mecanica 2 cursuri itul

TIBERIU-PAVEL ITUL NICOLAE HAIDUC

MECANICA II

DINAMICA

CURS

CLUJ-NAPOCA, 2012

Mecanica

DINAMICA 197

10. Dinamica punctului material 197 10.1. Dinamica punctului material liber 197 10.2. Mişcarea unui punct sub acţiunea unei forţe centrale 201 10.3. Dinamica punctului material supus la legături 206 10.4 Pendulul simplu 209 10.5. Dinamica mişcării relative a punctului material 211

11. Noţiunile fundamentale şi teoremele generale ale Dinamicii 215

11.1. Lucrul mecanic 215 11.1.1. Lucrul mecanic al unei forţe care acţionează asupra

unui punct material 215 11.1.2. Lucrul mecanic al forţelor conservative 217 11.1.3. Lucrul mecanic al unei forţe elastice 218 11.1.4. Lucrul mecanic al unui sistem de forţe care acţionează

10

Cuprins

asupra unui solid rigid 219 11.1.5. Lucrul mecanic al forţelor interioare 220

11.2. Puterea mecanică 221 11.3. Randamentul mecanic 222 11.4. Energia cinetică 223

11.4.1. Definiţii 223 11.4.2. Teorema lui König pentru energia cinetică 224 11.4.3. Energia cinetică în cazul unor mişcări particulare ale solidului rigid 225

11.5. Energie potenţială. Energie mecanică 230 11.6. Impusul 231 11.7. Momentul cinetic 233

11.7.1. Definiţii 233 11.7.2. Teorema lui König pentru momentul cinetic 234 11.7.3. Momentul cinetic în cazul unor mişcări particulare ale solidului rigid 235

11.8. Teorema de variaţie a energiei cinetice 239 11.9. Teorema de variaţie a impulsului 241 11.10. Teorema de variaţie a momentului cinetic în raport cu un punct fix 243 11.11. Teorema de variaţie a momentului cinetic în raport cu centrul maselor 245

12. Dinamica rigidului 247 12.1. Dinamica rigudului cu axă fixă 247 12.2. Pendulul fizic 251 12.3. Dinamica mişcării plane 255 12.4. Dinamica rigidului cu punct fix 256

12.4.1. Ecuaţiile dinamice ale lui Euler 256 12.4.2. Mişcarea de precesie regulată 259 12.4.3. Giroscopul 261

13. Ciocniri şi percuţii 262 13.1. Forţă de percuţie (forţă percutantă). Percuţie 262 13.2. Ipoteze simplificaţoare în timpul fenomenului de ciocnire 264 13.3. Teoremele fundamentale ale ciocnirilor 266 13.4. Ciocnirea oblică a două sfere 270 13.5. Ciocnirea unei sfere cu un corp aflat în mişcare de rotaţie în jurul unei axe fixe 272 13.6. Determinare percuţiilor de legătură în cazul unui rigid cu ax fix supus unei percuţii exterioare. Centru de percuţie 273

11

Mecanica

14. Noţiuni de Mecanică analitică 277 14.1. Legături 277 14.2. Principiul lui D’Alembert 280

14.2.1. Forţă de inerţie. Torsorul forţelor de inerţie 280 14.2.2. Principiul lui D’Alembert. Metoda cinetostatică 282

14.3. Principiul lucrului mecanic virtual 284 14.4. Ecuaţiile lui Lagrange 287

14.4.1. Ecuaţiile lui Lagrange de speţa I-a 287 14.4.2. Ecuaţiile lui Lagrange de speţa II-a 288 14.4.3. Ecuaţiile lui Lagrange de speţa II-a

în cazul forţelor conservative 291 14.5. Ecuaţiile canonice ale lui Hamilton 292

15. Vibraţii liniare ale sistemelor cu un grad de libertate 295 15.1. Vibraţia liniară liberă, neamortizată 295 15.2. Vibraţia liniară liberă, amortizată 297 15.3. Vibraţia liniară forţată, fără amortizare 301 15.4. Vibraţia liniară forţată, cu amortizare 304

BIBLIOGRAFIE 309

12

10. Dinamica punctului

DINAMICA

Dinamica studiază mişcarea sistemelor de corpuri materiale luând în

considerare masele corpurilor şi forţele care acţionează asupra lor. Problemele generale ale adinamicii sunt două: a) Fiind dată mişcarea sistemului material să se determine forţele care imprimă

sistemului mişcarea prescrisă; b) Cunoscând forţele care acţionează asupra unui sistem material şi condiţiile

iniţiale ale mişcării (configuraţia geometrică şi distribuţia vitezelor în momentul iniţial) să se determine mişcarea sistemului.

10. DINAMICA PUNCTULUI MATERIAL 10.1 Dinamica punctului material liber

Problemele generale ale dinamicii punctului material se rezolvă folosind principiul al doilea al mecanicii, sub forma:

Fam = (10.1)

unde “m” este masa punctului material, a - acceleraţia sa şi F - rezultanta forţelor care acţionează asupra lui. Relaţia este cunoscută şi sub numele de “ecuaţia fundamentală a dinamicii”.

În dinamică se admite că forţa F depinde, în cazul general, de vectorul de poziţie r al punctului, de viteza v şi explicit de timpul t:

t),v,r(FF = (10.2) Deoarece ra &&= , rv &= , ecuaţia (4.1) devine: t),r,r(Frm &&& = (10.3) Cele mai multe probleme de dinamica punctului liber se referă la determinarea ecuaţiei vectoriale sau ecuaţiilor scalare ale traiectoriei punctului, presupunând cunoscută expresia forţei F , poziţia şi viteza punctului la un moment dat. Determinarea ecuaţiei vectoriale a traiectoriei,

197

Dinamica

(t)rr = (10.4) se obţine prin integrarea ecuaţiei vectoriale (10.3). De obicei se recurge la scalarizarea ecuaţiei (10.3) proiectând-o pe axele unui sistem de referinţă cartezian, sistem de coordonate cilindrice, sau pe axele triedrului lui Frenet (fig. 10.1). Se obţin astfel ecuaţiile diferenţiale ale mişcării în diferite sisteme de coordonate:

a) în coordonate carteziene (10.5) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

z

y

x

FzmFy mFxm

&&

&&

&&

b) în coordonate cilindrice (10.6) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

==ϕ+ϕ=ϕ−

z

n

r2

FzmF)'r2(r'mF)r''r(m

&&

&&&&

&&&

c) în coordonate intrinseci

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

=

β

ν

2τ

F0

Fρsm

Fsm&

&&

(10.7)

x,y,z

Mr, ,z

sm

r

yx

z

ϕ

ϕ

r

t

M t 0( )=

s

τ

ν

β

aF

Mr

(Γ)

Fig. 4.1

Dacă traiectoria punctului este plană (z=0), în sistemele de ecuaţii

(10.5), (10.6) şi (10.7) nu mai apar ultimele ecuaţii. Dacă traiectoria este rectilinie avem o singură ecuaţie:

198


Fxm =&& (10.8) Cu ajutorul ecuaţiilor (10.5)-(10.7) putem rezolva cele două probleme fundamentale (generale) ale dinamicii. a) Prima problemă fundamentală a dinamicii punctului material

Se dau ecuaţiile de mişcare ale punctului, sub una din formele:

z(t)zy(t)yx(t)x

===

; (10.9a)

z(t)z

(t)(t)r'r'

=ϕ=ϕ

=; (10.9b)

)t(ss = (10.9c)

şi se cere să se determine forţa F care imprimă punctului cu masa m mişcarea dată.

Din ecuaţiile (10.5)-(10.7) rezultă corespunzător proiecţiile forţei şi în continuare modulul şi orientarea acesteia:

xmFx &&= ; ymFy &&= ; zmFz &&=

2z

2y

2x FFFF ++= ; ( )

FF

Ox,Fcos x= ; FF

Ox),Fcos( y= ; FF

Oz),Fcos( z= (10.10)

( )2

r r'rmF ϕ−= &&& ' ; ( )ϕ+ϕ= &&&& 'r2r'mFn ; zmFz &&=

2z

2n

2r FFFF ++= ; ( )

FFOR,Fcos r= ; ( )

FFON,Fcos n= ;

FFOz),Fcos( z= (10.11)

smFτ &&= ; ρsmF

2

υ&

= ; 0Fβ =

2υ

2τ FFF += ; ( )

FF

M,Fcos τ=τ ; ( )FF

M,Fcos υ=υ ; ( ) 0M,Fcos =β (10.12)

199

Dinamica

b) A doua problemă fundamentală a dinamicii punctului material Se consideră cunoscută variaţia forţei F în funcţie de timp, poziţia şi

viteza punctului: ( )t,r,rFF &= (10.13)

respectiv variaţiile proiecţiilor acestei forţe pe cele trei axe ale sistemului de referinţă ales.

Se studiază această problemă în sistemul de referinţă cartezian, în celelalte sisteme de referinţă rezolvarea fiind similiară:

( )(( )z,y,xz,y,x,t,FF

z,y,xz,y,x,t,FFz,y,xz,y,x,t,FF

zz

yy

xx

&&&

&&&

&&&

===

) (10.14)

Sunt date şi condiţiile iniţiale ale mişcării, sau la un moment dat, respectiv coordonatele punctului şi proiecţiile vitezei pe cele trei axe:

; (10.15) 0t =000

000

zz,yy,xxzz,yy,xx&&&&&& ===

===

Se cere să se determine ecuaţiile de mişcare ale punctului: x(t)x = ; y(t)y = ; z(t)z = (10.16) Problema se rezolva utilizând ecuaţiile diferenţiale (10.5):

( )(( )z,y,xz,y,x,t,Fzm

z,y,xz,y,x,t,Fymz,y,xz,y,x,t,Fxm

z

y

x

&&&&&

&&&&&

&&&&&

===

)

)

(10.17)

Prin integrarea sistemului de 3 ecuaţii diferenţiale de ordin II rezultă coordonatele punctului în funcţie de timp şi de 6 constante de integrare:

( )(( )654321

654321

654321

C,C,C,C,C,Ct,zzC,C,C,C,C,Ct,yyC,C,C,C,C,Ct,xx

===

(10.18)

În scopul determinării celor 6 constante de integrare se derivează în raport cu timpul relaţiile (10.18):

200


( )( )( )654321

654321

654321

C,C,C,C,C,Ct,zzC,C,C,C,C,Ct,yyC,C,C,C,C,Ct,xx

&&

&&

&&

===

(10.19)

Pentru aflarea celor 6 constante de integrare se impune condiţia ca relaţiile (10.18) şi (10.19) să verifice condiţiile iniţiale ale mişcării (10.15). Rezulta un sistem de 6 ecuaţii cu 6 necunoscute:

( )( )( )6543210

6543210

6543210

C,C,C,C,C,C0t,zzC,C,C,C,C,C0,yyC,C,C,C,C,C0,xx

===

(10.20a)

( )( )( )6543210

6543210

6543210

C,C,C,C,C,C0,zzC,C,C,C,C,C0,yyC,C,C,C,C,C0,xx

&&

&&

&&

===

(10.20b)

Prin rezolvarea sistemului (10.20) se determină cele 6 constante de

integrare în funcţie de condiţiile iniţiale ale mişcării:

( )000000ii z,y,x,z,y,xCC &&&&= ; 1,2,...,6i = (10.21) Se introduc aceste constante de integrare în (10.17) rezultând ecuaţiile de mişcare :

( )( )( )000000

000000

000000

z,y,x,z,y,xt,zzz,y,x,z,y,xt,yyz,y,x,z,y,xt,xx

&&&

&&&

&&&

===

sau: x(t)x = ; y(t)y = ; z(t)z = (10.22)

10.2. Mişcarea unui punct sub acţiunea unei forţe centrale O forţă ce acţionează asupra unui punct material este numită centrală dacă suportul ei trece în permanenţă printr-un punct fix numit centrul forţelor. Mişcarea punctului sub acţiunea unei forţe centrale se numeşte mişcare centrală. Se notează cu M poziţia punctului la un moment dat, cu O centrul forţelor, cu ρ versorul vectorului de poziţie OMr = şi cu F scalarul forţei. Se poate scrie: ρ= FF (10.23)

201

Dinamica

Dacă forţa 0F > F este repulsivă (de respingere), iar dacă 0F < forţa centrală se numeşte de atracţie sau atractivă. Pentru demonstrarea unor proprietăţi ale mişcarii centrale se pleacă de la ecuaţia fundamentală a dinamicii: Fam = (10.24) care se înmulţeşte vectorial la stânga cu r . Deoarece r şi F sunt vectori coliniari: 0F r am r =×=× (10.25) Întrucât,

( ) a ra rv vv rv rv rdtd

×=×+×=×+×=× &&

relaţia (10.25), după împărţire cu m devine:

( ) 0v rdtd

=×

(10.26) Rezultă că Cv r =× ; ( )constantvector C = (10.27) Dacă se înmulţeşte scalar relaţia (4.27) cu r obţinem ecuaţia vectorială a unui plan: ( ) 0v rrCr =×⋅=⋅ (10.28) Fie , , proiecţiile vectorului constant xC yC zC C şi x, y, z coordonatele punctului M într-un sistem de referinţă cu originea în centrul forţelor. Atunci ecuaţia (10.28) mai poate fi scrisă: 0zCyCxC zyx =++ (10.29) Relaţia (10.29) reprezinta ecuaţia unui plan care trece prin origine şi care este normal la vectorul C .

Deducem următoarea proprietate a mişcării centrale: a) Traiectoria unui punct material liber acţionat de o forţă centrală este

plană, mişcarea având loc într-un plan ce conţine centrul forţelor.

202


În continuare pentru studiul mişcării se poate alege un sistem de coordonate polare ca în figura 10.2.

n ρ

Mr, ϕm

M t 0( )=

(Γ)

a

r

ϕ

t F

α

r0

α

0

0

Fig. 10.2

Proiectând ecuaţia (10.23) pe direcţiile versorilor ρ şi n se obţin

ecuaţiile diferenţiale ale mişcării centrale :

( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=ϕ+ϕ=ϕ−

0r2rmFrrm 2

&&&&

&&& (10.30)

A doua ecuaţie a sistemului (10.30) se poate pune sub forma:

( ) ( ) 0rdtd

r1r2rr

r1r2r 22 =ϕ=ϕ+ϕ=ϕ+ϕ &&&&&&&&& (10.31)

Cum “r” este finit rezultă:

( ) 0rdtd 2 =ϕ& (10.32)

de unde, (10.33) (constant) Cr2 =ϕ&

Mărimea vr21Ω ×= , respectiv nvr

21αsinvr

21Ω ⋅=⋅⋅= se numeşte

viteză areolară. Înlocuind în expresia vitezei areolare ϕ= &rvn rezultă:

C21r

21 2 =ϕ=Ω & (10.34)

Relaţia (10.34) exprimă cea de a doua proprietate a mişcării centrale:

203

Dinamica

b) În mişcarea centrală viteza areolară este constantă, sau raza vectoare mătură arii egale în intervale de timp egale. Constanta C care intervine în relaţiile (10.33) şi (10.34) poartă numele de constanta ariilor şi se determină ţinând seama de condiţiile iniţiale ale mişcării: (10.35) 000

2 sinα vrsinα r vrC ==ϕ= &

Se înlocuieşte a doua ecuaţie a sistemului (10.30) cu ecuaţia (10.33):

(10.36) ( )

⎪⎩

⎪⎨⎧

=ϕ

=ϕ−

Cr

Frrm2

2

&

&&&

Soluţiile ( )trr = şi ( )tϕ=ϕ ale acestui sistem reprezintă ecuaţiile parametrice ale traiectoriei sau ecuaţiile de mişcare în coordonate polare. Elimnând timpul t se obţine ecuaţia traiectoriei sub formă explicată sau implicită

( )ϕ= rr( ) 0 r,f =ϕ .

Atunci când se urmăreşte determinarea ecuaţiei polare a traiectoriei este mai practic să se înlocuiască sistemul de ecuaţii diferenţiale cu o singură ecuaţie diferenţială având funcţia r şi varabilaϕ . Sistemul (10.36) se pune sub forma:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−

=ϕ

mF

rcr

rC

3

2

2

&&

&

(10.37)

Ţinând seama de prima ecuaţie (10.37) avem succesiv:

ϕ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=ϕ

⋅=ϕϕ

=ϕϕ

⋅==d

r1d

Cddr

rC

ddr

dd

dtdr

dtdrr 2

&& (10.38)

2

2

2

2

dr1d

rC

drd

dd

dtrd

dtrdr

ϕ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=ϕϕ

=ϕϕ

⋅== &&&&

&& (10.39)

Înlocuind (10.39) în ecuaţia a doua din (10.37) şi făcând notaţia:

204


r1u = (10.40)

rezultă o ecuaţie diferenţială de ordinul II cunoscută sub numele de ecuaţia lui Binet:

222

2

umCFu

dud

−=+ϕ

(10.41)

Această ecuaţie rezolvă problema determinării directe a ecuaţiei polare a traiectoriei. Prin integrare rezultă: ( )21 C ,C ,uu ϕ= (10.42) Determinarea constantelor de integrare se face impunând condiţiile iniţiale: la 0t = , 0ϕ=ϕ , 0rr = , 0vv = Una din ecuaţiile pentru calculul constantelor de integrare rezultă imediat:

( )2100 C ,C ,u

1rϕ

= (10.43)

Expresia vitezei la un moment dat în funcţie de unghiul polar ϕ este:

22

4

22

222222

n2r u

dduC

rCr

dduCrrvvv +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ

=ϕ+=+= & (10.44)

A doua ecuaţie necesară determinării constantelor de integrare va fi:

( )[ ] ([ )]22102

2100 C ,C ,uC ,C ,uCv ϕ+ϕ′= (10.45)

Din (10.43) şi (10.45) se obţin constantele de integrare funcţie de . Înlocuindu-le în (10.42) rezultă ecuaţia polară a traiectoriei:

21 C iş C

000 , v,r ϕ

( )000 , v,r ,u1r

ϕϕ= , sau ( )ϕ= rr (10.46)

205

Dinamica

Dacă intersectează şi ecuaţiile parametrice ale traiectoriei atunci prima relaţie din (10.37) se pune sub forma:

ϕ= drC1dt 2 (10.47)

care prin integrare conduce la:

( ) 32 Cdr

C1t +ϕϕ= ∫ (10.48)

Constanta de integrare se deduce impunând condiţia ca la

. Introducând expresia 3C

0 0,t ϕ=ϕ= ( )033 CC ϕ= în (10.48) se obţine: ( )ϕ= tt sau ( )tϕ=ϕ (10.49) A doua ecuaţie de mişcare rezultă înlocuind (10.49) în (10.46):

( )trr = (10.50) 10.3. Dinamica punctului material supus la legături Studiul mişcării punctului material supus la legături se reduce la studiul mişcării unui punct material liber, înlocuind legăturile, conform axiomei legăturilor, cu elemente mecanice corespunzătoare, numite forţe de legătură sau reacţiuni, care se consideră că acţionează asupra punctului alături de forţele date. Legăturile punctului material sunt aceleaşi ca în Statică, adică rezemarea pe o suprafaţă sau pe o curbă. În dinamică se pot întâlni şi legături mobile sau deformabile, adică legături ai căror parametrii geometrici variază în timp. În cele ce urmează se vor considera numai legături fixe şi indeformabile.

R

R

r

legatura

x,y,zM m

tT

N

a

F(Γ)

206


Fig. 10.3 Forţa de legătură, în cazul unui punct material rezemat pe o suprafaţă

aspră (fig. 10.3) are o componentă normală N , numită reacţiune normală, având direcţia normalei la suprafaţă şi mărimea N necunoscută şi o componentă tangenţialăT , numită forţă de frecare, având direcţia şi sensul contrar vectorului viteză şi mărimea T egală, conform legilor lui Coulomb în cazul frecării uscate, cu produsul dintre coeficientul frecării de alunecare şi mărimea reacţiunii normale (T= ).

