matematici speciale

1

MATEMATICI SPECIALE Prof. univ. dr. Gheorghe BARBU

2

1. Obiectivul disciplinei

Prezentarea, cunoaterea i nsuirea elementelor de baz i a tehnicilor calcul privind funcii complexe, transformri integrale, funcii speciale, probabiliti i grafuri.

2. Desfurarea disciplinei Curs : 3 ore / sptmn. Seminar: / sptmn.

3. Programa analitic a cursului

I. Funcii complexe------------------------------------------------------------------15 ore 1. Numere complexe------------------------------------------------------3 ore

Corpul numerelor complexe Planul complex Proprietile algebrice ale numerelor complexe Completarea planului complex Structura metric i topologic a planului complex Funcii complexe de variabil real

2. Funcii complexe de variabil complex-------------------------9 ore

Limite Continuitate Derivabilitate----------------------------------------2 ore Funcii elementare----------------------------------1 or Integrarea funciilor complexe -------------------3 ore Serii de funcii complexe--------------------------3 ore

3. Teoria reziduurilor i aplicaii-------------------------------------3 ore

II. Transformri integrale---------------------------------------------------------------6 ore

Transformarea Fourier-------------------------------------- 2 ore Transformarea Laplace------------------------------------- 2 ore Aplicaii--------------------------------------------------------2 ore

III. Funcii speciale----------------------------------------------------------------------3 ore

Funciile lui Euler: Gama i Beta-------------------------------2 ore Funcii Bessel------------------------------------------------------1 or

3

IV. Elemente de teoria pobabilitilor------------------------------------------9 ore

Cmpuri de evenimente---------------------------------3 ore Variabile aleatoare. Caracteristici numerice----------3 ore Repartiii clasice de probabilitate----------------------3 ore

V. Elemente de teoria grafurilor---------------------------------------------------6 ore

Grafuri neorientate--------------------------------------1 or Grafuri orientate-----------------------------------------1 or Algoritmi pentru determinarea fluxurilor optime---2ore Drumul critic-------------------------------------------- 1 or Aplicaii---------------------------------------------------1 or

VI. Elemente de teoria ateptrii ---------------------------------------------------------------3 ore

Model general cu sosiri poissoniene i timp de servire exponenial--2 ore Tipuri de modele de ateptare-----------------------------------------------1 or

4. Bibliografie [1] Gheorghe Barbu, Matematici speciale. Note de curs., Tipografia Universitii din Piteti, 1992. [2] Gheorghe Barbu, Anca Barbu, Camelia Gheldiu, Probleme de matematici speciale, Tipografia Universitii din Piteti, 1993. [3] Gheorghe Barbu, Maria Jaic, Modele ale cercetrii operationale, Editura Universitii din Piteti, 1999. [4] Gheorghe Sabac, Matematici speciale, vol.I-II, Editura Didactic i Pedagogic, 1984 [5] Valter Rudner, Cornelia Nicolescu, Probleme de matematici speciale, Editura Didactic i Pedagogic, 1982. [6] Marin Nicolae Popescu, Matematici speciale, Editura Universitii din Piteti, 2002. [7] Gheorghe Mihoc, N. Micu, Teoria probabilitilor i statistic matematic, Editura Didactic if Pedagogic, Bucureti, 1980. 5. Evaluare Prezen la curs-----------------------------------------------------------------------------10 % Prezen activ la seminar-----------------------------------------------------------------10% Verificare periodic------------------------------------------------------------------------30% Tem de cas--------------------------------------------------------------------------------20% Examen final--------------------------------------------------------------------------------30%

4

Cursul nr. 1 Matematici speciale CAPITOLUL I FUNCII COMPLEXE 1. Numere complexe 1.1. Construcia numerelor complexe Mulimea numerelor complexe a aprut din necesitatea extinderii noiunii de numr, avnd ca punct de pornire mulimea numerelor reale, cu scopul ca orice ecuaie de gradul n s aib n soluii n noua mulime. Fie R corpul numerelor reale. Pe mulimea R2 = RR = {(x,y) / x, yR}, produsul cartezian al perechilor ordonate de numere reale, se definesc operaiile de adunare i nmulire astfel: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1+ x2, y1+ y2) (x1, y1) (x2, y2) = (x1x2 y1y2, x1y2 + y1x2) Definiie. Mulimea R 2 nzestrat cu operaiile de adunare i nmulire definite mai sus formeaz corp, numit corpul numerelor complexe, ale crui elemente se numesc numere complexe: C = (R2, +, ) Observaie. (R2, +, ) este corp comutativ, axiomele verificdu-se imediat, innd cont de proprietile operaiilor de adunare i nmulire a numerelor reale. Adunarea are proprietile:

asociativitatea (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) , z1, z2, z3 C

exist elementul neutru fa de adunare, 0=(0,0) i avem:

z+0=0+z , z C

pentru orice z=(x,y) C exist opus lui

z not (x, y) C atfel ca z+(-z)=(-z)+z=0

comutativitatea z1+z2=z2+z1 , z1, z2 C

nmulirea are proprietile:

asociativitatea (z1.z2).z3=z1.(z2.z3) , z1, z2, z3 C

exist elementul neutru fa de nmulire, 1=(1,0) i avem:

z.1=1.z=0 , z C

5

pentru orice z=(x,y)C{(0,0)} exist inversul lui notatz1 sau z-1 astfel ca

z.z-1=z-1.z=1 care se mai poate scrie (x,y)(x,y) = (1,0) ceea ce ne conduce la sistemul:

0''1''

xyyxyyxx

cu soluia 22

'yx

xx

i

22'

yx

yy

pentru (x,y) (0,0);

comutativitatea z1.z2=z2.z1 , z1, z2 C

Demonstraiile : tem pentu seminar. Forma algebric a unui numr complex este z = x + i y, unde x este partea real i se noteaz x = Re z, y este partea imaginar i se noteaz y = Im z, iar i este unitatea imaginar, i 2 = - 1. Simbolul z identificnd orice numr complex se numete variabil complex. Mulimea numerelor complexe se mai poate scrie astfel:

C = { x + i y | x, y R, i2

= -1

Definiie. Dac z=x+iy este un numr complex, atunci:

conjugatul su, notat cu z se definete ca fiind iyxz ;

modulul su, notat cu |z| este numrul real nenegativ 22 yx .

Propoziie. Oricare ar fi z1, z2, z C sunt verificate urmtoarele proprieti:

1. 2121 zzzz , 2121 zzzz , zz

2. Re z = 2

zz , Im z = izz

2

3. 2zzz , 2

1

z

zz , z 0 , nn zz , nN

4. z = z z R

5. zz , zz , zz , R

6. 2121 zzzz , 2

1

2

1z

z

zz

, 2z 0 , 2121 zzzz

2121 zzzz , 2121 zzzz

7. zzz Re , zzz Im

zzzz ImReRe , zzzz ImReIm

6

Demonstraiile proprietilor algebrice 1 7: tem pentru seminar. 1.2. Planul complex Numerele reale se pot reprezenta prin punctele unei axe. Fie (d) o ax pe care am fixat o origine i o unitate de msur. Dac asociem fiecrei punct al dreptei (d) abscisa sa, se obine o funcie bijectiv de la punctele acestei drepte n mulimea numerelor reale. Un numr complex z = x + i y este determinat de dou numere reale x i y. Dac raportm mulimea punctelor dintr-un plan (P) la un sistem de axe de coordonate ortogonale xOy cu originea n O, aplicaia definit pe C cu valori n (P), care duce elementul arbitrar (x, y) C n punctul M(x, y) este o bijecie.

Punctul M se numete imaginea numrului complex z = (x, y) n planul (P), iar z se numete afixul lui M. Definiia. Planul ale crui puncte se identific cu numerele complexe prin funcia bijectiv definit mai sus se numete planul complex. 1.3. Reprezentarea trigonometric a numerelor complexe Fie z = x + i y un numr complex i M(x,y) imaginea sa geometric. Notm cu

zOMr , iar cu unghiul format de axa real pozitiv cu vectorul OM. Atunci

x

y

O

M(x,y)

( P )

7

Forma trigonometric a numrrului complex z se scrie astfel:

z = r(cos + i sin )

unde r = |z| = 22 yx este modulul numrului complex, iar este unghiul fcut de

direcia pozitiv a axei Ox cu vectorul OM , numit argumentul lui z. Ca argument al lui z poate fi considerat unghiul ' = + 2 sau " = - 2 precum i orice unghi de forma : + 2 k , cu kZ. De aici rezult c argumentul unui numr complex dat nu este unic, avnd o infinitate de valori ce difer ntre ele printr-un multiplu de 2 . Mulimea argumentelor lui z se noteaz cu Arg z i are forma: Arg z = { | = arg z +2k , kZ } Determinarea lui arg z se face innd seama de cadranul n care se afl numrul complex.

Exemple. Fie z1 = 1 + i , z2 = -1 + i , z3 = - 1- i , z4 = i2323 . S se determine r, arg

z, Arg z i s se scrie forma trigonometric pentru fiecare.

Definiie. Unghiul (0, 2 ) (sau ),( ), msurat ntre direcia pozitiv a axei Ox i

direcia vectorului OM , care se determin n mod unic ca soluie a sistemului format din

ecuaiile zx

cos i zy

sin (z 0), se numete argumentul principal al lui z i se

noteaz zarg .

Observaii: 1. arg((0,0)) este nedeteminat

2. toate unghiurile ce determin direcia vectorului OM se noteaz prin Arg z = arg

z+2k, kZ i se numete argumentul lui z. n baza celor prezentate anterior rezult forma trigonometric a unui numr complex zC{(0,0)}:

z = r (cos + i sin ), unde

Im z y M(x, y) |z| O x Re z

x=|z| cos y=|z| sin

8

22 yxzr

i

=

)'semiaxa(0si0,2/3

)semiaxa(0si0,2/

)semiaxa(0si0,0

)IVcadranul(0si0,arctg2

)'semiaxasauIIIsau IIcadranul(0,arctg

)Icadranul(0,,arctg

Oyyx

Oyyx

Oxyx

yxxy

Oxxxy

yxxy

Propoziie. Pentru orice numere complexe z1=r1(cos1 + isin1), z2=r2(cos2 + isin 2) i z = r(cos + isin ) au loc relaiile: 1. z1 z2 = r1r2[cos(1+2)+ isin(1+2)]

2. 2

1

2

1

rr

zz

[cos(12)+ isin(12)]

3. z n = r n (cos n + isin n) , Nn Pentru r = 1 se obine formula lui Moivre: (cos + isin )n = cos n + isin n

4. 1,0,2sin2cos

nkn

ki

nk

rz nn

Exemple. 1. S se calculeze (1 + i )100

2. S se gseasc valorile lui z pentru care z5 = - 32 i s se figureze n planul complex aceste valori.

3. Pentru orice n N* s se rezolve ecuaia 111

n

zz .

4. S se gseasc modulul, argumentul i s se scrie sub form trigonometric, numerele

ii

z

11

1 , 6

2 )31( iz .

5. S se transcrie n coordonate complex conjugate ),( zz exuaiile:

2 x + y = 5 , x2 + y2 = 10 1.4. Completarea planului complex cu punctul infinit n afar de reprezentarea numerelor complexe ca puncte ale planului complex, n multe situaii este util reprezentarea lor geometric, ca puncte ale unei sfere. Se consider n

O

y

y

x x I II

III IV

9

spaiul de coordonate (u, v, w), un plan de coordonate (x, y), unde u=x, v=y (planul complex). Se consider o sfer tangent la planul complex n punctul corespunztor numrului complex 0 (originea).

