probleme mecanica 2 itul

7/30/2019 Probleme Mecanica 2 Itul

1/42

TIBERIU-PAVEL ITUL NICOLAE HAIDUC

MECANICA II

DINAMICA

PROBLEME REZOLVATE

CLUJ-NAPOCA, 2012

Ox0

x

r

z

M

mg

N

Fjc

Fjtac

at

P( )1P( )2

r


2/42

O bar (d) se rotete n jurul articulaiei cilindriceO cu viteza unghiular constat . Pe bar sedeplaseaz cursorulMcu viteza constant u .

1

S se determine viteza i acceleraia absolut apunctului M, precum i ecuaiile parametrice aletraiectoriei sale absolute.

-------------------------------------------------Se identific micarea absolut, relativi de transport conform definiiilor

acestora, se ntocmete schema vitezelori acceleraiilori se utilizeaz legilelor de compunere.

a) pentru viteze:tra vvv +=

unde

uv r = , tuxv t == .Rezult

( )2tu + 222 uvvv tra =+=

221 tuv a += .b) pentru acceleraii:

ctra aaaa ++= unde

0=ra deoarece ctv r = ,2 tuxa t ==

2 deoarece ct= ,uva rc == 22 .

Rezult

( ) ( )22222

2 utuaaa cta +=+= 224 tua a += .

Pentru a obine ecuaiile parametrice ale traiectoriei absolute se nregistreazpoziia punctului n sistemul fix i se exprim coordonatele ca funcii de timp:

= cosxx

= sin1

1

xy.

Deoarece, conform legii micrii circulare uniforme,t= ,rezult ecuaiile parametrice ale traiectoriei absolute n coordonate carteziene:

==

ttuy

ttux

sin

cos

1

1 .

M

O

(d)

0

u

Ecuaia traiectoriei absolute se gsete prin eliminarea timpului ntreecuaiile parametrice.

Obs. n cazul de fa, o variant mai elegant pentru determinareatraiectoriei absolute const n utilizarea ecuaiilor parametrice de micare ncoordonate polare de forma

==

)(

)(

t

trr

,

unde:- r-raza polar;--unghiul polar.

M

(d)xu

t

x1

y1

O

0

r u=

a

t

a t

aa

ac

tr.detransport

tr.ab

solu

ta

tr.rel

ativa

Rezult

=

==t

tuxr

.Eliminnd timpul ntre cele dou ecuaii se obine ecuaia traiectoriei absoluten coordonate polare

= ur ,

sau sub forma=kr

reprezentnd o spiral arhimedic n coordonate polare.


3/42

2

S se calculeze lucrul mecanic efectuat n timpde o perioad de o for ( )+= tFF sin0 , ceacioneaz asupra unui punct material care are o

micare definit de legea txx sin0 = .----------------------------------------------------------------------------------

Se utilizeazrelaia de definiie a lucrului mecanic elementar:

dzFdyFdxFrdFdL zyx ++== .

Micarea este rectilinie, oscilatorie armonic. n expresia lucrului mecanicelementar, avem deci:

( ) += tFFx sin0 ; ;0=yF 0=zF ,

iardttxdx = cos0 .

Rezult( ) dtttxFdl += cossin00

Perioada micrii oscilatorii armonice este

= 2T

unde reprezint pulsaia. Prin urmare, lucrul mecanic finit efectuat de foraF n timpul unei perioade se obine prin integrare

( ) ( )

+=+=

2

000

2

000 cossincoscoscossincossin dtttttxFdtttxFL

+=

2

0

2

2

0

00 cossincossincos dttdtttxFL

++

=

2

0

2

02

00 22cos1sinsin

21cos dtttxFL

=

+=

sin2sin21

21

21sin 00

2

0

2

000 xFttxFL

sin00 = xFL .

Un tub este ndoit n forma unui cerc de ecuaie22 . n tub se mic o bil sub aciunea

unei fore avnd proieciile: i

2 ayx =+

O

A

B

r

FFy

Fx

O

x

t(M )

F

2ykx =F

yxkFy = , kfiind o constant.S se determine lucrul mecanic al forei cnd bilase deplaseaz ntre puncteleA(0,a)iB(a,0).

--------------------------------------------------------------Se utilizeazrelaia de definiie a lucrului mecanic elementar:

dzFdyFdxFrdFdL zyx ++== .

Rezult:dyyxkdxykdyFdxFdL yx +=+=

2

unde222 xay =

iar din022 =+ dyydxx

se obine

dxxdyy = .Astfel urmeaz:

) dxxkdxakdxxkdxxakdL == 22222 2

==a a

BAa

kakdxxkdxakL0 0

3322

322

3

31

akL BA =


4/42

O greutate G aezat pe un resortface ca acesta s se deformeze cu .Care va fi comprimarea maxim aresortului d n cazul n care aceeai

greutate este lsat s cad liber, frvitez iniial, de la nlimea h? Foraelastic din resort este proporional cucomprimarea.

0d

3

----------------------------------------------------------Se aplic teorema de variaie a energiei cinetice sub forma finit ntre

poziiile (0), (1) i (2)

1001 CC = LEE , 2112 = LEE CC unde 020 == CC EE

hGEC

deoarece n poziia (0)sistemul se afl n repaus, iar n poziia (2)viteza greutii este nul.Rezult astfel:

=1FdGE

emedC

,d=

1 .Fora elastic variaz liniar cu deformaia(factorul de proporionalitate fiind constanta elastic a arcului k), de la valoarea0 n poziia (1) la valoarea F n poziia (2). Rezultmaxe

dkF+0

Femed == 21

2max .

Prin urmare,

ddkdGEC = 2

11

Constanta elastic k se determin din condiia precizat n enun, conformcreia sub greutatea G arcul se deformeaz cu d :0

0d

Gk= .

Rezult astfel2

02

1d

d

GdGhG +=

sau022 00

2 = dhddd .Rdcinile acestei ecuaii de gradul doi n dsunt

+=0

02,1211d

hdd .

h

d

G

G

d0 Deoarece 121

0

>+d

h , soluia care convine este

++=00

211d

hdd

Obs. Se constat c pentru 0=h ( adic greutatea este lsat s cad brusc

chiar de pe captul arcului), rezult 2 dd 0= .

h

d

0

1

2

G

Femax


5/42

O bar omogen de lungime l i greutate G se poateroti n jurul captului su O, ntr-un plan vertical. Bara

pornete din repaus, dintr-o poziie dat de unghiul .

4

S se determine viteza unghiual a barei n m eom ntuln care bara trece prin poziia vertical.

--------------------------------------------------------------------Se aplic teorema de variaie a energiei cinetice sub

forma finit:2112 =EE LCC

unde deoarecesistemul pleac din repaus i astfel rezult

01 =CE

212 =LEC

unde:2

2

321

= lg

G202

21

= JEC ,

= cos22

21ll

GL .

Egalnd cele dou expresii se obine

( )cos12

32

1 2 = Gg

2 llG

de unde

( ) cos13

=l

g

S se determine reculul x al unei arme de foc, dac se neglijeaz frecrile.Se cunosc masaMa armei i poziia

centrului su de greutate, masa m a

glonuluii poziia d a acestuia naintede a apsa pe trgaci, precum ilungimea la evii armei.

O

d

C10

C20

Mgmg

-----------------------------------------------Se aplic teorema de variaie a impulsului sub forma teoremei micrii

centrului maselor

l/2cos

l/2

l

G

H

V

2

1

O

d

A

B

A

B

xx +d

C0 C20

C10

C10 C

C20

mgMg

Mgmg

(M+m)g

NA

NB

x 0 x

x

( ) BAC NNgm +++

Ox

gMamM =+

Prin scalarizare pe axa ,deoarece toate forele suntverticale, n acest caz, se obine

( ) 0=+ .C&&

C&&

1C&

21 CtCx C +

xmM

Rezult c ecuaia diferenialscalar de micare pe axa Ox este

0=x .

Prin integrare succesiv rezultCx = ,

.=Constantele de integrare se determin din condiiile iniiale, la momentul0=t avnd xx 0CC = i 0=Cx ; rezult 0& 1 =C i xC 02 C= . Se obine astfel

legea de micare a centrului maselorx ctxCC == 0 .

Dac centrul maselor rmne pe loc, problema revine la a calcula poziiaacestuia n cele dou stri ale sistemului:

- n poziia iniial:

mM

dmMx C +

+= 0 ;

- n poziia final:( ) ( )

mM

xdlmxMx C

+

++= .

Egalnd cele dou expresii se obine mrimea x a reculului:

Mm

mlx

+=


6/42

O roat de razr, care se rotete cu viteza unghiular 0 constant n jurulaxei Oz perpendicular pe planul roii, esteapsat de un sabot de frn cu fora radialF. Dup timpul roata se oprete datoritfrecrii.

1t

5

S se determine valoarea coeficientului defrecare dintre sabot i roati numrul derotaii pe care l face roata pn la oprire.Momentul de inerie al roii n raport cu axade rotaie esteJ.----------------------------------------------------------------------------------------

Se izoleaz roata i se aplic teorema de variaie a energiei cinetice subform elementar

extC dLdE = .

unde:2

21

= JEC

dJdEC = ,

iar lucrul mecanic elementar este efectuatnumai de ctre fora de frecare T : drFdL

ext = .Se obine astfel

drFdJ = dt:

dt

drF

dt

dJ

= .

Deoarece =dtd , iar =

dtd , rezult ecuaia diferenial de micare a roii

ActJ

rF==

==

&& .

Micarea este, deci, uniform ncetinit. Prin integrare succesiv avem:CtA +== 1& ,

21

2

2CtC

tA ++= .