μNμ

În cazul unui punct aflat în mişcare pe o curbă aspră (Γ), forţa de legătură are componenta normală N situată în planul normal la curbă, determinarea ei necesitând cunoaşterea a doi parametrii care să-i precizeze direcţia şi mărimea, şi componenta tangenţială T dirijată în sens contrar vitezei, de modul NμT = . În amândouă cazurile ecuaţia vectorială a mişcării este: TNRrm ++=&& (10.51) unde ( )zyx R,R,RR este rezultanta forţelor exterioare date care acţionează asupra punctului. a) Dacă punctul se mişcă pe o suprafaţă aspră de ecuaţie ( ) 0zy,x,f = , atunci:

fλN ∇⋅= (10.52)

vvNμT ⋅−= (10.53)

Ecuaţiile diferenţiale scalare ale mişcării, rezultate din proiectarea ecuaţiei (10.51) pe axele sistemului de referinţă Oxyz, vor fi în acest caz:

222

222

xzyx

xzf

yf

xfμλ

xfλRxm

&&&

&&&

++⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−∂∂

+=

222

222

yzyx

yzf

yf

xfμλ

yfλRym

&&&

&&&

++⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−∂∂

+= (10.54)

207

Dinamica

222

222

zzyx

zzf

yf

xfμ

zfλRzm

&&&

&&&

++⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

λ−∂∂

+=

la care se adaugă ecuaţia suprafeţei, ( ) 0zy,x,f = (10.55) b) Dacă punctul se mişcă pe o curbă de ecuaţii: ( ) 0zy,x,f1 = , ,

atunci: ( ) 0zy,x,f2 =

2211 fλfλN ∇⋅+∇⋅= (10.56)

vvNμT ⋅−= (10.57)

Ecuaţiile diferenţiale scalare ale mişcării, rezultate din proiectarea

ecuaţiei (4.51) pe axele sistemului de referinţă Oxyz, vor fi în acest caz:

222

22

21

1

22

21

1

22

21

12

21

1x

zyx

x

zfλ

zfλ

yfλ

yfλ

xfλ

xfλμ

xfλ

xfλRxm

&&&

&

&&

++⋅

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

−∂∂

+∂∂

+=;

222

22

21

1

22

21

1

22

21

12

21

1y

zyx

y

zfλ

zfλ

yfλ

yfλ

xfλ

xfλμ

yfλ

yfλRym

&&&

&

&&

++⋅

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

−∂∂

+∂∂

+=;

222

22

21

1

22

21

1

22

21

12

21

1z

zyx

z

zfλ

zfλ

yfλ

yfλ

xfλ

xfλμ

zfλ

zfλRzm

&&&

&

&&

++⋅

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

−∂∂

+∂∂

+=

(10.58) la care se adaugă ecuaţiile curbei ( ) 0zy,x,f1 = ; ( ) 0zyxf2 =,, (10.59)

208


Prin integrarea ecuaţiilor (10.54) sau (10.58), fiind luate în considerare condiţiile iniţiale ale mişcării, se obţin atât ecuaţiile de mişcare:

( )txx = ; ( )tyy = ; ( )tzz = , (10.60)

cât şi parametri λ sau cu ajutorul cărora se calculează, ca în Statică, mărimea reacţiunii normale N:

,λ ,λ 21

a) în cazul punctului pe suprafaţă

222

zf

yf

xfN ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

λ= (10.61)

b) în cazul punctului pe curbă

2

22

11

22

21

1

22

21

1 zf

zf

yf

yf

xf

xfN ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

λ+∂∂

λ+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

λ+∂∂

λ+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

λ+∂∂

λ= (10.62)

Dacă legăturile sunt lucii în ecuaţiile (10.54) sau (10.58) se ia 0μ = . 10.4. Pendulul simplu

Pendulul matematic, sau pendulul simplu, este constituit dintr-un punct material (un corp mic) suspendat printr-un fir ideal (perfect flexibil, inextensibil şi fără greutate), care oscilează într-un plan vertical în jurul punctului de suspensie sub acţiunea propriei greutăţi, în ipoteza neglijării forţelor de frecare. Dacă pendulului i se imprimă o mişcare de balans (oscilaţie) se va putea observa că perioada de oscilaţie este aceeaşi pentru o lungime dată şi nu este influenţată de greutatea suspendată sau (în anumite limite) de amplitudinea oscilaţiei. Această proprietate a făcut posibilă aplicarea pendulului simplu în construcţia unor instrumente de măsurare a timpului cunoscute sub numele de pendule. Prin măsurarea perioadei oscilaţiilor, care este influenţată de gravitaţie, poate fi calculată valoarea acceleraţiei gravitaţionale.

209mg

τ

ν

αϕ

S

(m)M

M (t=0)

M

Dinamica

Fig. 10.4 Se consideră în figura 10.4 un pendul matematic de masă „m” şi

lungime „l”. Se notează cu „ϕ ” unghiul de rotaţie faţă de verticală. Pendulul este lăsat să oscileze din poziţia în care α=ϕ , fără viteză iniţială. Se urmăreşte obţinerea ecuaţiei mişcării oscilatorii şi perioadei oscilaţiilor.

Asupra punctului acţionează pe lângă greutatea gm şi tensiunea din fir S . În vederea obţinerii ecuaţiei diferenţiale a mişcării şi a tensiunii din fir, se proiectează pe tangentă şi normală ecuaţia:

Sgmam += (10.63) Rezultă: ϕ−=ϕ sinmgml && (10.64)

(10.65) ϕ−=ϕ cosmgSml 2&

S-a ţinut seama că: ϕ=ε=τ &&lla şi 22 lla ϕ=ω=ν &

În cazul micilor oscilaţii ( °≤ϕ 5 ) putem face aproximaţiile: ; şi ecuaţia (2) devine:

ϕ≈ϕsin1cos ≈ϕ

0lg

=ϕ−ϕ&& (10.66)

Facem notaţia:

lgp = (10.67)

Soluţia ecuaţiei (10.66) este: )ptsin(C)ptcos(C 21 +=ϕ (10.68) ptcospCptsinpC 21 +−=ϕ& (10.67) Impunând condiţiile iniţiale: la t=0, 0, =ϕα=ϕ & , deducem constantele

de integrare 0C,C 21 =α= şi ecuaţia mişcarii oscilatorii armonice: (10.68) )ptcos(α=ϕ

210


unde parametrul „p” se dovedeşte a fi pulsaţia mişcării şi α amplitudinea unghiulară. Perioada micilor oscilaţii ale pendulului este:

gl2

p2T π=π

= (10.69)

Se observă că micile oscilaţii sunt izocrone (au aceeaşi perioadă) şi că perioada variază liniar cu radicalul lungimii pendulului. Din ecuaţia (3) se poate calcula tensiunea din fir: (10.70) 2mlcosmgS ϕ+ϕ= &

Dacă , conform [15], perioada oscilaţiilor se aproximează cu: °>α 5

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ α+π=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ α+π≅ 22

1611

gl2

2sin

411

gl2T (10.71)

Notăm cu , amplitudinea metrică. Deoarece 10MMA =l2

A2

sin =α , obţinem

expresia perioadei în cazul oscilaţiilor mari, sub forma:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+π= 2

2

lA

1611

gl2T (10.72)

Din (9) putem calcula valoarea acceleraţiei gravitaţionale în cazul

micilor oscilaţii,

2

2

Tl4g π

= (10.73)

iar din (12) în cazul oscilaţiilor mari:

2

2

2

2

2

lA

1611

Tl4g ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

π= (10.74)

10.5. Dinamica mişcării relative a punctului material

211

Dinamica

Se consideră în figura 10.5 un punct material M de masă m, asupra căruia acţionează un sistem de forţe ( )n1,2,...,iFi = având rezultanta F , şi două sisteme de referinţă: unul fix şi altul mobil Oxyz, aflat într-o mişcare oarecare. Presupunând cunoscută mişcarea sistemului de referinţă mobil în raport cu sistemul de referinţă fix

1111 zyxO

( )ε,ω,a,v,r 000 , se cere să se studieze mişcarea punctului material faţă de sistemul de referinţă mobil, adică să se determine ecuaţiile mişcării relative ale punctului material: ( ) ( ) ( )tzz;tyy;txx === (10.75)

rω

ε

0

a0

r10

r1

Faa

m(M )

Fig. 10.5

Pentru aceasta se scrie ecuaţia mişcării absolute a punctului material:

Fam a = (10.76) unde, aa este acceleraţia punctului M în raport cu sistemul de referinţă fix, numită acceleraţie absolută.

Conform legii de compunere a acceleraţiilor în mişcarea relativă a punctului material avem: ctra aaaa ++= (10.77) Se înlocuieşte semnificaţia acceleraţiei absolute aa în (10.76) şi se obţine: Famamam ctr =++ (10.78) sau ctr amamFam −−= (10.79) În continuare notăm

212


( )[ ] jt0t Frxωxωrxεamam =++−=− (10.80) [ ] jcrc Fvxω2mam =−=− (10.81) Cu notaţiile (10.80) şi (10.81) ecuaţia (10.79) devine: jcjtr FFFam ++= (10.82) Ecuaţia (10.82) se numeşte ecuaţia diferenţială fundamentală a mişcării relative a punctului material. Cei doi vectori jtF şi jcF se numesc, respectiv forţă inerţială de transport şi forţă inerţială Coriolis. Comparând (10.82) cu (10.76) rezultă că mişcarea relativă a punctului se tratează analog cu mişcarea absolută cu deosebirea că în membrul doi al ecuaţiei diferenţiale vectoriale trebuie plasate pe lângă rezultanta forţelor efectiv aplicate şi de legătură şi forţele inerţiale de transport şi Coriolis. În cazul punctului material supus la legături forţa F conţine atât rezultanta forţelor date R cât şi reacţiunea lR :

lRRF += ; ∑=

=n

1iiFR ; TNRl += ;

r

rvvNT μ−= (10.83)

Proiectând ecuaţia diferenţială vectorială (10.82) pe axele sistemului de referinţă mobil, ţinând seama de (10.83), se obţin trei ecuaţii diferenţiale scalare:

cztzlzz

cytylyy

cxtxlxx

FFRRzm

FFRRymFFRRxm

+++=

+++=+++=

&&

&&

&&

, (10.84)

la care se adaugă ecuaţia sau ecuaţiile legăturii. Din integrarea ecuaţiilor (10.84), ţinând seama de condiţiile iniţiale ale mişcării:

t=0 (10.85) ⎩⎨⎧

======

;zz ,yy ,xx;zz ,yy ,xx

000

000&&&&&&

obţinem ecuaţiile mişcării relative a punctului

213

Dinamica

( )( )( )tzztyytxx

===

, (10.86)

iar în cazul punctului material legat, luând în considerare ecuaţiile legăturii, şi

forţa de legătură 22l TNR += .

Dacă viteza relativă şi acceleraţia relativă sunt nule ( 0vr = şi 0a r = ) spunem că punctul material se găseşte în repaus relativ faţă de sistemul de referinţă mobil. Deoarece ( )rjc vω2mF ×−= rezultă în acest caz 0Fjc = . Ecuaţia (10.82) devine în acest caz: 0FFjt =+ (10.87) Relaţia (10.87) exprimă condiţia vectorială a repausului relativ, adică în cazul repausului relativ suma vectorială dintre rezultanta forţelor date şi de legătură care acţionează asupra punctului şi forţa inerţială de transport este nulă. În continuare ne propunem să stabilim în ce condiţii ecuaţia diferenţială (10.82) are forma ecuaţiei diferenţiale absolute Fam r = (10.88) Aceasta înseamnă că 0FF jcjt =+ (10.89) sau ( )[ ] 0vω2rωωrεam r0 =×+××+×+− (10.90) Ecuaţia (10.90) este satisfăcută dacă 0ε 0;ω 0;a0 === (10.91) Aceasta înseamnă că dacă mişcarea de transport a sistemului de referinţă mobil este o translaţie rectilinie şi uniformă, ecuaţia mişcării relative a punctului material are aceeaşi structură ca şi în cazul mişcării absolute. Din această cauză sistemul de referinţă mobil care satisface condiţiile (10.70) se numeşte sistem de referinţă inerţial.

214

11. Noţiunile fundamentale şi teoremele generale ale dinamicii

11. NOŢIUNILE FUNDAMENTALE ŞI TEOREMELE

GENERALE ALE DINAMICII

Rezolvarea problemelor de dinamică se face cu ajutorul unor teoreme, numite teoreme generale, deduse prin aplicarea principiilor mecanicii, folosind câteva noţiuni fundamentale: lucrul mecanic, puterea mecanică, randamentul mecanic, energia cinetică, energia potenţială, energia mecanică, impulsul sau cantitatea de mişcare, momentul cinetic.

11. 1. Lucrul mecanic

11.1.1. Lucrul mecanic al unei forţe care acţionează asupra unui punct material

Se consideră în figura 11.1 un punct material M care se deplasează pe traiectoria sub acţiunea unei forţe variabile F. La momentul t punctul material se află în poziţia M definită de vectorul de poziţie

( )Γr , iar la momentul

punctul se află în poziţia definită de vectorul de poziţie dt t + 1M rdr + .

r

M t 0( )= M t dt( )+

r dr+

M t( ) τs ds

(Γ)

A(t )A

B(t )B

aF

dr

α

i j k

Fig. 11.1 Se numeşte lucru mecanic elementar al forţei F , corespunzător deplasării elementare rd , o mărime egală cu produsul scalar dintre forţa dLF şi deplasarea elementară rd rdFdL ⋅= (11.1) Deoarece dtvrd = şi vdtdsrd == expresia lucrului mecanic elementar mai poate fi scrisă:

215

Dinamica

cosα ds Fcosαdt vFdt vFdL ==⋅= (11.2) undeα este unghiul dintre vectorul forţă şi vectorul viteză. Folosind expresia analitică a vectorilor F şi rd relaţia (11.1) devine: (11.3) dtvFdtvFdtvFdzFdyFdxFdL zzyyxxzyx ++=++= Din definiţia lucrului mecanic elementar rezultă câteva proprietăţi importante: - Lucrul mecanic elementar este o mărime scalară având ca unitate de măsură în sistemul internaţional de unităţi joule-ul [J] ( mN1J1 ⋅= ).

- Lucrul mecanic elementar este pozitiv când ⎢⎣

⎡⎟⎠⎞∈

2π0,α şi se numeşte

lucru mecanic motor.

- Lucrul mecanic elementar este negativ când ]π,2πα ⎜

⎝⎛∈ şi se numeşte

lucru mecanic rezistent.

- Dacă 0dL ,2

α =π

= şi se numeşte lucru mecanic nul.

Corespunzător unei deplasări finite a punctului între două poziţii A şi B pe traiectoria curbilinie ( )Γ sub acţiunea forţei variabile F , lucrul mecanic finit sau total are expresia:

(11.4) α cosdtvF

α cosdsFdtvFdtvFdtvFdzFdyFdxFrdFL

B

A

B

A

t

t

B

A

B

A

B

A

t

tzzyyxxzyxBA

∫

∫ ∫ ∫∫

=

==++=++=⋅=−

Se demonstrează că lucrul mecanic elementar al unui cuplu de moment

0M , corespunzător unei rotaţii elementare θd este egal cu:

( )dtωMωMωMdtωMθdMdL zzyyxx00 ++=⋅=⋅= (11.5)

iar lucrul mecanic total sau finit:

216


( )dtωMωMωMβ dtcosωMβ cosθdMθdML2

1

2

1

2

1

2

1

21

t

t

t

tzzyyxx0

θ

θ

θ

θ00θθ ∫ ∫∫ ∫ ++====−

(11.6) S-a notat cu β unghiul dintre 0M ( momentul cuplului) şi ω (viteza unghiulară) şi s-a ţinut seama că dtωθd = . În general, lucrul mecanic finit al unei forţe depinde atât de modul cum variază forţa cât şi de forma traiectoriei. 11.1.2 Lucrul mecanic al forţelor conservative O forţă este conservativă dacă derivă dintr-o funcţie de forţă, adică

kzUj

yUi

xUU UgradF

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇== (11.7)

se numeşte funcţie de forţă a forţei ( zy,x,UU = ) F şi depinde numai de coordonatele punctului de aplicaţie al forţei. Din (11.7) rezultă că:

zUF ;

yUF ;

xUF zyx ∂

∂=

∂∂

=∂∂

= (11.8)

Pentru ca o forţă să admită o funcţie de forţă trebuie îndeplinite condiţiile lui Cauchy:

zF

xF ;

yF

zF

; xF

yF xzzyyx

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂

∂

∂

∂=

∂∂

(11.9)

În acest caz lucrul mecanic al forţei F este:

dUdzzUdy

yUdx

xUrdFdL =

∂∂

+∂∂

+∂∂

== (11.10)

Lucrul mecanic total va fi:

∫ ∫ −===−

B

A

B

AABBA UUdUrdFL (11.11)

217

Dinamica

unde ( ) ( BBBBAAAA z,y,xU U, z,y,xUU )== Rezultă că lucrul mecanic total al unei forţe conservative este independent de forma traiectoriei, depinzând numai de poziţiile iniţială şi finală a punctului de aplicaţie al forţei. Un exemplu de forţă conservativă este forţa gravitaţională (fig. 11.2).

i j k

G

A

Bz

z

Fig.11.2

În acest caz:

.zUGG ; 0GG zyx ∂

∂=−===

Rezultă: CGzU +−= (11.12)

( ) GhzzGL ABBA ±=−−=− (11.13) Prin urmare lucrul mecanic al unei greutăţi nu depinde de forma

traiectoriei pe care se deplasează punctul ei de aplicaţie, ci depinde numai de poziţiile extreme între care se efectuează mişcarea, fiind egal cu produsul dintre valoarea numerică a forţei şi diferenţa de cotă dintre poziţiile iniţială şi finală şi având semnul (+) când deplasarea se face în sensul forţei şi semnul (-) când deplasarea se face în sens contrar.

11.1.3 Lucrul mecanic al unei forţe elastice Se consideră în figura 11.3 un arc ideal cu constanta elastică k. Se notează cu x -alungirea şi cu -forţa elastică. kxFe =Putem scrie: dx-kxdL ; idxrd ; ikxFe ==−= (11.14)

218


ix

x

0 x dx

FeBM

A

Fig. 11.3

Lucrul mecanic total corespunzător unei alungiri x este:

∫ −=−=x

0

2kx21dxkxL (11.15)

iar lucrul mecanic total între 2 poziţii A şi B ale capătului arcului:

(∫ −−=−=−

B

A

x

x

2A

2BBA xxk

21kxdxL ) (11.16)

11.1.4. Lucrul mecanic elementar al unui sistem de forţe care acţionează

asupra unui solid rigid

Se consideră în figura 11.4 un solid rigid liber supus acţiunii unui sistem de forţe ( n1,2,3,...,i Fi = ) care se reduce în punctul O al corpului la un torsor având elementele:

∑ ∑= =

×==n

1i

n

1iii0i FrM ; FR (11.17)

La un moment dat t rigidul are viteza unghiulară ω şi punctul O viteza 0v . Se cere determinarea lucrului mecanic elementar al sistemului de forţe corespunzător deplasării elementare 10rd a punctului O şi rotaţiei elementare θd a rigidului. Prin definiţie:

∑ ∑= =

⋅=⋅=n

1i

n

1iii1ii dtvFrdFdL (11.18)

219

Dinamica

r1i

ri(C)

O

r10

i

ω

dθ

dr10

OMR

Fi

Fn

F1

An

AiA1

A.I.R.

dr1i

Fig. 11.4

Dar, i0i rωvv ×+= (11.19) Rezultă:

( ) ( )∑ ∑ ∑= = =

=×⋅+⋅=×+⋅=n

1i

n

1i

n

1iii0ii0i dtrωFdtvFdtrωvFdL

θdMrdRdtωMdtvRdtωFrdtvF 01000

n

1iii0

n

1ii ⋅+⋅=⋅+⋅=⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×+⋅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ∑∑

==

(11.20) 11.1.5. Lucrul mecanic al forţelor interioare

Fij

Mi

ri

rj

Mj

Fji

O

Fig. 11.5

220


Două puncte materiale Mi şi Mj aparţinând unui sistem de puncte materiale interacţionează, forţele interioare fiind notate corespunzător cu ijF ,

respectiv jiF . Vectorii de poziţie ai punctelor în raport cu punctul fix O sunt

ri şi jr (fig. 11.5). Conform principiului acţiunii şi reacţiunii ijji FF −= .

Lucrul mecanic elementar aferent forţelor ijF şi jiF corespunzător deplasărilor elementare ale celor două puncte este:

( )

( ) ( )jiijijij

jiijjijiijjjiiijint

MMdFMMdF

rrdFrdFrdFrdFrdFdL

⋅−=⋅=

=−⋅=⋅−⋅=⋅+⋅= (11.21)

Deoarece jiij MMλF = , rezultă:

( ) ( ) 2ji

2jijiji

int MMd2λMMd

2λMMdMMλdL −=−=⋅−= (11.22)

Dacă punctele materiale aparţin unui sistem material rigid distanţa dintre puncte jiMM = constant şi ca urmare . Putem spune că în cazul unui

sistem material rigid suma lucrurilor mecanice elementare ale forţelor interioare este nulă pentru orice deplasare a sistemului.

0dLint =

11. Puterea mecanică

Prin puterea mecanică a unei maşini se înţelege cantitatea de lucru

mecanic produsă de maşină în unitatea de timp.

ωMvRdtdLP 00 ⋅+⋅== (11.23)

Unitatea de măsură în sistemul internaţional de unităţi este watt-ul [W];

sJ11W = . În practică se mai foloseşte şi calul putere (CP); 1 kW=1,36CP.

Puterea este o mărime scalară pozitivă, negativă sau nulă constituind o caracteristică de bază a tuturor agregatelor energetice şi oricărei maşini.

În cazul motoarelor liniare: vRP = iar a celor rotative: (s-a notat Mc momentul cuplului).

MP c ω⋅=

Dacă este cunoscută puterea unui motor P[W] şi turaţia n[rot/min], momentul motor Mc [N.m] se obţine cu relaţia:

221

Dinamica

Pnπ

30Mc = (11.24)

Dacă puterea P este dată în CP, turaţia n în rot/min, momentul motor Mc

în N.m este

nP7027Mc = (11.25)

11.3. Randamentul mecanic

Orice maşină în timpul funcţionării ei în regim permanent primeşte un lucru mecanic motor mL , respectiv o putere motoare mP , care îi permite să dezvolte un lucru mecanic util , respectiv o putere utilă , măsurate la ieşirea din maşina respectivă. Diferenţa

uL uP LL-L pum = se numeşte lucru

mecanic pierdut, iar PP-P pum = se numeşte putere pierdută. Raportul dintre lucrul mecanic util şi cel motor, egal cu raportul dintre puterile utilă şi motoare se numeşte randament mecanic.

ϕ−=−

=−

=== 1P

PPL

LLPP

LL

ηm

pm

m

pm

m

u

m

u (11.26)

Coeficientul

m

p

u

p

PP

LL

==ϕ

se numeşte coeficient de pierdere. Randamentul total al unui lanţ de n maşini sau mecanisme legate în serie este egal cu produsul randamentului maşinilor lanţului:

(11.27) ∏=

=n

1iiη η

Randamentul total al unui agregat format din n maşini sau instalaţii montate în paralel este egal cu suma produselor dintre randamentele maşinilor şi cotele părţi din puterea absorbită de fiecare maşină din totalul puterii motoare ce alimentează întregul agregat.

(11.28) ∑ ∑= =

==n

1i

n

1iiii 1α;αηη

222


11.4. Energia cinetică 11.4.1. Definiţii

x,y,zM m

r

y x

z

t

(Γ)a

F

M m

y

t

(Γ)a

x ,y ,z i i ii

z i

ix i

rii

Fi

i

n

1

m ,t(M )n n

m ,t(M )1 1

Fig. 11.6 Fig. 11.7

Se consideră în figura 11.6 un punct material M de masă m care se

deplasează sub acţiunea forţei F pe o traiectorie curbilinie având la momentul t viteza

( )Γv .

Se numeşte energie cinetică a punctului material mărimea scalară egală cu semiprodusul dintre masa şi pătratul vitezei punctului:

( )22222c zyxm

21mv

21vm

21E &&& ++=== (11.29)

Energia cinetică este o mărime scalară strict pozitivă care caracterizează starea de mişcare a punctului la un moment dat. Unitatea de măsură în sistemul internaţional de unităţi este joule-ul [J]. Prin definiţie energia cinetică a unui sistem de puncte materiale de mase (fig.11.7) având vitezele

iM

im iv n) ..., 2, 1,(i = este egală cu suma energiilor cinetică ale punctelor componente:

( )∑ ∑∑= ==

++===n

1i

n

1i

2i

2i

2ii

n

1i

2ii

2iic zyxm

21vm

21vm

21E &&& (11.30)

Un solid rigid poate fi considerat compus dintr-o infinitate de puncte materiale de masă elementară având viteza dm v (fig. 11.8). Pentru calculul

223

Dinamica

energiei cinetice se poate utiliza relaţia (5.30) în care semnul ∑ se înlocuieşte

cu semnul viteza ∫ , iv cu viteza v şi masa cu dm. im

( ) ( )

∫∫ ==C

2

C

2c dmv

21dmv

21E (11.31)

x,y,zM dm

r

y xz

t

(Γ)

(C)

Fig. 11.8 11.4.2. Teorema lui König pentru energia cinetică

C

dm(M )

ω

ωx rr

r

α

(C)

δ

(Δ ) A.I.R.

Fig. 11.9

În figura 11.9 este reprezentat un solid rigid (C ) aflat în mişcare generală. Se cunoaşte masa M a corpului, viteza cv a centrului de masă, viteza

224


unghiulară instantanee ω şi momentul de inerţie mecanic al corpului faţă suportul vectorului

cΔJω plasat în centrul C de masă al corpului.

Se demonstrează relaţia:

2Δ

2cc ωJ

21Mv

21E

c+= (11.32)

numită teorema lui König pentru energia cinetică:’’Energia cinetică a unui solid rigid în mişcare generală este egală cu suma dintre energia cinetică a centrului de masă al solidului rigid în care se consideră concentrată întreaga masă a corpului şi energia cinetică a solidului rigid în mişcarea relativă faţă de centrul maselor’’.

Din Cinematică se ştie că viteza unui punct oarecare al rigidului are expresia: rωvv c ×+= (11.33) Folosind relaţiile (11.31) şi (11.33) se obţin succesiv

( ) ( )( )( )( )( )

( ) ( ) ( )( )( )( )

∫ ∫∫

∫ ∫ ∫ ∫

+⋅×+=×+

+×⋅+=×+==

C C

222c

C

2c

2

C C C Cc

2c

2c

2c

dmαsinrω21dmrωvdmv

21dmrω

21

dmrωvdmv21dmrωv

21dmv

21E

∫C

(11.34)

S-a ţinut seama că ( ) αsinrωrωrω 22222 =×=× Întrucât,

( )( )( )( )∫ ∫ ∫ ∫ ==α===C C C C

Δ222

c CJdmδdmsinr ; 0rMdmr ; Mdm

relaţia (11.34) devine:

2Δ

2cc ωJ

21Mv

21E

C+= (11.35)

11.4.3. Energia cinetică în cazul unor mişcări particulare ale unui solid rigid

225

Dinamica

a) Solid rigid în mişcare de translaţie Fie un solid rigid (C) , având masa M şi viteza centrului de masă cv ,

aflat în mişcare de translaţie (fig. 11.10).

r

C

(C)

Fig. 11.10

Deoarece 0ω = , expresia (11.35) devine

2cc Mv

21E = (11.36)

În conformitate cu (11.36) energia cinetică a unui solid rigid aflat în mişcare translaţie este egală cu energia centrului de masă şi care se consideră concentrată întreaga masă a corpului. b) Solid rigid în mişcare de rotaţie în jurul unei axe fixe

În figura 11.11 este reprezentat unui solid rigid (C) aflat în mişcare de rotaţie în jurul axei fixe ( )Δ cu viteza unghiulară ω . Se presupune de asemenea cunoscut şi momentul de inerţie mecanic al corpului în raport cu axa ( . ΔJ )Δ

Din Cinematică se cunoaşte că viteza unui punct oarecare al rigidului are expresia:

rωv ×= (11.37)

226

ω rα

δO

O

dm=ωx r

(C)

(Δ)

O


Fig. 11.11

( )( )

( )( )( )

( )(11.38)ωJ

21dmδω

21

dm αsinrω21dmrω

21dmrω

21 dmv

21E

C

2Δ

22

C C C

22222

C

2c

∫

∫ ∫ ∫∫

==

==×=×==

c) Solid rigid în mişcare de roto-translaţie

ω

r

α

O

dm=ωx r

(C)

(Δ)

δ

= +ωx r

O

O

O

Fig. 11.12

Se consideră în figura 11.12 un solid rigid aflat în mişcare elicoidală în lungul şi în jurul axei ( )Δ cu viteza liniară cv şi viteza unghiulară ω . Se cunoaşte masa M a corpului şi momentul de inerţie mecanic al acestuia faţă de axa mişcării de roto-translaţie ( .

ΔJ)Δ

Se ştie că viteza unui punct oarecare al rigidului are expresia: rωvv c ×+= (11.39)

Energia cinetică a rigidului în acest caz este:

227

Dinamica

( )

( )( ) ( )

( )( )

( )( ) ( ) ( )

( )( )∫∫∫∫

∫∫∫∫

×+×+=×+

+×+=×+==

C0

C

2

C

20

C0

C

2

C

20

C

20

C

2c

dmrωvrω21dmv

21dmrωv

dmrω21dmv

21dmrωv

21dmv

21E

(11.40) Deoarece,

( ) ( ) ( ) ( ) 0ωv ; Jωdmδωdm αsinrωdmrω ; Mdm 0Δ

2

C

22

C

222

C

2

C

=×===×= ∫∫∫∫

expresia energiei cinetice dată de (11.40) devine:

2Δ

20c ωJ

21Mv

21E += (11.41)

Se poate afirma că energia cinetică a unui solid rigid aflat în mişcare de roto-translaţie este egală cu suma dintre energia cinetică de translaţie cu viteza

0v şi cea provenită din mişcarea de rotaţie în jurul axei fixe cu viteza unghiulară ω . d) Placă aflată în mişcare plană O placă având masa M şi momentul de inerţie mecanic în raport cu axa , normală în centrul de masă C pe planul plăcii, se află în mişcare într-un plan fix cu viteza centrului de masă

cJΔ

cΔ

cv şi viteza unghiulară ω (fig. 11.13).

ω ω

C I

(Δ )

(Δ ) A.I.R.

rI

r

(P )m

Fig. 11.13 Energia cinetică plăcii este dată de formula lui König:

228


2cΔ

2cc ωJ

21Mv

21E += (11.42)

Între şi ω subzistă relaţia: cv dωICωvc ⋅=⋅= (11.43) Înlocuind (11.43) în (11.42) se obţine relaţia:

( ) 2Δ

2Δc

2c ωJ

21MdJω

21E

I=+= (11.44)

în care este momentul de inerţie mecanic al plăcii în raport cu axa

instantanee de rotaţie IΔJ

IΔ .

e) Solid rigid în mişcare sferică (mişcare de rotaţie în jurul unui punct fix)

ωrα

δdm

=ωx r(C)

(Δ) A.I.R.

Fig. 11.14

Se consideră în figura 11.14 un solid rigid care efectuează o mişcare de rotaţie în jurul punctului fix O cu viteza unghiulară ω ( )zyx ω ,ω ,ω . Se presupun cunoscute momentele de inerţie mecanice ale rigidului în raport cu axele sistemului de referinţă Oxzy. În mişcarea sferică viteza unui punct oarecare are expresia:

rωv ×= (11.45) Energia cinetică a rigidului cu punct fix se determină cu relaţia:

229

Dinamica

( )

( )( ) ( )

=×=×== ∫∫∫C

2

C

2

C

2c rω

21dmrω

21dmv

21E

( )

2Δ

22

C

222 ωJ21dmδω

21dmαsinrω

21

== ∫∫ (11.46) Ţinând seama de legea de variaţie a momentelor de inerţie mecanice în raport cu axe concurente, , (11.47) γα2Jβγ2J-βα2JγJβJαJJ zxyzxy

2z

2y

2xΔ −−++=

unde sunt cosinusurile directoare ale suportului Δ al vectorului γβ, α, ω , şi de relaţiile: zyx ωωγ ;ωωβ ;ωωα === (11.48) se obţine:

( )xzzxzyyxyxxy2zz

2yy

2xxc ωω2Jωω2Jωω2JωJωJωJ

21E −−−++= (11.49)

Dacă axele sistemului de referinţă mobil sunt axe principale de inerţie, momentele de inerţie centrifugale sunt nule, iar (11.49) ia forma simplificată:

2zz

2yy

2xxc ωJ

21ωJ

21ωJ

21E ++= (11.50)

11.5. Energie potenţială. Energie mecanică Se întâlnesc sisteme materiale (o greutate situată la o anumită înălţime, un arc întins sau comprimat, un recipient cu gaz sub presiune, etc.) care au energie datorită poziţiei pe care o ocupă, fiind capabil să producă lucru mecanic dacă se suprimă legăturile ce menţin sistemul în poziţia respectivă. Energia de poziţie a unor astfel de sisteme se numeşte energie potenţială. Energia potenţială a unui corp aflat într-o poziţie oarecare este egală cu lucrul mecanic consumat pentru a aduce corpul dintr-o poziţie în care energia potenţială se consideră nulă în poziţia dată, luat cu semn schimbat.

(11.51) ( )∑ ∑∫=

−=−=++−=−=n

1iiiiziiyiixp UUdzFdyFdxFLE

230


unde U este funcţia de forţe a sistemului. Unitatea de măsură pentru energia poteniţială în SI este joule-ul [ . ]J În cazul unui sistem material suma dintre energia cinetică şi energia potenţială se numeşte enrgie mecanică. pcm EEE += (11.52)

11.6. Impulsul Se consideră un punct material M de masă m care se deplasează pe traiectoria , având la un moment dat viteza ( )Γ v (fig. 11.15). Se defineşte impulsul sau cantitatea de mişcare a punctului material un vector egal cu produsul dintre masa punctului şi viteza sa. vmp = (11.53)

r

kO

p=m m(M )

(Γ)

Fig. 5.15

Alegând un sistem de referinţă cartezian Oxzy şi proiectând (11.53) pe axele acestuia se obţin relaţiile: zmp ;ymp ;xmp zyx &&& === (11.54) în care sunt componentele carteziene ale vitezei punctele M. z ,y ,x &&&

Unitatea de măsură a impulsului în SI este metrukilogram ⋅ pe scundă . [ ]m/skg ⋅

rri

p =m

P=M

m(M )n n

m(M )i i

m(M )1 1C

ii ii

1

231 K O n

Dinamica

Fig. 11.16 În cazul unui sistem de puncte matriale aflat în mişcare (fig.5.16)

impulsul sistemului este egal cu suma impulsurilor punctelor.

∑=

=n

1iii vmP (11.55)

Această relaţie se poate pune şi sub o altă formă ţinând seama că viteza instantanee a punctului este egală cu derivata în raport cu timpul a vectorului de poziţie al punctului.

( )∑∑==

=====n

1icccii

n

1i

ii vMrMrM

dtdrm

dtd

dtrdmP && (11.56)

Aşadar impulsul total al unui sistem de puncte materiale este egal cu impulsul total al unui sistem de puncte materiale este egal cu impulsul centrului de masă al sistemului în care se presupune concentrată în întreaga masă a acestuia. Componentele carteziene ale impulsului se obţin proiectând relaţia (11.56) pe axele sistemului de referinţă Oxzy. czcycx zMP ;yMP ;xMP &&& === (11.57) Solidul rigid poate fi considerat compus dintr-o infinitate de puncte materiale de masă dm şi viteză v (fig. 11.17). Ca urmare impulsul total se obţine cu relaţia

( )∫=C

dmvP (11.58)

232

r1

(C)ω

C

K

P=M K O1

rdm

r


Fig. 11.17

Ca şi în cazul precedent

( ) ( )

( ) c1C1cC

1C

1 vMrMrMdtddmr

dtddm

dtrdP ===== ∫∫ & (11.59)

Relaţia (11.59) arată că impulsul unui rigid este egal cu impulsul centrului de masă în care ar fi concentrată întreaga masă a rigidului. 11.7. Momentul cinetic 11.7.1. Definiţii a) Momentul cinetic al unui punct material Prin definiţie momentul cinetic al unui punct material aflat în mişcare (fig. 11.15) în raport cu un pol fix O este egal cu momentul vectorului impuls faţă de acelaşi pol O.

vmrkO ×= (11.60) Proiecţiile acestui vector pe axele unui sistem de axe cu originea în

punctul O vor fi:

( ) ( ) ( )xyyxmk ;zxxzmk ;yzzymk zyx &&&&&& −=−=−= (11.61) Unitatea de măsură pentru momentul cinetic în SI este

. secundăpemetrukilogram 2⋅ /s]m[kg 2⋅ b) Momentul cinetic al unui sistem de puncte materiale

Prin definiţie momentul cinetic al unui sistem de puncte materiale aflat în mişcare (fig. 11.16) în raport cu un punct fix O este egal cu suma momentelor cinetice ale punctelor în raport cu acelaşi O.

∑=

×=n

1iiiiO vmrK (11.62)

c) Momentul cinetic al unui solid rigid

233

Dinamica

În cazul unui solid rigid (fig. 11.17) se defineşte momentul cinetic faţă de punctul fix , prin relaţia: 1O

( )

dmvrKC

1O1 ∫ ×= (11.63)

şi momentul cinetic al rigidului în mişcarea relativă faţă de centrul maselor prin relaţia:

( )( )

( )( )∫∫ ××=−×=CC

cC dmrωrdmvvrK (11.64)

Relaţia (11.64) poate fi transcrisă matriceal:

[ ] [ ] [ ]ωJKsau ;ωωω

JJJJJJJJJ

KKK

C

z

y

x

zzyzx

yzyyx

xzxyx

z

y

x

⋅=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ (11.65)

Matricea:

(11.66) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=

zzyzx

yzyyx

xzxyx

JJJJJJJJJ

]J[

se numeşte matricea momentelor de inerţie sau tensor inerţial. 11.7.2. Teorema lui König pentru momentul cinetic Se consideră un rigid (C) aflat în mişcare generală faţă de un sistem de referinţă fix , având la un moment dat t viteza centrului de masă 1111 zyxO cv şi viteza unghiulară ω (fig.11.17). Fiind cunoscută masa M a corpului şi momentele de inerţie mecanice ale acestuia în raport cu sistemul de axe Oxyz , legate de corp, se cere determinarea relaţiei dintre momentul cinetic al corpului faţă de punctul fix şi momentul cinetic al corpului în mişcarea relativă faţă de centrul de masă.

1O

Înlocuim în (11.63) egalităţile rωvv ;rrr C1c1 ×+=+=

234


( ) ( )

( ) ( )( )

( )

( )( )

( )=××+×+

+××++×=×ω+×+=

∫∫

∫∫∫

CCc

C1c

Ccc1

Ccc1O

dmrωrdmvr

dmrωrdmvrdmrvrrK1

( ) ( ) ( )

( )( )∫∫∫∫ ××+×⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛××+×=

Cc

CC1c

Cc1c dmrωrvdmrdmrωrdmvr

(11.67) Întrucât,

( ) ( )( )

( )c

CC

CC

Kdmrωr 0;rMdmr M;dm =××=== ∫∫∫ ,

relaţia (11.67) devine: cc1cO KvMrK

1+×= (11.68)

Relaţia (11.68) exprimă teorema lui König pentru momentul cinetic conform căreia, momentul cinetic al unui solid rigid (sistem material) în raport cu un punct fix este egal cu suma dintre momentul cinetic al centrului de masă în care se consideră concentrată întreaga masă a corpului (sistemului material) şi momentul cinetic

1O

cK rezultat din mişcarea relativă a corpului (sistemului material) în raport cu centrul maselor. 11.7.3. Momentul cinetic în cazul unor mişcări particulare ale rigidului a) solid rigid aflat în mişcare de translaţie

Fie un solid rigid aflat în mişcare de translaţie (fig.11.18), având masa M şi viteza instantanee a centrului de masă cv .

(C)

C

K O1 r

Fig. 11.18

235

Dinamica

Întrucât 0=ω 0Kc = (11.69)

c1cO vMrK1

×= (11.70) b) Solid ridig aflat în mişcare de rotaţie în jurul unui punct fix

Se consideră un solid rigid care efectuează o mişcare de rotaţie în jurul punctului fix O (fig.11.19) cu viteza unghiulară ω . Se cunosc momentele de inerţie mecanice ale corpului în raport cu axele sistemului de referinţă Oxzy, solidar cu rigidul.

Conform (11.63), dacă şi OO1 = rr1 = ,

( )∫ ×=C

O dmvrK (11.71)

Având în vedere legea distribuţiei vitezelor în mişcarea sferică a

rigidului rωv ×= (11.72)

( )( )

( )( )( )

∫ ∫∫ ⋅−=××=C C

2

CO dmrrωdmωrdmrωrK (11.73)

ωr

(C)

(Δ) A.I.R.

x,y,zM dm

K O

Fig. 11.19 Expresiile analitice ale vectorilor care intervin (11.73) sunt

236


kωjωiωω

;kzjyixr

;kKjKiKK

zyx

zyxO

++=

++=

++=

(11.74)

Înlocuind (11.74) în (11.73) şi ţinând seama de expresiile momentelor de inerţie mecanice axiale şi centrifugale, prin identificarea coeficienţilor versorilor din cei doi membri, se obţin proiecţiile vectorului moment cinetic pe axele sistemului de rferinţă mobil Oxzy. Acestea pot fi exprimate sub formă matriceală:

(11.75) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

z

y

x

zzyzx

yzyyx

xzxyx

z

y

x

ω

ωω

JJJJJJJJJ

K

KK

sau restrâns [ ] [ ] [ ]ωJKO ⋅= (11.76) Dacă axele sistemului de referinţă mobil sunt axe principale de inerţie, atunci momentele de inerţie centrifugale sunt nule şi: zzzyxyxxx ωJK ;ωJK ;ωJK === (11.77) c) Solid rigid în mişcare de rotaţie în jurul unui ax fix

În figura (11.20) este reprezentat un solid rigid aflat în mişcare de rotaţie în jurul unui ax fix oarecare ( )Δ . Se cunosc viteza unghiulară ω şi momentele de inerţie axiale şi centrifugale ale rigidului în raport cu sistemul de referinţă Oxzy, legat invariabil de solidul rigid.

Momentul cinetic al rigidului în raport cu punctul fix O de pe axa se poate calcula ca şi în cazul mişcării sferice deoarece mişcarea de rotaţie în jurul unui ax fix este un caz particular al mişcării sferice în care axa instantanee de rotaţie devine fixă. Astfel, proiecţiile vectorului moment cinetic pe axele sistemului de referinţă mobil Oxzy sunt date de (11.75) sau (11.77), după cum acest sistem nu este sau este sistem de axe principale de inerţie.

( )Δ

237

ωr

(C)

(Δ)

x,y,zM dm

K O

Dinamica

Fig. 5.20

Dacă axa ( )Δ coincide cu axa Oz, atunci ωJK ;ωJK ;ωJK zzyzyxzx =−=−= (11.78) Dacă în plus axa ( ) Oz≡Δ este axă principală de inerţie, atunci: kωJK ω;JK 0;KK zOzzyx ==== (11.79) d) Placă aflată în mişcare plană

Se consideră o placă mobilă ( )mP în mişcare în planul fix cu viteza centrului de masă

1111 zyxO

cv şi viteza unghiulară ω (fig. 11.21). Se cunoaşte masa plăcii şi momentul de inerţie faţă de axa Cz, normală în centrul de masă al plăcii pe planul plăcii.

zJ

Din punctul de vedere al distribuţiei de viteze mişcarea plană reprezintă o suprapunere a două mişcări: o mişcare de translaţie cu viteza cv a centrului de masă C şi o mişcare de rotaţie cu viteza unghiulară ω în jurul unei axe perpendiculare în C pe planul mişcării.

Fig. 11.21

CI

(Δ ) A.I.R.

r

(P )m

ω

K O1

K

x

y ϕ

k 1

i1

j 1

j

k

i

ϕ

238


Momentul cinetic în mişcarea relativă faţă de centrul de masă este dat de relaţia (11.79)

ωJK ;kωJK zCzC == (11.80)

iar momentul cinetic faţă de de formula lui König. 1O ( )[ ] kωJvyvxMKvMrK zCx1CCy1CCC1CO 111

+−=+×= (11.81)

11.8. Teorema de variaţie a energiei cinetice

ri

m(M )n n

m(M )i i

m(M )1 1

F iint Fi

ext+

Fiext

F iint

Fnext

F1ext

a1

ai

an

(Γ)

i

Fig. 11.22

Se consideră un sistem de puncte materiale , având masele ,

vitezele iM im

iv , acceleraţiile ia şi vectorii de poziţie ir într-un sistem de referinţă Oxyz, aflat în mişcare sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare

extiF (i=1,2,…,n). Asupra punctului acţionează forţa iM ext

iF şi rezultanta

forţele interioare ,FFn

1jij

inti ∑

== n,1j ÷= ij ≠ , cu care celelalte n-1 puncte

interacţionează cu punctul (fig. 11.22). iM Pentru fiecare punct material putem scrie legea fundamentală a dinamicii: int

iext

iii FFam += (11.82)

239

Dinamica

Înmulţind scalar ambii membri ai relaţiei (11.82) cu ird şi însumând relaţiile obţinute pentru n1i ÷= , rezultă

∑∑∑===

⋅+⋅=⋅n

1ii

inti

n

1iii

n

1iiii rdFrdFrdam (11.83)

Dar

C

n

1i

2ii

n

1i

2ii

n

1iiii

n

1ii

ii

n

1iiii dEvm

21

dtdvm

21

dtdvdvmrd

dtvdmrdam ==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅=⋅=⋅ ∑∑∑∑∑

=====

(11.84)

extn

1iii dLrdF =⋅∑

=; int

n

1ii

inti dLrdF =⋅∑

=, (11.85)

unde şi reprezintă reprezintă lucrul mecanic al forţelor exterioare, respectiv al forţelor interioare.

extdL intdL

Se obţine: (11.86) intext

C dLdLdE += relaţie ce exprimă matematic teorema de variaţie a energiei cinetice sub formă elementară sau diferenţială în cazul unui sistem de puncte materiale: variaţia elementară a energiei cinetice a unui sistem de puncte materiale este egală cu suma dintre lucrul mecanic elementar al forţelor exterioare şi lucrul mecanic al forţelor interioare, corespunzător deplasării elementare a sistemului material în intervalul de timp dt. Integrând relaţia (11.86) se obţine forma finită sau integrală a teoremei de variaţie a energiei cinetice. (11.87) int

21ext

21C1C2 LLEE −− +=− în care este energia cinetică a sistemului la momentul , este energia

cinetică a sistemului la momentul , reprezintă lucrul mecanic total al

forţelor exterioare în intervalul de timp

C1E 1t C2E

2text

21L −

12 tt − şi reprezintă lucrul mecanic total al forţelor interioare în acelaşi interval de timp.

int21L −

În cazul solidului rigid, având în vedere că

240


(11.88) 0dL ; 0dL int21

int == − forma diferenţială a teoremei de variaţie a energiei cinetice este: (11.89) ext

C dLdE =iar cea finită: (11.90) ext

21C1C2 LEE −=− 11.9. Teorema de variaţie a impulsului

ri

m(M )n n

m(M )i im(M )1 1 F iint Fi

ext+

Fiext

F iint

Fnext

F1ext

ai

i

C ar

OMK O=

P=M a R=ext

ext

Fig. 11.23

Această teoremă va fi demonstrată tot în cazul unui sistem de puncte

materiale, rezultatele fiind apoi extinse pentru un solid rigid sau un sistem de corpuri rigide. Fie un sistem de puncte materiale de mase aflat în mişcare cu vitezele

iM im

iv şi acceleraţiile ia sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare ext

iF ( n1i ÷= ) . Asupra punctului acţionează atât forţa iM extiF cât şi rezultanta

∑=

=n

1jij

inti FF ( )ijn,1j ≠÷= a forţelor interioare cu care celelalte puncte

interacţionează cu punctul (fig. 11.23). iM Pentru fiecare punct separat din sistem este valabil principiul al doilea al mecanicii scris sub forma: int

iextiii FFam += (11.91)

241

Dinamica

Scriind relaţii de forma (11.91) pentru toate punctele sistemului şi însumându-le membru cu membru obţinem:

∑∑∑===

+=n

1i

inti

n

1i

exti

n

1iii FFam (11.92)

Dar,

( ) ( ) PPdtdvm

dtdvm

dtd

dtvdmam

n

1iii

n

1iii

n

1i

ii

n

1iii

&===== ∑∑∑∑====

, adică derivata

în raport cu timpul a vectorului impuls total; ext

n

1i

exti RF =∑

= -vectorul rezultant al forţelor exterioare;

0Fn

1i

inti =∑

= -deoarece forţele interioare sunt două câte două egale în modul,

având acelaşi suport şi sensuri contrarii. Rezultă: extRP =& (11.93) Relaţia (11.93) exprimă teorema de variaţie a impulsului pentru un sistem de puncte materiale: derivata în raport cu timpul a vectorului impuls total al unui sistem de puncte materiale este egală cu vectorul rezultant al forţelor exterioare aplicate punctelor sistemului. Deoarece CvMP = , CC aMvMP == && , (11.94) unde: M-este masa sistemului de puncte materiale; Cv -este viteza centrului de masă al sistemului de puncte materiale; Ca -este acceleraţia aceluiaşi centru de masă, se obţine: ext

C RaM = (11.95) Teorema de variaţie a impulsului sub forma (11.95) poartă numele de teorema mişcării centrului de masă cu următorul enunţ: centrul de masă al unui sistem de puncte materiale are mişcarea unui singur punct a cărui masă este egală cu masa totală a sistemului când asupra căruia ar acţiona vectorul rezultant al forţelor exterioare.

242


Echivalenţele scalare ale ecuaţiilor vectoriale (11.93) şi (11.95) sunt: ; ; (11.96) ext

xCx RxMP == &&& extyCy RyMP == &&& ext

zCz RzMP == &&&

Integrând (11.93) pentru două configuraţii la momentele şi obţinem forma finită a teoremei de variaţie a impulsului:

1t 2t

∫=−2

1

t

t

ext12 dtRPP (11.97)

unde: 1C1 vMP = ,

2C2 vMP = Dacă vectorul rezultant al forţelor exterioare este nul sau proiecţia sa pe o axă fixă este permanent nulă ( 0Rext = , respectiv de exemplu ), impulsul total, respectiv proiecţia impulsului pe acea axă este invariabil în timp (se conservă).

0Rextx =

Se obţin astfel integralele prime: ct.vMP C == , respectiv ct.xMP Cx == & (11.98) În acest caz centrul de masă are o mişcare rectilinie şi uniformă sau, în particular, rămâne în repaus, respectiv proiecţia centrului maselor pe acea axă se mişcă uniform sau, în particular, rămâne pe loc. Rezultatele obţinute sunt valabile şi pentru un solid rigid sau un sistem de corpuri rigide. 11.10. Teorema de variaţie a momentului cinetic în raport cu un punct fix

ri

m(M )n n

m(M )i im(M )1 1 F iint Fi

ext+

Fiext

F iint

Fnext

F1ext

ai

i

C ar

OMK O=

P=M a R=ext

ext

243

Dinamica

Fig. 11.24 Fie în figura 11.24 (aceeaşi cu Fig. 11.23) un sistem de puncte materiale

de mase , având vitezele şi acceleraţiile instantanee iM im iv şi ia şi vectorii de poziţie ir într-un sistem de referinţă fix Oxyz. Punctele se află în mişcare

sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare ( )n1iFexti ÷= . Asupra punctului

acţionează forţa exterioară iM extiF şi rezultanta ( )ijn,1j,FF

n

1jij

inti ≠÷== ∑

=

a forţelor exterioare cu care celelalte n-1 puncte interacţionează cu . iM Scriem pentru punctul legea fundamentală a dinamicii iM int

iext

iii FFam += (11.99) Înmulţim vectorial la stânga cei doi membri ai relaţiei (11.99) cu ir şi însumăm relaţiile obţinute dând lui i valori de la 1 la n. Se obţine:

∑∑∑===

×+×=×n

1i

intii

n

1i

extii

n

1iiii FrFramr (11.100)

În relaţia (5.100):

( ) OO

n

1iiii

n

1iii

iiii

n

1iiii KK

dtdvmr

dtdvm

dtrdvmr

dtdamr &==×=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ×−×=× ∑∑∑

===,

adică derivata în raport cu timpul a momentului cinetic faţă de punctul O; extO

exti

n

1ii MFr =×∑

= - momentul rezultant al forţelor exterioare faţă de polul O.

0Fr inti

n

1ii =×∑

= - deoarece forţele interioare sunt două câte două egale în modul,

având acelaşi suport şi sensuri opuse. Rezultă: ext

OO MK =& (11.101) Relaţia (11.101) exprimă teorema momentului cinetic în raport cu un punct fix pentru un sistem de puncte materiale, conform căreia: derivata vectorială în raport cu timpul a momentului cinetic al unui sistem de puncte materiale calculat faţă de un punct fix O este egală cu momentul rezultant al

244


sistemului forţelor exterioare aplicate punctelor sistemului, calculat faţă de acelaşi punct fix O.

Dacă momentul rezultant al forţelor exterioare în raport cu un punct fix este nul ( )0Mext

O = atunci

0KO =& şi deci ct.KO = (11.102) adică momentul cinetic se conservă. Ecuaţia (11.102) este o integrală primă a teoremei momentului cinetic. Echivalentele scalare ale ecuaţiei (11.101) sunt ; ; (11.103) ext

xx MK =& extyy MK =& ext

zz MK =&

Dacă momentul rezultant al forţelor exterioare în raport cu o axă fixă (de exemplu Oy) este nul atunci faţă de axa respectivă momentul cinetic se conservă: ; şi deci 0Mext

y = 0K y =& ct.K y = (11.104) Integrând (11.101) se ajunge la forma finită a teoremei de variaţie a momentului cinetic

∫=−2

1

t

t

extOO1O2 dtMKK (11.105)

Rezultatele obţinute sunt valabile şi în cazul sistemelor de corpuri rigide. 11.11. Teorema de variaţie a momentului cinetic în raport cu centrul maselor

r1

(C)

ω

C

K

PK O1

rdm

r

r1i

riAi

A1

AnFi

a

ε

CMK C=ext

Fn

P=M a R=ext

F1

K O1= M

extO1

245

Dinamica

Fig. 11.25 Se consideră un rigid (C) aflat în mişcare în raport cu un sistem de referinţă fix sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare 1111 zyxO

( n1,2,...,iFexti = ) . De corp este invariabil legat de sistemul de referinţă Cxyz, cu

originea în centrul de masă (fig. 11.25). Se urmăreşte determinarea relaţiei dintre momentul cinetic al corpului în

mişcarea relativă faţă de centrul de masă şi momentul rezultant al forţelor exterioare faţă de acelaşi punct. Scriem teorema lui König pentru momentul cinetic şi o derivăm în raport cu timpul CC1CC1CO KaMrvMrK

1&&& +×+×= (11.106)

Conform teoremei momentului cinetic faţă de punctul fix şi teoremei

mişcării centrului de masă se poate scrie: 1O

extOO

11MK =& ; ext

C RaM = (11.107)

unde:

∑=

×=n

1i

exti1i

extO FrM

1este momentul rezultant al forţelor exterioare faţă de şi 1O

∑=

=n

1i

exti

ext FR este vectorul rezultant al forţelor exterioare.

Termenul, =× C1C vMr& 0vMv CC =× Astfel, relaţia (11.106) devine: C

ext1C

extO KRrM

1

&+×= sau ext1C

extOC RrMK

1×−=& (11.108)

Conform legii de variaţie a momentului rezultant la schimbarea polului de reducere :

extC

ext1C

extO MRrM

1=×− ; ∑

==

n

1i

extii

extC FxrM (11.109)

Se obţine: ext

CC MK =& , (11.110)

246


relaţie ce exprimă teorema de variaţie a momentului cinetic în raport cu centrul maselor conform căreia: derivata în raport cu timpul a vectorului moment cinetic al unui sistem material în mişcarea relativă faţă de centrul de masă al sistemului este egală cu momentul rezultant al forţelor exterioare calculat în raport cu acelaşi centru de masă.

247

12. Dinamica rigidului

12. DINAMICA RIGIDULUI 12.1. Dinamica rigidului cu axă fixă Se consideră în figura 12.1,a un solid rigid de masă M, care în punctele

şi are două articulaţii sferice şi asupra căruia acţionează un sistem de forţe exterioare date

1O 2O

iF (i=1,2,…,n). Singura mişcare posibilă pentru un asemenea corp este rotaţia în jurul axei definită de punctele fixe şi . Se adoptă sistemele de referinţă, fix şi mobil, cu axele cotelor suprapuse peste axa fixă şi originile în punctul .

1O 2O

1O

a) b)

k 1

i1

j 1

j

k

i

ϕ

ϕ

=

ωε(C) r1 r=

=

C(x ,y ,z )

a

R1x

R2x

R1y

R2y

R1z

R2z

h

R2x

R2yR2z

R1x

R1y

R1z

Ai

A1

An

Fi

Fn

F1

a) b)

Fig. 12.1 Sistemul de forţe exterioare date se compune din forţele şi cuplurile care produc mişcarea, denumite motoare şi din forţele şi cuplurile care se opun mişcării,denumite rezistente. Primele provin de la motorul de antrenare iar celelalte provin de la rezistenţele pe care trebuie să le învingă corpul pentru a pune în mişcare alte maşini precum şi de la rezistenţele datorate frecărilor din lagăre şi cu aerul. Se cere determinarea ecuaţiei diferenţiale a mişcării corpului şi reacţiunile din cele două lagăre. În acest scop, se eliberează corpul de legături, fiecare din cele două articulaţii sferice fiind înlocuită cu câte o forţă de legătură cu punctul de aplicaţie în centrul geometric al cuplei şi a cărei determinare necesită trei

247

Dinamica

parametri independenţi, care de obicei se aleg proiecţiile reacţiunii respective pe axele sistemului cartezian Oxyz legat de corp. Se fac notaţiile:

kRjRiRFR zyx

n

1ii ++=≡ ∑

= - vectorul rezultant al forţelor exterioare date;

kMjMiMFOAM zyx

n

1iiiO ++=×≡ ∑

= - vectorul moment rezultant al forţelor

exterioare date faţă de punctul ; 1OO ≡kRjRiRR 1z1y1xl1 ++= - reacţiunea din lagărul ; 1O

kRjRiRR 2z2y2xl2 ++= - reacţiunea din lagărul ; 2O

jhRihRROOM 2x2yl22lO +−=×≡ - vectorul moment rezultant al reacţiunilor faţă de O, h fiind distanţa dintre centrele celor două lagăre;

cx , cy , cz - coordonatele centrului de masă al corpului în sistemul de referinţă Oxyz;. Se aplică teorema mişcării centrului de masă şi teorema momentului cinetic în raport cu punctul fix O.

l2l1C RRRaM ++= (12.1)

lOOO MMK +=& (12.2) unde: ( ) ( ) ( ) jyωxεixωyεrωωrεa C

2CC

2CCC −+−−=××+×=

=×+∂

∂= O

OO Kω

tK

K&

= ( ) ( ) =+−−×++−−∂∂ kωJjωJiωJkωkωJjωJiωJt zzyzxzzyzx

= ( ) ( ) kJjωJεJiωJεJ z2

zxzy2

zyzx ε+−−++− Proiectând cele două ecuaţii vectoriale (12.1) şi (12.2) pe axele sistemului cartezian de referinţă Oxyz obţinem un sistem de 6 ecuaţii scalare cu 7 necunoscute (proiecţiile reacţiunilor şi unghiul ϕ care defineşte legea de mişcare a rigidului ): (12.3) 2x1xxC

2C RRRxωMyM ++=−ε−

(12.4) 2y1yyC2

C RRRyωMxM ++=−ε

2z1zz RRR0 ++= (12.5)

248


(12.6) 2yx2

zyzx RhMωJεJ −=+−

(12.7) 2xy2

zxzy RhMωJεJ +=−−

zz MεJ = (12.8) Ultima ecuaţie scrisă sub forma:

0JM

z

z =−ϕ&& (12.9)

reprezintă ecuaţia diferenţială a mişcării de rotaţie . Integrând această ecuaţie şi determinând constantele de integrare cu ajutorul condiţiilor iniţiale ale mişcării,

00 ω ; 0;t =ϕϕ=ϕ= & , se obţine legea mişcării de rotaţie a solidului rigid,

( )00 ,ω t, ϕϕ=ϕ (12.10)

Rezolvând primele cinci ecuaţii ale sistemului se obţin componentele scalare ale reacţiunilor:

2C

zxC

zyx

y1x ωxM

hJεyM

hJ

Rh

MR ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+−= (12.11)

2C

zyC

zxy

x1y ωMy

hJ

εMxh

JRh

MR ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−−= (12.12)

2zxzyy2x ω

hJ-ε

hJ

hM

R −−= (12.13)

2zyzxx2y ω

hJ

-εh

Jh

MR += (12.14)

z2z1z RRR −=+ (12.15) Pentru a elimina nedeterminarea se adoptă o nouă soluţie constructivă constând din înlocuirea articulaţiei sferice cu o articulaţie cilindrică (fig. 12.1,b). În acest caz:

2O

0R ;RR 2zz1z =−= (12.16) Modulele reacţiunilor vor fi în acest caz: 2

2y22xl2

21z

21y

21xl1 RRR ;RRRR +=++= (12.17)

Problema reacţiunilor în funcţionarea maşinilor având piese în mişcare de rotaţie este deosebit de importantă datorită influenţei pe care o au asupra

249

Dinamica

uzurii lagărelor ca urmare a frecării. Se urmăreşte ca valorile acestor reacţiuni să fie cât mai mici posibil, adică egale cu valoarea lor în starea de repaus. Valorile statice ale reacţiunilor se obţin din relaţiile 12.11-12.14, facând

şi : 0=ω 0=ε

zS1zy

xS1yx

yS1x RR ;R

hM

R ;Rh

MR −=−−=−= (12.18)

0R ;h

MR ;

hM

R S2z

xS2y

yS2x ==−= (12.19)

În timpul mişcării de rotaţie a rigidului în lagăre apar aşa numitele componente dinamice ale reacţiunilor, care au expresiile:

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

0R

ωMyh

JεMx

hJR

ωMxh

JεMyh

JR

D1z

2C

zyC

zxD1y

2C

zxC

zyD1x

;

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

−=

−−=

0R

ωh

Jε

hJR

ωh

Jεh

JR

D2z

2zyzxD2y

2zxyzD2x

(12.20)

Un solid rigid aflat în mişcarea de rotaţie în jurul unui ax fix la care componentele dinamice ale reacţiunilor din articulaţii sunt nule se spune că este echilibrat dinamic. Egalând cu zero componentele dinamice ale reacţiunilor se obţin două sisteme de ecuaţii liniare şi omogene în necunoscutele ε şi . Condiţiile ca sistemele respective să admită şi alte soluţii şi afară de cele banale, care nu convin, sunt:

2ω

0Mxh

JMy

hJ

Myh

JMx

hJ

Mxh

JMy

hJ

2

czx

2

czy

czy

czx

czx

czy

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

−− (12.21)

0h

JJ

hJ

hJ

hJ

hJ

2zx

2yz

zyzx

zxzy

=+

=−

−− (12.22)

Aceste condiţii sunt îndeplinite dacă:

250


0y x0;JJ CCzyzx ==== , (12.23)

adică dacă axa de rotaţie este axă principală centrală de inerţie. Aşadar condiţia ca un rigid în mişcare de rotaţie să fie echilibrat dinamic

este ca axa de rotaţie să fie axă principală centrală de inerţie. Dacă numai corpul este echilibrat static. 0yx CC ==

12.2. Pendulul fizic Un pendul fizic sau un pendul compus este constituit dintr-un corp solid care se poate roti fără frecare în jurul unei axe orizontale fixe ce nu trece prin centrul de greutate al corpului. Dacă este scos din poziţia de echilibru, corpul execută oscilaţii în jurul axei de suspensie. Pendulul fizic este de fapt o aplicaţie a mişcării de rotaţie a rigidului cu axă fixă.

Mg

d

ϕC

O

R x

R y Fig. 12.2 Alegem sistemele de referinţă, fix şi mobil, ca în figura 12.2, astfel încât axa Ox să treacă prin centrul de greutate C. Notăm cu φ unghiul de rotaţie pe care axa Ox îl face cu O1x1. Se presupun cunoscute: masa M a corpului, momentul de inerţie Jz faţă de axa de rotaţie şi distanţa d dintre centrul de greutate C al corpului şi axa de rotaţie (d = OC).

Se urmăreşte deducerea ecuaţiei diferenţiale a mişcării oscilatorii, ecuaţia mişcării în cazul micilor oscilaţii şi reacţiunea axei.

Punem în evidenţa greuatea pendulului, componentele reacţiunii axei şi aplicăm teorema momentului cinetic faţă de axa fixă de rotaţie:

(12.24) zz MK =&

Deoarece,

ω= zz JK ; ϕ=ω & ; ϕ−= sindgMMz , (12.25)

251

Dinamica

ecuaţia (12.24) devine:

ϕ−=ϕ sindgMJz && (12.26)

sau,

0sinJ

Mgd

z=ϕ+ϕ&& (12.27)

şi se numeşte ecuaţia diferenţială a mişcării. Făcând notaţia

zJ

Mgdp = (12.28)

Obţinem ecuaţia: (12.29) 0sinp2 =ϕ+ϕ&&

În cazul micilor oscilaţii ( ) sinusul unghiului se poate aproxima

cu unghiul şi ecuaţia diferenţială (12.29) va fi de forma:

o5≤ϕ

(12.30) 0p2 =ϕ+ϕ&&care are soluţia generală:

)ptsin(C)ptcos(C 21 +=ϕ (12.31) Dacă la t=0, α=ϕ şi 0=ϕ& , ecuaţia de mişcare este: (12.32) )ptcos(α=ϕ Ca şi în cazul pendulului simplu avem de a face cu o mişcare oscilatorie

armonică de perioadă:

gl2

MgdJ

2p

2T'

z π=π=π

= (12.33)

S-a notat cu =OO’ lungimea pendulului simplu sincron cu pendulul

fizic. 'l

MdJl z' = (12.34)

252


Pentru oscilaţii mari se poate folosi formula:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ α+π=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ α

+π= 2'

2'

1611

gl2

2sin

411

gl2T 12.35)

Conform teoremei lui Steiner: (12.36) 2

Cz MdJJ +=

Înlocuind (12.36) în relatia (12.34) obţinem: (12.37) ''' ldl +=

unde,

MdJ

l C'' = (12.38)

Din (12.37) deducem că distanţa este mai mare ca d (centrul de

greutate este situat între O şi O’). Dacă punctul O’ ar fi considerat liber ar avea aceeaşi mişcare ca şi pendulul simplu sincron cu pendulul fizic. Punctul O se numeşte centru de suspensie, iar O’ centru de oscilaţie. Axele orizontale corespunzătoare se numesc respectiv axă de suspensie şi axă de oscilaţie.

