

EIkl

=+ Φ

, a

EAkl

= , tt

GIkl

= . Cu numerotarea din figura 5, a,

ecuaţia elementului solicitat spaţial are expresia F ' = k' Δ' – Qo' , (16) unde s-a mai notat o ' o ' o ' o ' o ' o ' o ' o ' o ' o ' o ' o ' o ' o ' o ' o ' o '

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12{ } {T T T T T Ty z a t Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q= =Q Q Q Q Q } . (17)

Pentru calculul automat, este convenabil ca deplasările şi forţele nodale să fie numerotate nu după solicitări ca în figura 5, a, ci după axe ca în figura 5, b. În acest sistem de numerotare se introduc vectorii 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12{ }T= Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ ΔΔ , (18)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12{ }TF F F F F F F F F F F F=F , o o o o o o o o o o o o o1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12{ }TQ Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q=Q . (19)

Elementele vectorului Δ au semnificaţii care rezultă din următoarea formă de scriere (v. fig. 5, a), 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2{ ( ) ( ) ( ) ( T

x y z x y zu v w u v w= θ θ θ θ θ θΔ ) }

2

, (20) unde indicii 1 şi 2 se referă la secţiunile x = 0 respectiv x = l, iar ' ' ' '

1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2, , ,s s sy y z z y y zw v w vθ + θ θ + θ θ + θ θ + θ= − = = − = s

z . (21) Trecerea de la numerotare din figura 5, b la cea din figura 5, a se realizează prin relaţiile de transformare Δ' = λB Δ ; F ' = λB F ; Qo' = λB Qo , (22) unde λB conţine numai elemente 0 şi 1 (matrice tip Boole). Ea se obţine prin simpla examinare a figurilor 5, a şi 5, b,

'1'2'3'4'5'6'7'8'9'10'11'12

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 00 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0

⎧ ⎫Δ⎪ ⎪Δ⎪ ⎪Δ⎪ ⎪

Δ⎪ ⎪Δ⎪ ⎪

⎪ ⎪⎪ ⎪Δ =⎨ ⎬Δ⎪ ⎪Δ⎪ ⎪Δ⎪ ⎪

⎪ ⎪Δ⎪ ⎪Δ⎪ ⎪Δ⎪ ⎪⎩ ⎭

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

Δ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪Δ⎢ ⎥⎪ ⎪Δ⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥ Δ⎪ ⎪⎢ ⎥ Δ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪Δ⎨ ⎬⎢ ⎥ Δ⎪ ⎪⎢ ⎥ Δ⎪ ⎪⎢ ⎥ Δ⎪ ⎪⎢ ⎥ Δ⎪ ⎪⎢ ⎥ Δ⎪ ⎪⎢ ⎥⎢ ⎥ Δ⎣ ⎦ ⎪ ⎪⎩ ⎭

. (23)

Matricea λB fiind ortogonală (det λB = 1), se poate scrie Δ = TBλ Δ', F = T

Bλ F ', Qo = T

Bλ Qo'. Se fac înlocuirile în

(16): λB F = k' λB Δ – λB Qo. Înmulţind la stânga relaţia obţinută cu TBλ , se obţine ecuaţia elementului de bară în

numerotarea din figura 5, b, F = k Δ – Qo , (24) unde k = T

Bλ k' λB . (25)

Cazul general de solicitare

5 Toate elementele matricei k'

12 x 12 se regăsesc în k12 x 12, însă matricea k nu mai are forma cvasidiagonală, elementele ei fiind împrăştiate conform numerotării din fig. 5, b. Ea se găseşte în orice carte de MEF. În numerotarea din figura 5, b, ecuaţia barei solicitată spaţial este de forma,

K Δ = Q , ( k + C ) Δ = Q* + Qo , (26)

unde 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2x y z xr yr zr x y z xr yr zrC C C C C C C C C C C C=C , * * * * * * * * * * * * *1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12{ }TQ Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q=Q .

STRUCTURI ALCĂTUITE DIN BARE DREPTE

Clasificarea structurilor alcătuite din bare drepte Barele care alcătuiesc structurile din bare sunt legate între ele la noduri. Nodurile se introduc la îmbinarea a două sau mai multe bare şi în secţiunile de legătură ale barelor cu exteriorul. Opţional, se pot introduce noduri şi în secţiunile de aplicare a forţelor sau momentelor concentrate, sau în secţiunile de început sau de sfârşit a acţiunii sarcinilor distribuite, sau în orice altă secţiune (la barele cu lungime mare). Configuraţia deformată a structurii şi starea de tensiune în barele acesteia sunt complet definite dacă se cunosc deplasările tuturor nodurilor. Un nod poate avea în cazul general şase deplasări – trei de translaţie şi trei de rotaţie – numite şi grade de libertate. În funcţie de tipul structurii, numărul gradelor de libertate pe nod, ng , poate avea diverse valori cuprinse între 1 şi 6. O structură cu nn noduri are n = N – nl grade de libertate, unde N = ng . nn iar nl este numărul deplasărilor nule din legăturile rigide. Structurile alcătuite din bare drepte se pot clasifica după mai multe criterii. Din punct de vedere al comportării nodurilor, structurile pot fi : – cu noduri deformabile, reprezentate ca în figura 1, a ; nodul este deformabil liniar-elastic, dacă între momentul M şi variaţia unghiului α dintre bare se poate scrie relaţia M = C (α' – α), unde C este rigiditatea nodului (v. fig. 1, b1) ; nodurile deformabile liniar-elastic se reprezintă ca în figura 1, b2 ; – cu noduri rigide, reprezentate într-unul din cele două moduri arătate în figura 1, c ; – cu noduri constând din articulaţii, ca în figura 1, d. Structura ale cărei bare sunt articulate între ele sau cu exteriorul iar forţele sunt aplicate numai în noduri se numesc grinzi cu zăbrele sau ferme.

α' = αM

a)

α' ≠ α

M = C (α' – α)

α' = α

M

M

C = ∞

M = 0 α' ≠ α

C = 0

d)b1)

C

α

M

M

C

b2) c1) c2) Fig. 1 Din punct de vedere al dispunerii barelor în spaţiu, structurile pot fi : – plane (v. fig. 2) ; un nod al unei structuri plane are 3 grade de libertate, două liniare (pe direcţii din planul structurii) şi una unghiulară (rotaţie faţă de axa normală pe planul structurii) ; la grinzi cu zăbrele plane, fiecare nod are 2 grade de libertate, deplasările pe două direcţii din planul structuri ; nodurile grinzilor continue încărcate cu forţe normale pe axă şi situate într-unul din planele principale de inerţie au două grade de libertate, o translaţie şi o rotaţie ; – plan – spaţiale, numite şi reţele de bare (v. fig. 3) ; un nod al unei structuri plan – spaţiale are 3 grade de libertate : două unghiulare (rotaţii faţă de două direcţii din planul structurii) şi una liniară (pe direcţia normală pe planul structurii). – spaţiale (v. fig. 4); un nod al unei structuri spaţiale are 6 grade de libertate ; la grinzi cu zăbrele spaţiale, fiecare nod are 3 grade de libertate (deplasările pe trei direcţii).

1

2

4 5

3 8

Noduri opţionale

7

9

6 y

x

y z

Contur de rezemare

x

Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4

Sistemul de ecuaţii al metodei deplasărilor pentru structuri alcătuite din bare drepte Metoda eforturilor, cunoscută din cursul de Rezistenţa materialelor este ineficientă pentru structuri cu multe bare, chiar dacă se foloseşte calculul programat. Metoda deplasărilor se bazează pe relaţiile obţinute la bara dreaptă, considerând ca necunoscute deplasările nodurilor, deplasări ce se determină din ecuaţiile de echilibru ale acestora. Procesul de obţinere a ecuaţiilor de echilibru pentru toate nodurile unei structuri se numeşte asamblare. Asamblarea se poate face prin examinarea succesivă a nodurilor structurii sau prin examinarea succesivă a elementelor de bară ale structurii. Se prezintă asamblarea prin examinarea elementelor de bară ale structurii. Notaţii: Δ(e) – deplasări ale extremităţilor elementului (e), în sistemul local de axe ; k(e) – matricea de rigiditate a elementului (e), în sistemul local de axe ;


2 Qo(e) – forţe la extremităţile fixe ale elementului (e), echivalente încărcărilor de pe deschiderea acestuia, în sistemul local ; λ(e)T – matricea de rotaţie din sistemul local pentru elementul (e), în sistemul global de axe ; ( )eΔ – deplasări ale extremităţilor elementului (e), în sistemul global de axe; ( )ek – matricea de rigiditate a elementului (e), în sistemul global de axe ; o( )eQ – forţe la extremităţile fixe ale elementului (e), echivalente încărcărilor de pe deschiderea acestuia, în sistem global; Δ – vector cu grade de libertate ale structurii, înainte de impunerea condiţiile pentru deplasări rigide, în sistem global; Q* – vectorul forţelor aplicate tuturor nodurilor structurii în sistemul global de axe ; C – matricea rigidităţile legăturilor elastice, pe direcţiile gradelor de libertate ale acesteia (deci în sistemul global de axe) ; k – matricea de rigiditate a structurii, considerând toate gradele de libertate posibile ale nodurilor – în sistemul global. Qo – vectorul forţelor reduse la noduri, echivalente încărcărilor de pe deschiderile elementelor de bară, în sistemul global; Ecuaţia elementului de bară (e) în sistemul local de axe, F (e) = k(e) Δ(e) – Qo(e) , devine, în sistemul global de axe, ( )eF = ( ) ( )e ek Δ – o( )eQ , (1) unde ( ) ( ) ( ) ( )e e T e=k kλ λ e , o( )eQ = λ(e)T Qo(e) , ( )eΔ = λ(e)T Δ(e) , ( )eF = λ(e)T F(e) . (2) Deplasările ( )eΔ ale extremităţilor elementului e pot fi numerotate local (cu 2ng numere cuprinse între 1 şi 2ng ) şi global (cu 2ng numere cuprinse între 1 şi N = ng . nn). Se formează vectorii o ( )eQ şi matricele ( )ek , simbolul „~“ indicând extinderea vectorilor o( )eQ respectiv a matricelor ( )ek de la dimensiunea 2ng la dimensiunea N. Corespondenţa dintre cele două numerotări se realizează cu ajutorul transformării liniare ( )eΔ = A(e)

Δ, unde A(e) este o matrice de incidenţă cu 2ng linii şi N coloane, având pe fiecare linie un singur element egal cu 1 iar restul nule. Pe baza proprietăţii de invarianţă a produsului scalar, ΔT ( )eF =

( )e TΔ ( )eF ⇔ ΔT ( )eF = ΔT A(e)T ( )eF , rezultă ( ) ( ) ( )e e T e=F A F . Se înmulţeşte relaţia (1) cu A(e)T la stânga, A(e)T

( )eF =A(e)T ( )ek A(e)Δ–A(e)T o ( )eQ . Rezultă ecuaţia elementului (e) sub formă extinsă, ( ) ( ) o ( )e e= −F k QΔ e , unde

( )ek = A(e)T ( )ek A(e) , o ( )eQ = A(e)T o ( )eQ . (3)

După operaţia de extindere, vectorii o ( )eQ şi matricele ( )ek pot fi însumate, obţinându-se o o

e

en= ∑Q Q ( ) , ( )

e

en= ∑k k . (4)

Echilibrul nodurilor structurii se obţine similar modului în care s-a obţinut echilibrul pentru cele două noduri ale unei singure bare, – (k Δ – Qo) – CΔ + Q* = 0. Rezultă sistemul K Δ = Q , (5) unde K = k + C ; Q = Qo + Q* . (6)

Condiţii la limită cinematice

Condiţiile la limită cinematice se implementează în legăturile pe care structura le are cu exteriorul. Caracteristica unei legături poate avea una din formele arătate în figura 5.

Δj ΔjΔj

Fj Fj Fj

a) b) c)

Δj*

Fig. 5 A – Condiţiile la limită în legăturile care sunt elastice (fig. 5, a) se impun prin matricea C. B – Dacă pe o direcţie j deplasarea este nulă ca urmare a unei legături rigide (fig. 5, b), în sistemul (5) se face Δj = 0 şi Kij = 0, i = 1, N şi ecuaţia j se neglijează în rezolvarea sistemului. În acest caz nu mai interesează termenul corespunzător din matricea C, care poate fi luat zero. Ecuaţia j se utilizează pentru determinarea reacţiunii Fj din legătura rigidă. Acest procedeu presupune renumerotarea necunoscutelor. Pentru a se evita acest lucru se amplifică coeficientul Kjj cu un număr foarte mare, de exemplu 107...1010. Prin rezolvare rezultă Δj ≅ 0. Procedura se aplică pentru toate legăturile rigide. Sistemul (5) devine ll lb ll

bl bb b

⎡ ⎤ ⎧⎧ ⎫=

⎫⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎩

K K QK K Q

Δ0 ⎭

,

unde 0 = Δb este vectorul constituit din deplasări blocate (nule) iar Δl este vectorul constituit din deplasări libere. Prin dezvoltare se obţin sistemele Kll Δl = Ql ; Qb = Kbl Δl ⇒ Qb

* = Qb – Qbo .

Grinzi continue

3

C – Dacă pe direcţia j se impune o deplasare jΔ ≠ 0, se poate proceda în felul următor. Se scrie Ecuaţia j a sistemului de

ecuaţii (5), Kj1 Δ1 + Kj2 Δ2+ ... + Kjj Δj + ... + Kjn Δn = Qj , sub forma Δj = jΔ ≠ 0, adică toţi coeficienţii Kji se anulează, cu excepţia

coeficientului Kjj care se face egal cu 1 iar Qj se înlocuieşte cu jΔ ≠ 0. În toate celelate ecuaţii ale sistemului se fac următoarele

modificări : Kij = 0 ; Qi ⇒ Qi – Kij jΔ ≠ 0, i ≠ j , i = 1, N . Evident, modificările menţionate pentru legătura j se fac pentru toate

legăturile unde deplasările sunt impuse. Se obţine astfel un sistem de ecuaţii din care lipsesc ecuaţiile corespunzătoare deplasărilor prescrise, prin rezolvarea căruia rezultă deplasările pe care le vom numi libere. Reacţiunile Qj

* = Qj – Qjo din

legăturile cu deplasări prescrise se determină apoi din sistemul ecuaţiilor corespunzătoare deplasărilor prescrise, Qj = Kj1 Δ1 + ... + Kjj jΔ + ... + Kjn Δn . Cele prezentate pot fi formulate matriceal, scriind sistemul (5) sub forma

ll lp l l

pl pp p p

⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

K K QK K Q

ΔΔ

, (7)

unde Δp conţine deplasările jΔ . Dezvoltând rezultă sistemele Kll Δl = Ql – Klp Δp ; Qp = Kpl Δl + Kpp Δp ⇒ Qp

* = Qp – Qpo .

Pentru structuri geometric simetrice, se obţin avantaje substanţiale dacă încărcarea se descompune într-o componentă simetrică şi alta antisimetrică, rezultatul obţinându-se prin suprapunerea efectelor. Pentru structuri geometric simetrice, încărcate simetric, deplasările liniare sunt simetrice iar cele unghiulare sunt antisimetrice. Pentru structuri geometric simetrice, încărcate antisimetric, deplasările liniare sunt antisimetrice iar cele unghiulare sunt simetrice.

Aplicaţii Grinzi continue Deoarece sistemul global şi cele locale au aceleaşi orientări ( eΔ = Δ(e) ), nu sunt necesare transformări de rotaţie, o ( )eQ =

Qo(e) şi ( )ek = k(e). Este necesară însă extinderea matricelor k(e) şi Qo(e), conform (3). Elementele de bară fiind dispuse succesiv pe o direcţie, extinderea se face simplu fără a folosi matricele A(e). Se exemplifică cele menţionate mai sus.

1. Grinda continuă din figura 6, a, constă din două elemente de bară. Structura are 3 noduri şi 6 grade de libertate posibile, Δ ={Δ1 Δ2 Δ3 Δ4 Δ5 Δ6}T, din care două Δ1 , Δ5 sunt nule. Rigidităţile legăturilor elastice K = 2 EI / l, C = 12 EI / l 3.

Δ2(1)

Δ4(1)

I , l

q

Δ1(1) 1

Δ3(1)

Δ4(2)

I , l2Δ2

(2)

Δ1(2)

Δ3(2)

K

Q1*

Q5*

1 2 3

CK I , l I , l

q Δ1 Δ2 Δ3 Δ4 Δ5 Δ6

1 2

151ql2/240 70ql2/240 19ql2/240

q 7ql2/80 3ql2/80

a

b

c

d

Fig. 6 Pentru elementul 1 (fig. 6, b), matricea de incidenţă A(1) (cu ajutorul căreia se face transformarea Δ(1) = A(1)

Δ) este

A(1) =

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

. (8)

Efectuând operaţiile (3), (1)k = A(1)T A(1) , (1)k o (1)Q = A(1)T , se obţine o (1)Q

(1)k = ,

(1) (1) (1) (1)11 12 13 14(1) (1) (1) (1)21 22 23 24(1) (1) (1) (1)31 32 33 34(1) (1) (1) (1)41 42 43 44

0 00 00 00 0

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

k k k kk k k kk k k kk k k k

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

o (1)Q =

o(1)1o(1)2o(1)3o(1)4

00

QQQQ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

. (9)

Procedând similar pentru elementul 2 (v. fig. 6, c), se obţine


4

(2)k = , (2) (2) (2) (2)11 12 13 14(2) (2) (2) (2)21 22 23 24(2) (2) (2) (2)31 32 33 34(2) (2) (2) (2)41 42 43 44

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 00 00 00 0


⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

o (1)Q = o(2)1o(2)2o(2)3o(2)4

00

QQQQ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

. (10)

Se observă că prin extinderea matricei de rigiditate ( )ek = k(e) se stabileşte de fapt poziţia pe care această matrice o ocupă în matricea k a întregii structuri, care se obţine prin însumarea contribuţiilor tuturor elementelor. Aceaeaşi observaţie este valabilă şi referitor la extinderea vectorilor o ( )eQ = Qo(e). În exemplul considerat, matricele k, C şi vectorii Qo, Q* sunt

k = , C =

(1) (1) (1) (1)11 12 13 14(1) (1) (1) (1)21 22 23 24(1) (1) (1) (2) (1) (2) (2) (2)31 32 33 11 34 12 13 14(1) (1) (1) (2) (1) (2) (2) (2)41 42 43 21 44 22 23 24

(2) (2) (2) (2)31 32 33 34(2) (2) (2)41 42 43 4

0 00 0

0 00 0

k k k kk k k kk k k k k k k kk k k k k k k k

k k k kk k k k

+ ++ +

(2)4

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

3

0 0 0 0 0 00 2 / 0 0 0 00 0 12 / 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 2 /

EI lEI l

EI l

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

, Qo =

o(1)1o(1)2o(1) o(2)3 1o(1) o(2)4 2

o(2)3o(2)4

QQQ QQ Q

QQ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪+⎪ ⎪⎨ ⎬

+⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

, Q* = *1

*5

000

0

Q

Q

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

,

unde sunt reacţiunile din legăturile rigide corespunzătoare deplasărilor Δ1 = Δ5 = 0. Înlocuind în * *1 5,Q Q (6) şi (5) se obţine

2 2 2

2 2 2 2

2

l

l

−2

3

4

6

0

0

3

2 2

12 6 12 6 0 06 4 2 6 2 0 012 6 12 12 12 6 6 12 66 2 6 6 4 4 6 20 0 12 6 12 60 0 6 2 6 4 2

l ll l l l l

l l lEIl l l l l l l ll

l ll l l l

− − −⎡ ⎤⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎢ ⎥− + + − −⎢ ⎥− − +⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥

− +⎢ ⎥⎣ ⎦

⎧ ⎫⎪ ⎪Δ⎪ ⎪⎪ ⎪Δ⎪ ⎪⎨ ⎬Δ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪Δ⎪ ⎪⎩ ⎭

= *1

2

2

*5

/ 2/12

/ 2/12

0

ql Qqlql

qlQ

⎧ ⎫+⎪ ⎪−⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

. (11)

Din sistemul (conţinând ecuaţiile 2, 3, 4, 6) ; ; 2 2 5

2 3 46 6 2 / (12l l l ql EΔ + Δ + Δ = − )I 42 3 66 36 6 / (2l l l ql EΔ + Δ − Δ = )I

0 ; 2 2 2 52 4 62 8 2 / (12l l l ql EΔ + Δ + Δ = )I 2 2

3 4 66 2 6l l l− Δ + Δ + Δ = ,

rezultă ; ; ; , iar din ecuaţiile 1 şi 5, 32 7 / (160 )ql EIΔ = − 4

3 7 / (288ql EIΔ = ) )

=

34 / (60 )ql EIΔ = 3

6 3 / (160ql EIΔ =

, *16 ( 7 /160) 12(7 / 288) 6 ( / 60) / 2l q ql l q ql Q− − − − = + *

512(7 / 288) 6 ( / 60) 6 (3 /160)ql l q l q Q− + +se obţin reacţiunile din legături rigide corespunzătoare deplasărilor Δ1 şi Δ5 , ; . Reacţiunile din legăturile elastice se calculează cu relaţiile

*1 151 / 240Q ql= − *

5 19 / 240Q ql= −

4

*3 3 3

12 7 70288 240

EI qlQ C qlEIl

= − Δ = − = − ,

3* 22 2

2 7 7160 80

EI qlQ K qll EI

⎛ ⎞= − Δ = − − =⎜ ⎟

⎝ ⎠ ,

3* 26 6

2 3 3160 80

EI qlQ K qll EI

= − Δ = − = − .

2. Observând că grinda continuă din problema anterioară este simetrică din punct de vedere geometric, se rezolvă această problemă prin suprapunerea efectelor, descompunând încărcarea dată într-o încărcare simetrică şi una antisimetrică. 2a. Grinda continuă simetrică încărcată simetric (v. fig. 7, a) poate fi examinată pe jumătate, impunând condiţia ca în axa de simetrie rotirea să fie nulă şi luând pe jumătate rigiditatea legăturii elastice (fig. 7, b).

Δ2 Δ1

K CK I , l I , l1 2

q / 2

Δ4 Δ3

K I , l

q / 2

C / 2

l

ql2 / 24 q / 2

17ql / 48/

7ql / 48

1 3 2

Δ2 Δ4 Δ3 Δ6 Δ5

a

b c Δ1

Fig. 7 Sistemul de ecuaţii are forma

2 2 2

3

2 2

12 6 12 66 4 2 6 212 6 12 6 66 2 6 4

l ll l l l lEI

l lll l l l

− − −⎡ ⎤⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎢ ⎥− +⎢ ⎥−⎣ ⎦

2

3

0

0

⎧ ⎫⎪ ⎪Δ⎪ ⎪⎨ ⎬Δ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

= 2

2

/ 4/ 24

/ 4/ 24

qlqlql

ql

⎧ ⎫⎪ ⎪−⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

+ *1

*4

00

Q

Q

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

.

Grinzi continue

5

Din ecuaţiile 2 şi 3 ale sistemului, rezultă , , iar din ecuaţiile 1 şi 4 ale aceluiaşi

sistem se obţine ; . Reacţiunile din legăturile elastice sunt

32 / (32 )ql EIΔ = − 4

3 7 / (288 )ql EIΔ =*1 17 / 48Q ql= − * 2

4 / 24Q ql=3

* 22 2

2 132 16

EI qlQ K qll EI

= − Δ = = ;

4

3

6 7 7288 48

EI ql*3 3Q C q

EIl= − Δ = − = − l . Forţele care apar la extremităţile elementului de bară, reprezentate în fig. 7, c, sunt în

echilibru, ceace reprezintă o verificare a calculelor. Având în vedere întreaga grindă, 5 0Δ = , . 3

6 2 / (32 )ql EIΔ = −Δ = 2b. Grinda continuă simetrică încărcată antisimetric (v. fig. 8, a) poate fi de asemenea exami-nată pe jumătate, impunând condiţia ca în axa de simetrie deplasarea liniară să fie nulă (v. fig. 8, b).

2

Δ2 Δ1

K K I , l

I , l

1

2q / 2

Δ4 Δ3

K I , l

q / 2

q / 2

1 3

Δ2 Δ1 Δ6 Δ4 Δ3 2

l

q / 2

11ql / 40/

9ql / 40

ql 2/ 40b c

a

Fig. 8

Din ecuaţiile 2 şi 4 ale sistemului 2 2 2

3

2 2

12 6 12 66 4 2 6 212 6 12 6 66 2 6 4

l ll l l l lEI

l lll l l l

− − −⎡ ⎤⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎢ ⎥− +⎢ ⎥−⎣ ⎦

2

4

0

0

⎧ ⎫⎪ ⎪Δ⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪Δ⎩ ⎭

= 2

2

/ 4/ 24

/ 4/ 24

qlqlql

ql

⎧ ⎫⎪ ⎪−⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

+ *1

*3

0

0

Q

Q

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

, rezultă ;

, iar din ecuaţiile 1 şi 3 se obţine ; Q . Reacţiunea din încastrarea elastică este

32 / (80 )ql EIΔ = −

34 / (60 )ql EIΔ = *

1 11 / 40Q ql= − *3 9 /= − 40ql

3*2 2

2 180 40

EI qlQ K qll EI

= − Δ = = 2 . Forţele la extremităţi sunt date în. 8, c. Pentru toată grinda, 5 0Δ =

(160

, .

Însumând, se obţine ; Δ = ;Δ = ; Δ = .

3/ (80 )ql EI= −6 2Δ =Δ

)EI32 7 / (160ql EIΔ = − ) 3 7ql 4 / (288 )EI 4

3ql / (60EI ) 6 ql33 /

CALCULUL PRIN METODA DEPLASĂRILOR

Metodologia de calcul a cadrelor prin metoda deplasărilor se va prezenta pe exemplul unui cadrul plan cu noduri rigide, având: l = 2m , A = 10 –3 m2 , E = 2.105 MPa , q = 12 kN / m . Se va rezolva cadrul în două variante, cu şi fără considerarea influenţei forţelor axiale, în ambele variante ţinându-se seama de simetrie. Pentru a evidenţia ordinul de mărime al influenţei maxime pe care rigiditatea axială o poate avea asupra rezultatelor, se va considera valoarea /l ρ = 10 . (1) În acest caz,

2 3 2

5 42 2

10 2 4.10( / ) (10)

AlI ml

−−= = =

ρ . (2)

q

C

Fig. 1

a) Cazul în care se consideră influenţa forţelor axiale

• Definirea modelului structural.

Se analizează jumătatea de cadru din figura 1, b, constând din două elemente dispuse ortogonal. În axa de simetrie a fost introdus un nod, a cărui rotire este zero.

Axele globale ale structurii ,x y se consideră în planul cadrului, ca în figura 1, b, unde sunt numerotate şi gradele de libertate posibile ale structurii (N = 9 deplasări posibile ale tuturor nodurilor) în sistemul global de axe, înainte de impunerea condiţiile la limită pentru deplasări rigide.

Axele locale ale celor două elemente sunt arătate în figurile 1, c şi 1, e. Pentru elementul 2, axele locale coincid cu axele globale, dar pentru elementul 1, numai axa z(1) coincide cu axa globală z .

• Matricele de rigiditate şi vectorii sarcinilor reduse la noduri în sistemele locale de axe. Cele două elemente ale cadrului fiind identice, ele au aceeaşi matrice de rigiditate. Cu numerotările locale din figurile 1, c şi e, făcând abstracţie de forfecare,

(1)2Δ

(1)3Δ

a E, I, A, 2l

Δ3

xy

2

Δ4

Δ5

Δ6

Δ1 Δ2

Δ

Δ8

Δ9

b

(1)1Δ

(1)2Δ

(1)3Δ

(1)4Δ (1)

5Δ

(1)6Δ

x

y

y (1)

x (1)

(1)1Δ

(1)5Δ

(1)6Δ

(1)4Δ

(2) (21 1Δ = Δ )

(2) (2)2 2Δ = Δ

(2) (2)5 5Δ = Δ

(2) (2)6 6Δ = Δ

(2) (2)4 4Δ = Δ

(2)x x≡

c de

(2) (2)3 3Δ = Δ

(2)y y≡

B

D

D

C

B

1 1

E, I, A, l

1

2


2

, (3) 2 2

(1) (2)

2 2

0 0 0 00 12 6 0 12 60 6 4 0 6 2

0 0 0 00 12 6 0 12 60 6 2 0 6 4

a a

a a

k kk lk k lk

lk l k lk l kk k

k lk k lklk l k lk l k

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−

= = ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

k k

unde s-au folosit notaţiile

3,aEA EIk kl l

= = . (4)

Vectorul sarcinilor reduse la noduri este nul pentru bara 1, care nu este încărcată,

= 0 , (5) o (1)Qiar pentru bara 2, ţinând seama că q are sens invers axei y, are expresia

2

o (2)

2

0/ 2/12

0/ 2

/12

qlql

qlql

⎧ ⎫⎪ ⎪−⎪ ⎪⎪ ⎪−⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪−⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

Q . (6)

• Matricele de rigiditate şi vectorii sarcinilor reduse la noduri în sistemul global de axe. Pentru elementul 1, matricea de rotaţie a sistemului local faţă de sistemul global este

o

o

0 1 0 0 0 01 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 00 0 0 0 1 00 0 0 1 0 00 0 0 0 0 1

(1)(1)

(1)

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤

= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥

⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

λλ

λ0

0

, (7)

iar pentru elementul 2, axele locale şi globale coincid, adică

3 3 3 3

3 3 3 3

× ×(1)

× ×

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦λ

Ι 00 Ι

, (8)

unde I 3 x 3 , 03 x 3 reprezintă matricea unitară respectiv matricea nulă de ordinul al treilea.

Pentru elementul 1, matricea de rigiditate în sistemul global se obţine prin transformarea (1) (1) (1) (1)T=k λ k λ . Efectuând înmulţirile, rezultă

2 2

(1)

2 2

12 0 6 12 0 60 0 06 0 4 6 0 212 0 6 12 0 60 0 06 0 2 6 0 4

a a

a a

k lk k0

0

lk k


k klk l k lk l k

− − −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−

= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

k

k

, o(1) =Q 0 . (9)

Pentru elementul 2 se obţine (2) (2)=k k , o(2) o(2)=Q Q . (10)

• Asamblarea elementelor.

Cadre plane

3

Matricele de rigiditate şi vectorii sarcinilor reduse la noduri în sistemul global se extind la dimensiunea N = 9. Această operaţie se poate efectua cu ajutorul matricelor A(e), sau, mult mai eficient, folosind matricea indicilor L.

În cazul de faţă,

(1)

1 0 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A

, (2)

0 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 0 1 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 0 0 1

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

A

;

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 5 6

1 1 2 3 4 5 62 4 5 6 7 8 9

e e e e e e

ee

Δ Δ Δ Δ Δ Δ=

==

L . (11)

În urma efectuării operaţiilor de extindere, rezultă

2 2

(1)

2 2

12 0 6 12 0 6 0 0 00 0 0 0 0 0 06 0 4 6 0 2 0 0 012 0 6 12 0 6 0 0 00 0 0 0 0 0 06 0 2 6 0 4 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0

a a

a a

k lk k lkk k


k klk l k lk l k

− − −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥= −⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

k

, (2)

2 2

2 2

0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 00 0 0 0 12 6 0 12 60 0 0 0 6 4 0 6 20 0 0 0 0 0 00 0 0 0 12 6 0 12 60 0 0 0 6 2 0 6 4

a a

a a

k kk lk k lk

lk l k lk l kk k


⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥= −⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥

− − −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

k

(12)

{ }o (2) 2 20 0 0 0 / 2 /12 0 / 2 /12T ql ql ql ql= − − −Q .

După extindere, operaţia de asamblare a matricelor ( )ek se face prin simplă adunare,

2 2

2 2 2

2 2

12 0 6 12 0 6 0 0 00 0 0 0 0 06 0 4 6 0 2 0 0 012 0 6 12 0 6 0 00 0 0 12 0 6 0 126 0 2 6 6 4 4 0 6 20 0 0 0 0 0 00 0 0 0 12 6 0 12 60 0 0 0 6 2 0 6 4

a a

a a

a a

a a

k lk k lkk k

lk l k lk l kk lk k k lk k

k k k lklk l k lk lk l k l k lk l k

k kk lk k

lk l k lk l k

− − −⎡⎢ −⎢⎢ −⎢− + −⎢⎢= − + + −⎢

− +⎢⎢ −⎢

− − −⎢−⎣

k

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎦

2

0

6k lk

lk

−

,

{ }o 20 0 0 0 / 2 /12 0 / 2 /12T

ql ql ql ql= − − −Q 2 .

Făcând înlocuirile,

25 32.10 10 100 , 1

2a aEA MN MNk k kl m l

−⋅ ρ⎛ ⎞= = = = =⎜ ⎟⎝ ⎠ m

,

3 2 3 2

3 312.10 2 12.10 212.10 , 4.102 2 12 12ql qlMN M

− −− −⋅ ⋅

= = = = Nm ,

rezultă


4

12 0 12 12 0 12 0 0 00 100 0 0 100 0 0 0 012 0 16 12 0 8 0 0 012 0 12 112 0 12 100 0 0

,0 100 0 0 112 12 0 12 1212 0 8 12 12 32 0 12 80 0 0 100 0 0 100 0 00 0 0 0 12 12 0 12 120 0 0 0 12 8 0 12 16

MN m

− − −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥− −⎢ ⎥

⎢ ⎥−⎢ ⎥

− − −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

k = ,

{ }o 310 0 0 0 0 12 4 0 12 4 ,T MN m− ⋅ − − −Q = .

Cadrul neavând legături elastice, matricea diagonală C este nulă iar pe direcţiile legăturilor rigide (1, 2, 3, 7, 9) apar elemente ale vectorului Q*, astfel încât sistemul de ecuaţii se scrie sub forma

1

2

3

4

5

6

7

8

9

12 0 12 12 0 12 0 0 00 100 0 0 100 0 0 0 012 0 16 12 0 8 0 0 012 0 12 112 0 12 100 0 00 100 0 0 112 12 0 12 1212 0 8 12 12 32 0 12 80 0 0 100 0 0 100 0 00 0 0 0 12 12 0 12 120 0 0 0 12 8 0 12 16

Δ− − − ⎧⎡ ⎤⎪⎢ ⎥ Δ− ⎪⎢ ⎥⎪⎢ ⎥ Δ−⎪⎢ ⎥ Δ− − ⎪⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥ Δ− − ⎨⎢ ⎥ ⎪Δ− −⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥ Δ− ⎪⎢ ⎥ ⎪Δ− − −⎢ ⎥ ⎪⎢ ⎥ Δ−⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎩

*1*2*3

*7

*9

0000 012 04 0

012 04

QQQ

Q

Q

⎧ ⎫⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= +−⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪− ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪− ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎭ ⎩ ⎭

.

• Implementarea condiţiilor la limită geometrice se face, pentru acest exemplu lucrat manual, prin divizarea sistemului în două subsisteme: unul care conţine deplasările libere (Δ4 , Δ5 , Δ6, Δ8) şi un altul care conţine reacţiunile în legăturile cu deplasări nule (Δ1 = Δ2 = Δ7 = 0, Δ3 = Δ9 = 0).

• Deplasările libere se obţin prin rezolvarea subsistemului

4

5 3

6

8

112 0 12 0 00 112 12 12 12

1012 12 32 12 40 12 12 12 12

−

Δ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪Δ− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ = ⋅⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ Δ− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪Δ− − −⎣ ⎦ ⎩⎩ ⎭

⎫⎪

⎭

,

din care rezultă Δ4 = 0,0916.10–3 m , Δ5 = – 0,24.10–3 m ,

Δ6 = – 0,855.10–3 rad , Δ8 = – 2,095.10–3 m .

• Reacţiunile în legăturile rigide se obţin din celelalte 5 ecuaţii ale sistemului de mai sus,

,

*1*2

3*3*7*9

12 / 0 12 00,0917

0 100 / 0 00,24

1012 0 8 00,855

100 / 0 0 02,095

0 12 8 12

MN m MNQm

MN mQm

MN MNmQrad

MN mQm

MN MNm MNQ

−

− −⎧ ⎫ ⎡ ⎤⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎢ ⎥− ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎢ ⎥ −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= ⋅⎨ ⎬ ⎨ ⎬−⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎩ ⎭⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎣ ⎦⎩ ⎭

de unde rezultă = 9,16 kN , = 24 kN , = – 5,74 kNm , *

1Q *2Q *

3Q

= 9,17 kN , = 15,42 kNm. *7Q *

9Q

Cadre plane

5

• Se determină deplasările la extremităţile barelor, în sistemele locale, cu relaţiile Δ(e) = λ(e) ( )eΔ Δ = λ(e) A(e) Δ.

Rezultă { }(1) 30 0 0 0, 24 0,917 0,855 10T m m rad −= − − −Δ ⋅ ,

{ }(2) 30,917 0, 24 0,855 0 2,095 0 10T m m rad m −= − − −Δ ⋅ .

• Se determină forţele la extremităţile barelor, în sistemele locale, cu relaţiile F (e) = k(e) Δ(e) – Qo(e). Rezultă

{ }(1) 24 9,16 5,74 24 9,16 12,58T kN kN kNm kN kN kNm= − − − −F ,

{ }(2) 9,16 24 12,58 9,16 0 11,42T kN kN kNm kN kNm= −F .

Forţele la extremităţi şi eforturile (forţe tăietoare şi momente încovoietoare) în barele cadrului sunt prezentate în figura 2.

Fig. 2

b) Cazul în care rigidităţile axiale ale barelor se consideră infinite

Se parcurg aceleaşi etape ca în cazul precedent. Neglijându-se influenţa forţelor axiale, matricele de rigiditate ale barelor cadrului conţin în acest caz numai componentele de încovoiere,

2 2

(1) (2)

2 2

12 6 12 66 4 6 212 6 12 66 2 6 4



−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥= =⎢ ⎥− − −⎢ ⎥−⎣ ⎦

k k . (13)

În afara deplasărilor Δ1 , Δ2 , Δ3 , Δ7 , Δ9 , în acest caz mai sunt nule şi deplasările Δ4 , Δ5 , astfel încât sistemul pentru deplasări libere devine

6 3

8

32 12 410

12 12 12−Δ− −⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫

= ⋅⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ Δ− −⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭ ,

de unde rezultă Δ6 = – 0,8.10–3 rad , Δ8 = – 1,8.10–3 m .

– Deplasările la extremităţile barelor, în sistemele locale, au în acest caz valorile

{ }(1) 30 0 0 0,8 10T rad −= −Δ ⋅ ,

{ }(2) 30 0,8 1,8 0 10T rad m −= − − ⋅Δ .

2412,58 11,42

5,74

TkN, m

9,1624

24

5,74

12,58

9,16

9,16

9,16 12,5

11,42

9,16

24 1224 B 9,16

9,16 12,58 24

M

kN, m kN,

m

kN, m


6 – Forţele la extremităţile barelor în sisteme locale se obţin din relaţiile

(1)

3

12 12 12 12 0 9,612 16 12 8 0 6, 412 12 12 12 0 9,6

12 8 12 16 0,8 10 12,8

T

MN kNMNm kNm

MN kNMNm rad kNNm−

− −⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪− −⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− − − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪− − ⋅ −⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

F ,

(2)

12 12 12 12 0 12 2412 16 12 8 0,8 4 12,812 12 12 12 1,8 12 0

12 8 12 16 0 4 11,2

T

kNkNm

kNm

− −⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪− − −⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= − =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥− − − − −⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

F , (14)

şi sunt reprezentate în fig. 3, împreună cu eforturile (forţe tăietoare şi momente încovoietoare) din barele cadrului.

Fig. 3

Comparând rezultatele obţinute în cele două rezolvări se observă că: – diferenţa (2,095.10–3m – 1,8.10–3m) între deplasări pentru punctul D este dată aproape integral de comprimarea barei BC (0,24.10–3m); – eforturile axiale se pot obţine pe baza echilibrului nodului B; se observă că ele diferă nesemnificativ. Pentru bara CD, faţă de 9,16 kN s-a obţinut 9,6 kN. Pentru momentul din D s-au obţinut de asemenea diferenţe acceptabile (11,2 kNm faţă de 11,42 kNm); ele devin mai mici pentru valori mai mari ale raportului /l ρ .

METODĂ SIMPLIFICATĂ DE CALCUL A STRUCTURILOR PLANE PRIN METODA DEPLASĂRILOR

Relaţii de bază

În metoda simplificată a deplasărilor aplicabilă structurilor plane cu noduri rigide se admite că distanţa dintre noduri nu se modifică, se consideră că rigiditatea axială EA este infinită. În aceste condiţii, ecuaţia matriceală a elementului de bară ij (v. şi fig. 4, a) al unei structuri plane, F(ij) = k(ij) Δ (ij) – Qo(ij), se scrie dezvoltat sub forma

Fig. 4

24

24

6,4

12,8

9,6

9,6

24 12,8

11,2

5,74

T

9,6

kN,

9,612,8

11,2

9,6

24 1224

24

9,6 9,6

12,8

M

B

kN,

kN, kN,

lij, EIij, χij, υ

Δ1 q

ψij

a)

Δ3

F3

F2

F1 Δ2 Δ4

F4

i j

q

b)

Mi

θθj

Mi

x j i

Cadre plane

7

( )( ) ( )( ) o1 1 1

( ) 2 2 o2 2 2

3 o3 3 3

2 2 o4 4 4

12 6 12 66 (4 ) 6 (2 )12 6 12 6(1 )6 (2 ) 6 (4 )

ijij ijij

ijF l l QF l l l l QEIF l ll QF l l l l Q

Δ− − − ⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ Δ− + Φ − Φ⎛ ⎞⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= −⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎢ ⎥ Δ−+ Φ⎝ ⎠⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪Δ− − Φ + Φ⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

. (15)

Se notează

( )

( )

(1 )

ijij EIk

lΦ ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥+ Φ⎣ ⎦ ,

( )

( )2 '

24(1 )ij

ij

f

Il A

⎛ ⎞+ υΦ = ⎜⎜

⎝ ⎠⎟⎟ (16)

şi se scriu dezvoltat numai ecuaţiile 2 şi 4 din ecuaţia matriceală de mai sus,

( )

( ) ( ) o ( )1 32 2 4 2( ) , (4 ) (2 ) 6 ( )

ijij ij ijF k Q

lΦ Δ − Δ⎛ ⎞= + Φ Δ + − Φ Δ − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )( ) ( ) o ( )1 3

4 4 2( ) (4 ) (2 ) 6 ( )ij

ij ij ijF k Ql

Φ Δ − Δ⎛ ⎞= + Φ Δ + − Φ Δ − −⎜ ⎟⎝ ⎠

4 .(17)

Dacă se mai fac notaţiile (fig. 4, b) θi = Δ2 , θj = Δ4 , ψij = (Δ1 – Δ3 ) / lij , Mij = (F2)(ij) , Mji = (F4)(ij) ,

( )' ''

o2

(2 / 2) (1 / 2)( )3(1 )

ij

ij ijm mQ

⎛ ⎞+ Φ − − Φ= = − ⎜ ⎟+ Φ⎝ ⎠

M ( )'' '

o4

(2 / 2) (1 / 2)( )3(1 )

ij

ij ijm mQ

⎛ ⎞+ Φ − − Φ= = ⎜ ⎟+ Φ⎝ ⎠

M , (18)

ecuaţiile (17) devin , ( ) ( )(4 ) (2 ) 6ij ij

ij ij i ij j ij ij ijM k k kΦ Φ Φ= + Φ θ + − Φ θ − ψ − M ( ) ( )(4 ) (2 ) 6ij ijji ij j ij i ij ij jM k k kΦ Φ Φ= + Φ θ + − Φ θ − ψ − M i . (19)

Când se neglijează efectul forfecării (Φ(ij) = 0), relaţiile (17) devin Mij = 4 k

ij θi + 2 k ij θj – 6 k

ij ψij – Mij , Mji = 2 k ij θi + 4 k

ij θj – 6 k ij ψij – Mji , (20)

unde , , . (21) ' '' ( )(2 ) / 3ij

ij m m− −M = '' ' ( )(2 ) / 3ijji m m−M = ( )( / ) ij

ijk EI l=

În aceste relaţii, Mij şi Mji sunt momente de încastrare perfectă la extremităţile fixe ale elementului ij. În calcule simplificate, structurile plane cu noduri rigide se împart în două categorii: cu noduri care pot avea numai deplasări unghiulare şi cu noduri care pot avea atât deplasări unghiulare cât şi deplasări liniare. Impropriu, cele două tipuri de structuri se numesc cu noduri fixe respectiv deplasabile. Se prezintă numai structurile cu noduri fixe. Dacă necunoscute sunt numai rotiri de noduri θi (i = 1, n ), adică 0ijψ = , relaţiile (17), (20) devin

Mij = (4 + Φij ) θi + (2 – Φij ) θj – Mij , Mji = ijk Φijk Φ

ijkΦ (4 + Φij ) θj + ijk Φ (2 – Φij ) θi – Mij , (22)

respectiv, atunci când se neglijează efectul forfecării,

Mij = 4 k ij θi + 2 k

ij θj – Mij , Mji = 2 k ij θi + 4 k

ij θj – Mji . (23)

Rotirile θi se determină din ecuaţiile de echilibru ale nodurilor. Ţinând seama că în nodul i poate fi aplicat un moment exterior Mi precum şi o legătură elastică de rotaţie având constanta de rigiditate Ki, ecuaţia de echilibru a acestui nod se scrie sub forma

0ij i i ijM M K− + θ =∑ , i = 1 ... n , (24)

unde suma se extinde asupra tuturor barelor j care au un nod în i. Înlocuind relaţia (22)1 în (24), rezultă ecuaţia nodului i pentru o structură cu noduri fixe

. (25, a) (4 ) (2 )i ij ij i ij ij j ij ij jk K k MΦ Φ⎡ ⎤θ + Φ + + − Φ θ = +⎣ ⎦∑ ∑ M

Când se neglijează efectul forffecării, ecuaţia nodului i devine

i . ( )4 2i ij i ij j ijj jk K k Mθ + + θ =∑ ∑ M + (25 , b)

Întotdeauna se pot scrie atâtea ecuaţii de tip (25) câte rotiri de noduri sunt necunoscute. În aplicaţii concrete, se scriu mai întâi expresiile momentelor de la extremităţile tuturor elementelor de bară, după care aceste momente se înlocuiesc în ecuaţiile de echilibru (24) ale nodurilor.

Aplicaţii

1. Să se determine rotirile şi momentele din nodurile cadrului din figura 5, la care θ1 = θ3 = θ5 = 0.


8

Fig. 5

Pe baza relaţiilor (23), se obţine

M12 = 2 (E 2I / 6) θ2 – M12 , M21 = 4 (E 2I / 6) θ2 – M21 , M23 = 4 (E 2I / 8) θ2 – M23 , M32 = 2 (E 2I / 8) θ2 – M32 ,

M45 = 4 (EI / 8) θ4 – M45 , M54 = 2 (EI / 8) θ4 – M54 , M24 = 4 (EI / 3) θ2 + 2 (EI / 3) θ4 , M42 = 4 (EI / 3) θ4 + 2 (EI / 3) θ2 ,

unde

M12 = – (2⋅8/60 – 7/60) 30⋅62/3 = – 54 kNm, M21 = (2⋅7/60 – 8/60) 30⋅62/3 = 36 kNm, M23 = – (2⋅1/4 – 1/4) 6⋅ 82/3 = – 24 kNm,

M32 = (2 ⋅ 1/4 – 1/4) 6 ⋅ 8 2 / 3 = 24 kNm , M45 = – (2 ⋅ 3/8 – 3/8) 24 ⋅ 8 / 3 = – 24 kNm , M54 = (2 ⋅ 3/8 – 3/8) 24 ⋅ 8 / 3 = 24 kNm.

Nodurile 2 şi 3 sunt în echilibru, dacă M21 + M23 + M24 = 0, M42 + M45 = 0. Făcând înlocuirile se obţine sistemul

4 (E 2I / 6) θ2 – 36 + 4 (E 2I / 8) θ2 + 24 + 4 (EI / 3) θ2 + 2 (EI / 3) θ4 = 0, 4 (EI / 3) θ4 + 2 (EI / 3) θ2 + 4 (EI / 8) θ4 + 24 = 0 ,

sau 3,667θ2 + 0,667θ4 = –12EI , 0,667θ2 + 1,833θ4 = – 24EI , de unde rezultă θ2 = – 0,954 ⟨kNm⟩/EI , θ4 = – 12,746 ⟨kNm⟩/ EI .

Momentelor Mij de la extremităţile elementelor de bară se obţin înlocuind θ2 şi θ4 în expresiile scrise mai sus.

TEMA

2. Să se determine momentele din nodurile cadrelor de petrolier din figurile 3 şi 4.

Fig. 6 Fig. 7

EI, 6m

60kN/m

EI, 6m EI, 6m

21 60kN/m

EI, 8m EI, 2mEI, 6m

1

433

, 8m 4kN

EI, 3m

30kN/m

5EI

6kN/m

4 4

2EI, 8m

2EI, 6m

4

2

3

1

REŢELE DE BARE GENERALITĂŢI. METODE DE CALCUL. IPOTEZE

Reţele de bare sunt structuri formate din bare conţinute într-un singur plan, încărcate cu forţe dispuse normal pe acest plan (încărcări transversale), pe care le transmit unui contur de rezemare. Dacă barele sunt prevăzute cu un înveliş de tablă, ele se mai numesc planşee. Folosind conceptul de fâşie adiţională, un planşeu poate fi tratat ca o reţea de bare. O reţea de bare poate fi încărcată şi cu sarcini conţinute în planul acesteia. În calculul de ordinul I aceste sarcini trebuie să fie suficient de mici pentru a nu influenţa încovoierea barelor reţelei cauzată de sarcinile transversale. Exemple de structuri care pot fi încadrate în categoria reţelelor de bare: platforme, punţi din apropierea axei neutre a secţiunii transversale a navei, pereţi transversali, capace de magazii. În terminologia din teoria reţelelor de bare, grinzile mai numeroase şi mai puţin rigide se numesc principale sau nervuri (stiffeners, în lb. engl.) iar cele mai rare se numesc secundare sau întărite (girders, în lb. engl.). Dacă sarcina transversală este transmisă reţelei prin intermediul unui înveliş de tablă, distribuirea sarcinii pe grinzile reţelei se face după regula semiempirică a lui Faulkner ([7]) inspirată după distribuţia reacţiunilor pe laturile conturului de rezemare a plăcilor dreptunghiulare. Dacă încărcarea p este uniformă, pe lungimea b a grinzii întărite revine sarcina Q2 = pb2/2 iar pe lungimea a a nervurii revine sarcina Q1 = pab – pb2/2 = pb2(a/b – 1/2) (v. fig. 1). Sarcinile Q2 şi Q1, cu distribuiţii triunghiulară respectiv parabolică, se uniformizează, obţinându-se astfel distribuţii cu intensităţile q2 = pb/2 respectiv q1 = pb(1 – b/2a). Pentru reţele cu nervuri foarte dese (b << a), se poate considera că acestea preiau întreaga încărcare (q1 = pb, q2 = 0). În acest caz, grinzile întărite care susţin nervurile sunt încărcate cu reacţiunile din dreptul fiecărei nervuri. Majoritatea reţelelor de bare sunt ortogonale, adică formate din două seturi de bare paralele, care se intersectează sub unghiuri de 90o. O reţea ortogonală de bare se numeşte regulată dacă este mărginită de un contur dreptunghiular iar barele de pe fiecare direcţie sunt identice între ele, prismatice pe toată lungimea lor şi dispuse echidistant. În general, reţelele de bare ale navelor posedă suficiente caracteristici de uniformitate. Ca orice structură din bare, reţelele pot fi calculate cu metoda deplasărilor sau prin diferite variante ale metodei forţelor. Scopul urmărit în urma unui astfel de calcul este stabilirea gradului de participare a grinzilor componente în preluarea sarcinilor exterioare şi determinarea eforturilor în grinzi. În calculul prin metoda forţelor, necunoscute sunt eforturile (forţe şi momente) de interacţiune dintre barele reţelei la noduri, în timp ce în metoda deplasărilor, necunoscutele sunt deplasări ale nodurilor (liniare şi unghiulare). La calculul reţelelor ortogonale de bare, atât prin metoda eforturilor cât şi prin cea a deplasărilor, se fac o serie de ipoteze simplificatoare. Astfel, în metoda eforturilor, o primă ipoteză constă în neglijarea forţelor de interacţiune din planul reţelei şi a momentelor faţă de axa normală pe planul acesteia. Pentru reţele constituite din bare cu pereţi subţiri deschise (care au rigiditatea la răsucire foarte mică), se admite în plus o a doua ipoteză şi anume se neglijează şi celelalte două momente de interacţiune, astfel încât rămân de determinat numai forţele de interacţiune normale pe planul reţelei. În urma admiterii celor două ipoteze se obţine modelul de calcul format din grinzi paralele cu o direcţie, rezemate pe grinzile de pe cealaltă direcţie prin intermediul unor bare articulate la ambele capete, care permit barelor celor două seturi să se rotească independent în noduri dar le obligă se aibă aceeaşi deplasare normală pe planul reţelei. Forţele de interacţiune sunt puse în evidenţă prin izolarea grinzilor, care sunt sprijinite pe conturul de rezemare şi mai sunt încărcate şi cu sarcini exterioare. Forţele de interacţiune se determină din condiţii de compatibilitate (continuitate) a deplasărilor la noduri, pentru celor două seturi de grinzi care se încrucişează. Folosind aceste ipoteze simplificatoare, s-au dezvoltat o serie de variante ale metodei eforturilor pentru diverse tipuri de reţele, cu număr mic de noduri sau cu multe noduri dar având un anumit grad de regularitate [3, 12, 16 etc.]. Corespunzător primei ipoteze acceptată în calculul prin metoda eforturilor, la calculul reţelelor prin metoda deplasărilor se neglijează deplasările de translaţie ale nodurilor în planul reţelei şi rotirile faţă de axa normală pe planul acesteia. Nodurile reţelelor plane ortogonale au deci trei grade de libertate: translaţii pe direcţia normală pe planul reţelei şi rotaţii faţă de axele din planul reţelei. Ele se determină din condiţii de echilibru a nodurilor, în care converg de obicei câte 4 elemente de bară. În general, trecerea de la sistemele de referinţă locale – ataşate fiecărui element de bară – la cel global necesită transformări de axe. În calcule manuale, se pot orienta sistemele locale de referinţă astfel încât să nu mai fie necesare transformări de axe. De asemenea, condiţiile la limită geometrice în legături rigide pot fi impuse încă din faza de întocmire a vectorilor/matricei de localizare, ceea ce impune a se ţine seama de acest lucru încă din faza de numerotare a deplasărilor globale. În felul acesta, pe baza matricei de localizare, din matricele k(e) se obţine direct matricea de rigiditate asamblată, după care, prin adăugarea matricei rigidităţilor legăturilor elastice se obţine matricea sistemului de ecuaţii din care se determină deplasările nodurilor.


2

Fig. 1 Aplicaţii

1. Folosind metoda eforturilor, să se determine interacţiunile dintre grinzile reţelei din figura 2, a, simplu rezemată pe contur şi încărcată cu sarcina uniformă p [N/m2]. Grinzile principale sunt identice şi echidistante şi au momentul de inerţie Io. Grinzile secundare au momentul de inerţie I. Aplicaţie numerică: a = 1 m, l = 6 m, I = 2Io.

Fig. 2

a

a

a

a

a

l/3 l/3 l/3

l

1 1 l/3

a)

b)

d1)

1

2 2

22

1

11

EIo

1

2

1 2

1 2

3

q

ql2/2 c EIo 1 2

R1, R2 R1, R2

q Q

x

y

a2a

1

1 1

1

d2)

EI

1

1

2

2

3 3

q2

q1

a a

b

b

b

Q2

Q2

Q1Q1

q2

q1

Reţele de bare

3

2

s

s

Se consideră că încărcarea (plL) este preluată numai de grinzile principale (1, 2), adică q = pa , Q = ql = pal (v. fig. 2, b). Dacă se notează cu w deplasările normale pe planul reţelei, condiţiile de compatibilitate a deplasărilor în nodurile distincte 1 şi 2 se scriu sub forma

, (1) (1) (3) (1) (3)1 1 2,w w w w= =

unde indicele inferior indică nodul iar cel superior bara (v, fig. 2, a). Termenii care intervin în relaţiile de mai sus se obţin cu expresiile

, (2, a) (1) (1) (3) (3) (3)1 1 11 1 1 11 1 12 2,s s

qw w R w R R= −δ = δ + δ

, (1) (1) (3) (3) (3)2 2 22 2 2 21 1 22 2,s s

qw w R w R R= −δ = δ + δ (2, b)

unde cu R1 şi R2 s-au notat forţele de interacţiune din nodurile 1 respectiv 2. Coeficienţii de influenţă reprezintă

deplasarea din i pe bara b, dată de o pereche de forţe unitare aplicate în j şi în simetricul lui j. Înlocuind

( )b sijδ

(2) în (1) se obţine forma canonică a sistemului de ecuaţii al metodei eforturilor

, 11 1 12 2 1o 0R Rδ + δ + δ =

, 21 1 22 2 2o 0R Rδ + δ + δ =unde

, (1) (3) (3)11 11 11 12 12 1o 1, ,s s s

qwδ = δ + δ δ = δ δ = −

. (3) (1) (3)21 21 22 22 22 2o 2, ,s s s

qwδ = δ δ = δ + δ δ = −

Coeficienţii necunoscutelor acestui sistem se obţin din tabele sau folosind procedeul Veresceaghin de efectuare a integralelor Mohr-Maxwell. Folosind acest procedeu, pe baza diagramelor din figurile 2, c şi d, se obţine

3 3

11o

22 103 81

a lEI EI

δ = + , 3 3

22o

6 103 81

a lEI EI

δ = + , 3

12 21343

aEI

δ = δ = , 4

1o 1oo

11243

qlEI

δ = δ = − .

Rezolvând sistemul, se obţine

22 12 11 211 1o 22 2

11 22 12 11 22 12

,R Rδ − δ δ − δ= − δ = − δ

δ δ − δ δ δ − δ 2o . (3)

Numitorul δ12 δ22 – , care reprezintă determinantul principal al sistemului, este întotdeauna pozitiv. Din examinarea expresiilor obţinute mai sus se observă că δ22 > δ12 , adică R1 > 0, ceea ce înseamnă că grinzile principale marginale sunt întotdeauna susţinute de grinzile secundare. În ce priveşte forţa R2 , aceasta este pozitivă numai dacă δ11 > δ21 . Pentru δ11 < δ21 , reacţiunea R2 devine negativă, adică grinzile principale centrale nu numai că nu sunt susţinute de grinzile secundare, dar sunt încărcate suplimentar de acestea. Această situaţie apare atunci când

212δ

3 3 3

33

o o

22 10 34 3 1,1 3,13 81 3

a l a l IEI EI EI a I

+ < → < ≅ .

Pentru valorile numerice date, rezultă

11 22 12 21 1o 2o30,33 36 5,67, , , Q9,8

EI EI EIδ = δ = δ = δ = δ = δ = − ,

iar prin rezolvarea sistemului se obţine

R1 = 0,28Q , R2 = 0,228Q .


4 2. Folosind metoda eforturilor, se determină interacţiunile dintre grinda secundară şi grinzile principale identice, echidistante şi identic încărcate ale reţelei din figura 3, a (care au conturul de rezemare Γ ).

Fig. 3

O astfel de reţea poate modela un planşeu de bordaj constituit dintr-un singur stringher şi un număr de n coaste, încărcat cu o sarcină variabilă triunghiular pe verticală. Notând cu Rj forţa de interacţiune dintre stringher cu grinda principală j, săgeata în j a acesteia se scrie sub forma

33

o

o o

jj

R lQ lwEI EI

= β − γ , (4)

unde β şi γ sunt coeficienţi de influenţă pentru săgeata din j, corespunzători încărcării Qo respectiv forţei Rj (v. (3.64), (3.65)). Considerând că sarcina transversală aplicată reţelei este preluată integral de grinzile principale, grinda secundară va fi încărcată numai cu reacţiunile Rj aplicate în punctele de intersecţie cu grinzile principale (v. fig. 3, b). Expresiile acestor forţe rezultă din relaţia anterioară,

oo 3j j

EIR Q wl

β= −γ γ

. (5)

Se observă că Rj are două componente. Prima componentă,

oQ Qβ=γ

, (6)

este constantă. A doua componentă este dependentă de săgeata wj, având sens contrar faţă de prima. Ea poate fi interpretată ca reacţiune a unui reazem elastic de rigiditate

xj

a) 1 2 j n

C

l, Io

xj

Rj

Q

Qo

C wj

k

Rj

Qo

b)

c

d)

g)

j–1 j+1

a a aa a

Γ1

lj, Io Γ

j

q = Q /a

k(x)e

kf

q + qs

q

q

Rj

Γ Γ1

Reţele de bare

5

o3

EICl

=γ

. (7)

Pentru grinda secundară se obţine schema de calcul reprezentată în figura 3, c, constând dintr-o grindă continuă cu reazeme elastice independente, încărcată cu forţele concentrate Q. Astfel de grinzi se calculează după metodologia prezentată la p. 4.7. După determinarea săgeţilor wj, forţele de interacţiune dintre grinzile reţelei se determină cu relaţia (5). În cazul n ≥ 5, forţele Rj pot fi înlocuite cu forţele distribuite

jj j

Rr q

a= = − kw , (8)

unde s-au introdus notaţiile

oo 3

1 1, EIq Q ka a lβ

= =γ γ

. (9)

Se obţine astfel schema de calcul din figura 3, d, constând dintr-o grindă pe mediu elastic cu rigiditatea k şi încărcarea convenţională q, date de relaţiile (9). Pentru această grindă se folosesc rezultatele deja obţinute la în capitolul 3. Cunoscând săgeţile w(xj), forţele de interacţiune dintre grinzile reţelei se determină cu relaţia (5). Se observă că reacţiunile maxime apar acolo unde săgeata este minimă, adică în dreptul grinzilor principale marginale. Pentru aceste grinzi săgeţile fiind practic nule, se poate considera că grinda secundară reprezintă reazeme rigide pentru grinzilor principale. Dimpotrivă, reacţiunile minime apar acolo unde săgeata este maximă, adică în dreptul grinzii principale centrale, unde se poate întâmpla chiar ca reacţiunea să devină negativă, dacă

oo m3

EIQ wl ax

β<

γ γ . (10)

În acest caz, grinzile principale centrale nu numai că nu sunt susţinute de grinda secundară, dar sunt încărcate suplimentar de aceasta. Observaţii – Se pot întâlni reţele similare, cu o singură grindă secundară şi multe grinzi principale, al căror contur de rezemare nu este dreptunghiular, aşa cum este conturul Γ1 din figura 3, a (v. şi fig. 3 e, g). Astfel de reţele pot modela planşeele de fund ale extremităţilor navei, încărcate de obicei uniform. În aceste cazuri, dacă grinzile principale de lungimi lj sunt rezemate identic şi au aceeaşi rigiditate EIo, încărcarea convenţională q se determină cu aceeaşi relaţia dar rigiditatea mediului elastic rezultă variabilă,

oo 3

1 1, ( )( )j

EIq Q k xa aβ

= =γ γl x

. (11)

Dacă grinzile principale nu sunt echidistante şi/sau nu sunt rezemate identic la capete, rezultă variabile cu x atât încărcarea convenţională q cât şi rigiditatea mediului elastic. – Grinzile principale pot să nu fie identice şi echidistante. Ele pot avea rigidităţi diferite, orice fel de rezemări la capete şi încărcări diferite. În acest caz, încărcarea convenţională şi rigiditatea mediului elastic devin

oo 3

1 1

1 1( ) , ( )( ) / 2 ( ) / 2 (

jjj

j j j j j j j

EIq x Q k x

a a a a l x+ + )β

= =+ γ + γ

. (12)

– Dacă o parte din încărcarea aplicată reţelei este preluată de grinzile secundare (qs), aceasta se adaugă la încărcarea q (v. fig. 3, f ) iar dacă încărcarea este aplicată numai grinzilor secundare, se obţine schema obişnuită de grindă pe mediu elastic. 3. Să se obţină sistemul de ecuaţii necesar rezolvării prin metoda deplasărilor a structurii întărite a unei punţi intermediare (fig. 4, a), formată din rame longitudinale şi curenţii de punte din prelungirea acestora, rame transversale şi traversele din prelungirea acestora. Structura reprezintă o reţea simetrică faţă de planul diametral (P.D.), având conturul de rezemare format din bordaje şi pereţi transversali. Considerând simetria faţă de planul median al magaziei, este suficient să se analizeze reţeaua formată din barele AC, CB, DC, CE, EF. Rigiditatea barei EF se va lua pe jumătate. La evidenţierea gradelor de libertate ale structurii s-a avut în vedere simetria şi s-au eliminat încă de la numerotare deplasările nule din legăturile rigide (bordaj şi perete) (v. fig. 4, b). Dacă se aleg axele locale x(e) ca în figura 4, c, transformările de axe nu mai sunt necesare. Gradele de libertate locale pentru un element (e) al reţelei sunt reprezentate în figura 4, d. Asamblarea se realizează direct din matricele k(e), folosind vectorii de localizare corespunzători din matricea indicilor, ca în schema (13),


6

↓

. (13)

( ) ( ) ( ) ( )11 12 13 14( ) ( ) ( ) ( )

(e) 21 22 23 24( ) ( ) ( ) ( )31 32 33 34( ) ( ) ( ) ( )41 42 43 44

5 6 7 0 84 2 4 6 03 5 0 2 32 2 3 0 11 0 0 2 4 1 2 3 4 5

0 2 5 20 3 0 42 0 2 64 1 3 0

e e e e

e e e e

e e e e

e e e e

eee Matricea indiciloree e e e e e


==

= ←== = = = = =

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

k

6708

Fig. 4

y

z

x(4)

y(4)

z(4) C

E

x(1)

z(1)

y(1)

A

C

E

F

x(5)

y(5)

z(5)

B

Cx(2)

y(2)

z(2)

C

D

x(3)

y(3)

z(3)

Perete transversal

Perete transversal

Gura de magazie

Bordaj

B F A C

D

E

P.D.

x

z

A

E

D

B

F

5Δ1

Δ5

Δ7

Δ8Δ6

Δ2

C

Δ4 Δ3

a

b

c

dx(e)

( )1eΔ ( )

3e

( )2eΔ

Δ

( )4eΔ

y(e)

42

31

21 3

4 5

e

Reţele de bare

7

00 0

k

Folosind această schemă, se obţine imediat matricea de rigiditate asamblată a reţelei,

.

