Marius PERIANU . Citilin STANICA

Ioan BALICA q Dumitru SAVUIESCU

Matematiceclasa a V-a

II

CupnrNS

Capitolul 1. Numere rationale pozitive'1.1. Fraclii ordinare. Notiuni introductive1.2. Clasificarea fractiilor ordinare1.3. Fractiiechivalente ............

1.4. Amplificarea gi simplificareafractiilor

7

11

16

19

1.5."t.6.

't.7.'t.8.

1.9.

Teste de evaluare 25

Fi55 pentru portofoliulindividual (A1) .............. 27

Reprezentarea fracliilor ordinare pe axa numerelor 29

Aflarea uneifractii dintr-un numdr. Procent 32Adunarea gi scdderea unor fraclii ordinare cu acelagi numitor .......... 35

Compararea 5i ordonarea fracfiilor ordinare (extindere) 40Teste de evaluare 43Figd pentru portofoliul individual (A2) ............... 45Scrierea fracfiilor ordinare cu numitori puteri ale lui 10 subformi zecimalS. Transformarea unei fractii zecimale, cu unnumir finit de zecimale nenule, intr-o frac[ie ordinari 49

1.10 Compararea, ordonarea gi reprezentarea pe axa numerelor a

fracfiilor zecimale. Aproximiri ............. 531.1 1. Adunarea gi scdderea fracfiilor zecimale care au un

numir finit de zecimale nenule 57

Teste de evaluare 63

FiSi pentru portofoliulindividual (A3) .............. 651.12. lnmulfirea frac[iilor zecimale care au un numir finit de zecimale ....... 671.13. Ridicarea la putere cu exponent natural a unei frac[ii

zecimale care are un numir finit de zecimale nenule 71

Teste de evaluare 74Figd pentru portofoliul individual (A4) .............. 75

1 .14. lmpdrlirea numerelor naturale cu rezultat fracliezecimalS. Periodicitate

1.15. impir[irea a doud frac[ii zecimale1.1 6. Ordinea'efectuirii opera[iilor. Aproximiri

Teste de evaluareFi5a pentru portofoliul individual (A5) ...............

't.17.1.18.

91

93

96

Media aritmeticd a doud fractii zecimale finiteEcuatii gi inecuafii. Probleme care se rezolvd cu ajutorul

=I

(E

(!(!(o

\J(J

=ut

E

77828690

ecuatiilor 5i inecualiilor .....................

=rJvtut

=UI

.tE

o

rJ

oct!o

,<rJ2t,.=,C,P,lqLJ

zOEulo:,G

=

Teste de evaluareFi55 pentru portofoliul individual (A6) ...............

1.19. Probleme cu caracter aplicativ1.20. Probleme pentru performan[i gcolard Siolimpiade

Capitolul2. Elemente de geometrie. Unititi de misuri2.1. Dreapta, segmentul de dreapti, misurarea

unui segment de dreapt52.2. Unghiul, triunghiul, patrulaterul, cercul: prezentarea prin descrieri

$i desen; recunoa$terea elementelor lor: laturi, unghiuri, diagonale,centrul gi raza cercului

2.3. Simetria, axa de simetrie gitranslatia: prezentare intuitivd,exemplificare in triunghi, cerc Ai patrulaterCubul, paralelipipedul dreptunghic prezentare prin desen gi

desfigurare; recunoa5terea elementelor: v6rfuri, muchii, fe[e .......--...

Teste de evaluareFi5i pentru portofoliul individual (Gl ) ..............

Unitifi de misuri pentru lungime. Perimetre. TransformiriUniti[i de misuri pentru arie. Aria pdtratului gi a dreptunghiului.Transformiri .......................Unitifi de misuri pentru volum. Volumul cubului Si alparalelipipedului dreptunghic. Transformdri .........Teste de evaluareFigi pentru portofoliul individual (G2) ..............

2.8. UnitS[i de misurd pentru capacitate. Transformiri2.9. UnitS[i de misuri pentru mas5. Transformiri .............

2.'lO. Uniti[i de m5suri pentru timp. Transformdri .............

2.11. Unititi monetare. Transformiri ......................Teste de evaluareFigi pentru portofoliul individual (G3)

2.12. Probleme cu caracter aplicativ2.'13. Probleme pentru performanf5 gcolard gi olimpiade 180

Capitolul 3. Subiecte pentru evaluirile finaleVariante de subiecte pentru teziVariante de subiecte pentru evaluarea finald

r00101

107110

2.5.

2.6.

2.7.

115

121

132

135

138141143

146

150153

155159"t62

165168169171177

185190

3.1.3.2.

Solutii ....... 1e4

CAPITOLUL

NunarRE RATIoNALE Poztrl\rc

Tema 1 .1 . Fraclii ordinare. Noliuni inffoductiveTema 1.2. Clasificarea fracliilor ordinareTema 1.3. Fracfii echivalenteTema l.4.Amplificarea gi simplificarea fracliilor

Teste de evaluareFige pentru portofoliul individual [A1)

Tema 1.5. Reprezentarea fracliilor ordinare pe axa numerelorTema 1.6.Aflarea unei fra4ii dintr-un numdr. ProcentTema l.7.Adunarea gi sciderea unor fractii ordinare cu acelagi numitorTema 1.8. Compararea gi ordonarea fracliilor ordinare

Teste de evaluareFipi pentru portofoliul individual [A2)Test - model pentru Evaluarea Nalionall

Tema 1.9. Scrierea fra{iilor ordinare cu numitori puteri ale lui 10 sub formizecimali. Transformarea unei fractii zecimale, cu un numir finit dezecimale nenule, intr-o fra$ie ordinari

Tema 1 .1o. Compararea, ordonarea gi reprezentarea pe axa numerelor a

fracfiilor zecimale. AproximiriTema 1.l l.Adunarea gi sciderea fracliilor zecimale

Teste de evaluareFigi pentru portofoliul individual (A3)

Tema 1 .12. inmullirea fra4iilor zecimaleTema 1.13. Ridicarea la putere a unei fracfii zecimale finite

Teste de evaluareFigi pentru portofoliul individual (A4)

Tema 1 .1 4. impi4irea numerelor naturale cu rezultat fraclie zecimali PeriodicitateTema 1 .1 5. impirfirea a doud fracfii zecimaleTema 1.16. Ordinea efectuirii operafiilor. Aproximiri

Teste de evaluareFigi pentru portofoliul individual (A5)

Tema 1.17. Media aritmetici a doui fractii zecimale finiteTema 1.18. Ecualii $i inecuafii. Probleme care se rezolvd cu ajutorul

ecuagiilor gi inecualiilorTeste de evaluareFiqi pentru portofoliul individuat [A6)Test - model pentru Evaluarea Nalionali

Tema 1.19. Probleme cu caracter aplicativTema l.20.Probleme pentru performanld gcolard gi olimpiade

Tl!

(E

IE

sUL'

=llt

=

-

5

Tema X.XFractii ordinare. Notiuni introductive

O parte dintr-un intreg, imp[rtit in perfi egale, se nume$te unitatefraclionard.Exemple. Partea colorat[ din urm[toarele figuri reprezintii:

f o doime sa, o jumdtate sa. unu pedoi; se scrie

A o,eime satrunu pe trei; ser.ri" 1rv 3

H o pdtrime sauun sfert sauunu pe patru; s" scrie 1lltUna sau mai multe unitlli fraclionare se numegte fraclie. Forma general[ a

fractiei este f, unde a, b e N gi D + 0.b

Num6rul 4 se nume$te numdrdtor gi aratd cdte unititi fracfionare s-au luat;numlrul D se numegte numitor qi arat[ in cdte pIrfi egale a fost implrfit intregul;linia orizontall (sau oblicd ) se nume$te linie de fraclie.

Fraclia este o pereche de numere naturale, a qib, scrkd subforma 9U sau a/b, b *0.

Exemple. Partea coloratd din urm[toarele figuri reprezintii:

3 ..: citim trei pdtrimi sau trei suprq patru salu trei pe patru.4

I2

O C J cittm cinci treimi sau cinci supra *ei sau cinci pe trei.

1. Scrieti sub form6 de fracfie:a,) o pltrime;D) o gesim6;c) o zecime;

2. Citili urmltoarele fractii:

-., l 111 1 I 1 I-' 5' j' g' rr' 40'rg'17'loooooo'

.L,L

d) o treime;e,) o sutime;

l) trei optimi;

g,) o miime;ft,) o milionime.l) dou[ cincimi.

=Il!9lElE

sIJ

rJF-lrrF

=

-. 2 3 5 7 9 3 2 2 t0 16 24 15 t3 t2A\__"' j' 5' 4'B'g' 4'6'8'15'23'ro' 8' 8' 7

3. Reprezentali prin desene urmltoarele fraclii: L-?.L-?.1.1' 3'4'5'2' 4'z4. Scrieli sub formd de frac{ie:

Rezolvare. a) trei noimi ,. ."ri. ]9

5. Reprezentafi, in desene diferite, fractiile L.?.1.!.1.?.9. 9 . ain intresur' 2'2'4'4'4'8'8'8'

a) trei noimi;b) cinci qesimi;c) gapte pltrimi;

urmdtor:

d) optzecimi;e) patru cincimi;/) gase pitrimi;

g) cinci cincimi;h) treizeci qi gdpte sutimi.i) patru optimi.

6. Desenali un pdtat cu latura de 3 un. Colorali cu ro$u I air, "f

gi cu verde I ai, "f.'3 3

7. Desenafi un dreptunghi cu dimensiunile de 6 cm gi 4 cm. Colorali din acest

dreptunghifractiile !-1.7 - 3.1.

3' 6'24'12'z'8. Scriefi in tabelul de mai jos fraclia reprezentatl de partea haquratl din desen

ca in exemplul de la d):

a)@

@@ffiffi@

ffire{

effiffi@ffim)

c)

h)

M

i)

k)

b)

c)

d)

e)

J)

(JthIIf

utf.EE

o

IoC(Eo

gzUI.=)C,

)(oU

3zseEIA.E(E

=

tisura a b c d e f o h I k I m

fraclia2

8

.L.t,L J\

9. Citiliurmatoarele fraclii: :,1,+,:,*, 9 .48. 103.83. o .2''--;"' 6' 4'rz'7' 42'16'50'207'96' b' 5y'

10. Folosind cdte doul dintre numerele 3, 5, 7, scrieli toate fracliile posibile.

1 1. Folosind c6te doul dintre numerele 6,4,10, scrieli toate fracliile posibile.

12. Scrieli toate fracliile de forma | , unde a gi D sunt numere naturale mai micib'

decdt 6 gi mai mari decdt 3.

13. Scrieli toate fracfiile de forma $, unde a gi D sunt numere naturale primeb'

distincte cuprinse intre 10 9i 20.Rezolvare. Numerele prime cuprinse intre l0 qi 20 sunt: 11,13,17 9i 19. Fracliile care

se pot scrie cu aceste numere srrrn |, $,11,11 13

-13 -17 -17 -17 .19 19 19'*'^-' 13' 17' 19' 11' 17' lg' ll' 13' 19' 11' 13' 17'

14. Scrieli toate fracliile de forma { , unde a gi b sunt numere naturale primeb'

diferite cuprinse intre 20 qi 40.

15. Scrie{i in tabelul de mai jos fraclia reprezentatd de parteahaquratd din desen,

ca in exemplul li):a)aet"mffi 'mc,& n@@@d) rFle)# t) EJ tit,ffi k,o

T(!

(o(o

sU

IJF

Eul

=

figura ct b c d e g, h I k

frac[iaJ

6

3rJIAul3vtf.gEfo

g

oc(!-9

gzta.g,|!,l!L,,

==cutg

'=(E

=

16. Scrieli toate fracliile care indeplinesc, simultqn, condigiile:. numdrltorul este o cifrd par5" nenulfi. numitorul este o cifrI cu cel pqin 3 mai mare dec6t numtrr[torul.

17. Scrieti toate fracfiile de forma f , unde a e 4r gi D e Drr.

18. Scrieti toate fractiile de forma f , unde a Si b sunt numere prime cuprinseb.

intre25 gi45,iar a<b..L.L.L

19. Fie frac[ia + Determinati num5rul natural, pEtrat perfect, .r pentru care' 2x+1fractia are numitorul mai mic decdt numtrr[torul.Rezolvare.Avem2x + I <23 e2x <23 - I e2x<221:2e x < ll. Cumr e N,xeste pdtrat perfect gi .r < I I, rezulti x e {0, l, 4, 9} .

2o. Fie fraclia + Determinali numdrul natural x, pdtatperfect pentru care'98fraclia are numitorul mai mare decit numdr[torul.

21. Scrieli toate fractiile f, unde a este p6tratul unui numlrnatural,6 este cubul

unui num6r natural gi 0 < a <37, 0<b < 38

22. Scrieti toate fractiile care indeplinesc, simultan, condiliile:. numer6torul este o cifr[ impar[;. numitorul este o cifrl par[ nenul[ cel mult cu 5 mai mare decdt num[r6torul.

23. Determinali numdrul fractiilor de forma -@E "ur" au proprietatea cd suma' ba+6

dintre numlr6tor qi numitor este pltrat perfect.

Probleme de gapte stele

24. Determinali numirul perechilor de fraclii (tt;) astfel incdt a.d =b.c=6,

arb,c,deN*.

25. Determinati numirul fracliilor de forma #G26. a)Determinali numErul fracfiilor de forma 4.

abb) Dintre fracfiile gisite la punctul anterior, aflali-le pe cele care auproprietatea cI numirdtorul gi numitorul au cel pulin un divizor comun maimare sau egalclu2.

Tema %.mClasificarea fracfiilor ordinare

Fraclii echiunitare. Fraclia 1, o . N, D e N*, se numeqte echiunitard dacd' b'a = D (num5r6torul este egal cu numitorul).

@;,:,,:,:ir!:1,*. ffilffix

) foouudoimi) I fr", treimi) 1 rort ,, odtrimi).,uu !. loo.2054 rr***

y*LL,,L,'r, 100, 205

Fraclii subunitare. Fracfia | , unde a e N, 6 e N*, se nume$te subunitard,' b'dacd a < 6 (numdr5torul este mai mic decAt numitorul).Exemple.

!, o patrime,

3.76134307-. trel clnctml. Drecums'-- r0'11'13'9's 3008

Fraclii supraunitare. Fracfia 1, o . N, b e N* se numegte supraunitard,' b'dacd a > D (num[rdtorul este mai mare decdt numitorul).Exemple.

ffiA\7ffie

l, uuot"Pdtrimi,

),rr"idoimi, precum ut ;,;,:

8810013' 6'i' x',

&,L

1. Completali numdr[torul sau numitorul

..'6 llllo13!echrunrtare:

E_, E, E, g, [-, ;,2. Dali cite trei exemple de:

a) fraclii echiunitare;b) fraclii subunitare cu numdritorul 7;

c) fraclii subunitare cu numitorul 12;

lipsd, astfel inc0t s5 oblineli fraclii

tr103

T(o

J(o(!

sUtJF

=UJF

=11

TESTE DE EVALUARE

Testul 1

( p) 1. a) Scrieli numitorul fractiei f .

D) Determinali num[ru] fracliilor subunitare cu numitorul 5.c,) Scrieli fracliile supraunitare cu numdrltorul 7.

d) Precizalivaloarea de adevdr a propozifiei' : = if(2p) 2. Se dau mullimile A={1,2,3,4,5} ti B ={3,4,5,6,7,S}. anali mullimile

"r, =ltsupraunitard I a e A, t. a\ tl, =\tsubunitaril a e A,b e B\.

(3p) 3. a/ Simplificali fracfiile k u, # pentru a obline fraclii ireductibile.

6) Amplificati fracfiile 3 Ut * pentru a obline numitorii 100.

c) Determinali num[ru] natural x din egalitat * + = -h.

NOTA. Timp de lucru 50 minute. Se acord[ 1 punct din oficiu.

Testul 2

(4p) 1. a,) Scrieli numlr[torul fractiei ft.D) Determinali numIrul fractiilor subunitare cu numitorul 11.

c) Scrieli fracliile supraunitare cu numdrltorul6.

d) Precizalivaloarea de adevir a propoziliei , ?= 2=*

(2p) 2. Determinali interseclia mu{imilor

.t ={o. Nl ' -l B -{u . **l 12 ,ubunitu.a}.t lTsuPraurutaral

gr L lb )

(3p) 3. a) Dacd # =;9i { este frac}ie ireductibilS, determinali I.

Attb) Dacd ;: t, x + 0, atunci determinali valoarea expresiei 3xy -7 .

c) Arbtalicdfraclia +.uJ.4 este echiunitara.' a2+ b4+ c5

NOTA. Timp de lucru 50 minute. Se acordl 1 punct din oficiu.

T(lt

l!tE(o

U\,F

=uJF

=25