'l

Relaţia (12.38) sub forma:

MJ

dl C'' =⋅ (12.39)

arată că distanţele d şi l” îşi pot schimba rolurile, adică dacă axa de oscilaţie devine axă de suspensie atunci axa de suspensie devine axă de oscilaţie, sau altfel spus în raport cu cele două axe pendulul este reversibil. Pentru determinarea componentelor reacţiunii din O aplicăm teorema mişcării centrului de masă: lylxC RRgMaM ++=⋅ (12.40) care proiectată pe axele sistemului de referinţă mobil Oxy duce la:

(12.41)

lz

ly

lx2

R0

RsinMgdMRcosMgdM

=

+ϕ−=ϕ+ϕ=ϕ−

&&

&

253

Dinamica

Din (18) se obţin proiecţiile reacţiunii din O:

(12.42)

0R

dMsinMgRdMcosMgR

lz

ly

2lx

=

ϕ+ϕ=ϕ−ϕ−=&&

&

Se multiplică relatia (12.27) cu şi se integrează: ϕd

CcosJ

Mgd2 z

2+ϕ=

ϕ& (12.43)

Constanta de integrare C se determină din condiţiile iniţiale ale mişcării. Dacă la 00 ,,0t ω=ϕϕ=ϕ= & atunci,

)cos'l

g2(21)cos

JMgd2(

21C 0

200

z

20 ϕ−ω=ϕ−ω= (12.44)

şi

)cos(cosJ

Mgd2 0z

20

22 ϕ−ϕ⋅+ω=ω=ϕ& (12.45)

Tinând seama de (12.27) şi (12.45) expresiile (12.42) devin:

)cos

JMgd2(Mdcos)

JMd21(Mg

)cos(cosJ

Mgd2(MdcosMgR

0z

20

z

2

0z

20lx

ϕ−ω−ϕ+−

=ϕ−ϕ⋅+ω−ϕ−=

(12.46)

ϕ−=ϕ−ϕ= sin)J

Md1(MgsinJ

MgdMdsinMgRz

2

zly (12.47)

0R lz = (12.48) Înlocuind în (12.46) şi (12.47) 'lMdJz = şi tînând seama că , expresiile componentelor reacţiunii din articulţia O vor fi:

''' ldl =−

ϕ=

−ϕ+

−=

sin'l''lMgR

MdC2cos'ld2'lMgR

ly

lx (12.49)

254


Se observă că proiecţia nu depinde de condiţiile inţiale şi că amândouă proiecţiile sunt funcţii de deci periodice de timp.

lyR,ϕ

Din (12.43) rezultă că dacă zJ

MgdC > , viteza unghiulară îşi păstrează

sensul şi pendulul devine rotatoriu, adică se roteşte necontenit în jurul axei de suspensie. 12.3. Dinamica mişcării plane Se consideră în figura 12.3 o placă plană (Pm) de masă M aflată în mişcare într-un plan fix sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare iF , coplanare cu placa, aplicate în punctele iA ( ),n,2,1i …= .

C

r (P )m

ωϕ

k 1

i1

j 1

j

i

ϕ

k 1k=

ε x

yA1

F1

a

AnFnAi

Fi

Fig. 12.3 Pentru studiul mişcării se alege, ca în figura 12.3, un sistem de referinţă fix, , şi un altul mobil legat de placă, , C fiind centru de masă al plăcii, cu planele şi suprapuse.

1111 zyxO Cxyz

111 yxO Cxy Fiind date condiţiile iniţiale ale mişcării:

001C1C

01C1C0

01C1C

01C1C ω;yy;xx;;yy;xx0;t =ϕ==ϕ=ϕ=== &&&&&

(12.50) se cere determinarea ecuaţiilor de mişcare ale plăcii:

; ( )txx 1C1C = ( )tyy 1C1C = ; ( )tϕ=ϕ (12.51) Aplicând teorema mişcării centrului de masă şi teorema momentului cinetic în raport cu axa Cz, normală în centrul de masă pe planul mişcării, se obţin ecuaţiile diferenţiale ale mişcări plăcii:

255

Dinamica

(12.52) (∑∑∑===

−=ϕ==n

1iixiiyiz

n

1iiy1C

n

1iix1C FyFxJ;FyM;FxM

11&&&&&& )

S-au făcut notaţiile: M-masa plăcii; -momentul de inerţie al plăcii în raport cu axa Cz; -coordonatele punctului C în planul ; -unghiul de rotaţie dintre axa Cx şi ; - proiecţiile forţei

zJ

1C1C y,x 111 yxO ϕ

11xO11 iyix F,F iF pe axele

sistemului ; - proiecţiile forţei pe axele sistemului Cxy, -coordonatele punctului în planul Cxy.

111 yxO iyix F,F iF

ii y,x iA Prin integrarea ecuaţiilor diferenţiale (12.52), luând în considerare condiţiile iniţiale ale mişcări se obţin legile de mişcare (12.51). În cazul în care placa este supusă la legături în ecuaţiile (12.26) se introduc şi reacţiunile corespunzătoare ce se constituie în elemente necunoscute. Pentru a completa numărul de ecuaţii la sistemul (12.26) se mai adaugă restricţiile geometrice impuse de legături (ecuaţiile legăturilor). 12.4. Dinamica rigidului cu punct fix 12.4.1 Ecuaţiile dinamice ale lui Euler

θ

ϕψ

k 1

j 1

k

iθ,θ

ψ,ψϕ,ϕ

ni1

ω

j

pq

Q

=

(C)

θϕ

ψ

P

ωx

ωy

ωz

A1

F1

Fn

Ai

Fi

An

R

jR

R

OMjOM

a) b)

(C)

Fig. 12.4 Se consideră în figura 12.4a un rigid (C) aflat în mişcare sferică în jurul

unui punct fix O sub acţiunea unui sistem de forţe )n,...,2,1i(Fi = echivalent, în punctul O, cu un torsor (fig. 12.4b) având ca elemente:

256


∑∑==

×==n

1iiiO

n

1ii FrM ; FR (12.53)

Presupunând că legătura din O este o cuplă sferică cu frecare neglijabilă se cere determinarea ecuaţiilor de mişcare ale rigidului şi reacţiunea legăturii.

Pentru rezolvarea problemei utilizăm teorema de mişcare a centrului de masă şi teorema de variaţie a momentului cinetic în raport cu punctul fix O:

⎩⎨⎧

=+=

OO

lCMK

RRaM& (12.54)

care puse sub forma:

⎩⎨⎧

=−−=

OO

ClMK

aMRR& (12.55)

şi proiectate pe axele reperului mobil conduc la:

(12.56)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−++−+−=

−++−++−=

++−++−+−=

])zωω()yεωω()xεωω[(MRR])zεωω()yωω()xεωω[(MRR])zεωω()yεωω()xωω([MRR

C2x

2ycxyzCyxzzlz

Cxzyc2z

2xCzxyyly

CyzxczyxC2y

2zxlx

(12.57) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+=−+=−+

zyxxyzz

yxzzxyy

xzyyzxx

Mω)ωJ(JεJMω)ωJ(JεJMω)ωJ(JεJ

S-a considerat ca sistemul de referinţă Oxyz, legat de corpul rigid, este sistem principal de inerţie. În capitolul 14 se va arăta că vectorul CaM− este vectorul rezultant al

forţelor de inerţie jR iar oK&− este momentul rezultant al aceloraşi forţe în raport cu punctul fix O. Ecuaţiile (12.31) se numesc ecuaţiile diferenţiale ale mişcării rigidului cu punct fix sau ecuaţiile dinamice ale lui Euler. Cu ajutorul lor se rezolvă cele doua probleme fundamentale:

a) Se dau momentele axiale:

257

Dinamica

(12.58) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

ϕϕ=ϕϕ=ϕϕ=

),θ,ψ,θ,ψ,(t,MM),θ,ψ,θ,ψ,(t,MM) ,θ,ψ,θ,ψ,(t,MM

zz

yy

xx

&&&

&&&

&&&

şi condiţiile iniţiale ale mişcării:

000

000

θθ;;ψψθθ;;ψψ

0t &&&&&& =ϕ=ϕ==ϕ=ϕ=

= (12.59)

Se cer ecuaţiile de mişcare:

(t) θ(t);θ ψ(t);ψ ϕ=ϕ== (12.60) Viteza unghiulară ω poate fi exprimată în două moduri:

kωjωiωω zyx ++= ; knθkψθψω 1 ⋅ϕ+⋅+⋅=ϕ++= &&&&&& (12.61) Formula a doua (12.35) care exprimă faptul că viteza unghiulară a rigidului este egală cu suma dintre viteza unghiulară de precesie, nutaţie şi de rotaţie proprie a fost obţinută pe baza compunerii rotaţiilor concurente: 32211030 ωωωω ++= ; ϕ==== &&&

32211030 ω ; θω ; ψω ; ωω (12.62) Egalând cele două expresii (12.31) şi înmulţindu-le succesiv cu versorii

k ,j ,i obţinem proiecţiile vitezei unghiulare pe axele mobile (a se vedea şi relaţia (8.141):

(12.63) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

ϕ+=ϕ−ϕ=ϕ+ϕ=

&&

&&

&&

cosθψωsinθcossinθψωcosθsinsinθψω

z

y

x

Proiecţiile acceleraţiei unghiulare ε pe axele mobile rezultă din

derivarea relaţiilor (12.63) în raport cu timpul (a se vedea şi relaţia (8.144):

(12.64) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−ϕ+=ϕϕ−ϕϕ−ϕ+ϕ−ϕ=ϕϕ+ϕϕ−ϕ+ϕ+ϕ=

sinθθψcosθψεsinsinθψcosθcoscosθθψsinθcossinθψεcossinθ ψsin θsincosθθψcosθsinsinθψε

z

y

x

&&&&&&

&&&&&&&&&&

&&&&&&&&&&

258


Înlocuind (12.58),(12.63) şi (12.64) în (12.57) se obţin 3 ecuaţii diferenţiale de forma:

(12.65) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=ϕϕϕ=ϕϕϕ=ϕϕϕ

0),θ,ψ, ,θ,ψ,θ,ψ,(t,f0),θ,ψ, ,θ,ψ,θ,ψ,(t,f0),θ,ψ, ,θ,ψ,θ,ψ,(t,f

3

2

1

&&&&&&&&&

&&&&&&&&&

&&&&&&&&&

Prin integrarea sistemului (12.65), ţinând seama de condiţiile iniţiale (12.59), rezultă ecuaţiile de mişcare: (t) ; θ(t)θ ; ψ(t)ψ ϕ=ϕ== (12.66) Sistemul (12.65) nu a fost integrat analitic decât în trei cazuri particulare: 1) Cazul Euler-Poinsot care presupune 0MMM zyx === , 2) Cazul Lagrange-Poisson în care se consideră yxCC JJ;0yx === , 3) Cazul Sofia Kovalevskaia în care zyxC J2JJ;0z === .

b) Se dau ecuaţiile de mişcare de forma (12.66) şi se cer: ; )M,M,(MM zyxO ).R,R,(RR lzlylxl

Problema se rezolvă cu relaţiile (12.56) şi (12.57), în care se introduc expresiile (12.63) şi (12.64).

12.4.2. Mişcarea de precesie regulată

A.I.R.

ω

ω1ω2

OM

xM

yM

(C)

=

axoida

axoida fixa

mobila

Fig. 12.4

259

Dinamica

Un rigid execută o mişcare sferică de precesie regulată (fig. 12.4) dacă viteza unghiulară de precesie este constantă, viteza unghiulară de rotaţie proprie este constantă şi unghiul de nutaţie θ ramâne constant:

(12.67) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

==ϕ=

(ct) θθ(ct) ω(ct) ωψ

0

2

1&

&

Prin integrare obţinem: 00201 θθ;tω;ψtωψ =ϕ+=ϕ+= (12.68)

Se urmăreşte determinarea momentului OM al forţelor ce trebuie aplicate rigidului astfel încât să execute o mişcare sferică având legile de mişcare (12.42). Utilizând relaţiile (12.37) şi (12.38) obţinem:

; (12.69) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=ϕ⋅=ϕ⋅=

21z

1y

1x

ωcosθωωcossinθωωsinsinθωω

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=ϕ⋅−=ϕ⋅=

0εsinsinθωωε

cossinθωωε

z

21y

21x

Înlocuind (12.43) în (12.31) rezultă:

(12.70) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

ϕ⋅ϕ⋅−=

ϕ⋅+−+−=ϕ⋅+−+=

cossinθsinω)J(JMsinθsinω)]ωθcosω)(J(Jω[JM

cosθsinω)]ωθcosω)(J(Jω[JM

221xyz

121xz2yy

121yz2xx

Considerând că xy JJ = , relaţiile (12.70) se pot pune sub forma:

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

ϕ⋅⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−=

ϕ⋅⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+=

0M

sinθsinωωθcosωω)J(JJM

cosθsinωωθcosωω)J(JJM

z

212

1xzzy

212

1xzzx

(12.71)

Relaţiile (12.71) arată că vectorul OM este dirijat după axa nodurilor. Într-adevăr:

260


ϕ=−

tgMM

x

y (12.72)

Vectorul OM poate fi exprimat prin produsul vectorial:

, ωωθcosωω)J(JJM 21

2

1xzzO ×⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+= (12.73)

modulul lui fiind

θsinωωθcosωω)J(JJM 21

2

1xzzO ⋅⋅⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+= (12.74)

Dacă , atunci momentul rezultant poate fi aproximat cu: 12 ωω >>

21zO ωωJM ×= ; θsinωωJM 21zO ⋅⋅= (12.75) Aşadar, pentru a avea o mişcare de precesie regulată a unui rigid de

revoluţie care se roteşte în jurul unui punct fix de pe axa de revoluţie, este necesar ca momentul rezultant al forţelor ce acţionează asupra rigidului să fie plasat pe axa nodurilor, având expresia (12.74) sau (12.75), atunci când

.02

1 ≅ωω

12.4.2 Giroscopul

θ

ϕψ

k

i

θ

ψϕ

n

j

=OM

h

G

C

Giroscopul este un rigid cu un punct fix O al cărui elipsoid de inerţie corespunzător acestui punct este de rotaţie faţă de axa mobilă Oz, solidară cu rigidul ( yx JJ = ) în jurul careia are o mişcare relativă de rotaţie cu viteza unghiulară 2ω foarte mare şi asupra căruia acţionează numai greutatea proprie G (fig. 6.5). Adesea centrul de greutate corespunde cu punctul fix.

Fig. 6.5

261

Dinamica

Se observă că:

( ) θsinhGnkGkhGOCM 1O =−×=×= (12.76) (12.77) θsinhGMO =

Prin urmare momentul OM acţionează după axa nodurilor şi respectă condiţia de precesie regulată. Notând cu OjO KM &−= (12.78) teorema de variaţie a momentului cinetic poate fi scrisă sub forma: 0MM jOO =+ (12.79)

Vectorul jOM se numeşte momentul rezultant al forţelor de inerţie, iar ecuaţia (12.53) ecuaţie de echilibru cineto-static (a se vedea capitolul 14). Vectorul 0jg MM = se numeşte moment giroscopic şi este momentul cu care giroscopul acţionează prin legăturile sale asupra sistemului în care este montat. Luând în considerare (12.49) rezultă 12z21zg ωωJωωJM ×=×−= (12.80)

(12.81) sinθωωJM 12zg = Egalând (12.81) cu (12.77) rezultă

2z

1 ωJhGω

⋅⋅

= (12.82)

Viteza unghiulară de precesie este cu atât mai mică cu cât viteza unghiulară de rotaţie proprie

1ω

2ω este mai mare şi cu cât centrul de greutate al giroscopului va fi mai apropiat de punctul O. În realitate frecările din lagăre conduc la micşorarea vitezei unghiulare 2ω şi creşterea vitezei unghiulare . 1ω Dintre aplicaţiile tehnice ale giroscopului se pot enumera: restabilizator în cazul trenurilor monorai; combaterea tangajului şi ruliului în navigaţie; menţinerea direcţiei avioanelor şi rachetelor. În calculul şi proiectarea arborilor turbinelor, momentul giroscopic are o pondere apreciabilă.

262

13. Ciocniri şi percuţii

13. CIOCNIRI ŞI PERCUŢII Fenomenul mecanic în care vitezele liniare şi/sau unghiulare ale sistemelor materiale au o variaţie finită semnificativă într-un interval de timp foarte scurt se numeşte ciocnire sau şoc. Exemple: un automobil în viteză care se loveşte de un obstacol, aplicarea unei legături rigide unui corp aflat în mişcare, forjarea şi ştanţarea, angrenarea bruscă a două mecanisme din care unul se află în mişcare şi celălalt în repaus, lovirea cu berbecul sonetei a capătului pilotului pentru a-l înfige în pământ, etc. 13.1. Forţă de percuţie (forţă de percutantă). Percuţie

Δ =F1

F

H(Γ)

(Γ )

m(M )

Fig. 13.1 Se consideră în figura 7.1 o particulă materială M de masă m, izolată

dintr-un sistem aflat în mişcare, care se ciocneşte de un perete fix. La momentul , când începe ciocnirea, punctul are viteza 1t v , iar la momentul , când se

sfârşeşte ciocnirea, punctul are viteza 2t

u . În timpul ciocnirii, asupra punctului acţionează rezultanta 1F a forţelor date şi reacţiunea F a obstacolului. Aplicăm, în cazul acestei particule teorema impulsului sub formă finită:

∫ +=2

1

t

t1 dt)FF(vm-um (13.1)

Forţele care apar în timpul fenomenului de ciocnire sunt foarte mari în

comparaţie cu forţele date sau efectiv aplicate care nu se datoresc ciocnirii şi de aceea în (13.1) putem neglija rezultanta 1F :

∫=2

1

t

t

dtFvm-um (13.2)

263

Dinamica

În timpul foarte scurt cât durează ciocnirea, intensitatea forţei 12- tt F creşte la început foarte repede (faza de comprimare) atingând o valoare foarte mare, după care descreşte până la valoarea zero (faza de destindere). Dacă notăm cu mF forţa medie din intervalul , dată de relaţia: 12- tt

) t-(tFdtF 12m

t

t

2

1

=∫ , (13.3)

rezultă:

)( 12m t-tFvm-um = (13.4)

Întrucât într-o ciocnire intervalul este foarte mic, forţa 12- tt mF trebuie să fie foarte mare pentru ca înmulţită cu să dea o mărime finită. Forţele care apar într-o ciocnire se numesc forţe de percuţie sau percutante, iar vectorul:

12- tt

) t-t(FdtFH 12m

t

t

2

1

== ∫ (13.5)

se numeşte percuţie. 13.2. Ipoteze simplificatoare utilizate în timpul fenomenului de

ciocnire În studiul fenomenului de ciocnire se fac câteva ipoteze simplificatoare:

a) Se neglijează forţele care nu se datoresc ciocnirii cum sunt: greutăţile corpurilor, rezistenţa aerului, fortele elastice, etc. b) În timpul foarte scurt cât durează ciocnirea corpurile nu au mişcări rigide (translaţii, rotaţii, etc.) ci numai se deformează. c) Pentru două materiale date raportul dintre componentele normale ale percuţiilor din faza de destindere ( ) şi de compresiune ( ) este constant: ndH ncH

kHH

nc

nd = (13.6)

Constanta k se numeşte coeficient de restituire a percuţiei sau coeficient de elasticitate la ciocnire şi este cuprins între 0 şi 1. Pentru k 1= ciocnirea este considerată perfect elastică (caz ideal) iar pentru k 0= ciocnirea este perfect plastică (caz ideal), cele două corpuri rămânând în contact după terminarea fenomenului de ciocnire.

264


τ

1O 2O 1O 2O1O 2O 1 21 2

t1 t2Hnd12 Hnd

21Hnc12 Hnc

21

Fig. 13.2

Pentru determinarea coeficientului de restituire a percuţiei se consideră

în figura 13.2 ciocnirea centrică a două sfere având mişcări de translaţie. Vitezele 1v şi 2v ale centrelor sferelor înainte de ciocnire, respectiv 1u şi

2u după ciocnire, sunt situate pe suportul determinat de centrele celor două

sfere. Se notează cu 12ncH şi 21

ncH percuţiile interioare dintre sfere în timpul de

comprimare şi cu 12ndH şi 21

ndH percuţiile interioare din timpul destinderii (relaxării). Conform principiului acţiunii şi reacţiunii:

2121dn

12ndnc

12nc HH;HH −=−= (13.7)

Perioada de comprimare şi cea de destindere sunt separate de momentul când vitezele celor două sfere devin egale. Din scrierea teoremei impulsului pentru faza de comprimare:

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

−=−=

nc21nc222

nc12nc111

HHvm-vm

HHvm-vm ( )( )9.13

8.13

şi faza de destindere:

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

−=−=

nd21nd222

nd12nd111

HHvm-um

HHvm-um ( )( )11.13

10.13

rezultă:

21

2211

21

2211

mmumum

mmvmvmv

++

=++

= (13.12)

265

Dinamica

şi în continuare:

21

2121nc mm

)vv(mmH

+−

= ; 21

1221nd mm

)uu(mmH

+−

= (13.13)

În acest caz coeficientul de restituire a percuţiei este:

21

12

nc

ndvvuu

HH

k−−

== (13.14)

În general la ciocnirea a două corpuri:

nr

nr

2n1n

1n2n

v

u

vvuuk =

−−

= , (13.15)

în care şi sunt proiecţiile pe normala comună a vitezelor celor două puncte care vin în contact, înainte de ciocnire, iar şi sunt proiecţiile pe normala comună a vitezelor aceloraşi două puncte, după ciocnire.

1nv n2v

n1u n2u

13.3. Teoremele fundamentale ale ciocnirilor

ri

m(M )n n

m(M )i im(M )1 1 iint

iext

Hiext

iint

next

1extH

H

H

H H+

Fig. 13.3

În figura 7.3 este reprezentat un sistem de puncte materiale supus

acţiunii unui sistem de forţe percutante exterioare extiF cărora le corespund

percuţiile exterioare extiH ( ),...,n2,1i = . Asupra punctului de masă iM im

266


acţionează percuţia exterioară extiH şi rezultanta

intiH a percuţiilor interioare cu

care celelalte 1n − puncte acţionează asupra punctului . iMPentru fiecare punct se poate scrie teorema impulsului: iM

inti

extiiiii HHvmum +=− (13.16)

Se scriu relaţii de tipul (13.16) pentru toate punctele sistemului şi se sumează membru cu membru:

∑∑∑∑====

+=−n

1i

inti

n

1i

exti

n

1iii

n

1iii HHvmum (13.17)

În relaţia (13.17) termenul ∑=

n

1iiivm reprezintă impulsul total sau

cantitatea de mişcare totală a sistemului la momentul - începutul ciocnirii ,

iar termenul

1t

∑=

n

1iii um este impulsul total la momentul - sfârşitul ciocnirii.

