Matematici speciale

Seminar 4

Martie 2017

ii

“Stiinta este o ecuatie diferentiala. Religia impune conditiile demargine.”

Alan Turing

4Ecuatii diferentiale

Un caz pentru Sherlock Holmes

Londra, ora 18.30.Watson: Sherlock, spune-mi inca o data ce informatii avem de la martorii

oculari.Holmes: D-ul Fox spune ca statea la fereastra dormitorului si se uita in

directia casei vecinului sau, d-ul Green. Batranul supraveghea printre altelecotetul gainilor vecinului sau. Acesta ii spusese ca de cateva saptamani cinevafura ouale gainilor sale. La ora 6 s-a asezat d-ul Fox la panda. De atuncinu a reusit sa dea de urma hotului. Doar Pastorul, d-ul Black, a trecut pe laora 9.30 pe la d-ul Green intr-o vizita de o ora. Acesta din urma a declaratca totul era in ordine cand l-a vizitat. La ora 15.00 a venit Helen fiica d-uluiGreen. La ora 15.45 s-a deschis usa casei iar Helen a iesit alergand. L-a vazutpe d-ul Fox la fereastra si a spus ceva ce el nu a inteles intrucat era fereastra

1

inchisa. Se manifesta foarte nervos si confuz. D-ul Fox a iesit in intampinare lausa. ”E mort!”, a urlat Helen. ”Cineva l-a omorat! Are o rana la cap!”...

Watson: De ce a iesit abia dupa 45 de minute din casa ? Este evident, eaeste criminalul !

Holmes: Nu stim sigur. Ea a spus ca atunci cand si-a vazut tatal morta lesinat si abia dupa 45 de minute si-a revenit. Apoi a tasnit afara din casa.Intrebarea este asadar: Ea minte sau minte Pastorul, care zice ca d-ul Greenera in viata la ora 10.30 ?

Watson: Si cum vom afla asta ?Holmes: Am masurat temperatura corpului victimei precum si temperatura

camerei. O data acum 5 minute precum si acum 2 ore. Astfel ca in catevaminute vom afla cine este criminalul ...

2

Ecuatii diferentiale de ordinul 1

Sunt ecuatii diferentiale de forma:

𝑦′(𝑥) = 𝑓(𝑥, 𝑦(𝑥)), (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐷𝑓 ⊂ R2.

∙ o functie 𝑦 = 𝑦(𝑥) se numeste solutie (integrala, curba integrala) a uneiecuatii diferentiale cand impreuna cu derivatele ei verifica ecuatia diferentialarespectiva.

∙ O solutie generala a unei ecuatii diferentiale de ordinul este o expresie cuun parametru 𝜑(𝑥,𝐶), astfel ca 𝑦 = 𝜑(𝑥,𝐶) este o solutie. Pentru fiecare 𝐶 seobtine o solutie particulara.

∙ Integrala generala a unei ecuatii diferentiale este o relatie:

𝜑(𝑥, 𝑦, 𝐶) = 0

care defineste implicit solutia 𝑦 a ecuatiei.∙ O functie 𝑦 = 𝑦(𝑥) se numeste solutie singulara daca impreuna cu derivatele

sale verifica ecuatia dar nu poate fi obtinuta din formula solutiei generale prinalegerea convenabila a unui parametru.

Ecuatii diferentiale cu variabile separabile:

𝑦′ = 𝑔(𝑥) · 𝑓(𝑦)

Algoritm:∙ Integrarea se face prin separarea variabilelor :

𝑦′

𝑓(𝑦)= 𝑔(𝑥)

∙ Fie 𝐹 o primitiva a lui1

𝑓si 𝐺 o primitiva a lui 𝑔. Urmeaza prin integrare

dupa 𝑥: ∫𝑦′(𝑥)

𝑓(𝑦(𝑥))𝑑𝑥 =

∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥

i.e.:

𝐹 (𝑦) = 𝐺(𝑥) + 𝐶.

