matematici speciale

Conf. univ. Dr. ION COLESCU (coordonator) Lect. univ. Dr. GHEORGHE DOGARU Prep. univ. DAN LASCU

MATEMATICI SPECIALE

Teorie. Exemple. Aplicaii

Constana, 2005

Refereni tiinifici: Prof. univ. dr. Silviu SBURLAN Prof. univ. dr. Ion CUCUREZEANU

PREFA

Aceast carte a fost elaborat pe baza leciilor de matematici speciale inute de autorii studenilor anilor II ai Facultilor de Marin Militar i Marin Civil din Academia Naval Mircea cel Btrn. Lucrarea rspunde unor programe analitice modernizate, urmrind ntrirea laturii algoritmice i reflectnd atenia deosebit acordat att rigorii n prezentarea noiunilor, ct i vigorii pe care aplicaiile i modelele matematice o genereaz. Demonstraiile rezultatelor de baz cerute de program sunt complete i doar n cadrul unor observaii sau rezultate anex sunt indicate dezvoltri ale teoriei fr detalii de demonstraie. Tot din raiuni didactice, la sfritul fiecrui mare capitol am introdus o list cu probleme rezolvate i o list cu probleme propuse date la probele orale ale examenelor. Cartea are patru pri, corespunznd n principiu unui semestru cnd se predau matematicile speciale. Prima parte cuprinde noiunile i rezultatele de baza ale teoriei cmpurilor. Partea a II-a cuprinde mai nti seriile i integrala Fourier, iar apoi trateaz n mod succint unele teorii centrale ale matematicii, interesnd mult pe inginer, fizician sau chimist. Calculul operaional este un permanent instrument de lucru, transformarea Fourier i transformarea Laplace stabilesc legturi profunde ntre domeniile timp, frecven i domeniul complex. n partea a III-a se dau unele elemente de baz ale teoriei ecuaiilor cu derivate pariale de ordinul II, care utilizeaz multe rezultate anterioare i pregtesc conexiuni fireti cu alte cursuri de specialitate, precum i elemente de funcii speciale. Ultima parte cuprinde elemente de teoria probabilitilor. Oferind studenilor, dar i multor profesori, cercettori i elevi neindifereni la priceperea lor matematic, un material de studiu pe care l-am dorit complet, unitar i ntr-o form ct mai accesibil, sperm s contribuim la asimilarea n bune condiii a cunotinelor de matematic, care fac parte din pregtirea de baz a viitorului inginer.

Autorii

CUPRINS

CUPRINS 5

TEORIA CMPURILOR 7

CMP SCALAR. SUPRAFA DE NIVEL. GRADIENTUL UNUI CMP SCALAR. LINII I SUPRAFEE DE CMP. INTEGRAREA ECUAIILOR CU DERIVATE PARIALE DE ORDINUL I 7

1.1. Cmp scalar 7 1.2. Gradientul unui cmp scalar 8 1.3. Ecuaii cu derivate pariale de ordinul I 13 1.4. Cmp vectorial. Linii i suprafee de cmp 19

DIVERGENA I ROTORUL UNUI CMP VECTORIAL. OPERATORI DIFERENIALI N ANALIZA VECTORIAL. FORMULE INTEGRALE 22

2.1. Divergena i rotorul unui cmp vectorial 22 2.2. Operatori difereniali n analiza vectorial 24 2.3. Formule integrale 27 3.1. Cmpuri irotaionale 29 3.2. Cmpuri solenoidale 32 3.3. Cmpuri biscalare 36

DETERMINAREA UNUI CMP DE VECTORI DE ROTOR I DIVERGEN DATE 39 4.1. Generaliti. Unicitatea soluiei pentru anumite condiii la limit 39 4.2. Determinarea unui cmp irotaional de divergen dat n tot spaiul R3 43 4.3. Determinarea unui cmp solenoidal de rotor dat 46

CMPURI DISCONTINUE 48 5.1. Divergena de suprafa 48 5.2. Cmpuri nestaionare 52

Probleme rezolvate 59

Probleme nerezolvate 70

CALCUL OPERAIONAL 73

SERII FOURIER. INTEGRALA FOURIER. TRANSFORMATA FOURIER 73 6.1. Seria Fourier a unei funcii periodice 73 6.2. Seria Fourier a unei funcii pare i a unei funcii impare 78 6.3. Forma complex a seriei Fourier 80 7.1. Forma complex a integralei Fourier 82 7.2. Forma real a integralei Fourier. Cazul funciilor pare sau impare 84

7.3. Transformata Fourier 86

TRANSFORMATA LAPLACE 89 8.1. Funcia original 89 8.2. Transformata Laplace. Imagine dup transformata Laplace 92 8.3. Teoremele: asemnrii, ntrzierii, deplasrii originalului, integrrii originalului 96 9.1. Transformarea invers. Formula Mellin - Fourier 99 9.2. Integrarea imaginii 102 9.3. Produsul a dou imagini 103 10.1. Teoreme de dezvoltare 107 10.2. Utilizarea transformatei Laplace pentru integrarea ecuaiilor difereniale 112 10.3. Rezolvarea unor ecuaii integrale 114



ECUAII CU DERIVATE PARIALE DE ORDINUL II 126 11.1. Probleme de fizic matematic ce conduc la ecuaii cu derivate pariale de ordinul al doilea 126 11.2. Forma general 130

ECUAII CU DERIVATE PARIALE DE ORDINUL II: HIPERBOLICE, PARABOLICE I ELIPTICE. REDUCEREA LOR LA FORMA CANONIC 137

Ecuaii liniare i omogene n raport cu derivatele de ordinul al doilea, cu coeficieni constani 142

13.2. Metoda schimbrii variabilelor 146 14.1. Metoda separrii variabilelor (Bernoulli i Fourier) 149 14.2. Ecuaia omogen a coardei vibrante. Soluia lui D. Bernoulli i Fourier 153 15.1. Ecuaia propagrii cldurii 160 15.2. Problema lui Dirichlet pentru cerc 165 16.1. Polinoamele lui Legendre 171 16.2. Funciile lui Bessel 181


Probleme nerezolvate. 194

ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITILOR 196 17.1. Algebre Boole 196 17.2. Cmp de evenimente 204 17.3. Cmp de probabilitate 205 18.1. Formula probabilitii reuniunii evenimentelor compatibile 214 18.2. Formula probabilitii interseciei evenimentelor compatibile 217 18.3. Formula de nmulire a probabilitilor 219 18.4. Formula probabilitii totale 220 18.5. Experiene repetate (Scheme probabilistice clasice) 222

19.1. Variabile aleatoare discrete i continue 224 19.4. Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare 230 20.1. Legea densitii uniforme 236 20.2. Legea lui Poisson 239 20.3. Legea exponenial 243 20.4. Integrala lui Euler - Poisson 245 21.1. Legea normal de repartiie 248 22.1. Vector aleator n Rn. Funcie de repartiie. Densitate de repartiie. 257 22.2. Variabile aleatoare independente, variabile aleatoare dependente 262 23.1. Legea normal n plan 266 23.2. Legea normal n spaiu 272



BIBLIOGRAFIE 286

CALCUL OPERAIONAL _______________________________________________________________

7

TEORIA CMPURILOR

CMP SCALAR. SUPRAFA DE NIVEL. GRADIENTUL UNUI CMP SCALAR. LINII I SUPRAFEE DE CMP.

INTEGRAREA ECUAIILOR CU DERIVATE PARIALE DE ORDINUL I

Obiective i idei principale de reinut 1. S defineasc noiunea de cmp scalar i de gradient al unui cmp scalar; 2. S defineasc noiunea de cmp vectorial, divergen i rotor al unui cmp

vectorial; 3. S defineasc operatorii difereniali folosii n analiza vectorial; 4. S defineasc formulele integrale; 5. S defineasc cmpuri vectoriale particulare: irotaionale, solenoidale,

biscalare etc; 6. S calculeze gradientul unui cmp scalar; 7. S calculeze divergena i rotorul unui cmp scalar; 8. S determine liniile i suprafeele unui cmp vectorial; 9. S calculeze circulaia i fluxul unui cmp vectorial; 10. S cunoasc exerciiile rezolvate de la pagina 59.

1.1. Cmp scalar

Fie D un domeniu (o mulime deschis i conex) n care fiecrui punct P i se ataeaz un scalar (P) i numai unul singur. Corespondena ntre punctele P i scalarii (P) este dat de o funcie scalar pe care o notm cu zyxP ,, . Definiia 1.1. Se numete cmp scalar o funcie

RRRD 23: Observaia 1.1. Continuitatea funciei scalare =(P) se reduce la continuitatea unei funcii reale de trei variabile sau de dou variabile, dup cum domeniul D are trei sau

dou dimensiuni, problem cunoscut din analiz.

MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________

8

Exemple

1. Temperatura ntr-un punct P este o mrime scalar T = T(P). 2. Repartiia presiunii p a aerului la un moment dat ntr-o anumit regiune poate

fi reprezentat printr-o funcie scalar p = p(P).

3. Masa specific a unui mediu continuu neomogen poate fi exprimat printr-o funcie scalar de punct =(P).

Dac P0 este un punct din domeniul D n care este definit cmpul scalar (P) atunci mulimea punctelor DP n care valorile funciei (P) coincid cu valoarea sa n P0 formeaz o suprafa.

Definiia 1.2. Se numete suprafa de nivel a cmpului scalar

RRD 3: mulimea punctelor lui D n care valorile funciei scalare (P) sunt egale.

Dac P(x,y,z) i P0(x0,y0,z0) atunci relaia 0PP

(1.1) devine

000 ,,,, zyxzyx (1.2)

i reprezint o suprafa de nivel a cmpului scalar .

1.2. Gradientul unui cmp scalar

O prim imagine a cmpului scalar este dat de suprafeele de nivel care arat cum sunt stratificate valorile cmpului. Pornind dintr-un punct P0 al suprafeei de nivel

( 0PP ) i deplasnd punctul P pe aceast suprafa, (P) rmne constant.

CALCUL OPERAIONAL __________________________________________________________________

9

S presupunem c punctul P descrie arcul P0P al curbei C care admite o tangent

determinat n P0, fie s

versorul acestei

tangente; notnd cu PPl 0 abscisa curbilinie a

punctului P se tie c limita raportului

P PlP P

0

0

pentru lP P0 0 , atunci

cnd exist se numete derivata funciei dup direcia s

i se noteaz cu dds

, adic

dds

P Pl

P Cl P PP P

lim ,0 00

0

(1.3) Dac fa de un sistem de axe carteziene P = P(x,y,z) i P0(x0,y0,z0) = P0 atunci:

P Px

x xy

y yz

z z

x x y y z zP P P

0 0 0 0

1 0 2 0 3 0

0 0 0

lim , ,P P

i x y z

0

0

mprind cu lP P0 n ambele pri ale egalitii i observnd c n ipoteza c C

admite o tangent determinat n P0 limitele:

liml P PP P

x x

l0 000

liml P PP P

y yl0 00

0


10

liml P PP P

z z

l0 000

exist i sunt chiar cosinusurile directoare ale tangentei: s i j k (1.4)

Deci limita (1.3) exist i are expresia:

dds x y z

(1.5)

(expresia cartezian a derivatei funciei dup direcia s ). Dintre diverii vectori unitari cu

originea n P0 un rol important l va avea

normala n

la suprafaa de nivel ce trece prin

acest punct, sensul lui n

l vom lua n sensul

n care (P) crete.

Fie P i N punctele n care s

i n

intersecteaz o suprafa de nivel vecin i l lP P P N0 0, deplasrile din P0 n P i N.

Deoarece P i N sunt pe o aceeai suprafa de nivel avem:

P P N P 0 0 de unde:

P Pl

N Pl

llP P P NP N

P P

0 0

0 0

0

0

(1.6)

Notnd cu n s, i aplicnd relaia sinusurilor n triunghiul P0PN rezult c:

ll

ctgP NP P

0

0

sin

sincos sin


11

Cnd P i N, pstrndu-se pe o aceeai suprafa de nivel, tind ctre P0 secanta PN tinde ctre o tangent n P0 la suprafaa de nivel ce trece prin P0, deci:

2

0i ctg2

Cum n acest proces rmne constant avem:

lim cosl

P N

P PP P

ll0

0

00

i cu aceast relaie (1.6) devine:

cosnd

dsd

d (1.7)

Observaia 1.2. Relaia (1.7) sugereaz introducerea unui vector a crui proiecie

pe s

s fie egal cu sd

d

.

Fie n normala n P0 la suprafaa de nivel care

trece prin acest punct, derivat n sensul cresctor al

funciei (P).

Definiia 1.3. Vectorul P Q0

avnd direcia i

sensul lui n

i modulul P Q ddn0

se numete

gradientul cmpului scalar (P) n P0; se noteaz:

grad ddn

n

(1.8)

Folosind definiia 1.3. relaia (1,7) devine:

dds

ddn

n s s grad (1.9)


12

ceea ce spune c derivata dup o direcie s

este egal cu proiecia gradientului pe acea

direcie. Observaia 1.3. Gradientul unui cmp scalar arat nu numai direcia i sensul n

care funcia (P) crete cel mai repede, dar, prin proieciile sale pe diverse direcii, ne indic rapiditatea de variaie a cmpului scalar pentru deplasri pe acele direcii.

Observaia 1.4. Dac s i

avem = 1, = = 0 i din (1.5) rezult:

dds xs i

deci proiecia gradientului pe Ox este x

; analog proieciile pe Oy i Oz vor fi y

,

z

deci:

gradx

iy

jz

k

(1.10) Definiia 1.4. Funcia al crei gradient este

v grad se numete funcia de

for a vectorilor v , iar PPU se numete potenialul vectorilor v .

Regulile de calcul pentru gradient sunt:

i. grad grad grad ii. grad grad grad

iii. grad grad grad

2

iv. gradF F grad ' Aceste egaliti se demonstreaz folosind definiia gradientului i regurile de calcul ale derivatelor.


13

1.3. Ecuaii cu derivate pariale de ordinul I

Definiia 1.5. i. O relaie de forma:

F x x x uu

x

u

xn

n1 2

10, , , ; ; , ,

(1.11)

unde F R Rn: 2 1 se numete ecuaie cu derivate pariale de ordinul nti,

dac se cere s se determine funcia u x x xn 1 2, , , cu derivate pariale de

ordinul nti ntr-un domeniu D Rn astfel nct s avem:

F x x xx x

nn

1 21

0, , , ; ; , ,

oricare ar fi x x x Dn1 2, , , . ii. Funciile reale care ndeplinesc condiiile de mai sus se numesc

soluii ale ecuaiei cu derivate pariale (1.11) n D.

n cele ce urmeaz nu ne vom ocupa dect de ecuaii de forma:

P x x x ux

P x x xu

xn n n

n1 1 2

11 2 0, , , , , ,

(1.12)

cu P P x x xk k n 1 2, , , funcii continue i care nu se anuleaz simultan. Definiia 1.6. i. Sistemul simetric:

dx

P x x xdx

P x x xnn

n n

1

1 1 2 1 2, , , , , ,

(1.13) se numete sistem caracteristic al ecuaiei cu derivate pariale (1.12).


14

ii. Curbele integrale ale sistemului (1.13) se numesc curbe caracteristice ale ecuaiei cu derivate pariale (1.12).

Propoziia 1.1. Fie x x x Cn1 2, , , o integral prim a sistemului (1.13), funcia u x x xn 1 2, , , este o soluie a ecuaiei cu derivate pariale (1.12).

Demonstraie: fie x x x Cn1 2, , , o integral prim a sistemului (1.13); funcia este continu i are derivate pariale de ordinul nti continui n D. Deoarece = C este o integral prim a sistemului (1.13) rezult oricare ar fi

x x x Dn1 2, , , situat pe o curb integral a sistemului (1.13) se reduce la o constant C deci d = 0, de unde:

x

dxx

dxx

dxn

n1

12

2 0

(1.14) ns de-a lungul unei curbe integrale diferenialele dx1, dx2, ..., dxn sunt proporionale cu

P1, P2, ..., Pn conform relaiilor (1.13) deci egalitatea (1.14) se scrie:

x

Px

Px

Pn

n1

12

2 0

valabil pentru orice x x xn1 2, , , situat pe o curb integral a sistemului (1.13). Teorema 1.1. Fie ecuaia cu derivate pariale (1.12), avnd coeficienii

P x x xk n1 2, , , continui. Fie: 1 1 2 1x x x Cn, , , 2 1 2 2x x x Cn, , ,

n n nx x x C 1 1 2 1, , ,


15

n-1 integrale prime ale sistemului caracteristic (1.13). Fie v v vn1 2 1, , , o

funcie continu cu derivate pariale continue pe Rn 1. Funcia:

u x x x x x x x x xn n n n1 2 1 1 2 1 1 2, , , , , , , , , , , (*) este o soluie a ecuaiei cu derivate pariale (1.12).

Reciproc, orice soluie u a ecuaiei (1.12) se poate scrie sub forma (*).

Demonstaie:

i. S artm c u n 1 1, , verific ecuaia (1.12). Avem:

u

x x x

u

x x x

u

x x x

n

n

n

n

n n n

n

n

1 1

1

1 1

1

1

2 1

1

2 1

1

2

1

1

1

1

(1.15) Dac nmulim n prima egalitate cu P1, n a doua cu P2, n ultima cu Pn, adunnd pe coloan n (1.15) obinem:

P ux

P ux

Px

Px

Px

Px

nn

nn

n

nn

n

n

11 1

11

1

1

11

1

1

1

(1.16) ns n (1.16) fiecare parantez din partea a doua este nul deoarece

k nx x k n1 1 1, , , sunt soluii ale ecuaiei cu derivate pariale (1.12) conform propoziiei precedente.


16

ii. reciproc: orice soluie ),...,,( 21 nxxxuu a ecuaiei (1.12) este de forma ),...,,( 121 n .

ntr-adevr, dac ),...,,( 21 nxxxuu este o soluie a ecuaiei (1.12) avem:

0...2

21

1

n

nx

uPx

uPx

uP

s scriem acum c i 121 ,..., n sunt soluii

0...

...................................................

0...

0...

1

2

12

1

11

2

2

22

1

21

1

2

12

1

11

n

n

n

nn

n

n

n

n

xP

xP

xP

xP

xP

xP

xP

xP

xP

Sistemul format din ecuaiile de mai sus formeaz un sistem liniar i omogen de n ecuaii in necunoscutele

nPPP ,...,, 21 , admite i alte soluii n afar de soluia banal

deoarece n

PPP ,...,, 21 nu se anuleaz simultan, deci:

0),...,,(),...,,,(

21

121 n

n

xxxDuD

n D.

Cum integralele prime 1,1,),...,( 1 nkCxx knk sunt independente n D, exist DD ' n care 0),...,,(

),...,,,(21

121 n

n

xxxDuD

, deci 121 ,...,,, nu sunt n

dependen funcional.

Soluia problemei lui Cauchy

Fie ecuaia cu derivate pariale dat de relaia (1.12) cu funciile

P x x xk n1 2, , , , continue i care nu se anuleaz simultan ntr-un domeniu

D R x x x Dn n i M0 10 20 0 0, , , . Fie sistemul caracteristic (1.13) cruia i-am gsit n-1 integrale prime:


17

1 1 2 1

2 1 2 2

1 1 2 1

x x x Cx x x C

x x x C

n

n

n n n

, , ,

, , ,

, , ,

(1.17)

S presupunem c

DD x x x

n

n M

1 2 11 2 1 0

0, , ,

, , ,

.

A rezolva problema lui Cauchy pentru ecuaia (1.12) nsemn a gsi soluia

u x x xn1 2, , , a ecuaiei (1.12) care ndeplinete condiia: pentru x xn n 0 funcie ce se reduce la o funcie dat x x xn1 2 1, , , adic:

u x x x x x x xn n n1 2 1 0 1 2 1, , , , , , , (1.18)

Fie U o vecintate a punctului M0 n care sistemul (1.17) se poate inversa n

raport cu x x xn1 2 1, , , . Dac n (1.17) punem x xn n0

obinem:

1 1 2 1 0 1x x x x Cn n, , , , 2 1 2 1 0 2x x x x Cn n, , , ,

...............

n n n nx x x x C 1 1 2 1 0 1, , , , sistem care rezolvat n raport cu x x xn1 2 1, , , ne d:


18

x C Cx C C

x C C

n

n

n n n

1 1 1 1

2 2 1 1

1 1 1 1

, ,

, ,

, ,

(1.19) Propoziia 1.2. Soluia problemei lui Cauchy pentru ecuaia (1.12) cu condiia iniial (1.18) este dat de:

u x x xn n n n1 2 1 1 1 1 1 1, , , , , , , , , cu 1 2 1, , , n date de (1.17). Demonstraie: trebuie s artm c funcia u din enunul propoziiei este soluie a ecuaiei (1.12) i apoi c verific condiia iniial (1.18).

Faptul c u este soluie a ecuaiei (1.12) se observ imediat, deoarece u este de forma ),...,,( 121 n dup cum rezult din expresia ei. Soluia verific condiia iniial n vecintatea U a punctului 0M .ntr-adevr, pentru

0nn

xx , conform relaiilor de mai sus avem: knnk Cxxxx ),,...,( 01,2,1 1,1 nk , i din (1.19) pentru

0nn

xx :

knk x ),...,( 11 1,1 nk , de unde nlocuindu-le n relaia din enunul propoziiei obinem:

),...,(),,...,,( 110121 nnn xxxxxxu

Observaia 1.5. Integrarea ecuaiilor cu derivate pariale de ordinul I liniare i neomogene se reduce la integrarea ecuaiilor cu derivate pariale de ordinul I liniare i

omogene.

Demonstraie: fie ecuaia:

0),,...,,(),,...,,(...),,...,,( 211211

211

u

VuxxxP

x

VuxxxP

x

VuxxxP

nn

n

nnn

S cutm pentru aceast ecuaie o soluie dat implicit printr-o relaie de forma: 0),,...,,( 21 uxxxV n , V fiind o funcie necunoscut pe care urmeaz s o

determinm.


19

n ipoteza c V este continu i are derivate pariale de ordinul nti continue, avem:

u

Vx

Vx

u

x

Vx

Vx

u

nnn

:,...,:11

pe care dac le nlocuim n:

),,...,,(),,...,,(...),,...,,( 211211

211 uxxxPx

uuxxxP

x

uuxxxP

nn

n

nnn

obinem:

12

21

1 :...::

n

n

nP

u

Vx

VPu

Vx

VPu

Vx

VP

sau

0.... 11

1

u

VPx

VPx

VPn

n

n

1.4. Cmp vectorial. Linii i suprafee de cmp

Fie D un domeniu; dac fiecrui punct P din domeniul D i se asociaz (ataeaz)

un vector v P i numai unul, corespondena ntre punctele P i vectorii v P este o funcie vectorial.

Definiia 1.7. Se numete cmp vectorial o funcie vectorial

33: RDv

Observaia 1.6. Studiul unui cmp vectorial, definit ntr-un domeniu tridimensional se reduce la studiul unei funcii vectoriale de trei variabile scalare sau la studiul funciilor scalare

v v x y z kk k , , ,1 3 unde:

v P v x y z i v x y z j v x y z k 1 2 3, , , , , , Fie v P un cmp vectorial definit pe domeniul D.


20

Definiia 1.8. Se numete linie de cmp o curb (L) din acest domeniu, care are

proprietatea c n fiecare punct al su, v P este tangent curbei. Determinarea liniilor de cmp

Fie r OP

, vectorul de poziie al punctului P

de pe curba (L); direcia tangentei la curb este dat de dr . Din definiia 1.8. rezult c v i dr s fie coliniari. Pentru aceasta este necesar i suficient ca:

v dr 0

(1.20) sau

dx

v x y zdy

v x y zdz

v x y z1 2 3, , , , , ,

(1.21) Integrnd sistemul (1.21) n conformitate cu subcapitolul 1.3. obinem:

F x y z CF x y z C

1 1

2 2

, ,

, ,

(1.22) Definiia 1.9. Se numete suprafa de cmp o suprafa generat de linii de

cmp.

Un cmp vectorial v D R: 3 are o infinitate de linii de cmp, ecuaiile

lor fiind de forma (1.22) n care C1, C2 sunt constante. Liniile de cmp formeaz o familie (L) de curbe depinznd de doi parametri. Liniile de cmp (1.22) vor genera o suprafa dac vor fi supuse unei condiii care s se traduc analitic prin:

C C1 2 0, (1.23)


21

Ecuaia suprafeei de cmp se obine eliminnd C1 i C2 ntre ecuaiile (1.22) ale liniilor de cmp i relaia (1.23), deci vom avea forma:

F x y z F x y z1 2 0, , , , , (1.24) Propoziia 1.3. n fiecare punct P de pe suprafaa de cmp, vectorul v P este tangent suprafeei.

Demonstraie: Fie

S F x y z: , , 0 (1.25)

care poate fi considerat ca o suprafa de nivel

a cmpului scalar F(x,y,z), deci un vector

normal n P la suprafa este grad F, calculat n

acest punct.

Condiia ca v P s fie tangent suprafeei este echivalent cu condiia ca vectorii v i grad F s fie ortogonali:

v P gradF 0 (1.26) sau scalar

v x y z Fx

v x y z Fy

v x y z Fz

1 2 3 0, , , , , ,

(1.27) Pentru a demonstra c orice suprafa S, care are proprietatea de mai sus, este suprafa de cmp urmeaz s artm c soluia general a ecuaiei (1.26) este de forma

),( 21 FFF . Vom parcurge etapele: i) funciile 1F i 2F din (1.22) ale liniilor de cmp sunt soluii ale ecuaiei (1.27)

ii) o funcie compus ),( 21 FFF este de asemenea soluie, deoarece:


22

22

11

21 ),( gradFFgradFFFFgrad

avem

0),( 21 FFgradV

iii) orice soluie a ecuaiei (1.26) este de forma ),( 21 FFF . ntr-adevr: fie F o soluie oarecare a ecuaiei (1.26) i P un punct oarecare al

suprafeei 0F . Prin acest punct trec dou suprafee 2211 , CFCF . Relaiile (1.26) i 01 gradFV

; 02 gradFV

arat c gradF , 1gradF ,

2gradF sunt perpendiculari pe V

, deci sunt coplanari. Avem:

0),,(),,()( 2121

zyxDFFFD

gradFgradFgradF

ceea ce arat c ntre cele trei funcii exist o relaie ),( 21 FFF

DIVERGENA I ROTORUL UNUI CMP VECTORIAL. OPERATORI DIFERENIALI N ANALIZA VECTORIAL.

FORMULE INTEGRALE

2.1. Divergena i rotorul unui cmp vectorial Fie o suprafa inclus n D pe care se definete o fa pozitiv i una negativ

i fie n

versorul normalei la orientat n sensul pozitiv.

Definiia 2.1. Se numete fluxul vectorului v

prin suprafaa integrala de

suprafa:

n v d (2.1)

Observaia 2.1. Dac v

reprezint cmpul vitezelor ntr-un fluid i masa

specific, atunci cantitatea de fluid care traverseaz n unitatea de timp suprafaa abstract

este .


23

Fie d D un domeniu reductibil prin deformare (vol.d 0) la un punct P r i d frontiera sa satisfcnd condiiile de existen ale integralei (2.1). Notnd i aici n normala exterioar la d avem: Definiia 2.2. Se numete divergena vectorului

v

n punctul P r mrimea

dvol

dvnvdiv d

dvol.

lim0)(.

(2.2)

Observaia 2.2. Dac n P r ar fi plasat un izvor de fluid este evident c divergena ar caracteriza cantitatea de fluid ce ar diverge din izvor n unitatea de timp.

Se poate arta fr nici o dificultate c dac v C D 1 limita din (2.2) exist. ntr-un reper cartezian folosind formula lui Gauss - Ostrogradski (valabil pentru cmpuri

v C D 1 ) avem:

d

d

dz

v

yv

x

vdnv

321 (2.3)

i aplicnd integralei triple formula de medie din (2.2) deducem:

div v vx

v

yv

z

1 2 3 (2.4)

reprezint expresia cartezian a divergenei.

Fie C o curb nchis (inclus n D) pe care s-a definit un sens pozitiv.

Definiia 2.3. Se numete circulaia vectorului v

de-a lungul curbei C integrala curbilinie:

C v drC

(2.5)


24

Fie o suprafa oarecare neted pe poriuni inclus n D care se sprijin pe C i n versorul normalei la orientat n sensul de naintare al unui burghiu care ar fi rotit n

sensul pozitiv definit pe C.

Definiia 2.4. Se numete rotorul vectorului v mrimea:

rot v

n v d

vol dvol dd

lim

.. 0

(2.6)

Observaia 2.3. Dac v este de clas C1(D) avem urmtoarea formul a lui

Stokes cunoscut din analiza matematic: v dr n rot v d

C

(2.7)

unde:

rot vv

yv

zi v

z

v

xj v

x

v

yk

i j k

x y zv v v

3 2 1 3 2 1

1 2 3

(2.8) Acest vector se va numi rotorul cmpului

v

i are urmtoarea interpretare fizic, folosind cmpul vitezelor n micarea unui solid n jurul unui ax fix. Cmpul vitezelor, la un moment dat, este dat de rPv )( , unde este un vector independent de P, care caracterizeaz complet micarea n jurul axei de rotaie , iar OPr este vectorul de poziie al punctului curent P.

Dac kji

321 , kzjyixr

avem

kxyjzxiyzrPv )()()()( 211332

de unde

2222)())(( 321 kjirrotPvrot

2.2. Operatori difereniali n analiza vectorial

Operatorii ntlnii n analiza funciilor scalare sunt:


25

i. derivata unei funcii de o singur variabil f I R R: se noteaz Df dfdx

.

Introducerea acestui simbol este justificat prin faptul c unele operaii de derivare pot fi reduse la operaii algebrice.

D f g Df Dg

D f g D f g C D f Dg C D f D g f D g Df Dgn n n n n n n n 1 1 2 2 2 ii. derivarea parial a unei funcii de mai multe variabile f(x,y,z) poate fi privit ca nmulirea funciei la stnga cu un operator de derivare:

fx x

f ,

iii. difereniala unei funcii de mai multe variabile poate fi scris, de asemenea, ca un produs simbolic:

dfx

dxy

dyz

dz f

Introducerea operatorului de difereniere dx

dxy

dyz

dz

este

justificat prin aceea c difereniala de ordinul n poate fi scris sub forma simpl:

d fx

dxy

dyz

dz fnn

n analiza vectorial se introduce un nou operator care are caracter diferenial i vectorial:

x

iy

jz

k

(2.9)

Cu acest operator (nabla) gradientul, divergena, rotorul, derivata dup o direcie se pot scrie ntr-un mod foarte simplu i concis, iar regulile de calcul pentru acestea, referitoare la sume i produse, se reduc la reguli de calcul algebric cu acest operator.