Termenul

2t

∑=

n

1i

intiH este nul, deoarece forţele de percuţie interioare, conform

principiului acţiunii şi reacţiunii sunt două câte două egale şi direct opuse. Ţinând seama de relaţiile:

∑ ∑ ∑= = =

===n

1i

n

1i

n

1i

inti2ii1ii 0H ;Pum ;Pvm , (13.18)

expresia (13.17) devine:

∑=

=−n

1i

exti12 HPP (13.19)

Relaţia (13.19) exprimă I-a teoremă fundamentală a ciocnirilor conform

căreia: “Variaţia cantităţii de mişcare a unui sistem de puncte materiale în timpul unei ciocniri este egală cu suma percuţiilor exterioare care acţionează asupra lui”.

În timpul 12 tt − extrem de scurt se consideră că poziţiile punctelor materiale care formează sistemul nu se modifică. Înmulţind relaţia (13.17) cu vectorul de poziţie ir al punctului şi sumând membru cu membru pentru valori ale indicelui de la 1 la n obţinem:

iM

267

Dinamica

∑ ∑∑∑= ===

×+×=×−×n

1i

n

1i

intii

n

1i

extiiiii

n

1iiii HrHrumrvmr (13.20)


∑=

=×n

1iO1iii Kvmr , (13.21)

adică momentul cinetic faţă de punctul fix O al sistemului de puncte materiale înainte de ciocnire;

∑=

=×n

1iO2iii Kumr , (13.22)

adică momentul cinetic faţă de punctul fix O al sistemului de puncte materiale dupa ciocnire;

∑=

=×n

1i

intii 0Hr , (13.23)

deoarece percuţiile interioare sunt perechi, egale în modul şi de sensuri contrarii. Ţinând seama de (13.21) - (13.23), relaţia (13.20) devine:

∑=

×=−n

1i

extiiO1O2 HrKK (13.24)

şi exprimă cea de-a II-a teoremă fundamentală ciocnirilor cu umătorul enunţ : “Variaţia momentului cinetic total în timpul unei ciocniri este egală cu suma momentelor percuţiilor exterioare ale sistemului faţă de acelaşi punct fix”. Se înmulţeşte scalar relaţia (13.17) cu iu :

iintii

extiiii

2ii uHuHuvmum ⋅+⋅=− , (13.25)

se pune sub forma:

( ) iintii

exti

2iii

2ii

2ii uHuHvum

21vm

21um

21

⋅+⋅=−+−

268


şi se aplică operatorul : ∑=

n

1i

( ) ∑∑∑∑∑=====

⋅+⋅=−+−n

1ii

inti

n

1ii

exti

n

1i

2iii

n

1i

2ii

n

1i

2ii uHuHuvm

21vm

21um

21 (13.26)


C1n

1i

2ii Evm

21

=∑=

(13.27)

- este energia cinetică a sistemului de puncte materiale la începutul ciocnirii;

∑=

=n

1iC2

2ii Eum

21 (13.28)

– este energia cinetică a sistemului la sfârşitul ciocnirii;

CPn

1i

2iii E)uv(m

21

=−∑=

, (13.29)

– este energia cinetică a sistemului corespunzătoare vitezelor pierdute. În cazul când membrul drept este nul:

0uHuHn

1i

n

1ii

intii

exti =⋅+⋅∑ ∑

= =, (13.30)

relaţia (13.26) devine:

CPC2C1 EEE =− (13.31)

şi este cunoscută sub numele de teorema lui Carnot: “Energia cinetică pierdută prin ciocnire este egală cu energia cinetică

corespunzătoare vitezelor pierdute”. Relaţia (13.30) are loc atunci când: a) sistemul nu are percuţii exterioare iar cele interioare corespund unor legături care nu produc lucru mecanic .

b) sistemul este rigid ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅∑

=0uH

n

1ii

inti şi i se introduce brusc condiţia ca unul

sau mai multe puncte să se mişte pe curbe sau suprafeţe fără frecare sau cu frecare dar mişcarea ulterioară să fie o rostogolire fără alunecare .

269

Dinamica

13.4. Ciocnirea oblică a două sfere

1O 2O n2

α 2α

1

t2

2

t1

n1

1

Fig. 13.4

Considerăm două sfere şi de mase şi (fig. 13.4) care au

vitezele înainte de ciocnire vitezele 1O 2O 1m 2m

1v şi 2v . Vitezele fac cu direcţia unghiurile respectiv

21OO

1α 2α . Se cer vitezele centrelor sferelor după ciocnire.

Presupunând că la contactul dintre sfere nu apar forţe de frecare şi ca urmare, nici percuţii tangenţiale, percuţia interioară va avea direcţia centrelor sferelor. Descompunem vitezele 1v şi 2v în două componente, una după direcţia normalei comune şi cealaltă în planul tangent comun:

22t222n2

11t111n1

αsinv v;αcosvvαsinv v;αcosvv

==

== (13.32)

Prin ciocnire componentele şi nu se modifică şi ca urmare: 1tv 2tv

t2t2t1t1 vu ;vu == (13.33)

Scriem teorema impulsului pentru cele două faze ale ciocnirii, de compresiune şi de destindere:

(13.34) ⎩⎨⎧

=−−=−

⎩⎨⎧

=−−=−

ndn2n22

ndn1n11

ncn22n2

ncn11n1HvmumHvmum

HvmvmHvmvm

la care ataşăm:

nc

ndHH

k = (13.35)

270


Din (13.34) şi (13.35) obţinem componentele normale şi ale vitezelor centrelor după ciocnire:

1nu 2nu

21

2n21n21n1 mm

vk)m(1)vkm(mu

+++−

= (13.36)

21

1n12n12n2 mm

vk)m(1)vkm(mu+

++−= (13.37)

1O 2O n2

β 2β

1t2

2

t1

n1

1

Fig. 13.5

Vitezele vor face după ciocnire, cu direcţia , unghiurile ,

respectiv (fig.13.5), unghiuri ce pot fi determinate din relaţiile: 21OO 1β

2β

n2

t22

n1

t11 u

uβ tg;

uu

βtg == (13.38)

Caz particular:

α

β

1

1

Fig. 13.6

O bilă care loveşte un perete cu viteza făcând un unghi cu normala în punctul de contact (fig.13.6). Componenta

1v ααsin1v după direcţia

peretelui nu se modifică, cealaltă îşi schimbă sensul şi devine . αcosvk 1

271

Dinamica

După ciocnire bila va avea viteza:

122

122

1222

11 vαkcosαsinvαcosvkαsinvu ≤+=+= , (13.39)

care face unghiul 1β cu normala:

tgαk1tgβ1 = (13.40)

13.5. Ciocnirea unei sfere cu un corp aflat în mişcare de rotaţie

în jurul unei axe fixe

l=r s

inψ r

O

H

ω

ψ

ω

ω rω r

(C)

A

Fig. 13.7

Se consideră în figura 13.7 un corp (C) care se roteşte cu viteza unghiulară “ ω” în jurul axei Oz, având momentul de inerţie în raport cu axa de rotaţie este . Corpul este ciocnit în A de o sferă de masă “m”, care are viteza “v” conţinută în planul Oxy şi dirijată după normala comună în punctul de contact. Direcţia vitezei face cu direcţia determinată de punctele A şi O unghiul

. În urma ciocnirii bila va avea viteza “u” iar corpul viteza unghiulară “ ω”. Valoarea coeficientului de restituire este “k”.

zJ

ψ

Se urmăreşte determinarea vitezei u a bilei după ciocnire şi vitezei unghiulare a corpului după ciocnire. ,ω

În timpul ciocnirii asupra sistemului corp-bilă acţionează percuţia interioară dintre bilă şi corp şi percuţia exterioară H din articulaţia O. Pentru a elimina percuţia de legătură H se aplică teorema momentului cinetic faţă de axa de rotaţie ţinându-se seama că percuţiile din punctul de contact sunt egale în modul şi direct opuse:

0KK 1Oz2Oz =− (13.41)

272


Relaţia (13.41) se explicitează şi se adaugă expresia coeficientului de restituire:

0sinrvmωJsinrumω J zz =ϕ⋅⋅⋅−−ϕ⋅⋅⋅+′ (13.42)

ϕ⋅−

−ϕ⋅=

sinrωvusinr'ωk (13.43)

Vom nota cu l distanţa de la O la normala comună:

ϕ⋅= sinrl (13.44)

Rezolvând sistemul de ecuaţii (13.42), (13.43) cu luarea în considerare a notaţiei (13.44) obţinem:

( )( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+−+=′

2z

ml

J1l

k1lωvωω (13.45)

( )( )

z

2

Jml1

k1lωvvu+

+−−= (13.46)

13.6. Determinarea percuţiilor de legătură în cazul rigidului cu ax fix supus unei percuţii exterioare. Centru de percuţie

ω

ε

=

h

C(x ,0,z )A(x ,y ,z )

r

z

x

1H

2H

AHr

Fig. 13.8

273

Dinamica

Se consideră în figura 13.8 un rigid (C) aflat în mişcare de rotaţie în jurul axei fixe , cu viteza unghiulară 21OO ω . Sistemul de referinţă Oxyz legat de corp se alege astfel încât centrul de greutate C al corpului să fie conţinut în planul . Se cunosc: masa M a corpului şi momentele de inerţie mecanice axiale şi centrifugale: , , , , , , ale corpului faţă de axele şi respectiv planele sistemului de referinţă ales.

zOxxJ yJ zJ xyJ yzJ zxJ

La momentul , în punctul A, este aplicată corpului percuţia 1t AH . Se cere determinarea vitezei unghiulare 'ω a corpului la momentul - sfârşitul ciocnirii şi a percuţiilor

2t

1H şi 2H din cele două articulaţii. În acest scop vom utiliza expresiile teoremei impulsului şi momentului cinetic în cazul ciocnirilor:

⎪⎩

⎪⎨⎧

×+×=−

++=−

22AAO1O2

21A12

HOOHrKK

HHHPP (13.47)

unde:

jxωMz0xω00kji

MrωMvMP C

CC

CC1 ⋅==×== ;

jxωMz0xω00kji

MrωMuMP C

CC

CC2 ⋅′=′=×′== ;

kHjHiHH AzAyAxA ++= ;

kHjHiHH 1z1y1x1 ++= ; kHjHiHH 2z2y2x2 ++= ;

kωJjωJiωJK zzyzxO1 +−−= ; kωJjωJiωJK zzyzxO2 ′+′−′−= ;

( ) ( ) ( )kHyHxjHxHziHzHyHr AxAAyAAzAAxAAyAAzAAA −+−+−=× ;

274


jhHihHHHH

h00kji

HOO 2x2y

2z2y2x

22 +−==×

Proiectând ecuaţiile (13.47) pe axele reperului Oxyz obţinem:

(13.48) (( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−′=−

−′−=+−

−′−=−−

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++

=++=++

ωωJ HyHx

ωωJhHHxHz

ωωJhHHzHy

0HHH

0HHH0HHH

zAxAAyA

zy2xAzAAzA

zx2yAyAAzA

2z1zAz

2y1yAy

2x1xAx

)

Din sistemul de ecuaţii (13.48) rezultă:

z

AxAAyA

JHyHx

ωω−

+=′ (13.49)

( )[ ]ω-ωJHxHzh1H zyAzAAxA2x ′+−−= (13.50)

( )[ ]ω-ωJHzHyh1H zxAyAAzA2y ′+−= (13.51)

( )[ ] AxzyAzAAxA1x Hω-ωJHxHzh1H −′+−= (13.52)

( )[ ] ( ωωMHω-ωJHzHyh1H

CxAyzxAxAAzA1y −′+−′+−−= ) (13.53)

Az2z1z HHH −=+ (13.54)

Componentele şi sunt nedeterminate dacă axa de rotaţie este rigidă (are două cuple sferice). Dacă una din cele două cuple sferice se înlocuieşte cu o articuaţie cilindrică, ce permite deplasarea de-a lungul axei Oz, problema devine determinată. Dacă în articulaţia este cilindrică atunci:

z1H z2H

2O

275

Dinamica

Az1z2z HH 0,H −== (13.55)

În practică se pune problema eliminării percuţiilor din cele două articulaţii. Din relaţiile (7.50-7.53) şi (7.55) rezultă că 1H şi 2H sunt nule dacă:

1. ( )ωωMxH 0;H 0;H cAyAzAx −′=== adică percuţia să fie perpendiculară pe planul determinat de axa de rotaţie şi centrul maselor.

2. 0J yz = adică axa de rotaţie trebuie să fie axă principală de inerţie pentru punctul în care planul dus prin percuţie perpendicular pe axa de rotaţie, intersectează axa.

3. === Ac

xzA

c

zA y ;

MxJz ;

MxJx nedeterminat

adică punctul de aplicaţie al percuţiei exterioare trebuie să se găsească pe o dreaptă perpendiculară pe planul determinat de axa de rotaţie şi centrul maselor, dreaptă rezultată din intersecţia planelor.

c

xz

c

zMxJz ;

MxJx == (13.56)

Orice punct al acestei drepte se este centru de percuţie.

276

14. Noţiuni de Mecanică analitică

14. NOŢIUNI DE MECANICA ANALITICĂ

Mecanica analitică utilizează metode directe de determinare a ecuaţiilor diferenţiale de mişcare în care nu mai apar forţele de legătură. În Mecanica analitică sunt studiate sistemele materiale supuse indeosebi la legături ideale (fără frecare) ceea ce restrânge în oarecare măsură domeniul ei de aplicabilitate. Legăturile sunt tratate diferit de modul folosit în statică. 14.1. Legături

În Mecanică legătura reprezintă o constrângere geometrică a poziţiilor

punctelor materiale ce alcătuiesc sistemul. Aceste restricţii pot fi exprimate analitic sub forma unor relaţii fie între coordonate (deplasări finite) fie între deplasări infinitezimale. De exemplu obligaţia unui punct material de coordonate x, y, z de a rămâne pe o suprafaţă se poate exprima fie prin ecuaţia suprafeţei:

0z) y, f(x, = (14.1)

care impune o restricţie coordonatelor punctului, fie prin relaţia diferenţială:

0dzzfdy

yfdx

xf

=∂∂

+∂∂

+∂∂ ; 0rdf =⋅∇ (14.2)

care impune o restricţie deplasării infinitezimale rd a punctului. Relaţiile (14.1) şi (14.2) sunt echivalente, relaţia (14.2) obţinându-se din (14.1) prin diferenţiere, respectiv (14.1) se obţine din (14.2) prin integrare. Şi relaţii de forma:

0dz z)y,R(x,dy z)y,Q(x,dx z)y,P(x, =++ (14.3)

exprimă tot o legătură. Pentru ca (14.3) să fie integrabilă trebuie îndeplinite condiţiile lui Cauchy:

,zP

xR ;

yR

zQ ;

xQ

yP

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂ (14.4)

adică funcţiile P, Q şi R trebuie să fie derivatele parţiale ale aceleiaşi funcţii f(x,y,z):

zfR ;

yfQ ;

xfP

∂∂

=∂∂

=∂∂

= (14.5)

277

Dinamica

În cazul unui sistem de puncte materiale legăturile se exprimă în cazul cel mai general prin p relaţii diferenţiale de forma:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=++++++

=++++++

=++++++

−−

−−

−−

0dzadyadxadzadyadxa

0dzadyadxadzadyadxa0dzadyadxadzadyadxa

nn3,pn1n3,pn2n3,p13p12p11p

nn3,2n1n3,2n2n3,2123122121

nn3,1n1n3,1n2n3,1113112111

L

M

L

L

(14.6)

unde: 3np 1,2,...3n;j p;1,2,...,i );z,y,x,,z,y,(xaa nnn111ijij ≤=== K (14.7)

Pentru ca relaţiile (14.6) să fie independente rangul matricei coeficienţilor deplasărilor infinitezimale:

(14.8)

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

n3,p2p1p

n3,22221

n3,11211

aaa

aaaaaa

K

M

K

K

trebuie să fie egal cu “p”, adică trebuie să existe cel puţin un determinant cu “p” linii şi “p” coloane diferit de zero. Se întâlnesc trei posibilităţi:

a) Legăturile sunt olonome, când cele “p” ecuaţii (14.6) sunt independente şi integrabile, adică exprimabile printr-un număr de “p” relaţii de forma:

p1,2,...,i );z,y,x,,z,y,x nnn111 =K(if (14.9)

Teoretic, din aceste relaţii “p” coordonate pot fi exprimate în funcţie de celelalte 3n-p. Din relaţiile (14.6) tot “p” mărimi diferenţiale pot fi calculate în funcţie de celelalte 3n-p. Rezultă că în cazul legăturilor olonome numărul gradelor de libertate în deplasări finite este egal cu numărul gradelor de libertate în deplasări infinitezimale (h=3n-p).

b) Legăturile sunt neolonome, când toate sau o parte din relaţiile independente (14.6) sunt neintegrabile, deci neexprimabile prin relaţii de forma (14.9).

Să presupunem că există k < p relaţii integrabile, restul p – k fiind neintegrabile. Din cele k relaţii un număr de k coordonate pot fi determinate în funcţie de celelalte 3n-k, deci în deplasări finite numărul gradelor de libertate

278


este =3n-k. În deplasări infinitezimale numărul gradelor de libertate este =3n-p. Deoarece k < p rezultă >

h′h ′′ h′ h ′′ , adică în cazul legăturilor neolonome numărul gradelor de libertate în deplasări finite este mai mare decât numărul gradelor de libertate în deplasări infinitezimale.

c) Legăturile sunt critice, când numărul gradelor de libertate în deplasări finite este mai mic decât numărul gradelor de libertate în deplasări infinitezimale.

Să presupunem că între coordonatele punctelor există p relaţii independente de forma (14.9) şi ca urmare numărul gradelor de libertate în deplasări finite este pn3h −=′ . Prin diferenţiere se obţin p relaţii de forma (14.6). Dacă rangul matricei (14.8) este k < p atunci numărul gradelor de libertate în deplasări infinitezimale este kn3h −=′′ . Întrucât k < p rezultă

> . h ′′ h′În funcţie de dependenţa de timp legăturile se clasifică în scleronome şi

reonome. Legăturile independente de timp se numesc scleronome iar cele care depind de timp se numesc reonome. Un exemplu de legătură olonomă – scleronomă a unui punct material este sfera fixă de ecuaţie:

(14.10) 0rzyx 2222 =−++

Un exemplu de legătură olonomă – reonomă a unui punct poate fi o sferă cu centrul mobil şi raza variabilă:

(14.11) 0ut)rct)zbt)yat)(x 2222 =+−−+−+− (((

O legătură exprimată printr-o relaţie neintegrabilă de forma (14.3) este numită legătură neolonomă – scleronomă iar o relaţie neintegrabilă de forma:

0dt t)z,y,T(x, dz t)z,y,R(x,dy t)z,y,Q(x,dx t)z,y,P(x, =+++ (14.12)

este numită legătură neolonomă – reonomă a punctului. Relaţiile (14.6) în cazul legăturilor reonome devin:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=+++++++

=+++++++

=+++++++

−−

−−

−−

0dtbdzadyadxadzadyadxa

0dtbdzadyadxadzadyadxa0dtbdzadyadxadzadyadxa

pnn3,pn1n3,pn2n3,p13p12p11p

2nn3,2n1n3,2n2n3,2123122121

1nn3,1n1n3,1n2n3,1113112111

L

M

L

L

(14.13)

279

Dinamica

în care: 3np 1,2,...3n;j p;1,2,...,i t);,z,y,x,,z,y,(xb b

t);,z,y,x,,z,y,(xaa

nnn111ii

nnn111ijij

≤===

=

K

K

(14.14)

Dacă relaţiile (14.13) sunt neintegrabile legăturile sunt neolonome –

reonome iar dacă sunt integrabile şi se exprimă sub forma:

p1,2,...,i t);,z,y,x,,z,y,x nnn111 =K(if (14.15)

este posibil să fie olonome – reonome sau critice – reonome. În relaţiile (14.13) şi (14.15) timpul nu trebuie considerat ca un grad de libertate suplimentar. În consecinţă discuţia privind tipul legăturilor se face tot pe matricea (14.8). 14.2. Principiul lui D’Alembert

14.2.1. Forţa de inerţie. Torsorul forţelor de inerţie

ri

m(M )n n

m(M )i im(M )1 1

F iint Fi

ext+

Fnext

F1ext

OMext

-m ai i

a1

-m a1 1

a n

-m an n

Rext

jR

jOM

Fig. 14.1 Se numeşte forţă de inerţie în cazul mişcării unui punct material, forţa

egală cu produsul dintre masa şi acceleraţia punctului luată cu semn schimbat:

amFj −= (14.16)

Forţa de inerţie nu acţionează asupra punctului material ci asupra agentului motor.

280


Sistemul de n puncte materiale: , din figura 8.1 se află în

mişcare sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare n21 M ..., ,M ,M

extiF date şi de legătură.