Ecuatii diferentiale omogene:

𝑦′ = 𝑓(𝑦𝑥

)

3

Algoritm:

∙ Cu ajutorul substitutiei𝑦(𝑥)

𝑥= 𝑧(𝑥) se obtine:

𝑥𝑧′ + 𝑧 = 𝑓(𝑧)

pentru ca apoi separarea variabilelor sa conduca la:

𝑧′

𝑓(𝑧) − 𝑧=

1

𝑥

∙ Integrarea dupa 𝑥 furnizeaza:∫1

𝑓(𝑧) − 𝑧𝑑𝑧 = ln |𝑥| + 𝐶

∙ Daca 𝑧0 este o radacina a ecuatiei 𝑓(𝑧)−𝑧 = 0 atunci 𝑧 = 𝑧0 este de asemeneao solutie iar 𝑦 = 𝑧0 · 𝑥 este o solutie singulara.

Ecuatii diferentiale de forma:

𝑦′ = 𝑓 (𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐) , 𝑏 = 0

Algoritm:∙ Cu ajutorul substitutiei:

𝑧(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦(𝑥) + 𝑐

se ajunge la 𝑧′ = 𝑎 + 𝑏𝑦′, astfel:

𝑦′ =𝑧′ − 𝑎

𝑏= 𝑓(𝑧),

deci o ecuatie echivalenta este:

𝑧′ = 𝑎 + 𝑏𝑓(𝑧).

∙ Aceasta ecuatie diferentiala se rezolva prin separarea variabilelor.

Fie ecuatia diferentiala:

𝑦′ = (2𝑥 + 3𝑦)2 := 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐)

asadar 𝑎 = 2, 𝑏 = 3, 𝑐 = 0 si 𝑓(𝑡) = 𝑡2. Prin intermediul substitutiei:

𝑧(𝑥) = 2𝑥 + 3𝑦(𝑥)

si apoi 𝑧′ = 2 + 3𝑦′. Deoarece 𝑦′ = 𝑧2, rezulta:

𝑧′ = 2 + 3𝑧2.

Exemplu:

4

Rezolvam aceasta ecuatie prin separarea variabilelor:∫𝑧′

2 + 3𝑧3𝑑𝑥 =

∫1𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶

Dar: ∫𝑧′(𝑥)

2 + 3𝑧3(𝑥)𝑑𝑥 =

1

2

∫𝑑𝑧

1 +(√

32𝑧)2

Cu ajutorul substitutiei 𝑡 =√

32𝑧 rezulta:

1

2

∫𝑑𝑧

1 +(√

32𝑧)2 = 𝐻

(√3

2𝑧

)+ 𝐶

unde:

𝐻(𝑡) =1

2

∫1

1 + 𝑡2

√2

3𝑑𝑡 =

1√6

arctg 𝑡

In concluzie:

arctg

(√3

2𝑧

)=

√6(𝑥 + 𝐶),

prin inlocuire se obtine:

𝑧(𝑥) =

√2

3tg(

√6(𝑥 + 𝐶)).

Deci:

𝑦(𝑥) =𝑧(𝑥) − 2𝑥

3=

√23 tg(

√6(𝑥 + 𝐶)) − 2𝑥

3

�

Ecuatii diferentiale liniare omogene:

𝑦′ = 𝑓(𝑥)𝑦

Algoritm:∙ Separarea variabilelor conduce la:

𝑦′

𝑦= 𝑓(𝑥).

∙ Dupa integrare relativ la 𝑥 avem:

ln |𝑥| =

∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶

∙ In concluzie se obtine, pentru 𝐶 > 0:

𝑦(𝑥) = 𝐶1𝑒∫𝑓(𝑥) 𝑑𝑥,

5

unde 𝐶1 = ln𝐶 ∈ R.

Ecuatii diferentiale liniare neomogene:

𝑦′ = 𝑓(𝑥)𝑦 + 𝑔(𝑥)

Algoritm:∙ Cu transformarea ( metoda variatiei constantelor):

𝑦(𝑥) = 𝐶(𝑥)𝑒∫𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

obtinem:

𝐶 ′(𝑥)𝑒∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶(𝑥)𝑒

∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝐶(𝑥)𝑒

∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑔(𝑥),

i.e.:𝐶 ′(𝑥) = 𝑔(𝑥)𝑒−

∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥,

de unde urmeaza:

𝑦(𝑥) =

(𝐶 +

∫𝑔(𝑥)𝑒−

∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑥

)𝑒∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥

cu 𝐶 ∈ R arbitrar ales.∙ Problema Cauchy:{

𝑦′(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑦(𝑥) + 𝑔(𝑥)