Fie N punctul de pe sfer diametral opus lui O(polul nord). Fie M 1 un punct de pe sfer

distinct de N. Vom asocia punctului M 1 punctul M din plan n care dreapta NM 1

intersecteaz planul. Reciproc, unui punct M din plan i vom asocia punctul M 1de pe sfer

n care dreapta MN intersecteaz sfera. Corespondena astfel realizat (ntre punctele

planului complex i punctele sferei) se numete proiecie stereografic. Cnd punctul M 1

se mic pe sfer i se apropie de N, punctul din planul complex se deprteaz, iar atunci

cnd M 1 coincide cu N, dreapta MN devine paralel cu planul complex, ceea ce nseamn

c punctul N nu are corespondent n planul complex. Dac punctului N i asociem punctul infinit i reciproc, atunci se realizeaz o bijecie ntre punctele de pe sfer i planul complex.

Notm }{ CC mulimea numerelor complexe astfel completat, obinnd planul

complex compactificat sau planul lui Gauss. Prin definiie, punctul de compactificare l vom numi punctul infinit al planului lui Gauss. Introducerea lui s-a fcut prin proiecie stereografic. Relaii algebrice ale numerelor complexe cu z+=+z= , z C z.= .z= , z C{0}

0z , z C ,

0z , z C{0}

10

1.5. Structura metric i topologic a planului complex Propoziie. Aplicaia d: CCR, definit prin

d(z1, z2) = |z1z2| , z1, z2 C este o metric (distan) pe C. Demonstraie: 1. d(z1, z2) = 0 |z1z2| = 0 z1 z2 = 0 z1 = z2 , z1, z2 C 2. d(z1, z2) = |z1 z2| = |z2 z1| = d(z2, z1) , z1, z2 C 3. d(z1, z3) = |z1 z3| = |(z1 z2) + (z2 z3)| |z1 z2| + |z2 z3| = d(z1, z2) + d(z2, z3) , z1,

z2 C Definiie. Mulimea C pe care s-a definit metrica d se numete spaiu metric, notat (C, d) Observaie. Distana d coincide cu distana euclidian pe R2. Fie z1=x1+iy1, z2=x2+iy2 , atunci

d(z1,z2)=|z1-z2|=|(x1+iy1)(x2+iy2)|=|(x1x2)+i(y1y2)| = 2212

21 )()( yyxx

care reprezint distana euclidian dintre dou puncte din plan, de coordonate (x1,y1) i (x2,y2).

Definiie. Fie z 0 C, z 0 . Mulimea (z0; r)={zC ; |zz0|0) sau vecintate deschis a lui z 0 .

w

N

M

M

v=y

u=x

11

Definiie. Mulimea (z 0 ,r)={ z |zC , |z-z 0 |=r } se numete frontiera discului (z0; r).

Adugnd discului frontiera sa se obine discul nchis. Definiie. Mulimea (z0; r) ={zC ; |zz0| r} se numete vecintate nchis a punctului z0 sau disc nchis.

Pe mulimea C, relativ la metrica d, se poate introduce o topologie d .

Pentru a da o topologie pe o mulime trebuie s vedem care este familia mulimilor deschise. Definiie. O clas de submulimi ale unei mulimi X se numete topologie pe X, dac verific urmtoarele trei axiome:

1) ,X

2) Dac D1 , D 2 atunci i D1 D2

3) Dac D i pentru orice i aparinnd unei mulimi arbitrare de indici I,

atunci Ii

Di

.

Definiie. Cuplul (X,) se numete spaiu topologic.

Definiie. O mulime V, VC se numete vecintate a unui punct z 0 C dac exist discul

(z 0 ,r), astfel nct (z 0 ,r)V.

Definiie. Mulimea (z0; r1, r2) = {zC; r1 < |z z0| < r2} se numete coroana circular centrat n z0 de raze r1 i r2, unde r1, r2 > 0. Definiie. Punctul z0C se numete punct interior mulimii EC, dac z0E i exist o

vecintate VE a lui z 0 coninut n ntregime n E.

Mulimea tuturor punctelor interioare lui E se noteaza cu E .

Definiie. Mulimea EC se numete mulime deschis dac orice punct al su este punct interior. Observaie. Orice reuniune finit de mulimi deschise i orice intersecie finit de mulimi deschise este o mulime deschis. Mulimea C este deschis. Definiie. Complementara mulimii E este mulimea C\E a tuturor punctelor care nu sunt n E. Se noteaz cu CE.

Observaie. Un punct z 0 este exterior mulimii E dac exist o vecintate a sa coninut n

ntregime n CE. Definiie. Mulimea E este nchis dac complementara sa este deschis. Definiie. Punctul z0C se numete punct aderent mulimii EC dac n orice vecinatate V a lui z0 exist cel puin un punct al mulimii E. Mulimea tuturor punctelor aderente multimii E se numete nchiderea lui E i se noteaz cu E . Definiie. Mulimea E se numete nchis dac E = E .

12

Obsrevaie. Mulimile C i sunt nchise i deschise. Definiie. Punctul z0C se numete punct de acumulare pentru mulimea EC dac n

orice vecintate V a lui z0 exist cel puin un punct din E diferit de z 0 , zE{z0} ((V

{z0})E ). Mulimea tuturor punctelor de acumulare ale lui E se numete derivata lui E i se noteaza cu E (evident 'EEE ) Definiie. Punctul z0C este punct frontier al mulimii EC dac n orice vecintate a lui z0 exist puncte z z0 ce aparin lui E i puncte z z0 ce nu aparin lui E. Mulimea tuturor punctelor frontier ale lui E se numete frontiera mulimii E i se

noteaz cu E (evident EEE C ).

Definiie. Punctul z 0 se numete punct izolat al mulimii E dac exist o vecintate a lui

z 0 astfel nct (z 0 ,r)\{z 0 }E=.

Definiie. Mulimea E, EC este marginit dac exist discul (0;r) astfel ncat E(0;r). Altfel se numete nemarginit. Definiie. O mulime nchis i mrginit se numete mulime compact.

Definiie. O mulime deschis EC se numete conex dac oricare ar fi z 1 ,z 2 E, ele pot

fi unite printr-o curb continu coninut n E. Definiie. O mulime deschis i conex se numete domeniu. Definiie. O mulime deschis i conex a crei frontier este format dintr-o singur curb, se numete domeniu simplu conex. Definiie. O mulime deschis i conex a crei frontier este format din dou sau mai multe curbe, se numete domeniu multiplu conex. Un domeniu multiplu conex se poate trensforma n domeniu simplu conex dac se efectueaz un anumit numr de tieturi. Definiie. Se numete tietur o operaie prin care se ndeprteaz din domeniul respectiv acele puncte situate pe o curb coninut n domeniu i care reunete dou puncte de pe frontiere diferite, una interioar i alta exterioar.

A B

z1 . . z2 C

D = A U B nu este conex C este conex

13

Exemple. Fie A= { z C | |z| < 1 } , B = { z C | | z | > 1 } 1. Care este frontiera lui A ? 2. Ce fel de mulimi sunt A i B ? 3. Dai exemplu de mulime nchis. 4. Care din mulimile de mai sus sunt conexe ? 5. Dai exemplu de mulime care nu este conex.

2. Funcii complexe de variabil real

Definiie.. Fie ER. Se numete funcie complex de variabil real, aplicaia mulimii E de numere reale n corpul C al numerelor complexe:

f : ER C Notnd cu t argumentul funciei, valoarea funciei n punctul t va fi un numr complex i se va scrie:

f(t)=z(t)=x(t)+i y(t), tE Deci o funcie complex de variabil real este determinat de o pereche ordonat

x=x(t), y=y(t), tE de funcii reale de variabil real.

Definiia. Spunem c numrul complex l este limita funciei f n punctul de acumulare t 0

al lui E, dac >0 ()>0, astfel nct pentru |t-t 0 |0, astfel nct pentru |t-t 0 |

14

Definiie. Difereniala funciei f n punctul t 0 E este numrul complex df(t 0 )= f (t 0 )dt

sau df(t)= x (t)dt+i 'y (t)dt.

Definiie. Fie f : [a,b]RC o funcie real de variabil complex, continu f(t)=x(t)+i y(t), t[a,b] 2.1. Integrala funciei complexe de variabil real se definete astfel:

b

a

b

a

b

a

dttyidttxdttf )()()(

Observaie. Multe dintre proprietile integralelor funciilor reale se pstreaz i n cazul integralelor funciilor complexe de variabil real, astfel:

1. Dac f,g:[a,b] C sunt integrabile pe [a,b], atunci i f+g este integrabil pe [a,b], oricare ar fi , C.

b

a

b

a

b

a

dttgdttfdttgtf )()()]()([

2. Dac f:[a,b] C este integrabil pe [a,b], atunci oricare ar fi c[a,b], f este

integrabil pe [a,c]i pe [c,b] :

b

a

c

a

b

c

dttfdttfdttf )()()(

3. Dac f:[a,b] C este integrabil pe [a,b], atunci

b

a

a

b

dttfdttf )()(

4. Dac f:[a,b] C este continu pe [a,b], atunci f i |f| sunt integrabile pe [a,b] i

avem:

b

a

b

a

dttfdttf |)(||)(|

5. Dac funcia F(t) este o primitiv a funciei f:[a,b] C,

15

CdttFdttf )()( atunci b

a

aFbFdttf )()()( , ceea ce nseamn ca se poate aplica

formula lui Newton-Leibniz.

Definiie. Fie x(t) i y(t) dou funcii definite pe [a,b] cu valori n R. Mulimea punctelor din planul complex definit astfel: ={z | z(t)=x(t)+i y(t), t[a,b] } luate n ordinea n care se obin cnd parametrul t parcurge intervalul [a,b] crescnd de la a la b, se numete curb continu, iar z(t)=x(t)+i y(t), t[a,b] reprezint ecuaia curbei. Definiie. O curb se numete curb neted dac admite o reprezentare de forma:

z(t)=x(t)+i y(t), t[a,b] unde x,y ],[1 baC

ceea ce nseamn c z(t) este continu i 0)(' tz .

Definiie. O curb se numete curb neted pe poriuni dac este format dintr-un numr finit de curbe netede. Definiie. O curb se numete curb nchis dac oricare ar fi o reprezentare a sa de forma: z(t)=x(t)+i y(t), t[a,b] x(a)=x(b), y(a)=y(b) Definiie. O curb se numete curb simpl, dac oricare ar fi o reprezentare a sa

z(t)=x(t)+iy(t), t[a,b] are propriettea )()(),()( 2121 tytytxtx dac 021 tt oricare ar fi

].,[, 21 batt

Tema de cas nr.1 1. Funcii i formule trigonometrice 2. Formule de derivare 3. Formule de integrare

16

Cursul nr. 2 Matematici speciale 3. Funcii complexe de variabil complex Fie D un domeniu simplu conex, DC. Definiie. Spunem c am definit o funcie complex de variabil complex pe D cu valori n C, f : DCC dac am dat o lege de coresponden care asociaz fiecrui element din D, unul sau mai multe elemente din C. Dac se noteaz cu z=x +iyD variabila funciei, atunci valoarea funciei n punctul z va fi numrul complex : w=f(z)=u(x,y) +iv(x,y), zDC unde funciile reale u(x,y)=Re f(z) , v(x,y)=Im f(z) reprezint partea real, respectiv imaginar a funciei complexe f.

Dac notm cu C z planul complex n care z=x+iy i cu C w planul complex n care

w=u+iv, funcia complex w=f(z) asociaz punctului M(z) din planul C z punctul N(w) din

planul C w .