(2) (2) (2)44 41 42(2) (1) (2) (3) (4) (2) (3) (1) (4) (3) (4)

14 33 11 33 11 12 34 34 12 31 13(2) (2) (3) (2) (3) (3)24 21 43 22 44 41

(1) (4) (1) (4) (4)43 21 44 22 23

(3) (3)13 14

1 2 3 4 5 6 7 8

0 0 0 0 00 0

0 0 00 0 00 0

k k kk k k k k k k k k k kk k k k k k

k k k k kk k k

+ + + + ++ ++ +

=k (3)11

(4) (4) (4) (5) (5) (5)31 32 33 11 12 14

(5) (5) (5)21 22 24(5) (5) (5)41 42 44

123450 0 060 0 070 0 0 0 080 0 0 0 0

k k k k kk k kk k k

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

+⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Dacă structura conţine şi legături elastice ale căror rigidităţi sunt grupate în matricea diagonală C, la matricea k se adaugă C, obţinându-se K.

Vectorul încărcărilor nodale ale structurii se obţine de asemenea cu ajutorul matricei indicilor, din vectorii încărcărilor reduse la noduri pentru elementele reţelei, folosind schema (14),

o( )

1o( )

o( ) 2o( )

3o( )

4

1 2 3 4 5

0 2 5 2 60 3 0 4 72 0 2 6 04 1 3 0 8

e

ee

e

e

Matricea indicilore e e e e

QQQQ

= = = = =

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

Q

. (14)

Rezultă

.

o(2)4o(2) o(2) o(1) o(3)

1 4 3 3o(2) o(3)

2 4o(4) o(1)

o 2 4o(3)

1o(5) o(4)

1 3o(5)

2o(5)

4

12345678

QQ Q Q QQ QQ QQQ QQQ

⎧ ⎫⎪ ⎪+ + +⎪ ⎪⎪ ⎪+⎪ ⎪

+⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪+⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

Q

Dacă structura este încărcată şi cu sarcini aplicate direct nodurilor, grupate în vectorul Q*, acest vector se adaugă la Qo, obţinându-se Q.

Rezolvând sistemul K Δ = Q se obţin deplasările căutate.

ECUAŢIILE PLĂCILOR PLANE SUBŢIRI

Introducere

Plăcile sunt elemente de structură cu o dimensiune mică în comparaţie cu celelalte două. Ele se întâlnesc în construcţii civile, industriale, marine, aerospaţiale etc. Elementele geometrice care definesc o placă sunt suprafaţa mediană şi grosimea – măsurată pe normala la suprafaţa mediană, de care este împărţită în două părţi egale. De obicei grosimea este constantă dar se întâlnesc şi plăci a căror grosime este variabilă, continuu sau în trepte. Din punct de vedere al formei suprafeţei mediane, plăcile pot fi plane şi curbe. Plăcile curbe care nu au alte graniţe decât suprafeţele menţionate se mai numesc învelişuri. Plăcile plane sunt limitate de unul sau de mai multe contururi cilindrice cu generatoare perpendiculare pe planul lor median. Intersecţia contururilor cilindrice cu acest plan se numeşte contur. El poate avea cele mai diverse forme. O mare utilizare o au plăcile plane mărginite de un singur contur dreptunghiular, precum şi cele mărginite de unul sau două contururi concentrice circulare. Din interacţiunile cu exteriorul, în plăci apar forţe exterioare care pot fi concentrate sau/şi distribuite pe linii sau/şi pe suprafeţe (v. fig. 1). De obicei, plăcile au rolul de a prelua sarcini normale pe placă, numite în continuare transversale. Obiectul de studiu al teoriei plăcilor este determinarea stărilor de tensiune şi deformaţie care apar în acestea datorită încărcărilor exterioare. Ecuaţiile diferenţiale utilizate în studiul plăcilor sunt condiţionate de rapoartele dimensionale ale acestora, de tipul încărcărilor şi condiţiilor la limită precum şi de mărimea deplasărilor punctelor plăcii. Dacă nu are loc pierderea stabilităţii, forţele din planul plăcii produc tensiuni şi deformaţii specifice de întindere-compresiune sau/şi de forfecare – constante pe grosimea plăcii, spre deosebire de cele de încovoiere cauzate de încărcări transversale – care sunt liniar variabile pe grosime. Forţele din planul plăcii şi deformaţiile specifice şi tensiunile produse de ele se obişnuieşte să se spună că sunt de membrană. Într-o clasificare corelată cu teoriile de calcul, plăcile plane sau curbe se împart în : – subţiri, dacă dmin

/h > 20 (la plăci plane) sau dacă h /ρ < 1/1000 (la plăci curbe) ; – de grosime medie, dacă 5 < dmin

/h < 20 respectiv 1/1000 < h /ρ < 1/50 ; (1) – groase, dacă dmin

/h < 5 (plăci plane) respectiv h /ρ > 1/50 (plăci curbe), unde h este grosimea, dmin dimensiunea minimă a suprafeţei mediane a plăcii iar ρ, raza minimă de curbură a plăcii curbe. Clasificările plăcilor sunt evident destul de convenţionale. Ele determină teoria necesar a fi utilizată în studiul lor. Pentru plăci subţiri – frecvent întâlnite în practică, se aplică teoria plăcilor subţiri. Teoria plăcilor de grosime oarecare oferă soluţii atât pentru calculul plăcilor subţiri cât şi pentru cele groase, dar este considerabil mai complicată decât teoria plăcilor subţiri, unde se admit ipoteze simplificatoare. Tipul de teorie utilizat în studiul plăcilor este condiţionat şi de mărimea deplasărilor punctelor plăcii. În general, atunci când deplasările w normale pe suprafaţa mediană sunt mici în comparaţie cu grosimea plăcii, se folosesc ecuaţii diferenţiale liniare. Dacă deplasările w sunt comparabile sau mai mari decât grosimea plăcii, sunt necesare ecuaţii diferenţiale neliniare, mult mai dificil de rezolvat.

Fig. 1

Ipoteze. Deplasări. Deformaţii specifice

În teoria tehnică a plăcilor utilizată în calcule inginereşti, în afara ipotezelor clasice folosite în mecanica solidului deformabil se introduc ipoteze suplimentare specifice plăcilor. Rămân valabile ipotezele continuităţii şi omogenităţii materialului. De asemenea, deşi în plăci reale aparţinând structurilor sudate există tensiuni şi deformaţii remanente (iniţiale), în teoria tehnică se face abstracţie de ele. De asemenea se are în vedere comportarea în domeniul deformaţiilor liniar elastice, acceptându-se valabilă legea lui Hooke (pentru materiale izotrope/ortotrope).

Ipoteze specifice teoriei tehnice a plăcilor plane subţiri şi consecinţele care rezultă din acestea 1) Ipoteza normalei drepte sau ipoteza lui Kirchhoff (uneori se întâlneşte ca ipoteza Love-Kirchhoff), conform căreia un segment de dreaptă normal pe planul median înainte de deformaţie rămâne segment de dreaptă şi după deformaţie, normal la suprafaţa mediană a plăcii deformate şi de aceeaşi lungime. Ipoteza lui Kirchhoff este analoagă ipotezei secţiunilor plane a lui Bernoulli din calculul barelor. Una din cele mai importante consecinţe ale acestei ipoteze este satisfacerea automată a continuităţii în tot volumul plăcii, cu condiţia să fie satisfăcută continuitatea în suprafaţa mediană a ei. O altă consecinţă este obţinerea unor relaţii simple pentru descrierea geometriei deformaţiilor, prin ignorarea deformaţiile unghiulare transversale. 2) Se neglijează tensiunile normale σz care apar în plane paralele cu planul median, fiind cu două ordine de mărime mai mici faţă de celelalte tensiuni.

qb

a

z(w) y(v)

x(u)

px pyp

F

h


2

3) Unghiurile de rotire în jurul axelor x, y ale normalelor la suprafaţa mediană a plăcii sunt atât de mici încât pătratele lor şi produsele dintre ele se pot neglija faţă de unitate. De asemenea, datorită raportului mare dintre dimensiunile în planul xy ale plăcii şi grosimea ei, se pot neglija unghiurile de rotire ale elementelor de placă faţă de axa z. 4) Deformaţiile specifice au acelaşi ordin de mărime ca şi unghiurile de rotire ale normalei la suprafaţa mediană a plăcii în jurul axelor x, y. Ele sunt atât de mici încât pătratele şi produsele dintre ele se pot neglija faţă de unitate. De asemenea, datorită dimensiunilor mari ale plăcii în planul xy, se neglijează unghiurile de rotire ale elementelor de placă faţă de axa z. Din ipotezele 3 şi 4 rezultă | u | , | v | , | w | << dmin . (2)

Relaţia (2), (1) limitează utilizarea teoriei plăcilor plane subţiri la probleme în care săgeţile nu depăşesc grosimea h a plăcii (rareori această limită este extinsă la 2h). 5) Dacă se are în vedere numai comportarea în domeniul deformaţiilor elastice, se consideră valabilă legea lui Hooke (aplicată pentru materiale izotrope sau anizotrope, în funcţie de natura materialului din care este confecţionată placa). Această ipoteză conduce la ecuaţii liniare din punct de vedere fizic. Ipotezele enunţate conduc şi la apariţia unor contradicţii, care au însă un rol secundar. Astfel: ipoteza 2 este în contradicţie cu ultima parte a ipotezei lui Kirchhoff ; primele două părţi ale ipotezei lui Kirchhoff conduc la valori nule pentru deformaţii transversale de lunecare şi tensiuni tangenţiale transversale, care se vor calcula totuşi – în acelaşi mod în care s-a procedat la bare, unde a apărut o contradicţie similară.

Fig. 2

În figura 2 este reprezentată o normală rs şi secţiunea prin placă ce conţine această normală şi este paralelă cu planul zx, înainte şi după deformarea plăcii în conformitate cu ipoteza lui Kirchhoff. O reprezentare similară cu cea din figura 2, în care x, u şi uo se înlocuiesc respectiv cu y, v şi vo , se obţine dacă se face o secţiune care conţine normala rs şi este paralelă cu planul

yz. Cu u, v, w s-au notat proiecţiile pe axele x, y, z ale deplasării unui punct oarecare d (x, y, y). Proiecţiile pe axe ale deplasării punctului c situat în planul median pe aceeaşi normală cu d s-au notat cu uo, vo, wo. După ipoteza Kirchhoff, deplasările se produc astfel încât punctele de pe segmentul de dreaptă rs se regăsesc tot pe un segment de dreaptă, r's', normal la suprafaţa mediană deformată a plăcii iar un punct d situat la distanţa z faţă de c se va regăsi după deformare în poziţia d ', la aceeaşi distanţă z faţă de c'. Din fig. 2 rezultă w = wo + z cos α – z ≅ wo , (3)

adică straturile paralele cu planul median nu se presează reciproc. Deplasările w normale la planul plăcii se numesc săgeţi. Deplasările uo şi vo , care coincid cu u respectiv v pentru z = 0, se vor numi deplasări de membrană. Conform (2), . Rezultă / tan sinw x∂ ∂ = α≅ α ≅ α o osin ( / )u u z u z w x= − α = − ∂ ∂ (v. fig. 2). Ipoteza Kirchhoff conduce la următoarele relaţii între deplasări :

owu u zx

∂= −

∂ ; o

wv v zy

∂= −

∂ . (4)

Deformaţii specifice

Se consideră relaţiile neliniare între deformaţii specifice şi deplasări,

2 21

2xu u v wx x x x

⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞2

+ + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ε = ;

2 212y

v u v wy y y y

2⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥ε = + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ; xy

u u v v w wx y x y x y∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

γ = + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

. (5)

Ţinând seama că la plăci u << w şi v << w, relaţiile (5) devin

z90o

u

Planul median al

z

sd

r

α

α

x

s

w

c

z

Suprafaţa medianădeformată

d

c'

x(u)

w

z(w) r

uo

cd

90o

ch

α

c'''

3Ecuaţiile plăcilor plane subţiri

21

2xu wx x∂ ∂⎛ ⎞ε = + ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

, 2

12y

v wy y

⎛ ⎞∂ ∂ε = + ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

, xyu v w wy x x y∂ ∂ ∂ ∂

γ = + +∂ ∂ ∂ ∂

. (6)

Introducând (4) în (6), rezultă deformaţiile specifice εx, εy, γxy în funcţie de uo, vo, w,

2 2

o2

12x

u w wzx x x

∂ ∂ ∂⎛ ⎞ε = + −⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ;

2 2o

212y

v w wzy y y

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ε = + −⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

; 2

o o 2xyu v w w wzy x x y x

∂ ∂ ∂ ∂ ∂γ = + + −

y∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ . (7)

Din ipoteza lui Kirchhoff mai rezultă γyz = γzx = εz = 0 . (8)

Se notează cu o o o, ,x x xyε ε γ părţile constante ale deformaţiilor specifice, ce nu depind de z. Ele sunt egale cu εx , εy , γxy pentru z = 0, de aceea se numesc deformaţii specifice din suprafaţa mediană a plăcii sau deformaţii specifice de membrană ,

2

o o 1( 0)2x x

u wzx x

∂ ∂⎛ ⎞ε = ε = = + ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ;

2o o 1( 0)

2y yv wzy y

⎛ ⎞∂ ∂ε = ε = = + ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

; o o o( 0)xy xyu v w wzy x x

∂ ∂ ∂ ∂γ = γ = = + +

∂ ∂ ∂ ∂y . (9)

Înlocuind (9) în (7), rezultă

2

o2x xwz

x∂

ε = ε −∂

, 2

o2y ywz

y∂

ε = ε −∂

, 2

o 2xy xywz

y y∂

γ = γ −∂ ∂

. (10)

Eliminând deplasările uo, vo din (9),

22 o 2 o 22 o 2 2 2

2 2 2 21 12 2

y xyx w w w wx y x y x y xy x y x

∂ ε ∂ γ ⎛ ⎞ ⎛∂ εy⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ − = + −⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎟⎠

, (11)

se obţine relaţia de continuitate (compatibilitate) a deformaţiilor specifice din suprafaţa mediană a plăcii,

22 o 2 o2 o 2 2

2 2 2y xyx w w

x y x yy x x y

∂ ε ∂ γ ⎛ ⎞∂ ε 2

2w∂ ∂ ∂

+ − = −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ , (12)

care generalizează relaţia lui Saint-Vénant din elasticitatea plană.

Eforturi. Ecuaţii de echilibru ale eforturilor

Deformaţiilor specifice (10) le corespund tensiunile σx , σy , τxy = τyx . Ipoteza Kirchhoff permite introducerea noţiunii de efort, ca la bare. Se numesc eforturi sau forţe secţionale, elementele torsorului de reducere a tensiunilor aplicate elementelor de suprafaţă h × dx şi h × dy ale secţiunilor transversale în placă, cu dx = dy = 1, faţă de centrele de greutate O1 şi O2 ale elementelor menţionate. În figura 3 sunt reprezentate nu numai tensiunile σx , σy , τxy = τyx, dar şi tensiunile τzx şi τzy , deşi conform ipotezei Kirchhoff şi legii lui Hooke acestea din urmă rezultă nule (v. (8), (29)). Această contradicţie s-a întâlnit şi în studiul barei, unde conform ipotezei Bernoulli a rezultat τzx = 0 ; tensiunile τzx s-au calculat totuşi dintr-o ecuaţie de echilibru, obţinându-se formula lui Jurawski. În mod analog se va proceda şi la plăci. Deşi legea de variaţie pe grosime a tensiunilor τzx şi τzy nu este deocamdată cunoscută, eforturile echivalente cu aceste tensiuni au rol esenţial în obţinerea ecuaţiilor plăcilor. Eforturile echivalente, reprezentate în figura 3, au următoarele denumiri şi unităţi de măsură : Nx , Ny – forţe (eforturi) axiale, < F /L > ; Nxy , Nyx

– forţe (eforturi) de lunecare, < F /L > ; Mx , My

– momente încovoietoare, < FL /L > ; (13) Mxy , Myx – momente de torsiune, < FL /L > ; Tx , Ty – forţe (eforturi) tăietoare, < F /L > . Eforturile Nx , Ny , Nxy = Nyx se mai numesc eforturi de membrană.

Cu notaţia / 2

1 / 2(...) d (...) d 1 (...)d

h

A h h hA z

= ⋅ −≡ ⋅ ≡∫ ∫ ∫ z , relaţiile de echivalenţă au forma :

, dx xhN z= σ∫ dy yh

N z= σ∫ , ; (14) dxy yx xyhN N= = τ∫ z

, ; (15) dx zxhT z= τ∫ dy zyh

T z= τ∫ zdx xh

M z= σ∫ , zdy yhM z= σ∫ , zdxy yx xyh

M M z= = τ∫ . (16)

Introducerea eforturilor echivalente din punct de vedere global cu tensiunile permite a se înlocui ecuaţiile de echilibru ale tensiunilor care acţionează asupra unui paralelipiped elementar dx × dy × dz (aşa s-a procedat în Teoria elasticităţii când s-au obţinut ecuaţiile de echilibru Navier-Cauchy) cu ecuaţiile de echilibru ale eforturilor aplicate elementului de placă dx × dy × h (reprezentat grafic prin suprafaţa sa mediană dx × dy).


4

dy = 1

Fig. 3 Echilibru se scrie pentru eforturile Nx , Ny , Nyx , Nxy , Tx , Ty , Mx , My , Myx , Mxy reprezentate pe forma deformată a elementului de placă. În figura 4, a este reprezentat elementul deformat – cu forţe exterioare (încărcări superficiale transversale p şi volumice hX, hY) şi eforturi-forţe pe care restul plăcii le aplică acestuia, iar în figura 4, b este reprezentat elementul încărcat cu eforturi-momente aplicate de restul plăcii. În scrierea ecuaţiilor de echilibru se neglijează pătratele din dezvoltările în serie ale funcţiilor sinus şi cosinus ale unghiurilor mici, adică se consideră sinusurile acestor unghiuri egale cu unghiul iar cosinusurile lor egale cu unitatea. Sistemul de axe putând fi oarecare, se scriu ecuaţiile de echilibru pe axele xo, yo, zo.

Din ecuaţia de echilibru a forţelor pe axa xo , se obţine d d d d d d d d 0x yx

x x yx yxN N

N x y N y N y x N x hX x yx y

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + + − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠. O

ecuaţie similară se obţine din echilibrul pe axa yo. Rezultă

0xyx NNhX

x y∂∂

+ + =∂ ∂

, 0y yxN NhY

y x∂ ∂

+ + =∂ ∂

. (17)

Fig. 4, a Se scrie ecuaţia de echilibru a forţelor pe axa zo ,

2 2

2 2d d d d d d d d d d d d dy yx xx x y y x x y

TT N∂⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ Nw w w w wT x y T y T y x T x N x y x N y N y x yx y x x x y yx y

∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎞+ − + + − + + + − + + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠2 2

d d d d d d d d dyx xyy yx yx xy xy

N Nw w w w w w wN x N x y x N y N y x y N x p x yy x y y x y y x x y x

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− + + + − + + + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

. d d 0=

După simplificări şi neglijarea infiniţilor mici de ordin superior, rezultă

2 2 2T NT Nw w w w w∂ ∂∂ ∂

2 2 2 0y y yx xyx xx y xy

N Nw wN N N px y x y x x y y x y y xx y

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + + + + + =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ , (18 ∂ ∂ ∂

dx = 1

zy

My O2 Nxy

h/2

O1Myx

h/2

Mxy z

d

T

Ny

τx

τzyσ

dA

Nyx

Nx

T

τy

τzx

σ

Mx

x

T

yo

xo

zo

Ny + (∂Ny /∂y)dyTy + (∂Ty /∂y)dy

Nxy + (∂Nxy /∂y)dy Nyx + (∂Nyx /∂x)dx

Tx + (∂Tx /∂x)dx

Nx + (∂Nx /∂x)dx

∂w /∂x + (∂2w /∂x2)dx

∂w /∂y + (∂2w /∂y∂x)dx

∂w /∂y + (∂2w /∂y2)dy ∂w /∂x + (∂2w /∂x∂y)dy

Nx Nyx

∂w /∂x∂w /∂yT

NyNxy

p

hXh dyi

dxi

Ecuaţiile plăcilor plane subţiri 5

sau, ţinând seama de (20), unde sunt neglijate încărcările hX şi hY,

2 2 2

2 2x y xyx y x y∂ ∂ ∂∂ ∂2 0yx TT w w w w wN N N p hX hY

x y x y∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + + + + − − =∂ ∂ ∂

. (19)

Încărcările hX, hY provin din greutatea proprie a plăcii sau pot avea alte cauze. În general, efectul lor poate fi neglijat cărcărilor aplicate normal sau pe conturul plăcii, astfel încât ecuaţiile (17) şi (19) dfaţă de cel al în evin

0xyx NNx y

∂∂+ =

∂ ∂ , 0y yxN N

y x∂ ∂

+ =∂ ∂

, (20)

2 2 2

2 2 2 0yxx y xy

TT w w wN N N p = (21) x y x yx y

∂∂ ∂ ∂ ∂+ + + + +

∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ .

Fig. 4, b Din echilibrul mome . fig. 4, ţine

ntelor pe axa yo (v a, b) se ob

dd d d d d d 02

x xx

M T xM x y M y M x T x y yx

⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − + − + =⎜ ⎟d dxyMM y x

∂+ − d d dx p x−x x xy xyx y⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

. (22)

ilară se obţine din echilibrul momentelor pe axa xo. După simplificări şi ignorarea infini ici de ordin ă

∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

O relaţie sim ţilor msuperior, rezult

xyxx

MM ∂∂ Tx y

+ =∂ ∂

, y yxyT

y xM M∂ ∂

+ =∂ ∂

. (23)

Ecuaţia de echilibru a momentelor pe zo confirmă reciprocitatea tensiunilor tangenţiale, τxy = τxy → Nxy = Nyx , Mxy = Myx . at din 5 ecuaţii de echilibru se poate si a. Sistemul form mplific

1) Primele două ecuaţii de echilibru (20) sunt identic satisfăcute dacă eforturile de membrană Nx, Ny, Nxy se exprimă cu ajutorul unei funcţii F – numită funcţia lui Airy sau funcţie a tensiunilor de membrană – prin relaţiile

2

2xFN h

y∂

=∂

, 2

2yFN h

x∂

=∂

, 2

xyFN h

x y∂

= −∂ ∂

. (24)

2) În celelalte trei ecuaţii se elimină eforturile tăietoare şi forţele de membrană. Înlocuind (23 şi (24) în (21), rezultă

2 22 2 2 2 2 2 2

2 2xy yx M MM2 2 2 2 2 2

F w F w F wp hx y x y x yx y y x x y⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

∂ ∂ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + =− − + −⎜ ⎟ . (25)

a se rezolvă în continuare considerând un anumit model fizic, dat de relaţiile constitutive între deformsiuni. Se consideră modelul materialului izotrop.

Problem aţii specifice şi ten

Tensiuni. Relaţii constitutive. Ecuaţiile lui Kármán Relaţiile între tensiuni şi deformaţii specifice pentru materiale izotrope sunt date de legea lui Hooke, scrisă sub forma

1 ( )x x y zxE

ε = σ − υσ − υσ , 1 ( )y z xσ − υσ − υσ , yyE

ε = xyxy G

τγ = , 1 ( )z z x yE

ε = σ − υσ − υσ ; yzyz G

τγ = , zx

zx Gτ

γ = . (26)

Plăcile ortotrope sunt caracterizate din punct de vedere constitutiv de 2 constante elastice independente din cele trei (

G, υ), deoarece

E,

2 (1 )

Ipoteza lui Kirchhoff, conform ă

contradicţie şi ţinând seam

EG =+ υ

. (27

căreia εz = 0 şi σz = 0, conduce la relaţia contradictorie . Ignorând aceast

a şi de relaţiile γyz = γzx = 0, care decurg tot din ipoteza lui Kirchhoff (v. (8)), se poate scrie legea luiHooke la plăci izotrope sub următoarele forme – inversă şi directă,

0x yσ + σ =

yo

xo

zo

Mx + (∂Mx /∂x)dx

Myx

∂w /∂x Mxy

dyi

Mx My

M (∂M

dxi

yx + yx /∂x)dx

My + (∂My / y ∂y)d

Mxy + (∂M /∂y)dyxy


6

1 ( )x x yE= σ − υσ , ε

1 ( )y y xEε = σ − υσ , 2(1 )

xy xyE+ υ

γ = τ , εz = γyz = γzx = 0 ; (28

2 ( )1x x y− υ

Eσ = ε + υε , 2 ( )E

σ = ε + υε , 1y y− υ x 2(1 )xy xy

Eτ = γ

+ υ , σz = τyz = τzx = 0 . (29)

Pentru tensiuni de membrană, formele directă şi inversă a legii lui Hooke devin

o o o2 ( )

1x x xE

σ = ε + υε− υ

, o o o )y y2 (1y

Eσ = ε

− υ+ υε , o

2(1o

)xyE

xyτ = γ+ υ

(30) ;

o o o1 ( )x x xEε = σ − υσ , o o o1 ( )y y xE

ε = σ − υσ , o 2(1 o)xy xyE

+ υγ = τ . (31)

Înlocuind (10) în (29), se obţine o îx x xσ = σ + σ , y

o îy yσ = σ + σ , o î

xy xy xyτ = τ + τ , (32)

unde o o o2 ( )

1x x yE

σ = ε + υε , − υ

o o o2 ( )y

y yE

1 xσ = ε + υε , o o2

121xy x

Ey

− υτ

− υ= γ

− υ , (33)

te ru z = 0, iar sunt nsiuni de membrană, obţinute pent

2 2

2 2 21îx

E z w wx y

⎛ ⎞∂ ∂σ = − + υ⎜ ⎟⎜ ⎟− υ ∂ ∂⎝ ⎠

, 2 2

2 2 21îy

E z w wy x

⎛ ⎞∂ ∂σ = − + υ⎜ ⎟⎜ ⎟− υ ∂ ∂⎝ ⎠

, 2w

1îxy

E zx y

τ = −+ υ ∂ ∂

(34)

şi (16). Întrucât

∂

dh

z h=∫ , d 0h

z A =∫sunt tensiuni de încovoiere. Se înlocuiesc (32) în (14) , 2 , din (14) şi

aţiile

2 3d /1h

z z h=∫(24) rezultă rel

2

o2x

xN Fh y

σ = =∂

, ∂ 2o

2yyN 2

o xyxy

N Fh x

∂τ =

Fh x

∂σ = =

∂ ,

y−=∂ ∂

,

xpresiile momentelor în funcţie de săgeata w,

(35)

iar din (16) se obţin e2 2

2 2xwM D w

x y⎛ ⎞∂ ∂

= − + υ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

2 2

2 2yw w 2

(1, M υDy x

⎛ ⎞∂ ∂= − +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

, )xywM D

x y∂

= −∂ ∂

, − υ (36)

unde cu D s-a notat rigiditatea la încovoiere a plăcii, 3

212(1 )E h D =−μ

, < FL >

săgeţi, înlocuind (36) în (23. Rezultă

. (37)

Se pot exprima şi forţele tăietoare în funcţie de3 3

3 2xw wT D

x x y⎛ ⎞

⎟∂ ∂

= − +⎜⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ,

⎝ ⎠

3T D

⎛ ∂= − ⎜

3

3 2yw w

y x y⎞∂

+ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ,

sau, dacă se foloseşte operatorul lui Laplace, Tx = – D

(38) ⎝ ⎠

∂ ∂(Δw) , Ty = – Dx∂ y∂

(Δw) . (39)

Tensiunile de membrană şi eforturile de membrană Nx, Ny, Nxy (v. (35)) pot fi exprimate în funcţie de deplasări, prin înlocuirea relaţiilor (9) în (33),

22o o o

2 21x

h x y x y⎢ ⎥σ = = + υ + + υ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂− υ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

, 1x

N u vE w⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎛ ⎞ w2 2

o o o2 21y h y x y x

1yN v uE w w⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎛ ⎞⎢ ⎥σ = = + υ + + υ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂− υ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

o o o2

1 21

xyxy

N u vE w wh y x x y

⎛ ⎞∂ ∂− υ ∂ ∂τ = = + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂− υ ⎝ ⎠

. (40)

În cazurile în care săgeţile sunt mici şi influenţa lor asupra efectelor de membrană se poate neglija, relaţiile (40) devin

ox xN h o o

21u vE hx y

⎛ ⎞∂ ∂= + υ⎜ ⎟∂ ∂− υ ⎝ ⎠

, = σ o o o21y y

v uE hN hy x

⎛ ⎞∂ ∂= σ = + υ⎜ ⎟∂ ∂− υ ⎝ ⎠

, oxyτ (41) o o

21

21xyu vE hN hy x

⎛ ⎞∂ ∂− υ= = +⎜ ⎟∂ ∂− υ ⎝ ⎠

.

ţie ensiunile de membrană,

Înlocuind (31) în (12), rezultă ecuaţia de continuitate a deformaţiilor specifice din suprafaţa mediană a plăcii în funcde t

22 o2 2 2 2

o o o o2w w w

2 2 2 2( ) ( ) 2(1 ) xyx y y x E

x y x yy x x y

⎡ ⎤∂ τ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥σ − υσ + σ − υσ − + υ = −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎦ . (42)

⎣

Ecuaţiile plăcilor plane subţiri 7

Se pot obţine două ecuaţii diferenţiale cu două funcţii necunoscute: F = F(x, y) – funcţia lui Airy ; w = w (x, y) – funcţia săgeată.

Prima ecuaţie se obţine înlocuind (35) în (42), (43)

24 2 2 4 2

2 2

4 2 2 4 2 22F F F F w w wEx y

⎡ ⎤⎛ ⎞

x x y y x y∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥+ + = +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦

A doua ecuaţie se obţine înlocuind (36) în (25),

. (44)

4 2 2 4 2 2 2 2 2 2

4 2 2 4 2 2 2 22 2w w w w p h F w F w F wD D x y x yx x y y y x x y

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + = + + −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ .

Introducând operatorul dublu al lui Laplace,

(45)

2 2 2 2 4 4

2 2 2 2 4

4

42 2 2x y x y x x x⎛ ⎞⎛ ⎞

y∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

ΔΔ = + + = + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ , (46)

ecuaţiile (45) şi (44) se scriu sub forma ∂

22 2 2w w wF E 2 2x y x y∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂,

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎢ ⎥ΔΔ = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎣ ⎦

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2p h F w F w F wwD D x y x yy x x y

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ΔΔ = + + −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

. (47)

Sistemul (47) a fost obţinut pentru prima dată de Kármán în 1909. El este neliniar, de ordinul 4. Fiind cu derivate l de arbitrar al sistemului este dat de 16 constante. La plăci dreptunghiulare se pot scrie c atru condiparţiale, gradu âte p ţii la

limită pentru fiecare latură a plăcii. Formularea acestor condiţii şi obţinerea sub formă generală a soluţiei sistemului neliniar al lui Kármán, aşa cum s-a obţinut la bare, nu este posibilă datorită numărului foarte mare de variante posibile de încărcare şi

de încovoiere şi încovoiere cuplată cu sta zări se face de fapt şi o clasificare a ăcilor. O astfel de clasificarea se bazeaz

fixare a plăcii pe contur. Au fost rezolvate doar o serie de cazuri particulare şi probleme practice cu încărcări şi condiţii la limită concrete, folosind diverse metode analitice şi numerice. Unele din acestea vor fi prezentate în capitolele următoare.

Particularizări ale ecuaţiilor lui Kármán

Prin particularizare, din sistemul (47)) se pot obţine diverse ecuaţii diferenţiale care pot fi integrate analitic pentru anumite condiţii de încărcare şi rezemare a plăcilor. Astfel au putut fi rezolvate o serie de probleme de stare plană,

re plană, de stabilitate. Prin aceste particularipl ă în esenţă pe stabilirea gradului de influenţă reciprocă între încovoiere şi starea plană (starea de membrană), pentru a obţine diferite clase de plăci care nu necesită utilizarea integrală a ecuaţiilor neliniare al lui Kármán. Cele ce urmează vizează plăcile izotrope, dar sunt valabile şi pentru plăci ortotrope. • Plăcile pentru rezolvarea cărora sunt necesare ecuaţiile sistemului (47) fără simplificări, se numesc plăci cu săgeţi mari sau de rigiditate finită. Pentru astfel de plăci este esenţială influenţa reciprocă dintre funcţiile w şi F. • Dacă încărcările transversale sunt nule iar cele de membrană nu duc la apariţia săgeţilor w (placa nu-şi pierde stabilitatea), ecuaţia (47 se verifică identic iar (47 devine ΔΔF = 0 , 2 1 (48 numită ecuaţia diferenţială a plăcii în stare plană, sau discului, sau grinzii perete, sau şaibei. • Dacă rigiditatea la încovoiere este mare şi săgeţile plăcii sunt mici iar eforturile de membrană sunt nule sau au valori

ce nu influenţează practic săgeţile, ecuaţia (472 devine pwD

ΔΔ = . (49)

Ecuaţia (49), obţinută de Sophie-Germaine (1811), se numeşte ecuaţia plăcii cu rigiditate mare la încovoiere. • Dacă termenii ce conţin săgeţi pot fi neglijaţi în membrul al doilea din ecuaţia (472, dar în acelaşi timp placa este suficient de subţire încât influenţa eforturilor de membran săgeă asupra ţii nu poate fi neglijată, rezultă sistemul

2 2 2 2 2 2 ΔΔF = 0 , 2 2 2 2h x y x y hy x x y ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂constituit din două ecuaţii diferenţiale practic decuplate. Plăcile ce îndeplinesc aceste condiţii se numesc plăci flexibile cu

2 (50)

săgeţi mici. Ecuaţia (50, b) a fost obţinută de Saint-Vénant înainte de deducerea ecuaţiilor lui Kármán (în 1883). Ea poate fi după determ ţia (50, a) a funcţiei F, ale căror derivate parţial t coeficienţi în ultimi

D F w F w F w pw ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ΔΔ − − + = ,

rezolvată numai inarea din ecua e sun i trei termeni din membrul stâng al relaţiei (50, b). Aceste derivate parţiale sunt eforturile de membrană (v. (24)). În particular, dacă pe contur sunt aplicate forţe constante în planul xy, ecuaţia (50, a) este identic satisfăcută iar săgeţile w se obţin direct din

ecuaţia (50, b), care devine 2 2 2

2 2 2y xyx N NN w w w pwD D D x y Dx y

∂ ∂ ∂ΔΔ − − − =

∂ ∂∂ ∂ . (51)

Ecuaţia (51) se foloseşte în studiul stabilităţii şi încovoierii compuse a plăcilor plane. În opoziţe cu plăci ite membrane. Ele se folosesc mem nave

• le de rigiditate mare la încovoiere sunt cele foarte subţiri, cu rigiditate mică la încovoiere, numrar în structuri clasice, dar pot fi întâlnite (ca brane din materiale nemetalice) la veliere,

grosimii), încât tensiunile din

st ob

pe pernă de aer etc. Membranele au rigiditatea la încovoiere atât de mică (D este funcţie de cubulîncovoiere sunt neglijabile faţă de cele de membrană. Membranele se studiază cu ecuaţiile (47), în care se face D = 0. Ele au fo ţinute de A. Föppl în 1907 şi se numesc ecuaţiile plăcilor-membrane.


8

uaţia

În cazul particular în care pe conturul membranei sunt aplicate numai forţe normale la contur şi egale ca mărime (Nx = Ny = N, Nxy = 0), atât de mari încât săgeţile din sarcina transversală p sunt mici şi nu influeţează asupra mărimii foţelor N,

ec (50, a) este identic satisfăcută iar ecuaţia (50)2 devine o ecuaţie de tip Poisson, 2 2

2 2wNx y

w w p∂ ∂Δ = + = −

∂ ∂ . (52)

• Plăcile dreptunghiulare cu b >> a, încărcate cu sarcini variabile numai în lungul axei x, se încovoaie după suprafaţe cilindrice, excepţie făcând zonele din apropierea laturilor scurte. Având generatoarele x) şi ∂ = 0,

2 2 4 4 paralele la axa y, w = w ( w/∂y

∂ w/∂y = 0, ∂ w/∂y = 0. Comportarea unei plăci ce se încovoaie după o suprafaţă cilindrică se studiază pe o fâşie de lungimea şi ora ice lăţime, de obicei 1. Notând Nx cu N, ecuaţia diferenţială devine '''' ''D w N w p− = . (53)

x – x

w(x

x

bp

Fig. 5 Relaţia obţinută diferă de cea care s-ar obţin ntru o fâşie izolată (bară cu secţiunea dreptunghiulară 1 × h) prin faptul că rigiditatea la încovoiere a fâşiei izolate, EIy = Eh3/12, s-a înloc D, adică E s-a înlocuit cu E/(1 – υ2) (numit uneori modul efectiv de elasticitate). Această substituţie re exp ie fizică. Aşa cum e în figura 5, pentru fâşia aparţinând

e peuit cu

a licaţ se vedplacii, εy

= (σy – υσx)/E = 0 → σy = υσx. Înlocuind în prima relaţie a lui Hooke, εx = (σx – υσy)/E şi notând E1 = E/(1 – υ2), se

obţine εx = σx /E1, similară cu relaţia εx = σx /E care se foloseşte în studiul barei.

Energia de deformaţie a plăcilor plane subţiri

Ţinând seama de (28 şi (29), energia potenţială de deformaţie a plăcii este 1 ( )dx x y y xy xyU V= ε σ + ε σ + γ τ∫ . (54)

Expresia (54) poate fi scrisă laţiile (28 sau în funcţie numai de

nsiun

2 V

în funcţie numai de deformaţii specifice, folosind re

te i, folosind relaţiile (29), 2 21 ( ) 2(1 )( ) d2 x y x y xyV

U VE

⎡ ⎤= σ + σ − + υ σ σ − τ⎣ ⎦∫ (55) ,

e deformaţie la încovoiere şi răsucire a plăcii. Ele ate de expresiile Făcând înlocuiri şi ţinând seama că dV = dA dx, se obţine U = Um + Uî , unde Um este energia de deformaţie a suprafeţei mediane a plăcii iar Uî energie d sunt d

22

21 (1 ) d21m x y xy

A

E h w w w wU N N N Ax y x y

∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞⎢ ⎥= + + − υ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂− υ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦∫ , (56) ⎡ ⎤⎛ ⎞

Ui = 22 2 2

22 2( ) 2(1 ) d

2 A

D w wwx yx y

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎪ ⎢ ⎥Δ − − υ − ⎜ ⎟⎨ ⎜ ⎟∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭∫ w A⎪

⎬ .

e orice formă este încastrată rigid pe contur sau dreptunghiulară este rezemgid, se arată că energia de deformaţie la încovoiere şi răsucire devine

(57)

În cazuri particulare când placa d placa ată pe un contur ri

2( ) d2i A

DU w A= Δ∫ . (58)

1

y

x

p(x)

x

w(x

(x)

a1 × h

y

z

h

PLĂCI ÎN STARE PLANĂ

Funcţia lui Airy. Ecuaţia plăcii în stare plană

Dacă încărcările transversale sunt nule iar cele de membrană nu duc la apariţia săgeţilor w (placa nu-şi pierde stabilitatea), a doua ecuaţie a lui Kármán se verifică identic iar prima ecuaţie devine ΔΔF = 0, unde F = F(x, y) (1) este funcţia de tensiuni a lui Airy. Ecuaţia biarmonică ΔΔF = 0 se poate obţine direct din ecuaţiile pentru starea pană. Neglijând forţele volumice din ecuaţiile de echilibru

0xyx Xx y

∂τ∂σ+ + =

∂ ∂ , 0y yx Y

y x∂σ ∂τ

+ + =∂ ∂

, (2)

acestea se scriu sub forma xyx

x y∂τ∂σ

− =∂ ∂

, y

y x∂σ ∂τ

= −∂ ∂

xy . Ele sunt satisfăcute dacă xAy

∂σ = −

∂, y

Bx

∂σ =

∂ şi xy

A Bx y

∂ ∂τ = = −

∂ ∂,

unde A = A(x, y) şi B = B(x, y). Luând /A F y= − ∂ ∂ şi /B F x= ∂ ∂ rezultă

2

2xF

y∂

σ =∂

, 2

2yF

x∂

σ =∂

, 2

xyF

x y∂

τ = −∂ ∂

. (3)

Pentru o distribuţie dată de tensiuni, funcţia F(x, y) se defineşte cu aproximaţia unei funcţii liniare în x şi y, care nu influenţează distribuţia dată. Dacă se ţine seama de forţele masice, relaţia (3)3 devine

2

xyF Xy Yx

x y∂

τ = − − −∂ ∂

. (4)

Relaţiile (3) sunt valabile pentru orice mediu (elastic, plastic etc). Un mediu elastic izotrop, caracterizat de 2 constante

elastice independente din cele trei (E, G, υ), deoarece 2 (1 )

EG =+ υ

, are legea constitutivă

2 2

2 21 1( )x x y

F FE E y x

⎛ ⎞∂ ∂ε = , σ − υσ = − υ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

2 2

2 21 1( )y y x

F FE E x y

⎛ ⎞∂ ∂ε = , σ − υσ = − υ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

22(1 ) 2(1 )xy xy

FE E+ υ + υ ∂

γ = τ = −x y∂ ∂

, (5)

unde deformaţiile specifice se exprimă în funcţie de deplasări prin relaţiile lui Cauchy,

xux

∂ε =

∂ , y

vy

∂ε =

∂ , xy

u vy x

∂ ∂γ = +

∂ ∂ . (6)

Prin eliminarea deplasărilor din relaţiile lui Cauchy, se obţine relaţia de continuitate (compatibilitate) a deformaţiilor specifice ale plăcii (relaţia lui Saint-Vénant),

2 22

2 2 0y xyx

x yy x

∂ ε ∂ γ∂ ε+ − =

∂ ∂∂ ∂ . (7)

Înlocuind (5) în (7), se obţine ecuaţia

4 4 4

4 2 2 42 0F F Fx x y y

∂ ∂ ∂+ +

∂ ∂ ∂ ∂= ⇔ ΔΔF = 0 , (8)

unde ΔΔ este dublul operator al lui Laplace. Ecuaţia biarmonică (1) se numeşte ecuaţia diferenţială a plăcii în stare plană, sau a discului, sau a grinzii perete, sau a şaibei.

