Spaii vectoriale

Matematici aplicate in economie

5

SPAII VECTORIALE

Spaiul vectorial este una din cele mai importante structuri matematice, care servete disciplinelor economice si ingineresti.

DEFINITIE

Fie K un corp comutativ i 1K elementul su unitate. Tripletul format din: - o mulime nevid V

- o lege de compoziie intern, aditiv, definit pe V, notata : , +,.

: VVV

vuvu , , u,vV - o lege de compoziie extern, multiplicativ, notata : , ,.

V VK : (,u) u, ,vV

care verific axiomele:

(V1) (V,+) este grup abelian (elementul neutru al acestui grup va fi notat )

(xy) z=x (yz), x,y,zV (asociativitate)

xy=yx, x,yV (comutativitate)

V, xV, x=x=x (element neutru)

xV, xV, xx=xx= (elemente simetrizabile)

(V2) K V,vu, vuvu (V3) K, V,u uuu (V4) uu uV , K , (V5) uuK 1 Vu

se numete spaiu vectorial (liniar) peste K (sau K-spaiu vectorial).

In cazul in care K=R (respectiv K=C) vom spune c V este un spaiu vectorial real

(respectiv complex).

Elementele unui K-spaiu vectorial se numesc vectori, iar elementele corpului K se numesc scalari.

Legea aditiva se numeste adunarea vectorilor, iar legea multiplicativa se numeste inmultirea vectorilor cu scalari.

Vectorul se numeste vectorul nul al spatiului vectorial.

Spaii vectoriale

Matematici aplicate in economie

6

Proprietai Intr-un K-spaiu vectorial V, urmtoarele afirmaii sunt adevrate:

VuK , v-uu)-( 2)Vvu,K v-uv)-u( )1

3) K 4) Vu 0 uk

5) Vu )( uuK1

6) dac u , atunci K0 sau u .

Exemple. 1. Spaiul aritmetic cu n dimensiuni, nK

Fie K un corp comutativ i nN* .Vom considera produsul cartezian

nK orin

KKK

.... .

Elementele lui Kn sunt de forma )...,( 21 nxxxx i se numesc n-uple ordonate. nK are structur de spaiu vectorial peste corpul K, impreun cu urmatoarele legi de compozitie:

-o lege de compoziie aditiv, definit prin:

x=(x1,x2,xn), y=(y1, y2,yn)Kn x+ydef (x1+y1,x2+y2,xn+yn)

-o lege de compoziie extern peste K definit prin:

x=(x1,x2,xn)Kn ,K xdef (x1,x2,xn).

2. Mulimea matricelor cu m linii i n coloane, cu elemente reale, formeaz un spaiu liniar

real, notat mxnM (R). Operaiile acestui spaiu liniar sunt: adunarea matricelor i nmulirea dintre

un numr real i o matrice.

3. Mulimea polinoamelor de grad cel mult n, cu coeficieni reali constituie un spaiu

vectorial real notat R Xn , cu adunarea polinoamelor si inmultirea cu un numar real a unui polinom.

DEFINITIE

Fie (V,+,)/K, Vvvv n ..., 21 , ...., 21 Kn

Vectorul nnvvvv ...2211 =

n

jjjv

1 se numete combinaia liniar a vectorilor

nvv ,...,1 .

Spaii vectoriale

Matematici aplicate in economie

7

Fie (V,+,)/K, spatiu vectorial peste corpul K.

DEFINITIE

WV, W spaiu vectorial peste K n raport cu legile de compozitie din V (restrictionate la W), se

numeste subspaiu vectorial a lui V.

PROPOZITIE (CONDITII ECHIVALENTE PENTRU SUBSPATII VECTORIALE)

Fie (V,+,)/K si WV. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente :

Exemple. 1. n orice spaiu vectorial V/K, mulimile i V sunt subspaii vectoriale

ale lui V i se numesc subspaii improprii.

2. n Rn/R, mulimea W={x=(0,x2,x3,,xn), xjR, j=2,,n} este subspaiu vectorial al lui Rn.

Wvu,

Wvu

WuK ,

Wu

Wvu, , , K,

Wvu .

W este subspatiu

vectorial al lui V

Spaii vectoriale

Matematici aplicate in economie

8

3. n spaiul liniar M 2x2 (R)/R al matricelor ptratice de ordinul 2, mulimea S a matricelor

nesingulare de ordinul 2 (al crui determinant este diferit de 0) nu este subspaiu liniar, deoarece

suma a dou matrice nesingulare nu este mereu o matrice nesingular, de exemplu:

A=

1321

S i SB

4012

, SBA

3333

.

O mulime finit de vectori dintr-un spatiu vectorial V/K se numete sistem de vectori.

DEFINITIE

Sistemul de vectori S= Vvvv n },...,,{ 21 se numete liniar independent sau liber (vectorii

nvvv ,...,, 21 sunt liniar independeni) dac orice combinaie liniar nul a vectorilor lui S se

obine numai cu toi scalarii nuli, adic:

nvvv inn ,1i ,02211 .

DEFINITIE

Sistemul de vectori VS se numete liniar dependent sau legat (vectorii nvv ,...,1 sunt liniar

dependeni) dac nu este liber, adic exist n scalari n1,i , i nu toi nuli, astfel nct

combinaia liniar a vectorilor lui S cu aceti scalari s fie nul.

Sistemul de vectori },...,,{ 21 nvvvS este liniar dependent dac i numai dac unul

dintre vectori si este o combinaie liniar a celorlali vectori din S.

A stabili natura unui sistem de vectori nseamn a studia dac vectorii sunt liniar

dependeni sau independeni.

Exemplu.

S se stabileasc natura sistemului de vectori S 4R , },,,{ 321 vvvS (0,1,1,0).v ;(-1,2,1,1)v (1,1,0,1);v 321

Fie 321 ,, scalari din R astfel nct combinaia lor liniar cu vectorii lui S s fie nul

)0,0,0,0()0,1,1,0()1,1,2,1()1,0,1,1( 321

332211

vvv

Spaii vectoriale

Matematici aplicate in economie

9

Obinem sistemul de ecuaii liniar omogen:

00

020

21

32

321

21

Matricea sistemului liniar omogen este

011110121011

A .

Rangul lui A este 3. Singura soluie a sistemului de ecuaii este cea nul. Atunci, S este liniar

independent

Proprietati ale sistemelor de vectori

1) }{S este liniar dependent;

2) v },{vS este liniar independent, pentru c: din v rezulta 0 ;

3) n orice spaiu vectorial V/K orice subsistem de vectori SS ' al unui sistem S liniar independent este liniar independent;

4) Dac S conine vectorul nul, sistemul de vectori S este liniar dependent;

5) Orice suprasistem S, SS ' , al unui sistem de vectori liniar dependent S este liniar dependent.

DEFINITIE

Un sistem de vectori SV/K se numete sistem de generatori pentru V, dac orice vector din V

se poate scrie ca o combinaie liniar cu vectorii lui S. Vectorii lui S se numesc generatori pentru V.

Observaie. Orice spaiu vectorial V/K admite cel puin un sistem de generatori.

Spaiul vectorial V/K se numete finit generat, dac exist S sistem de generatori finit pentru V.

Dou sisteme de vectori care genereaz acelai spaiu se numesc echivalente.

Fie S un sistem de generatori pentru V/K. Urmtoarele transformri duc la obinerea unui

nou sistem de generatori pentru V/K:

-schimbarea ordinei vectorilor lui S;

-nmulirea unui vector din S cu un scalar nenul;

-nlocuirea unui vector din S cu o combinaie liniar a acelui vector cu ali vectori din S.

Spaii vectoriale

Matematici aplicate in economie

10

DEFINITIE

Un sistem de vectori B V/K cu proprietile:

-B este sistem de generatori pentru V (=V)

-B este sistem liniar independent

se numete baz pentru spaiul V/K.

Se poate demonstra c orice spaiu vectorial diferit de }{ admite cel puin o baz.

Spaiul vectorial V care are o baz finit sau }{V se numete finit dimensional; n

caz contrar se numete infinit dimensional. Toate bazele unui spaiu vectorial, finit dimensional au acelai numr de vectori.

DEFINITIE Numrul notat

}{ Vdac 0,vectori n din format baz o are V dac n,

V dim K

se numete dimensiunea lui V.

Un spaiu vectorial cu dimensiunea n se numete n-dimensional i se noteaz cu nV .

Exemple

1) n spaiul vectorial nK , vectorii e1=(1,0,0,...,0), e2=(0,1,0,...,0),,en=(0,0,...,0,1)

determin o baz },...,,{ 21 neeeB ( numit baza canonic).

Artm c B este liniar independent: combinaia liniar nul cu scalarii 1,2,n,

nneee ...2211 )0,...,0,0(),...,,( 21 n .0...21 n

Pe de alt parte nn2211n21 ex...exex)x,...,x,(x x, nKx .

dimK nK = n. 2) Spaiul vectorial Mmxn(K) are dimensiunea mn, o baz a sa este mulimea

njmiEB ij 1,1 , Eij este matricea care are elementul 1 la intersecia liniei i cu coloana j, celelalte elemente fiind nule .

3) Spaiul vectorial Rn[X] al tuturor polinoamelor de grad n are dimensiunea n+1 i baza

canonica a acestuia este nXXXB ,...,,,1 2 .

Spaii vectoriale

Matematici aplicate in economie

11

DEFINITIE

Scalarii n ..., 21 cu ajutorul crora vectorul Vv se scrie ca o combinaie liniar cu

vectorii bazei B, se numesc coordonatele vectorului v n raport cu baza B .

Coordonatele unui vector ntr-o baz sunt unice.

Fie V/K spaiu vectorial, finit dimensional cu dim KV=n. Urmtoarele afirmaii sunt

adevarate:

i) orice sistem de vectori liniar independent are cel mult n vectori ;

ii) orice sistem de vectori liniar independent format din n vectori este baz pentru V;

iii) orice sistem de generatori al lui V are cel puin n vectori;

iv) orice sistem de generatori format din n vectori este baz pentru V.

Dimensiunea spaiului V/K reprezinta numrul maxim de vectori liniar independeni i

numrul minim de generatori ai lui V.

2. Matrice.Sisteme de ecuatii

Fie K corp comutativ. Am notat )(KMmxn mulimea matricelor cu m linii i n coloane i

coeficieni n K

)()(,1,1 KMaA mxnnjmiji

.

)(KMmxn mpreun cu adunarea matricelor i nmulirea unei matrice cu un scalar are o

structur de spaiu vectorial peste corpul K.

Fie matricea (K)M)(aA mxnn1,jm1,iij

.

),...,( 112111 naaau ; ),...,( 222212 naaau ; ; ),...,( 21 mnmmm aaau . miRun

i ,1

se numesc vectorii linie ai matricei A si considerm vectorii vi=(a1i,a2i,...,ami) n1,i , mR , care se numesc vectorii coloan ai matricei A.

Se numete rangul matricei A, numrul vectorilor coloan liniar independeni ai matricei A.

Spaii vectoriale

Matematici aplicate in economie

12

Sisteme de ecuaii liniare.

Fie K corp comutativ, R sau C, aijK i fie sistemul liniar de ecuaii cu m ecuaii i n

necunoscute

..

......

2211

222221

11212111

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxabxaxaxa

bxaxaxa (1)

Notm ,1,m1,i njij

aA

matricea sistemului , n

n

R

x

xx

X

2

1

i m

m

R

b

bb

b

2

1

.

Atunci sistemul (1) se mai poate scrie:

,1i 1

i

n

jjij mbxa (2)

sau AX=b (3)

sau dac notm n1,j 21

m

mj

j

j

j R

a

a

a

v

, atunci 1

n

jjj bxv . (4)

Sistemul liniar de ecuaii (1) se numete compatibil dac exist n

n Kx ),...,,( 21 care verific identic acest sistem.

Teorema 2.3. (Kronecker-Kapelli)

Sistemul de ecuaii (1) este compatibil dac i numai dac )()( ArAr , unde A este matricea

extins a sistemului.

Dac b , sistemul AX=0 sau 1

n

jjj xv se numete sistem liniar omogen.

Mulimea soluiilor unui sistem de ecuaii liniar omogen cu n necunoscute formeaz un

subspaiu vectorial al lui Kn.

Spaii vectoriale

Matematici aplicate in economie

13

Probleme

1. Notm cu V=(0,), mulimea numerelor reale strict pozitive i definim pe V operaiile:

i date prin: x y = xy i x = x, x,y V i R.

Este (V, , ) spaiu vectorial real?

2. Fie

Rzuyx

zuyx

AAL ,,,,0

0. S se arate ca L este subspaiu vectorial al

lui M2x3(R) i s se determine o baz a sa.

3. Pe R definim operaiile i prin:

x y = x + y 2, x = x + 2(1-) x,y R, R.

Este (R, , ) spaiu vectorial real ?

4. Se consider M2x1(R). Definim i astfel:

A1 A2 =

31

32

31

313

231

)y(y

)xx(, A1 =

1

1

yx

, R, A1=

1

1

yx

, A2=

2

2

yx

M2x1(R).

Este (M2x1(R), , ) spaiu vectorial peste R ?

5. n R3 se consider submulimile: A = { v = (x1, x2, x3)| x1 3x2 +4x3 = 0}

C = { v = (x1, x2, x3) | x 25xx 2322

21 }

D = { v = (x1, x2, x3) | x1 = x2 = x3 }

Care dintre acestea sunt subspaii vectoriale?

6. n R3 se consider B1= {v1, v2, v3} i B2 = {u1, u2, u3} , v1=(1,-1,2); v2=(-1,3,-2); v3 = (0,1,-1);u1 = (2,0,-1); u2= (1,3,2); u3= (-1,4,0).S se demonstreza ca

sunt baze pentru R3

7. S se stabileasc natura multimii de vectori S din 4R ,

(0,1,1,0).v ;(-1,2,1,1)v (1,1,0,1);v },,,{ 321321 vvvS