Se poate spune c funcia complex definete o coresponden ntre planele C z i C w prin

transformarea punctual u(x,y)=Re z, v(x,y)=Im z.

Im w Im z

M(z)

N(w)

w=f(z)

Re z Re w

17

3.1. Limite i continuitate Topologia planului complex fiind de fapt topologia spaiului euclidian bidimensional R 2 , noiunile de limit i continuitate se extind cu uurin i n complex. Definiii. Fie z0 punct de acumulare al mulimii EC. Funcia f : EC are limita l n punctul z0 (se scrie lzf

zz

)(lim

0

) dac este ndeplinit una din urmtoarele afirmaii

echivalente:

1. pentru orice 0 exist ),( 0z astfel ncat Ez)( cu proprietatea 00 astfel nct pentru orice z E cu proprietatea c |z-z 0 |< () s avem

|f(z)-f(z0)|

18

3.2. Derivabilitate Definiie. Fie DC domeniu i z0D. Functia f : DC este derivabil (monogen) n z0

dac )()()(

lim)( 0not

0

0

0

zfzz

zfzf

zz

(sau )(

)()(lim)( 0

not00

0zf

h

zfhzf

h

) i este finit.

Observaie. h este un numr complex arbitrar, z 0 +hD, iar limita respectiv nu depinde

de modul n care h0. Definiia 47. O funcie f : DC derivabil n orice punct din D se numete olomorf (analitic) pe D. Observaie. O funcie derivabil ntr-un punct se numete monogen n acel punct. Observaie. O funcie este olomorf ntr-un punct dac exist o vecintate a punctului respectiv astfel nct funcia s fie monogen n fiecare punct din acea vecintate. Teorem. Fie f,g : DCC dou funcii complexe de variabil complex. Dac f i g

sunt monogene ntr-un punct z0D, atunci i funciile f, f g, fg, f/g (g(z 0 ) 0) sunt

monogene n acest punct i ntre derivatele lor exist relaiile :

1. ),(])([ 00 zfzf zz C

2. )()(])()([ 000 zgzfzgzf zz

3. )()()()(])()([ 00000 zgzfzgzfzgzf zz

4. 0)(,)]([

)()()()(]

)()(

[ 020

00000

zgzg

zgzfzgzf

zgzf

zz

Demonstraiile nu difer de cazul funciilor reale de variabil real.

Teorem. Fie D 1 , D 2 C dou domenii i f : D 1 D 2 , g :D 2 C. Dac f este monogen

ntr-un punct z 10 D i g este monogen n punctul 2000 ),( Dwzfw , atunci funcia

compus h=g0h este monogen n z 0 i avem :

)())(()()(])([ 00000 zfzfgzfwgzh zz

Demonstraiile : tem de seminar.

Teorema lui Cauchy-Riemann. Fie f : D C C, f(z) = u(x,y) + iv(x,y). Daca f este

monogen n z0D, atunci exist xu ,

yu ,

xv ,

yv ntr-o vecinatate a punctului z0 = x0 + iy0

i satisfac condiiile:

19

),(),(

),(),(

0000

0000

yxxv

yxyu

yxyv

yxxu

(condiiile de monogenitate Cauchy-Riemann)

Reciproc, dac funciile u(x,y) i v(x,y) admit derivate partiale de ordinul I n raport cu x i y ntr-o vecintate a punctului z0, continue n z0 i satisfac condiiile Cauchy-Riemann, atunci f este monogen n z0 i avem:

),(),(),(),()( 000000000 yxyu

iyxyv

yxxv

iyxxu

zf

Demonstraie:

(necesitatea) Cum funcia f este monogena, atunci )()()(

lim)( 00

0

0

zfzz

zfzf

zz

.

)()(

),(),(),(),(lim

)()(lim)(

00

0000

0

00

00 yyixx

yxivyxuyxivyxu

zz

zfzfzf

zzzz

=

=)()(

),(),(lim

)()(

),(),(lim

00

00

00

00

00 yyixx

yxvyxvi

yyixx

yxuyxu

zzzz

Presupunnd c 0zz pe o paralel la axa real ( y = y0, 0xx ) rezult c

0

000

0

0000

),(),(lim

),(),(lim)(

00

00 xx

yxivyxvi

xx

yxuyxuzf

yyxx

yyxx

),(),()( 00000 yxxv

iyxxu

zf

(1.1)

Analog, presupunnd c 0zz pe o paralel la axa imaginar Oy ( x = x0, 0yy )

rezult c

)(

),(),(lim

)(

),(),(lim)(

0

000

0

0000

00

00 yyi

yxvyxvi

yyi

yxuyxuzf

xxyy

xxyy

),(),(),(),(1

)( 000000000 yxyv

yxyu

iyxyv

yxyu

izf

(1.2)

Din relaiile (1.1) i (1.2) rezult c

),(),(),(),()( 000000000 yxyu

iyxyv

yxxv

iyxxu

zf

de unde se obine

20

),(),(

),(),(

0000

0000

yxxv

yxyu

yxyv

yxxu

(suficiena) Cum u i v admit derivate partiale de ordinul I continue n (x0, y0), din formula creterilor finite rezult c

),()(),()(),(

)(),(

)(),(),(

),()(),()(),(

)(),(

)(),(),(

201000

000

000

201000

000

000

yxyyyxxxy

yxvyy

x

yxvxxyxvyxv

yxyyyxxxy

yxuyy

x

yxuxxyxuyxu

unde

funciile 2121 ,,, tind la zero cnd 0zz (adica 0xx i 0yy ).

)()(

)],(),([),(),()()(

00

0000

0

0

yyixx

yxvyxviyxuyxu

zz

zfzf

= )()(

),()(),()(),()(),()(

00

2010000000

yyixx

yxyyyxxxyxyu

yyyxxu

xx

+

+)()(

),()(),()(),()(),()(

00

2010000000

yyixx

yxyyiyxxxiyxyv

yyiyxxv

xxi

=

)()(

),()(),()(),()(),()(

00

000000000000..

yyixx

yxyu

yyiyxxv

xxiyxyv

yyiyxxu

xxRC

+

+ )()(

),(),()(),(),()(

00

220110

yyixx

yxiyxyyyxiyxxx

=

=)()(

),()(),()(),()(),()(

00

000000000000

yyixx

yxxv

yyiyxxv

xxiyxxu

yyiyxxu

xx

+

+ )()(

),(),()(),(),()(

00

220110

yyixx

yxiyxyyyxiyxxx

=

= ),( 00 yxxu + i ),( 00 yxx

v + ),(),( 11

0

0 yxiyxzz

xx

+ ),(),( 220

0 yxiyxzz

yy

.

21

Cum 000 )Re( zzzzxx , 000 )Im( zzzzyy i ),(lim 10

yxzz

=

= ),(lim 20

yxzz

= ),(lim 1

0

yxzz

= ),(lim 2

0

yxzz

= 0 rezult c

),(),()()(lim 00000

0

0

yxxv

iyxxu

zz

zfzf

zz

ceea ce demonstreaz c funcia f este monogen n punctul z0 i c

),(),(),(),()( 0000...

00000 yxyu

iyxyv

yxxv

iyxxu

zfRCcond

.

Propoziie. Orice funcie monogen ntr-un punct este continu n acel punct. Reciproca nu este adevrat.

Exemplu. Funcia f(z)= z este continu n orice punct z 0 dar nu este monogen.

Consecin. Dac o funcie olomorf ntr-un domeniu D are derivate nul, atunci ea este constant n domeniul D. Observaie. Ca o consecin a teoremei Cauchy-Riemann se poate determina o funcie olomorf pe un domeniu, cnd i se cunoate doar partea real sau doar partea imaginar. Observaie. Funciile monogene f(x,y) = u(x, y) + iv(x, y) pot fi scrise sub forma w = f(z) observnd c w = f(z) = u(z,0) + iv(z,0), adic n expresia funciei n parametri x i y lum y = 0 i nlocuim x cu z. Exemple. 1. S se determine constantele a, b, c, d astfel nct funcia

f(x,y) = x2 + axy + by2 + i(cx2 + dxy + y2) s fie olomorf pe C. Scriei expresia funciei folosind variabila z.

2. S se determine funcia olomorf (pe C) f = u + iv tiind c

u(x,y) = ye x cos i f(0) = 1.

3. S se determine funcia olomorf (pe C) f = u + iv tiind c

v(x,y) = 2 ye x sin i f(0) = 0.

3.3. Funcii complexe elementare

Funciile complexe elementare sunt extensii la mulimea C a funciilor definite pe R. Funcia putere: f: CC, f(z)= zn (nN) f(z) = zn = [r(cos+i sin )]n = r n (cos n + isin n) = rncos n + irnsin n Funcia polinomial: f: CC, f(z)= anz

n + an-1zn-1 + + a1z

1 + a0 (nN, a0, a1,, anC, an 0) este olomorf pe C, iar derivata sa are aceeai form ca n cazul funciilor reale.

22

Funcia raional: f:{zC / Q(z) 0}C, f(z)=)()(

zQzP este olomorf pe tot domeniul

{zC / Q(z) 0}, iar derivata sa are aceeai form ca n cazul funciilor reale.

Funcia radical de ordin n: f: CC, f(z) = n z (nN, n2)

f(z) = 1,0,2sin2cos)sin(cos

nk

nk

in

krirz nnn .

Funcia radical nu este olomorf pe tot planul C.

Funcia exponential: f: CC, f(z) = ze

f(z) = ze = iyxe = iyx ee = )sin(cos yiye x = yeiye xx sincos .

Funcia exponential este olomorf pe C, iar zz ee ; n plus, este periodic de perioada principal i2 , pentru c )2( izf = ize 2 = iz ee 2 = )2sin2(cos ie z = ze = f(z).

Funcia logaritmic: f: C{0}C, f(z) = ln z

f(z) = ln z = )ln( )2( kier = ln r + ln )2( kie = ln r + )2( ki , unde kZ.

Funcia putere generalizat: f: CC, f(z)= z (C)

f(z) = z0

z

ze ln = )2(ln kiere

bia )]2([ln)( kirbiae =

= )2(ln kbrae ]ln)2([ rbkaie =

= )2(ln kbrae rbkairbka ln)2(sinln)2(cos

Funcii circulare (sinus i cosinus):

2cos

2sin

iziz

iziz

eez

iee

z, C z)( (formulele lui Euler)

Funcii hiperbolice:

2

2zz

zz

eezch

eezsh

, C z)(

23

Proprieti: 1. cos iz = ch z

sin iz = i sh z ch iz = cos z sh iz = i sin z

2. Funciile circulare i hiperbolice sunt olomorfe pe C i au derivatele: (cos z) = sin z (sin z) = cos z (ch z) = sh z (sh z) = ch z

3. Funciile circulare au perioada principal 2 , iar cele hiperbolice i2 . 4. Pentru oricare ar fi z1, z2, zC se pot demonstra relaiile:

cos(z1 + z2) = cos z1cos z2 sin z1sin z2 sin(z1 + z2) = sin z1cos z2 + sin z2cos z1 sin2z + cos2z = 1 sin 2z = 2sinzcos z cos 2z = cos2z sin2z ch(z1 + z2) = ch z1ch z2 + sh z1sh z2 sh(z1 + z2) = sh z1ch z2 + sh z2ch z1 ch2 z sh2 z = 1 sh 2z = 2 sh z ch z ch 2z = ch2 z + sh2 z

Demonstraiile: tem pentru seminar. Exemple. S se aduc sub forma A+iB expresiile :

ei , sh 2i , ch (2+3i) , cos(1i) , ln(1+i) , ie

Tem de cas nr.2

1. S se determine constantele a i b astfel nct funcia f(x,y) = x2 + ay2 + i(bxy)

s fie olomorf pe C. 2. S se determine funcia olomorf (pe C) f = u + iv tiind c

u(x,y) = x3 3y2x 2y i f(0) = 0. 3. S se determine funcia olomorf (pe C) f = u + iv tiind c

v(x,y) = x2 y2 + xy i f(0) = 0. 4. Calculai

(1+i)25, 31 ie , ln(-2+2i), ln(4i-3), i

i

3

1ln , 2i , ii 1)31( , ii , sin(1+i),

tg(1-2i), ch(4i-3)

24

Cursul nr. 3 Matematici speciale 3.4 Integrarea funciilor complexe de variabil complex Fie f : DCC i o curb de lungime finit D, neted sau neted pe poriuni, iar f continu pe , ale crei ecuaii parametrice sunt date de x=x(t), y=y(t), t[a,b].

Lum pe o diviziune prin punctele .,.......,, 10 bzzza n

Pe fiecare arc ce unete z 1k cu z k (1kn) alegem un punct k .

Formm sumele :

S ))((),,( 11

kkn

kknn zzfdf

Notm :

max{|nd

|}1 kk zz

Dac

0

))((lim),,(lim 11

nd

k

n

kkknn zzfdfS

exist, indiferent de alegerea punctelor k pe arcele de curb ce unesc punctele kk zz ,1 ,

spunem c f esteintegrabil de-a lungul curbei ntre a i b i se noteaz limita cu

dzzf )(

sau b

a

dzzf .)(

Notm cu f(z)=u(x,y)+i v(x,y)

kkkkkkkkk

kkkkkkkk

iyxzyyixxzz

iyxyxivyxuf

),(

),,(),()(

111

0

))((lim),,(lim 11

nd

k

n

kkknn zzfdfS

=

))())(,(),(( 111

kkkkkkkn

kk yyixxyxivyxu =

25

dxyxvdyyxuidyyxvdxyxu

xxyxvyyyxuiyyyxvxxyxu kkkkkkkkkkkkkkkn

kk

),(),(),(),(

))])(,())(,(())(,())(,([ 11111

Exemplu. S se calculeze

dzz de la z=0 la z=4+2i de-a lungul curbei dat de z=t 2 +i t.

3.4.1. Proprieti ale integralei complexe

1. Dac f(z) i g(z) sunt integrabile pe , atunci

dzzgdzzfdzzgzf )()())()((

se numete liniaritatea integralei complexe n raport cu funcia, , C.

2.

dzzfdzzf )()(

schimbarea orientrii pe drumul de integrare sau pe curba de integrare conduce la schimbarea semnului valorii integralei. 3.

21 1 2

)()()( dzzfdzzfdzzf

aditivitatea integralei complexe la drum. 1 , 2 fiind dou arce succesive.

4. Fie z=g() continu de =u+i v. Presupunem c, curbei n planul z, i corespunde curba ' n planul i c derivata g ' () este continu pe ' . Atunci

dggfdzzf )())(()(

5. izz

dz2

0

rzz |:| 0

6. Lungimea drumului de integrare : z=z(t), t[a,b] este dat de formula :

b

a

dttzL |)(|)(

7. Fie DC i un arc de curb D , neted sau neted pe poriuni i f :DC continu pe . Fie L() lungimea arcului de curb i M=sup|f(z)|. n aceste condiii avem : z

26

)(|)(| MLdzzf

3.4.2. Teorema fundamental a lui Cauchy

Dac : a) D este un domeniu simplu conex, DC,

b) f :DC , f C ' (D)

atunci

,0)( dzzf oricare ar fi curba simpl, nchis, neted sau neted pe poriuni,

situat n ntregime n D. Demonstraie : Fie f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy

vdxudyivdyudxdzzf )(

Integralelor din membrul doi le aplicm formula lui Green-Riemann :

dxdyyP

xQ

QdyPdxD

)(

Unde este frontiera domeniului compact D ' , iar P,Q sunt continue, cu derivate

pariale xQ

yP

, continue pe D .

Aplicarea formulei lui Green-Riemann este posibil deoarece

yv

iyu

ixv

ixu

zf

(1

)( )

Deoarece f C ' (D) rezult c u,v C ' (D) if se obine:

dxdyyu

xv

vdyudxD

)(

, DDD

dxdyyv

xu

vdxudyD

)(

27

Aplicnd condiiile lui Cauchy-Riemann integralelor duble din membrul doi, ele vor fie egale cu zero i teorema este demonstrat. Definiie. O mulime deschis i conex a crei frontier este format din mai multe curbe se numete multiplu conex. Definiie. O mulime deschis i multiplu conex se numete domeniu multiplu conex. Observaie. n cazul n care domeniul este multiplu conex se utilizeaz generalizarea teoremei fundamentale a lui Cauchy.

3.4.3. Generalizarea teoremei fundamentale a lui Cauchy. Dac :

a) D este un domeniu multiplu conex delimitat de curba 0 n exterior i curbele

k (k=1,n) n interior, netede sau netede pe poriuni, care sunt frontiere ale

unor domenii mrginite D k D ;

b) f :DC , f este olomorf pe D, atunci:

0 1 2

)(......)()()(n

dzzfdzzfdzzfdzzf

Demonstraie : Fie nCCC .,,.........21, arce de curb ce realizeaz n tieturi n domeniul D,

unind respectiv un punct de pe n ..,,........., 21 cu un punct de pe 0 , astfel nct

oricare dou din arcele nCCC .,,.........21, nu se intersecteaz.

Dup efectuarea tieturilor cu ajutorul arcelor nCCC .,,.........21, , domeniul D se transform

ntr-un domeniu simplu conex, funcia f fiind olomorf pe D se poate aplica teorema lui Cauchy. Frontiera a domeniului D simplu conex este dat de :

0 1 1 1

)()(.....)()()(........)()()(

................ 1110

n n nC C C C

nnn

dzzfdzzfdzzfdzzfdzzfdzzfdzzfdzzf

CCCC

innd seama c

k kC C

dzzfdzzf )()( iar

0)( dzzf

Se obine :

0 1

0)(.............)(n

dzzfdzzfdzzf

28

Rezult:

0 1

)(..................)()(n

dzzfdzzfdzzf

Observaie. Sensul pozitiv de parcurgere al unei curbe nchise este sensul n care deplasndu-ne de-a lungul curbei, domeniul delimitat de aceasta rmne n partea stng. Consecina teoremei lui Cauchy. Dac :

a) D este un domeniu simplu conex :

b) L1,L 2 D sunt dou arce de curb simple, netede sau netede pe poriuni

care au aceleai extremiti z 0 i z i sunt orientate de la z 0 la z ;

c) f :DC, f este olomorf pe D,

atunci

1 2

)()(L L

dzzfdzzf

3.4.4. Formula integral a lui Cauchy. Teorema. Dac:

a) D este un domeniu simplu conex; b) f : DCC, f olomorf pe D, atunci oricare ar fi curba situat n ntregime n

D, neted sau neted pe poriuni si oricare ar fi ,z fiind domeniul mrginit de

, are loc formula :

dtzt

tfi

zf

)(

21

)(

cunoscut sub numele de formula integral a lui Cauchy. Demonstraie : Domeniul fiind o mulime deschis, rezult c oricare ar fi z

exist un disc ),(1 rz cu centrul n z i raz r, suficient de mic astfel nct, mpreun

cu frontiera , s fie inclus n .

Fie ),(\ 1 rz . Frontiera i sunt orientate pozitiv, adic n sens trigonometric.

Considerm funcia :

:,)(

)( gzt

tftg C olomorf n (delimitat de i ) dublu

conex i conform teoremei generalizate a lui Cauchy avem :

29

0)()(

dzzgdzzg sau

dtzt

tfdt

zttf )()(

innd seama de continuitatea funciei f n punctul z, avem :

ztdt

zfdtzt

zftfdt

ztzfzftf

I )()()()()()(

Dar )(2)()(,2 zifzt

zftfIi

ztdt

Trebuie demonstrat c integrala I0 cnd r0.

Funcia f fiind continu n punctual z, rezult c dac oricare ar fi >0, exist un ()>0 astfel nct pentru orice Dt cu proprietatea c |t-z|< () s avem |f(t)-f(z)|

30

Unde este o curb simpl, nchis, neted sau neted pe poriuni care nu conine

punctele 21 , zz soluii ale ecuaiei az2 +bz+c=0.

Exemplu. S se calculeze integrala :

I= dzizz

z

iz 2|| )3(

cos

3.4.5. Integrala de tip Cauchy Definiie. Fie f : EC o funcie complex continu pe mulimea deschis EC i un arc de curb neted sau neted pe poriuni, E. Funcia :

F(z)= dtzt

tf

)( , z C

se numete integrala de tip Cauchy. Teorem. Funcia F(z) (integrala de tip Cauchy) este monogen n orice punct zC\, iar derivata sa se obine derivnd sub semnul de integrare n raport cu z:

)(zF dtzttf

2)()( , z C

Demonstraie : Fie D=C\ , Dz un punct arbitrar, ,(z ) un disc cu centrul n z i

raza suficient de mic astfel nct acest disc mpreun cu frontiera sa s fie inclus n D.

Fie z+h ).,( z Calculm diferena:

dtzthzt

tfhdttf

zthztdt

zttf

dthzt

tfzFhzF

))(()(

)()11

()()(

)()(

Folosim identitatea:

)()()(

1))((

122 ztzth

ztzthzt

dthztzt

tfhdt

zttf

hzFhzF

)()()(

)()()()(

22

31

Trebuie demonstrat c a doua integral din membrul doi tinde ctre zero cnd h tinde ctre zero. innd seama de faptul c f(t) este continu pe mulimea E, rezult f(t) continu pe arcul de curb coninut n E. Un arc de curb este format dintr+o mulime de puncte nchis. O funcie continu pe o mulime nchis este mrginit. Fie M=sup|f(t)| t

Deoarece t i ),,( hzhz avem || zt .

Dar |||||||| hhzthzt

)(|)|(

||

||)(

|)(||||

))(

)(||||

)()(

)(|

2

222

Lh

Mh

dthztzt

tfhdt

hztzttf

hdthztzt

tfh

0

)(

)()(

)()(lim0

)()(

)(lim

22

h

dtzt

tfzF

hzFhzF

dthztzt

tfh

Teorem. Dac :

a) D este un domeniu simplu conex : b) f : DCC este olomorf pe D; c) este o curb simpl nchis, neted sau neted pe poriuni, situat n ntregime n D, mpreun cu domeniul mrginit a crui frontier este; atunci (oricare ar fi curba ) funcia f este indefinite derivabil (admite derivate de orice ordin) pe D if avem:

zdt

zttf

in

zfn

n ,)()(

2!

)(1

)(

Demonstraie : Conform formulei integrale a lui Cauchy:

zdtzt

tfi

zf ,)(

)(21

)(

Aplicm teorema precedent funciei )(21

tfi

se obine :

32

zdtzttf

izf ,

)()(

21

)(2

Derivnd sub semnul integralei, avem :

zdtzttf

izf ,

)()(

2!2

)(3

Prin inducie, repetnd acest raionament, se obine:

zdt

zttf

in

zfn

n ,)()(

2!

)(1

)(

n fiind un numr natural, arbitrar, rezult c funcia f este indefinit derivabil. Exemplu. S se calculeze integrala:

I= dzzz

z

z 3|1|

3 )5()2(

Tem de cas nr. 3

1. S se calculeze 2|:|,)3( 2

zdzzz

2. S se calculeze integralele :

dzzz

z

zdz

dziz

e

zzz

z

1|1|

22||

23|| )3()1(

)4

sin(,

1,

2

, dzizz

z

iz 2 )3(

sin , dzz

z

z 1

2 9

33

Cursul nr. 4 Matematici speciale 3.5 Reprezentarea funciilor complexe prin serii

Definiie. Se numete serie de numere complexe suma

......211

n

nn zzzz ,

unde znC, n1.

Definiie. Se spune c o serie numeric este convergent i are suma S dac irul sumelor

pariale converge ctre S ( SSnn lim)( , unde Sn = z1 + z2 + + zn => Szn

n

1

convergent). Altfel se numete divergent. Observaie. Condiia necesar ca o serie s fie convergent este ca 0lim

n

nz

( 0lim nn

z => serie divergent)

Propoziie. Seria

1nnz , cu zn = xn + iyn este convergent i are suma S = X + iY dac i

numai dac seriile reale

1nnx i

1nny sunt convergente i au suma X, respectiv Y.

Definiia 53. Fie (fn)n1 un ir de funcii complexe, fn : DCC. Se numete serie de

funcii complexe suma

1nnf .

O clas important de serii de funcii o constituie seriile de puteri numite i serii ntregi. Definiie. Se numete serie de puteri o serie de forma

...)(...)()()( 00

2020100

nn

n

nn zzczzczzcczzc ,

unde z0, z, cnC pentru n0. 3.5.1 Seria Taylor Definie. Fie f :DCC o funcie olomorf pe D i z0D un punct arbitrar. Seria

34

...)(...)()()( 00

2020100

nn

n

nn zzczzczzcczzc

unde

!

)( 0)(

nzf

cn

n

se numete seria Taylor a funciei f n jurul lui z0. Pentru z0=0 seria se numete serie Mac-Laurin. Teorema. Fie f :DCC o funcie olomorf pe D i z0D.

Fie ),( 0 rz un disc deschis cu centrul n z0 raza r>0, a crui frontier o notm cu .

Dac discul D , , atunci seria Taylor a funciei f n jurul punctului z0 este

convergent pe i oricare ar fi z din interiorul acestui disc are loc egalitatea :

nn

k

nn

czzzfn

zzzf

zzzfzf )(........)(

!

)(......)(

!1)()(

000

)(00

00

unde

)(!

10

)( zfn

c nn , z

Demonstraie.

n mod firesc se pune ntrebarea dac seria

0

00

)()(

!

)(

n

nn

zzn

zf este convergent i spre

cine converge.

Teorema lui Abel. Pentru orice serie de puteri

00 )(

n

nn zzc , exist un numr real

],0[ R numit raz de convergen astfel nct seria converge n discul Rz i diverge

n exteriorul su.

n

nn

cR

lim

1 sau 1

lim

n

n

n c

cR .

Exemplu: S se determine raza de convergen ale seriei

0

3

)!3()!(

n

nzn

n

Definiie. Orice funcie olomorf pe C se numete funcie ntreag.

35

Observaii:

Funciile polinomiale, exponeniale, hiperbolice i circulare sunt ntregi.

Seria Taylor a unei funcii ntregi n jurul oricrui punct din D are raza de

convergen R = . Exemplu. Funcia f:CC, f(z) = ez este olomorf pe C i deci admite dezvoltare n serie

Taylor n jurul oricrui punct din C. Cum 0)(,)()( nezf zn rezult c

ze = 0ze + 0!1

0 zezz ++

0

!0 z

ne

n

zz +

Pentru z0=0 se obine

ze = 1 + !1z +

!2

2z ++!n

zn +, z)( C.

Observatie. Analog se obin dezvoltrile n serie Mac-Laurin a altor funcii ntregi

sin z = z !3

3z + !5

5z + + )!12(

)1(12

nz nn +, z)( C

cos z = 1 !2

2z + !4

4z + + )!2(

)1(2

nz nn +, z)( C

sh z = z + !3

3z + !5

5z + + )!12(

12

nz n +, z)( C

ch z = 1 + !2

2z + !4

4z + + )!2(

2

nz n +, z)( C

Exemplu. Fie f:CC, f(z) = z3 2z2 + 3z 1. S se dezvolte funcia f n serie Taylor n jurul lui z0 = 2. Seriile geometrice:

z1

1 = 1 + z + z2 + + zn + , pentru 1z

z1

1 = 1 z + z2 + (-1)nzn + , pentru 1z .

Exemplu. Dezvoltai funcia f:CC, f(z) = 221

1

z n serie Mac Laurin.

3.5.2 Serii Laurent

Fie f: }{ 0 RzzrzD C olomorf pe D si z0D.

Definiie. Se numete serie Laurent a funciei f centrat n z0 o serie de forma

36

n

nnn

nnn zzczzcczz

c

zz

czzc

taylorianapartea0010

principalapartea

0

1

00 ...)(...)()(

...)(

...)(

unde

dt

zz

tfi

cnn )(

)(21

0

.

Unei serii Laurent i se asociaz dou serii de funcii :

nn

nczz

1

0 )( care se numete partea principal

i

nn

nczz

0

0 )( care se numete partea taylorian.

Definiie. Seria Laurent este convergent ntr-un punct z0 din C dac partea principala i partea taylorian sunt convergente n punctul z0. Suma unei serii Laurent, convergent ntr-un punct z este egal cu suma prii principale, la care se adaug suma prii tayloriene.

Suma unei serii Laurent este convergent pe o coroan circular ),,( 210 rrz i suma sa este

olomorf pe aceast coroan circular. Teorem. Fie f :DCC o funcie olomorf pe D i z0D un punct arbitrar.

Fie (z0; r Fie }{),,( 201210 rzzrCzrrz o coroan circular cu centrul n i z0 raze

0, 21 rr ale crei frontiere le notm cu 21 , . Dac discul nchis 21 este inclus

n D, atunci funcia f admite o dezvoltare n serie Laurent, convergent pe acest coroan i oricare ar fi z n interiorul ei are loc egalitatea :

n

nn zzczf )()( 0 ,

unde

!

)( 0)(

n

zfc

n

n sau dtzttf

ic

nn

10 )()(

21

fiind un cerc cu centrul n z0 i de raz ].,[ 21 rrr

37

Exemplu. Dezvoltai funcia f(z) = 3)2( z

e z n serie Laurent n jurul lui z0 = 2.

Exemplu. S se dezvolte n serie de puteri ale lui z n jurul lui z0 = 0 funcia f:C{2, 3}C,

f(z) = )3)(2(

1 zz

.

n coroana circular 2< z

38

)(lim0

zf

xzz

=2/1

0lim xx

e

= ee 0/1 , iar )(lim0

zf

iyzz

=2)/(1

0lim iyy

e

= 00/1 ee

rezult c nu exist )(lim0

zfzz

.

3) Punctul singular izolat 0z C se numete pol de ordinul k al funciei f dac

)(lim0

zfzz

i },0{)()(lim 00

zfzz kzz

.

De exemplu, pentru funcia f(z)=)1(

1zz

punctele z=0 i z=1 sunt poli de ordinul I

(poli simpli) pentru c funcia nu este definit n aceste puncte, este olomorf pe C-

{0, 1} i 01

)(lim0

zfz

, 01

)(lim1

zfz

,

},0{11

1lim)()0(lim

0

1

0

zzfz

zz, iar },0{11lim)()1(lim

1

1

1

zzfz

zz.

Definiie. O funcie f se numete meromorf ntr-un domeniu, dac n acel domeniu nu are alte singulariti dect poli.

De exemplu, funcia f(z) =23

12 zz

este meromorf (z=1 i z=2 sunt poli simpli i nu are

alte singulariti).

Observaie. n cazul n care funcia complex este definit n planul complex Rz ,

punctul de la constituie un punct singular izolat al funciei date. n ceea ce privete natura punctului ca punct singular izolat pentru o funcie f, studiul su se reduce la

studiul punctului z=0 pentru funcia

z

f1 .

Exemplu: Fie funcia f(z) =134

72

5

zz

z . S se studieze natura punctului .

Tema de cas nr. 4

1. S se determine raza de convergen a seriilor 0n

nz , respectiv 0 !

1

n

nzn

.

2. S se dezvolte n serie Taylor n jurul originii (serie Mac-Laurin) f(z) = ln (1+z). 3. S se dezvolte n serie Laurent n jurul originii funciile

39

21

2

)(z

ezf

z ,

zz

zfcos1

)(2

, z

zzf

sh)(3 .

4.Dezvoltai n serie Laurent funcia f(z) =)2)(1(

1zz

pe domeniile a) 1

40

Cursul nr. 5 Matematici speciale 3.7. Teoria reziduurilor i aplicaii

3.7.1. Calculul reziduului umei funcii Fie f : DC, E o mulime deschis din C, DC. Dac z0 este un punct singular izolat al funciei f, atunci exist o coroan circular cu centrul n z0, 0

41

2) Calculai reziduurile funciei f(z) = )1)(1( 2 zz

z .

3) Calculai reziduurile funciei f(z) = 22

2

)1( z

z n punctele sale singulare.

n situaia punctului , f este olomorf pe exteriorul unui disc de raz orict de mare.

Notm cu R frontiera discului de raz R orict de mare, cu centrul n origine, (0,R).

Orientarea acestei frontiere se face de aa manier nct parcurgnd-o, exterioruldiscului rmne n stnga, adic invers dect orientarea normal, motiv pentru care se noteaz cu

R .

Definiie. Se numete reziduul funciei f n punctul i se noteaz cu rez (f, )

coeficientul lui 1z din dezvoltarea n serie Laurent a funciei f n vecintatea punctului

de la infinit, luat cu semn schimbat ( c1). O alt definiie :

rez(f,)= R

dzzfi

)(21

sau rez(f,)= - R

dzzfi

)(21

Transformarea z1

duce exteriorul discului de raz R n interiorul discului de raz R1 ,

ambele centrate n 0.

De asemenea, z1

duce punctul z=0 n punctul i punctul n z=0.

Calculul reziduului n punctul de la al lui f(z) se reduce la calculul reziduului n

punctul 0 al funciei ).1(1)(2

fg

Exemplu. Calculai Rez (f, ) pentru f (z) = zez

z 31

3

.

Teorema reziduurilor. Fie f : DC i o curb simpl nchis, neted sau neted pe poriuni, inclus n ntregime n D. Dac f este olomorf pe D, cu excepia unui numr finit de puncte singulare izolate a1, a2, , an situate n domeniul D , fiind delimitat de frontiera care nu trece prin nici-unul din aceste puncte, atunci

n

kkafzidzzf

1

),(Re2)(

42

Demonstraie: Punctele a1, a2, , an fiind singulare izolate din domeniul D , rezult

c putem construe cercurile k avnd centrele n a k if razele kr sufficient de mici astfel

nct ,jk i,j=1,2,,n ceea ce nseamn c nu au puncte commune.

Notm cu k discurile determinate de k . Funcia f este olomorf pe n

kk

1

\

i putem

aplica teorema lui Cauchy pentru domenii multiplu conexe :

1 2

)(.......)()()( n

dzzfdzzfdzzfdzzf

Conform definiiei reziduului se obine :

),(2),(.......),(),([2)(1

21

n

kkn afreziafrezafrezafrezidzzf

Observaii. 1. Teorema reziduurilor poate fi considerat ca o consecin a teoremei lui Cauchy pentru domenii multiplu conexe. 2. Teorema reziduurilor prezint mare importan deoarece reduce calculul unor integrale la calculul unor reziduuri, care de cele mai multe ori nu prezint dificulti. 3. n cazul cnd numrul punctelor singulare izolate ale funciei f este foarte mare, aplicarea teoremei reziduurilor poate conduce la calcule laborioase. n aceast situaie se poate calcula reziduul funciei f n punctul . Consecin. Dac f are n tot planul complex numai un numr finit de puncte singulare izolate, atunci suma tuturor reziduurilor acestei funcii este nul

0),(Re),(Re1

n

kkafzfz .

Demonstraie : Fie un disc cu centrul n origine i de raz suficient de mare astfel nct s conin toate punctele singulare izolate ale funciei f.

Considerm un cerc cu centrul n origine i cu raza R> R 0 . Conform teoremei

reziduurilor, avem :

),(2)(1

n

kkafrezidzzf

dar

0),(),(),()(21

1

n

kkafrezfrezfrezdzzfi

43

Exemplu. Calculai integrala: 31

22 )5)(1(z zzz

dz .

3.7.2. Aplicaii ale teoriei reziduurilor la calculul unor integrale

1) Calculul integralelor de forma :

2

0

)sin,(cos dRI , unde R este o funcir

raional, ),(),(

),(yxQyxP

yxR , P,Q fiind dou polinoame, iar Q(x,y) 0 pe

}1|),{( 22 yxyx , ceea ce nseamn c Q nu se anuleaz n nici-un punct de pe cercul

unitate. Reprezentarea cercului unitate este dat de :

sin

cos

y

x ]2,0[

ceea ce nseamn c ].2,0[,sincos ieiz

Cnd parcurge intervalul z],2,0[ descrie cercul cu centrul n origine i cu raza 1,

z=1, o singur dat n sens direct, ceea ce nseamn c vom calcula integrala pe, reprezentnd cercul unitate.

Se face schimbarea de variabil iez . Rezult c zi

ln1

=> dziz

d1

.

cos = 2

ii ee =z

zzz2

12

/1 2

sin = iee ii

2

=iz

zi

zz2

12

/1 2

.

Integrala devine:

I =

1

22 12

1,

21

z

dziziz

zz

zR

Aceast integral, n ipoteza c polii funciei f(z) nu sunt pe cercul z=1(ei se afl fie n discul unitate, fie n exteriorul su), conform teoremei reziduurilor, avem :

I= ||),,(21)(1

1k

kk

z

zzfrezii

dzzfi

44

Exemplu. Calculai integrala

d2

0cos2sin1

2)Calculul integralelor de forma: dxxQxP

)()( =

0Im

),(Re2kz

kzfzi

unde P(x) i Q(x) sunt dou polinoame care ndeplinesc condiiile: Q(x) 0, x R, P(x) i Q(x) sunt prime ntre ele, iar ntre gradele celor dou polinoame exist relaia grad P(x)+2grad Q(x).


32 )1(x

dx .

3) Calculul integralelor de forma: dxxfe xi

)( =

0Im

)),((Re2z

kxi zxfezi ,

innd seama de faptul c xixe xi sincos , avem:

dxxfxidxxfxdxxfe xi )(.sin)(.cos)(

unde

I1 =

dxxfedxxfx xi )(Re)(cos

i

I2 =

dxxfedxxfx xi )(Im)(sin .

Lema lui Jordan. Dac f este o funcie olomorf n C, cu excepia unui numr finit de puncte singulare izolate situate n semiplanul superior i sunt ndeplinite condiiile : |)(|sup

0Im,||

)( zfzrz

rM

0)(lim

rMr

atunci R , >0 , 0)(lim

dzezf zir

unde este un semicerc de raz r din semiplanul superior, centrat n origine.

45

Teorem. Dac f satisface condiiile lemei lui Jordan, atunci R , >0, exist

dxxfe xi )(

exist i avem :

]),([Re2)(1

k

n

k

zixi zzfezidxxfe

unde kz sunt puncte singulare izolate ale funciei f situate n semiplanul superior.

Demonstraie. Prin ipotez, f satisface condiiile lemei lui Jordan, ceea ce nseamn c exist R>0, suficient de mare astfel nct domeniul delimitat de conturul C conine toate punctele singulare izolate ale funciei f : C= [-R,R] n baza teoremei reziduurilor :

]),([Re2)(1

n

ik

zi

C

zi zzfezidzzfe

]),([Re2)()()(

1k

n

k

ziziR

R

xi

C

zi zzfezidzzfedxxfedzzfe

Conform lemei lui Jordan, avem : 0)(lim

dzzfe zir

)),((Re2)()(1

lim kn

k

zixiR

R

xi

r

zzfezidxxfedxxfe

Observaie. Cu ajutorul acestei teoreme se poate calcula integrala Laplace :

I = dxax

x

22

cos


dx

xx

x22 )1(

sin.

Teorema semireziduului. Dac f este o funcie olomorf n C, cu excepia unui numr finit de puncte singulare izolate a1, a2, , an situate n semiplanul superior i a unor poli simpli x1, x2, , xm de pe axa real, dac sunt ndeplinite condiiile lemei lui Jordan, atunci are loc formula:

46

m

kk

n

kk xfziafzidzzf

11

),(Re),(Re2)(

Demonstraie : Considerm un semicerc de raz R>0 situat n semiplanul superior, astfel nct toate punctele singulare ale funciei f, cu Im z>0 , s se afle n semicercul de raz R cu centrul n origine. Fie conturul acestui semicerc. Aplicnd teorema reziduurilor, avem :

),(Re2)(........)()(.......)()(0Im

|| 1

1

1

zRz

x

R

R

x

n

kk

m m

afzidzzfdzzfdxxfdxxfdzzf

unde m ,,.........21 , sunt semicercurile de raz (care nu se intersecteaz) cu centrele n

punctele x1, x2, , xm. Presupunnd c

0Im,||

0)(zRz

dzzf cnd R, obinem :

k

dzzfafzidxxfm

k

n

kk

)(),(Re2)(1 01lim

Notm cu r k =Rez(f,x k ), ceea ce nseamn c

)]()[(lim zfkr xzkxz

k

Pentru suficient de mic, avem :

|)()(| kk rzfxz dac 0Im,|| , zzxz kk

Vom arta c

0

0

)(limk

k xzdz

rdzzfk

Calculm diferena :

||],,0[,:

||

|)()(||

)()(||)(|

0

ki

kk

k

kk

k

kk

kk

xzexz

dzxz

rzfxzdz

xzrzfxz

xzdz

rdzzfkk k

Obinem : Exemplu. Cu ajutorul teoremei semireziduului se potate calcula integrala (improprie) Poisson :

I = dxx

x

0

sin

47

Tema de cas nr.5 1. Calculai reziduurile urmtoarelor funcii n punctele lor singulare:

a) f(z)=2

/1

)1( z

e z

b) f(z)= zez 11

3 2. Calculai urmtoarele integrale:

a) I= 2

2 )1)(1(zdz

zz

z , b) I=

2/12

sin1

z

dzz

z , c) I=

)4)(9( 22 xx

dx

d) I=

2

0cos35

d , e) I=

dx

xx

xx

102

sin2

f) I=

dx

xx

xx

204

2cos2

48

Cursul nr. 6 Matematici speciale

Transformarea Fourier

Serii Fourier

Definiie. O funcie f:RR se numete periodic dac *)( R T astfel nct

R x)( , ).()( xfTxf

Exemple. Funcia constant are ca perioad orice numr. Funciile sinx i cos x

au perioadele 2, 4, 6,

Observaie. Avnd n vedere c orice multiplu ntreg de T (kT, k Z ) este de

asemenea perioad pentru f, cea mai mic perioad pozitiv T>0 se numete

perioada principal a funciei f.

Propoziie. Dac )(xf este periodic de perioad T, atunci )( xf este periodic

de perioad T/.

Demonstraie.

)()()]([ xfTxfTxf

Exemplu. Funciile sin x i cos x sunt periodice, de perioad 2, funciile sin nx

i cos nx au perioada 2/n, iar perioada comun a funciilor {sin nx, cos

nx} Nn este 2/.

Propoziie. Fie f:RR periodic de perioad T, integrabil pe R, atunci

R)( avem:

TTdxxfdxxf

0)()(

Definiie. Se numete serie trigonometric, o serie de forma:

49

)sincos(2 1

0 kxbkxaa

kkk

unde kk baa ,,0 sunt numere reale.

Propoziie. Dac f:RR este o funcie integrabil pe R, periodic de perioad

2, care poate fi reprezentat printr-o serie trigonometric

)sincos(2

)(1

0 kxbkxaa

xfk

kk

atunci coeficienii kk baa ,,0 se calculeaz cu formulele :

2

0

0 ,)(1

dxxfa

2

0

,cos)(1

nxdxxfan

2

0

sin)(1

nxdxxfbn

Definiie. Seria trigonometric a funciei )(xf ai crei coeficieni se calculeaz

cu ajutorul formulelor de mai sus se numete serie Fourier.

Observaie. innd seama de faptul c integrala unei funcii periodice de

perioad 2 este aceeai pe orice interval de lungime 2, coeficienii kk baa ,,0

pot fi calculai i astfel :

,)(

10 dxxfa

,cos)(

1nxdxxfan

Integrala Fourier

Fie f : R R o funcie care nu este periodic. Funcia f nu poate fi

reprezentat printr-o serie Fourier pe axa real.

Teorem. Dac funcia f : R R ndeplinete urmtoarele condiii :

a) f ese monoton pe poiuni ;

b) f este mrginit ;

50

c) f este continu, avnd cel mult un numr finit de puncte de

discontinuitate de prima spe ;

d) n oricare punct de discontinuitate, valoarea funciei se calculeaz

astfel :

2

)0()0()(

fff

e) f este absolut integrabil pe R,

atunci funcia )(xf poate fi reprezentat astfel :

dtdetfxf xti )()(21

)(

care se numete foma complex a integralei Fourier a funciei )(xf .

Dac notm:

dtetfF ti

)(2

1)(

atunci

deFxf xi

)(2

1)(

Definiie. Funcia )(F se numete transformata Fourier (direct) a funciei

)(xf , iar )(xf se numete inversa transformatei Fourier.

Dac funcia )(xf este par, se obine :

0

cos)(2

)( tdttfFc

xdFxf c cos)(2

)(0

Definiie. Funcia )(cF se numete transformata Fourier prin cosinus a funciei

)(xf , iar )(xf este inversa transformatei Fourier prin cosinus.

51

Dac funcia )(xf este impar, se obine :

0

sin)(2

)( tdttfFs

xdFxf s sin)(2

)(0

Definiie. Funcia )(sF se numete transformata Fourier prin sinus a funciei

)(xf , iar )(xf este inversa transformatei Fourier prin sinus.

Exemple.

1. S se calculeze transformata Fourier a funciei

ax

axxf

,0

,1)(

Transformata Fourier a funciei )(xf este

adtedtetfF

a

a

titi sin2

2

1)(

2

1)(

, 0

2. S se calculeze transformata Fourier a funciei

xx

xf ,4

1)(

2R

Transformata Fourier a funciei )(xf este

222 22

)2,(Re22

1)(

eifzidtte

Fti

3. S se calculeze transformatele Fourier prin cosinus i sinus ale funciei

.,)( Rxexf x

00

cos2

cos)(2

)( tdtetdttfF xc

00

sin2

sin)(2

)( tdtetdttfF xs

52

200 1

122)sin(cos

2)()(

idteedttteiFF tittsc

21

12)(

cF , 21

2)(

sF

4. S se determine funcia )(F tiind c

0

sin)( xexdF , unde 0x

Ecuaia poate fi scris sub forma :

xexdxF

0

2sin)(

2

Aplicnd inversa transformatei Fourier prin sinus, se obine:

tdteF t

sin2

)(0

Proprieti ale transformatei Fourier Propoziia 1. Transformarea Fourier direct este liniar.

RccxfFcxfFcxfcxfcF 2122112211 ,)],([)]([)]()([

Demonstraie.

)]()([ 2211 xfcxfcF

dtetfc

dtetfc

dtetfctfc tititi

)(2

)(2

))()((2

12

21

12211

)]([)]([ 2211 xfFcxfFc

Propoziia 2. Transformarea Fourier direct are proprietatea de translaie.

)]([)]([ xfFehxfF hi h R

Demonstraie.

dtehtfhxfF ti

)(2

1)]([

Se face substituia htv i se obine :

53

)]([)(2

1)(

2

1)]([ )( xfFedvevfedvevfhxfF hivihihvi

Propoziia 3. Pentru orice Ra , are loc relaia :

)(||

1)]([

aF

aaxfF

Demonstraie.

Pentru a>0 facem substiuia atv i se obine:

)(1

)(2

1)(

2

1)(

2

1)]([

aF

advevf

aadv

evfdteatfaxfF avi

a

viti

Pentru a

54

Presupunem, prin inducie, c este adevrat pentru k-1

dtetftid

Fd tikk

k

k

)(

2

)( 11

1

1

i demonstrm pentru k

dtetftidtetftidd

d

Fddd

d

Fd tikk

tikk

k

k

k

k

)(

2))(

2()

)((

)( 11

1

1

Definiie. Se numete produs de convoluie al funciilor )(xf i )(xg , integrala :

dyygyxfxh )()()(

Propoziia 6. Tranfomarea Fourier a produsului de convouie a funciilor )(xf

i )(xg este dat de

)()(2])()([ GFdyygyxfF

unde )]([)( xfFF i )]([)( xgFG

Demonstraie.

)()(2)(2

1)()(

2

1(2

))()((2

1))()((

2

1)(

2

1)]([

)(

)(

FGdtevtfdvevg

dtdveevgvtfdtedvvgvtfdtethxhF

vtivi

vivtititi

55

Tema de cas nr. 6

1. S se calculeze transformatele Fourier ale funciilor :

Rxaexg xa ,0,)( ||

Raaax

xexh

a

,0,)(22

2. S se calculeze transformatele prin sinus i cosinus ale funciei

3. S se determine funcia )(tf din ecuaia :

0

)(cos)( tdttf

unde

1-x , 0

56


Transformata Laplace

n fizic i n diferite domenii tehnice se folosete adeseori o coresponden

ntre dou mulimi de funcii: o prim mulime numit clasa originalelor i o a

doua mulime format cu imaginile lor obinute printr-o anumit transformare.

Aceast coresponden prezint interes dac este biunivoc i dac unor

operaii din prima mulime le corespund n a doua mulime operaii mai simple.

Definiie. Fie f: RR/C. Dac are sens integrala improprie cu

parametrul p C, 0)Re( p

dtetfpF pt

0

)()(

atunci F se numete transformata Laplace a funciei f i se noteaz cu

)()]([ ptfL .

Exemplu. S se calculeze, folosind definiia, transformata Laplace a funciei

axf )( R/C.

0 0 0)]([

pa

pe

adteadteapaLpt

ptpt

Definiie. Funcia f : RC se numete funcie original dac satisface

condiiile:

a) f(t) = 0 pentru t

57

b) f(t) este continu pe poriuni (adic pentru t0 este continu cu excepia

unui mulimi cel mult numrabil de puncte n care are discontinuiti de

spea nti);

c) | f(t) ate | M , pentru M>0, t> 0t , unde a, M, 0t R (adic f are o cretere

exponenial, a numindu-se indicele de cretere al funciei original).

Observaie. Condiia de cretere exponenial ( ip ) se scrie sub forma :

a

MdteMdteeMdtetfdtetf tatatptpt

0

)(

000|||)(||)(|

ultima integral fiind convergent pentru ap )Re( .

n baza criteriului comparaiei pentru integrale improprii, va rezulta

convergena absolut i uniform a integralei care definete pe )()]([ ptfL .

Exemplu. Cea mai simpl funcie original este funcia unitate Heaviside

0,10,2/1

0,0)(

tt

ttf .

Alte exemple de funcii original: funcia constant, funcia putere, funcia

exponenial, funciile circulare i hiperbolice.

Exemplu. Funcia 2)( xexf nu are cretere exponential pentru c att ee 2 este

nemrginit pentru ,t a ; deci nu poate fi considerat funcie original.

Exemplu. Funcia btetf )( , cu bR/C are cretere exponenial, deoarece

se poate alege RtMeeetfRtMba attbat ,1|)(|,1),Re( )Re(0

bp

dtedteepeL tbpptbtbt

1)]([

0

)(

0

ceea ce nseamn c imaginea funciei bte este bp

1 .

Propoziie. Cu funciile original se pot face urmtoarele operaii:

58

suma a dou funcii original este tot o funcie original;

produsul dintre o funcie original i o constant complex este de

asemenea o funcie original;

produsul a dou funcii original este tot o funcie original.

Definiie.Transformata Laplace a unei funcii original (care exist) se numete

funcie imagine.

n acest mod s-a definit o coresponden ntre dou mulimi: una numit clasa

originalelor i o a doua format cu imaginile lor obinute printr-o anumit

transformare.

Teorem.Transformata Laplace a unei funcii original f exist i este o funcie

olomorf n semiplanul Re p > a, unde a este indicele de cretere al funciei

original f; derivata sa se obine din definiie derivnd sub semnul de integrare.

Proprietile transformatei Laplace

Propoziia 1 (liniaritatea). Dac f1 (t), f2 (t) , t R sunt dou funcii original,

atunci )( c1, c2 C are loc relaia :

))](([))](([))](()([ 22112211 ptfLcptfLcptfctfcL

Demonstraie. dttfctfceptfctfcL pt )]()([))](()([ 221102211

))](([))](([)()( 22110 220 11 ptfLcptfLcdttfecdttfecptpt

Propoziie 2 (teorema asemnrii). Dac f(t), t R este o funcie original,

atunci oricare ar fi aR , a>0 are loc relaia :

ap

tfLa

patfL )]([1

))]({[

59

Demonstraie:

duufeaa

duufedtatfepatfL

ua

p

a

uptau

pt )(1

)()())](([000 =

ap

tfLa

)]([1

Propoziia 3 (teorema ntrzierii). Dac f(t), t R este o funcie original,

atunci oricare ar fi aR , a>0 are loc relaia :

))](([))](([ ptfLepatfL pa

Demonstraie:

a

uufaupuatpt dueufdteatfpatfL0,0)()(

0)()())](([

= ))](([)()(00

ptfLedueufedueeuf papupapapu .

Propoziia 4 (teorema deplasrii) Dac f(t), t R este o funcie original, atunci

oricare aC ar fi are loc relaia :

))](([))](([ aptfLptfeL at

Demonstraie: ))](([)()())](([0

)(0

aptfLdttfedtetfeptfeL tapptatat

Propoziia 5 (teorema derivrii originalului) Dac f(t), t R este o funcie

original i f ' (t) exist i este funcie original, atunci are loc relaia :

)0()]([))](('[ ftfLpptfL

Demonstraie: 000

)()(|)()('))](('[ dttfeptfedttfeptfL ptptpt

= )0())](([)()0()(lim0

0

fptfLpdttfepfetfe ptpptt , deoarece:

taattptpt eMeeMetfetf )(|||)(||)(| ,

iar pentru > a se obine 0|)(|lim

ptetft

0)(lim

ptetft

n general, dac f (t) admite derivate de ordin n i toate sunt funcii

original, atunci:

)0(...)0(')0()]([))](([ )1(21)( nnnnn ffpfptfLpptfL

Demonstraia se face folosind metoda induciei.

60

Propoziia 6 (teorema derivrii imaginii). Dac f(t), t R este o funcie

original, atunci

')))](([())](([ ptfLptftL ,

n general,

)()))](([()1())](([ nnn ptfLptftL , pentru orice n1

Demonstratie: 0 0

'' )())(()))](([( dtetftdttfeptfL ptpt

= ))](([)(0

ptftLdtetft pt

0

220

2'' )1()()))](([( dtetdtetptfL ptpt

Pentru derivata de ordinul n se obine:

)()))](([( nptfL ))](([)1()()1(0

ptfLdtetft nnptnn

Propoziia 7 (teorema integrarii originalului) Dac f(t), t R este o funcie

original, atunci

))](([1)()(0

ptfLp

pduufLt

i

))](([1])(.......[ 10

1

0

2

0

1

0

23

ptfLp

duufdududuLn

uuu

n

t

n

n

Demonstratie: Notm t

duuftf0

1 )()( i se obsrev c 0)0(),()( 11 ftftf

Si aplicnd propoziia 5 se obine :

)0())](([))](([ 11 fptfLpptfL sau ))](([1)]([

)]([ 1 ptfLpptfL

tfL

Presupunnd proprietatea adevrat pentru n-1 i notnd

))](([)1( 22 ptftL

61

10

1

0

2

0

1 )(.........)(23

duufduduufuuu

nn

n

obinem:

)(1)())](([1

0

pFp

duufepufLnnn

pun

n

i

))](([1))](([

])([0

ptfLpp

pufLduufL

nn

n

t

n

Propoziia 8 (teorema integrrii imaginii). Dac f(t), t R este o funcie

original, atunci

p

dqqtfLpttf

L ))](([)()(

Demonstraie: Fie

)()()()()( limlim pzdqqFdqqFpGz

z

pp z

De aici rezult c )()( pFpG . Fie g(t) originalul funciei G(p). innd seama

c ))](([)( pttgLpG i ))](([)( ptfLpF , iar )()( pFpG avem )()( tfttg i deci

ttf

tg)(

)( , de unde rezult c )]()([)( pttf

LpG .

Definiie. Se numete produs de convoluie a dou funcii original f(t) i g(t),

t R , crora li se aplic transformarea Laplace, esxpresia :

t

duugutftgf0

)()())((

Observae. Produsul de convoluie este comutativ : ))(())(( tfgtgf .

Propoziia 9(teorema produsului de convoluie). Dac f(t) i g(t), t R sunt

dou funcii original, atunci ))](([))](([)]([ ptgLptfLtgfL

62

Demonstraie. Notm:

0

)()( dtetfpF pt i dtetgpG pt

0

)()(

dtpGetfpGpF pt

0

)()()()(

Conform propoziiei 3, avem:

detgptgLpGe ppt

0

)())](([)(

Prin nlocuire n relaia de mai sus, se obine:

detgdttfpGpF p

0 0

)()()()(

Se poate schimba ordinal de integrare i avem:

0 0

)()()()( dttgtfdepGpF p

g(t) fiind funcie original, avem 0)( tg pentru t i se obine:

))(()()()()(0 0

gfdttgtfdttgtf

ceea ce nseamn c

degfduugufdedttgtfdedttgtfde pppp

000 0 00 0

))(()()()()()()(

Deci

degfpGpF p

0

))(()()(

Rezumnd:

1) (liniaritate)

L[c1f1(t) + c2 f2(t)](p) = c1L[f1(t)](p) + c2 L[f2(t)](p)

63

2) (teorema asemnrii)

L[f(at)](p) =

ap

tfLa

)]([1

3) (teorema ntrzierii)

))](([))](([ ptfLepatfL pa

4) (teorema deplasrii)

))](([))](([ aptfLptfeL at

5) (teorema derivrii originalului)

)0()]([))](('[ ftfLpptfL

)0(...)0(')0()]([))](([ )1(21)( nnnnn ffpfptfLpptfL

6) (teorema derivrii imaginii)

')))](([())](([ ptfLptftL

)()))](([()1())](([ nnn ptfLptftL

7) (teorema integrarii originalului)

)]([1

)()(0

pfLp

pduufL

8) (teorema integrrii imaginii)

p

dqqtfLpttf

L ))](([)()(

9) (teorema produsului de convoluie) ))](([))](([)]([ ptgLptfLtgfL

Transformatele Laplace ale unor funcii elementare:

pa

paL )]([

64

1

!)]([

nn

p

nptL

appeL at

1)]([

22)]([sin

ap

aptaL

;

22)]([cos

ap

pptaL

22)](sh[

ap

apatL

;

22)](ch[

ap

pptaL

21

)]([ap

petL at

; 1

!)]([

natn

ap

npetL

222 )(

2]sin[

ap

aptatL

;

222

22

)()](cos[

ap

appattL

22)()](sin[

appteL at ;

22)()](cos[

ap

appteL at

Demonstraiile : tem pentru seminar.