Condiţii la limită

Pe conturul plăcii în stare plană pot fi aplicate încărcări (fig. 1) sau/şi deplasări. Când pe contur sunt aplicate încărcări, se spune că problema este cu condiţii la limită mecanice sau naturale sau Neumann. Dacă pe contur sunt impuse deplasări, problema este cu condiţii la limită geometrice sau esenţiale sau Dirichlet. Există şi probleme cu condiţii la limită mixte.

y

Fig. 1

dυ

qy = hpy

x

qx = hpx

υB (xB, yB)

αdy

O

τyx

σx

σy

τxyA (xA, yA)

dx

dy

dsα

dx


2 Pentru plăci dreptunghiulare, impunerea condiţiilor la limită mecanice este relativ simplă. Există însă şi plăci cu contur oarecare supuse la stări plane de tensiune, cum sunt guseele, plăcile ovale sau/şi cu decupări ovale etc. În astfel de cazuri, se utilizează ecuaţiile de echilibru pe contur x xy xl mσ + τ = q , xy yl m yqτ + σ = , exprimate cu ajutorul funcţiei Airy,

2 2

2 xF Fl m q

x yy∂ ∂

− =∂ ∂∂

, 2 2

2 yF Fl m

y x x∂ ∂ q− + =∂ ∂ ∂

. (9)

Considerând că la parcurgerea conturului (A → B, fig. 1) placa rămâne în stânga, se pot scrie relaţiile

cos y xls

∂ ∂= α = =

∂ ∂υ , sin x ym

s∂ ∂

= α = − =∂ ∂υ

, (10)

astfel încât relaţiile (9) devin

2 2

2 xF y F x F q

s y x s s yy∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ = =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂

, 2 2

2 yF y F x F q

y x s s s xx∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

− − = − =∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂

. (11)

Se consideră că într-un punct oarecare A de pe contur sunt cunoscute funcţia lui Airy şi derivatele parţiale ale acesteia: FA, (∂F/∂x)A , (∂F/∂y)A . Integrând relaţiile (11), pentru un punct curent B(xB, yB) se obţine dy

B A AB

F F q sx x

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∫ , dxB A AB

F F q sy y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂− = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∫ , (12)

d d ( ) ( ) d d d dB B

A A

y xB

B A B A B A x yA AA y A

F F F FF F x y x x y y q s y q s xx y x y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞− = + = − + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫ ∫

B x AB∫ ∫

. (13)

Rezultă că, prin trecerea de la punctul A la punctul B de pe contur, creşterile derivatelor parţiale ale funcţiei F în raport cu x şi y sunt egale, cu aproximaţia unei constante, cu proiecţiile pe axele (– y) respectiv x ale încărcării aplicată între A şi B (v. (12)), iar creşterea funcţiei F este egală, cu aproximaţia unei funcţii liniare aditive, cu momentul faţă de punctul B dat de toate încărcările aplicate între A şi B (v. (13)). Dacă torsorul forţelor aplicate conturului este nul, la o parcurgere completă (ABA), integralele din (12), (13) se anulează, ceea ce înseamnă că în acest caz funcţia F şi derivatele parţiale ale acesteia în raport cu x şi y sunt funcţii uniforme (au valori unice). Constantele din (12), (13) nu intervin în expresiile tensiunilor. Pentru domenii simplu conexe ele pot avea orice valoare, în particular zero. Pentru domenii multiplu conexe, aceste constante nu pot fi luate arbitrar pe toate contururile. Dacă pe un contur se iau egale cu zero, pe celelalte contururi se determină din condiţia de unicitate a deplasărilor. Relaţiile (12) permit determinarea derivatei lui F după tangenta şi normala la contur,

F F x F ys x s y s

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ , F F x F y

x y∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= +∂υ ∂ ∂υ ∂ ∂υ

. (14)

Din ecuaţia biarmonică (8) şi condiţiile la limită (12), (13) rezultă teorema lui M. Levy, cu aplicaţii în analiza experimentală a tensiunilor: pentru plăci izotrope simplu conexe cu condiţii la limită mecanice, funcţia tensiunilor nu depinde de constantele elastice. Această teoremă permite a se înlocui studiul tensiunilor în piese metalice cu studiul tensiunilor pe modele ale acestora, confecţionate din materiale izotrope transparente – cu proprietăţi optice speciale, sensibile la deformaţii. Evident, deplasările sunt dependente de material. Pentru plăci multiplu conexe, teorema este valabilă numai dacă pe fiecare contur torsorul încărcărilor este nul.

Soluţii analitice elementare ale ecuaţiei biarmonice

Funcţia Airy poate fi exprimată prin polinoame algebrice, serii de puteri, polinoame trigonometrice etc. Un procedeu eficient este cel propus de Bernoulli-Kantorowich, în care soluţia se consideră de forma o 1, 2,...( , ) ( , ) ( , )nnF x y F x y F x y

== + ∑ , (15)

unde Fo (x, y) şi Fn (x, y) sunt produse de două funcţii depinzând de câte o singură variabilă, Fo (x, y) = Xo (x) Yo (y) , (16) Fn (x, y) = Xn(x) Yn(y) , n = 1, 2, … . (17) O funcţie Fn ce satisface ecuaţia (8) este o soluţie particulară a acestei ecuaţii. Introducând (17) în (8), rezultă

, sau'''' '' '' ''''2 0n n n n n nX Y X Y X Y+ + ='''' '' '' ''''

2 0n n n n

n n n n

X X Y YX X Y Y

+ + = . (18)

Prin derivarea expresiei (18) în raport cu y, se obţine

' ''' '' ''''

2 0n n n

n n n

X Y YX Y Y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ sau

''''' ''2

2 '' '1( ) 2 ( ) 2

( / )n n

nn nn n

Y XF y F xY XY Y

⎛ ⎞1≡ = − ≡ = α⎜ ⎟

⎝ ⎠ , (19)

unde valoarea comună 2 αn2 a funcţiilor F1 (x), F2 (y) nu poate fi decât o constantă. Rezultă

⇔ '' 2 0n n nX X+ α = '' 2n nX X= −α → '''' 4

n n nX X= α , [αn] = [L– 1] . (20)

• Dacă αn ≠ 0, ecuaţia diferenţială (20)1 are soluţia Xn = Gn sin αnx + Hn cos αnx . (21) Substituind (20)2,3 în (18), se obţine . (22) '''' 2 '' 42 0n n n n nY Y Y− α + α =

Plăci în stare plană. Fâşia adiţională

3 Ecuaţia (22) are soluţia Yn = An ch αn y + Bn sh αn y + αny (Cn ch αn y + Dn sh αn y) , (23) astfel încât din (17), (21), (23) se obţine Fn (x, y) = (Gn sin αn x + Hn cos αn x)[An ch α ny +Bn sh αn y + αn y (Cn ch αn y + Dn sh αn y)] . (24) • Pentru αn = 0, şi (v. ''

o 0X = ''''o 0X = (20)2) iar din (18) rezultă ''''

o 0Y = . În consecinţă Xo = Go + Ho x ; Yo = Ao + Bo y + Co y 2 + Do y 3 , adică Fo (x, y) = (Go + Ho x) (Ao + Bo y + Co y 2 + Do y 3) . (25) Înlocuind (24) şi (25) în (15), se obţine

( )2 3o o o o o o)( ( sin cos ) [ cosh sinh ( cosh sinh )]n n n n n n n n n n n n n

nF G H x A B y C y D y G x H x A y B y y C y D y= + + + + + α + α × α + α + α α + α∑ . (26)

Dacă se derivează (18) în raport cu x, rezultă soluţii identice cu cele obţinute mai sus, în care x şi y şi-ar inversa locurile, ceea ce este echivalent cu rotirea sistemului de axe cu 90o.

Soluţii în polinoame

Soluţia care rezultă prin reţinerea în numai a termenilor polinomiali până la gradul 3 în x sau în y şi până la gradul 4 în x şi y (fără termenul x2y2) a fost propusă de Ménagé, . (27) 2 3 2

o1 o1 o1 o1 o1 o1 o2 o2 o2 o2 o2 o2( , ) ( )( ) ( )( )F x y G H x A B y C y D y G H y A B x C x D x= + + + + + + + + + 3

În general, soluţiile în polinoame au forma F(x,y) = Pm(x) Pn(y). Este evident că ele trebuie să satisfacă ecuaţia biarmonică ΔΔF = 0. Coeficienţii polinomului-soluţie se obţin din condiţiile la limită. Dacă funcţia F este polinomială de grad ≥ 4 (fără nici o restricţie), se stabilesc anumite relaţii între coeficienţii acesteia din condiţia de biarmonicitate. Aplicaţii

Fig. 2

• Pentru placa dreptunghiulară de grosime h, solicitată uniform la întindere/compresiune pe direcţiile x şi y de sarcinile qx respectiv qy ⟨N / m⟩ şi la forfecare pură de sarcina q, aşa cum se arată în figura 2, a, funcţia lui Airy care satisface ecuaţia biarmonică ΔΔF = 0 şi condiţiile la limită pe orice element al conturului este

2 2

( , )2 2x y xyy xF x y q q qh h

= + −xyh

. (28)

• Luând axa x pe axa de simetrie a unei plăci dreptunghiulare (fig. 2, b) încovoiate în planul ei de momentul încovoietor

M, funcţia lui Airy are expresia 3

( , ) 2 M yF x yh b

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

, după cum se verifică uşor folosind relaţiile (3) :

σy = τxy = 0, 312

xM y

hbσ = ; max 2

6x

Mhb

σ = . (29)

Fig. 3

Momentele Mz trebuie aplicate plăcii pe laturile x = 0, a prin încărcări cu aceeaşi lege de variaţie ca şi σx, adică qx = σx h. Pentru aceste încărcări, rezultanta şi momentul rezultant faţă de mijlocul laturii sunt

/ 2

/ 2( ) d 0

bxb

q y y+

−=∫ ,

/ 2

/ 2( ) d

bx zb

q y y y M+

−=∫ . (30)

• Să se determine condiţiile la limită mecanice (încărcările) pentru o placă dreptunghiulară de grosime h, corespunzătoare funcţiei lui Airy având expresia

y

b x

Mz Mz

σx max

qx qxσx

a

σx

gros.

qx (0, b/2) = hσx max

y

y

x

τyτx

σσ

σσ

gros.

a

b

qx

qxy

qy

qx

qy


4

3

( , ) 2 1,5a x y xyF x y Q Qh b bh− ⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠ . (31)

y

Fig. 4 Tensiunile şi valorile acestora pe contur au expresiile (v. (3)) :

2 ( , ) 0F x y∂

σ = = ; 2y x∂

2 (F x∂σ = 2 3

, ) 12 ( )xy Q a x y

y hb= −

∂ , (32)

, ( , ) 0x a yσ = (0, ) zx

z z

M yQay yI I

σ = = , max/ min (0, / 2)2x x

z

Qabb yI

σ = σ ± = ; (33)

2 2 2

3 2( , ) 3 36 1 4

2 2xyF x y Q Qy Q yx y hb hbhb b

⎛ ⎞∂τ = − = − + = − −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠

, max32xy

Qhb

τ = − , . (34)

Ţinând seama de aceste expresii, în fig. 4 sunt prezentate încărcările aplicate pe contur (condiţiile la limită mecanice).

Pentru rezolvarea plăcilor dreptunghiula le x = 0, x = a, Ribière a propus (1898) soluţia

( / 2) 0xy bτ =∓

Soluţii în serii trigonometrice

re la care τxy = 0 şi u = 0 pe laturiîn cosinusuri de x, adică a considerat Gn = 0 în seria (26), [ cosh sinhn n n n ( cosh sinh ) cos ]n n n n n n

nF A y B y= α + α +∑ y C y D yα α + α xα . (35)

Filon a propus soluţia în sinusuri de x (considerând Hn = 0 în seria (26)) pentru plăci dreptunghiulare la care x În 1903 σ = 0 şi v = 0 pe laturile x = 0 şi x = a, [ con sh sinh ( cosh sinh )sin ]n n n n n n n n n

nF A=∑ y B y y C y D yα + α + α α + α xα . (36)

îndeplinite condiţiile mecanice impuse la x = a în soluţiile Ribière (τxy = 0) şi Filo (σx = 0), este necesar ca n αn

Tabel 1 Forma funcţiei în soluţia Rib orma funcţiei în soluţia Filon

Pentru a fi n si a = 0, de unde rezultă αn = nπ / a , n = 1, 2, ... . În tabelul 1 sunt prezentate ca structură funcţiile cu ajutorul cărora se obţin tensiunile σx, σy, τxy, deformaţiile specifice εx , εx , γxy şi deplasările u, v în soluţiile Ribière şi Filon. Condiţiile la limită în tensiuni şi deplasări, realizate automat în soluţiile Ribière/Filon pe laturile x = 0/a, corespund legăturilor din fig. 5.

ière FF ( ) cosn nn g y xα∑ ( ) sinn nn f y xα∑

σx 1 ( ) cosn nn g y xα∑ 1 ( ) sinn nn f y xα∑

σy 2 ( ) cosn nn g y xα∑ 2 ( ) sinn nn f y xα∑

τxy 3 ( ) sinn nn g y xα∑ 3 ( ) cosn nn f y xα∑

εx 4 ( ) cosn nn g y xα∑ 4 ( ) sinn nn f y xα∑

εy 5 ( ) cosn nn g y xα∑ 5 ( ) sinn nn f y xα∑

γxy 6 ( ) sinn nn g y xα∑ 6 ( ) cosn nn f y xα∑

u 7 ( ) sinn nn g y xα∑ 7 ( ) cosn nn f y xα∑

v 8 ( ) cosn nn g y xα∑ 8 ( ) sinn nn f y xα∑

Fig. 5 Constantele An, Bn , Dn se ob in din condiţiile la limită pe l y = 0, b. Acestea pot fi mec i geometrice. , Cn ţ aturile anice sau/ş Condiţii la limită mecanice (v. fig. 6 şi tabel 1)

x

Mz

hσx max

qxa

σxσx

gros.

τx hτxymax

Q Q

b

y

b

a σx

τxy

u

v

x y

ba

σx

v

u = 0

x

τxy

Plăci în stare plană. Fâşia adiţională

5

y

– În soluţia Ribière: 2 (0) cosn nn 1 ( )g x q x= −α∑ 3 1(0) sin ( )n n xyn g x q xα = −∑ ; , (37)

2 2( ) cos ( )n n yn g b x qα =∑ x , 3 2( ) sin ( )n n xyn g b x qα = x .

– În soluţia Filon: , x (39)

.

Condiţii la limită geometric

∑ (38)

2 (0) sinn nn f xα∑ 1 x 3 1(0 cos ( )n n xyn f x qα = −∑ ;( )yq= −

, ∑ (40) 2 2( ) sin ( )n n yn f b x q xα =∑ 3 2( ) cos ( )n n xyn f b x q xα =

e – În soluţia Ribière: 7 (0) sinn nn 1( )g xα =∑ 8 1(0) cos ( )n nn g x v xα =∑u x , ; (41)

7 2( ) sin ( )n nn g b x u xα =∑ , 8 2( ) cos ( )n nn g b x v xα =∑– În soluţia Filon:

; (42)

7 (0) cosn nn f xα∑ 1 x( )u= , 8 1(0) sin ( )n nn f xα =∑ v x ; (43)

7 2(0) cos ( )n nn f x u xα =∑ , 8 2( ) sin ( ) ; (44) n nn f b x v xα =∑

Fig. 6

În probleme concrete, se dezvoltă în serii trigonometri ţiile deplasări impuse ce func 1( ) 0u x = , 1( ) 0v x = , 2 ( ) 0u x = , 2 ( ) 0v x =

ş noscu e An , B Cn , Dn

Frecvent se întâlnesc structuri tip uă platbande a căror lăţime nu este cu ult m

de inimă.

e o tablă. În acest caz,

i încărcările q1y(x), q1xy(x), q2y(x), q2xy(x), obţinându-se sisteme de ecuaţii algebrice cu necu tel n , . Fâşia adiţională a grinzilor cu platbande late grindă, realizate prin sudură dintr-o inimă şi do

m ai mică faţă de lungime, aşa cum se întâmplă la bare obişnuite – de exemplu la profile I laminate standardizate. În diverse tipuri de analize, astfel de structuri pot fi modelate ca sisteme de plăci sau ca grinzi cu platbande late, în ultimul caz fiind necesar ca în calculul caracteristicilor geometrice ale secţiunilor transversale să se înlocuiască lăţimile reale ale platbandelor cu lăţimi fictive, mai mici decât cele reale. Aceste corecţii sunt impuse de faptul că distribuţia de tensiuni în platbandele grinzii diferită de formula Navier, aplicabilă la bare obişnuite şi obţinută pe baza ipotezei lui Bernoulli. Se consideră grinda din figura 7, a. După cum se ştie, încărcările transversale q sunt preluate aproape exclusivAntrenarea platbandelor în procesul de încovoiere a grinzii se face prin tensiuni tangenţiale de lunecare – transmise platbandelor de către inimă prin cordoanele de sudură. Produsul dintre aceste tensiuni şi grosimea platbandelor, numite fluxuri, sunt notate cu q1 respectiv q2 (v. fig. 7, b). Tensiunile normale σx care apar în platbande (de compresiune în platbanda superioară şi de întindere în cea inferioară) sunt variabile pe lăţimea acestora, datorită "rămânerii în urmă" a deplasărilor axiale pe măsura depărtării de inimă. În literatură, fenomenul este cunoscut sub denumirea "shear lag". Dată fiind reducerea continuă a tensiunilor normale pe măsura depărtării de inimă, fenomenul se mai numeşte "relaxarea tensiunilor". Pentru a face aplicabilă formula lui Navier şi la grinzi cu platbande late, s-a introdus noţiunea de lăţime sau fâşie adiţională. Observaţie. Fenomenul de relaxare apare şi atunci când un profil oarecare este sudat pcaracteristicile geometrice se calculează adăugând la secţiunea profilului secţiunea corespunzătoare fâşiei adiţionale de tablă. Fâşia adiţională ba este o lăţime fictivă, care în presupunerea că tensiunile normale sunt constante pe lăţime şi egale cuvaloarea maximă a tensiunilor reale din secţiunea respectivă, preia aceeaşi forţă axială ca şi fâşia reală. Conform definiţiei,

max ( ) da xb h h y yσ = σ∫ (fig. b

7, c), de unde rezultă

max

( ) dxba

y yb b

σ= ψ =

σ∫ , (45)

în care s-a notat cu ψ = ba /b coeficientul de reducere a lăţimii platbandei. etodele teoriei plăcilor în stare plană de tensiune;

iile" de

b

Distribuţia pe lăţimea platbandei a tensiunilor σx (y) se obţine prin mţinând seama de condiţiile la limită specifice fiecărei probleme, se analizează separat platbandele P1 şi P2 precum şi inima W (wall), sub acţiunea (v. fig. 7, b) fluxurilor autoechilibrate q1 în platbanda P1 , fluxurilor autoechilibrate q2 în platbanda P2 şi sarcinii transversale q (împreună cu reacţiunile care o echilibrează) şi fluxurilor autoechilibrate q1, q2 aplicate inimii. Fluxurile necunoscute q1 , q2 se obţin din condiţiile de compatibilitate a deformaţiilor specifice – impuse pe " linîmbinare a platbandelor cu inima (v. fig. 7, b):

x

aq2xy

q2y y

q1xy

q1y

Condiţii Ribière

Condiţii Ribière sau Filon

sau Filon


6

1( ) ( ),, 0

P inimăx x x y hx y ==

ε = ε , 2( ) ( ), 0, 0

P inimăx x x yx y ==

ε = ε . (46)

După determinarea fluxurilor q1 şi q2 , se pot obţine tensiunile reale σx în platbande şi apoi se determină ba .

