1

INTRODUCERE N TEORIA PROBABILITILOR

Teoria probabilitilor pune la dispoziia cercettorului din orice domeniu un punct de

vedere probabilistic asupra fenomenelor naturale, este vorba de a aprecia desfurarea posibil a

unor evenimente, pe baza unor experiene anterioare sau pe baza unor date empirice.

Un experiment (sau experien) este o activitate cu rezultate observabile. Rezultatele

observabile se numesc evenimente legate de experimentul respectiv. Orice rezultat al unui

experiment se numete eveniment elementar (simplu).

Notm cu mulimea tuturor evenimentelor elementare realizabile ntr-o anumit experien. se

numete evenimentul sigur, iar evenimentul care nu se poate produce la efectuarea unei experiene

se numete evenimentul imposibil i se noteaz .

Operaii cu evenimente. Pe mulimea tuturor evenimentelor corespunztoare unei

experiene se definesc trei operaii logice : sau, i, non.

a) Fie A,B dou evenimente. Vom numi reuniunea lor i vom nota AB evenimentul A

sau B care se produce atunci cnd :

- apare numai A;

- apare numai B;

- apar simultan A i B.

b) A i B este evenimentul care se realizeaz atunci cnd se realizeaz att A ct i B. Se

noteaz prin AB.

c) Pentru orice eveniment A, exist evenimentul non A care apare dac i numai dac nu

apare A. El se noteaz A sau non A sau cA .

Proprieti ale operaiilor cu evenimente

1. c=, c= ; A A , A A ;

2. AB = BA ; AB = BA;

3. A(BC)=(AB)C; A(BC)=(AB)C;

4. A=A; A=;

5. A=; A=A;

6. AA=A; AA=A;

7. BABA ; BABA ( legile lui de Morgan)

8. B(AC)=(BA)(BC); B(AC)=(BA)(BC).

Dou evenimente A i B care nu pot avea loc simultan se numesc incompatibile, deci A i

B este evenimentul imposibil: AB=.

2

Dac AB , A i B se numesc compatibile.

Evenimentele elementare sunt incompatibile.

Evenimentele {A1,A2,, An} spunem c formeaz un sistem complet de evenimente dac :

- sunt incompatibile dou cte dou, adic Ai Aj= pentru i,j= n,1 ,ij;

- A1A2An=.

Cel mai simplu sistem complet de evenimente este {A, A }.

O alt operaie cu evenimente este diferena lor , A\ B. Prin definiie, A\ B= AB .

Vom spune c A implic B, dac realizarea lui A atrage dup sine realizarea lui B. Vom

nota AB.

Cmp de evenimente. Fie mulimea evenimentelor elementare realizate ntr-o anumit

experien, P() mulimea prilor lui i KP() o mulime de evenimente aleatoare rezultate

din experiena respectiv.

O mulime K de pri a lui , nevid, se numete corp de evenimente dac ndeplinete

axiomele:

k1) oricare ar fi evenimentul AK A K;

k2) oricare ar fi A i B K BA K.

Dac K este un corp de evenimente ale lui , atunci sunt adevrate urmtoarele proprieti:

a) K, K;

b) Dac A1,A2,,AnK atunci n

iiA

1K i

n

iiA

1K;

c) Dac A,BK, atunci A \ BK. Se numete corp borelian de evenimente (dup matematicianul francez Emile Borel) o

mulime KP() infinit, cu proprietile :

i) AK AK;

ii) oricare ar fi evenimentele A1,A2,..,An,K evenimentul

1iiA K.

Corpul borelian este un corp de evenimente.Reciproca nu este adevrat. n plus, dac

A1,A2,..An,K, atunci

1iiA K.

Se numete cmp finit de evenimente o mulime finit de evenimente , pe care s-a

definit un corp de evenimente K. Se noteaz {,K}.

Dac nu este finit, iar K este un corp borelian, atunci {,K} se numete cmp borelian

de evenimente.

3

Vom considera c este format dintr-un numr finit de evenimente egal posibile, pe care l

vom nota n(). Fie A un eveniment din i n(A) numrul de evenimente elementare care sunt

favorabile apariiei lui A.

Vom numi probabilitatea evenimentului A i vom nota cu P(A), raportul dintre n(A) i

n(), adic :

P(A) =posibileevennr

Aluirealizariifavorabileelementareevennr..

.. . (1)

Se numete frecven absolut a evenimentului A, numrul de apariii al evenimentului A

ntr-un numr oarecare de probe efectuate. Frecvena relativ a evenimentului A este raportul

dintre numrul m de apariii ale evenimentului A i numrul total de probe efectuate. Frecvena

relativ se va nota: fn= nm . (2)

Fie {,K} cmp de evenimente. Se numete probabilitate pe cmpul de evenimente {,K}

o funcie P :K R, care verific axiomele :

P1) P(A) 0, AK;

P2) P()=1;

P3) P(AB)=P(A)+P(B), dac AB= ( adic A i B sunt evenimente incompatibile ).

Dac A i B sunt evenimente din K, atunci:

1) P( A )=1 - P(A);

2) P()=0;

3) Dac AB ( A implic B) , atunci P(A) P(B);

4) Pentru orice eveniment AK, 0 P(A) 1;

5) P(B \ A)=P(B) P(AB);

6) Dac AB, atunci P(B \ A) = P(B) P(A);

7) P(AB)=P(A)+P(B) P(AB);

8)

n

kk

n

kk APAP

11)( , pentru evenimentele A1,A2,..,An incompatibile dou cte dou.

Un cmp de evenimente {,K} nzestrat cu o probabilitate P se numete cmp de

probabilitate. Se noteaz {,K,P}.

Fie {,K} un cmp borelian. Se numete probabilitate complet aditiv pe cmpul {,K}

o funcie P:KR cu proprietile:

1) P(A) 0 , AK;

2) P()=1;

4

3) ,)(11

kk

kk APAP pentru orice familie numrabil de evenimente, incompatibile dou

cte dou.

{,K,P} se numete cmp borelian de probabilitate, dac P este complet aditiv.

Probabilitate condiionat. Fie {,K,P} un cmp de probabilitate i A,B K, cu P(A)0.

Se numete probabilitatea evenimentului B condiionat de evenimentul A i se noteaz PA(B)

sau P(B/A) raportul :

P(B/A)=PA(B)= )()(

APBAP . (4)

Aceast condiionare implic faptul c se pot evalua consecinele apariiei evenimentului B,

tiind c A a avut deja loc. Adesea, se folosete formula :

P(AB)=P(A)PA(B). (5)

Evenimente independente

Dou evenimente A i B pentru care

P(AB)=P(A)P(B) (6)

se numesc evenimente independente.

Dac dou evenimente sunt independente i incompatibile atunci

P(AB)=P(A)P(B) i P(AB)=P()=0 P(A)=0 sau P(B)=0.

Evenimentele A1,A2,,An se numesc independente n totalitatea lor, dac pentru orice

numr s cuprins ntre 0 i n i orice indici k1,k2,,ks cu 1 k1 k2ksn este ndeplinit

condiia:

P( 21 kk

AA sk

A )=P( )()21 kk

APA P(sk

A ).

Formula de calcul a probabilitii evenimentului 21 AA nA , cu ,, 21 AA , nA

evenimente independente n totalitatea lor este

P( 21 AA nA )=P( )() 21 APA P( nA ). (7)

Fie A1,A2,,An evenimente. Presupunem c P( 21 AA nA ) 0. Atunci are loc

urmtoarea egalitate:

P( 21 AA nA )=P(A1)1A

P (A2) 21 AAP (A3) 121 ... nAAAP ( nA ). (8)

Tot pentru probabilitatea realizrii simultane a n evenimente a fost demonstrat inegalitatea

lui Boole:

P( 21 AA nA ) )1()(1

nAPn

kk . (10)

5

Formula probabilitii totale i formula lui Bayes. Fie un sistem complet de evenimente

A1,A2,,An, adic: A1A2An= i Aj Ak =, j,k= n,1 , j k.

Presupunem c P(Ak) 0, k = n,1 . Fie un eveniment X. Atunci X se mai poate scrie :

X= X=X

n

kkA

1=

n

kkAX

1)(

.

Evenimentele XAk sunt incompatibile dou cte dou, deoarece ij, (XAi)(XAj)=

, Ai, Aj fiind incompatibile. Se obine astfel :

P(X) =

n

kkAXP

1)( .

Dar din relaia (5) fiecare termen al sumei se poate scrie P(XAk)= P(Ak) P(X/Ak) k= n,1 , cu condiia P(Ak)0.

Se obine astfel: P(X) = )/()(1

k

n

kk AXPAP

. (11)

Aceasta se numete formula probabilitii totale.

tim c dac X i B sunt dou evenimente cu probabiliti diferite de zero, atunci P(BX)=

P(X)P(B /X) = P(B)P(X /B) ; rezult:

P(B / X)=)(

)/()(XP

BXPBP . (12)

Dac {A1,A2,,An} este un sistem complet de evenimente, n locul evenimentului B n (12)

putem lua unul din evenimentele sistemului, fie Ak i vom obine formula:

P(Ak /X)= )()/()(

XPAXPAP kk =

)/()(

)/()(

1i

n

ii

kk

AXPAP

AXPAP

. (13)

Aceast formul se numete formula lui Bayes, dup numele omului de tiin englez care a

trit n secolul al XVIII-lea.

Fie A1,A2,,An, n evenimente compatibile. Probabilitatea producerii a cel puin unui eveniment este dat de formula :

P( 21 AA nA ) =

n

iiAP

1)( -

n

jiji

ji AAP1,

)( +

n

kjikji

kji AAAP1,,

)( -.+

+ ).....()1( 211

nn AAAP . (14)

Aceasta se numete formula lui Poincare.

Pentru n=2, formula lui Poincare devine

P(A1A2)=P(A1)+P(A2) P(A1A2).

6

VARIABILE ALEATOARE

n multe situaii este potrivit s asociem evenimentelor unui experiment valori numerice. De

exemplu, dac experimentul const n aruncarea unui zar i observarea feei care apare, este natural

s asociem numerele 1,2,3,4,5,6 respectiv evenimentelor elementare ale experimentului. Dac, X

desemneaz rezultatul experimentului, atunci X ia valorile 1,2,3,4,5 sau 6. Deoarece valorile lui X

depind de rezultatele unui experiment, ne vom referi la X ca fiind o variabil aleatoare

(ntmpltoare).

O variabil aleatoare este o funcie care asociaz un numr fiecrui eveniment al unui

experiment.

Variabilele aleatoare se pot clasifica n funcie de valorile pe care le iau n trei categorii.

1. O variabil aleatoare care are un numr finit de valori se numete discret finit;

2. O variabil aleatoare care are valori intr-o mulime numrabil de valori se numete discret

infinit;

3. O variabil aleatoare se numete continu, dac valorile pe care le poate lua conin un interval

de numere reale.

Vom da definiia axiomatic a unei variabile aleatoare.

Fie {,K,P} un cmp de probabilitate i X:R o funcie.

Funcia X:R se numete variabil aleatoare dac :

xR, evenimentul Ax={ X() x} aparine lui K.

Condiia AxK implic faptul c putem asocia o probabilitate evenimentului Ax,

P(Ax)=P({ X() x}).

X() se numete valoarea variabilei aleatoare, iar evenimentul { X() x} se mai

noteaz {Xx} i este egal cu reuniunea tuturor evenimentelor , pentru care X() x.

Fie {,K,P} un cmp de probabilitate i X:R o variabil aleatoare. Atunci

evenimentele (X x), (X x) , (X x), (X = x), (a X b), (a X b), (a X b), (a X b)

aparin cmpului K.

Dac variabila aleatoare X este discret finit, are un numr finit de valori, fie acestea

x1,x2,..,xn, atunci X verific urmtoarele dou condiii:

- poate lua numai valorile x1,x2,..,xn;

- probabilitile evenimentelor (X=xj) , j= n,1 , pe care le notm cu p1,p2,,pn verific

p1+p2++pn=1.

O variabil aleatoare discret finit se scrie, n general, astfel:

7

X:

n

n

pppxxx

........

........

21

21 sau X:Ijj

j

px

unde x1x2..xn i p1+p2++pn=1. Am notat pj=P({ X()=xj }), j= n,1 .

Evident { X()=xj}{ X()=xk}=, pentru jk.

Aceast scriere a lui X se mai numete repartiia lui X.

Fie {,K,P} un cmp de probabilitate i X:R o variabil aleatoare. Se numete funcie

de repartiie a variabilei aleatoare X funcia F:RR, definit prin

F(x)= P({ X() x})=P(Xx), xR.

Fie X o variabil aleatoare i F funcia ei de repartiie, x1,x2R, x1 x2. Atunci au loc

urmtoarele afirmaii :

a) P(x1 X x2)= F(x2) F(x1);

b) P(x1 X x2)= F(x2) F(x1) P(X=x1);

c) P(x1 X x2)= F(x2) F(x1)+P(X=x2) P(X=x1);

d) P(x1 X x2)= F(x2) F(x1)+ P(X=x2).

1.Funcia de repartiie a unei variabile aleatoare este cresctoare.

2. 0)(lim

xFx

i 1)(lim

xFx

.

3.Funcia de repartiie este continu la stnga n orice punct xR.

Functia de repartiie a unei variabile aleatoare discret finit:

X:

n

n

pppxxx

........

........

21

21 , 11

n

jjp .

este F:RR definit prin :

F(x)=

n

jjj

xxptr

xxxptrppp

xxxptrppxxxptrp

xxptr

.1...........................................

..............................................0

121

3221

211

1

8

Operaii cu variabile aleatoare de tip discret

Se poate arta c, dac X i Y sunt variabile aleatoare i k un numr real oarecare, atunci X+k , kX ,

X1

( dac X0) , X+Y, X Y, XY , YX

(dac Y0) sunt variabile aleatoare. Acestea se definesc

astfel :

Fie X:

n

n

pppxxx

........

........

21

21 , 11

n

jjp i Y:

m

m

qqqyyy

........

........

21

21 , 11

m

jjq sau

pe scurt X:njj

j

px

,1

i Y:

mjj

j

qy

,1

.

Notm cu p ij probabilitatea ca X s ia valoarea xi i Y s ia valoarea yj, adic:

p ij=P(X=xi , Y=yj),

m

j

n

iijp

1 11.

Atunci: X+k :njj

j

pkx

,1

; X :

njj

j

px

,1

; kX:

njj

j

pkx

,1

X2:njj

j

px

,1

2

; X3:

njj

j

px

,1

3

;; Xn:

njj

nj

px

,1

;

X1 :

njj

j

px

,1

1

.

Operaiile cu dou variabile aleatoare discrete se definesc astfel:

X+Y : mjniij

ji

pyx

,1,1

; X - Y :

mjniij

ji

pyx

,1,1

; XY :

mjniij

ji

pyx

,1,1

;

YX :

mjniij

j

i

pyx

,1,1

.

Dou variabile aleatoare X i Y discrete, definite pe acelai cmp de probabilitate, se

numesc independente dac pij=P(X=xi,Y=yj)=P(X=xI)P(Y=yj), i= n,1 , j= m,1 sau pij= pi qj

Aceast definiie rezult din definiia evenimentelor independente (X=x i) i (Y=yj).

n acest caz operaiile cu variabilele X i Y independente se efectueaz astfel:

X+Y : mjniji

ji

qpyx

,1,1

; X-Y :

mjniji

ji

qpyx

,1,1

; XY :

mjniji

ji

qpyx

,1,1

;

YX :

mjniji

j

i

qpyx

,1,1

.

Variabile aleatoare bidimensionale discrete

Fie dou variabile aleatoare X1 i X2 definite pe acelai cmp de probabilitate:

X1, X2 : R.

Perechea de variabile aleatoare (X1,X2) se numete vector aleator bidimensional.

9

Dac X1 i X2 sunt variabile aleatoare discrete, cu n valori, respectiv m valori, atunci

vectorul bidimensional (X1,X2) va avea n general mn valori.

Fie x1,x2,,xn valorile lui X1 i y1,y2,,ym valorile lui X2. Pentru a scrie repartiia

vectorului bidimensional trebuie cunoscute toate probabilitile realizrii simultane a valorilor lui

X1 i X2, adic:

pij=P(X1=xI,X2=yj) i= n,1 , j= m,1 .

Repartiia vectorului aleator (X1,X2) este dat n tabelul urmtor:

cu condiia

m

j

n

iijp

1 1=1.

Variabilele aleatoare X1 i X2 care

alctuiesc vectorul aleator (X1,X2) se numesc variabile marginale. Ele au repartiiile:

X:

n

n

pppxxx

........

........

21

21 , 11

n

jjp i Y:

m

m

qqqyyy

........

........

21

21 , 11

m

jjq

unde p1=p11+p12++p1m, p2=p21+p22++p2m,, pn=pn1+pn2++pnm i

q1=p11+p21++pn1, q2=p12+p22++pn2,, qm=p1m+p2m++pnm.

Variabilele aleatoare X1 i X2 au funciile de repartiie F1 i F2 care n acest caz se numesc

funcii marginale de repartiie.

Media unei variabile aleatoare. O caracteristic numeric asociat unei variabile aleatoare

X este media (sau valoarea medie) M(X) i care se definete astfel:

pentru o variabil aleatoare discret finit X, care are repartiia

X:

n

n

pppxxx

........

........

21

21 , 11

n

jjp

M(X)= x1p1 +x2p2 ++xnpn =

n

kkk px

1.

Proprietatile mediei

a) Dac X este o variabil aleatoare constant X:

1a

, atunci M(X)=a.

b) Dac X este o variabil aleatoare i kR , atunci M(kX)=kM(X).

c) Dac X i Y sunt dou variabile aleatoare, atunci M(X+Y)=M(X)+M(Y).

d) Dac X i Y sunt variabile aleatoare, independente, atunci M(XY)=M(X)M(Y).

X2 X1

y1 y2 ym

x1 x2 .

. xn

p11 p12 p1m p21 p22 p2m . pn1 pn2 pnm

10

Momente iniiale i momente centrate ale unei variabile aleatoare

Fie X o variabil aleatoare discret finit:

X:

n

n

pppxxx

........

........

21

21 , 11

n

jjp .

Se numete moment iniial de ordin r, rN* al lui X i se noteaz Mr(X), media variabilei

Xr,

Mr(X)=M(Xr)=

n

ii

ri px

1.

Notm cu m media variabilei aleatoare X.

Variabila X -m :

n

n

pppmxmxmx

........

........

21

21 , 11

n

jjp , se numete variabila

centrat asociat lui X.

Se numete moment centrat de ordin r, rN* asociat lui X, momentul de ordin r al

variabilei aleatoare centrate, asociate lui X. Se noteaz r(X).

r(X)= Mr(X m)=M[(X m)r]=

n

ii

ri pmx

1)( .

Momentele vectorilor aleatori discrei

Fie vectorul aleator X=(X1,X2) , care are repartiia

X2 X1

y1 y2 ym x1

x2

.

.

xn

p11 p12 p1m p21 p22 p2m

.

pn1 pn2 pnm

Momentul de ordin (r,s) asociat vectorului X este dat de :

Mrs(X1,X2)=M

n

i

m

jij

sj

ri

sr pyxXX1 1

21 ),( .

Notm cu m1=M(X1) , m2=M(X2).

Momentul centrat de ordin (r,s) asociat vectorului X i notat rs(X1,X2) este:

11

rs(X1,X2)=

n

i

m

jij

si

ri pmxmx

1 1)()( .

Momentul centrat de ordin r=s=1 se numete covariana lui X i se noteaz cov(X1,X2).

Folosind proprietile mediei, covariana se poate exprima i astfel:

cov(X1,X2)= 11(X1,X2)=M[(X1-m1)(X2-m2)]=M(X1X2-m1X2-m2X1+m1m2)=

= M(X1X2)-m1 M(X2) - m2 M(X1) + m1m2 =M(X1X2) - m1m2

11(X1,X2)= cov(X1,X2)= M(X1X2) M(X1)M(X2).

Dac X1 i X2 sunt variabile aleatoare independente, atunci cov(X1,X2)=0, deoarece

M(X1X2) = M(X1)M(X2).

Dac cov(X1,X2)=0, spunem c variabilele aleatoare X1 i X2 sunt necorelate.

Se definesc momente iniiale i momente centrate de ordin (r,s) i pentru variabile continue, dar cu

ajutorul integralei duble, care nu a fost studiat n acest curs.

Dispersia unei variabile aleatoare. Abaterea medie ptratic.

Dac X este o variabil aleatoare discret sau continu, care are media m=M(X), atunci

momentul centrat de ordinul 1 este 0.

Momentul centrat de ordin doi al variabilei aleatoare X se numete dispersie. Se noteaz

D2(X) ; D2(X)=2(X)=M[(X-m)2]

Dispersia unei variabile aleatoare este mereu pozitiv sau cel puin egal cu zero. Ea arat ct de

deprtate sunt valorile variabilei aleatoare X fa de media sa.

Vom obine o formul de calcul pentru dispersie:

D2(X)=2(X)=M[(X-m)2]=M(X2-2mX+m2)=M(X2)-2mM(X)+m2=M(X2)-2m2+m2=M2(X)-(M(X))2

D2(X)= M2(X)-(M(X))2.

Proprietile dispersiei

1. Dac X =const., atunci D2(X)=0. Reciproca este adevrat.

2. Dac X este o variabil aleatoare i aR, atunci D2(aX)=a2D2(X).

3. Dac X i Y sunt dou variabile aleatoare independente, atunci

D2(X+Y)=D2(X)+D2(Y).

4. Dac X i Y sunt variabile aleatoare independente, atunci

D2(X - Y)=D2(X)+D2(Y).

5. Daca X i Y sunt variabile aleatoare oarecare se obine formula

D2(X -Y) = D2(X)+D2(Y) - 2cov(X,Y).

Se numete abaterea medie ptratic a variabilei aleatoare X i se noteaz X, sau

numrul real = )(2 XD .

12

Fie vectorul aleator (X,Y).Se numeste coeficient de corelaie asociat vectorului aleator

(X,Y) i se noteaz X,Y, numrul real :

X,Y=YX

YMXMXYM

)()()( =)()(

),cov(22 YDXD

YX

.

Proprietile coeficientului de corelaie

1. X,Y = 0 X i Y sunt variabile aleatoare necorelate.

2. Dac X i Y sunt independente atunci X,Y = 0.

3. X,Y 1, oricare ar fi variabilele aleatoare X i Y definite pe acelai cmp de evenimente.

4. X,Y = 1 implic o dependen liniar ntre X i Y.

n cazul cnd X,Y =1, spunem c X i Y sunt direct corelate, iar cnd X,Y = -1, variabilele

X i Y sunt indirect corelate, adic una crete i cealalt scade.

Inegalitatea lui Cebev

Fie X o variabil aleatoare cu media M(X) i dispersia D2(X) i un numr pozitiv.

Atunci, are loc urmtoarea inegalitate:

P )(XMX 22 )(1

XD

sau, echivalent: P )(XMX 22 )(

XD .

Aceast inegalitate se numete inegalitatea lui Cebev.

Inegalitatea lui Cebev va fi aplicat la stabilirea unor rezultate privind irurile de variabile

aleatoare i legi ale numerelor mari.

Probleme propuse

1.O societate comercial are 6 debitori. La sfritul lunii fiecare debitor poate fi sau nu

solvabil.S se exprime urmtoarele evenimente:

a) toi debitorii sunt solvabili;

b) cel puin un debitor este solvabil;

c) cel mult un debitor este solvabil;

d) nici un debitor nu este solvabil;

e) cel puin un debitor nu este solvabil;

f) 4 debitori sunt solvabili;

g) societatea comercial nu mai are debitori la sfritul lunii;

h) societatea comercial mai are debitori la sfritul lunii.

13

2.Un lot de produse ambalate n cutii, oferite de o firm, este acceptat de beneficiar, dac n

urma examinrii a 5 cutii, extrase la ntmplare, coninutul lor se constat a fi corespunztor. S se

exprime urmtoarele evenimente:

a) lotul a fost acceptat;

b) lotul nu a fost acceptat;

c) dup examinarea a trei cutii, extrase la ntmplare, lotul a fost respins.

3.Un aparat electronic este alctuit din 3 module care funcioneaz independent unul de

altul.Pe baza datelor statistice pe care le deine, firma productoare apreciaz c probabilitatea pi,

3,1i de funcionare fr defect este p1=0,8, p2=0,85 i respectiv p3=0,9. S se determine

probabilitatea ca:

a) aparatul s funcioneze;

b) aparatul s nu funcioneze;

c)s fie necesar nlocuirea unui singur modul pentru ca aparatul s poat funciona.

4.ntr-o urn se gsesc 3 bile albe i 4 bile negre, iar ntr-o alt urn 4 bile albe i 5 negre. Se

extrage o bil la ntmplare dintr-una dintre urne.

a)Care este probabilitatea ca bila s fie alb?

b)Dac bila extras este alb care este probabilitatea ca ea s fie extras din prima urn?

5.Trei trgtori trag asupra unei inte cte un foc. Probabilitatea ca primul trgtor s ating

inta este p1=0,6, pentru cel de-al doilea trgtor este p2=0,7 i pentru cel de-al treilea este

p3=0,8.inta a fost atins de un singur foc. Care este probabilitatea ca inta s fie atins de focul tras

de primul trgtor?

6.Dintr-o urn in care sunt bile notate de la 1 la 90, se extrag 6 numere. Care este

probabilitatea ca sa apar trei dintre numerele

5, 72, 27, 31, 29, 86.

7.O urn conine 3 bile albe i 4 negre. Din aceasta urn se extrage o bil. In locul ei se

introduce o bil de cealalt culoare i se face o nou extragere.

a) Care este probabibilitatea ca a doua bila extras sa fie neagr, tiind ca prima bil extras este

alb ? Dar tiind c prima a fost neagr ?

b) Care este probabilitatea ca a doua bil extras s fie neagr ?

c) Care este probabilitatea s obinem bile de culori diferite in cele dou extrageri ?

8.Se arunc 4 zaruri. S se calculeze valoarea medie a numrului de puncte obinute.

9.S se calculeze valoarea medie a produsului numerelor de puncte care apar la aruncarea a

dou zaruri.

14

10.Se arunc dou zaruri i se noteaza cu X variabila aleatoare care arat numrul total de

puncte. S se scrie repartiia lui X i funcia sa de repartitie.

11.Se arunc dou zaruri. Se acord 12 puncte dac suma punctelor care apar pe zaruri este

12, 4 puncte dac aceast sum este 7 i un punct pentru celelalte cazuri. S se scrie repartiia

variabilei aleatoare care arat numrul de puncte obinut de cel care arunc zarurile; s se calculeze

media i dispersia acesteia.

12.Variabila aleatoare X are repartiia

X :

31

31

31

101.

S se scrie repartiia variabilelor aleatoare X+X2, X+X3. S se calculeze media acestora.

13.Ce repartiie are suma variabilelor aleatoare independente :

X :

31

35

1012 pp ; Y :

301

61

58

21012 qq .

Dar produsul lor ?

14.Fie variabila aleatoare X:

61

31

47

43212 . S se determine valoarea parametrului

R i s se calculeze P(X 3).

15. Fie variabilele independente

X:

31

31

61

101 i Y:

2122

31

101 ,,R.

S se determine valorile parametrilor , , i media variabilei XY.