Calculul inversei transformatei Laplace

n unele situaii este util determinarea din formula

dttfepF pt )()(0

a funciei f(t). Pentru aceasta vor fi prezentate trei metode.

1. Utilizarea proprietii de liniaritate

Fie

)()()( 211 pFcpFcpF

unde )(1 pF i )(2 pF sunt imaginile (transformatele) unor funcii )(1 tf respectiv

)(2 tf , cunoscute.

Funcia original f(t) se obine astfel:

65

)()()( 2211 tfctfctf

Deoarece

)()()()]([)]([)]()([)]([ 2211)(22)(11)(2211)( pFpFcpFctfLctfLctfctfcLtfL pppp

Observaie. Determinarea funciei original f (t) cnd se cunoate imaginea sa

F(p) se poate face prin dezvoltare expresiei funciei n fracii simple i

recunoaterea transformatelor uzuale.

Exemplu. Determinai funcia original a imaginii 4

)(2

p

ppF .

2. Formula lui Mellin-Fourier

n condiii destul de generale, relaia :

F(p)= dttfe pt )(0

ca ecuaie integral n funcia necunoscut f(t) admite o soluie unic.

Definiie. Se spune c funcia f(t) definit pe un interval [a,b] este derivabil pe

poriuni dac exist o diviziune

bttttta nii ........................ 110

astfel nct f(t) este derivabil n fiecare interval ),( 1 ii tt i exist limitele

laterale ).0(),0( ii tftf

Teorem. Dac funcia f: RC ndeplinete urmtorele condiii :

a) f(t)=0, t 0

b) f(t) este derivabil pe poriuni

c) exist s 0 real, 00 s astfel nct tsetf 0|)(| este mrginit pentru t0

66

atunci, n punctele n care f(t) este continu, valorile ei sunt date de formula

lui Mellin-Fourier :

f(t) = pepFi

ptia

iad)(

21

, pentru p = a + i i a >s0 (1)

unde F(p) este transformarea Laplace a funciei f(t).

Observaie. Integrala din formula (1) se poate calcula cu ajutorul reziduurilor :

f(t)= ]),([Re kk

pt ppFez

unde kp sunt singulariti ale lui F(p) din semiplanul Re p

67

Exemplu. Determinai funcia original a imaginii )1(

12)(

2

pp

ppF .

Teorem. Dac )()(

)(pQpP

pF este funcie raional, unde grad P grad Q2, iar

Q are rdcinile p1, p2, , pn, cu ordinele de multiplicitate k1, k2, , kn, atunci

originalul funciei F(p) se poate determina direct cu formula:

n

kk

pt pepFtf1

,)(zRe)( (3)

Exemplu. Determinai funcia original a imaginii 32 )2(

1)(

pppF .

Aplicaii ale transformrii Laplace

1. Rezolvarea problemei Cauchy pentru ecuaii/sisteme de ecuaii difereniale

cu coeficieni constani

Fie ecuaia:

)(.......)1(1)( tfyayay nnn

cu condiiile iniiale:

1)1(1',0 )0(,,.........)0()0( nn yyyyyy

Se cere determinarea funciei necunoscute y=y(x), x>0, de clas C n [0,], care

s fie soluie a ecuaiei difereniale i s satisfac condiiile iniiale. Problema

astfel formulat reprezint o problem Cauchy pentru ecuaia diferenial de

mai sus.

n ipoteza c c f(t) este definit pe [0,] i are imagine, aplicnd

transformarea Laplace se obine :

))](([)](.......[ )1(1)( ptfLpyayayL nnn

68

sau

))](([)]([.......)]([)]([ )1(1)( ptfLpyLapyLapyL nnn

Aplicnd propoziia 5 se obine:

)0(.......)0()0()]([)]([ 121)( nnnnn yypyppyLppyL

..

)0(.........)0()0()]([][ )1(21)( kkkkk yypyppyLpyL

.. )0()]([][ ypypLyL

Notnd

ypyL )]([ i )()]([ pFtfL

se obine:

)()(......).........().......( 1121211011 pFyapyapapyapapy nnnnnnnn

Cu notaiile:

11

21

10

21

.........)........()(

..........)(

nnnn

nnn

yapapypQ

apappP

relaia de mai sus devine: )()()( pFpQpPy

de unde

)]()([)(

1pQpF

pPy

Soluia ecuaiei este

)]([)( 1 pyLty

Exemple. S se rezolve ecuaia :

teyy 34 cu condiiile iniiale 0)0(,0)0( yy

69

2. Rezolvarea ecuaiilor integrale de tip Voltera

Definiie. O ecuaie n necunoscuta y(t) de forma :

t

tfduuyutkty0

)()()()(

unde k(t-u) i f(t) sunt funcii date se numete ecuaie integral de tip Voltera.

Nornd :

L(y(t))=Y(p), L(k(t))=K(p), L(f(t))=F(p)

i aplicnd ecuaiei Propoziia 9, se obine : Y(p)+K(p)Y(p)=F(p)

de unde rezult c

)(1

)()(

pKpF

pY

, ceea ce nseamn c ))(()( 1 pYLty

Exemplu. S se rezolve ecuaia integral de tip Voltera :

t

ut tduuyety0

cos)()(

3. Studiul circuitului R.L.C.

Considerm un circuit electric care are legate n serie un rezistor ( avnd ca

parametru rezistena R), o bobin ( cu inductana L )

i un condensator ( cu capacitatea C).

70

Notm cu )(tq sarcina variabil pozitiv de pe placa condensatorului i cu )(tE

tensiunea cu care se alimenteaz circuitul. Datorit alimentrii n circuit apare

un curent de intensitate variabil )(ti i conform legilor lui Kirchoff, circuitului

R.L.C. i corespunde ecuaia:

Ctq

tRidt

tdiLtE

)()(

)()(

innd seama de faptul c dt

tdqti

)()( ecuaia de mai sus devine:

0,)(1

)()(

)( tdiC

tRidt

tdiLtE

care este o ecuaie integral n necunoscuta )(ti . Aceast ecuaie poate fi

transformat ntr-o ecuaie diferenial de ordinul doi n raport cu sarcina )(tq ,

astfel:

)()()()(2

2

tECtq

dttdq

Rdt

tqdL

cu condiiile iniiale: 000 )0(|,)0( iidtdq

qq t

Presupunnd c 2

2

,),(),(dt

qddtdq

tqtE sunt funcii original, ecuaia de mai sus se poate

rezolva aplicnd transformarea Laplace:

)()(22

)]([])()()(

[ pp tELCtq

dttdq

Rdt

tqdLL

L C )(tq )(tq )(ti

R

)(tE

71

Notm: qtqL p )()]([ , EtEL p )()]([ i se obine:

RqLipLqECRpLpq 0002 )/1(

sau

)/1

()(2

0001

CRpLp

RqLipLqELtq

Tema de cas nr. 7

1. Calculai urmtoarele transformate Laplace:

)](2[ pL , )]([ 3 ptL , )]([ 2 peL t , )](2[sin ptL , )](3[cos ptL

)](3sh[ ptL , )](2ch[ ptL , )]([ 3 petL t , )]([ 45 petL t

]3sin[ ttL ; )](2cos[ pttL , )](2sin[ 3 pteL t ; )](3cos[ 2 pteL t

4. Determinai funciile original ale urmtoarelor imagini:

)1)(1(

1)(,

)4)(1()(

2

2

2

ppp

pppF

pp

ppF

3. Rezolvai ecuaia diferenial x''(t) 5x'(t) + 6x(t) = te , cunoscnd

condiiile iniiale x(0) = 1, x'(0) = 1.

4. Rezolvai ecuaia diferenial x''(t) 4x'(t) + 4x(t) = sin t, cunoscnd

condiiile iniiale x(0) = 1, x'(0) = 2.

72


Funciile lui Euler

Funcia gamma

Definiie. Se numete funcie gamma sau funcia lui Euler de spea a doua,

integrala:

dtetz tz

0

1)( , iyxz , 0Re xz

Teorem. Funcia )(z este olomorf pe domeniul Re z > 0 i verific relaia

funcional:

)()1( zzz

Demonstraie. Se tie c

))lnsin()ln(cos(1lnln)1(1 tyityteet xtiytxz

unde

dttyetyxv

dttyetyxu

tx

tx

)lnsin(),(

)lncos(),(

0

1

0

1

Funciile u i v admit derivate pariale de ordinul nti pe domeniul Re z > 0 i

acestea se obin derivnd sub semnul de integrare:

dttytetyv

xu tx )lncos()ln(

0

1

dttytetyu

xv tx )lnsin()ln(

0

1

73

Condiiile lui Cauchy-Riemann fiind ndeplinite, rezult c funcia =u+iv este

olomorf pentru Re z > 0 .

Folosind metoda integrrii prin pri pentru expresia funciei (z+1) se obine:

)()1(0

10

0

zzdtetzetdtetz tztztz

Observaie. Relaia )()1( zzz descrie o proprietate fundamental a funciei

gamma, esenial pentru calculul valorilor acestei funcii.

1|)1(00

tt edte

!)!1.()()1(

....................................

!2!1.2)2(2)3(

!11.1)1(1)2(

nnnnnn

Pentru 21

z , efectund substituia 2t se obine integrala Poisson:

de

t

dte t

00

2

2)21

(

Notm

dxdyedyedxeI yxyx

0 0

)(

00

2 2222

Se trece la coordonate polare: sin,cos ryrx i se obine

)21

(24

|2

|00

2

00 0

2 222

2

dxee

rdrdeI xr

r

74

Pe baza acestui rezultat putem calcula alte valori ale funciei gamma:

nn

nnnnnn

22!)!2(

)21

(21

)......23

)(21

()21

()21

()21

(

Relaia )()1( zzz se poate scrie sub forma )1(1)( zz

z i se poate utiliza la

calculul valorilor funciei gamma pentru valori negative ale argumentului:

)

21

)....(23

)(21

(

)21

(....

)23

)(21

(

)25

(

21

)23

()

21

(

nnnn

n

n

nn

)!2(!2

)1()21

(2

nn

nn

n

O alt proprietate important este dat de

z

zz

sin)1()(

Care se numete formula complementelor.

Funcia beta

Definiie. Se numete funcie beta sau funcia lui Euler de prima spea,

integrala:

dtttqpB qp 11

0

1 )1(),( , Re p >

matematici speciale

Documents