Constantele de integrare se determin din condiiile iniiale, la momentul0t avnd 0== i 0=

0 +== tA& ,

ttA += 0

2

2

n momentul opririi 1tt= i 0= , deci exist relaia0

r

O F

J

0

01 += tA de unde se gsete

1

0

trF

J

=

.

Unghiul la care se oprete roata dup timpul 1tt= este 1=

ntttA

==+

= 221

2 1010

21

1 .

Din ultima egalitate rezult numrul de rotaii al roii pn la oprire

t

=

410n

r

O

d

N=F

T

G

R

Observaie

Pentru determinarea acceleraiei unghiulare a roii se putea aplica i teoremade variaie a momentului cinetic fa de axa de rotaie:

ext&

& ; rezult 01 =C i 02 =C . Se obine astfel vitezaunghiulari legea de micare a roii:

OO MK = ,

adic rFJ =


7/42

Un disc omogen orizontal, avnd masaMi razaR, aflat n repaus, se poate

roti fr frecare n jurul axeisale verticale de simetrie. Laun moment dat, pecircumferina discului ncepe

s se deplaseze, cu vitezarelativ constant u, un punctmaterial de masm.

6

S se determine viteza unghiular a discului.-----------------------------------------------------------

Se aplicteorema momentului cinetic n raport cu axa de rotaie

K =M& .

Deoarece toate forele ceacioneaz discul sunt fieparalele cu axa de rotaie, fie ointersecteaz, rezult c

0=M .Prin urmare, n raport cu

aceast ax momentul cinetic se conserv=KK0 .

Deoarece sistemul pleac din repaus, momentul cinetic iniial este nul00 =K .

n timpul micrii momentul cinetic este format dinpunctdisc KKK += .

Se consider pentru viteza unghiular a discului un sens de rotaie ca n figuri rezult:

== 2

2

RMJKdisc ,

( ) ( )RumRvvmRvmRK trapunct +=+== ,

02

22

=++ RmuRmRM .

Se obine astfel

( )mMRum

+

= 22

Obs. Semnul (-) arat c discul se rotete n sens contrar celui considerat

iniial, adic n sens orar.

O barc de lungime l i masM seafl n repaus avnd captul A lipit dedebarcader. n mijlocul brcii se afl,tot n repaus, un om cu masa m.

A B

/2

R

uS se determine cu ct se deplaseaz

barca atunci cnd omul se deplaseaz ncaptul A, dac se neglijeaz frecrile.-----------------------------------------------

Se aplic teorema de variaie a impulsului sub forma teoremei micriicentrului maselor

( ) NgmgMC ++

Ox

deoarece toate for

amM =+ Prin scalarizare pe axa ,

ele sunt verticale,n acest caz, se obine

( ) 0=+ C&&

C&&

1Cx C =& ,21 CtCx C +

xmM .

Rezult c ecuaia diferenialscalar de micare pe axa Ox este

0=x .

Prin integrare succesiv rezult

= .Constantele de integrare se

determin din condiiile iniiale, la

momentul 0=t avnd20l

i ; rezult

xx CC ==

0=Cx&

01 =C i 22l

C = . Se obine astfel legea de micare acentrului maselor

A B

A B

C

C

C

C

C

C

x

x

x x /2

N

Mg

mg0

10

20

10

20

mg

Mg(M+m)g

0R

O

C

mgMg

r

t

Ru=

ctl

x C == 2.

Dac centrul maselor rmne pe loc, problema revine la a calcula poziiaacestuia n starea final:

22 l

Mm

lxMxm

x C =+

++

=

de undeMm

mlx

+=

2.


8/42

7

Un punct material este lansat din punctul fix O, n aer i n plan

vertical cu viteza iniial

)(mM

0v nclinat sub

unghiul fa de orizontal.Considernd rezistena aerului

proporional cu viteza vmkR a = , s se

determine:a) ecuaiile parametrice de micare;b) ecuaia cartezian a traiectoriei;c) coordonatele punctului D de nlime maxim.

------------------------------------------------------Fora de rezisten a aerului este tangent la traiectorie i are sensul invers

vectorului vitez. Se aplic ecuaiafundamental a dinamicii micrii absolute

Ram = ,unde R reprezint rezultanta forelor ceacioneaz punctul, adic:

ga mRam += ,gmvmkam += .

Deoarecejyixr +=&&a = &&&& ;

jyixrv +== &&& ;jgg = ,

prin scalarizarea ecuaiei fundamentale se obin ecuaiile difereniale scalare demicare:

==

gmymkym

xmkxm&&&

&&&

sau

=+

=+gyky

xkx&&&

&&& 0 .

care se integreaz separat. Ecuaia caracteristic este02 =+ k

i are soluiile: 01 = ; k=2 . Soluiile generale ale ecuaiilor difereniale demicare sunt:

+=

+=

tk

geCCy

eCCx

tk

tk

43

21

.

Prin derivarea lor n raport cu timpul se obin componentele vitezei punctului,sub forma general:

m,t(M )

O

yD

xD

D

0

=

=

k

gekCy

ekCx

tk

tk

4

2

&

&

.

Constantele de integrare se determin din condiiile iniiale. La momentul

avnd respectiv = cosvx

, rezult:

0=t

==

00

yx

= sin0

0

vy&

&

+=+==

==

2

0043

021

sin1)sin(

cos

k

vkg

kk

gvCC

k

vCC

.

M

O

yD

xD

D

FC

mg

Ra

0

m,t( ) Se obin astfel ecuaiile parametrice de micare ale punctului material:

( )

( )

+

=

=

tk

ge

k

vkgy

ek

x

tk

tk

1sin

1

2

0

0

v cos

,

respectiv componentele de vitez:

+=

=

kge

kvkgy

evx

tk

tk

sin

cos

0

0

&

&

.

Traiectoria de micare se obine eliminnd timpul ntre ecuaiile parametrice

cos1

0 =

ve tk

xk

cos11

0 ==

v

xk

ee

tk

tk

cos1

1

0 =

v

xke

tk

=

=

cos1ln1ln

cos1

1ln1

0

0

v

xk

v

xkkt

+

+=

cos1ln1

cos

sin

002

0

v

xk

kk

g

v

xk

k

vkgy

+

+=

cos1ln

cos 020 vxk

k

g

vk

xgtgxy

Timpul necesar deplasrii punctului dinA nD (punctul de nlime maxim)


9/42

se determin din condiia ca 0=y& .

0sin0 =

+=

k

ge

k

vkgy D

tkD

&

sin1

0 +==

vkg

g

ee

D

D

tk

tk

g

vkg

eDtk

sin0 +

=

g

vkg

ktD

sinln1 0

+= .

Cu acest rezultat introdus n ecuaiile parametrice de micare se deduccoordonatele punctului de nlime maxim:

( )

+

=

=

=

g

vkgk

v

ek

v

ek

v

x DD tk

tkD

sin1

1

cos11

cos

1

cos

0

000

;

sin

sincos

sin

sincos

sin1

cos

0

00

0

00

0

0

+

=

+

+

=

+

=

vkg

vk

k

v

vkg

gvkg

k

v

vkg

g

k

vxD

sin

cossin

0

20

+

=

vkg

vxD .

( ) DtkDtk

D tk

g

ek

vkgt

k

ge

k

vkgy

D

D

+=

+=

11sin

1sin

2

0

2

0 ;

g

vkg

kk

g

g

vkgk

vkgyD

sinln1

sin11

sin 0

02

0 +

+

+= ;

gvkg

kg

vkggvkg

kvkgyD

sinln

sinsinsin 02

0

020 ++ ++=

g

vkg

k

g

k

vyD

sinln

sin 02

0 +

=

Obs. Traiectoria prezint o asimptot vertical a crei ecuaie se deducefcnd t n ecuaiile parametrice de micare i rezult:

k

vxx F

cos0 == .

8


10/42

Un punct material M de mas m estelansat de pe suprafaa din figur avnd raza

R cu viteza iniial orizontal 0v .

S se determine valoarea vitezeipunctului ntr-o poziie dat de unghiul iunghiul sub care punctul prsetesuprafaa, dac se neglijeaz frecarea.

9

-------------------------------------------------Se izoleaz punctul i se proiecteaz pe axele sistemului intrinsec n care

viteza v i reaciunea normal N suntevideniate direct. Traiectoria fiind binedefinit, se poate determina viteza cafuncie de . Dat fiind c ( )t= , se

obine ( )vv= , adic ( )tvv= .Se utilizeaz ecuaia fundamental a

dinamiciiRrm = &&

care se proiecteaz pe axele sistemului ales:

=

=

NgmRvm

gmdt

dvm

cos

sin

2

.

Prima ecuaie se nmulete cu d

dgdt

dv = sin

dgdvdt

d= sin

unde Rvdtd

==

& .Rezult dRgdvv = sin

= dRgdvv sin

CRgv += cos2

2

Constanta de integrare se determin din condiiile iniiale privind pozitia i

viteza, la momentul

C

0=t avnd . Rezult == 0

0vv

Rgv

2

cu care se

obine expresia vitezei punctului

( )cos1220 += Rgvv .

R

m,t(M )

0

M

O

Condiia de desprindere este ca reaciunea normal N s se anuleze,moment la care unghiul se noteaz cu , iar viteza are valoarea

( )cos12201 += Rgvv .

Din a doua ecuaie, punnd condiia 0=N i nlocuind = , rezult:

( ) cos12cos 201 +== RgvRgv

de unde seobine unghiul de desprindere :

Rg

v

+=

332cos

20

.

R m,t(M )

mg

0

1

M

O

N

Obs.1. Pentru obinerea vitezei se poate aplica i teorema energiei cinetice nform finit

C += 20

2112 = LEE CC

unde: ( )20212 21

vvmEE CC = ,

( )cos121 = RgmL .Egalnd cele dou expresii rezult aceeairelaie a vitezei punctului.