Fig. 7

Calculele au arătat că principalii factori ce influenţează coeficientul de reducere ψ sunt raportul l / b şi condiţiile de rezemare ale grinzii la capete (x = 0, x = l). El este însă influenţat şi de condiţiile la limită pe marginile longitudinale ale platbandelor precum şi de tipul încărcării grinzii cu tălpi late ; pentru un raport l / b dat, ψ descreşte cu creşterea neuniformităţii încărcării exterioare. Într-o măsură mai mică, ψ este influenţat şi de raportul dintre aria secţiunii transversale a inimii şi cea a platbandei. Calitativ, variaţia cu l / b a coeficientului de reducere ψ este reprezentată grafic în 8. Distribuţia de tensiuni în platbande şi coeficientul de reducere ψ sunt influenţate desigur de prezenţa unor decupări în inimă. Registrele navale consideră de obicei liniară variaţia lui ψ cu l / b până la valoarea = 1 / αo , iar pentru l / b > αo , se consideră ψ = 1, unde raportul de referinţă αo = bo

/ l are valorile : αo = 1 / 3 , pentru grinzi simplu rezemate la capete ; αo = 1 / 6…1 / 8 , pentru grinzi încastrate la capete . Se foloseşte deci relaţia . (47) ( )omin 1 , /l bψ = α

Fig. 8

1

l / b

ψ = 1 ψ = αo l / b

ψ

l / b < 1 / αo l / bo = 1 / αo l / b > 1 / αo

uniformitatea

y

x

q

σmax σx (y)

y

σmax

b

ba

y

y

x

x

ql/2ql/2

q1

q2

q1

q2

b/2

b/2

Platbanda

a)

q

P1

P2

l

Distribuţia reală a tensiunilorDistribuţia tensiunilor

după Navier

h

Inima grinzii cu b) c)h platbande late

hPlatbanda

PLĂCI CU SAGETI MICI ECUAŢIA DIFERENŢIALĂ A PLĂCILOR CU SAGETI MICI. CALCULUL TENSIUNILOR

Se numesc rigide, acele plăci care au rigiditate mare la încovoiere şi săgeţi w mici, practic neinfluenţate de prezenţa eventualelor eforturi de membrană. Comportarea plăcilor rigide în teoria Kirchhoff este complet determinată de funcţia w = w(x, y), (1)

întrucât ( , )( , , ) w x yu z y z zx

∂= −

∂ ; ( , )( , , ) w x yv z y z z

y∂

= −∂

. (2)

Conform relaţiilor lui Cauchy, 2 2

2 2, ,x x xu w u w u vz z

22 wz

x x y xx x∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

ε = = − ε = = − γ = + = −∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ x y∂ ∂

. Tensiunile

rezultă din legea lui Hooke,

2 2

2 2 21xE z w w

x y

⎛ ⎞∂ ∂σ = − + υ⎜ ⎟⎜ ⎟− υ ∂ ∂⎝ ⎠

, 2 2

2 2 21yE z w w

y x

⎛ ⎞∂ ∂σ = − + υ⎜ ⎟⎜ ⎟− υ ∂ ∂⎝ ⎠

, 2

2 (1 )1xy

E z wx y

∂τ = − − υ

∂ ∂− υ . (3)

Cu ∫ ∫ , relaţiile de echivalenţă / 2 / 2 2 3/ 2 / 2

d 0 d /12h h

h hz z şi z z h

+ +

− −= = d , d , dx x y y xy yx xy

h h h

N z N z N N= σ = σ = = τ z∫ ∫ ∫ şi

d , d ,y y xy yx xyh h

dx xh

M z z M z z M M z= σ = = τ∫ ∫ z= σ ∫ (v. fig. 1) conduc la expresiile Nx = Ny = Nxy = 0 şi

2 2

2 2xw wM D

x y

⎛ ⎞∂ ∂= − + υ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

, 2 2

2 2yw wM D

y x

⎛ ⎞∂ ∂= − + υ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

, 2

(1 )xywM D

x y∂

= − − υ∂ ∂

, (4)

în care D este rigiditatea la încovoiere a plăcii, 3

212(1 )E hD =

− μ . (5)

Δx = 1

Δy = 1

Fig. 1

Fig. 2 La plăci rigide, echilibrul se scrie pe forma nedeformată (v. fig. 2). Rezultă

0yx TTp

x y∂∂

+ + =∂ ∂

, xyxx

MMT

x y∂∂

+ =∂ ∂

, y yxy

M MT

y x∂ ∂

+ =∂ ∂

. (*) (6)

Înlocuind (4)) în (6)2,3, rezultă

(*) Aceste relaţii sunt similare cu cele obţinute la bare, unde există relaţiile

dd ,d d

yzz

MT q Tx x

= − = .

Mxdx x

y

Mxy + (∂Mxy /∂y)dy

My + (∂My /∂y)dy

Myx + (∂Myx /∂x)dx

Mx + (∂Mx /∂x)dx

My

Mx

M

dy

pTx

Tx + (∂Tx /∂x)dx

Ty + (∂Ty /∂y)dy

Ty

zy

O2

h/2

h/2

Myx O1

My

Mxy z

d

T

τx

τzyσ

d

T

τyx

τzx

σ

My


2

3 3

3 2xw wT D D

xx x y

⎛ ⎞∂ ∂ ∂= − + = − Δ⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂∂ ∂ ∂⎝ ⎠

w , 3 3

3 2yw wT D D

y wy x y

⎛ ⎞∂ ∂ ∂= − + = −⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂ Δ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

. (7)

Înlocuind (6)2,3 în (6)1, rezultă relaţia

2 22

2 2 xy yx M MMp

x yx y

∂ ∂∂2+ + =

∂ ∂∂ ∂− , (*) (8)

iar din (7) şi (6)1 se obţine ecuaţia Sophie-Germaine (care este un caz particular al ecuaţiilor lui Kármán),

4 4 4

4 2 2 42w w wDx x y y

∂ ∂ ∂+ +

∂ ∂ ∂ ∂p

= ⇔ ( , )p x ywD

ΔΔ = . (†) (9)

La plăci cu săgeţi mici, se poate aplica principiul suprapunerii liniare a efectelor (operatorul dublu al lui Laplace ΔΔ este liniar), conform căruia, dacă p = p1 + p1, atunci w = w1

+ w1, unde w1, w2 sunt soluţiile ecuaţiilor diferenţiale ΔΔw1 = p1, ΔΔw2 = p2.

Tensiuni la plăci rigide După determinarea funcţiei w(x, y) prin integrarea ecuaţiei (9), ţinând seama de condiţiile la limită, se determină momentele încovoietoare şi de torsiune Mx, My şi Mxy (v, (4))) şi apoi tensiunile normale (σx , σy) şi tensiunile tangenţiale de lunecare (τxy). Folosind relaţiile (3), (4) şi (5), rezultă

3 3

12 1212, ,y xx

x y xy 3yM z MM z

h hσ = σ = τ =

z

h . (‡) (10)

Valorile extreme ale acestor tensiuni sunt

min / max2

6 xx

Mh

σ = ∓ ; min / max2

6 yy

M

hσ = ∓ ; min / max

2

6 xyxy

M

hτ = ∓ . (11)

Fig. 3

(*) Relaţiile sunt similare cele de la bare, unde între încărcări (q) şi momente încovoietoare (My) există relaţia 2 2d /dyM x q= − . (†) La bare, între încărcări (q) şi săgeţi există relaţia . 4 4d / d / yw x q EI=(‡) Relaţii similare cu formula lui Navier de calcul a tensiunilor normale la bara de secţiune dreptunghiulară 1 × h.

z

y

z

h / 2

h / 2

x

maxyσ

maxxσ

maxxyτ

maxyxτ

maxzyτ

τzx

τyx

σx

σy τxyτzy

Plăci cu săgeţi mici

3

z Forţele tăietoare (7) sunt echivalente cu tensiunile tangenţiale transversale τzx, τzy conform relaţiilor

. Ele nu pot fi însă obţinute din aceste relaţii, deoarece ipoteza Kirhhoff nu numai că nu permite

obţinerea variaţiei lor, dar postulează chiar că sunt nule. Ca şi la bare, aceste tensiuni se obţin din relaţiile

d , dx zx y zyh hT z T= τ = τ∫ ∫

2 2

2 21,5 1 4 , 1,5 1 4yxxz zx yz zy

TT z zh hh h

⎛ ⎞ ⎛τ = τ = − τ = τ = −⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

. (12)

Se observă că τzx , τzy au variaţii parabolice pe înălţimea plăcii, cu maxime pentru z = 0, . (13) max max1,5 / , 1,5 /zx x zy yT h T hτ = τ =

Distribuţiile tensiunilor σx , σy , τxy , τzx , τzy în secţiunile plăcii sunt reprezentate grafic în figura 3.

Condiţii la limită pentru plăci rigide dreptunghiulare La integrarea ecuaţiei diferenţiale (9) apar 8 constante de integrare. Înseamnă că pe fiecare din cele patru laturi ale plăcii dreptunghiulare, având ecuaţiile x = 0, x = a, y = 0, y = b, se pot scrie câte două condiţii la limită. Se obişnuieşte să se folosească notaţiile x = const. şi y = const., pentru laturile paralele cu axele y respectiv x. Condiţii la limită pot fi mecanice, geometrice sau combinaţii ale acestora. Condiţiile la limită geometrice au în vedere deplasările generalizate pe laturile plăcii, adică valorile pe care le au săgeata şi derivata acesteia pe direcţia normală la latură. Pentru scrierea condiţiilor la limită mecanice trebuie deduse eforturile care corespund deplasărilor generalizate ∂w/∂x şi w pe x = const. şi deplasărilor generalizate ∂w/∂y şi w pe y = const. Deplasărilor generalizate ∂w/∂x şi ∂w/∂y pe laturile x = const. respectiv y = const. le corespund (ţinând seama şi de semn) momentele Mx respectiv My . Mai rămân pe fiecare latură a plăcii două eforturi, Tx, Myx respectiv Ty, Mxy. Fiind aparent independente, s-ar părea că ar mai putea fi scrise câte două condiţii la limită mecanice pe fiecare latură. Ar rezulta în felul acesta un total de 12 condiţii pentru toate laturile plăcii. Dar numărul constantelor de integrare este 8, insuficient pentru a satisface 12 condiţii la limită. Se poate însă constata că deplasărilor generalizate w pe laturile x = const. le corespund nu numai forţele tăietoare Tx ci şi momentele de torsiune Myx care dau lucru mecanic pe deplasările ∂w/∂y | x = const iar deplasărilor generalizate w pe laturile y = const. le corespund nu numai forţele tăietoare Ty ci şi momentele Mxy care dau lucru mecanic pe deplasările ∂w/∂x| y = const. Necesitatea definirii a două forţe generalizate pe fiecare latură a plăcii, cu ajutorul cărora să se poată scrie două condiţii la limită mecanice, a fost sesizată pentru prima dată de Kirchhoff şi rezolvată complet de Thompson şi Tait. Ei au înlocuit momentele Myx şi Mxy prin cupluri de forţe verticale, obţinând aceleaşi rezultate ca mai sus (v. fig. 4, a), scrise sub forma rx = Tx + /yxM y∂∂ , ry = Ty + /xyM x∂ ∂ ; R = Myx

+ Mxy = 2 Mxy , (14)

unde rx, ry şi R sunt forţe tăietoare generalizate. Ele au sensurile pozitive din figura 4, b. Ţinând seama de (4), c) şi (7)), relaţiile (14)) devin

3 3

3 2(2 )xw wr D

x x y

⎛ ⎞∂ ∂= − + − υ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∂

, 3 3

3 2(2 )yw wr D

y x y

⎛ ⎞∂ ∂= − + − υ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

. 2 (1 ) wR Dx y∂

= − − υ∂ ∂

. (15)

Fig. 4

Condiţii la limită pot fi de o mare diversitate de tipuri şi combinaţii. Se prezintă câteva tipuri frecvente. 1) Pentru o latură x = const. rezemată simplu se poate scrie o condiţie la limită geometrică, w | x = const. = 0 , (16, a)

prin care sunt satisfăcute automat şi relaţiile 0x const

wy =

∂=

∂ ,

2

2 0x const

wy =

∂=

∂ , (17)

şi o altă condiţie la limită mecanică, Mx (x = const., y) = 0 . (18) Ţinând seama de relaţiile (4), a)1 şi (17), condiţia (18) devine

2

2.

0x const

wx =

∂=

∂ sau . 0x constw =Δ = . (16, a)

Pentru o latură y = const. simplu rezemată, condiţiile la limită sunt

Myx dy

Myx

dy∂w / ∂y

Mxy

Mxy dx

x y z

∂w / ∂x dx R ry

rx

R R

rx ryR

a) b)


4

w | y = const. = 0 , 2

2.

0y const

wy =

∂=

∂ . (16, b)

2) Pe o latură x = const. încastrată rigid se scriu 2 condiţii geometrice w | x = const. = 0 , .

0x const

wx =

∂=

∂ , (19, a)

prin aceste condiţii satisfăcându-se în mod automat şi relaţiile .

0x const

wy =

∂=

∂,

2

2.

0x const

wy =

∂=

∂,

2

.

0x const

wx y

=

∂=

∂ ∂. (20)

Condiţiile la limită pentru o latură y = const. încastrată rigid se obţin prin inversarea indicilor x şi y,

w | y = const. = 0 , .

0y const

wy =

∂=

∂ . (19, b)

3) Dacă o latură x = const. este liberă, Mx | x = const. = 0 şi rx

| x = const. = 0. Ţinând seama de relaţiile (4), a)1 şi (15), se obţine

2 2

2 2.

0x const

w wx y =

⎛ ⎞∂ ∂+ υ =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

, 3 3

3 2.

(2 ) 0x const

w wx x y =

⎛ ⎞∂ ∂+ − υ =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

. (21)

Observaţii Teoria plăcilor plane cu săgeţi mici rămâne valabilă atâta vreme cât în procesul de încovoiere datorită încărcărilor p nu apar eforturi de membrană. Se întâmplă acest lucru dacă sunt îndeplinite următoarele două condiţii: 1) săgeţile au valori relative mici, ce nu depăşesc (0,5...1,0) h ; 2) deplasările marginilor plăcii în planul ei median se pot produce liber (free to pull in edge). Dacă este îndeplinită numai a doua condiţie, apar eforturi de membrană din considerente de compatibilitate geometrică, atunci când săgeţile plăcii depăşesc (1,0...1,5)h. Ele sunt de întindere în centru şi de compresiune (circumferenţiale) spre marginile plăcii. La plăci cu încovoiere după o suprafaţă cilindrică nu apar eforturi de membrană la săgeţi mari, deoarece nu apar incompatibilităţi geometrice (suprafaţa cilindrică este desfăşurabilă), dacă evident este îndeplinită a doua condiţie. Eforturile de membrană care apar datorită neîndeplinirii numai a primei condiţii au valori mult mai mici decât cele ce apar atunci când a doua condiţie nu este îndeplinită, adică legăturile nu permit deplasări libere ale marginilor plăcii în planul ei (restricted to pull in edge). În aceste cazuri teoria plăcilor rigide se poate aplica numai dacă săgeţile maxime ale plăcii nu depăşesc jumătate din grosimea ei. Pentru valori mai mari ale săgeţilor, apar apreciabile eforturi de întindere care modifică însăşi soluţia. Din acest motiv, nu trebuie să se confunde simpla rezemare (simply supported) cu articulaţia (pinned edges) sau încastrarea deplasabilă (clamped but free to slide) cu încastrarea propriu-zisă care împiedică şi deplasarea în plan (rigidly clamped), deşi pentru funcţia w condiţiile la limită sunt aceleaşi.

Integrarea analitică a ecuaţiei Sophie-Germaine

Există o mare diversitate de tipuri şi combinaţii de condiţii la limită şi de încărcări. Analitic, ecuaţia diferenţială (9) se poate integra numai în anumite cazuri particulare. Când nu este posibilă integrarea analitică se apelează la diferite metode numerice. Pentru plăci izotrope, s-au întocmit tabele cu rezultate pentru diverse condiţii de rezemare şi încărcare. Pentru folosire corectă a acestor tabele şi nu numai din acest motiv, este utilă cunoaşterea celor mai importante metode analitice şi numerice de soluţionare a ecuaţiei (9).

Soluţia Navier

Această soluţie este aplicabilă la plăci dreptunghiulare simplu rezemate pe contur (v. figura 5). Funcţia w(x, y) trebuie astfel determinată încât să satisfacă ecuaţia diferenţială (9) şi condiţiile la limită (16),

2

2

0 ,0,

0 ;

wx w

x

a=⎧

⎪= ⎨ ∂=⎪

∂⎩

, 2

2

0 ,0,

0 .

wy w

y

b=⎧

⎪= ∂⎨ =⎪ ∂⎩

(22)

Condiţiile la limită sunt integral satisfăcute de funcţia ( , ) sin sinmnm n

m x n yw x y wa bπ π

= ∑∑ . (23)

Se dezvoltă şi funcţia încărcare, p (x, y), într-o serie dublă, de acelaşi tip, ( , ) sin sinmnm x n yp x y p

a bπ π

= . (24)

Se înlocuiesc (23), (24) în (9): 4 2 2 4

2 sinmnmn

m n

pm m n n m x n ywa a b b D a b

⎧ ⎡ ⎤π π π π π π⎫⎪ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ sin 0+ + −⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎭⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦⎩

∑∑ = . Relaţia

obţinută este satisfăcută pentru orice x şi y, numai dacă 22 2

4

mnmn

pw

m nDa b

=⎡ ⎤π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞π +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

. (25)


5 Se observă că wmn rezultă dintr-o relaţie foarte simplă. Înlocuind în (23), se obţine funcţia w(x, y) şi apoi toate mărimile care interesează. Coeficienţii pmn se determină prin metoda Euler. Ţinând seama şi de proprietate de ortogonalitate a funcţiilor

trigonometrice, 0

0 , pentru ;sin sin d

, pentru ,2

l r sr s

ll l r s

≠⎧πη πη ⎪η = ⎨

=⎪⎩∫ (26)

rezultă 0 0

4 ( , )sin sin d da b

mnm x n yp p x y

ab a bπ π

= ∫ ∫ x y . (27)

Fig. 5

Coeficienţii pmn depind de funcţia p(x, y). La plăci navale sarcinile pot avea distribuţie biliniară (liniară după x şi după

y) pe toată suprafaţa plăcii (v. fig. 6), dată de relaţia o( , ) a bx yp x y p p pa b

= + + . (28)

Fig. 6

Efectuând integrala o0 0

4 sin sin d da b

mn a bx y m x n yp p , rezultă p p x y

ab a b a bπ π⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫

[ o24 (1 cos ) (1 cos )mnp p m nπ 1 1( 1) (1 cos ) ( 1) (1 cos )m n

a bp n p+ + ⎤mn

= − π −π

m+ − − π + − − π ⎦ . (29)

Din (29) se obţin două cazuri foarte des întâlnite (v. fig. 6): 1) încărcare uniform pe toată suprafaţa plăcii; pentru pa

= pb = 0, po = p (v. fig. 6, b), din (29) se obţine

2 24 16(1 cos )(1 cos ) , , 1,3,5,...mn

p pp m n m nmn mn

= − π − π = =π π

(30)

2) încărcare uniform pe toată suprafaţa plăcii; pentru po = 0, pb

= 0, pa = p (v. fig. 6, c), din (29) se obţine

128 ( 1)m

mnppmn

+= −π

, m = 1, 2, 3, ... ; n = 1, 3, 5, ... . (31)

Aplicaţie. Placa încărcată uniform pe toată suprafaţa Înlocuind (30) în (25) şi apoi în (23), se obţine

4

226 21,3,5,... 1,3,5,...

16( , ) sin sinm n

pb m x n yw x ya bmD n mn

= =

π π=

⎡ ⎤⎛ ⎞π +⎢ ⎥⎜ ⎟α⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ ∑ , (32)

unde s-a notat cu α raportul de formă al plăcii, ab

α = . (33)

Săgeata maximă (la mijlocul plăcii) are expresia

1 12 4 2 2

max 6 3 222

192(1 ) ( 1) ( 1),2 2

m n

m n

a b pbw wEh mmn n

− −

− υ − −⎛ ⎞= =⎜ ⎟ π⎝ ⎠ ⎡ ⎤⎛ ⎞ +⎢ ⎥⎜ ⎟α⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

∑∑ , (34)

sau

4

max 1 3pbw kEh

= , (35)

a

a) b) c)

p p

b b

po po

+ pb

po + pa + pb

po + pa

a b

x

y

a

x zab

y yx

z


6

unde

1 12 2 2

1 6 222

192(1 ) ( 1) ( 1)( )

m n

m nk

mmn n

− −

− υ − −α =

π ⎡ ⎤⎛ ⎞ +⎢ ⎥⎜ ⎟α⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

∑∑ . (36)

Uneori săgeata maximă se exprimă în funcţie de rigiditatea D, sub forma

4

max 1opbw kD

= , (37)

coeficientul k1o diferind de k1 numai printr-o constantă. Seria (36) este foarte rapid convergentă, obţinându-se o aproximaţie bună chiar dacă se reţine numai primul termen. De exemplu, în cazul plăcii pătrate, cu υ = 0,3, se obţine k1

= 0,00454, care diferă faţă de valoarea exactă cu numai 2,5 %. Coeficienţii k1, k1o sunt tabelaţi. Momentele încovoietoare şi de răsucire, forţele tăietoare, reacţiunile distribuite şi cele concentrate din colţuri se obţin cu relaţiile (4)), (7)), (15),

2 2

4 22 21,3,5,...1,3,5,...

2 2

16 sin sinxmn

m np m x n yn a mbM

a bm na b

==

+ υπ π

=π ⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ , 2 2

4 22 21,3,5,1,3,5,...

2 2

16 sin sinymn

n mp m x n ymb n aM

a bm na b

==

+ υπ π

=π ⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ ,

4 22 21,3,5, 1,3,5,

2 2

16 (1 ) 1 sin sinxym n

pMa bab m n

a b= =

− υ π π= −

π ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑ ∑ m x n y ; (38)

2

2 2

3 22 21,3,5, 1,3,5,

2 2

16 sin sinxm n

m np m x n yn a bT

a ba m na b

= =

+π π

=π ⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ ,

2

2 2

3 22 21,3,5, 1,3,5,

2 2

16 sin sinym n

n mp mmb aT

a bb m na b

= =

+x n yπ π

=π ⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ (39)

2

2 2

0/ 3 22 21,3,5, 1,3,5,

2 2

(2 )16 sinx x x a

m n

n mp n yb n ar

ba m na b

= == =

− υ +π

= ±π ⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ ,

2

2 2

3 20/ 2 21,3,5, 1,3,5,

2 2

(2 )16 siny y y b

m n

m np ma mbr

ab m na b

= == =

− υ +xπ

= ±π ⎛ ⎞

+⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ , (40)

0, / 0, 0 4 22 2, 0 / , 1,3,5, 1,3,5,

2 2

32 (1 ) 1x y b x yx a y x a y b m n

pRab m n

a b

= = = == = = = = =

− υ= ±

π ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑ ∑ . (41)

Forţele tăietoare generalizate rx , ry sunt reacţiuni ale reazemelor rigide (v. fig. 7, a). Ţinând seama de semne, ele sunt orientate în sus pe toate laturile iar reacţiunile concentrate R din colţuri sunt orientate în jos, aşa cum se vede în figura 7, b. Rezultă că în colţuri placa trebuie ancorată, acestea având tendinţa de ridicare ; se poate verifica uşor acest lucru pentru o placă de carton aşezată liber pe un contur de rezemare şi încărcată uniform.


7

p

Fig. 7

Spre deosebire de seria (36), seriile prin care se exprimă momentele încovoietoare şi forţele tăietoare nu sunt la fel de rapid convergente. Pentru satisfacerea necesităţilor de proiectare, mărimile care prezintă interes au fost scrise sub forme similare relaţiei (35), Mx max | x = a / 2, y = b / 2 = k2

pb2 , My max | x = a / 2, y = b / 2 = k3 pb2 ;

Tx max | x = 0 sau a , y = b / 2 = k4 pb2 , Ty max | x = a / 2, y = 0 sau b = k5

pb2 ; rx max | x = 0 sau a , y = b / 2 = k6

pb , ry max | x = a / 2, y = 0 sau b = k7 pb ; (42)

80, 0d

bx xx aR r y k pa= = =∫ b , 90, 0

da

y yy bR r x k

== =∫ pab ;

0, / 0, 0 10, 0 / ,

x y b x yx a y x a y b

R k pab= = = == = = =

= .

În (42), prin Rx şi Ry s-au notat rezultantele reacţiunile distribuite de pe marginile x = const. şi y = const. Coeficienţii ki se calculează de obicei pentru υ = 0,3, Ei sunt tabelaţi pentru valori supraunitare ale raportului α; placa trebuie deci aşezată astfel încât b să reprezinte latura scurtă. Având momentele încovoietoare se pot calcula imediat tensiunile normale maxime (v. (11)),

2 2

maxmax 2 2o2

66x

xM b bk p k p

h hh⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

, 2 2

maxmax 3 3o2

66y

yM b bk p k p

h hh⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ = , (43) = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

kuneori fiind tabelaţi direct coeficienţii . 2o 2 3o 36 , 6k k k= = Aplicaţie numerică Să se afle săgeata maximă şi tensiunile în centrul plăcii cu dimensiunile a × b × h = 100 × 50 × 1 cm, simplu rezemată pe contur şi încărcată uniform datorită unei coloane de apă de mare având densitatea ρ = 1020 Kg/m3 şi înălţimea H = 10 m. Să se afle de asemenea reacţiunea totală pe latura lungă a plăcii. Presiunea pe placă este p = ρgH = 1020.9,81.10 = 10006,2 N/m2 = 1 daN/cm2 . Din tabele, pentru α = 100 / 50 = 2, rezultă: k1 = 0,1106 , k2 = 0,0464 , k3 = 0,1017 , k9 = 0,364 . Înlocuind în (35), (42)2 şi (42)8, rezultă:

– săgeata maximă (în centru), wmax = k1 pb4/Eh3 = 0,1106.10 5. 50.10 – 2 (50/1)3 / 2,1.10 11 = 3,29.10 – 3 m ; – momentul Mx în centrul plăcii, My = 0,0464.10 5. 50 2.10 – 4 = 1066,3 Nm/m ; – momentul My în centrul plăcii, My = 0,10110 5. 50 2.10 – 4 = 2541,6 Nm/m ; – reacţiunea totală pe latura lungă, Ry = 0,364. 10 5. 100.10 – 2.50.10 – 2 = 10 5. 50 2.10 – 4 = 18200 N ; – tensiunile în centrul plăcii,

6max 2 2

6.1066,3 63,978.10 640,01x

N MPam

σ = , = = 6max 2 2

6.2541,6 152, 496.10 152,50,01y

N MPam

σ = = = . (44)

x = 0

a)

b)

a

b

x = a

rx |

x = rx |

x =

rx |

x =

rx |

x =

R | x = 0, y = ry

| y =

ry |

y =

R | x = 0, y =

R | x = a, y =

R | x = a, y =

x

y

x

pRx

| x =

Ry |

y =

STABILITATEA PLĂCILOR DREPTUNGHIULARE

Introducere

Plăcile plane dreptunghiulare din componenţa structurilor de nave pot fi supuse acţiunii unor apreciabile eforturi de membrană, Nx, Ny, Nxy, care le solicită la compresiune, încovoiere în planul lor, forfecare. Pentru anumite valori ale acestor eforturi, numite critice, se produce “buclarea“ plăcii (buckling în engleză) – pierderea stabilităţii formei iniţial plane de echilibru. Pierderea stabilităţii plăcii se poate produce la acţiunea separată a eforturilor Nx, Ny, Nxy sau la combinaţii ale acestora; ele pot avea diferite distribuţii, nu neapărat uniforme iar Nx, Ny pot fi nu neapărat numai de compresiune (v. fig. 1). Fenomenul de pierdere a stabilităţii plăcilor în domeniul elastic se mai numeşte voalare. Eforturile de voalare şi tensiunile corespunzătoare vor fi numite în continuare Euler şi se vor nota cu indicele “E “, NxE = h σxE, NyE = h σyE, NxyE = h τxyE. Determinarea acestor mărimi este o problemă deosebit de importantă în calculul planşeelor, deoarece, orice creştere a încărcărilor dincolo de valorile care duc la pierderea stabilităţii plăcilor din componenţa acestor planşee va fi preluată de elementele mai rigide ale planşeului care sunt grinzile osaturii, în care tensiunile vor creşte foarte rapid.

Forţele critice se pot determina prin mai multe metode. Se va utiliza metoda (concepţia) Euler conform căreia, pentru valori ale forţelor Nx, Ny, Nxy egale cu cele critice, în afara formei plane de echilibru – care devine instabilă – este posibilă o formă de echilibru neplană (w ≠ 0), după o suprafaţă a cărei ecuaţie w = w(x, y) trebuie să verifice ecuaţia lui Karman

4 4 4 2 2

4 2 2 4 22 2 xy yx N NNw w w w w

D D x y D

2

2w

x x y y x y∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + = − +∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

. (1)

Analitic, forţele critice pot fi determinate numai pentru anumite condiţii la limită şi distribuţii ale încărcărilor.

NyNxy

Fig. 1

Placa plană dreptunghiulară simplu rezemată pe contur comprimată pe o singură direcţie

Dacă x este direcţia de solicitare la compresiune a plăcii (v. fig. 2), atunci

Nx = – h σx ; Ny = 0 ; Nxy = 0 , (2)

unde s-a convenit să se considere că σx este pozitiv la compresiune.

Fig. 2 Prima rezolvare a acestei probleme a fost dată de G. H. O’Bryan (1891), folosind metoda energetică. În cele ce urmează se va folosi însă concepţia folosită de Euler la flambajul barei, adică se vor determina valorile σxE ale tensiunilor pentru care săgeata care rezultă din ecuaţia diferenţială de echilibru

Ny

NxNx

Nyx x

y

A

a

Ny

h A

Ny

A–ANx Nx

xa

b Nx Nx

y

h Nx = – hσxNx = – hσx

x


2

4 4 4 2

4 2 2 4 22 0x Ehw w w w

Dx x y y x

σ∂ ∂ ∂ ∂+ + +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= , (3)

este diferită de zero, w(x, y) ≠ 0. Se consideră suprafaţa deformată a plăcii voalate exprimată cu ajutorul seriei duble

( , ) sin sinmnm nn ym xw x y A

a bππ

=∑ ∑ , (4)

care satisface toate condiţiile la limită (pe conturul plăcii),

2

2

00,

0

wx a w

x

=⎧⎪= ⎨ ∂

=⎪∂⎩

, 2

2

00,

0

wy b w

y

=⎧⎪= ∂⎨ =⎪ ∂⎩

. (5)

Se impune condiţia ca funcţia (4) să satisfacă şi ecuaţia diferenţială (3) a plăcii voalate,

22 2 2

sin sin 0x Emn

m n

h n ym n m m xAa b D a a b

⎧ ⎫⎡ ⎤ σ ππ π π π⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

∑∑ = . (6)

Întrucât Amn ≠ 0, deoarece la pierderea stabilităţii w(x, y) ≠ 0, relaţia (6), deci ecuaţia (3), este satisfăcută pentru orice x şi y numai dacă

22 2 2

0x Ehm n ma b D a

⎡ ⎤ σπ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

, (7)

de unde rezultă

22 2

2( , )x E

m nDa b

m nmha

⎡ ⎤π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦σ =

π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

. (8)

Luând diferite valori m şi n, din relaţia (8) rezultă o infinitate de valori σxE (m, n) care satisfac ecuaţia (3). Unei perechi m, n îi corespunde forma (4) a suprafaţeţei deformate la pierderea stabilităţii – care se produce la valoarea (8) a tensiunii. Se vede că m şi n reprezintă numărul de semiunde pe direcţiile x respectiv y (v. şi fig. 3).

x

Fig. 3

Din punct de vedere matematic, m, n şi σxE (m, n) reprezintă valorile proprii respectiv funcţiile proprii ale ecuaţiei diferenţiale (3). Ele satisfac atât ecuaţia (3) cât şi condiţiile la limită (5).

Din punct de vedere practic, interesează valoarea minimă a lui σxE (m, n) la care placa devine instabilă din punct de vedere elastic. Din (8) se observă că în ce priveşte n, acesta trebuie să fie 1, ceea ce înseamnă că la pierderea stabilităţii plăcii plane dreptunghiulare simplu rezemată pe toate laturile conturului şi comprimată pe direcţia x, se formează o singură semiundă pe direcţie y, adică

( , ) sin sinm m

ym xw x y Aa b

ππ=

.

b

ay

m = 3

n = 1

y

z

x

z

Stabilitatea plăcilor dreptunghiulare 3

Rezultă

22 2

2

2 2

min

x E E

mDa b Dk k

b hmha

⎡ ⎤π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ π⎣ ⎦σ = = = σ

π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, (9)

unde s-au făcut notaţiile

ab

α = , 2

2ED

b hπ

σ = , (10)

22 2

2minmin min

1( , ) mk k m mm m

⎛ ⎞α α⎛ ⎞= α = + = +⎜ ⎟⎜ ⎟α α⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . (11)

k fiind coeficientul de voalare al plăcii iar α raportul de formă al acesteia. Numărul de semiunde m care se formează pe direcţia compresiunii (x) se obţine prin minimizarea funcţiei k = k (m, α). Aceasta reprezintă o familie de curbe dependente de α, parametrul fiind m. O curbă din această familie, de parametru m, admite un minim pentru dk /dα = 0,

2

21

mα

− = 0 ⇒ α = m , k = 4 . (12)

Rezultă că, atunci când latura a a plăcii este un multiplu întreg de b, la pierderea stabilităţii placa se împarte în pătrate, m = α, iar kmin = 4. În fig. 4 sunt reprezentate curbele k (m, α) pentru m = 1, 2, 3, 4. La valori neîntregi ale lui α, valoarea lui m pentru care care k = kmin depinde de α. Astfel, de exemplu, în intervalul situat între 1 şi 2, pentru α1 se obţine kmin pentru m = 2 (şi nu pentru 1, 3, 4, ..., v. fig. 4) iar pentru α2, trebuie luat m = 1. Se observă că, există valori particulare ale lui α pentru care kmin se obţine la intersecţia a două curbe. O curbă k (m, α)|min prezintă interes pe un interval situat între două astfel de puncte particulare consecutive. Pentru a găsi limitele acestor intervale, se consideră relaţiile evidente k (m – 1, α) ≤ k (m, α), k (m +1,

α) ≤ k (m, α). Se scriu dezvoltat şi se rezolvă aceste inegalităţi,

2 2

( 1) ( 11

m m m mm mα α

+ ≤ − + → α ≥ −−

) ; 2 2

( 1) ( 1)1

m m m mm mα α

+ ≤ + + → α ≤ ++

.

Rezultă ( 1) ( 1m m m m− ≤ α ≤ + ) ,

adică 1, dacă 0 2m = ≤ α ≤ , 2 , dacă 2 6m = ≤ α ≤ , 3 , dacă 6m = ≤ α ≤ 12 etc. (13)

Aşa dar, dacă α = m , z, unde m ≥ 1 este partea întreagă iar z este partea zecimală a raportului α = a / b, la pierderea

stabilităţii plăcii se pot forma m = m semiunde sau m = m + 1 semiunde, după cum α este mai mic respectiv mai mare faţă de valoarea ( 1m m + ) .

k

Fig. 4

Din punctul de vedere al calculului la stabilitate, plăcile comprimate pe o singură direcţie şi simplu rezemate pe contur se obişnuieşte a se împărţi în scurte (α < 1) şi lungi (α ≥ 1).

m =

4,25

4,00

α 321

m =

4

m= 3m =

αα

2 6 12


4

Plăci scurte

Pentru α < 1, din (13) şi fig. 4 rezultă m = 1. La pierderea stabilităţii plăcii se formează deci o singură semiundă iar tensiunea critică este

2

22

(1 )xED

a hπ

σ = +α . (14, a)

Pentru α << 1, se poate lua în mod acoperitor2

2xED

a hπ

σ ≅ . (14, b)

Luând υ = 0,3, relaţiile (14) pot fi scrise în versiunea “de proiectare” propusă de Bryan,

2 2

20, 905 (1 ) 0, 905x Eh hE Ea a

⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ = +α ≅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

. (14, c)

Plăci lungi

Pentru α > 1, 2 2

2x Em

m b hα π⎛ ⎞σ = +⎜ ⎟α⎝ ⎠

D , unde m se determină din (13). Din fig. 4 se vede că, faţă de valoarea 4,

coeficientul de voalare diferă nesemnificativ; eroarea maximă este 11% pentru α = 2 , (k (1, 2 ) = k (2, 2 ) = 4,5). Rezultă că se poate lua (acoperitor)

2

24x E

Db hπ

σ ≅ . (15)

Pentru υ = 0,3, relaţiile obţinute pot fi scrise în versiunea “de proiectare” propusă de Bryan,

2 2

0, 905 3, 62x Em hE E

m b bα⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ = + ≅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟α⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2h . (16)

Rezultă că tensiunea de voalare a ochiului de placă aparţinând unui panou întărit în sistem longitudinal de osatură (v. fig. 5, a) este de circa 4 ori mai mare decât tensiunea de voalare a ochiului de placă aparţinând unui panou întărit în sistem transversal de osatură (v. fig. 5. b) (considerând ochiurile de placă simplu rezemate pe grinzile de întărire). Tensiunea σx care solicită panoul întărit nu trebuie să atingă valoarea σxE

. Dacă se introduce coeficientul subunitar ψ = σx / σxE < 1, numit

rezervă de stabilitate, rezultă

2

3, 62 xhEs

σ⎛ ⎞ =⎜ ⎟ ψ⎝ ⎠ → 1, 9

x

Es h= ψσ

, pentru α > 1 . (17, a)

2

0, 905 xhEs

σ⎛ ⎞ =⎜ ⎟ ψ⎝ ⎠ → 0, 95

x

Es h= ψσ

, pentru α < 1 . (17, b)

Relaţiile (17) evidenţiază clar avantajul sistemului longitudinal de osatură faţă de cel transversal, din punct de vedere al stabilităţii elastice. Se observă că, în aceleaşi condiţii, nervurile pe panoul în sistem transversal trebuie prevăzute de două ori mai dese decât pe cele în sistem longitudinal.

Fig. 5

Alte cazuri de rezemare şi de încărcare

• Relaţii identice cu (9), x E Ekσ = σ , se obţin şi pentru alte cazuri de rezemare (cum este de exemplu cel din figura 6)

b)

s s

σ σ

σ σ

a)

Stabilitatea plăcilor dreptunghiulare 5

a plăcii pe contur (inclusiv încastrări elastice), pentru fiecare caz coeficienţii de voalare k determinându-se cu ajutorul unor relaţii, tabele sau grafice specifice tipului de rezemare.

Fig. 6

• De asemenea, pentru alte tipuri de distribuţii ale încărcării, tensiunea de voalare se determină cu relaţii similare cu (9).

– Pentru tensiunea de voalare a plăcii supuse la forfecare pură (shear), se foloseşte relaţia

22

2xyE s sD hk K E

ss hπ ⎛ ⎞τ = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠ , (18)

unde s este lungimea laturii mici a plăcii (lungimea laturii mari a plăcii S se notează cu S) iar ks sau Ks reprezintă coeficientul de voalare. Acesta se dă sub formă grafică sau tabelară în funcţie de raportul de formă s /S şi de condiţiile de rezemare pe contur. Pentru simplă rezemare şi încastrare perfectă pe contur, o bună aproximare este dată de relaţiile:

2

2 5, 34 4xyEsS

⎛ ⎞τ = +⎜ ⎟⎟⎜

⎝ ⎠

2hEs

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, simplă rezemare ; 2

2 8, 98 5, 64xyE

sS

⎛ ⎞τ = +⎜ ⎟⎟⎜

⎝ ⎠

2hEs

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

, încastrare perfectă . (19)

– Tensiunea σb la care se produce voalarea unei plăci supuse la încovoiere în planul ei conform legii de distribuţie σ ( y)

= σb (1 – η y / b) (v. fig. 7) se determină cu relaţia 2

2b E bDk

b hπ

σ = , coeficientul de voalare kb obţinându-se tabelar în funcţie de

parametrul η, raportul de formă a / b şi condiţiile de rezemare. În cazul simplei rezemări pe contur şi pentru a / b > 2 / 3, o aproximare bună, în funcţie de η, este dată de relaţia kb = 5 η2 + 4.

Fig. 7

În cazul încovoierii pure (η = 2) se pot utiliza relaţiile aproximative:

1) margini simplu rezemate,

2

15,87 1,87 8, 6bb bka a

⎛ ⎞= + + ⎜ ⎟⎝ ⎠

, pentru 1, 5ba≥ ; kb = 23,9 , pentru 1, 5b

a≤ ; (20, a)

2) margini încastrate, kb = 41,8 , pentru /b a 1≤ ; (21) 3) o margine neîncărcată încastrată, celelalte trei rezemate simplu, kb = 25 , pentru ; / 0,b a ≤ 5

4) marginile neîncărcate încastrate, celelalte două simplu rezemate, kb = 40 , pentru 2, 5ba≤ .

• Pentru Plăci supuse la solicitări compuse în planul lor se folosesc formule de interacţiune care ţin seama de aportul pe care îl are fiecare din încărcări la pierderea stabilităţii. Se dau câteva astfel de formule.

x

y

a

σb σb σb σb σb σb σbσb

b

η = η = η = η = η =η =

σb σb

a

b/2x z

z

y y

O

b/2


6

– Pentru placa încastrată pe contur, comprimată pe două direcţii, Timoshenko a arătat că formula de interacţiune are

forma aproximativă ( )2

2 22

31, 2 3 2x y cr

hEb

⎛ ⎞⎛ ⎞σ + α σ = + α +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ α⎝ ⎠

.

– Pentru placa solicitată la compresiune şi încovoiere pierderea stabilităţii se produce atunci când tensiunile σx şi σb

satisfac relaţia de interacţiune 1,75

1x b

xE bE

⎛ ⎞σ σ+ ⎜ ⎟σ σ⎝ ⎠

= , unde σxE , σbE reprezintă valorile la care placa şi-ar pierde stabilitatea dacă

ar fi solicitată numai la compresiune respectiv numai la încovoiere.

– Pentru placa solicitată la compresiune (sau întindere) cuplată cu forfecare, pierderea stabilităţii se produce la tensiuni

σx care satisfac relaţia de interacţiune 1,75

1xyx

xE xyE

⎛ ⎞τσ+ ⎜ ⎟⎜ ⎟σ τ⎝ ⎠

= , pentru α ≥ 1 şi 2

1 0, 6 11, 6

xyx

xE xyE

⎛ ⎞τσ+ α+ ⎜ ⎟⎜ ⎟σ τ⎝ ⎠

= , pentru α < 1 şi

23 (1 )8

xy

xyE

⎛ ⎞τ> + α⎜ ⎟⎜ ⎟τ⎝ ⎠

, unde σxE , τxyE reprezintă valorile la care placa şi-ar pierde stabilitatea dacă ar fi solicitată numai la

compresiune respectiv numai la forfecare.

mecanica structurilor navale - curs nave - c. mocanu

Documents