𝑦(𝑥0) = 𝑦0

are solutia:

𝑦(𝑥) =

(𝑦0 +

∫ 𝑥

𝑥0

𝑔(𝑢)𝑒−

∫ 𝑢𝑥0

𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑑𝑢

)· 𝑒

∫ 𝑥𝑥0

𝑓(𝑡)𝑑𝑡

Ecuatii diferentiale de tip Bernoulli:

𝑦′ + 𝑓(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥)𝑦𝛼

Algoritm:∙ Pentru 𝛼 > 1 este 𝑦 ≡ 0 o solutie iar in cazurile 𝛼 = 0, 𝛼 = 1 este o ecuatie

diferentiala liniara.∙ In cazurile ramase inmultim ecuatia cu 𝑦−𝛼 si obtinem:

𝑦−𝛼𝑦′ + 𝑓(𝑥)𝑦1−𝛼 = 𝑔(𝑥)

Prin transformarea 𝑧(𝑥) = 𝑦(𝑥)1−𝛼 se obtine datorita 𝑧′(𝑥) = (1 − 𝛼)𝑦−𝛼𝑦′

ecuatia:

𝑧′ + (1 − 𝛼)𝑓(𝑥)𝑧 = (1 − 𝛼)𝑔(𝑥)

Aceasta este o ecuatie liniara neomogena al carui mod de abordare este dejacunoscut.

6

Ecuatii diferentiale de tip Riccati:

𝑦′ = 𝑓(𝑥)𝑦2 + 𝑔(𝑥)𝑦 + ℎ(𝑥)

Algoritm:∙ Ecuatiile de tip Riccati nu sunt intotdeauna integrabile, este nevoie sa

cunoastem una sau mai multe solutii particulare.∙ Fie 𝑦1(𝑥) o solutie particulara. Atunci alegem transformarea:

𝑦(𝑥) = 𝑦1(𝑥) +1

𝑧(𝑥)

care prin inlocuire furnizeaza:

𝑦′1 −𝑧′

𝑧2= 𝑓(𝑥)

(𝑦21 +

2𝑦1𝑧

+1

𝑧2

)+ 𝑔(𝑥)

(𝑦1 +

1

𝑧

)+ ℎ(𝑥)

si mai departe:

𝑦′1 − 𝑓(𝑥)𝑦21 − 𝑔(𝑥)𝑦1 − ℎ(𝑥)⏟ ⏞ 0

=𝑧′

𝑧2+

2𝑓(𝑥)𝑦1𝑧

+𝑓(𝑥)

𝑧2+

𝑔(𝑥)

𝑧

Dupa inmultirea cu 𝑧2 obtinem ecuatia liniara neomogena:

𝑧′ + (2𝑓(𝑥)𝑦1 + 𝑔(𝑥)) 𝑧 = −𝑓(𝑥).

∙ Cand avem norocul sa ghicim doua solutii 𝑦1 = 𝑦2 , se realizeaza trans-formarea:

𝑦(𝑥) = 𝑦1 +𝑦2 − 𝑦1𝑧(𝑥)

care conduce la:𝑧(𝑥) = 1 + 𝐶𝑒

∫𝑦1−𝑦2𝑑𝑥

7

Probleme rezolvate

Cum gandeste Sherlock Holmes:

Conform Legii lui Newton a racirii corpurilor:

Schimbarea temperaturii unui corp este proportio-nala cu diferenta dintre temperatura mediului in carese afla si cea a corpului.

𝑑𝑇

𝑑𝑡= −𝑘(𝑇 − 𝑇𝑈 )

unde 𝑇 este temperatura corpului (depinde de timpul 𝑡), 𝑇𝑈 este temperaturacamerei (mediul) iar 𝑘 e o constanta pozitiva.

Aceasta este o ecuatie diferentiala liniara de ordinul 1. Cu 𝑇 (0) = 𝑇0 solutiaproblemei Cauchy este:

𝑇 (𝑡) = 𝑇𝑈 + (𝑇0 − 𝑇𝑈 )𝑒−𝑘𝑡.