Pentru a determina unghiul de

desprindere , este necesar s se scrie ecuaia diferenial de micare pedirecia normalei principale n care s fie impus condiia 0=N .Obs.2.Se poate utiliza, de asemenea, teorema momentului cinetic pentru

obinerea vitezei

OO MK =& ,

unde kRvmKO = ,

kdt

dvRmK

O

=& ,

iar momentul rezultant este dat de forade greutate

kRgmO = sinM .Egalnd cele dou expresii conform teoremei, se ajunge la aceeai ecuaiediferenial

sin=g

dt

dv ,

dup care se continu pe calea prezentat anterior.

R m,t(M )

mg

0

M2

1

O

R m,t(M )

mg

0

M

O


11/42

Un punct M de mas m descrie un cerc de razR cu centrul n , subaciunea unei fore centrale avnd polul situate

pe cerc n punctul O.

1O

10

Cunoscnd viteza iniial Ov a punctului n

poziia A, diametral opus polului O, s sedetermine:

a) expresia forei centrale n funcie de razapolar;

b) viteza punctului n funcie de razapolar.

-------------------------------------------------------Se utilizeaz ecuaia lui Binet care rezolv

determinarea, sub form explicit, a ecuaiei

traiectoriei punctului material aflat n micarecentral, n coordonate polare:

222 uCmu

d =+

2 Fud ,

unde:- u este o notaie reprezentnd

inversul razei polare

r

u =

-1 ;

reprezint unghiul polar;- F reprezint fora central sub

aciunea creia se mic;- m reprezint masa punctului;- Creprezint constanta ariilor.

a) n cazul de fa, traiectoria n coordonate polare sub form explicit( )rr poate fi definit, constanta ariilorCse poate determina din condiiile

iniiale date n enun, masa m constituie dat de intrare i astfel poate ficalculat fora centralFsub aciunea creia se mic punctul.

=

- ecuaia polar a traiectoriei:

sin2 == ROMr , sin2

11

==Rr

u .

Urmez:

2sin

cos

2

1

=Rd

du

,

3

2

2

2

sin

cos1

21 +

=Rd

ud ;

- constanta ariilor C reprezint modulul produsului vectorial vr i sedetermin cu relaia:

m,t(M )

O1

A

R

O

0

F

000 sin= vrC

unde condiiile iniiale (n punctual A) la momentul 20 = sunt: ;Rr = 20

20 = . Prin urmare,

02 vRC = .Din ecuaia lui Binet rezult fora central:

+= u

d

uduCmF

2

222

5

20

432

r

vRmF

=

m,t(M )r

O1

A

R

0

0

0

O

F

Obs.Semnul (-) arat c for central este de atracie.

b) n micarea central, componentele vitezei raportate la un sistem decoordonate polare, sunt:

d

duC

rd

dCrvR =

== 1& ; uC

rCrvN ===

1& .

Rezult:

22

202

2

sin21

sin

cos

212

+

=+

=

RRvRu

d

duCv

2

024

r

vRv

= .

[ ]


12/42

La ce altitudine trebuie plasat i ce vitez trebuie s aib un satelitgeostaionar?-------------------------------------------------------------------------------------

Un satelit geostaionar se afl plasat pe o orbit circular, situat n planulecuatorial al Pmntului, la oaltitudine h i are viteza

unghiular egal cu vitezaunghiular a Pmntului.

11

Se utilizeaz ecuaiafundamental a dinamicii micriiabsolute

Fam = ,unde m reprezint masa satelituluice se mic cu acceleraia a subaciunea unei fore F,

considerat a fi fora de atracie universal. Aceasta prezint expresia

( )2hR

MmkF =

- k constanta atraciei universale;+

,

n care:

- M masa Pmntului;- R raza Pmntului;- h altitudinea la care este plasat satelitul.

Viteza satelitului va fi( )hRv S += .

Proiecia ecuaiei fundamentale pe direcia normalei principale a unui sistemintrinsec de coordonate este:

Fam =

sau

( ) 2

2

hR

Mmk

hR

vm

S

+

=+

.

nlocuind expresia lui , rezult nlimea h la care trebuie plasat satelitulSv

RMk

h = 32

.

Considernd valorile numerice- R=6378 km,

24- ,11

kgM 106=

10672,6 = kgmNk- ,22

- [ ][ ]sec360024

2 rad

= ,

rezult

kmh 924.35= , respectiv skmv S 076,3= .

O

S

R

h

ecuator

a S

F


13/42

Un satelit artificial se mic pe o orbit circular la nlilea h deasupraPmntului.

S se calculeze viteza i perioada de revoluie ale satelitului artificial.--------------------------------------------------------------------------------------

Se utilizeaz ecuaia lui Binet care rezolv determinarea, sub formexplicit, a ecuaiei traiectoriei punctului material aflat n micare central, n

coordonate polare:

12

222 uCmu

d =+

2 Fud ,

unde:- u este o notaie reprezentndinversul razei polare

ru =

-

1 ;

reprezint unghiul polar;- m reprezint masa satelitului;- Creprezint constanta ariilor.- F reprezint fora central subaciunea creia se mic satelitul,considerat a fi fora de atracieuniversal. Aceasta prezintexpresia

( )2hR

MmkF

+

= ,

n care:- k constanta atraciei universale;- M masa Pmntului;- R raza Pmntului;- h altitudinea la care este plasat satelitul.a) n cazul de faraza polarreste o mrime constant, deci

cthRr

u =+

== 11 .

Prin urmare,

0=d

du respectiv 02

2

=d

ud

i ecuaia lui Binet devine:

( )22

2

2

1

1

C

Mk

hRCm

hRMmk

hR

=

+

+

=+

,

de unde( )hRMkC += .

Constanta atraciei universale k se poate determina observnd c, lasuprafaa Pmntului unde h=0, fora de atracie este egal cu greutatea:

gmGF == ,greprezentnd acceleraia gravitaional. Prin urmare se poate scrie relaia:

gmR

Mmk = 2

O

S

r

R

h

F

de unde rezultgR

k

=2

.

nlocuind n expresia constantei ariilorC, se obine( )hRgRC += .

n micarea central, componentele vitezei raportate la un sistem decoordinate polare, sunt:

d

duC

rd

dCrvR =

== 1& ; uC

rCrvN ===

1& .

Rezult:

( )hR

hRgRuCuCud

duCv

++==+=+

= 10 22

2

hR

gRv

+= .

b) Perioada de revoluie reprezint timpul necesar pentru a parcurge ocircumferin. Viteza fiind constant, perioada va fi:

( )v

hRT

+=

2;

( )g

hR

RT

3

2+

= .

Obs. Perioada micrii de revoluie se poate calcula i pornind de ladefinirea constantei ariilor:

( )dt

dhRrC

+== 22 & .

Rezult( ) dhRdtC += 2 .

Prin integrare obinem

( )

+=

2

0

2

0

dhRdtT

C de unde,( ) ( )

g

hR

RC

hR32

222 +=+

=

T .

S d t i iiil d hilib l ti i


14/42

S se determine poziiile de echilibru relativ icorespunztor forele de legtur, ale unui punct materialgreu de masm, care poate aluneca fr frecare pe un cercde razR ce se rotete n jurul diametrului su verticalABcu viteza unghiular constant .

13

-----------------------------------------------------------------

n lipsa micrii relative ( 0=rv i 0=a ),r ecuaiafundamental a dinamicii micrii relative

jcjtr F+FRam +=

se transform n condiia de repaus relativ0=+FR jt

unde:( ) kgmNiN + cossingmNR =+= ,

iRm = sin2amF tjt =

+

cossinN

N

Scalariznd condiia de echilibru relativ se obinecuaiile:

==

00sin2

gm

Rm

.

Din a doua ecuaie se obine

cos

gm

N

= care se introduce n prima i rezult

0sinsincos

2 =+

Rmgm

( ) 0cossin 2 = gR .Pentru 0sin = rezult poziiile

01 = i =2 ,

iar pentru ,0cos2 = gR

R

g

=

24,3arccos

cu condiia ca 12

.

Corespunztor acestor poziii se obin reaciunile normale:

gmN =1 ; gmN =2 ;

R

ggmN

=

2

4,3

cos

B

A

R

m(M )

O

B

A

R

r

M

O

mg

FjtN

a t

U t t i l d t i t d l ti l C t t l d i t d t i di diiil i ii l l t l 0t


15/42

Un punct material greu de masm se poate mica ntre dou plane verticalelucii, foarte apropiate, care la rndul lor se rotesc cuviteza unghiular constant n jurul unei axeverticale situat n planul median al celor dou

plane.

14

Dac la momentul iniial punctul se afl n

repaus relativ n raport cu planele, la distana x , sse determine:

0

a) ecuaiile parametrice ale traiectoriei salerelative;

b) ecuaia cartezian a traiectoriei relative;c) reaciunea normal a planelor.

--------------------------------------------------------------------------------n prealabil se izoleaz punctul i se ntocmete schema forelor date, de

legturi de inerie ce acioneaz asupra lui,avnd n vedere relaiile de definiie cunoscute

pentru acceleraia de transport i acceleraiaCoriolis. Pentru sensul de rotaie considerat,

punctul apas asupra planului ( ) .1PSe utilizeaz ecuaia fundamental a

dinamicii micrii relative

jcjtr F+FRam += n care:

kzixa =r + &&&& ,

jNkgmNgmR +=+= ,

ixmamF tjt ==2 ,

( ) jxmkzixkmvmamF rcjc =+=== &&& 222 .

Scalariznd aceast ecuaie vectorial, se obin ecuaiile difereniale:2

==

=

gmzm

xmN

xmxm

&&

&

&&

20

x&&

.

