matematica

Aprobat pentru retipărire prin ordinul Ministerului Educaţiei şi Tineretului

nr. 70 din 25 iulie 2006

Autori: Ion Achiri, doctor, conferenţiar, USM;

Valentina Ceapa, specialist principal, MET;

Roman Copăceanu, profesor, grad didactic superior;

Nicolae Prodan, doctor, conferenţiar, USM;

Olga Şpuntenco, profesoară, grad didactic superior.

4

NOTĂ DE PREZENTARE Studiul matematicii în liceu are ca scop să contribuie la

formarea şi dezvoltarea capacităţii elevilor de a reflecta asupra lumii, de a formula şi rezolva probleme pe baza relaţionării cu-noştinţelor din diferite domenii, precum şi la înzestrarea cu un set de competenţe, valori şi atitudini menite să asigure o integrare profesională optimă. Prezenta propunere de curriculum pentru liceu este în acord cu noua opţiune didactică ce derivă din idealul educaţional conţinut în Legea învăţămîntului, din schimbările de tip economic şi social care afectează inclusiv lumea şcolii, precum şi din necesitatea de a echilibra aceste schimbări prin acţiuni coe-rente care să nu perturbe sistemul, ci să-l dirijeze pe o linie ascen-dentă. Învăţămîntul matematic liceal urmăreşte dezvoltarea com-petenţelor necesare pentru studiile în instituţiile de învăţămînt su-perior şi pregătirea personalităţii pentru viaţă şi activitate inde-pendentă.

Trecerea sistematică de la învăţămîntul instructiv la cel de modelare a capacităţilor intelectului, ca şi noua viziune asu-pra didacticii disciplinei Matematica au impus necesitatea ela-borării prezentului curriculum de matematică pentru liceu ca o continuare a curriculum-ului pentru gimnaziu.

Învăţămîntul matematic liceal va scoate în relief valorifi-carea potenţialului creativ al elevului.

Proiectarea Curriculum-ului de matematică a fost ordona-tă de principiile: − asigurarea continuităţii la nivelul claselor şi ciclurilor; − actualitatea informaţiilor predate şi adaptarea lor la nivelul

de vîrstă al elevilor; − diferenţierea şi individualizarea predării-învăţării; − centrarea pe aspectul formativ;

5

− corelaţia transdisciplinară-interdisciplinară (eşalonarea op-timă a conţinuturilor matematice corelate cu disciplinele reale pe arii curriculare, asigurîndu-se coerenţa pe vertica-lă şi orizontală);

− delimitarea unui nivel obligatoriu de pregătire matematică a tuturor elevilor şi profilarea posibilităţilor de avansare în învăţare şi de obţinere de noi performanţe. La realizarea acestui document s-a ţinut cont de modelul

flexibil şi deschis de proiectare curriculară, care să ofere posi-bilităţi autentice de opţiune pentru autorii de manuale şi ulte-rior pentru profesori şi elevi.

Acest curriculum are drept obiectiv crearea condiţiilor favorabile fiecărui elev, de a asimila materialul într-un ritm in-dividual, de a-şi transfera cunoştinţele acumulate dintr-o zonă de studiu în alta.

Manualele şcolare elaborate în baza acestui curriculum urmează să fie integrate în concepţia curriculară şi să respecte unele cerinţe specifice, pentru a fi accesibile elevilor, operaţio-nale şi pentru a îndeplini, prioritar, nu numai o funcţie informa-tivă, ci şi formativă, de învăţare prin studiere şi cercetare inde-pendentă, de stimulare, de autoinstruire.

Astfel, autorii de manuale vor dezvolta temele şi subte-mele curriculumului după criterii logice, operaţionalizînd ob-iectivele şi conţinutul informativ în sarcini şi situaţii de în-văţare, care va oferi puncte de sprijin elevilor în realizarea în-văţării independente, active. La elaborarea manualelor autorii vor ţine cont de: − formularea de sarcini de cercetare variată a informaţiilor,

conform obiectivelor precizate în curricula şcolară; − alternarea modelelor de organizare a conţinuturilor, ca

moduri de antrenare variată a gîndirii, deprinderilor de studiu;

− solicitarea de corelaţii frecvente intra- şi interdisciplinare;

6

− punerea elevului în situaţia în care el însuşi să formuleze sar-cini adecvate;

− oferirea de soluţii/interpretări variate pentru aceeaşi idee; − susţinerea comunicării elev-manual prin utilizarea de limbaje

diferite: scris, figurativ, simbolic, grafic, schematic ş. a.; − elaborarea de sarcini rezolvabile prin activitatea în gru-

puri; − sugerarea unui algoritm de învăţare variată şi ordonată.

CADRU CONCEPTUAL

Modelul de învăţare structural-cognitivă impune o paradigmă specifică pentru învăţarea matematicii. Ea vizează formarea de struc-turi ale gîndirii specifice matematicii. Aceasta prevede predarea de concepte, adică entităţi structurate care cuprind definiţii, teoreme, reguli, dar mai ales un mod de gîndire propriu. Pentru exersarea acestui mod de gîndire se aplică operaţii mentale unor informaţii de studiu de bază. Operaţiile mentale şi informaţiile de studiu respective sînt proiectate în obiectivele-cadru şi cele de referinţă ale curriculum-ului. O astfel de aplicare se realizează pe nivele de abstractizare, adi-că se organizează activităţi în plan obiectual (cu obiecte), în plan simbolic (cu simboluri neconvenţionale, apoi cu simboluri convenţi-onale), în plan verbal şi în plan mental interiorizat. Se fac perma-nent treceri de la o treaptă de abstractizare la alta.

Pornind de la sensul major al paradigmei educaţionale la matematică şi anume, reamplasarea accentului de pe predarea de informaţii, pe formarea de capacităţi, în curriculum sînt conturate cîteva schimbări calitative în raport cu programele tradiţionale: − reorientarea de la abordarea de tip academic a domeniilor

matematicii spre prezentarea unor varietăţi de situaţii pro-blematice, pentru a crea deschideri către domeniile matema-ticii;

− micşorarea ponderii de aplicare de algoritm în favoarea folo-sirii diferitelor strategii în rezolvarea de probleme;

7

− trecerea de la folosirea explorării/investigării numai la nive-lul performanţelor superioare spre organizarea unor astfel de activităţi, care ar permite explorarea/investigarea la nivelul noţiunilor de bază;

− trecerea de la organizarea activităţilor de învăţare unice pen-tru toţi elevii la activităţi variate (individuale, în grup etc.) în funcţie de nivelul de dezvoltare al fiecărui elev. Prezentul curriculum consemnează oferta educaţională a

disciplinei şcolare Matematica pentru parcursul didactic în clasele de liceu. În acest cadru curriculum-ul cuprinde:

I. Notă explicativă. II. Cadru conceptual. III. Obiective pe aria curriculară “Matematică şi ştiinţe” IV. Obiective generale ale predării-învăţării matematicii

în clasele X-XII. V. Obiective-cadru, obiective de referinţă (pe profiluri:

A. profilul real; B. profilul umanist) VI. Conţinuturi (pe profiluri). VII. Sugestii metodologice. VIII. Sugestii de interdisciplinaritate IX. Sugestii pentru evaluare. X. Bibliografie. Scopul studierii matematicii în liceu este înţelegerea mai

profundă a conceptelor, a procedurilor de calcul, a terminologiei. În cadrul studierii matematicii vor fi dezvoltate capacităţile de explorare-investigare, interesul şi motivaţia pentru studiul şi apli-carea matematicii în contexte variate.

Învăţarea matematicii în şcoală urmăreşte conştientizarea natu-rii matematicii, pe de o parte, ca o activitate de rezolvare a probleme-lor, bazată pe un sistem de capacităţi, cunoştinţe, procedee, iar pe de altă parte, ca disciplină dinamică, strîns legată de viaţa cotidiană, de rolul ei în ştiinţele naturii, în tehnologii şi în ştiinţele sociale.

8

Obiective. Pentru realizarea scopului studierii matematicii în şcoală, curriculum-ul conţine „Obiective generale ale predării-învăţării matematicii". Ele derivă din obiectivele pe arie curriculară „Matematica şi ştiinţe", servesc drept finalităţi ale învăţăturii la sfîrşi-tul ciclului şcolar şi au un grad foarte înalt de generalitate şi de com-plexitate. Obiectivele generale sînt clasificate în categorii de cunoaş-tere, aplicare şi integrare, care se structurează prin disciplina şcolară Matematica. Aceste obiective servesc drept surse de elaborare a ob-iectivelor-cadru, a obiectivelor de referinţă. Totodată, ele orientează profesorul în elaborarea obiectivelor operaţionale şi a celor de eva-luare.

Structura didactică cognitivă (a se vedea schema de la pagina 6) ilustrează reprezentarea conţinutului disciplinei şco-lare Matematica, şi anume, modul cum evoluează sub aspect cognitiv de la clasa I-a la clasa a XII-a. Obiectivul fundamental al acestei structuri este centrarea pe concept (pe conceptele fundamentale). Structura didactică cognitivă are următoarele caracteristici:

• informaţiile care se predau în fiecare an şcolar sînt în esenţă aceleaşi, succesiunea lor fiind de aseme-nea ca şi în programele tradiţionale;

• modul de structurare a informaţiilor (faţă de cel tradiţional) are un caracter deschis:

− realizează cu uşurinţă transferul de cunoştinţe de la un domeniu la altul, de la un ciclu la altul;

− asigură claritatea interconexiunilor între elementele acelu-iaşi domeniu şi între domenii;

− evidenţiază relaţiile între concepte, evidenţiază punţile de legătură care ajută la înţelegerea şi la fixarea noţiunilor;

• gradele de complexitate ale informaţiilor sînt de-terminate după criteriile: nivelul de generalizare; legătura între concepte; dinamica legăturilor.

9

OBIECTIVE PE ARIA CURRICULARĂ MATEMATICĂ ŞI ŞTIINŢE

Această categorie pedagogică transpune obiectivele transdiscipli-nare la nivelul unor obiecte de studiu înrudite pentru disciplinele şcolare matematică, fizică, chimie, biologie, informatică.

A. Cunoaştere A. 1. Cunoaşterea şi înţelegerea terminologiei şi a conceptelor sau

a modelelor specifice ştiinţelor; A. 1.1. Reproducerea, denumirea, recunoaşterea unor termeni, fapte,

reguli, algoritmi, definiţii, ale unor concepte şi modele consacrate; A. 1.2. Descrierea, compararea, stabilirea de asemănări şi de deose-

biri, selectarea, clasificarea, analiza, sinteza; construirea unor definiţii sau concepte pornind de la fapte, procedee, cunoştinţe noţiuni mai simple;

A. 1.3. Identificarea şi crearea de probleme noi, pornind, eventual, de la situaţie-problemă sau de la un concept dat;

A. 1.4. Interiorizarea unei imagini dinamice asupra ştiinţei, înţeleasă ca activitate umană, în cadrul căreia ideile ştiinţifice se schimbă în timp şi sînt afectate de contextul social şi cultural; înţelegerea limitelor cunoaşterii ştiinţifice.

B. Aplicare B. 1. Tehnica utilizării unor instrumente şi procedee practice. B. 1.1. Structurarea deprinderilor de lucru cu diferite instrumente de

măsură (riglă, compas, cilindru gradat, balanţă, termometru, ampermetru, tensiometru, truse etc.);

B. 1.2. Însuşirea principiilor de utilizare a unor aparate (calculatoare de buzunar, calculatoare personale, microscop), a unor catalizatori etc.; for-marea obişnuinţei de a lucra cu acestea în contexte variate;

B. 1.3. Folosirea instrumentelor de măsură şi a aparatelor în situaţii practice simple, pentru compararea unor obiecte, fapte sau mărimi, pe baza unor categorii, cum sînt: aria, volumul, temperatura, viteza, timpul, presiu-nea, cantitatea de informaţii etc.

B. 2. Realizarea unor experimente (concrete, mintale sau prin folosi-rea unor date obţinute pe cale experimentală);

B. 3. Reformularea unei probleme; formularea unei probleme echi-valente; particularizarea şi/sau generalizarea rezultatelor unei probleme;

B. 4. Conceperea unor probleme din aceeaşi arie sau pe o temă dată; B. 5. Însuşirea unor metode de rezolvare, specifice unor clase de pro-

bleme sau exerciţii; B. 6. Transferul şi extrapolarea soluţiilor unor probleme pentru re-

zolvarea altora;

10

B. 7. Conceperea unui model matematic adecvat conţinutului unei probleme de fizică, chimie, biologie; reprezentarea grafică, hărţi, tabele, diagrame; interpretarea unor astfel de modele;

B. 8. Construcţia altor tipuri de modele, care să reprezinte diverse si-tuaţii, fapte, relaţii, idei, (diferite de cele matematice), pentru studiul unor fenomene din ştiinţe;

B. 9. Imaginarea unor experienţe mentale, utile în rezolvarea unor probleme;

B. 10. Aprecierea critică a unei soluţii, din punctul de vedere al corecti-tudinii, simplităţii, clarităţii, metodelor aplicate şi al semnificaţiei rezultatelor;

B. 11. Compararea soluţiilor unor probleme; desprinderea unor concluzii sau a unor metode mai generale; sesizarea limitelor unor căi de rezolvare;

B.12. Întrebuinţarea unor surse secundare (cărţi, dicţionare, prospec-te, înregistrări video, baze de date etc.).

