1

http://cemsig.ct.upt.ro/vungureanu/index.htm

CURS 4

MECANICA CONSTRUCŢIILOR

Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu

http://cemsig.ct.upt.ro/vungureanu/index.htm

SISTEME DE FORŢE OARECARE• Forţa – vector alunecător;• Momentul unei forţe în raport cu un punct;• Momentul unei forţe faţă de o axă;• Teorema lui VARIGNON; • Cupluri de forţe;• Sisteme de forţe echivalente;• Reducerea sistemelor de forţe în raport cu un punct.

Torsor. Variaţia torsorului cu punct de reducere;• Invariantul unui sistem de forţe faţă de punctul de

reducere;• Torsorul minim. Axa centrală;• Cazurile de reducere ale unui sistem de forţe oarecare.

Sisteme echivalente;• Sisteme de forţe particulare.

2

http://cemsig.ct.upt.ro/vungureanu/index.htm

INVARIANŢII UNUI SISTEM DE FORŢE FAŢĂ DE PUNCTUL DE REDUCERE (1)

La schimbarea punctului in raport cu care se efectueazaoperatia de reducere, cei doi vectori care formeazatorsorul sistemului de forte, vectorul rezultant R sivectorul moment rezultant Mo se comporta in mod diferit:

- Rezultanta R ramane neschimbata;

- Momentul rezultant variaza dupa legea

ROOMM 1O1O ×+=

http://cemsig.ct.upt.ro/vungureanu/index.htm

INVARIANŢII UNUI SISTEM DE FORŢE FAŢĂ DE PUNCTUL DE REDUCERE (2)

1. Primul invariant (invariantul vectorial) este rezultanta:

2. Al doilea invariant este invariantul scalar care este datde produsul scalar

Demonstratie:

3. Proiecţia momentului rezultant pe direcţia rezultantei esteaceeasi indiferent de punctul in care se efectueazareducerea:

MR ⋅

R

2 vectoricoliniari

RMR)R,Mcos(MM o

ooR⋅

==

3

http://cemsig.ct.upt.ro/vungureanu/index.htm

Pentru a reduce un sistem de forte oarecare, exista 2 invarianti fata de operatiile de reducere:

- invariantul vectorial R;

-invariantul scalar – produsul scalar R·Mo (proiectiamomentului pe directia rezultantei).

http://cemsig.ct.upt.ro/vungureanu/index.htm

Torsor minim, axă centrală (1)

Fiind dat un sistem de forte oarecare, se pune intrebarea:

Care este valoarea minima a torsorului sistemului de forte si in care puncte de reducere se obtine aceasta valoare?

La schimbarea punctului de reducere se schimbă şitorsorul:

Se caută condiţiile pentru găsirea momentului minim.

)M,R( OOτ

ROOMM 1O1O ×+=

4

http://cemsig.ct.upt.ro/vungureanu/index.htm

Se descompune în O vectorul moment în douăcomponente: MR colinear cu rezultanta şi MN în planulnormal rezultantei.

Când punctul de reducere se schimbă, numai MN îşischimbă mărimea (MR este constantă).

⇒ Mo va fi minim când MN=0 şi deci Mo = MR.

Torsorul minim este:

Torsor minim, axă centrală (2)

http://cemsig.ct.upt.ro/vungureanu/index.htm

Locul geometric al punctelor in care, efectuand reducerea, torsorul sistemului are valoarea minima este o dreaptacare se numeste axa centrala a sistemului de forte.

OBS.

In punctele situate pe axa centrala, momentul rezultantavand marimea minima, este coliniar cu rezultanta R a sistemului de forte. Torsorul minim este deci ansamblulformat de vectorii R – vectorul rezultant al sistemului de forte si momentul minim MR, vectori avand ca dreapta-suport axa centrala a sistemului de forte.

5

http://cemsig.ct.upt.ro/vungureanu/index.htm

Cazurile de reducere ale unui sistem de forţe oarecare. Sisteme echivalente (1)

Fie un sistem de forte oarecare actionand asupra unuicorp. In urma reducerii acestor forte intr-un punctoarecare O al corpului, se pun in evidenta mai multecazuri de reducere, carora Ii se poate asocia cate un sistem echivalent mai simplu care sa aiba in oricepunct al corpului acelasi torsor ca si sistemul de forte dat.

http://cemsig.ct.upt.ro/vungureanu/index.htm

Cazurile de reducere ale unui sistem de forţe oarecare. Sisteme echivalente (2)

Cazul I: R=0 şi Mo=0 (torsorul nul). Sistemul de forţeeste în echilibru sau sistem echivalent cu zero.

Cazul II: R=0 şi Mo≠0. Sistem echivalent cu un cuplu.

Cazul III: R ≠ 0 şi Mo=0.Sistem echivalent cu o rezultantă(unică) care trece prin punctul dereducere O.

6

http://cemsig.ct.upt.ro/vungureanu/index.htm

Cazurile de reducere ale unui sistem de forţe oarecare. Sisteme echivalente (3)

Cazul IV: R≠0 şi Mo≠0 pentru care există două variante:

a) sau MR este nul şi sistemulechivalent cel mai simplu este dat de o rezultanta(unica) care nu trece prin originea O.

b) , deci unghiul format de Cei doi vectori este diferit de 90°.Sistemul de forte dat este echivalentcu torsorul minim al acestuia careare ca dreapta-suport axa centralaa sistemului de forte.

http://cemsig.ct.upt.ro/vungureanu/index.htm

SISTEME DE FORTE COPLANARE

O

7

http://cemsig.ct.upt.ro/vungureanu/index.htm

O Ad

http://cemsig.ct.upt.ro/vungureanu/index.htm

Ad

8

http://cemsig.ct.upt.ro/vungureanu/index.htm

Cazuri de reducere la sistemele de forte coplanare

http://cemsig.ct.upt.ro/vungureanu/index.htm

9

http://cemsig.ct.upt.ro/vungureanu/index.htm

6

Aplicatia 1:

http://cemsig.ct.upt.ro/vungureanu/index.htm

10

http://cemsig.ct.upt.ro/vungureanu/index.htm

Aplicatia 2:

http://cemsig.ct.upt.ro/vungureanu/index.htm

SISTEME DE FORTE PARALELE

11

http://cemsig.ct.upt.ro/vungureanu/index.htm

Cazuri de reducere la sistemele de forte paralele

http://cemsig.ct.upt.ro/vungureanu/index.htm

12

http://cemsig.ct.upt.ro/vungureanu/index.htm

Centrul fortelor paralele

http://cemsig.ct.upt.ro/vungureanu/index.htm

13

http://cemsig.ct.upt.ro/vungureanu/index.htm

http://cemsig.ct.upt.ro/vungureanu/index.htm

14

http://cemsig.ct.upt.ro/vungureanu/index.htm

Aplicatia 3: