matematica facultate anul i

Complemente de analiz matematic

Matematici aplicate in economie

1

Funcii reale de mai multe variabile reale

.1.Funcii reale de mai multe variabile reale

Structura topologic a spaiului Rn

Fie X . Se numete distan (metric) pe X, o funcie d:XXR, cu proprietile: 1. x,yX d(x,y) 0 i d(x,y)=0 x=y ; 2. x,yX d(x,y) = d(y,x) ; 3. x,y,zX d(x,z) d(x,y) + d(y,z). Perechea (X,d), cu X i d metric pe X se numete spaiu metric.

Pe aceeai mulimea X se pot defini diverse metrice, deci mai multe structuri de spaiu metric.

Fie (X,d) un spaiu metric, x0X i numrul real, oarecare, r>0. Mulimea Br(x0)= { xX | d(x,x0)< r }

se numete bil deschis cu centrul x0 i raz r. Se numete bil nchis cu centrul n x0 i raz r, mulimea notat Br[x0] i definit

prin:

Br[x0] = { xX | d(x,x0) r }. n Rn distana dintre dou puncte x=(x1,x2,,xn) i y=(y1,y2,..,yn) se poate defini ca fiind

numrul real d(x,y) = =

ni

ii yx1

2)( . Aceasta se numete distana euclidian dintre cele dou

puncte. Se poate verifica uor c d este o metric pe Rn. Pentru n=1 distana euclidian este

d(x,y)= yx , iar pentru n=2, d(x,y)= 222211 )()( yxyx + . Fie (X,d) spaiu metric i x0X.Se numete vecintate a lui x0, orice submulime VX,

pentru care exist r >0, astfel nct Br(x0) V. Definiia 1.6. O submulime DX se numete deschis dac x0D, r > 0 astfel nct

BBr(x0) D ( D este vecintate pentru fiecare punct al su). Pentru Rn, cu n=1, o bil deschis cu centrul n x0R este un interval deschis simetric

fa de x0, de forma (x0-r, x0+r) ; o bil nchis este intervalul nchis [x0-r, x0+r].

Pentru n=2, bila deschis este un disc circular cu centrul n x0 i raza r, iar bila nchis

conine i circumferina mpreun cu discul.

Pentru n=3, bila deschis cu centrul n x0R i raz r este interiorul sferei cu centrul n x0 i raz r, bila nchis este format din sfer i interiorul ei.



2

Fie (X,d) spaiu metric i AX. Un punct xA se numete punct interior mulimii A, dac r >0 astfel nct Br(x) A. Toate punctele interioare mulimii A formeaz interiorul lui A , care se noteaz .

oA

Fie (X,d) spaiu metric i AX. Un punct xX se numete punct aderent mulimii A, dac r >0 Br(x) A . Toate punctele aderente mulimii A formeaz nchiderea lui A, notat A .

Mulimea notat AA= \ se numete frontiera ( bordul) lui A. oAUn punct xX, aderent mulimii A, cu proprietatea

r >0 Br(x)\{x} A se numete punct de acumulare al lui A. Mulimea punctelor de acumulare pentru A se noteaz A i se numete mulimea derivat a lui A.

O submulime A a spaiului metric (X,d) se numete mrginit dac r >0 i x0X, astfel nct A Br(x0). O clas important de spaii metrice sunt spaiile vectoriale normate.

Fie X/K spaiu vectorial. Funcia :XR, cu proprietile: 1. 0x , xX i 0=x x=V ; 2. xx = K, xX ; 3. yxyx ++ , x,yX. se numete norm pe X.

Un spaiu vectorial X impreun cu o norm definit pe X se numete spaiu normat. Un spaiu vectorial normat este un spaiu metric cu distana indus de norma sa astfel:

d(x,y)= yx , x,yX.

Dac X= Rn, n1, =

= ni

ixx1

2 , x=(x1,x2,,xn)Rn ; iar pentru n=1, xx = , xR; astfel Rn

este un spaiu vectorial normat.

O funcie f:ARnR, care asociaz fiecrui vector x=(x1,x2,,xn)Rn numrul real f(x1,x2,,xn) se numete funcie real de n variabile reale.



3

Exemple.

1.f:RnR , f(x1,x2,,xn)=a1x1+a2x2++anxn, cu a1,a2,.., anR se numete funcie liniar de n variabile reale sau funcional liniar.

2.f:AR2R , f(x,y)=11

yx este o funcie real de dou variabile reale. Mulimea maxim

de definiie este A= R2 \ {(x,y)R2| y 1}. 3.Funcia Cobb-Douglas f:DR2R,f(x,y)=Axby1-b definit pe D={(x,y)R2| x>0,y>0} cu

constantele A>0, b(0,1).Ea reprezint legtura dintre doi factori de producie x i y i volumul eficienei produciei f(x,y) pentru diferite valori ale acestor factori. De obicei, x reprezint suma

de bani cheltuit pentru fora de munc, iar y este suma de bani cheltuit pentru mijloace fixe

(cldiri, utilaje i mijloace de producie). Funcia f msoar produsul final i de aceea se

numete funcie de producie.

Limite i continuitate pentru funciile reale

Fie funcia real de n variabile reale f:ARnR i fie a un punct de acumulare pentru A. Numrul lR se numete limita funciei f n punctul aRn i se noteaz l= , )(lim xf

ax

dac pentru orice vecintate U a lui l exist o vecintate V a punctului a astfel nct xV \{a} A , f(x)U.

Fie funcia f:ARnR, aA un punct de acumulare pentru A i lR. Urmtoarele afirmaii sunt echivalente:

1. Numrul l este limita funciei f n punctul a ;

2. Pentru >0 , >0, astfel nct xA, xa cu proprietatea ax



4

Continuitatea funciilor reale

Fie funcia f:ARnR, i fie a A. Funcia f se numete continu n punctul a A, dac pentru orice vecintate U a punctului f(a), exist o vecintate a punctului aA, astfel nct pentru orice x VA , f(x)U.

Funcia f:ARnR se numete continu pe mulimea A dac este continu n orice punct al mulimii A.

Un punct xA, n care funcia f nu este continu se numete punct de discontinuitate al funciei f.

Fie funcia f:ARnR i a A.Urmtoarele afirmaii sunt echivalente: 1. Funcia f este continu n a A; 2. Pentru >0, >0, astfel nct xA, xa cu proprietatea ax



5

Fie I,J R, intervale de numere reale, f:IJ, g:JR. Dac f este derivabil n x0 i g este derivabil n y0=f(x0)J,atunci gf:IR este derivabil n x0 i

(go f)(x0)=g(f(x0)) f(x0).

Fie f:DRR. Un punct x0D se numete punct de minim (respectiv de maxim) local pentru f, dac exista o vecinatate a lui x0, VV(x0), astfel nct f(x) f(x0) (respectiv f(x) f(x0)) xDV.

Un punct x0D se numete punct de extrem local, dac este punct de minim local sau maxim local.

Teorema lui Fermat

Fie f:I RR, I interval. Dac x0 este punct de extrem local pentru f i f este oI

derivabil n x0 atunci f(x0)=0.

Fie f:I RR, I interval. Un punct x0 , n care f este derivabil i f(xoI 0)=0 se numete

punct critic (sau staionar) pentru f. Reciproca teoremei lui Fermat nu este n general adevrat.

Fie f:I RR, I interval, f continu pe I, x0I astfel nct f este derivabil pe I \ {x0} i i este finit. Atunci f este derivabil n x)('lim

0

xfxx 0 i

f(x0) = . )('lim0

xfxx

Derivate de ordin superior ale funciilor reale de o variabil real

Fie funcia f:I RR , I este un interval deschis, f derivabil pe I i x0I. Dac f este funcie derivabil ntr-o vecintate VV(x0) i funcia derivat f este derivabil n x0, atunci derivata funciei f n punctul x0 se numete derivata de ordinul doi a funciei f n x0 i se noteaz:

f (x0) = 22

dxfd (x0) (1)

Recursiv, se obine derivata de ordinul n2 : dac exist funcia derivat de ordinul n1 a funciei f ntr-o vecintate VV(x0), notat f(n1), i este derivabil n x0, atunci derivata sa n x0 se numete derivata de ordin n a funciei f n punctul x0 i se noteaz



6

f (n)(x0) = [f (n 1)] (x0) = )(xdx

fddxd

01-n

1-n

= nn

dxfd (x0) (2)

Fie f,g :I RR, dou funcii reale. Dac f i g sunt funcii derivabile de ordinul n N* n x0 I i , R, atunci:

i) funcia f + g:I RR este derivabil de ordinul n n x0 i are loc egalitatea: (f + g)(n)(x0) = f (n)(x0) + g (n)(x0) (3)

ii) funcia fg:I RR este derivabil de ordinul n n x0 i (fg)(n)(x0)= (4)

=n

k

kknkn xgxfC

00

)(0

)( )()(

Dac f :I R R este derivabil pn la ordinul n+1 pe I, iar aI este un punct pentru care:

f '(a) = f "(a) == f (n-1)(a) = 0 i f (n)(a) 0 (5) i)dac n este par a este punct de extrem local pentru f i anume:

a)dac f (n)(a) > 0 a este punct de minim local pentru f; b)dac f (n)(a) < 0 a este punct de maxim local pentru f;

ii)dac n este impar atunci a nu este punct de extrem local pentru f.

Derivate pariale de ordinul I ale funciilor reale de mai multe variabile

Fie f : D Rk R, k 2, x0 = ( , , , ) D un punct fixat n D i x = (x01x 02x 0kx 1, x2, , xk)D un punct curent. Pentru k 2, noiunea de derivat nu mai poate fi introdus ca n cazul k = 1. Derivatele funciilor reale de mai multe variabile reale (derivatele pariale) se introduc cu

ajutorul derivatei dup direcia unui versor.

Fie s = (s1, s2, , sk) Rk cu ||s|| = 1. Construim o funcie g : R R g(t) = f(x0 + ts) = f(x10 + ts1, x20 + ts2, , xk0 + tsk), t R, astfel nct x0 + ts D i s Rk. (6) Deoarece, D Rk i x0 Rk rezult c r > 0 astfel nct Br(x0) D i pentru acest r > 0 funcia g din (6) este bine definit pe intervalul ( r, r)

g: ( r, r) R, g(t) = f(x0+ts), () t ( r, r). Funcia f :D Rk R se numete derivabil n x0D, dup direcia versorului sRk,

dac funcia g : ( r, r) R, g(t) = f(x0 + ts), t ( r, r) este derivabil n t = 0, iar numrul

g (0) = tg(0)g(t)lim

0

t = )(xds

dft

)f(xts)f(xlim 0not00

0=+t (7)

se numete derivata funciei f n punctul x0 dup direcia versorului s.



7

Dac notm x = x0 + tsD, t ( r, r), x0 D, s Rk vectorul curent, atunci t 0 x x0 i (10) devine:

t

)f(xf(x)lim)(xdsdf 0

xxxx

0

00

= , x x

0 = ts. (8)

Fie D Rk, x0D. Funcia f :D Rk R se numete derivabil parial n punctul x0 D n raport cu variabila xi, i = k1, , dac f este derivabil n punctul x0 D dup direcia versorului unitar ei = R

i)0,..,0,1,0,...,0,0( k .

n acest caz, numrul notat:

ixf

(x0) = (x'

ixf0) =

idedf (x0), i = k1,

se numete derivata parial a funciei f n punctul x0, n raport xi, i = k1, .

Rezulta: ix

f (x0) =

idedf (x0) =

t)f(xt)ef(xlim

0i

0

0

+t =

t

) x.., ,f(x) x..., , xt, x.., ,f(xlim0k

01

0k

01i

0i

01

0

+ +t

i dac notm xi = xi0 + t, i = k1, , daca t 0 xi xi0, i = k1, i deci:

ix

f (x0) = 0

ii

0k

01

0k

01ii

01-i

02

01

x-x) x..., ,f(x) x,..., x, x, x..., ,x,f(xlim

0

+ ii xx

= (x'ix

f 0), i = k1, (9)

Funcia f : D Rk R derivabil parial n raport cu variabila xi n fiecare punct din mulimea D se numeste derivabil parial n raport cu variabila xi, i = k1, pe mulimea D.

Funcia f se numeste derivabil parial n x0D, dac este derivabil parial n raport cu toate variabilele sale n punctul x0.

Dac pentru fiecare i = k1, , considerm funciile pariale fi : xi a f(x1, , xk), n care sunt fixate

componentele x1, , xi-1, xi+1,, xk ale vectorului x=(x1,,xi,, xk)D, atunci definiia derivatei pariale a funciei f n raport cu componenta xi, i = k1, , este aceeai cu definiia derivatei funciei

pariale fi, funcie real de variabil real xi .

Pe baza aceste observaii, regulile de derivare de la funcii de variabil real se

aplica i pentru derivatele pariale ale funciilor de mai multe variabile reale, cu

meniunea c, pentru acestea din urm, atunci cand se calculeaza derivata partiala in

raport cu variabila xi aceste reguli se aplica pentru aceasta variabila xi si se consider

constante celelalte k1 variabile.



8

Funcia f : D Rk R, k 2, se numeste derivabil parial (de ordinul I) pe mulimea D dac este derivabil parial n fiecare punct din D (n raport cu toate componentele vectorului x

= (x1, , xk) D). Aceasta nseamn c ()x = (x1, , xk) D i () i = k1, , exista derivatele partiale de

ordinul intai ix

f (x), i = k1, .

Se pot construi k funcii, notate ix

f : D R, i = k1, , prin x a

ixf

(x), x D, numite funciile

derivate pariale de ordinul I ale funciei f .

Dac D Rk, k 2, atunci f:D R se numete de clas C1 pe mulimea D (se noteaz fC1(D)), dac f este derivabil parial pe mulimea D i toate funciile derivate pariale (de ordinul I),

1xf

,,

kxf

:DR, sunt functii continue pe D.

Exemplu. S se calculeze derivatele pariale de ordinul I ale funciei

f(x,y)=2

ln2 yx

yx ++ .

Derivatele pariale de ordinul I sunt:

yxx

yyx

xf

++=

2

21),( ; 212),( 22 yxy

xyxyf

++= =

yxyx

++ 221 .

Difereniala de ordinul I a unei funcii reale

Funcia f : DRk R se numete difereniabil n x0D dac exist A=(A1,A2,,Ak)Rk i o funcie h:DR cu proprietatea c: , astfel nct: 0)h(xh(x)lim 0

xx 0==

f(x) f(x0) = + ||x x0|| h(x), x D. (20) Funcia f se numete difereniabil pe mulimea D dac este difereniabil n fiecare

punct din mulimea D.

Dac f : DRk R este difereniabli n x0 DRk, atunci forma liniar = A1 (x1 x10) + A1 (x2 x20) + + Ak (xk xk0) (21)

se numete difereniala funciei f n x0 i se noteaz: df(x0) = = A1 (x1 x10) + A1 (x2 x20) + + Ak (xk xk0). (22)

Se poate demonstra c difereniala unei funcii ntr-un punct x0D este unic i depinde numai de punct i de funcie.



9

Dac f : DRk R este difereniabil n x0 D, atunci: I) f este continu n x0;

II) f este derivabil parial n x0 .

Dac f :DRk R este difereniabil pe mulimea D, atunci f este derivabil parial pe mulimea D.

Fie f :DRk R, x0D. Dac f este derivabil parial pe o vecintate VV(x0), V D i toate funciile derivate pariale (de ordinul I)

1xf

,

kxf

sunt continue n x0 D, atunci f este

difereniabil n x0 D. Orice funcie elementar este difereniabil pe orice deschis din mulimea ei de definiie.

Difereniala funciei f este forma liniar

df(x0)(h) = ( )(x

0

1

xf h1+ )(x

0

2

xf h2 + + )(x

0

k

xf hk, h=( h1, h2,,hn)Rk.

Orice aplicaie liniar L:RkR este difereniabil pe Rk i pentru x0Rk, dL(x0)=L. n particular, proieciile pri: RkR, (x1,x2,..,xk)xi ,1 i n, sunt difereniabile i d pri (x0)= pri, x0Rk. Vom nota diferenialele acestor proiecii cu dxi , 1 i n. Fie f:DRk R, o funcie difereniabil pe mulimea deschis D. Pentru orice punct x0D

are loc egalitatea

df(x0) = )(x

0

1

xf dx1 + )(x

0

2

xf dx2 + + )(x

0

k

xf dxk. (23)

Dac interpretm, n mod formal, funcia derivat parial, ix

f ,( i= k1, ) ca un produs

ntre ix

i f, atunci formula (23) a diferenialei funciei f n x0 se scrie:

df(x0) = (1x

dx1 + 2x

dx2 + + kx dxk)f(x0). (24)

Exemplu. S se stabileasc expresia diferenialei de ordinul I a funciei f definit prin

f(x,y)=ln(x2+y2), (x,y)(0,0) ntr-un punct oarecare din domeniul de definiie i n punctul x0=(1,2).

222),(

yxxyx

xf

+= ; 222),( yx

yyxyf

+= ;

df(x,y)= dxyx

x22

2+ + dyyx

y22

2+ ; iar df(1,2)= dx5

2 + dy54 .



10

Derivate pariale i difereniale de ordin superior ale funciilor

Fie f :DRk R, k 2. Presupunem c f este derivabil parial pe mulimea D si exist

ixf

: D R, funciile derivate pariale de ordinul I ale funciei f n raport cu toate componenetele

xi, n fiecare x = (x1, , xk)D. Dac toate funciile derivate pariale de ordinul I ale funciei f,

1xf

, ,

kxf

sunt funcii

derivabile parial pe mulimea D, atunci funciile derivate pariale ale acestora se numesc

derivatele pariale de ordinul doi ale funciei f pe D i se noteaz:

"x2

i

2

2i

fx

f = =

ii xf

x i = k1, , numite funciile derivate pariale de ordinul doi n raport cu

xi de dou ori;

"x

ji

2

if

xxf

jx=

=

ij xf

x ; " xx

ij

2

ijf

xxf =

=

ji xf

x , i, j = k1, , i j, numite derivatele pariale

de ordinul doi mixte ale funciei f n raport cu xi, xj i respectiv xj, xi.

Recursiv, se definesc derivatele pariale de ordinul n2 ale funciei f, ca fiind derivatele pariale de ordinul I ale funciilor derivate pariale de ordinul n 1.

Teorema lui Schwartz

Fie f :DRnR o functie de clasa C2(D) ( fC1(D) si toate derivatele partiale de ordinul intai sunt de clasa C1(D)). Atunci

= )(

xxf

ji

2

a )(xxf

ij

2

a , aD, nji ,1, = .

Exemplu.S se calculeze derivatele pariale de ordinul al doilea ale funciei

f(x.y)=3x2y + 52y

x , (x,y)R2, y0, i s se verifice teorema lui Scwartz.

256),(y

xyyxxf += ; 32 103),( y

xxyxyf = .

Calculm derivatele de ordinul al doilea:

=

),(),(22

yxxf

xyx

xf =6y ;

=

),(),(2

yxxf

yyx

yxf =6x -

310y

;



11

=

),(),(22

yxyf

yyx

yf =

430y

x ;

=

),(),(2

yxyf

xyx

xyf =6x -

310y

.

Fie f:DRnR , derivabil partial de dou ori n punctul x0D. Matricea

H(x0)=njiji

xxxf

,1,

02

)(=

Mn(R) se numete matricea hessian a funciei f n punctul x0.

Exemplu. S se scrie Hessiana funciei f:DR2R, f(x,y)=lnyx n punctul x0=(2,1).

Vom calcula derivatele pariale de ordinul I i II ale acestei funcii.

xyxyyx

xf 11),( == ;

=

2),( y

xxyyx

yf =

y1 ;

21)1,2( =

xf ; )1,2(

yf = -1

=

),(),(22

yxxf

xyx

xf =

21

x ;

=

),(),(2

yxxf

yyx

yxf = 0;

=

),(),(22

yxyf

yyx

yf =

21

y; = )1,2(2

2

xf

41 ; =

)1,2(2

yxf 0; =

)1,2(22

yf 1.

Hessiana n x0 este H(x0)=

)1,2()1,2(

)1,2()1,2(

2

22

2

2

2

yf

xyf

yxf

xf

=

10

041

.

Funcia f :DRk R se numete difereniabil de ordinul n2 n x0D dac toate funciile derivate pariale de ordinul n1 exist ntr-o vecintate VV(x0) i acestea sunt difereniabile n x0.

Dac f :DRk R este difereniabil de ordinul n n x0 D, atunci derivatele pariale de ordinul n n x0 exist i ordinea de derivare pn la ordinul n n x0 este indiferent.

Dac f:DRk R este derivabil parial de ordinul n ntr-o vecintate VV(x0) i toate funciile derivate pariale de ordinul n sunt continue n x0, atunci f este difereniabil de ordinul n

n x0.

Difereniala de ordinul n a funciei f :DR2 R se definete recursiv prin egalitatea:

dnf(x0, y0) = d(dn 1(f))(x0, y0) = (n)

dyy

dxx

+

f(x0, y0)

unde(n)

dyy

dxx

+

reprezint puterea simbolic a n-a pentru operatorul de difereniere.



12

Exemplu. d2f(x0,y0)=(2)

dyy

dxx

+

f(x0,y0)=

= 20022

00

2

00

22

002

2

),(),(),(),( dyyxy

fdxdyyxxyfyx

yxfdxyx

xf

+

+

+ .

n general, dac f : DRk R, k 2, este difereniabil de ordinul n n x0D, atunci difereniala de ordinul n a funciei f n x0 se definete prin :

dnf(x0)=(n)

kk

22

11

dxx

...dxx

dxx

++

+ f(x ) =0 )( 0

)(

1xfdx

x

n

i

k

i i

=.

Formula lui Taylor pentru funcii de dou variabile

Fie f:DR2R i (a,b) un punct interior din D. Presupunem c f este de n ori difereniabil n punctul (a,b), deci exist toate derivatele de ordin n n (a,b) i sunt continue.

Polinomul :

Tn(x,y)=f(a,b)+ ),()()(!11 bafbx

yax

x

+

+ + ),()()(!2

1)2(

bafbxy

axx

+ +

+..+ ),()()(!

1)(

bafbxy

axxn

n

+

se numete polinomul Taylor de gradul n ataat funciei f n (a,b). Rn(x,y)= f(x,y)Tn(x,y) se numete restul de ordinul n al formulei lui Taylor.

Restul Rn(x) estimeaz eroarea aproximrii funciei f(x,y) prin polinomul lui Taylor de

ordin n, Tn(x,y).

Dac funcia f:DR2R este difereniabil de n+1 ori ntr-o vecintate a punctului interior (a,b)D, atunci pentru orice punct (x,y) din aceast vecintate exist un punct (,) situat pe segmentul cu capetele (x,y) i (a,b), astfel nct:

Rn(x,y)= fbxyax

xn

n )1(

)()()!1(

1+

+

+ (,).

Formula lui Taylor de ordinul n corespunztoare lui f se va scrie:

f(x,y)=f(a,b)+=

+n

k

k

bafbyy

axxk1

)(

),()()(!

1 +

+ fbyy

axxn

n )1(

)()()!1(

1+

+

+ (,).



13

Fie f:DR2R o funcie care are derivate pariale de ordinul al doilea ntr-o vecintate a punctului (a,b). Atunci exist o funcie (x,y) continu n (a,b) i 0),(lim),(

),(),(== yxba bayx

astfel nct:

R2(x,y)= [ ]22 )()(),(!21 byaxyx + . .3.Extremele funciilor reale de mai multe variabile reale Multe dintre problemele care apar n practic sunt legate de determinarea valorilor extreme ale unei funcii real ce depinde de mai multe variabile. De exemplu, o funcie poate

reprezenta volumul produciei, care depinde de mai multe variabile reale; este bine s

cunoatem pentru ce valori ale variabilelor volumul produciei este maxim.Valorile maxime sau

minime ale unei funcii se numesc extremele funciei. Am definit mai sus, noiunea de punct de

minim i respectiv maxim local.

Fie f:DR2R i x0=(a,b)D. Teorema (Condiiile necesare pentru existena unui extrem) Dac funcia f admite derivate pariale de ordinul nti ntr-o vecintate a punctului x0 i

x0 este punct de extrem local pentru funcia f, atunci derivatele pariale ale lui f sunt nule n

acest punct, adic:

0),( = baxf , 0),( =

bayf .

Punctele determinate de soluiile reale ale sistemului de ecuaii 0),( = yxxf ,

0),( = yxyf se numesc puncte critice sau staionare.

Teorema ( Condiia suficient de extrem)

Funcia f: DR2R, care admite derivate pariale de ordinul al doilea pe D, are un punct de extrem local n punctul staionar (a,b)D, dac:

),(),(),( 22

2

222

bay

fbaxfba

yxf

< 0.

Punctul (a,b) este punct de maxim local dac ),(22

baxf

< 0 i este punct de minim local al

funciei f dac ),(22

baxf

> 0.



14

Notm cu a11= ),(22

baxf

, a12= ),(

2

bayxf

i a22 ),(22

bay

f= i putem scrie Hessiana lui f in

acest punct Hf(x0) .

=

2221

1211

aaaa

Rezult c punctul staionar (a,b) este punct de minim local pentru f dac

determinanii 1=|a11| > 0 i 22221

1211

aaaa= >0 i

este punct de maxim local dac 1< 0 i 2>0. Exemplu. S se determine punctele de extrem local ale funciei:

f(x,y)=3x3+y2-9x2-27x+2.

Vom determina mai nti punctele staionare ale lui f, rezolvnd sistemul de ecuaii:

0),(

0),(

=

=

yxyf

yxxf

. 02

027189 2

==

yxx

Exist dou puncte staionare M1(-1,0) i M2(3,0). Pentru a vedea care dintre ele este punct de

extrem local pentru f, va trebui s calculm derivatele de ordinul al doilea ale lui f.

1818),(22

= xyxx

f ; 0),(2

= yx

yxf ; 2),(2

2

= yxy

f care sunt funcii continue pe R2.

n punctul M1(-1,0) : 72)0,1()0,1()0,1( 22

2

222

=

yf

xf

yxf >0, deci nu este extrem.

n punctul M2(3,0): =

)0,3()0,3()0,3( 2

2

2

222

yf

xf

yxf -720, deci M2 este

punct de minim local al funciei f. Valoarea minim a funciei f este f(3,0)= -79.

Fie funcia f:DRnR de n variabile reale, n>2. Un punct staionar pentru funcia f este o soluie a sistemului de n ecuaii cu n necunoscute:

0),..,,( 211

=

nxxxxf ; 0),..,,( 21

2

=

nxxxxf ;; 0),..,,( 21 =

n

n

xxxxf .

Vom considera a=(a1,a2,,an)A un punct staionar al lui f. Presupunem c f admite derivate pariale de ordinul doi continue ntr-o vecintate a acestui punct i le vom nota cu

aij )(2

axxf

ij= , i,j n,1= .



15

Hessiana lui f n punctul a este matricea H=(aij) nji ,1, = , ale crei elemente sunt definite mai sus.

Notm determinanii principali ai matricei H cu ; n,...,, 21

1=|a11| i 22221

1211

aaaa= ,, n=det H.

Dac 1>0, 2>0,, n>0 atunci a este un punct de minim local pentru funcia f;

dac 10, 3 0}; f) f(x,y,z)=

zxy +zln(x+y), definit pe mulimea A={(x,y,z)R3|x+y> 0, zR}.

3. S se afle extremele funciilor: f:DR a) f(x,y)=xy2ex-y ; b) f(x,y)=xy(x+y-3) ;

c) f(x,y)=xy+ 32050 +yx

;



16

d) f(x,y)=xy ln(x2+y2) ; e) f(x,y,z)=x3+y2+z2+12xy+2z ;

f) f(x,y,z)=x+zy

zx

y 24

22++ .

4. Folosind formula lui Taylor pentru funcia f:DR2R f(x,y)=xy n jurul punctului (1,1) s se aproximeze printr-un numr cu 3 zecimale.

.2.Derivabilitatea funciilor reale Derivate pariale de ordinul I ale funciilor reale de mai multe variabile Difereniala de ordinul I a unei funcii realeFie f:D(Rk (R, o funcie difereniabil pe mulimea deschis D. Pentru orice punct x0(D are loc egalitatea

matematica facultate anul i

Documents