Pentru prima ecuaie pus sub formax 02 =

ecuaia caracteristic este , de unde022 = =2,1 . Soluia ecuaiei

difereniale este decitt eCeCx += 21

tt eCeCx = 21& .

Constantele de integrare se determin din condiiile iniiale, la momentul

avnd =xx

. Rezult

0=t

=0

0

x& 20

21x

CC == cu care se obine legea de micare i

componenta de vitez dup axa Ox:O

x0

P( )1P( )2

m,t(M )

tchxx = 0 ,

.tshxx = 0&

Din a doua ecuaie diferenial rezult reaciunea normaltshxmN = 0

22 .Cea de a treia ecuaie diferenial, prin integrare,conduce la

Ctgz 3+= ,&

43

2

2CtC

tgz ++

= .

Constantele de integrare se determin din condiiile iniiale, la momentulavnd = 0z . Rezult

0=t

Ox

0

x

rz

M

mg

N

Fjc

Fjtac

a t

P( )1P( )2

r

= 0z&043 ==CC cu care se obine legea de micare dup axa

Oz:

2

2tgz

= .

Prin eliminarea timpului ntre cele dou ecuaii parametrice de micare se

obine ecuaia cartezian a traiectoriei:

=g

zchxx

20 .


16/42

Se consider sistemul din figur compus din bara omogen AB de lungime 2l c) Relaia de mai sus se nmulete cu d i se integreaz:


17/42

Se consider sistemul din figur compus din bara omogenAB de lungime 2li mas mM =3 i punctele materiale A i B de mase egale mmm BA == .Sistemul pleac din repaus din poziia definit de unghiul , sub aciuneagreutii sale.

S se determine:

16

a)momentul de inerie mecanic al sistemului nraport cu centrul de mas al acestuia;

b)ecuaia diferenial a micrii sistemului nfuncie de parametrul ;

c)viteza unghiular &= n funcie de unghiul ;d)valoarea unghiului pentru care bara se

desprinde de pe peretele vertical.-------------------------------------------------------------------

a) Se nsumeaz momentele de inerie pentru cele trei elemente componenteale sistemului material i rezult( ) ( ) 2

222

2

212

23

12

2lm

lmlmlm

lMJ BAC +

=++

=

23 lmJ C = .b) Se izoleaz sistemul i se ntocmete

schema forelor date, i de legtur ce

acioneaz asupra lui. Se aleg sistemele dereferin ca n figur, astfel nct axele Cxi Cyale sistemului mobil reprezint axe principale i

centrale de inerie. n aceste condiiisistemul de ecuaii difereniale scalare demicare plan este:

==

=

cossin

55

5

1

1

lNlNJ

gmNym

Nxm

ABC

BC

AC

&&

&&

&&

.

Conform figurii, se exprim coordonatele centrului de greutate al barei nfuncie de unghiul de micare i se deriveaz succesiv n raport cu timpul:

==

cos

sin

1

1

ly

lx

C

C ; ; .

==

sin

cos

1

1

&&

&&

ly

lx

C

C

=

=

cossin

sincos2

1

21

&&&&&

&&&&&

lly

llx

C

C

Cu ajutorul acestor expresii, se exprim reaciunile normale n puncteleAiB din primele dou ecuaii difereniale de micare i se nlocuiesc n cea de a

treia. Astfel se obine ecuaia diferenial a micrii sistemului n funcie deparametrul :

0sin85 =

l

g&& .

c) Relaia de mai sus se nmulete cu d i se integreaz:

dl

gd

dt

d= sin

85& ;

dl

gd = sin

85 ;

2

B

A

C

l

g+= cos

4

52 .

Constanta de integrare se determin din condiiile iniiale, la momentul

avnd . Rezult

0=t

==

0

cos45 =

l

gC , cu care se obine viteza unghiular

&= n funcie de unghiul :

( ) coscos2

5=

l

g.

d) Condiia de desprindere este ca 0=AN , de unde rezult:01 =Cx&&

5mg

A

B

C

x C1

yC1

O1

NA

NB

adic sincos 2 = &&& ll ,

( ) sincoscos45cossin

85 =

l

g

l

g,

coscoscos21

= ,

= cos

32arccos .

Pentru sistemul de corpuri din figur se cunoate: - (3) execut o micare de translaie rectilinie cu viteza vv =


18/42

Pentru sistemul de corpuri din figur se cunoate:- corpul (1) este articulat cilindric n O, are masa MM = 4

21 10 RMJ O =

- corpul (2) este un disc omogen de raz Rr1 i momentul de

inerie mecanic n raport cu punctul O, ;

17

= 22 i mas MM =2 , articulatcilindric n Cde corpul (3) i este legat prin intermediul unei transmisii cu firde corpul (1);- corpul (3) are masa MM =3 i poate aluneca cu frecare pe o suprafaorizontal, coeficientulfrecrii de alunecare fiind .

Considernd corpul (1)acionat de un cuplu

RgMM , s se

determine acceleraia corpului(3) i tensiunile n cele douramuri ale firului.

O = 4

--------------------------------------------------------------------------Se izoleaz corpurile ca n figur, se introduc forele date i de legtur

exterioare i interioare alesistemului, dup care seutilizeaz teorema micriicentrului de masi teoremamomentului cinetic, separat

pentru corpul (1), respectivpentru corpurile (2) i (3)mpreun.

RaM C = ; OO MK =&

.-corpul 1- -corpurile 2-3

+= HSS0 += TSSaM2

+==

RSRSMJ

gMV

OO 3

40

1211

21

==

RSRSJ

NgM

C 22

20

2122

213

; .

Sistemul prezint un singur grad de libertate i legtura ntre parametriicinematici ,3a 1 i 2 se poate face analiznd tipul de micare executat de

ctre fiecare corp:- (1) execut o micare de rotaie cu viteza unghiular 1 n jurul punctului O;

v- (2) execut o micare plan cu viteza C a centrului su de masi vitezaunghiular 2 , sau o micare relativ de rotaie cu 2 fa de axa din Ccareasigur micarea de transport;

(3) execut o micare de translaie rectilinie cu viteza Cvv =3 .Astfel, pot fi scrise relaiile:

BA vRv =31=

O

R MO

1

1 C

2

E

B

2

A

D

B

E

I

2R

R

R

D

A

2R3R

= 3

ED vRv == 1Pe de alt parte

=

IEv

IB

E

B

2

2

=v

( )IEIBvv EB += + 2

OR

3R

MO

1

2R

C

3

2

A

D

B

E

()

sauRRR 43 211 = +

de unde rezult

12 = .De asemenea, se observ c

RRRvvvv

vDAEB

C =

=

== 111

2

3

22

,

deciRvv C == 13 .

Prin urmare,

R

v 321 == .

OR

3R

MO

4Mg1

V

H

S1

S2

1

2R

C

NT

3

22Mg

S1

S2

2

A

D

B

E

a =a3 Derivnd n raport cu timpul rezult

R

a 321 == .

Cu acest rezultat i avnd n vedere c

NT = iar( )

2

2 2

2

RMJ C

= ,

din cele ase ecuaii scalare se obin:

ga = 73 2 ; gMS += 141161

; gS += 141322 .

Se consider sistemul de corpuri omogene din figur, alctuit dintr-un disc -corpul 1- -corpul 2-


19/42

p g g ,de razR i greutate G de care estearticulat o bar OA de greutate P.Discul se poate rostogoli fr alunecare

pe un plan nclinat cu unghiul fa deorizontal, coeficientul frecrii de

rostogolire fiind s, iar cel al frecrii dealunecare . Bara se sprijin cu captul

A pe planul nclinat, coeficientul frecriide alunecare fiind tot i nchideunghiul cu planul nclinat.

18

S se determine acceleraia centrului O al discului i reaciunile exterioare iinterioare ale sistemului.

------------------------------------------------Se aplicprincipiul lui dAlembert. n prealabil se izoleaz corpurile i se

introduc forele i momentele date i de legtur exterioare i interioaresistemului material. n continuare, se introduc elementele torsorului forelordeinerie n centrul de greutate al fiecrui corp tinnd seama de modul n care semic sistemul, dup care se stabilesc relaiile de legtur ntre parametriicinematici cu care se mic diversele elemente. n final, se scriu ecuaiilescalare de echilibru pentru fiecare element component al sistemului, din care sedetermin mrimile cerute n problem.

p p

=

=

=+

=+

AA

AA

A

jA

NT

lN

lT

lH

lV

NPV

RTPH

0cos2

sin2

sin2

cos2

0cos

0sin 1

=+=+

=

Br

BB

Brj

B

jB

NsM

NT

RTMM

NVG

0

0cos

0

2

2

, .

RTHG sin

B

A

R(,s)

()

1

2

O

P

G

C

Elementele torsorului forelor de inerie sunt:

ag

P, a

g

GR j =2 , == 2

2

2R

g

GJM Oj .1jR =

Legtura ntre parametrii cinematici se stabilete astfel:

R

v ,R

av

R===

&& .=

Rezult n final:

( )( )

PG

ctg

Rs

P

ctg

Rs

PR

sG

ga

+

+

+

+

+

=

23

2sin1cossincossin

;

G

P

V

H

H

V

N

T

A

A

NB

TB

M r

A

B

O

O

CMj2

Rj1

Rj2

a aC

a

a

R

( )

( )

ctg

PP

ag

P

V+

+

=2

cossin2sin

; ( )

cossin= PVa

g

PH

;VPNA = cos ; ( )VPTA = cos ; VGNB += cos ;

ag

GHsinGBT = ;

2V

2HlOR +=

Rostogolirea are loc fr alunecare dac :

BNBT

dFy

Fh


20/42

O plac triungiular omogen OAB de masM i catete de lungime l, se

poate roti n jurul catetei verticale cu vitezaunghiular constant . Placa este articulatcilindric n Oi simplu rezemat nB.