Avem:


26

gradx

iy

jz

k

div vx

iy

jz

k v v

rot vx

iy

jz

k v v

(2.10)

a)

b)

v v v v v

c)

u v u v v u u v

sau echivalent:

div u v vrot u u rot v d) rot u v v u u v u div v v div u e) grad u v v u u v u rot v v rot u Fcnd

u v v rezult

grad v v v v rot v12

2

f) rot rot v grad div v v unde

2

2

2

2

2

2x y z

rot grad U div rot v 0 0;


27

2.3. Formule integrale

i. formula integral a divergenei (sau formula lui Gauss-Ostrogradski) este:

n v d div v dv

(2.11) unde este un domeniu tridimensional mrginit de o suprafa nchis , versorul

n al

normalei se presupune o funcie continu i v

este o funcie vectorial cu derivate

pariale de ordinul I continue pe .

Observaia 2.4. Relaia (2.11) are o interpretare fizic simpl: dac v P este cmpul vitezelor unui fluid n micare, fluxul vectorilor v P prin suprafaa este egal cu productivitatea total a volumului mrginit de . Pentru demonstrarea relaiei (2.11)

se pornete de la definiia integralei triple i se ine seama i de definiia divergentei.

ii. formulele lui Green:

Fie un domeniu mrginit de o suprafa nchis cu normala n

continu i

dou funcii scalare P i = P de clas C2 . Cmpului vectorial v P grad i aplicm relaia (2.11) i innd cont de relaia (1.9) avem:

n v ngrad

ddn

i de:

div v div grad grad grad obinem:

dvgradgradd

ndd

(2.12) numit prima formul a lui Green.


28

Schimbnd ntre ele funciile i , adic lund v grad avem:

dvgradgradd

ndd

(2.13) Scznd relaiile (2.12) i (2.13) membru cu membru obinem:

dvd

ndd

ndd

(2.14) numit a doua formul a lui Green.

iii. vom pune n cele ce urmeaz n eviden alturi de formula integral a divergenei

dou formule analoage pentru gradient i rotor:

dgraddn (formula integral a gradientului) (2.15)

dvrotdvn (formula integral a rotorului) (2.16)

unde este un domeniu mrginit de suprafaa nchis , cu

P C i v P 1 . S demonstrm acum relaia (2.15); pentru aceasta vom calcula proiecia

integralei din membrul I pe o direcie arbitrar, caracterizat prin vectorul unitar a , deci:

dadivdandna

dar

div a agrad diva nlocuind obinem:

dgradadna

Pentru relaia (2.16) se procedeaz n mod analog:


29

davdivdavndvnadvna

dar div v a a rot v v rot a i rot a = 0 deci:

dvrotadvna

CMPURI PARTICULARE: IROTAIONALE, SOLENOIDALE I BISCALARE

3.1. Cmpuri irotaionale

Fie 33: RDv

Definiia 3.1. Cmpul vectorial v P este irotaional ntr-un domeniu D, dac n toate punctele domeniului rotorul su este nul, adic:

0Pvrot (3.1) Observaia 3.1. Proprietile cmpurilor irotaionale sunt strns legate de natura domeniului pe care sunt definite. Redm n cele ce urmeaz proprietile cmpurilor irotaionale n domenii simplu conexe:

i. Circulaia vectorului Pvv pe orice curb C nchis din D este nul. Demonstraie: domeniul D fiind simplu conex, exist o suprafa deschis

coninut n D i mrginit de curba nchis C; aplicnd formula lui Stokes avem:

v dr n rot vd

C

310

.

(3.2)

ii. Integrala AB

rdv are aceeai valoare pe orice arc de curb, care unete dou puncte

fixe A,B ale domeniului D i care este cuprins n acest domeniu.


30

Demonstraie: fie dou arce de curb coninute n D i avnd extremitile A,B; aceste arce nzestrate cu sensul de parcurgere de la A la B, le notm cu L1 i L2; aceleai

arce cu sensul de parcurgere de la B la A le notm cu L1' i L 2

'.

Evident c:

vdr vdr vdr vdr

L L L L1 1 2 2' '

; (3.3)

Arcele de curb L1 i L2'

formeaz mpreun

o curb nchis C, folosind proprietatea i. rezult: vdr vdr vdr vdr

L L L L1 2 1 2

0 '

sau

(3.4) iii. Orice cmp irotaional este gradientul unui cmp

scalar. Funcia de for poate fi exprimat printr-o integral curbilinie:

P vdrAP

(3.5)

independent de drum, unde A(x0,y0,z0) este un punct fix arbitrar din D, iar P(x,y,z) un punct oarecare al domeniului.

Demonstraie: trebuie s artm c dac v v i v j v k 1 2 3 avem

grad v , adic:

x

v x y zy

v x y zz

v x y z 1 2 3, , , , , , , ,


31

Pentru aceasta, vom folosi definiia derivatei pariale i avem:

x y z vdrAP

, ,

''

,,

PPAPAP

rdvrdvrdvzyhx

x h y z x y z vdr v x y z dxPP x

x h

, , , , , ,

'

1

(am aplicat conform ipotezelor teorema de medie de la integrala definit). Observnd c pentru h 0 , x h x prin urmare i x i folosind continuitatea urmeaz:

),,(,,lim,,,,lim 1100 zyxvzyvhzyxzyhx

hh

sau

x

v x y z 1 , ,

Analog se arat c

y

v x y zz

v x y z 2 3, , , , , .

Proprietile cmpurilor irotaionale pe domenii multiplu conexe sunt:

i. Dac v P este un cmp irotaional ntr-un domeniu multiplu conex D i dac C este o curb nchis coninut n D (cu proprietatea c exist o suprafa deschis

mrginit de aceast curb i coninut n domeniul D) atunci circulaia vectorului

v P pe curba C este nul:

vdr

C 0 (3.6)


32

Demonstraie: folosind formula lui Stokes ca i n cazul domeniilor simplu conexe avem:

vdr n rot vd

C

0

ii. Dac v P este irotaional ntr-un domeniu multiplu conex D, atunci circulaia lui v P pe dou curbe nchise echivalente n D este aceeai.

Demonstraie: imediat, ca n cazul domeniilor simplu conexe

iii. Un cmp vectorial v P irotaional ntr-un domeniu multiplu conex D este de asemenea gradientul unui cmp scalar. Funcie de for se exprim tot printr-o integral curbilinie ca i n cazul domeniului simplu conex:

x y z vdrL

, ,

L fiind un arc de curb coninut n D.

3.2. Cmpuri solenoidale

Definiia 3.2. Cmpul vectorial v P este solenoidal n domeniul D dac n toate punctele domeniului avem:

div v P 0 (3.7) Observaia 3.2. Studiul cmpurilor irotaionale se bazeaz pe formula lui Stokes, proprietile cmpurilor solenoidale se deduc folosind formula integral a divergenei.

Fie () o suprafa nchis care mrginete un domeniu situat n ntregime la distan finit i s presupunem c () admite n fiecare punct o normal n determinat. Avem urmtoarele proprieti:

i. Dac v P este continuu pe i solenoidal pe atunci fluxul lui v prin suprafaa nchis este nul.


33

Demonstraie: n condiiile din enun fiind ndeplinite condiiile formulei Gauss-

Ostrogradski avem:

n v P d div v P dv

3 70

.

ii. Fluxul cmpului v P prin dou suprafee deschise, echivalente n domeniul n care v P este solenoidal este acelai, adic:

1 2

21 dvndvn

Dou suprafee deschise 1 i 2 mrginite de aceeai curb C, se numesc echivalente

n D, dac 1 , 2 i domeniul mrginit de cele dou suprafee sunt coninute n D i

dac orientrile normalelor 1n

i 2n

la cele dou suprafee se obin una din alta prin

continuitate. Demonstraie: imediat se aplic formula lui Gauss-Ostrogradski domeniului ? i se ine seama c 0)( vdiv de unde se obine

1 2

21 dvndvn

iii. Orice cmp solenoidal este rotorul unui cmp vectorial.

Adic: dac div v P 0 n domeniul D exist un cmp vectorial Puu definit n D astfel nct:

rot u v (3.8)

u P se numete potenialul vector al cmpului solenoidal v P .


34

Vom demonstra mai nti c ecuaia (3.8) admite o soluie particular, construind-

o efectiv. Pentru aceasta raportm vectorii u i v

la triedrul Oxyz i j k, , : v v i v j v k 1 2 3 ;

u u i u j u k 1 2 3 .

Proiectnd ecuaia (3.8) pe axele triedrului Oxyz obinem:

u

yu

zv x y z

u

z

u

xv x y z

u

x

u

yv x y z

3 21

1 32

2 13

, ,

, ,

, ,

(3.8)

unde v1, v2, v3 sunt funcii cunoscute. Vom ncerca o soluie n care u3 = 0; sistemul devine:

u

zv x y z

u

zv x y z

u

x

u

yv x y z

12

21

2 13

, ,

, ,

, ,

(3.9) Din prima i a doua exuaie rezult:

u v x y z dz f x y

u v x y z dz g x y

z

z

z

z

1 2

2 1

0

0

, , ,

, , ,

(3.10) unde f i g sunt funcii arbitrare.


35

Determinm (dac este posibil) funciile f i g astfel ca u1 i u2 din (3.10) s verifice i ultima ecuaie din (3.9). Avem:

u

x

v

xdz g

xz

z

2 1

0

;

u

yv

ydz f

yz

z

1 2

0

care nlocuite dau:

v

x

v

ydz g

x

fy

v x y z

z

z

1 23

0

, ,

Cum v

este solenoidal rezult c:

v

x

v

yv

z

1 2 3

Deci:

gx

fy

v x y z 3 0, ,

(*)

de unde: v

zdz v x y z v x y z

z

z

33 3 0

0

, , , ,

Funciile f i g vor fi alese astfel nct s satisfac relaia (*). Deoarece ne

intereseaz o soluie particular a sistemului putem lua:

f g v x y z dxx

x

0 3 00

, , ,

care introduse n (3.10) ne dau soluia particular:


36

u v x y z dz u v x y z dz v x y z dx uz

z

x

x

z

z

1 2 2 1 3 0 30 00

0 , , ; , , , , ;

(3.11)

Vectorul U , care are aceste componente, este o soluie particular a ecuaiei

(3.8); dac la U se adaug gradientul unei funcii C2 avem:

u U grad

(3.12) care este de asemenea soluie a ecuaiei (3.8). Observaia 3.4. Un cmp solenoidal admite deci o infinitate de poteniali vectori. n unele probleme se cere ca i potenialul vector s fie un cmp solenoidal, adic u s fie soluia sistemului:

rot u v div u ; 0 (3.13) Cunoatem soluia general a primei ecuaii; va trebui determinat funcia

astfel ca s fie satisfcut i a doua ecuaie:

divU divgrad 0

care se mai scrie:

divU

(3.14) Deci funcia va trebui s satisfac o ecuaie cu derivate pariale de ordinul II de forma:

2

2

2

2

2

2x y z

q x y z , ,

care se numete ecuaia lui Poisson, admind o infinitate de soluii.