Sa presupunem ca temperatura camerei in care sa afla victima a fost con-stanta pe timpul zilei. Sherlock H. a masurat aceasta temperatura 𝑇𝑈 . El areacum nevoie doar de valoarea lui 𝑘. Pentru aceasta va putea folosi identitatea:

𝑇 (𝑡1) − 𝑇𝑈

𝑇 (𝑡2) − 𝑇𝑈= 𝑒−𝑘(𝑡1−𝑡2)

daca cunoaste temperatura corpului in doua momente de timp 𝑡1, 𝑡2 diferite.Din identitea de mai sus se obtine:

𝑘 = − 1

𝑡1 − 𝑡2ln

𝑇 (𝑡1) − 𝑇𝑈

𝑇 (𝑡2) − 𝑇𝑈.

Spre exemplu:La ora 𝑡1 = 16.25 a masurat Sherlock H. temperatura corpului victimei si

inca o data la ora 𝑡1 = 18.25. Valorile gasite sunt 𝑇 (𝑡1) = 26.8∘𝐶, respectiv𝑇 (𝑡2) = 26∘𝐶 iar 𝑇𝑈 = 25∘𝐶 este temperatura camerei. Asadar:

𝑘 = − 1

−2ln

26.8 − 25

26 − 25= 0.293

Temperatura normala a corpului uman este intre 36.3∘𝐶 si 37.4∘𝐶. Sherlockconsidera in medie temperatura:

𝑇 (𝑡𝑑) = 37∘𝐶

in momentul de timp 𝑡𝑑 al mortii d-ului Green.

8

Cu 𝑘 cunoscut considera mai departe 𝑡2 = 18.25 ca moment 0 si 𝑡1 = 𝑡𝑑 inidentitatea respectiva. Astfel 𝑇 (0) = 26∘𝐶 si avem relatia:

𝑡𝑑 = −1

𝑘ln

37 − 25

26 − 25≈ −8.4 (ore)

Aceasta inseamna ca la ora 10.30 d-ul Green nu era in viata.Pastorul, d-ul Black, minte!

Problema 1. Aflati solutiile ecuatiei diferentiale:

(1 + 𝑥)𝑦 + (1 − 𝑦)𝑥𝑦′ = 0

Solutie: Impunand conditiile 𝑥 = 0 si 𝑦 = 0 putem separa variabilele 𝑥 si 𝑦in ecuatia de mai sus si obtinem:

1 + 𝑥

𝑥=

𝑦 − 1

𝑦𝑦′

Integrarea dupa 𝑥 implica:∫1 + 𝑥

𝑥𝑑𝑥 =

∫𝑦 − 1

𝑦𝑦′𝑑𝑥 =

∫𝑦 − 1

𝑦𝑑𝑦

si mai departe:

ln |𝑥| + 𝑥 = 𝑦 − ln |𝑦| + 𝐶

De unde:

𝑥𝑒𝑥 = 𝑒𝑦1

𝑦𝑒𝐶

si in concluzie alegand 𝑒𝐶 = 𝐷 avem:

𝑥𝑦 = 𝑒𝑦−𝑥

Problema 2. Integrati ecuatia diferentiala:

𝑥(𝑦2 − 1)𝑦′ + 𝑦(𝑥2 − 1) = 0

Solutie: Prin separarea variabilelor (presupunand 𝑥 = 0 si 𝑦 = 0) si integrarese obtine: ∫

1 − 𝑦2

𝑦𝑑𝑦 =

∫1 − 𝑥2

𝑥𝑑𝑥

respectiv:𝑦2

2− ln 𝑦 = ln |𝑥| − 𝑥2

2+ 𝐶

apoi:

𝑥2 + 𝑦2 = 2 ln |𝑥𝑦| + 𝐶.

Cazurile omise 𝑥 = 0 si 𝑦 = 0 nu reprezinta solutii ale ecuatiei diferentiale.

9

Problema 3. Rezolvati ecuatia diferentiala:

𝑦′ = 𝑥2 +𝑦

𝑥+

𝑦2

𝑥4

Solutie: Se recunoaste ecuatia de tip Riccati, adica o ecuatie diferentiala deforma:

𝑦′ = ℎ(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑦 + 𝑓(𝑥)𝑦2,

care cu ajutorul unei solutii particulare 𝑦1(𝑥) prin trasnformarea

𝑦(𝑥) = 𝑦1(𝑥) +1

𝑧(𝑥)

se transforma in ecuatia:

𝑧′(𝑥) + (2𝑓(𝑥)𝑦1(𝑥) + 𝑔(𝑥)) 𝑧(𝑥) = −𝑓(𝑥)

Cautam asadar o solutie particulara. Incercam sa cautam o solutie ca fiindo putere a lui 𝑥. Prin incercari repetate gasim 𝑦1 = 𝑥3. Cu ajutorul acesteiaobtinem ecuatia liniara neomogena:

𝑧′(𝑥) +3

𝑥𝑧(𝑥) = − 1

𝑥4

Solutie ecuatiei omogene este:

𝑧ℎ =𝐶

𝑥3

Avem nevoie in continuare de o solutie particulara a ecuatiei neomogene. Printransformarea:

𝑧𝑝 =𝐶(𝑥)

𝑥3,

i.e. metoda variatiei constantelor, se obtine 𝐶 ′(𝑥) = − 1𝑥 si apoi 𝐶(𝑥) = ln |𝑥|.

Solutia particulara este:

𝑧𝑝(𝑥) = − ln |𝑥|𝑥3

,

de unde rezulta:

𝑧(𝑥) = 𝑧ℎ(𝑥) + 𝑧𝑝(𝑥) =𝐶

𝑥3− ln |𝑥|

𝑥3

In concluzie:

𝑦(𝑥) = 𝑥3 +𝑥3

𝐶 − ln |𝑥|.

Problema 4. Integrati ecuatia cu variabile separate:

2𝑦𝑦′ =𝑒𝑥

𝑒𝑥 + 1, 𝑦 (1) = 1.

Solutie: Deoarece 𝑦′ =𝑑𝑦

𝑑𝑥ın mod echivalent avem

2𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑥=

𝑒𝑥

𝑒𝑥 + 1⇔ 2𝑦𝑑𝑦 =

𝑒𝑥

𝑒𝑥 + 1𝑑𝑥.

10

In urma separarii varibilelor putem trece la integrarea celor doua functii siobtinem

2

∫𝑦𝑑𝑦 =

∫𝑒𝑥

𝑒𝑥 + 1𝑑𝑥 ⇔ 𝑦2 + 𝑐1 = ln (𝑒𝑥 + 1) + 𝑐2 ⇔ 𝑦2 = ln (𝑒𝑥 + 1) + 𝑐.

Solutia problemei Cauchy se obtine prin ınlocuirea lui 𝑥0 = 1 si a lui 𝑦0 = 1ın ecuatia de mai sus de unde rezulta

𝑐 = 1 − ln (𝑒 + 1) , 𝑦2 − 1 = ln𝑒𝑥 + 1

𝑒 + 1.

Problema 5. Integrati ecuatia omogena:

𝑦′ =𝑦

𝑥+ 𝑒

𝑦

𝑥 .

Solutie: Plecand de la noua functie 𝑧 =𝑦

𝑥rezulta

𝑦 = 𝑧 · 𝑥 ⇒ 𝑦′ = 𝑧′𝑥 + 𝑧.

Inlocuind ın ecuatia initiala avem

𝑧′𝑥 + 𝑧 = 𝑧 + 𝑒𝑧 ⇔ 𝑧′𝑥 = 𝑒𝑧.

Deoarece 𝑧′ =𝑑𝑧

𝑑𝑥obtinem ecuatia cu variabile separate

𝑑𝑧

𝑑𝑥𝑥 = 𝑒𝑧 ⇔ 𝑑𝑧

𝑒𝑧=

𝑑𝑥

𝑥

de unde ne rezulta ın urma integrarii∫𝑑𝑧

𝑒𝑧=

∫𝑑𝑥

𝑥⇔ ln |𝑥| + 𝑒−𝑧 = 𝑐.

Revenind la functia initiala avem urmatoarea integrala generala a ecuatiei:

ln |𝑥| + 𝑒−𝑦

𝑥 − 𝑐 = 0.

Problema 6. Rezolvati ecuatia liniara neomogena:

𝑥𝑦′ − 𝑦 + 𝑥 = 0.

Solutie: Pentru 𝑥 = 0 obtinem solutia particulara. Pentru 𝑥 = 0 avem

𝑥𝑦′ − 𝑦 + 𝑥 = 0 |: 𝑥 ⇔ 𝑦′ − 1

𝑥· 𝑦 = −1.