19

S se determine valoarea vitezei unghiularepentru care reaciunea din B se anuleaz. Seneglijeaz frecrile i rezistena aerului.------------------------------------------------------------

Se aplicprincipiul lui dAlembert. n prealabil

se izoleaz corpul i se introduc forele imomentele

date i delegtur ,

precum i forele de inerie. ce acioneazrigidul.

Pentru calculul forei de inerie se

consider un element de ariedxydS = aflat la distana x fa de axa de rotaie.Fora de inerie elementar,corespunztoare acestuia, va fi

xdSl

MxdSxdmdF Sj ===

2

2

22

2

,

xdxylMdFj = 222 .

Ecuaia drepteiAB n sistemul de referinOxy este xly = i astfel rezult

( ) dxxxll

MdFj

=2

22 .

Fora de inerie total se calculeaz ca rezultant a forelor de inerie elementare

( )==

l 22

jlM

dxxxl

l

MF

0 2 3

2 .

Pentru a determina distana h la care acioneaz fora de inerie total, seobserv ca forele de inerie elementare sunt paralele i au o rezultant unic,

prin urmare este valabil teorema Varignon conform creia

= jj dFFh2

,

de unde

( )

4

3

2

2

02

2

l

lM

dxxxll

M

h

l

=

=

.

AO

B

n continuare, se scriu ecuaiile scalare de echilibru din care se determinmrimea cerut n problem.

=

=+

=+

03

0

0

hFlNl

gM

gMV

FHN

j

j

.

Din a treia ecuaie se calculeazN

=gM

=43433

22 lg

MlMN

dFj

Mg

Fj

A

HC

h y

x dx

B

V

H

N

dS

O

iar din condiia ca N=0 rezult valoarea vitezei unghiulare pentru carereaciunea dinB se anuleaz:

l

g=2 .

Obs.Din celelalte dou ecuaii pot fi calculate componentele reaciunii din On funcie de viteza unghiular. Astfel rezult:

gMV = ;

343

22 +

=+= lMlgMFNH j

43

2 lM

gMH

+= .


21/42

Bara omogenOA de greutate P este articulat plan n O iar la captul Aeste prins cu un fir perfect flexibil i inextensibil

petrecut peste un scripete micB. La captul firului este

agat o greutate Q . Se cunosc lungimile OA=OB=ai lungimea firului l.

20

S se determine unghiul pentru poziia deechilibru.---------------------------------------------------------------

Se aplicprincipiul lucrului mecanic virtualn cazulechilibrului static

( ) == ii rFL =++ 0iiziiyiix zFyFxF .n situaia de fa

jQQ = ; jP=P ;jyixr QQQ += jyixr QQQ += ;

jyixr PPP += jyixr PPP += .nlocuind rezult

0== PQ yPyQL .Conform datelor problemei,

= 2sin2

alay Q

= 2cosay Q ;

cos21 = ayP

== 2cos2sinsin21

aayP .

Se obine astfel ecuaia

02sin2cos = QP cu soluiile:

02cos = =1 - echilibru instabil;

02sin = QP

P

Qarcsin22 = - cu condiia PQ .

Q

PO

A

B

Q

PO

A

B

yP

yQ

yP

yQ

a

coscossinsin1 +

++ lFlFlQl

G


22/42

21

1l 2lBarele omogene OAi OB de lungimi i

avnd greutile G i Q , articulate plan n OiA, sunt activate nAiB de forele orizontale de

modul constant 1F i 2F .S se determine unghiurile 1 i 2

corespunztoare configuraiei de echilibru asistemului.----------------------------------------------------------

Se aplicprincipiul lucrului mecanic virtualn cazul

echilibrului static

) == ii rFL =++ 0iiziiyiix zFyFxF .n situaia de fa

jGG = ; jQQ = ;iFF = 11 ; iFF = 22 ;

jyixr GGG += jyixr GGG += ;jyixr QQQ += jyixr QQQ += ;

jyixr FFF += 111 jyir FF += 11 xF 1 ;

jyixr FFF += 222 jyixr FFF += 222 .

nlocuind rezult0

21 21=+++= FFQG xFxFyQyGL .

Conform datelor problemei,

11 cos2

=l

y G 111 sin2

=l

y G ;

22

11 cos2cos +=

lly Q 22

2111 sin2

sin =l

ly Q ;

11 sin1 =lxF 111 cos1 =lxF ;

2211 sinsin2 += llxF 222111 coscos2 += llxF .

Se obine astfel ecuaia

0cossin2

coscossinsin2

222222

1112111111

=

++

+

++

lFl

Q

lFlFlQG

Q

G

C1

C2

A

B

F1

F2

1

2

O

1

2

Impunnd condiiile 01 i 02 = , respectiv 01 = i 02 , rezultsistemul

=+

=++

0cossin2

0coscossinsin2

22222

1121111111

lFl

Q

lFlFlQl

G

,

din care se gsesc valorile unghiurilor pentru poziia de echilibru:

QG

FF +tg

+=

2

211 ,

Q

F2tg

22 = .

Q

G

C1

C2

A

B

F1

F2

1

2

yQ

x

yG

x

O

F1

F2


23/42


24/42


25/42


26/42

de micare i determinm momentele i , spunem c rezolvm modeluldinamic invers

OM AM


27/42

dinamic invers.

S se stabileasc ecuaiile difereniale ale micriimanipulatorului RT din figur. Se neglijeaz maseleelementelor mecanismului, iar obiectul manipulat se

asimileaz cu un punct material de masm.

26

----------------------------------------------------------------

Se aplic ecuaiile Lagrange de spea II-a

kk

cQ

q

E

k

c

qdt

d =

&

E

Energia cinetic este dat de relaia

( )1 2222 zyxmEc

&&&

++==

==

1

12

12

lz

sqqy

+=

=

0112

112

z

cqqsqqy

sqqcqqx

&

&&&

&&&

.Conform figurii

= cqqx

=

21

21

q

q

( )[ ]222 q&+1221

qqmEc &== .

Derivatele energiei cinetice sunt:0

1

=

E

q

c ; 122

1

qqmq

E c&

&=

;

( )= +=

1

22122

1

2 qqqqqmq

E

dt

d c&&&&

&;

212

2

qqmq

Ec&=

; 2

2

qmq

Ec&

&=

; 2

2

qmq

E

dt

d c&&

&=

.

Forele generalizate motoare se calculeaz cu relaiile:

11

11

1

11 M

q

qML

qQ ===

;

22

22

2

22 F

q

qF

q

LQ =

==

.

Dup inlocuire n ecuaiile Lagrange de spea II-a rezult ecuaiile diferenialede micare:

( ) 11222122 Mqqqqqm =+ &&&& ; ( ) 22122 Fqqqm = &&& .

S se stabileasc ecuaiile difereniale ale micriimanipulatorului RTT din figur. Se neglijeaz maseleelementelor mecanismului, iar obiectul manipulat seasimileaz cu un punct material de masm.------------------------------------------------------------Se aplic ecuaiile Lagrange de spea II-a

kk

c

k

cQ

q

E

q

E

dt

d =

&

.

Energia cinetic estedat de relaia

( )222

2 zyxmEc&&&

++==

==

2

13

13

qz

sqqy

+==

2

3113

3113

qz

qqsqqy

qqcqqx

&&

&&&

&&&

1

mg

M1

F3

P

F2mg

M1

F2

1P

.Conform figurii

= cqqx

=

1

1

cq

sq

( )[ ]23222 qq && ++1321

qqmEc &== .

Derivatele energiei cinetice sunt:0

1

=

E

q

c ; 123

1

qqmq

E c&

&=

;

( )= +=

1

23133

1

2 qqqqqmq

E

dt

d c&&&&

&;

mg

M1

,q3 q3

F3

q1

q3

x,y,zP mq2

q2

F2

q2

y x

z

q1q1

mg

M1

,q2 q2

F2

q1

q2

x,y,zP m

y x

z

1

q1q1

02

=

q

Ec ; 22

qmq

Ec&

&=

; 2

2

qmq

E

dt

d c&&

&=

.

223

3

qqmq

Ec&=

; 3

3

qmq

Ec&

&=

; 3

3

qmq

E

dt

d c&&

&=

.

Forele generalizate motoare se calculeaz cu relaiile:

11

11

1

11 M

q

qML ; gmF

q

qgmqFL

qQ =

== 2

2

222

2

22

;

33

33

3

33 F

q

qF

q

LQ =

==

qQ ===

Dup inlocuire n ecuaiile Lagrange de spea II-a rezult ecuaiile diferenialede micare:

( ) ; gmFqm = 22&& ; ( ) 32133 Fqqq = &&&m .1123313 Mqqqq =+ &&&&2 qm

= 22 cos

2sin23 akaPaPa

g

p&&


28/42

Se d o bar cotitAOB, cu unghiul drept n O, articulat cilindric n acestpunct. Barele omogeneAOi OB au lungimile ai 2ai greutile P, respectiv

P2 . n captul A acioneaz, perpendicular pe bara

AO, un arc cu constanta elastic k. n poziia deechilibru static bara OB formeaz cu orizontalaunghiul .

27

S se determine ecuaia diferenial a miciloroscilaii i perioada acestora.-------------------------------------------------------------------------

Se reprezint bara ntr-o configuraie dat de unghiul fa de poziia deechilibru. Considernd cazul miciloroscilaii, unghiul o5 , situaie n care

sin iar cos 1 i arcul poate ficonsiderat c rmne perpendicular pe bara

AO. Se aplicteorema momentului cinetic nraport cu axa de rotaie:

zO MJ = && .