3.3. Cmpuri biscalare


37

n general, un cmp vectorial v P se exprim cu ajutorul a trei funcii scalare independente: v1, v2, v3, componentele sale fa de un triedru fix sau mobil.

Definiia 3.3. Cmpul vectorial v se numete biscalar dac v P poate fi

exprimat numai prin dou funcii scalare independente (P) i F(P) sub forma:

v gradF

(3.15) Redm n cele ce urmeaz urmtoarele proprieti:

i. n fiecare punct al domeniului D n care cmpul biscalar v P este definit, v este perpendicular pe rotorul su:

v rot v 0

(3.16) Demonstraie: fie v P un cmp biscalar:

v gradF ;

rot v grad gradF iD FD y z

j D FD z x

kD FD x y

,

,

,

,

,

,

cum i F sunt independente, aceti determinani funcionali nu pot fi toi identici nuli

( rot v 0 ) dar:

v rot v gradF grad gradF 0 n toate punctele domeniului D. ii. cmpurile biscalare admit o familie de suprafee, depinznd de un parametru,

ortogonale liniilor de cmp. Demonstraie: fie P0 un punct oarecare din domeniul D, prin acest punct trece o suprafa de nivel a cmpului scalar F de ecuaii: F(x,y,z) = C (3.17) i o linie de cmp a vectorilor v P .


38

Vectorul v P0 este tangent n P0 liniei de cmp, iar gradF P0 este normal suprafeei de nivel care trece prin acest punct. Dup (3.16)

v P0 este coliniar cu gradF P0 deci suprafaa taie ortogonal linia de cmp.

Reciproc: dac un cmp vectorial v P admite o familie de suprafee ortogonale liniilor de cmp atunci v P este sau irotaional sau biscalar.

Dat fiind cmpul vectorial v P , ne punem problema determinrii efective a suprafeelor ortogonale liniilor de cmp.

Fie dr idx jdy kdz difereniala vectorului de poziie pentru o deplasare pe suprafa. Deoarece n fiecare punct al suprafeei, dr este n planul tangent, iar v P este normal, o condiie necesar i suficient pentru ca suprafaa s fie ortogonal liniilor de cmp este:

vdr 0

(3.18)

Dac v P este dat sub forma:

v v i v j v k 1 2 3 , aceast relaie se mai scrie:

v1dx + v2dy + v3dz = 0 (3.18) Determinarea suprafeelor ortogonale cmpului i integrarea acestei ecuaii cu

difereniale totale sunt probleme echivalente.

Se observ c relaia (3.16) este o condiie necesar pentru ca v P s fie biscalar, ceea ce este echivalent cu faptul c ecuaia (3.18) s fie complet integrabil. Dac exist o suprafa S ortogonal liniilor de cmp, relaia (3.16) arat c n fiecare

punct al suprafeei S, rot v

este tangent suprafeei (suprafeele ortogonale liniilor de


39

cmp trebuie cutate printre suprafeele de cmp ale lui rot v

, care se mai numesc i

suprafee de vrtej).

DETERMINAREA UNUI CMP DE VECTORI DE ROTOR I DIVERGEN DATE

4.1. Generaliti. Unicitatea soluiei pentru anumite condiii la limit

Problema se pune n felul urmtor: s se determine un cmp vectorial

3: Du

de clas C2(D) care verific:

rot u v

div u q

(4.1)

n toate punctele domeniului D.

Demonstraie: Fie D R v 3 ; i q fiind funcii date de C1 (D). Observaia 4.1. Determinarea soluiilor sistemului (4.1) poate fi redus la dou probleme mai simple, cutnd soluii de forma:

u u u 1 2 (4.2)

cu

u irotaionalu solenoidal

1

2

pe D.

De aici rezult c u1 i u2 verific pe D:

rot u div u q 1 10 , (4.3) rot u v div u 2 2 0 , (4.4) Aa dup cum se tie din paragraful 3.1. pentru cmpul vectorial

u1 irotaional

pe un domeniu simplu conex exist o funcie : D R cu proprietatea:

u grad1 (4.5)


40

Observaia 4.2. Dac u1 ar fi dat, funcia ar putea fi determinat n afara unei

constante aditive printr-o integral curbilinie independent de drum:

MM

DrduM0

D;M oricepentru sifixat Mcu 01 cum u1 nu este

cunoscut funcia urmeaz s fie determinat folosind a doua ecuaie:

q (4.6) (ecuaia lui Poisson cu o infinitate de soluii). Problema rezolvrii sistemului (4.4) a fost studiat n 3.2.;

u2 este un potenial

vector al cmpului solenoidal v . Dac

u0 este o soluie particular a primei ecuaii (4.4),

soluia general a acesteia este:

u u grad2 0 (4.7)

care introdus n a doua ecuaie din (4.4) ne d:

div u 0 (4.8) De aici se observ c rezolvarea sistemului (4.4) s-a redus la integrarea unei ecuaii Poisson, deci i pentru acest sistem avem o infinitate de soluii.

Observaia 4.3. Problemele fizicii adaug sistemului (4.1) condiii noi care fac ca u s fie unic determinat, acestea se traduc prin anumite condiii la care sunt supuse

funciile i pe frD, sau la mari distane.

Vom considera dou cazuri: Propoziia 4.1. Fie D un domeniu mrginit avnd ca frontier o suprafa nchis

. Dac pe lng sistemul (4.1) se dau pe valorile pe care le ia proiecia lui u

pe

normala n

la aceast suprafa:

u n u f Pn

(4.9)

atunci cmpul vectorial este unic determinat.

Demonstraie: s observm mai nti c v , q, f nu pot fi date oricum: din prima

relaie (4.1) rezult c v

trebuie s fie solenoidal n D, iar din a doua relaie (4.1) i din (4.9), innd seama de formula integral a divergenei va trebui ca:


41

f P d q P dvD

S presupunem n cele ce urmeaz c sistemul (4.1) cu condiia (4.9) ar admite dou soluii

u1 i u2 astfel nct:

rot u v

div u q

n u f P

rot u v

div u q

n u f P

1

1

1

2

2

2

n D.

De aici rezult n domeniul D c rot u u div u u 1 2 1 20 0 , , deci u u grad1 2 , cu 0 i

ddn 0, ceea ce ne arat c se reduce la o

constant pe D.

Propoziia 4.2. Sistemul (4.1) pe D R 3 cu condiia

u PA

1

(4.10)

pentru

OP R0, unde A, , R0 sunt constante strict pozitive; admite cel mult o

soluie.

Demonstraie: analog ca la propoziia 4.1., adic fie u1 i u2 dou soluii ale

sistemului (4.1). Rezult ca mai sus: u u grad1 2 , cu 0 pe D R3

.

Din condiia (4.10) rezult:

u u u P u PA

1 2 1 2 12


42

sau nc

grad PA

21

(4.10) S cercetm care este comportarea funciei )(P la mari distane, cnd gradientul su este supus condiiei (4.10). Funcia )(P al crei gradient este 21 uu

, este determinat n afara unei

constante aditive printr-o integral curbilinie independent de drum. Notnd cu )(0 P funcia obinut cnd punctul iniial este 0P :

PP

rduuP0

)()( 210

S lum ca drum de integrare segmentul MP0 , parcurs pe semidreapta 0OP

pn n punctul M situat la distana OPOM , urmat de arcul de cerc MP cu centrul n O si de raza (vezi figura)

avem

MP MP

rduurduuP0

)()()( 21210

de unde

MPMP MPMP

dsAdsArduurduuPo

1121210 22)(

0

Pe segmentul MP0 , dds , iar pe arcul MP este constant, deci

AAdsAdAPMP

o

211222)(0 0

11

Notnd cu )(P funcia obinut din )(0 P cnd punctul iniial 0P este punctul I de la infinit al semidreptei )(


43

IP

rduuP )()( 21

Din cele de mai sus rezult c: AP 2211)(

Deci: dac se cunoate grad pe D, funcia este determinat n afara unei

constante aditive.

4.2. Determinarea unui cmp irotaional de divergen dat n tot spaiul R3

S considerm sistemul:

rot u div u q pe R 0 3, (4.11) i condiia:

u P A 1

(4.12)

pentru OP R0, unde A, , R0 sunt constante strict pozitive date.

Vom presupune c q este o funcie dat, de clas C3(R3) i satisface o condiie de forma:

q P k 2

(4.13)

pentru OP R0, unde k i sunt constante strict pozitive, 0 <


44

Propoziia 4.3. n condiiile enunate mai sus soluia sistemului (4.11), care satisface (4.12) este dat de:

u M q P rr

d P

R

14 3

3

(4.14)

r MP

pentru orice M R 3.

Demonstraie: aa dup cum am vzut n paragraful 3.1. din (4.11) avem:

u grad

(4.15)

unde este o soluie a ecuaiei lui Poisson:

q n R3 (4.16) Folosind relaia (4.15) din (4.12) avem:

u P grad A 1

(4.17) Deoarece expresia unei funcii intereseaz

n afara unei constante aditive, putem lua orice

punt ca punct iniial. Vom considera domeniul R3

ca provenind din interiorul al unei sfere S cu

centrul n M i de raz a, cnd a ca n figura alturat.

Deoarece, pentru punctele P de pe sfer:

r MP a

ddn a

r

;1

21

avem conform celei de-a doua formule a lui Green c:


45

PS

P

S

P dr

PqdPa

dnd

da

M

41

41

41

2 (4.18)

S cercetm ce devin aceste integrale a ; avem evident c:

ddn

n grad A A

101

cu 0 0

OP fiind cea mai mic valoare a lui .

Dac notm cu d OM a d

; 0 avem:

12

10

44

141

41

daaA

aA

ad

ndd

ad

ndd

aS

P

S

P

1

41

41

442 2 2

0

2

a

P da

P da

Ba

Ba d

PS

PS

Se observ c primii doi termeni din (4.18) tind ctre zero pentru a , deci:

Mq P

rd P

R

14

3

(4.19) (dac aceast integral este convergent). n condiiile enunate cu privire la q integrala (4.14) este uniform convergent,

deci gradientul funciei (4.19) se poate obine derivnd sub semnul de integrare:

u M grad M q P gradr

dMR

P

1

41

3

cum


46

gradr

gradr r

grad r rr

M P1 1 1

2 3

obinem (4.14).

4.3. Determinarea unui cmp solenoidal de rotor dat

S considerm sistemul:

div uR D

0 3 pe R rot u =

v pe D

0 pe D

3

1,

\

(4.20) unde D este un domeniu mrginit de o suprafa nchis cu normala

n

continu pe

poriuni. Funcia dat v D D V: 3 o presupunem de clas C D1 i

ndeplinind condiia:

n v

0

(4.21) Propoziia 4.4. n condiiile de mai sus, o soluie a sistemului (4.20) n mulimea funciilor de clas C2 pe D este:

u Mr v P

rd P

D

14 3

(4.22) Demonstraie: aa dup cum se tie din (3.2) orice soluie a primei ecuaii (4.20)

este de forma:

u rot w w C D , 2 (4.23) Vom construi soluia sistemului (4.20) folosind numai funcii

w pentru care:


47

div w 0 (4.24) pe D D 1 . Introducnd (4.23) n (4.20) avem:

rot rot wv pe D

pe D

0 1

(*) sau innd seama c rot rot w graddiv w w avem:

wv pe Dpe D

0 1

(4.25)

Aceast ecuaie raportat la triedrul i j k, , se desface n trei ecuaii scalare de tip Poisson care admit soluiile:

w

V Pr

dkk

P

D

14

de unde rezult c ecuaia (4.25) admite o soluie de forma:

w M

v Pr

d r MPPD

1

4 ;

(4.26) Pentru a demonstra c aceast funcie este soluia ecuaiei (*) este suficient s

demonstrm c div w pe D D 0 1 . Avem n acest scop:

divw M div v Pr

d v P gradr

dM PD

M

D

P

14

14

1

Folosind relaia:


48

3

11r

r

rgrad

rgrad PM

i condiia divv 0 , ultima identitate se mai scrie:

div w M div v Pr

dn v P

rdP P

D

G OP

14

14

innd seama de n v

0 rezult:

div w M 0 pe D D 1 . Din (4.23) i (4.26) deducem c:

u M rot

v Pr

d gradr

v P dMD

P M

D

P

1

41

41

relaie echivalent cu (4.22).

CMPURI DISCONTINUE

5.1. Divergena de suprafa

Acest paragraf se ocup de cmpuri scalare i cmpuri vectoriale discontinue la

traversarea unei suprafee .

Fie o suprafa situat ntr-un domeniu D i avnd normala n continu. Pe

suprafaa distingem o fa negativ (sau faa 1) i o fa pozitiv (sau faa 2), cu

precizarea c traversarea suprafeei n sensul n

se face trecnd de pe faa negativ pe faa

pozitiv.


49

S considerm un cmp vectorial Mvv definit n domeniu D cu urmtoarele propreieti:

i. oricare ar fi P de pe suprafaa , exist o sfer cu

centrul n P n interiorul creia avem:

v M A (5.1) ii. v

este continuu n D \ .

Cnd P se deplaseaz pe suprafaa , v P este de asemenea continuu. La traversarea suprafeei ,

v M este discontinuu. Fie P . Considerm o sfer cu centrul P i de raz suficient e mic astfel nct interiorul sferei s fie mprit de suprafaa n dou regiuni, din una se vede faa 1

a suprafeei, iar din cealalt faa 2. Avem:

v Mv P cnd M P pe faav P cnd M P pe faa

1

2

12

(5.2)

Definiia 5.1. Cmpul vectorial 3: Dv

se numete discontinuu n punctul

P dac v P v P1 2 . Studiem n cele ce urmeaz cazul:

n v P n v PP P 1 2 (5.3) unde nP este normal n P.

Pentru aceasta considerm o mic poriune S din suprafaa mrginit de o curb

nchis C i coninnd punctul P, dac toate punctele curbei C sunt suficient de apropiate

de P, paralele la nP duse prin punctele poriunii S nu mai intersecteaz a doua oar

suprafaa S.


50

Pe aceste paralele la nP vom lua de o parte i

de alta segmente egale cu h2

, extremitile acestor

segmente genereaz suprafeele S1 i S2 de arii egale

cu S, deoarece se obin din S prin dou translaii

caracterizate de vectorii n

h2

. Segmentele ce trec

prin curba C genereaz o suprafa Sl.

S cercetm ce devine fluxul al cmpului vectorial v M prin suprafaa nchis format de S1 S2 Sl cnd h 0 , normala

n fiind dirijat spre exteriorul

domeniului mrginit de aceast suprafa:

v n vd n vd n vdS S Sl

1 2

(5.4)

Deoarece v i

n sunt continue pe S1 i pe S2, produsul scalar al lor este o

funcie continu; deci putem aplica primelor dou integrale din (5.4) formula de medie:

n vd n v S

n vd n v S

S M

S M

1 1

2 2

(5.5)

Se observ c pentru h 0 , M P S1 '

iar M P S2 " ;

v va tinde

respectiv ctre valorile v P v P1 2' ", , deoarece S1 tinde ctre faa 1 a suprafeei S, iar S2 ctre faa 2.

Dac notm cu nP normala la suprafa n punctul P dirijat dinspre faa 1 spre

faa 2 avem:


51

"

20

'

10

"

2

'

1

lim

lim

PvnSdvn

PvnSdvn

PS

h

PS

h

(5.6)

Integrala pe Sl tinde ctre zero cnd h 0 deoarece:

lSSS

SAdvdvndvnlll

)1.5(

(S cnd hl 0 0 ).

Prin urmare fluxul prin suprafaa nchis se reduce cnd h 0 la fluxul s prin cele dou fee ale suprafeei S:

s p pS n v P n v P

" '

" '

2 1 (5.7)

sS

- fluxul mediu pe unitatea de suprafa.

Definiia 5.2. Se numete divergen de suprafa a cmpului vectorial v M

n punctul P limita raportului sS

cnd S 0 (unde (S) este diametrul poriunii

de suprafa S) astfel nct toate punctele curbei C s tind ctre P adic:

div v SS n v P v PS P S P

lim 0

2 1

(5.8) aceasta cnd toate punctele curbei C tind ctre P punctele P1 i P2 tind ctre P, iar funciile

v1, v2 i n

continue pe vor tinde ctre valorile lor n P.

Observaia 5.1. Divergena de suprafa este nul atunci i numai atunci cnd

v P1 i v P2 au proiecii egale pe normala n P la suprafa.

Observaia 5.2. La traversarea suprafeei , cnd componenta normal a

vectorului v M prezint o discontinuitate manifestat printr-un salt finit, fluxul total


52

din cele dou fee ale suprafeei este diferit de zero. n mecanica fluidelor acest fapt se

atribuie existenei unei distribuii continue de surse pe suprafaa , caracterizat prin

expresia (5.8). Observaia 5.3. n mod analog se definesc rotorul de suprafa i gradientul de suprafa:

rot v n v P v PsP

p

2 1

(5.9)

grad n P PsP

p

2 1

(5.10) Se pornete de la integralele de suprafa, folosite n definiia rotorului i a gradientului ca

derivate spaiale, extinse la suprafaa nchis S1 S2 Sl. Cnd 0h integrala pe Sl tinde ctre 0 i rmn numai limitele integralelor pe S1 i S2

5.2. Cmpuri nestaionare

O funcie scalar batDPtP ,;;, definete pentru fiecare valoare a lui t din intervalul [a,b] un cmp scalar n domeniul D. n aceleai condiii tPww , definete un cmp vectorial n domeniul D pentru fiecare valoare a lui t din intervalul [a,b]. Cmpurile definite mai sus se numesc cmpuri variabile (nestaionare).

Observaia 5.4. Parametrul t reprezint timpul; vom considera numai cazul cmpurilor date prin funcii de forma:

P t w w P t cu P D, ; , i t a,b (5.11) Dac fa de un sistem Oxyz avem P P x y z , , i x y z t, , ; atunci:


53

dx

dxy

dyz

dzt

dt

(5.12) este difereniala ntr-un punct P x y z0 0 0 0, , la momentul t0. S urmrim variaia funciei =(P,t) cnd P se afl n micare cu viteza v ; fie: x = x(t), y = y(t), z = z(t) ecuaiile curbei descrise de punctul P, viteza v va avea componentele: x(t), y(t), z(t) fa de triedrul Oxyz.

Avem:

dx

x ty

y tz

z tt

dt v gradt

dt

' ' '

de unde:

ddt

v gradt

(5.13)

cu: ddt

- derivata substanial a cmpului; t

- derivat local

Cum v grad v v - (derivata cmpului scalar n raport cu v )

relaia (5.13) devine: tt

vdtd

)( (5.13)

n cazul unui cmp vectorial nestaionar tPww , , avem urmrind vectorul w ataat punctului P n micare cu viteza

v v i v j v k 1 2 3 difereniala sa:

dtt

wwv

dtt

w

z

wv

yw

vx

wvdt

t

wdzz

wdyywdx

x

wwd

321

d

eci:


54

dwdt

v ww

t

(5.14)

cu dtwd

- derivata substanial; t

w

- derivata local; wv )( - derivata lui w n raport

cu v

.

A. Derivata circulaiei unui cmp vectorial nestaionar.

S considerm funcia w P t, cu derivate pariale de ordinul nti continue; aa dup cum se tie i innd seama de definiia circulaiei avem:

t w P t drL t

, (5.15)

pe un drum L(t) de extremiti A i B. Presupunem arcul de curb format

din puncte materiale n micare. Notm cu

v P viteza punctului P de pe curb. Integrala (t) va fi funcie de t din dou motive: drumul L(t) variaz cu t, iar cmpul w P t, este nestaionar. Pentru a calcula derivata lui (t) vom considera cazurile:

i. cnd L fix, iar w P t, nestaionar:

1 t w P t drL

,

(5.16) de unde se obine evident:


55

d tdt

w P tt

dr

L

1

,

(5.17) (s-a folosit formula de derivare stabilit la integralele depinznd de parametru) ii. cnd w w P este un cmp staionar, iar arcul de curb L(t) variaz cu timpul t.

Va trebui s calculm derivata funciei:

tL

rdPwt 2

(5.18) n momentul t + t noul drum va fi L(t + t) de extremiti A i B (ca n figura de mai sus), avem:

ttL

rdPwtt 2

Dac t este suficient de mic, noua poziie P a punctului P poate fi aproximat

prin vectorul:

PP v t t'

(5.19)

n particular: AA v A t BB v B t' ';

. (5.19)

Calculm variaia integralei )(2 t

2 2t t t wdr wdr wdr wdr wdr wdr wdrA B AB A B BA C BB AA

' ' ' ' ' '

(*) C fiind conturul nchis ca n figura de mai sus.


56

Notnd cu suprafaa generat de PP '

cnd P descrie arcul AB i aplicnd

primei integrale formula lui Stokes rezult:

wdr n rot w d

C

Lund ca element de suprafa d aria descris de PP '

pentru o deplasare ds a

punctului P pe arcul AB avem:

n d PP dr v P dr t

'

i cu aceasta integrala de suprafa se transform intr-o noua integral pe L(t)

w dr t rot w v dr t rot w v dr

C L t L t

Celorlalte integrale din (*) le aplicm teorema mediei.

Fie a b, versorii vectorilor AA BB' '

i , exist dou puncte A1 i B1 pe segmentele AA i BB astfel ca:

'1'1''

)( AAAwdswadswardwAAAAAAA

'1'1''

)( BBBwdswbdswbrdwBBBBBBB

Cum AA v A t'

i BB v B t'

avem:

2 21 1

t t tt

rot w v dr w B v B w A v AL t


57

Cnd t 0 , A tinde ctre A, deci A1 tinde ctre A, datorit continuitii w A1 va tinde ctre

w A , analog w B1 va tinde ctre

w B , deci:

ddt

rot w v dr w B v B w A v AL t

2

innd cont c:

w v w v grad w v drB A AB

avem

ddt

rot w v grad w v drL t

2

(5.16) iii. cazul general cnd i w w P t , este nestaionar i L(t) variaz innd cont de

cazurile i. i ii. avem:

ddt

w

trot w v grad w v dr

L t

(5.17) B. Derivata unui flux n cazul unui cmp nestaionar

Fie ),( tPww un cmp vectorial nestaionar i )(t o suprafa deschis, mrginit de o curb nchis )(tCC . Vom presupune c suprafaa este format tot timpul din aceleai puncte materiale P care se deplaseaz n spaiu cu viteza v

i c are normala continu n

. Aa dup cum se tie avem:

)(

),()(t

dtPwnt (5.18)

care va fi o funcie de timp. Deplasarea punctului P n timpul t dac t este suficient de mic poate fi

aproximat prin vectorul tPvPP )(' ca n figura


58

Noile poziii 'P ale punctelor P formeaz o nou suprafa )( tt . Avem cazurile:

i) cnd este fix i ),( tPww , deci

dtPwnt ),()(1

(5.19)

de unde

dt

wn

dttd )(1

(5.20)

ii) cnd )(Pww , iar )(t avem

)(

2 )()(t

dPwnt (5.21)

i deci

)( )(

22 )()(')()(tt t

dPwndPwnttt , am

notat cu 'n

normala la )(' tt . Fie lS

'

.

Putem scrie:

S l

dPwndPwnttt )()()()( 22

.

Prima integral se poate transforma ntr-o integral de volum, folosind formula lui Gauss-Ostrogradski:

S

dwdivdPwn )()(

cu tdPvndPPnd )(' , deci:

S t

dnwdivvtdPwn)(

)()( .

Cum trdPvPPrddnl

)('


59

avem

)(

)(t

dvwrotntwnl

.

Deci

)(

22 )()()()(t

dvwrotwdivvntttt

sau evident:

)(

2 )()()(t

dvwwvvdivwndt

d

iii) cnd i cmpul i suprafaa variaz cu t

)()()(

t

dvwvdivwdtwd

ndtd

Probleme rezolvate

1. Se consider cmpul vectorial: v

=grad( c grad u), unde kjic

, iar

u

= x121 4

-

61

x3(y+z)+ x

21 2yz +f(y-x , z-x),

f fiind o funcie derivabil. i) S se afle mrimea i direcia cmpului v n punctele A(1,2,0) i B(2,1,3) ii) S se gseasc liniile de cmp ale cmpului vectorial v i apoi s se

determine suprafaa de cmp ce trece prin elipsa : z=1 , x2+4y2=1.

Rezolvare: Mai nti s gsim expresia cmpului vectorial ; cum:

3

2 ' '1 2

3 2 3 2' '

1 2

3

6 2 6 2

u u u xcgradu x y z xyz f f

x x z

x x z x x yf f xyz

rezulta: kxyjxziyzv

i) innd seama de cele de mai sus , avem v (A)=2 k

si v (B)= kji

263

si v (A) are direcia axei Oz i mrimea 2 , iar v (B) are mrimea 7 i direcia de cosinusuri directoare

73

,

76

,

72

.


60

ii) Ecuaiile difereniale ale liniilor de cmp sunt:

xydz

xz

dyyzdx

Din primul i al doilea raport avem:

x

dyy

dx , de unde : y2-x2=C1

analog din primul i al treilea raport obinem:

x

dzz

dx , de unde z2-x2=C2

Prin urmare liniile de cmp au ecuaiile

222

122

CxzCxy

Pentru a gsi suprafaa de cmp ce trece prin elipsa din enun , impunem ca sistemul:

14122

222

122

yxz

CxzCzy

s fie compatibil , de unde obinem suprafaa de ecuaie : 045z-4yx 222

2. S se determine suprafaa de cmp a vectorilor v (M)=grad f grad g , care trece prin curba de ecuaii

10

:xyz

, unde f(M)=x+y+z , g(M)=xy+yz+zx.

Rezolvare : innd seama de expresia cartezian a gradientului avem:

grad f= kji

, grad g=(y+z) i

+(x+z) j +(x+y) k , i

ky)-(x+jx)-(z+iz)-(y=gradg gradf=(M) v .

Ecuaiile difereniale ale liniilor de cmp sunt:

yxdz

xz

dyzy

dx

, care integrate ne dau liniile de cmp:

2222

1:

CzyxCzyx

C


61

Suprafaa de cmp cerut este generat de liniile de cmp (C), care se sprijin pe curba () .

Astfel avem sistemul

0z1xy

Czy xCzyx

2222

1

Eliminnd pe x,y,z ntre ecuaiile acestui sistem , obinem condiia de compatibilitate a sistemului sub forma : 22

21 CC

Eliminnd pe C1 si C2 din aceasta relaie i ecuaiile (C) obinem suprafaa de cmp :

(S): xy+yz+zx-1=0.

3. Se consider cmpul vectorial :

kz

yxjz

yiz

xv

2

22

22

S se arate c v este irotaional n semiplanul z>0 i apoi s se determine funcia de for .

Rezolvare: Avem prin calcul direct c :

0

22 222

z

yxz

yz

x

zyx

kjivrot

Funcia de for este :

dtt

yxdtz

tdtz

tzyxP

x

x

y

y

z

z

0 0 0

2

22

00

22),,()( =

Cz

yxzz

yxyyz

xxz

22

0

2220

2

0

20

2

0

11)()(1)(1

unde am notat :

0

20

20

z

yxC


62

4. Fie ky)xy(xjz)xz(xiz)yz(y v S se determine suprafeele ortogonale liniilor de cmp i apoi s se scrie: v = grad F

Rezolvare: Prin calcul direct avem: rot v

=2x(y-z) i

+2y(z-x) j +2z(x-y) k

de unde: v rot v =0 , deci v este un cmp biscalar i admite o familie de suprafee ortogonale liniilor de cmp. Liniile de cmp ale lui rot v sunt soluiile sistemului :

)()()( yxzdz

xzydy

zyxdx

i anume x+y+z=C1 ; xyz=C2 (C1 , C2-

constante). Se observ c : rot v grad (x+y+z)=0 , rot v grad (xyz)=0

Putem descompune v dup direciile vectorilor grad (x+y+z) i grad(xyz): v

=grad(x+y+z)+grad(xyz) de unde , calculnd gradienii i identificnd cu v dat iniial , obinem : =-xyz ,=x+y+z, deci :

v

=-xyz grad (x+y+z)+(x+y+z) grad (xyz). Cu aceasta ecuaia cu diferenialele totale v d r =0 devine :

(x+y+z)d(xyz)-(xyz)d(x+y+z)=0 Integrala generala a acestei ecuaii este :

Cxyz

zyx

(C constant)

Cmpul vectorial se poate scrie sub forma:

v

= gradxyz

zyx , determinndu-se prin identificare :

=-(xyz)2, deci v = -x2y2z2 gradxyz

zyx

5. S se determine integrala general a ecuaiei :

yz

zyx

zzx x2+y2

precum i suprafaa integral ce trece prin curba:

121

: 22 xyyxz

Rezolvare: Sistemul diferenial al caracteristicilor este:


63

22 yxdz

zydy

zx

dx

, care poate fi scris sub forma mai convenabil:

22 yxzdz

ydy

x

dx

Din egalitatea primelor dou rapoarte se obine: xy=C1 Amplificnd cele trei rapoarte cu x ; -y ; -1 i fcnd raportul dintre suma

numrtorilor i suma numitorilor, noul numitor trebuie s fie nul, adic: xdx-ydy-zdz=0

Integrnd se obine: x2-y2-z2=C2, de unde se obine soluia general a ecuaiei de forma:

(xy , x2-y2-z2)=0 Suprafaa integral care trece prin curba dat poate fi obinut din integrala

general , punnd condiia ca hiperbola s se afle pe aceasta suprafa ; se obine conul cu vrful n origine:

z2=x2-y2-2xy.