Asupra fiecărui punct acţionează forţa iM extiF şi rezultanta forţelor interioare

intiF imprimându-i o acceleraţie ia conform principiului al II-lea al mecanicii:

ii

inti

exti amFF =+ (14.17)

Pentru a pune în evidenţă forţa de inerţie corespunzătoare punctului iM iiji amF −= , (14.18) scriem relaţia (8.17) sub forma:

0amFF iiinti

exti =−+ (14.19)

Torsorul de reducere al forţelor de inerţie în originea sistemului de

referinţă fix Oxyz are ca elemente vectorul rezultant al forţelor de inerţie:

∑ ∑= =

−==n

1i

n

1iiijij )am(FR (14.20)

şi momentul rezultant al forţelor de inerţie:

∑∑==

−×=×=n

1iiii

n

1ijiijO )am(rFrM (14.21)

Expresia vectorului rezultant al forţelor de inerţie se mai poate scrie:

C

n

1i

n

1i

n

1iii

iij aMPP

dtdvm

dtd

dtvdmR −=−=−=−=−= ∑∑ ∑

== =

& (14.22)

Din relaţia (14.22) rezultă că vectorul rezultant al forţelor de inerţie în

cazul unui sistem de puncte materiale este egal cu derivata în raport cu timpul a vectorului impuls total al sistemului de puncte, luată cu semnul minus. Expresia vectorului moment rezultant al forţelor de inerţie în raport cu polul O se poate scrie sub forma:

281

Dinamica

OO

n

1iiii

n

1i

iiijO K)K(

dtdvmr

dtd)

dtvdm(rM &−=−=×−=−×= ∑∑

== (14.23)

Din relaţia (14.23) rezultă că: momentul rezultant al forţelor de inerţie faţă de polul fix O, în cazul unui sistem de puncte materiale, este egal cu derivata în raport cu timpul a vectorului moment cinetic în raport cu acelaşi pol fix, luată cu semn schimbat. Proprietăţile arătate la reducerea unui sistem de forţe sunt valabile şi în cazul reducerii forţelor de inerţie. Relaţiile (14.22) şi (14.23) sunt valabile şi în cazul unui solid rigid cu menţiunea că semnul sumă∑ se înlocuieşte cu semnul . ∫ Se demonstrează că momentul rezultant al forţelor de inerţie faţă de centrul de masă unui sistem de puncte materiale este egal cu derivata în raport cu timpul a vectorului moment cinetic în în mişcarea relativă faţă de centrul de masă al sistemului de puncte materiale, luată cu semnul minus:

CjC KM &−= (14.24) 14.2.2. Principiul lui D’Alembert. Metoda cineto-statică

Se scriu relaţii de forma (14.19) pentru toate punctele sistemului şi se sumează:

0)am(FFn

1iii

n

1i

inti

n

1i

exti =−++ ∑∑∑

=== (14.25)

În (14.25): ext

n

1i

exti RF =∑

= este vectorul rezultant al forţelor exterioare date şi de legătură;

0Fn

1i

inti =∑

= deoarece, conform principiului acţiunii şi reacţiunii, forţele

interioare sunt două câte două egale în modul şi direct opuse;

j

n

1iii R)am( =−∑

= este vectorul rezultant al forţelor de inerţie.

Rezultă ecuaţia: 0RR j

ext =+ (14.26) Se înmulţeşte relaţia (14.19) vectorial la stânga cu ir şi se aplică operatorul ∑:

282


0)am(rFrFr ii

n

1ii

inti

n

1ii

exti

n

1ii =−×+×+× ∑∑∑

=== (14.27)

În (14.27): extO

n

1i

extii MFr =×∑

= este momentul rezultant al forţelor exterioare date şi de

legătură faţă de polul fix O;

0Frn

1i

intii =×∑

= deoarece, conform principiului acţiunii şi reacţiunii, forţele

interioare sunt două câte două egale în modul şi direct opuse;

jO

n

1iiii M)am(r =−×∑

= este momentul rezultant al forţelor de inerţie faţă de

acelaşi pol O. Rezultă ecuaţia:

0MM jOextO =+ (14.28)

Împreună, ecuaţiile (14.26) şi (14.28) se numesc ecuaţii de echilibru

cineto-static sau ecuaţii de echilibru dinamic fictiv şi exprimă principiul lui D’Alembert: “Un sistem de puncte materiale, un solid rigid sau un sistem de solide rigide în mişcare se află în fiecare moment în echilibru dinamic fictiv sub acţiunea forţelor exterioare date şi de legătură efectiv aplicate sistemului material, precum si a forţelor de inerţie fictiv aplicate sistemului material” sau “ În cazul unui sistem material în mişcare torsorul forţelor de inerţie echilibrează torsorul forţelor exterioare date şi de legătură”.

În locul ecuaţiei (14.28) se poate lua ecuaţia: 0MM jC

extC =+ (14.29)

unde C este centrul de masă al sistemului material.

Proiectând ecuaţiile vectoriale (14.26) şi (14.28 ) sau (14.29) pe axele unui sistem cartezian se obţin şase ecuaţii de echilibru diferenţiale scalare. Prin aplicarea principiului lui D’Alembert se obţine o metodă comodă de rezolvare a probemelor de dinamică cunoscută sub numele de metoda cineto-statică. Problema de dinamică este redusă la o problemă de echilibru, adică la o problemă de statică şi conţine următoarele etape: - se determină, pe baza analizei cinematice, relaţiile dintre parametrii

cinematici de ordinul I şi II (viteze şi acceleraţii) ai mişcărilor corpurilor; - se separă corpurile suprimând legăturile exterioare şi interioare; - se introduc forţele date şi de legătură care acţionează asupra fiecărui corp;

283

Dinamica

- în centrul de greutate al fiecărui corp se reprezintă elementele torsorului forţelor de inerţie funcţie de mişcarea acestuia;

- se scriu ecuaţiile de echilibru dinamic fictiv; - se rezolvă sistemul de ecuaţii diferenţiale. 14.3. Principiul lucrului mecanic virtual

r

M(x,y,z)

y xz

i j k

F(F ,F ,F )x y z

r+δr

δrM (x+δx,y+δy,z+δz)1

Fig. 14.2 Se numeşte deplasare elementară virtuală sau deplasare virtuală

deplasarea unui punct M într-o poziţie infinit apropiată M1 presupusă (închipuită) dar neexecutată şi se notează rδ (fig. 14.2). Dacă în urma deplasării legăturile punctului rămân intacte, deplasarea se numeşte compatibilă cu legăturile. Dacă în urma deplasării legăturile punctului s-ar distruge deplasarea virtuală se numeşte incompatibilă cu legăturile. Astfel, în cazul unui punct obligat să rămână pe o suprafaţă orice deplasare virtuală în planul tangent este compatibilă cu legătura. Toate deplasările care nu sunt conţinute în acest plan sunt incompatibile cu legătura. În cazul unui punct situat pe o curbă deplasările virtuale pe tangenta la curbă sunt compatibile cu legătura, celelalte fiind incompatibile cu legătura. Într-un sistem de referinţă cartezian vectorul de poziţie r este, în general, o funcţie de coordonatele punctului şi explicit de timp:

t)z,y,(x,r=r (14.30)

Deplasarea virtuală este diferenţiala funcţiei (14.30) considerând timpul constant: k δzjδy iδx rδ ++= (14.31)

284


Se numeşte lucru mecanic virtual al unei forţe F corespunzător deplasării virtuale rδ a punctului de aplicaţie al forţei produsul scalar dintre vectorul forţă şi deplasarea virtuală: δzFδyFδx FrδFδL zy x ++=⋅= (14.32)

ri

m(M )n n

m(M )i i

m(M )1 1

F iext Fi

leg+

Fnext

F1ext

-m ai i

a1

a n

δr1

δrn

Fiint

+

δri

a i

F iext

F ileg

F iint

Fig. 14.3 În figura 14.3 este reprezentat un sistem de puncte materiale supus la legături: M1, M2, ..., Mi, ..., Mn cu masele m1, m2, ..., mi, ..., mn, aflat în mişcare sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare:

extn

exti

ext2 F ..., ,F ..., ,F ,

ext1F .

Asupra punctului Mi acţionează forţa exterioară extiF , forţa de legătură

legiF şi

rezultanta forţelor interioare intiF cu care celelalte n-1 puncte interacţioneaza cu

punctul considerat. Forţa rezultantă +extiF leg

iF +intiF imprimă puctului Mi o

acceleraţie ia conform legii a II-a a mecanicii:

mi ia = +extiF leg

iF +intiF , (14.33)

care se pune sub forma: 0amFFF ii

intlegextiii

=−++ (14.34)

Se consideră o deplasare virtuală oarecare dată sistemului de puncte materiale. Punctul Mi se va deplasa virtual cu

irδ . Se înmulţeşte scalar relaţia

(14.34) cu delasarea virtuală i

rδ :

285

Dinamica

0rδ )a(mrδFrδFrδF iiiiintii

legii

exti =⋅−⋅+⋅+⋅ (14.35)

Se scriu relaţii de forma (14.36) pentru toate punctele sistemului şi se sumează membru cu membru:

0rδ )a(mrδFrδFrδFδL i

n

1ii

n

1i

inti

n

1i

legi

n

1i

exti =⋅−+⋅+⋅+⋅≡ ∑∑∑∑ (14.36)

Relaţia (14.36) exprimă principiul deplasărilor virtuale sau lucrului mecanic virtual pentru un sistem de puncte materiale în mişcare: În cazul unui sistem de puncte materiale aflat în mişcare supus la legături suma lucrurilor mecanice virtuale ale forţelor exterioare date, forţelor de legătură, forţelor interioare şi forţelor de inerţie este nulă pentru orice deplasare virtuală compatibilă sau incompatibilă cu legăturile.

Dacă sistemul material este unui solid rigid sau sistem de corpuri rigide supuse la legături interioare cu elemente indeformabile (de exemplu fire inextensibile, cuple fără frecare şi joc etc.), suma lucrurilor mecanice virtuale ale forţelor interioare este nulă şi principiul deplasărilor virtuale se exprimă matematic sub forma:

0rδ )a(mrδFrδFδL i

n

1ii

n

1i

legi

n

1i

exti =⋅−+⋅+⋅≡ ∑∑∑ (14.37)

Dacă în plus sistemul de corpuri rigide este supus la legături ideale, iar deplasările virtuale sunt compatibile cu legăturile atunci şi suma lucrurilor mecanice virtuale ale forţelor de legătură este nulă şi principiul lucrului mecanic virtual devine:

0rδ )a(mrδFδL i

n

1ii

n

1i

exti =⋅−+⋅≡ ∑∑ (14.38)

Punctele unui sistem material aflat în echilibru (repaus) au acceleraţiile nule. Dacă sistemul de puncte este supus la legături ideale şi lucrul mecanic virtual al forţelor interioare este nul atunci pentru deplasări virtuale compatibile cu legăturile rezultă:

0rδFδLn

1i

exti =⋅≡ ∑ 14.39)

Relaţia (14.39) exprimă principiul deplasărilor virtuale pentru un sistem

de puncte materiale aflat în echilibru: În cazul unui sistem de de puncte

286


materiale aflat în echilibru, supus la legături ideale şi la care suma lucrurilor mecanice virtuale ale forţelor interioare este nulă, suma lucrurilor mecanice virtuale ale forţelor exterioare este nulă pentru orice deplasări virtuale compatibile cu legăturile. Relaţia (14.39) este valabilă şi în cazul unui rigid sau sistem de corpuri rigide aflate în echilibru. 14.4. Ecuaţiile lui Lagrange

Metoda care utilizează ecuaţiile lui Lagrange este în general aplicabilă sistemelor materiale supuse la legături fără frecare. Ecuaţiile vor fi deduse pentru un sistem de puncte materiale dar sunt valabile şi pentru un rigid sau un sistem de corpuri rigide.

14.4.1. Ecuaţiile lui Lagrange de speţa I-a

Se consideră un sistem de puncte materiale Mi de mase mi aflat în

mişcare sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare iF , (i = 1,2,...,n), supus unor legături olonome (fără frecare). Configuraţia sistemului la un moment dat este determinată de h parametri geometrici independenţi: q1, q2, ..., qk, ..., qh, care se numesc coordonate generalizate. Derivatele de ordinul întâi ale coordonatelor generalizate în raport cu timpul: hk21 q ..., ,q ..., ,q ,q &&&& se numesc viteze generalizate, iar derivatele de ordinul doi: hk21 q..., ,q ..., ,q ,q &&&&&&&& se numesc acceleraţii generalizate.

Se urmăreşte determinarea ecuaţiilor diferenţiale ale mişcării sistemului de puncte.

Vectorul de poziţie ir al punctului Mi depinde de coordonatele generalizate qk, (k =1,2, ...,h), iar în cazul legăturilor reonome şi explicit de timp: t),q ..., ,q ..., ,q ,(q hk21ii rr = (14.40) Deplasarea virtuală compatibilă cu legăturile a punctului Mi are expresia:

∑=

δ∂∂

=δ∂∂

+⋅⋅⋅+δ∂∂

+⋅⋅⋅+δ∂∂

+δ∂∂

=δh

1kk

k

ih

h

ik

k

i2

2

i1

1

ii q qrq

qrq

qrq

qrq

qrr (14.41)

Conform principiului deplasărilor virtuale se poate scrie că suma

lucrurilor mecanice virtuale ale forţelor exterioare date şi de inerţie este nulă pentru orice deplasare virtuală compatibilă cu legăturile:

287

Dinamica

0rδ)amF( i

n

1iiii =⋅−∑

= (14.42)

Înlocuind (14.41) în (14.42) şi schimbând ordinea de însumare se obţine:

0ra i =δ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂

⋅−∑ ∑= =

k

h

1k

n

1i kiii q

q)mF( (14.43)

În cazul legăturilor olonome cele h deplasări virtuale sunt independente. Cum toate pot fi considerate nule cu excepţia a căte una:

kqδ

0δq ..., 0,δq 0,δq 0,δq ..., 0,δq 0,δq h1kk1k21 ==≠=== +− , relaţia (14.43) este echivalentă cu h ecuaţii diferenţiale, numite ecuaţiile lui Lagrange de speţa I-a:

h1,2,...,k 0;

q)mF(

n

1i kiii ==

∂∂

⋅−∑=

ira (14.44)

14.4.2. Ecuaţiile lui Lagrange de speţa II-a

Ecuaţiile (14.44) se pun sub forma:

h1,2,...,kq

F q

mk

n

1ii

n

1i kii =

∂∂

⋅=∂∂

⋅ ∑∑==

;rra ii (14.45)

Termenul din partea dreapta relaţiei (14.45) se numeşte forţă

generalizată corespunzătoare coordonatei generalizate şi se notează kq kQ :

kk

in

1ii Q

qrF =

∂∂

⋅∑=

(14.46)

Înlocuind (14.46) în (14.45) şi ţinând seama că acceleraţia unui punct este egală cu derivata vitezei rezultă ecuaţia:

k

n

1i k

iii Q

qr

dtvdm =

∂∂

⋅∑=

(14.47)

Folosind regula de derivare a unui produs, ecuaţia (14.47) poate fi scrisă sub forma:

288


k

n

1i k

iii

n

1i k

iii Q)

qr(

dtdvm)

qrv(

dtdm =

∂∂

⋅−∂∂

⋅ ∑∑==

(14.48)

Viteza

iv a punctului se obţine derivând (14.40) în raport cu timpul: iM

trq

qrq

qrq

qrq

qrrv i

hh

ik

k

i2

2

i1

1

ii

∂∂

+∂∂

+⋅⋅⋅+∂∂

+⋅⋅⋅+∂∂

+∂∂

== &&&&& (14.49)

Derivata parţială a vitezei punctului în raport cu viteza generalizată este: iM kq&

k

i

k

iqr

qv

∂∂

=∂∂&

(14.50)

Pentru a demonstra că:

k

i

k

iqv

qr

dtd

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

, (14.51)

derivăm funcţia k

iqr

∂∂

în raport cu timpul şi expresia (14.49) în raport cu

variabila kq :

hhk

i2

kkk

i2

22k

i2

11k

i2

k

i qqqrq

qqrq

qqrq

qqr

qr

dtd

&&&&∂∂

∂+⋅⋅⋅+

∂∂∂

+⋅⋅⋅+∂∂

∂+

∂∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂ ,

(14.52)

hkh

i2

kkk

i2

2k2

i2

1k1

i2

k

i qqqrq

qqrq

qqrq

qqr

qv

&&&&∂∂

∂+⋅⋅⋅+

∂∂∂

+⋅⋅⋅+∂∂

∂+

∂∂∂

=∂∂

(14.53)

Comparând (14.52) cu (14.53) rezultă egalitatea (14.51).

Luând în considerare relaţiile (14.50) şi (14.51) ecuaţia (14.48) devine:

k

n

1i k

iii

n

1i k

iii Q

qvvm)

qvv(

dtdm =

∂∂

⋅−∂∂

⋅ ∑∑== &

(14.54)

Înlocuind în (14.54):

)2

v(q

)2

v(qq

vv2i

k

2i

kk

ii &&& ∂

∂=

∂∂

=∂∂

⋅ şi )2

v(q

)2

v(qq

vv2i

k

2i

kk

ii ∂

∂=

∂∂

=∂∂

⋅ ,

289

Dinamica

rezultă:

k

n

1i

2i

ki

n

1i

2i

ki Q)

2v(

qm)

2v(

qm

dtd

=∂∂

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂ ∑∑

== &

sau:

k

n

11

2i

ik

n

1i

2i

ik

Q2

vmq2

vmqdt

d=

∂∂

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

∂∂ ∑∑

==& (14.55)

Deoarece ∑=

n

1i

2i

i 2vm reprezintă energia cinetică ( ) a sistemului de puncte

materiale, forma finală a relaţiei (14.45) este:

cE

kk

c

k

c QqE

qE

dtd

=∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂&

; k=1,2,...,h (14.56)

Cele h ecuaţii diferenţiale diferenţiale (14.56) poartă numele de ecuaţiile lui Lagrange de speţa II-a. Observaţii:

1) Ecuaţiile lui Lagrange de speţa II-a sunt ecuaţii diferenţiale scalare, comod de aplicat în probleme curente;

2) Pentru calculul energiei cinetice se exprimă în prealabil coordonatele: iii z ,y ,x ale punctelor sistemului în funcţie de coordonatele generalizate: h2 şi se derivează în raport cu timpul:

1 q ..., ,q ,q

∑∑∑=== ∂∂

=∂∂

=∂∂

=h

1kk

k

ii

h

1kk

k

ii

h

1kk

k

ii q

qzz ;q

qyy ;q

qxx &&&&&&

)2iz2

iy2ix( im

n

1i 21

cE &&& ++∑=

=

(14.57)

3) Forţa generalizată se poate determina cu relaţia:

)qzF

qyF

qx(FQ

k

iiz

k

iiy

n

1i k

iixk ∂

∂+

∂∂

+∂∂

= ∑=

290


sau se dă o deplasare virtuală sistemului în care variază numai coordonata generalizată după care se împarte lucrul mecanic virtual obţinut la : qk kqδ

k

kk δq

LδQ = (14.58)

Această formulă se bazează pe faptul că lucrul mecanic virtual al forţelor date este o funcţie liniară de deplasările virtuale kqδ :

∑∑ ∑∑== ==

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

⋅=⋅=h

1kkkk

h

1k k

in

1ii

n

1iii δq Qδq

qrFrδFδL

Lucrul mecanic virtual în condiţiile:

0δq ;..., 0δq 0;δq 0;δq ..., 0;δq 0;δq h1kk1-k21 ==≠=== + este:

kkk δqQLδ = , din care rezultă (14.58). 14.4.3. Ecuaţiile lui Lagrange de speţa II-a în cazul forţelor conservative

Dacă forţele date sunt conservative, adică dacă derivă dintr-o funcţie de forţă: iUi UgradiF ∇== , (14.59) unde , numită funcţie de forţă, depinde în general de coordonatele ale punctului de aplicaţie al forţei şi eventual de timp, atunci:

iU iii z ,y ,x

i

iiz

i

iiy

i

iix z

UF ;yUF ;

xUF

∂∂

=∂∂

=∂∂

= (14.60)

şi:

∑∑== ∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=n

1i k

in

1i k

i

i

i

k

i

i

i

k

i

i

ik q

Uqz

zU

qy

yU

qx

xU

Q (14.61)

Se notează cu U funcţia de forţe corespunzătoare întregului sistem:

(14.62) ∑=

=n

1iiUU

Relaţia (14.61) se mai poate scrie:

291

Dinamica

k

n

1ii

k

n

1i k

ik q

UUqq

UQ∂∂

=∂∂

=∂∂

= ∑∑==

(14.63)

Înlocuim (14.64) în (14.56) şi obţinem:

kk

c

k

cqU

qE

qE

dtd

∂∂

=∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂&

(14.64)

Suma dintre energia cinetică şi funcţia de forţe, care se determină cu

aproximaţia unei constante, se numeşte funcţia lui Lagrange sau potenţial cinetic şi se notează cu L: UEc +=L (14.65) Funcţia de forţe nu depinde de vitezele generalizate şi de aceea:

0qU

k=

∂∂&

(14.66)

Luând în considerare (14.66) relaţia (14.64) poate fi pusă sub forma:

h1,2,...,k 0;qqdt

d

kk==

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂ LL&

(14.67)

şi pentru: formează un sistem de ecuaţii numite ecuaţiile lui Lagrange de speţa II-a în cazul forţelor consevative.

h1,2,...,k =

14.5. Ecuaţiile canonice ale lui Hamilton

Se consideră un sistem alcătuit din n puncte materiale: cu masele , supus la legături olonome (ideale) şi având h grade de libertate, aflat în mişcare sub acţiunea forţele conservative exterioare:

ni21 M ..., ,M ..., ,M ,M ni21 m ..., ,m ..., ,m ,m

ni21 F ..., ,F ..., ,F ,F . Pentru un asemenea sistem s-au dedus ecuăţiile lui Lagrange de speţa II-a:

h1,2,...,k 0;qqdt

d

kk==

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂ LL&

(14.68)

Se notează :

292


kk

ck qq

Ep

&& ∂∂

=∂∂

=L (14.69)

o mărime scalară numită impuls generalizat, care poate fi impuls (cantitate de mişcare) sau moment cinetic în funcţie de dimensiunea coordonatei generalizate. Cu notaţia (14.69) ecuaţiile (14.68) devin:

h1,2,...,k ;q

pk

k =∂∂

=L

& (14.70)

şi împreună cu:

h1,2,...,k ;q

pk

k =∂∂

=&

L (14.71)

formează un sistem de 2h ecuaţii diferenţiale de ordinul I, cu 2h necunoscute: kq şi kp , ( ). h,...,2,1k = Ecuaţiile (14.70) şi (14.71) pot fi puse şi sub altă formă introducând funcţia lui Hamilton:

(14.72) L H −=∑=

h

1kkkqp &

Funcţia L depinde de cele h coordonate generalizate şi de cele h viteze

generalizate: (14.73) )q ..., ,q ,q ,q ..., ,q ,(q h21h21 &&&LL =

Considerând o deplasare virtuală dată sistemului de puncte, variaţia elementară a funcţiei lui Lagrange se determină prin diferenţierea virtuală a funcţiei L:

∑= ∂

∂+

∂∂

=h

1kk

kk

k)qδ

qδq

q(δ &

&

LLL 14.74)

Luând în considerare (14.70) şi (14.71), ecuaţia (14.74) devine:

(14.75) ∑=

+=h

1kkkkk )qδpδqp(δ &&L

Întrucât: kkkkkk δpq)qδ(pqδp &&& −= (14.76) rezultă,

(14.77) [ ]∑=

−+=h

1kkkkkkk δpq)qδ(pδqpδ &&&L

293

Dinamica

şi în continuare:

(14.78) )δqpδpq(qpδ kk

h

1kkk

h

1kkk &&& −=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− ∑∑

==L

Cu notaţia (14.72) obţinem:

(14.79) )qppq( kkkk δ−δ=δ ∑=

&&h

1kH

Impulsurile generalizate depind ca şi energia cinetică sau funcţia lui

Lagrange de coordonatele şi vitezele generalizate:

)q ..., ,q ,q ,q ..., ,q ,(qpp h21h21kk &&&= ; k=1,2,...,h (14.80) Relaţia (8.80) poate fi privită ca un sistem de h ecuaţii cu necunoscutele

. Rezolvând sistemul obţinem: h) ..., 2, 1,(k ,qk =&

h1,2,...,k );p ..., ,p ,p ,q ..., ,q ,(qqq h21h21kk == && (14.81) Substituim vitezele generalizate din expresiile funcţiilor L şi H cu (60):

);p ..., ,p ,p ;q ..., ,q ,(q );p ..., ,p ,p ;q ..., ,q ,(q h21h21h21h21 HHLL == (14.82) Unei deplasări virtuale dată sistemului de puncte materiale îi corespunde o variaţie elementară virtuală a funcţiei lui Hamilton:

∑= ∂

∂+

∂∂

=h

1kk

kk

k)δp

pδq

q(δ HHH (14.83)

Din compararea relaţiilor (14.79) şi (14.83) rezultă ecuaţiile canonice

ale lui Hamilton:

h) ..., 2, 1,(k ,q

p ;p

qk

kk

k =∂∂

−=∂∂

=HH

&& (14.84)

Din integrarea celor 2h ecuaţii diferenţiale (14.84) cu luarea în

considerare a condiţiilor iniţiale ale mişcării puse în coordonate generalizate şi impulsuri generalizate se obţin coordonatele generalizate şi impulsurile generalizate ca funcţii de timp.