( ) ( ) aFa

PaPJ eO ++= sin2cos2&&

unde:

( ) 222

33

223

ag

Pa

g

Pa

g

PJ O =

+= ,

( ) sincossinsincoscoscos =+ ,( ) cossincossincossinsin ++=+ ,

+= akFF stee

.

Fora elastic din arc n condiii statice se determin scriind o ecuaie de

momente n raport cu punctul O:

st

eF

0sin = aF2

cos2 PaP stea ,

de unde

sin2

Pcos2 = PFste .

Dup nlocuire n expresia obinut n bazateoremei momentului cinetic, rezult:

g

0cos21sin2

3=

+

++

P

k

aa

g&& .

Introducnd notaia

++

=P

ak

a

gp cos

2

1sin2

3

2 ,O

A

B

k

ecuaia diferenial a micrii devine02 =+ p&& .

Soluia acesteia este de formaptCptC sincos 21 += .

Perioada micilor oscilaii este

++

==

Pak

agp

T

cos21sin2

3

22 .

2P

Fe

P

H

V

a

a/2 sin a cos(+) (+)

Fest

P

2P

H

V

a/2 sin a cos

O

Dup nlocuirea acestora i a momentului de inerie mecanic al discului (1)2Q R

J


29/42

28

Se d sistemul din figur care pornete din repaus sub aciunea greutilorproprii. Discul omogen (1), de razR i greutate Q , se rostogolete fr

alunecare pe planul orizontal, coeficientul frecrii de rostogolire fiinds. El estelegat printr-un fir perfect flexibil i inextensibil, nfurat pe discul de razralunui troliu (2) articulatcilindric n O i al cruimoment de inerie mecanic nraport cu axa de rotaie este J.Un alt fir, nfurat pe discul derazR al aceluiai troliu (2),are la capt corpul (3) degreutate

2

P care poate alunecape planul nclinat la unghiul , coeficientul frecrii de alunecare fiind .

S se determine acceleraia greutii Pi tensiunile din fire.-------------------------------------------------------------

Se utilizeazteorema de variaie a energiei cinetice sub form elementarext

C dLdE = .Pentru aceasta seevideniaz reaciunileexterioare ale sistemuluimaterial. Energia cinetictotal a sistemuluireprezint suma energiilorcinetice a corpurilor care l

compun: )3()2()1(cccc EEEE ++= .

Pentru fiecare din corpurile sistemului formula de calcul a energiei cinetice estefuncie de tipul de micare al acestuia. Rezult astfel

21

21

22

212

1111 QP222

+++= OC Jvg

Jvg

E .

Sistemul avnd un singur grad de libertate, parametrii cinematici vor fi

exprimai n funcie de viteza v a corpului (3):

R

v=2 ; R

rvrv == 21 ; 2

11

R

rv

R

v== .

21 gJ O = ,

se obine pentru energia cinetic total expresia

2

2

2

2 23

21

vR

r

g

Q

R

J

g

PEC

++= .

Rezultdvv

R

r

g

Q

R

J

g

PdEC

++=

2

2

2 23 .

R

r

J

()

R

(s)

O2

O1

23

1 Se calculeaz lucrul mecanic elementar

( ) ( ) dtvR

rQsdtvPPdtMdtvTPdL r == 21 cossinsin .

n continuare, conform teoremei de variaie a energiei cinetice, se gsete:

dtvR

rQsPPdvvR

rgQ 2

R

JgP

=

++222

cossin23 dt: ,

=

++

22

2

2cossin

23

R

rQsPP

dt

dv

R

r

g

Q

R

J

g

P ,

de unde

2

2

2

2

23

cossin

R

r

g

Q

R

J

g

P

R

rQsPP

dt

dva

++

==

.

Rr

N1

T1

M r

1

211

2

N

TH2

V2

S1S2

Q

G P2

O2O1

a

R

Pentru aflarea tensiuni se separ din sistem corpul (3) i se aplicteorema micrii centrului de mas

1S

RaM C = proiectat pe axax:

1sin STPag

P

= ,de unde rezult

ag

PPPS = cossin1 .

Pentru aflarea tensiuni se separ, n continuare, troliul (2) i se aplic

teorema momentului cinetic n raport cu punctul O 2S

2

22 OO MK =

&

,scalarizat pe axa de rotaie:

rSRSJ = 212 ,


30/42

cu care

aP

FSSH ==+= 21 iar GV= .rgvB =

.

b) Se va demonstra c, ntr-un punct oarecare C, valoarea reaciunii normale


31/42

g21

Rezult reaciunea din articulaia :1O22

1VHR l += .

Un punct material de mas m se poate deplasa fr frecare pe un plannclinat, racordat la un cerc de razr.

30

a)S se determine nlimea h,fa de punctul cel mai de

jos al cercului, de la caretrebuie lsat s alunece

punctul pentru a puteaajunge n punctulB, cel maisus al cercului;

b)S se arate c n acest cazpunctul rmne n permanan n contact cu cercul.

------------------------------------------------------a) Pentru ca punctul s nu se desprind de cerc trebuie ca reaciunea normal

n punctul B s fie cel puin nul. Se utilizeaz ecuaiafundamental a dinamicii

Ra =m care se proiecteaz pe normala principal a unui sistem de

coordonate intrinsec:

BNB

gmr

vm =

2

+

Pentru a determina viteza n B a punctului se utilizeazteorema de variaie a energiei cinetice sub form finit

ntre puncteleAiBBAcAcB LEE = ,

n care , punctul plecnd din repaus:0=cAE( )rhgmvm B = 22

1 2 .

nlocuind n ecuaia fundamental se obine2Bv

gmr

hgm 2NB = 5 ,

iar condiia conduce la0BN

rh 25 .

La egalitate se obine viteza n punctulB:

b) Se va demonstra c, ntr un punct oarecare C, valoarea reaciunii normalen funcie de unghiul este 0 , deci punctul rmne permanent n contact cucercul. Se utilizeaz aceeai ecuaie fundamental proiectat pe axele sistemului

de coordonate intrinsec:

r

O

B

mg

N

B

C

+=

=

Ngmr

vm

dgm

dt

m

cos

sin

2

dv

.

h

rA

O

B

Deoarece

r

v

dt

d==

,

rezult dgrdvv sin =

iar, prin integrare,

Cgrv += cos2

2.

Constanta de integrare se determin cunoscnd c la 0= viteza este

r

O

BB

mg

N

B

rgvv B == .

Rezult

grv

C B += 2

2

,iar

cos232 = rgrgv .Din a doua ecuaie scalar se obine

( ) 0cos13 = gmN .

22

2

2)3( 24

211

+

== lM

lM

JE


32/42

Se d sistemul de corpuri din figur, alctuit din barele omogene OAiAB,fiecare de lungime l i masM,

precum i discul (S) de raz

4lR = i mas 2M, care se

rostogolete fr alunecare pe unplan orizontal.

31

S se stabileasc ecuaiadiferenial de micare a sistemului.

------------------------------------------------Se utilizeazteorema de variaie a energiei cinetice sub forma

dt

dL

dt

c =dE

.

Energia cinetic total asistemului reprezint sunaenergiilor cinetice a corpurilorcare l compun:

)1(EE += )3()2( cccc EE + .Pentru fiecare din corpurilesistemului formula de calcul aenergiei cinetice este funcie detipul de micare al acestuia.

21

2lM21

)1(

321

21

== JE Oc ;

22

222

222

)2(

1221

21

2

+== CIM

lMJE Ic ;

unde

( ) 222

22222

2222 sin24

sincos14

2cos2

22

+=++=

+= llllllllCI

i rezult

+= 222)2( sin23

1

2

1lMEc ;

33)(

42

222 3

+== MJE Ic .

Vitezele unghiulare ale elementelor se determin pe baza analizeicinematice. Sistemul are un singur grad de libertate, deci configuraia lui poate

fi definit prin unghiul . Elementele (2) i (3) execut micare plan, centreleinstantanee de rotaie i I fiind indicate n figur. n consecin, pot fi

scrise relaiile:2I 3

O

(S)

R

B

A

AIOAvA 221 == == 21 ,BIlBIvB 3322 sin2 === sin83 = .

Rezult astfel222

sin143

2

2

1

+= lMEc ,iar

cossin14sin1432 3222 +

+= lMlM

dt

dEc& .

O

1

N

T

23C

1 C2B

A

I2

MgMg2Mg

B

A =2

=1

V

H

2 /2

3I3

Pentru determinarea lucrului mecanic elementar se reprezint forele date ide legtur. Se constat c, n lipsa frecrilor, lucru mecanic efectueaz numaigreutile celor dou bare:

jyixjgMjyixdjgMrdgMrdgMdL += ,CCCCCC ++= 221121

dgMl

dgMl

dgMdL =

= cossin

2sin

2,

coscos == gMgMdt

d

dt

dL .

Egalnd expresiile, conform teoremei de variaie a energiei cinetice, seobine ecuaia diferenial de micare a sistemului sub forma:

0cos2sin7sin1432 22 =++

+

lg&&& .

=

=TSaM

gMN

12

2

; rSrSJ O = 1211 ; ,

==

RSJ

SgMaM

C

C

2

222


33/42

Dou plci identice, avnd fiecare masa egal cu M, sunt legate ntre eleprintr-o articulaie cilindric ideal dup muchia ce trece prinA. Plcile se potdeplasa, pornind din repaus, pe un planorizontal avnd coeficientul frecrii dealunecare . De placa inferioar estelegat un fir paralel cu planul orizontal

care trece peste un scripete ideal,presupus ca disc omogen de mas2Mirazr. Firul este nfurat peste un disc

plin, omogen, de mas 2M i razR.Presupunnd c centrul discului sedeplaseaz pe direcia vertical, se cere s se determine:

32

a)Acceleraia unghiular a discului de raz R, acceleraia plcilor icondiia pe care trebuie s o ndeplineasc coeficientul de frecare

pentru ca plcile s se deplaseze;b)Tensiunile din fire;c)Valoarea raportului

bc pentru care placa superioar se rotete n jurul

articulaiei dinA.----------------------------------------------------------------------

a) Se izoleaz corpurile i se aplic teorema micrii centrului maselor

pentru plci, teorema momentului cinetic n raport cu axa de rotaie pentrudiscul de razri ambele teoreme pentru discul de razR, n raport cu centrulmaselor:

RaM C = ; 11 OO MK =&

.

plcidisc r discR

= NT C 2

unde:

22

2

1

rMJ O = ; 2

22R

MJ C = .