C. Integrare C.1. Rezolvarea de probleme: C.1.1. Realizarea eficientă a unor activităţi cu caracter experimental: C.1.1.1. Punerea progresivă în practică a unui demers experimental

cunoscut şi înregistrarea datelor obţinute; C.1.1.2. Punerea în practică a unui demers experimental, înregistra-

rea datelor obţinute şi interpretarea acestora; C.1.1.3. Alegerea şi modificarea eventuală a procedeelor experimen-

tale, în funcţie de scopul şi tematica urmărite; realizarea propriu-zisă a ex-perimentului; desprinderea concluziilor;

C.1.1.4. Identificarea situaţiilor în care este utilă recurgerea la experi-ment;

C.1.1.5. Imaginaţia şi crearea unui procedeu experimental adecvat unei anumite situaţii.

C.2. Comunicarea C.2.1. Înregistrarea sistematică a unor date într-o diagramă sau

o schemă, în scopul prezentării lor; C.2.2. Utilizarea terminologiei ştiinţifice în situaţii de comunicare; C.2.3. Interiorizarea treptată a exigenţelor unei exprimări ştiinţifice; C.2.4. Susţinerea propriilor idei şi puncte de vedere prin argumentare

sau formulare de întrebări; C.2.5. Prezentarea în scris sau oral a propriilor investigaţii şi a rezul-

tatelor acestora; angajarea într-o discuţie cu profesorul sau colegii, pe mar-ginea acestora;

C.2.6. Comunicarea în cadrul unei activităţi desfăşurate într-un grup restrîns;

C. 3. Încrederea în forţele proprii;

11

C. 4. Gîndire deschisă, creativă, flexibilă, spirit de obiectivitate şi to-leranţă;

C. 5. Independenţă în gîndire şi acţiune; C. 6. Cooperarea în calitatea de membru al unui grup; C. 7. Comportament ecologic.

OBIECTIVE GENERALE ALE PREDĂRII – ÎNVĂŢĂRII MATEMATICII ÎN CLASELE X-XII

A. Cunoaştere − Înţelegerea conceptului de număr (prin extinderea progresivă a mul-

ţimii sferei numerelor studiate: de la numere naturale pînă la numere complexe).

− Înţelegerea conceptelor geometrice: figuri, corpuri, relaţii (de poziţie şi mişcare în plan şi în spaţiu).

− Înţelegerea conceptelor de limită, derivată, integrală. − Cunoaşterea conceptelor de măsurare şi măsură, inclusiv generaliza-

rea lor. − Cunoaşterea reprezentărilor uzuale ale entităţilor matematice studiate:

concrete, grafice, verbale, algebrice. − Însuşirea unor metode specifice anumitor clase de probleme.

B. Aplicare − Utilizarea terminologiei ştiinţifice în situaţii de comunicare. − Interpretarea unui rezultat sau demers în diferite forme matematice

studiate anterior. − Efectuarea de estimări şi aproximări. − Utilizarea regulilor, relaţiilor, şirurilor, funcţiilor, formulelor, teore-

melor, ecuaţiilor şi inecuaţiilor, elementelor de combinatorică în di-verse contexte, inclusiv în situaţii reale sau modelate.

− Aplicarea unor noţiuni din teoria mulţimilor de logică matematică, de probabilităţi în diverse contexte, inclusiv în situaţii reale sau modelate.

− Organizarea datelor; colectarea, înregistrarea, prelucrarea, analiza, re-prezentarea şi interpretarea datelor.

− Explorarea posibilităţilor de construire a unor reprezentări multiple ale aceleiaşi entităţi matematice în diverse contexte, inclusiv în situaţii reale.

− Interpretarea unor reprezentări; identificarea şi descrierea cu ajutorul unor modele matematice, desene etc., a unor relaţii sau situaţii multi-ple ilustrate de aceeaşi reprezentare.

− Folosirea reprezentărilor amintite pentru anticiparea unor rezultate sau evenimente, intuirea ideii de dependenţă funcţională.

− Intuirea algoritmului după care este construită o succesiune dată ex-

12

primată “în cuvinte” sau cu ajutorul unor expresii literare, a regulilor descoperite.

− Generalizarea şi particularizarea; folosirea particularizării, generaliză-rii, inducţiei sau analogiei pentru alcătuirea sau rezolvarea de proble-me noi, pornind de la o proprietate sau problemă dată.

− Compararea, căutarea de asemănări şi deosebiri, clasificarea după unul sau mai multe criterii explicite sau implicite, luate simultan, a unor entităţi matematice variate (desene, exerciţii, probleme cu text, ecuaţii, exerciţii verbale etc.).

− Folosirea unor comparaţii şi clarificări pentru descoperirea unor pro-prietăţi, reguli etc.

− Construirea şi interpretarea unor grafice. − Folosirea celor mai diferite repere pentru precizarea poziţiei unui ob-

iect sau punct. − Transferul şi extrapolarea soluţiilor unor probleme pentru rezolvarea

altora. − Analiza rezolvării unei probleme din punctul de vedere al corectitudi-

nii, al simplităţii, al clarităţii şi al semnificaţiei rezultatelor. − Formarea obişnuinţei de a verifica dacă o problemă este sau nu de-

terminată, de a căuta toate soluţiile sau de a stabili unicitatea soluţii-lor. Analiza rezultatelor.

− Utilizarea terminologiei ştiinţifice în formularea şi rezolvarea diverse-lor probleme. C. Integrare

− Stimularea curiozităţii, imaginaţiei, tenacităţii, perseverenţei, încrede-rii în forţele proprii.

− Formarea obişnuinţei unei gîndiri deschise, creative şi a unui spirit de obiectivitate şi toleranţă.

− Manifestarea independenţei în gîndire şi acţiune: dezvoltarea simţului estetic şi critic.

− Încurajarea iniţiativei şi disponibilităţii de a aborda sarcini variate. − Formarea obişnuinţelor de a recurge la concepte şi metode matemati-

ce în abordarea unor situaţii cotidiene sau pentru rezolvarea unor pro-bleme uzuale, pentru studiul unor fenomene din ştiinţă.

− Înţelegerea avantajelor pe care le oferă matematica în abordarea, clari-ficarea şi rezolvarea unor probleme practice sau situaţii cotidiene şi rolul ei în ştiinţă, tehnică, ştiinţe sociale. Aprecierea activităţii practice.

− Stimularea unor atitudini favorabile faţă de ştiinţă şi de cunoaştere în general.

13

− Tendinţa spre realizarea potenţialului intelectual. − Imaginarea şi folosirea creativă a reprezentărilor variate pentru depă-

şirea unor dificultăţi sau ca punct de plecare pentru intuirea, ilustrarea, clarificarea sau justificarea unor idei, algoritmi, metode, căi de rezol-vare etc.

− Construirea şi interpretarea unor diagrame, tabele, scheme şi grafice ilustrînd situaţii cotidiene.

− Formarea obişnuinţei de a recurge la diverse tipuri de reprezentări pentru clasificarea, rezumarea şi prezentarea concluziilor unor expe-rimente.

− Rezolvarea de probleme şi situaţii-problemă. Reformularea unei pro-bleme echivalente sau înrudite.

− Iniţierea şi realizarea creativă a unor investigaţii. − Folosirea unor idei, reguli sau metode matematice în abordarea unor

probleme practice sau pentru structurarea unor situaţii diverse. − Interiorizarea treptată a exigenţelor unei exprimări riguroase. − Justificarea unui rezultat sau demers, recurgînd la argumentări. − Angajarea în discuţii critice şi constructive asupra unui subiect mate-

matic. Adoptarea punctelor de vedere diferite şi orientarea în vederea formării propriei viziuni.

OBIECTIVE-CADRU 1. Înţelegerea noţiunii de număr: natural, întreg, raţional, real, com-

plex. Efectuarea operaţiilor cu numere. 2. Recunoaşterea şi utilizarea unor elemente de logică matematică,

din teoria mulţimilor şi combinatorică. 3. Iniţierea în calcul algebric. Rezolvarea de ecuaţii, inecuaţii, sisteme

şi totalităţi. 4. Recunoaşterea şi utilizarea unor elemente de statistică matemati-

că şi probabilităţi. 5. Recunoaşterea şi utilizarea unor relaţii, funcţii, şiruri. 6. Recunoaşterea figurilor şi a corpurilor geometrice. Utilizarea unor

elemente de geometrie metrică. Utilizarea unor transformări geome-trice.

14

A. Profilul real

EŞALONAREA BLOCURILOR DE CONŢINUT PE CLASE

Clasa a X-a 1. Recapitulare şi completări. 2. Numere reale. 3. Elemente de logică. Mulţimi. 4. Binomul lui Newton. Metoda inducţiei matematice. Elemente de

combinatorică. 5. Relaţii şi funcţii. Funcţia putere, radical, exponenţială, logaritmi-

că. Funcţiile trigonometrice şi funcţiile trigonometrice inverse. 6. Ecuaţii. Inecuaţii. Sisteme. Totalităţi. 7. Geometrie în plan. Recapitulare şi completări. 8. Elemente de axiomatica geometriei plane. Elemente de axiomati-

ca geometriei spaţiale. 9. Paralelismul şi perpendicularitatea în spaţiu. Notă: Repartizarea timpului de predare-învăţare-evaluare se va de-

termina reieşind din 5 ore pentru profilul real. Ordinea compartimentelor poate fi schimbată, dacă nu este afectată

logica ştiinţifică sau didactică.

Clasa a Xl-a 1. Recapitulare şi completări. 2. Limite de şiruri. Limite de funcţii. 3. Derivate. Calcul diferenţial. 4. Numere complexe. 5. Matrice. Determinanţi. Sisteme de ecuaţii liniare. 6. Transformări geometrice în spaţiu. 7. Poliedre. Corpuri de rotaţie. Notă: Repartizarea timpului de predare-învăţare-evaluare se va de-

termina reieşind din 5 ore pentru profilul real. Ordinea compartimentelor poate fi schimbată, dacă nu este afectată

logica ştiinţifică sau didactică.

Clasa a XII-a 1. Recapitulare şi completări. 2. Primitiva. Integrala nedefinită. Integrala definită. Aplicaţii. 3. Polinoame în mulţimea numerelor complexe. 4. Elemente de geometrie analitică. 5. Elemente de statistică matematică şi teoria probabilităţilor. 6. Recapitulare finală.

15

Notă: Repartizarea timpului de predare-învăţare-evaluare se va de-termina reieşind din 5 ore pentru profilul real.

Ordinea compartimentelor poate fi schimbată, dacă nu este afectată logica ştiinţifică sau didactică.

CLASA A X-A

Obiective-cadru. Obiective de referinţă. Evaluările făcute vor arăta dacă:

Conţinuturi

Obiectiv-cadru: I. Înţelegerea noţiunii de număr: natural, întreg, raţional, real, com-plex. Efectuarea operaţiilor cu numere

La sfîrşitul clasei a X-a elevul va fi capabil: 1.1. Să recunoască elementele mulţimilor numerice studiate (N, Z, Q, R) şi să scrie numere reale, folosind diverse forme. 1.2. Să efectueze trecerea de la o formă de scriere a numerelor reale la alta. 1.3. Să reprezinte geometric numerele reale şi să utilizeze terminologia aferen-tă noţiunilor de număr. 1.4. Să efectueze adunări, scăderi, în-mulţiri, împărţiri, ridicări la puteri cu exponent număr raţional, real, operaţii cu radicali de ordinul n, n ∈N, n≥2, cu logaritmii numerelor pozitive. 1.5. Să utilizeze în calcule proprietăţile operaţiilor matematice. 1.6. Să descompună un număr real dat, utilizînd operaţiile studiate. 1.7. Să efectueze calcul rapid cu expre-sii numerice simple. 1.8. Să compare numere reale prin di-verse metode. 1.9. Să aproximeze numerele date prin lipsă sau prin adaos. 1.10. Să analizeze diferite estimări deja făcute, prin refacerea lor, îmbunătăţind marja de eroare.

Numere reale Noţiunea de număr natural, întreg ra-ţional, iraţional, real. Mulţimile N, Z, Q, R. Reprezentarea nu-merelor reale pe axa numerelor. Modulul numerelor reale. Proprietăţi:

.

;

baba6)

0;b,ba

ba5)

baba4)

;aaa3)

;aa2)

0;a1)

222

+≤+

≠=

⋅=⋅

==

−=

≥

Operaţii cu numere reale (adunarea, scăderea, înmulţirea, împărţirea, ridica-rea la putere cu exponent raţional, real, extragerea rădăcinilor). Proprietăţi. Logaritmul unui număr pozitiv. Proprie-tăţi. Logaritmarea şi potenţierea expre-siilor. Aproximări şi estimări cu numere reale.

16

1.11. Să folosească estimări şi aproxi-mări pentru verificarea validităţii unor calcule cu numere reale, folosind puteri, radicali, logaritmi.

Obiectiv-cadru: II. Recunoaşterea şi utilizarea unor elemente de logică matematică, din teoria mulţimilor şi combinatorică

La sfîrşitul clasei a X-a elevul va fi capabil: 2.1.Să investigheze valoarea de adevăr a unei afirmaţii cu ajutorul exemplelor, contraexemplelor, proprietăţilor opera-ţiilor algebrice, predicatelor. 2.2. Să opereze cu noţiunile: ipoteză, concluzie, demonstraţie, teoremă, axiomă, definiţie, teoremă directă, teo-remă reciprocă, negaţie, implicaţie, echivalenţă, conjuncţie, disjuncţie, ope-rator logic, tabelă de adevăr, cuantifica-tor. 2.3. Să recunoască predicatele şi să de-termine valoarea lor de adevăr, implica-ţia şi echivalenţa lor. 2.4. Să aplice în diverse contexte cuan-tificatorii existenţial şi universal. 2.5. Să formuleze generalizări, concreti-zări şi să le verifice prin diverse mo-dalităţi (exemple, contraexemple, formu-le, proprietăţi, tabelă de adevăr). 2.6. Să folosească terminologia aferentă teoriei mulţimilor. 2.7. Să utilizeze în diverse contexte rela-ţiile de incluziune şi egalitate între mul-ţimi; relaţia de apartenenţă a elementelor unei mulţimi. 2.8. Să determine submulţimile unei mulţimi. 2.9. Să efectueze operaţii cu mulţimi; să reprezinte analitic, sintetic, geometric rezultatele obţinute.

Elemente de logică matematică.

Noţiunea de propoziţie. Valoarea de adevăr a propoziţiei. Operaţii cu propo-ziţii: negaţia, disjuncţia, conjuncţia, im-plicaţia, echivalenţa. Tabelul de adevăr. Noţiunea de predicat. Cuantificatorii exestenţial şi universal. Implicaţia şi echivalenţa predicatelor. Propoziţia directă, propoziţia reciprocă. Condiţii necesare, condiţii suficiente, condiţii necesare şi suficiente. Metoda reducerii la absurd.

Mulţimi

Noţiunea de mulţime. Relaţia de apartenenţă. Cardinalul mul-ţimii finite. Relaţia de incluziune. Relaţia de egalitate. Operaţii cu mulţimi (reuniunea, inter-secţia, diferenţa, produsul cartezian). Proprietăţi fundamentale ale operaţiilor cu mulţimi.

Inducţia matematică Noţiunea de inducţie. Noţiunea de de-ducţie. Metoda inducţiei matematice. Aplicaţii la demonstraţia unor identităţi numeri-ce.

17

2.10. Să utilizeze în diverse contexte proprietăţile de bază ale operaţiilor cu mulţimi. 2.11. Să identifice noţiunea de mulţime ordonată. 2.12. Să identifice noţiunile de permu-tări, aranjamente, combinări ale ele-mentelor unei mulţimi finite. 2.13. Să utilizeze permutările, combină-rile, aranjamentele în rezolvarea ecuaţii-lor, inecuaţiilor, problemelor simple din viaţă. 2.14. Să utilizeze terminologia aferentă inducţiei matematice. 2.15. Să aplice metoda inducţiei mate-matice la demonstraţia identităţilor nu-merice. 2.16. Să folosească estimări şi aproxi-mări pentru verificarea validităţii unor calcule cu mulţimi şi elemente de com-binatorică. 2.17. Să utilizeze binomul lui Newton şi/sau formula termenului general în situaţii reale sau modelate. 2.18. Să utilizeze proprietăţile coefi-cienţilor binomiali la rezolvarea diver-selor probleme.

Combinatorica Noţiunea de mulţime ordonată. Noţiu-nea de factorial. Permutări, aranjamente, combinări (fără repetări). Proprietăţi fundamentale. Ecuaţii şi inecuaţii ce conţin

Pn; A ; C mn . m

n

Binomul lui Newton Formula termenului general. Proprietă-ţile fundamentale ale coeficienţilor bi-nomiali. Triunghiul lui Pascal.