Pentru a obtine direct solutia generala a ecuatiei neomogene

𝑦′ + 𝑎 (𝑥) · 𝑦 = 𝑏 (𝑥)

11

folosim formula

𝑦 = 𝑒−∫𝑎(𝑥)𝑑𝑥

[𝑐 +

∫𝑏 (𝑥) 𝑒

∫𝑎(𝑥)𝑑𝑥𝑑𝑥

].

In cazul nostru 𝑎 (𝑥) = − 1

𝑥si 𝑏 (𝑥) = −1. Inlocuind ın formula de mai sus,

obtinem

𝑦 = 𝑒−

∫−

1

𝑥𝑑𝑥

⎡⎣𝑐 +

∫(−1) 𝑒

∫−

1

𝑥𝑑𝑥𝑑𝑥

⎤⎦⇔ 𝑦 = 𝑒

∫ 1

𝑥𝑑𝑥

⎛⎝𝑐−∫

𝑒−

∫ 1

𝑥𝑑𝑥𝑑𝑥

⎞⎠⇔ 𝑦 = 𝑒ln|𝑥|

(𝑐−

∫𝑒− ln|𝑥|𝑑𝑥

)⇔ 𝑦 = 𝑒ln|𝑥|

(𝑐−

∫1

|𝑥|𝑑𝑥

)⇔ 𝑦 = |𝑥| (𝑐− ln |𝑥|) ⇔ 𝑦 = 𝑘𝑥− |𝑥| ln |𝑥| .

Problema 7. Integrati ecuatia:

𝑥𝑦′′′ − 𝑦′′ − 𝑥𝑦′ + 𝑦 = 0

stiind ca admite solutiile

𝑦1 (𝑥) = 𝑥, 𝑦2 (𝑥) = 𝑒−𝑥.

Solutie: Daca pentru ecuatia diferentiala

𝑎0 (𝑥) 𝑦(𝑛) + 𝑎1 (𝑥) 𝑦(𝑛−1) + ... + 𝑎𝑛 (𝑥) 𝑦 = 0

suma coeficientilor (este nula)

𝑎0 (𝑥) + 𝑎1 (𝑥) + ... + 𝑎𝑛 (𝑥) = 0

atunci rezulta (si) solutia ecuatiei 𝑦 = 𝑒𝑥.Pentru exemplul nostru putem folosi observatia de mai sus deaorece

𝑥− 1 − 𝑥 + 1 = 0,

deci a treia solutie este 𝑦3 (𝑥) = 𝑒𝑥.

In concluzie solutia generala a ecuatiei este

𝑦 = 𝑐1 · 𝑥 + 𝑐2 · 𝑒−𝑥 + 𝑐3 · 𝑒𝑥.

12

Probleme propuse

Problema 1. Integrati ecuatia cu variabile separate

𝑥3 + 1

𝑥𝑑𝑥 +

𝑦2 − 1

𝑦𝑑𝑦 = 0, 𝑦 (1) = 1.

Problema 2. Rezolvati problema Cauchy

𝑦′ =√𝑥𝑦, 𝑥0 = 0, 𝑦0 = 1.

Problema 3. Integrati ecuatia omogena

𝑦′ =𝑥2 + 𝑦2

𝑥𝑦, 𝑥0 = −1, 𝑦0 = 0.

Problema 4. Rezolvati ecuatia liniara neomegena⎧⎨⎩ 𝑦′ +2𝑦

𝑥2 − 1= 2𝑥 + 2

𝑦 (0) = −3.

Problema 5. Rezolvati ecuatia:(𝑥2 − 2𝑥 + 3

)𝑦′′′ −

(𝑥2 + 1

)𝑦′′ + 2𝑥𝑦′ − 2𝑦 = 0

stiind ca admite solutiile

𝑦1 (𝑥) = 𝑥, 𝑦2 (𝑥) = 𝑥2 − 1.

Problema 6. Aflati solutiile ecuatiei diferentiale:

𝑦𝑦′ = 2𝑦 − 𝑥.

Problema 7. Integrati ecuatia diferentiala:

𝑥𝑦′ cos(𝑦𝑥

)= 𝑦 cos

(𝑦𝑥

)− 𝑥.

Problema 8. Aflati toate solutiile ecuatiei diferentiale:

𝑦′ = (1 − 𝑥 + 𝑥2) + (1 − 2𝑥)𝑦 + 𝑦2.

13