Se observ c sistemul are dou grade de libertate, parametrii cinematiciafereni fiind viteza v cu care se deplaseaz plcile i viteza unghiular adiscului de razR care execut micare plan. Prin urmare, pot fi scriserelaiile:

RvBCvv BC +=+= Raa C += ;

r

v=1 r

a=1 .

2R

R

C

O1

A MM

2M

r

B2M

()

2b

2c

Dup nlocuiri, din ecuaiile scalare aferente disculuiR rezultgRa =+ 232 ,

iar din celelalte patru rezultgRa = 23 .

mpreun formeaz sistemul care conduce la rezultatul cutat:

11

312

= ga ;

Rg

+=

112

23 .

Pentru ca plcile s se deplaseze, este necesar ca 0>a . Rezult astfel condiia

pe care trebuie s o ndeplineasc coeficientul de frecare

31


34/42

33

Se d un sistem de corpuri, legate ntre ele prin fire ideale, format din:- corpul (1) de greutate Q aflat pe un plan nclinat (coeficientul de frecarei unghiul de nclinare );- troliul (2) de greutate G5 cu axa fix orizontal, format din dou discuricoaxiale omogene, de aceeai grosime i razeR respectiv 2R;

- scripetele mobil (3) de raz RR 233 = i greutate G ;- corpul (4) suspendat prin fir, de greutate P.

Neglijnd restul frecrilor, s se determine:a)valoarea minim a greutii Q pentru care

aceasta coboar pe planul nclinat;b)legea de micare a greutii Q pe planul

nclinat, dac este ndeplinit condiia a) isistemul pornete din rapaus;

c) tensiunile dinamice din fire.-----------------------------------------------------------

a) Se va studia sistemul de corpuri n condiii statice(echilibru la limit):

cossin1 =QS Q

2GP

32 SS+==

2Rezult

( ) cossin4 +=

Q

GPQ .

b) Pentru determinarea acceleraiei corpului (1) se poate utiliza utilizeazteorema de variaie a energiei cinetice sub forma

dLdEc = .n acest scop se evideniaz forele date i reaciunile exterioare. Energiacinetic a ntregului sistem reprezint suma energiilor cinetice a corpurilor carel compun:

)4()3(cc EE +

)2()1(ccc EEE ++= ,

2R

R

2

O2

O33

R3

5G

P

G

H

V

4

T 2

33

4

Q

N1

a

xunde:

2)1(

21 v

g

QEc = ;

22

)2(22

1= Oc JE ;2R

()

R

21

O2

O33

P

R3

4

G

Q

5G233

OJ23

)3(

21

21 +=c v

g

GE ;

24

)4(

21

vg

PEc = .

n aceste expresii

( )2

22 R

g

G +2

242

R

g

GJ O = ;

( )2

23 2

3

R

g

GJ O = .

Vitezele unghiulare ale elementelor se determin pe baza analizei cinematice.Sistemul are un singur grad de libertate, deci parametri cinematici ai corpurilor(2), (3), (4) pot fi exprimai n funcie de viteza i acceleraia corpului (1):

Rv

22=

Ra

22= ;

2v

R=2vA = vvB; = ;

42vvv AB =

43 vv == 44

aa =3 a= ;

R

v

AB

vB

2=

+vA3 =

R

a

23= .

Cu aceste valori rezult energia cinetic total2

161639

21

vg

P

g

G

g

QEc

+

+=

S2

1

Q

S1N

T

O33

R3G

S2S3

P2R

2O2

RS3

S1

O3

3R3

3

3

IA B

B

A

dup care

dvvPGQ

dEc

++=

161639

.

RSRSJ O = 23

23

3233

+

++= GP

g

aPGS

25

822;


35/42

gggc

1616

Lucrul mecanic elementar este efectuat de ctre fora de frecare i de ctregreutile Q , G i P:

( ) ( ) dtvPGdtvQQdL +=4

cossin .

Rezult astfel, n baza teoremei

( ) dtdtvPGQQdvvg

P

g

G

g

Q:

4cossin

161639

+=

+

+

PGQ

PGQQ

dt

dva

++

+==

161

1639

2cossin

.

Urmeaz, prin integrare succesiv

1Ctav += ; 212

2CtC

tax ++= .

Constantele de integrare se determin cunoscnd c sistemul pleac din repaus,

deci la momentul 0=t considerm . Rezult astfel

==

00

xv 01 =C , 02 =C .

Legea de micare cutat este deci

2

2tax

= .

c) Pentru determinarea tensiunilor n fire se separ corpurile (1), (4) i (3),apoi se aplic teorema micrii centrului maselorprimelordou, respectiv teorema momentului cinetic n raport cu axade rotaie i teorema micrii centrului maselor celui de altreilea:

34

RaM C = ; 3O3O MK =&

.

1cossin SQQag

Q= a

g

QQQ=S cossin1 ;

PSagP = 4

+

g

aS 414 =P ;

4323 SGSSag

G +=

++=

2823G

Pg

aPGS .

P

4

S4 a 4

T

Q

N1

a

S1

O33

R3G

S3

S4

3

a3 S2

dt

dL

dt

dEc = .

Energia cinetic total a sistemului reprezint suna energiilor cinetice a


36/42

Mecanismul de ridicat din figur este format din patru scripei omogeniidentici, fiecare avnd greutatea G i raza R, montai ntr-un plan vertical.Sarcina de greutate GQ 13= este legat de mijlocul barei orizontale AB degreutate neglijabil,articulat la capete de axelescripeilor mobili i care

poate executa numaimicare de translaie pedirecia vertical. Firele seconsider ideale i

poriunile lor dintre scripeisuny verticale. Mecanismuleste antrenat printr-un

cuplu exterior, aplicatscripetelui fix cu centrul n, avnd momentul

constant RGM1O

= 2/9 .1

35

Neglijnd frecrile itiind c sistemul pornetedin repaus, s se determine:

a)Legea micriigreutii Q ;

b)Tensiunile din fireleaferente discului (2) cucentrul nA.

----------------------------------------------------------------------

-a) Se utilizeaz teorema

de variaie a energiei

cinetice sub forma

Energia cinetic total a sistemului reprezint suna energiilor cinetice acorpurilor care l compun:

( )=

=5

1i

icc EE

unde: 21

)1(12

1= Oc JE

( ) 22

22

21

21

+= Ac Jvg

GE ;

( ) 23

322

1= Oc JE ;

( ) 24

24

21

21

+= Bc JvE

1

2

3

4

A B

M1

O1 O2

QR

R

R R

G

G

G

G1

2

3

45

( ) 25

2

1v

g

QEc = ;

n aceste expresii

2

2

21

R

g

GJJJJ BOAO ==== ,

iar parametrii cinematici se exprim n funcie de viteza v a bareiAB, sistemulavnd un singur grad de libertate. Scripeii mobili execut micri plane. Dinanaliza cinematic rezult c punctele firelor (4), (3), (2) i (1) au respectivvitezele 0, 2v, 2vi 4v. Vitezele unghiulare ale scripeilor se determin pornindde la dreapta spre stnga:

R

v=4 ;R

v= 23 ;R

v

R

vv =

+= 32

242 ;

R

v= 41 .

Dup nlocuiri se obine

23021

vg

GEc

= avg

G

dt

dEc = 30 .

Lucrul mecanic elementar este

( ) dtvRGR

vRGdtvQGdtMdL

=+= 154

29211 ; vG

dtdL =3 .

Conform teoremei,

vGavg

G = 330

de unde

10

ga= .

Urmeaz, prin integrare succesiv

110

Ctg

+=v 212

210CtC

tgy ++= .

1

2

3

44

2

2

2

I4

4

2

A BI2

2

1 3

M1

O1 O2

a

Q

G G

GG

H2

V2

H1

V1

S4

y

Constantele de integrare se determin cunoscnd c sistemul pleac din repaus,

deci la momentul 0=t considerm . Rezult astfel

==

00

yv 01 =C , 02 =C .


37/42

0y

Legea de micare a greutii Q este deci

20

2tgy

= .

b) Pentru aflarea tensiunilor din firele (1) i (2) se separ corpurile (1), (2) i(5), apoi se aplic teorema micrii centrului maselorbarei AB i scripeteluimobil (2), respectiv teorema momentului cinetic n raport cu axa de rotaiescripetelui fix(1):

RaM C = ; 11 OO MK =&

.

M

36

RSJO = 1111

undeR

a

==

411 & ;

AVGSSa

g

G += 21 ;

QVVag

QBA +=

unde din motive de simetrie.BA VV =

Din aceste relaii se obin succesiv:

GVV BA == 20143 ;

GS =80359

1 ; GS = 80285

2 .