6. S se determine integrala general a ecuaiei : 22 zyxaz

yzy

x

zx

Rezolvare: Sistemul diferenial al caracteristicilor este:

22 zyxazdz

ydy

x

dx

Din acest sistem se deduce:

2222 zyxazzdz

yydy

x

xdx

sau

2222222 zyxazdz

zyxazzyxzdzydyxdx

sau

222222 zyxazdz

zyxazzyxzdzydyxdx

sau

2222

22

zyxazdz

azzyx

zyxzdzydyxdx

x

dxzyxaz

dzzyxazazzyx

dzzyx

zdzydyxdx

222222

22


64

din primul i ultimul raport rezult

xdx

zyxa

dzzyxzdzydyxdx

22

22

1

de unde, prin integrare se obine c : 2222 lnln)1(ln Cxazyxz sau

12

222 axCzyxz Din primele rapoarte ale sistemului caracteristicilor rezult y=C1x.

Ecuaia suprafeelor integrale este:

x

yfxzyxz a 1222

7. S se determine integrala generala a ecuaiei:

02222

yz

xzyx

zxzxy

precum i suprafaa care conine elipsa :

222 44

0:

azy

x

Rezolvare: sistemul diferenial al caracteristicilor este:

0)(2222dz

xzydy

xzxydx

se observa imediat ca z=C

Din primele doua rapoarte avem:

22222 22)(2

2)(2

22

ycxxydydxcx

ycxxdxcx

yydy

122 ln)2ln(ln Ccxyxy

Prin urmare , suprafeele integrale x2+y2-2yf(z), sunt generate de cercurile al cror plan rmne paralel cu planul xOy i al cror centru in x=y=C , y=f(z), descriu o curb n planul x=z.

Suprafaa care conine elipsa este:

22222 azayzx

8. Se consider cmpurile de vectori : u

=(r) r

; v

=(r)( ra

) unde este o funcie derivabil oarecare, iar a un vector constant;

Se cere:


65

i) S se arate c u este un cmp irotaional , iar v este solenoidal. ii) S se determine funcia (r) astfel ca : div u =(r) iii) Daca (r) este funcia gsit la punctul ii), atunci au loc relaiile:

(1)

dgradradn )(

(2)

c

dgradnardrot

unde n prima relaie este un domeniu mrginit de suprafaa , iar cea de-a doua este o suprafa deschis , mrginit de curba C.

Rezolvare :

i) Cum : rot r =0 iar, grad (r)=(r)r

r , avem

rot u

=(r) rot r

+grad (r) r =0 Deoarece : div v =(r) div ( ra )+( ra ) grad (r) , iar div ( ra )= r rot a a rot r =0 , obinem divv =0

ii) Avem: div u =(r) div r + r grad (r)=3 (r)+r (r)

Problema gsirii funciei (r) revine la a rezolva ecuaia diferenial: 3(r)+r(r)=(r) sau r(r)+2(r)=0

Integrnd aceast ecuaie , obinem (3) 2r

Cr

iii) Pentru a demonstra relaia (1) folosim formula rotorului (4)

drotdn

cum rr

Ca

2 ,rezult

rarrar

Ca

r

Crot

242

22 sau

rrar

Crot

4

2

care se mai scrie , innd seama de relaia (3), sub forma : (5) rot v =-( ra ) grad (r)

nlocuind (5) n (4) obinem relaia (1) Pentru a demonstra relaia (2) vom folosi formula lui Stokes S calculm mai nti

rrar

Cgradrrotrar

Crotrot

44

22

innd seama de relaia grad ()= grad + grad , avem:


66

rr

Cgradrarar

cgradrrar

cgrad

444

222=

= rar

Crr

r

Craa

r

C

464

28)(2

deci rar

Crotrot

4

2

Formula lui Stokes devine n acest caz:

c

dnvrotrotrdrot i deoarece

)()( rgradnanargrad ,avem

drgradnadnargrad )()(

9. S se calculeze circulaia vectorului : kyzjxyixv

2 de-a lungul conturului nchis ABCA din figura de mai jos, unde arcul (BC) este un sfert din cercul cu centrul n origine i de raza 1 , cuprins n planul yOz , apoi s se verifice rezultatul folosind formula lui Stokes

Rezolvare: innd seama de definiia circulaiei avem:


67

= )( )(ABCA ABCA

rd x2dx+xydy-yzdz= )( )( )(AB BC CA

rdrdrd =1 +2 +3

Segmentul de dreapt

10

:yx

zAB si deci

1 = )( AB

x2dx+xydy-yzdz=

1

0

-(1-y)2dy+ (1-y)ydy= 1

0

(-1+3y-2y2)dy =61

Pentru arcul (BC) avem ecuaiile parametrice:

sin2

,0,cos

0

z

cuy

x

deci:

31

sincos2

0

2

)(

22

dyzdzxydydxxBC

Segmentul de dreapt

10

:zx

yCA i deci

3= )(

1

0CA

rd x2dx=31

= 1 +2 +3= 61

S verificam cele obinute cu formula lui Stokes

Avem : rot kyizv

. Notm cu S suprafaa laterala a sfertului de con cu vrful n A i avnd ca directoare cercul x=0 , y2+z2=1 este y2+z2=(1-x)2

Reprezentarea parametric a suprafeei S este:

x= ; y=(1-) cos ; z=(1-) sin cu

2,0,1,0

aa ca elementul de arie este:

ddddFEGd 122

Normala la suprafaa face cu axa Ox un unghi de 45o , prin urmare :


68

kjin sincos22

, deci:

S

ddnkidnrot1

0

2

0

12cos1sin1

=

= 1

0

2

0

2

61

cossinsin1

dd

10. S se calculeze fluxul cmpului : kxyjxyizxv

prin suprafaa limitat de planele de coordonate , planul z=h i sfertul de cilindru x2+y2=a2 din primul octant al sistemului de axe , apoi s se verifice rezultatul aplicnd formula lui Gauss Ostrogradski.

Rezolvare: Avem:

flux(OABCDE)( v )= flux(OAB)( v )+ flux(OBCE)( v )+ flux(OADE)( v )+ flux(DCE)( v )+ +flux(ABCD)( v )

Dar : flux(OAB)( v )=

)(OABn

d

unde kn

este normala la planul yOx , iar d este elementul de suprafa n acest plan , adic d=dxdy . Cum (AOB) este situat n planul xOy (z=0) , rezult

nv =-yz=0,


69

de unde: flux(OAB)( v )=0 n mod analog :

flux(OBCE)( v )= )(OBCE

nv d=

)(OBCE)( iv dydz=0 , (deoarece x=0);

flux(OADE)( v )= )(OADE

nv d=

)(OADE)( jv dxdz=o , (deoarece y=0).

Mai departe : flux(DCE)( v )=

)(DCE nv d=

)(DCEkv dxdy=

= )(DCE

yzdxdy=h )(DCE

ydxdy , deoarece (DCE) se afl n planul z=h.

Cum:

3

3

00)(

22

aydydxydxdyxaa

DCE

, avem flux(DCE)( v )= 33ha

Trebuie s calculm : flux(ABCD)( v )=

)( ABCDnv d , unde nOz , aa c deducem:

2,0,sincos ujuiun

Reprezentarea parametric a poriunii de cilindru fiind : x=a cosu , y=a sinu z=v

cu hu ,0,2

,0

si dudFEGd 2 , unde

2222

au

z

u

yu

xE

0

z

u

zyu

yxu

xF

1222

zyxG

Deci:

flux(ABCD)( v )= )( 0

2

0

222 cossincosABCD

h

dudvuuauadn

=

=

38

322 haha


70

Prin urmare :=8

a2h2+32

a3h.

Folosind formula lui Gauss Ostrogradski: S

nv d=

D

div v d i innd

cont c : div v

=x+y+z , avem:

)( 00

22

)()(OABCDE

xa

a

ah

dyzyxdxdzdzdydzzyx =

= ahahah

dxxazdzdxxadzdxxaxdz0

22

00

22

00

22

0

)(21

ns

a

adtttadxxax0

32

0

2322

3cossin

a

adxxa0

322

32

a

atdtadxxa

0

2

0

22222

4cos

Prin urmare

hahaahahah 3223

233

32

8421

32

21

3

Probleme nerezolvate

1.Sa se demonstreze c: ( r )rn=nrn, unde r

este vectorul de poziie.

2.S se calculeze gradienii cmpurilor scalare : i)(x,y,z)=xyz ex+y+z ii)(x,y,z)=arctg

xzyzxyxyzzyx

1

iii)(x,y,z)=f(x,xy,xyz) iv)(x,y,z)= f(x+y+z,x2+y2+z2)


71

3.S se gseasc unghiul dintre gradienii cmpului :

222),,()( zyxx

zyxP

n punctele A(1,2,2) i B(-3,1,0)

4.Se dau funciile :

=r

1=| rc

|2 , unde:

kjic

i kzjyixr

. S se determine liniile de cmp , ale cmpului vectorial :

v

=grad grad i suprafaa de cmp ce trece prin curba :

023: 222 zyxzyx

yx

5.S se determine suprafaa de cmp a cmpului vectorial: v

=grad (xyz), care trece prin hiperbola : z=0 , 2x2-3y2=1

6.Dac este o funcie armonic , iar r este vectorul de poziie, atunci avem: grad ( r grad )+rot( r grad )+grad =0

7.S se arate c urmtoarele cmpuri sunt irotaionale i s se determine potenialul fiecrui cmp :

i) 2221 zyxkxzjzxiyz

ii) v =vers r

iii) v =zyxkji

8.Fie cmpul vectorial kyxjyixzv )()(2 22 ; se cere:

i)S se determine liniile de cmp i suprafeele ortogonale liniilor de cmp ; s se scrie v

= grad F; ii)Care sunt funciile =(x,y,z) pentru care : ),,()(2 zyxkjyixv

admite

suprafee ortogonale liniilor de cmp.

9.Se consider cmpul vectorial: v

=grad (r) + (r) grad (r) , unde i sunt dou funcii derivabile arbitrare , se cere s se demonstreze: i) v rot v =0 ii)

C

rdvdnrgradv )]([


72

pentru orice suprafat deschisa () mrginit de o curb oarecare (C).

10. S se calculeze fluxul cmpului v =(xyz) r , cu r -vectorul de poziie , prin suprafaa limitat de planele de coordonate i sfertul de sfer x2+y2+z2=1 din primul octant.

CALCUL OPERAIONAL _______________________________________________________________

73

CALCUL OPERAIONAL

SERII FOURIER. INTEGRALA FOURIER. TRANSFORMATA FOURIER

Obiective i idei principale de reinut 1. S defineasc seria Fourier a unei funcii periodice; 2. S defineasc integrala Fourier; 3. S defineasc transformata Fourier 4. S defineasc transformata Laplace; 5.

matematici speciale

Documents