294

15. Vibraţii liniare

15. VIBRAŢII LINIARE ALE SISTEMELOR CU UN GRAD DE LIBERTATE

Un sistem mecanic efectuează o vibraţie sau o oscilaţie dacă parametrii

care îi definesc configuraţia la un moment dat variază alternativ în timp faţă de valorile avute în starea de referinţă.

Sistemele liniare cu un grad de libertate sunt acelea a căror configuraţie geometrică la un moment dat poate fi determinată cu ajutorul unui singur parametru scalar (distanţă sau unghi) iar ecuaţia diferenţială a mişcări este o ecuaţie diferenţială liniară.

15.1. Vibraţia liniară liberă, neamortizată

Modelul mecanic al unui corp care efectuează o asemenea mişcare se compune dintr-un corp rigid ghidat astfel încât mişcarea să fie o translaţie rectilinie şi dintr-un arc cu caracteristică elastică liniară fixat la unul din capete şi legat la celălalt capăt de corpul rigid. (fig. 15.1)

i

0 x

j

G

NF = -k x ie

mk

Fig. 15.1

S-au făcut notaţiile: l0-lungimea arcului în stare nedeformată; k-

constanta elastică a arcului. Pe direcţia Ox singura forţă care acţionează este forţa elastică, celelalte

(greutatea G şi reacţiunea normală N ) fiind perpendiculare pe Ox . Ecuaţia fundamentală a dinamicii, scrisă pentru corpul rigid va fi:

xkxm −=&& (15.1) care se pune sub forma:

(15.2) 0xpx 2 =+&&S-a notat:

2pmk= (15.3)

295

Dinamica

Ecuaţia (15.2) este o ecuaţie diferenţială liniară omogenă cu coeficienţi constanţi şi are soluţia:

ptsin Cpt cosCx 21 += (15.4)

Prin derivare obţinem viteza corpului:

pt cospCptsin pCx 21 +−=& (15.5)

Constantele de integrare se pot determina impunând condiţiile iniţiale

ale mişcării: 00 vx ,x x0,t === & . Rezultă: p

vC ,xC 0

201 == .

Ca urmare, relaţiile (15.4) şi (15.5) devin:

ptsin p

vpt cosxx 0

0 += (15.6)

pt cosvptsin xpx 00 +−=& (15.7)

Înseamnă că mişcarea corpului este o vibraţie armonică. Expresia (15.6) poate fi pusă şi sub forma:

( )ϕ= -pt cosax (15.8) unde,

0

02

202

0 pxv

arctg , pv

xa =ϕ+= (15.9)

Mărimile ce intervin în relaţia (15.8) sunt: a = amplitudine; p = pulsaţie proprie;

= elongaţie; ( ϕ−ptcosa ) ϕ−pt = fază; ϕ− = fază iniţială. Cazuri particulare (fig. 9.2): a) pt cosx x10, v0,x 000 ==≠

b) ptsin p

v x20, v0,x 0

00 =≠=

T

T

x

t

x (t)1x (t)2

Fig. 15.2

296


Perioada mişcării vibratorii

kmπ2

pπ2T == (15.10)

şi frecvenţa

mk

π21

π2p

T1ν === (15.11)

sunt independente de condiţiile iniţiale. Exemple de vibraţii liniare libere neamortizate: micile oscilaţii ale pendulului simplu sau matematic (fig. 15.3) şi ale pendulului compus sau fizic (fig. 15.4).

ϕ

Mg

C

ϕ

mg

Fig. 15.3 Fig. 15.4 15.2. Vibraţia liniară liberă, amortizată

0 x

F =k x em

F =c x r

c

k

i

j

Fig. 15.5

Modelul mecanic al unui sistem mecanic ce are o asemenea mişcare este

arătat în figura 15.5 şi are în plus faţă de modelul oscilatorului neamortizat un amortizor liniar care introduce o forţa rezistentă proporţională cu viteza de deformare. Se notează cu “c” coeficientul de amortizare. Ecuaţia fundamentală a dinamicii pentru corpul (C) va fi:

297

Dinamica

xckxxm &&& −−= (15.12) care se pune sub forma:

0xmkx

mcx =++ &&& sau , (15.13) 0xpxα2x 2 =++ &&&

în care s-a notat:

α2mc ; p

mk 2 == (15.14)

Ecuaţia (15.13) este liniară, cu coeficienţi constanţi şi omogenă. Rădăcinile ecuaţiei caracteristice

0pλ α2λ 22 =++sunt:

221,2 pααλ −±−= (15.15)

Aceste rădacini pot fi: complexe, dacă pα < ; reale şi egale, dacă şi reale şi distincte dacă .

pα =pα >

Valoarea coeficientului de amortizare pentru care pα = se numeşte coeficient critic de amortizare şi se notează . Din egalitatea: 0c

mk

2mc0 =

rezultă: km2c0 = (15.16)

Raportul dintre coeficientul de amortizare şi coeficientul critic de amorizare se numeşte factor de amortizare 0c

0ccζ = (15.17)

Se studiază vibraţile amortizate în cele trei situaţi diferite:

. 000 cc , cc , cc >=<

a) Cazul 0cc < . În acest caz pα < şi rădăcinile sunt complexe. Se face notaţia

22222 α-pβ , βpα =−=− (15.18)

298


Rădăcinile ecuaţiei caracteristice vor fi

iβαλ1,2 ±−= (15.19)

iar soluţia ecuaţiei (15.13) va fi de forma ( )tβsin Ctβ cosCeax 21

tα += − (15.20) sau

( )ϕ−= − tβcoseax tα (15.21)

Ecuaţia (15.21) arată că avem de a face cu o vibraţie modulată in amplitudine. Amplitudinile descresc în timp tinzâd către zero. Diagrama mişcării dată de (15.21) şerpuieşte înte curbele de ecuaţii: şi intersectează axa timpului în puncte echidistante

t2,1 eax α−±=

x

t

T x (t)1x (t)2

x (t)

Fig. 15.6 O astfel de mişcare se numeşte pseudoperiodică sau cvasiperiodică. Mărimea

β2πT = (15.22)

se numeşte cvasiperioadă sau pseudoperiodă. O mărime care caracterizează amortizarea vibraţiilor este raportul elongaţiilor la un interval de timp egal cu o pseudoperioadă:

( ) βπ2α

e

βπ2tx

tx=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

(15.23)

Logaritmul acestui raport se numeşte decrement logaritmic si se

notează : δ

299

Dinamica

βα2πδ = (15.24)

Decrementul logaritmic poate fi exprimat şi în funcţie de factorul de amortizare

: ζ

22

0

02

2

2 ζ1

ζπ2

cc1

cc

π2

4kmc1

km2c

π2

4mc

mk

2mc

π2βαπ2δ

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

−

=

−

==

(15.25) b) Cazul , când şi rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt reale şi negative. Notând-le cu şi

0cc > pα <

1λ− 2λ− , soluţia va fi de forma: (15.26) tλ

2tλ

121 eCeCx −− +=

Mişcarea are un caracter aperiodic amortizat (fig.15.7).

Fig. 15.7

c) Cazul .cc 0= În acest caz pα = şi radacinile ecuaţiei caracteristice sunt egale cu α− . Soluţia generală a ecuaţiei (15.13) este:

( )21

tα CtCex += − (15.27) Deoarece în (15.27) lipsesc funcţiile periodice şi:

( ) 0eαC

lime

CtClimtxlim tα

1ttα

21tt

==+

=∞→∞→∞→

(15.28)

rezultă că mişcarea este amortizată şi aperiodică.

x

t

x (t)

300


15.3. Vibraţia liniară forţată, fără amortizare Modelul unui sistem mecanic care are această mişcare este prezentat în

figura 15.8. Asupra corpului rigid, care este legat de elementul fix printr-un arc de constantă k, acţionează o forţă perturbatoare

(15.29) tω cosFF 0=

Asemenea cazuri intervin in practică la maşinile cu piese în rotaţie, neechilibrate rezemate pe un corp elastic (grindă, stâlp, fundaţie, teren, de fundaţie).

i

0 x

j

G

NF = -k x ie

mk

F=F cos(ωt)0

Fig. 15.8

Ecuaţia diferenţială a mişcări va fi:

tω cosFkxxm 0+−=&& (15.30) care se pune sub forma:

(15.31) tω cosqxpx 2 =+&&S-au făcut notaţiile:

qmF

, pmk 02 == (15.32)

Soluţia ecuaţiei (15.31) este alcătuită din soluţia ecuaţiei omogene la care se adaugă o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene:

tω cosωp

qptsin Cpt cosCx 2221−

++= (15.33)

301

Dinamica

Constantele şi se determină impunând condiţiile iniţiale ale mişcări:

1C 2C

0x 0, x0,t === & (15.34) Rezultă:

0C , ωp

qC 2221 =−

−= (15.35)

Soluţia generală devine:

( )pt cos-tω cosωp

qx 22 −= (15.36)

Se observă că mişcarea rezultantă este o suprapunere de două vibraţii armonice de aceeaşi amplitudine dar de pulsaţii diferite. Se studiază mişcarea rezultantă în trei cazuri.

a) Cazul pω << . Diagrama unui astfel de mişcări este aratată în figura 15.9. Se observă că aspectul mişcării este acela al unei vibraţii proprii x(t) de pulsaţie mare “purtată” de o vibraţie forţată de pulsaţie mică x1(t).

Amplitudinile celor două mişcări componente fiind egale, elongaţia maximă a mişcării rezultante atinge practic dublul amplitudinii uneia dintre mişcări, adică

( )22maxωp

q2x−

= (9.37)

Fig. 15.9 b) Cazul ω apropiat de p. În acest caz apare fenomenul de bătăi.

Ecuaţia (9.36) poate fi scrisă:

t2ωpsint

2ωpsin

ωp2qx 22

+−

−= (15.38)

Această ecuaţie este de tipul

t

x

t1x (t)

x (t)

302


( ) t2ωpsintΦx +

= (15.39)

unde funcţia ( ) t2ωpsin

ωp2qtΦ 22

−

−= variază foarte încet în raport cu funcţia

ptsin t2ωp

sin ≈+

.

Rezultă că mişcarea este o vibraţie, de pulsaţie egală practic cu sau p, modulată în amplitudine (fig. 15.10). Amplitudinea bătăilor este practic egală cu

ω

22 ωp2q−

. Când , amplitudinea tinde catre pω→ ∞ .

t 2qp -ω2 2

2qp -ω2 2

x (t)x

Fig. 15.10

c) azul pω = . În acest caz pentru a ridica nedeterminarea din relaţia (15.36) aplicăm regula lui l’Hospital

ptsin2pqt

ω2-tωsin tlimq

ωppt cos-tω coslimqx

pω22pω=

−=

−=

→→ (15.40)

Expresia (15.40) este de forma ( ) ptsintΦ în care ( ) t2pqtΦ = este o

funcţie liniară ce variază încet în raport cu funcţia . Deducem că mişcarea rezultantă este o vibraţie de pulsaţie p modulată în amplitudine de funcţia . Diagrama mişcări este prezentată în figura 15.11.

ptsin( )tΦ

t

xϕ (t)x (t)

−ϕ (t)

Fig. 15.11

303

Dinamica

Se observă că, teoretic, amplitudinea creşte nelimitat. Fenomenul poartă numele rezonanţă şi este deosebit de periculos pentru maşini şi pentru construcţii, care, supuse la asemenea vibraţii pot deveni inutilizabile sau se pot distruge prin depăşirea eforturilor unitare sau deformaţiilor admisibile.

15.4. Vibraţia liniară forţată cu amortizare

Modelul mecanic al unui sistem care execută o asemenea mişcare este prezentat în figura 15.12.

0 x

F =k x em

F =c x r

c

k

i

j

F=F cos(ωt)0

Fig. 15.12

Ecuaţia diferenţială a mişcării va fi:

ωt cosFxcknxm 0+−−= &&& (15.41)

care, dacă se fac notaţiile:

qmF

; 2αmc ; p

mk 02 === (15.42)

mai poate fi pusă sub forma: (15.43) ωt qcosxpx2αx 2 =++ &&&

Ecuaţia diferenţială (15.43) este liniară, cu coeficienţi constanţi şi

neomogenă. Soluţia ecuaţiei omogene corespunde celor trei cazuri:

( );tβcosea x cc , pα a) 1tα

110 ϕ−=<< − (15.44)

( );CtCe x cc , pα b) 21tα

10 +=== − (15.45)

(15.46) ,eCeC x cc , pα c) tλ2

tλ110

21 −− +=>>

304


unde:

pαλ , αpβ 221,2

22 −α=−= m Soluţia particulară va fi de forma: tωBsin tω Acosx2 += (15.47) tω cos ωBtωsin ωAx2 +−=& (15.48)

(15.49) tωsin ωBtω cos ωAx 222 −−=&&

Înlocuind (15.47)-(15.49) în ecuaţia diferenţială se obţine: ( )[ ] ( )[ ] tω cosqtωsin Aωα2Bωptω cosBωα2Aωp 2222 =−−+−− Egalând coeficienţii termenilor ce conţin funcţiile sinus şi cosinus rezultă sistemul: ( ) qBωα2Aωp 22 =−− (15.50)

( ) 0BωpAωα2 22 =−+− (15.51) din care deducem:

( )( ) 22222

22

ωα4ωp

qωpA+−

−= ; ( ) 2222 ωα4ωp

qωα2B+−

= (15.52)

În cazul a) soluţia generală este de forma: (15.53) ( ) tωBsin tω Acostβcoseaxxx 1

tα121 ++ϕ−=+= −

Aşadar, mişcarea sistemului este o suprapunere dintre o vibraţie proprie amortizată şi una forţată. După un interval de timp, din cauză că exponenţiala

descreşte destul de repede către zero, putem neglija primul termen. tαe−

( )ϕ=+≈ -tωacostωBsintω Acosx (15.54) unde:

( ) 22222

22

ωα4ωp

qBAa+−

=+= (15.55)

305

Dinamica

22 ωpωα2arctg

ABarctg

−==ϕ (15.56)

Vom introduce rapoartele adimensionale:

ccζ ,

aa

00= şi ,

pω

unde:

0a - este săgeata produsă de forţa perturbatoare când 0ω = (în condiţii statice)

20

0pq

mkq

kmg

kF

a ==== (15.57)

0c - este coeficientul de amortizare critic km2c0 = (15.58)

( )

2

2

2

22

2

22

22222

0

pω

pα4

pω1

1

pq

ωα 4ωp

q

aa

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=+−

= (15.59)

Luând în considerare notaţiile :

220

22

2

22 ζ

cc

4kmc

pα;α2

mc ;

mkp ===== (15.60)

expresia (9.59) devine:

2

2220

pωζ4

pω1

1aa

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

= (15.61)

306


În figura 15.13 se prezintă o familie de curbe, care, pentru diferite

rapoarte 0c

cζ = , dau legătura între variabilele adimensionale pω (în abscisă)

şi0a

a (în ordonată).

ω p

aa0

ζ=0,01ζ=0,2ζ=0,5ζ=1

4

3

2

1

5

1 2 3 4 50

Fig. 15.13 În cazul când nu există amortizare ( )0ζ = , curba corespunzătoare

prezintă o asimptotă rticală pentru 1pω= .

Expresia unghiului de fază ϕ poate fi scrisă şi ea în funcţie de

rapoartele adimensionale 0c

cζ = şi pω

2

2

pω1

pωζ2

arctg−

=ϕ (15.62)

În figura 15.14 sunt arătate, în funcţie de factorul de amortizare 0c

cζ = ,

o familie de curbe ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ϕ=ϕ

pω .

307

Dinamica

ζ=0ζ=0,1ζ=0,5ζ=1

0,79

10

ω p

ϕ

1,57

2,36

3,14

2 3 4 5

Fig. 15.14 Din figura 15.14 deducem următoarele:

- Pentru 0=ζ , rezultă ϕ = 0 dacă 1pω< şi π=ϕ dacă

pω >1. Aşadar în lipsa

amortizării vibraţia este în fază cu forţa perturbatoare dacă p<ω şi în opoziţie de fază dacă ; p>ω

- Pentru , unghiul p=ω2π

=ϕ oricare ar fi 0≠ζ ;

- Pentru , defazajul dintre mişcarea vibratorie şi forţa perturbatoare creşte pe măsură ce amortizarea creşte;

p<ω

- Pentru , defazajul dintre mişcarea vibratorie şi forţa perturbatoare descreşte pe măsură ce amortizarea creşte. În acest ultim caz, dacă constant

şi

p>ω=ζ

=pω

foarte mare, defazajul creşte şi mişcarea are tendinţa să devină în

opoziţie de fază cu forţa perturbatoare.

308

Bibliografie

BIBLIOGRAFIE [1] ATANASIU, M., Mecanica, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti,

1973. [2] BRATU, P., Mecanica Teoretică, Editura Impuls, Bucureşti, 2006 [3] DEN HARTOG, J.P., Mechanics, Dover Publications, Inc., New York,

1961. [4] ISPAS, V., ş.a., Mecanica, Editura Dacia, Cluj-Napoca, 1997. [5] ITUL, T.P., Mecanica-Statica, Editura Risoprint, Cluj-Napoca, 2000. [6] ITUL, T.P., Mecanica-Cinematica şi Dinamica, Editura Risoprint, Cluj-

Napoca, 2004. [7] McGILL, D. J., KING, W.W., Engineering Mechanics, Georgia Institute of

Technology, Boston, USA, 1991. [8] OLARIU, V., SIMA, P., ACHIRILOAIE, V., Mecanica tehnică, Editura

Tehnică, Bucureşti, 1982. [9] POPESCU, P., Mecanica: Cinematica, Dinamica, Atelierul de multiplicare

al Institutului Politehnic Cluj, Cluj-Napoca, 1981. [10] RĂDOI, M., DECIU, E., Mecanica, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1977. [11] RIPIANU, A., Mecanica solidului rigid, Editura Tehnică, Bucureşti, 1973. [12] RIPIANU, A., POPESCU, P., BĂLAN, B., Mecanica tehnică, Editura

Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1973. [13] SARIAN, M., Mecanica şi Rezistenţa materialelor, Vol. I, Mecanica,

Ediţia III, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1965. [14] STOENESCU, A. SILAŞI, G., Mecanica teoretică, Editura Tehnică,

Bucureşti, 1963. [15] TARG, S., Élements de Mécanique Rationnelle, Editions MIR, Moscou,

1975. [16] TUDOSIE, C., Mecanică teoretică, Atelierul de multiplicare al Institutului

Politehnic Cluj, Cluj-Napoca, 1972. [17] VÂLCOVICI, V. BĂLAN, Ş., VOINEA, R., Mecanica teoretică, Editura

Tehnică, Bucureşti, 1968. [18] VOINEA, R., VOICULESCU, D., CEUŞU, V., Mecanica teoretică,

Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1983. [19] VOINEA, R., VOICULESCU, D., FLORIAN-PAUL, S., Introducere în

Mecanica solidului rigid cu aplicaţii în inginerie, Editura Academiei Române, Bucureşti, 1989.

309

mecanica 2 cursuri itul

Documents