A BQ

aHB

VB

HA

VA

M1

1

O1

G

H1

V1

S1

A

G

VA

HA

S1 S2a

1

25

11 a

g

QFj = ; 22 a

g

PFj = ; = Oj JM ,

iar


38/42

37

Se consider sistemul din figur la care se cunosc

greutile Pi Q , greutatea G a troliului, razele celor doiscripeiRi ri momentul de inerie mecanic axial al

troliului.oJ

S se determine acceleraia unghiular a troliului,tensiunile n cablurile de suspendare i reaciunile axuluitransversal.-----------------------------------------------------------------------

Se aplic principiul lui dAlembert. n prealabil seizoleaz corpurile i se introducforele i momentele date i delegtur exterioare i interioaresistemului material. n continuare se marcheaz forelei momentele de inerie, tinnd seama de modul n carese mic sistemul, dup care se stabilesc relaiile delegtur ntre parametrii cinematici cu care se mic

diversele elemente. n final, se scriu ecuaiile scalarede echilibru pentru fiecare element component alsistemului, din care se determin mrimile cerute:

=0H

+

0

0

0

0

22

11

21

21

j

j

j

FPS

FQS

MRSrS

GSSV

=

=

=+=

,

unde:

iarra =1 , Ra =2 .

Din ecuaia a treia, dup nlocuire, rezult:( )

OJgrQRP

rQ

++

RPg =

22 .

Cu ajutorul ultimelor dou ecuaii se obin tensiunile din fire, iar din primeledou rezult componentele reaciunii din articulaia O:

+= r

gQS

11 ;

= R

gPS

12 ; 0=H ; ( )RPrQg

GPQV +++= .

Obs.1Pentru determinarea acceleraiei unghiulare a troliului se poate aplicai teorema momentului cineticn raport cu axa de rotaiepentru ntregul sistem

O

R

r

J

P

Q

ZZ MK =& .

OR

G

Q P

r

J

1

2

Momentul cinetic n raport cu axa din O este:

OJRvg

=z rvg

K 21PQ .

Prin derivare n raport cu timpul rezult:

OJRag

=z rag

K 21&

ra

PQ

unde=1 ai R=2 .

OR

G

Fj2

Fj1

Q P

r

a1

a2

Mj

J

H

V

S1

S1

S2

S2

Momentul rezultant al forelordate n raport cu acelaipol O este:

PrQMz R = .nlocuind n relaia ce exprim teorema momentului cinetic se obine

RPrQJRg

Pr

g O=

22

Q,

OR

G

QP

r

a1

a2

J

H

V

S1

S1

S2

S2

de unde rezult

( )

OJg

rQ

+RPrQ

RPg

+

=

2

2

n continuare, pentru a rspunde celorlalte ntrebriale problemei, este necesar s desfacem legturileastfel ca forele date i de de legtur exterioare i

interioare ale sistemului s fie evideniate. Se aplicapoi teorema micrii centrului maselorpentru celetrei corpuri i teorema momentului cinetic n raport

cu axa de rotaiepentru troliu:

OO MK =&

; RaM = ;

=0 H

Egalnd expresiile conform teoremei de variaie a energiei cinetice i avnd nvedere c

=d iar =d


39/42

=

=

==

=

22

11

12

2100

SPag

P

QSa

g

Q

rSRSJ

GSSV

H

O

.

Se observ c s-a ajuns astfel la aceleai ecuaii scalare din sistemul de ecuaiidAlembert, scrise sub alt form.

Obs.2Aceeai acceleraie unghiular a troliului poate fi aflat dac se aplicteorema de variaie a energiei cinetice sub forma

38

dt

dL

dt

dEc

= .Dup introducerea forelordatei de legtur exterioare se calculeaz energiacinetic total a sistemului:

)3()2(cc E+

)1(cc EEE += .

22

21

2

21

21

vg

Pv

g

Q++

21

JE Oc = .

Deoarece sistemul are un singur grad de libertate i seurmrete determinarea acceleraiei unghiulare atroliului, se vor exprima vitezele greutilor n funciede viteza unghiular :

rv =1 ; Rv =2 .Rezult

2

++ R

g

Pr

g

Q

21

= JE Oc ,

dt

dR

g

Pr

g

Q

+J

dt

dEO

c

+= .

Lucru mecanic efectueaz cele dou greutihQhPL = 12

unde=rh1 ; =Rh2

i rezult

( )

dt

iar dt

,

rezult( )

OJgRPrQ

rQRPg

++

=

22 .

Pentru a determina forele de legtur, corpurile trebuie izolate pentru caaceste fore s fie evideniate i se pot utiliza apoi teorema micrii centruluimaselorpentru cele trei corpuri, respectiv teorema momentului cinetic n raportcu axa de rotaiepentru troliu.

Obs.3 Se poate utiliza, de asemenea, principiul lucrului mecanic elementarvirtualpentru determinarea acceleraiei unghiulare a troliului

) 0=+= rFRL j .Dup introducerea forlordatei de inerie ce acioneaz sistemul, se imprimacestuia o deplasare elementar virtual , compatibil cu legturile acestuiai se calculeaz lucrul mecanic elementar virtual corespunztor tuturor foreloractive i de inerie i deplasrilor elementare virtuale, care se egaleaz cu zero:

0=

O

h

R

G

Q

P

r

1

h2

J

1

2

H

V

= rQRPL iar ( )dt

drQRP

dt

dL = .

222111 += hFhPMhFhQL ,jjj

unde

11 ag

Q

Fj = ; 22 agP

j =F ; = 0JMj ,iar

rh = 1 ; Rh = 2 ; ra =1 ; R=a 2 .Rezult, dup nlocuire

( )

OJgRPrQ

rQRP

++

g =

22 .

Pentru calculul unei anumite reaciuni estenecesar s se suprime legtura respectiv i s seintroduc reaciunea, dup care se imprim

sistemului o deplasare elementar virtual, evident compatibil cu legturilermase. Aplicnd principiul lucrului mecanic virtual se obine o relaie ceconine ca necunoscut tocmai reaciunea cutat.

O

h

R

G

Fj2

Fj1

Q

P

r

a1

a2

Mj

1

h2

J

Identificnd coeficienii versorilor din cei doi membri ai ecuaiei fundamentalei avnd n vedere c

lv = lv =&& ,


40/42

39

Sarcina punctiformM de mas m, aflat n crligul unui pod rulant estelegat de cruciorul podului printr-un cablu ideal de lungime l. tiind c lamomentul iniial sarcina se afl n rapaus iar cablul este vertical i c deplasareacruciorului are loc cu acceleraia constant a , s se determine:0

a)viteza unghiular a sarcinii n funcie deunghiul de deviere al cablului fa de vertical

precum i valoarea maxim a acesteia;b)valoarea maxim a unghiului de deviere;c) tensiunea din cablu n funcie de unghiul i

valoarea maxim a acesteia.-------------------------------------------------------------------

a) Se utilizeazecuaia fundamental a dinamicii micrii relative

jcjtr FFRam ++= .

Micarea cruciorului, care este o micare rectilinie, reprezint micarea detransport. n aceast situaie acceleraia Coriolis este nuli rezult0=Fjc .

Se adopt sistemul de referin intrinsec n care seexprim analitic ceilali vectori din ecuaiafundamental:

+=l

vva r

2& ;

( ) + cossin gmSgm=+= SgmR ; sincos 00 amam

se obin ecuaiile scalare:

=

+=

sincos

cossin

02

0

amgmSlm

damgmdt

dlm

.

Prima ecuaie, dup nmulirea cu d i innd seama c =dt

d,conduce la

( ) ( ) dagl

dd +== cossin121

02 .

Prin integrare rezult

( ) Cagl

++= sincos2 02 .

Constanta de integrare se determin cunoscnd c la momentul sistemul

este n repaus iar cablul este vertical, deci = 0

. Rezult astfel

0=t

=0 l

giC = 2

( )gagl

+= sincos2 0 .

a0

m,t(M )

Valoarea maxim a vitezei unghiulare rezult din condiia

0=dtd

0cossin 0 =+ ag ga 0

tan = .

Exprimnd

220

0

2tan1

tansin

ga

a

+=

+=

;

220

2tan1

1cosga

g

+=

+=

,

rezult

+= ggal

220max

2 .

b) Valoarea maxim a unghiului de deviere se atinge atunci cnd0= 0sincos 0 =+ gag

mgFjt

S

M

a =at 0 sau, nlocuindsini cos n funcie de tan se gsete expresia

20 tan1tan +=+ gag .

Prin ridicare la patrat se obine

== amF tjt .

( ) 0tan2tan 2020 =+ aggade unde rezult valoarea maxim a unghiului de deviere:

0- pentru tan = 01 = corespunztor poziiei de repaus;


41/42

03 =C ; ,04 lC =cu care

20

20

1tlplx += ; tlpx = 0

2&

; 220422 4 tlpgmN += .


42/42

00 2p ; tlpx 0 ; 0pg .

c) Pentru cazul p> ecuaia diferenial este

( ) 0222 lpxpx = &&

i se introduce notaia 22 pc = . Rezult n continuare:

02

2

65 lp

tshCtchCx

c

cc

+= ; tchCtshCx cccc += 65& .

Constantele de integrare sunt:

02

2

2

2

05 1 lp

lC

cc

=

+= ; 06 =C ,

cu care se obin:

02

2

02

2

lp

tchlx

c

c

c

= ; tshlx cc

= 02

& ; tshlgmN cc

+= 2202

42 4 .

2) Din expresia deplasrii x a cursorului pentru cazul a), se observ caceasta este maxim pentru 1cos = t , situaie n carea

022

22

02

2

020

2

max

lp

pl

pllxx

a

+=

+

===

.

Rezultllpllp =+ 220

20

2 ( ) ( )02

02 llllp += ;

0

0

ll

llp

+

= .

3) Condiia de repaus relativ este

0=+ jtFR care, scalarizat pe axax conduce la

( ) 020 =+ xmlxk .Rezult

022

2

lp

px ech

=

.

Pentru ca aceast poziie s existe, trebuie ca , adic0>ech

x >p .

41

probleme mecanica 2 itul

Documents