Obiectiv-cadru: III. Calcul algebric. Rezolvarea de ecuaţii, inecuaţii, sisteme şi totali-tăţi

La sfîrşitul clasei a X-a elevul va fi capabil: 3.1. Să efectueze transformări identice ale expresiilor transcendente simple. 3.2. Să aprecieze rigoarea, ordinea şi eleganţa în arhitectura rezolvării ecua-ţiilor şi inecuaţiilor. 3.3. Să recunoască ecuaţii şi inecuaţii iraţionale, ecuaţii, inecuaţii echivalente.

Ecuaţii şi inecuaţii raţionale. Sisteme, totalităţi de ecuaţii (inecuaţii).

Transformarea expresiilor transcen-dente.

Ecuaţii şi inecuaţii iraţionale. Ecuaţii iraţionale de tipul: n xf )( = g(x), unde g(x) = ax+b; a,b∈R, n =2; 3;

18

3.4. Să utilizeze diverse metode de re-zolvare a ecuaţiilor iraţionale de tipul: n xf )( = g(x); unde g(x) = ax+b; a,b∈R, iar n =2; 3; k xf )( ± k xg )( = ax+b; a,b∈R, k∈N*, k=2; 3; k xf )( ± k xg )( =, k xh )( , k∈N*, k=2;3;

g(x)⋅ k xf2 )( = 0, k∈N* şi reductibile la ele. 3.5. Să rezolve inecuaţii iraţionale de tipul:

)(xf < g (x);

g (x)· k xf2 )( < 0; (semnul “<” poate fi înlocuit cu “>”, “≤”, “≥”) şi reductibile la ele. 3.6. Să recunoască ecuaţiile şi inecuaţii-le exponenţiale şi logaritmice. 3.7. Să utilizeze diverse metode de re-zolvare a ecuaţiilor, inecuaţiilor expo-nenţiale şi logaritmice indicate la conţi-nuturi. 3.8. Să recunoască sistemele (totalităţi-le) de ecuaţii exponenţiale şi logaritmi-ce studiate. 3.9. Să aplice diverse metode de rezol-vare a sistemelor de ecuaţii exponenţia-le şi logaritmice studiate. 3.10. Să utilizeze cercul trigonometric în rezolvarea unor exerciţii şi probleme. 3.11. Să măsoare unghiuri, aplicînd di-verse unităţi de măsură. 3.12. Să recunoască şi să utilizeze iden-tităţile trigonometrice fundamentale şi formulele indicate la conţinuturi în di-verse contexte. 3.13. Să recunoască ecuaţiile şi inecua-

k ± xf )( k xg )( = ax+b; a,b∈R, k∈N*, k=2; 3; k xf )( ± k xg )( =, k xh )( , k∈N*, k=2;

3; g(x)⋅ k xf2 )( = 0, k∈N* şi reductibile la ele. Inecuaţii iraţionale de tipul:

)(xf < g (x); g (x)· k xf )(2 < 0, k∈N*. (semnul “<” poate fi înlocuit cu “>”, “≤”, “≥”) şi reductibile la ele.

Ecuaţii şi inecuaţii exponenţiale

Ecuaţii exponenţiale de tipul: 1. af (x)=ag (x) şi reductibile la ele; 2. ecuaţii exponenţiale ce se reduc la

ecuaţii algebrice studiate; 3. ecuaţii exponenţiale omogene; 4. ecuaţii exponenţiale de tipul 1-3 ce

conţin necunoscuta sub simbolul modulului sau parametru.

Inecuaţii exponenţiale de tipul: 1. af (x) < ag (x) şi reductibile la ele;

(semnul “<” poate fi înlocuit cu “>”, “≤”, “≥”).

2. inecuaţii exponenţiale ce se reduc la inecuaţii algebrice studiate;

3. inecuaţii exponenţiale de tipul 1-2 ce conţin necunoscuta sub semnul mo-dulului.

Ecuaţii şi inecuaţii logaritmice

Ecuaţii logaritmice de tipul: 1. loga f(x)=b; 2. loga f(x)=loga g(x); 3. loga f(x) ± loga g(x)=loga ϕ(x), a>0,

a≠1 şi/sau a = m x+n, m,n∈R;

4. ecuaţii logaritmice reductibile la

19

ţiile trigonometrice. 3.14. Să utilizeze diverse metode de rezolvare a ecuaţiilor trigonometrice. 3.15. Să aplice elemente de trigonome-trie în diverse domenii. 3.16. Să aplice ecuaţiile, inecuaţiile, sistemele studiate în diverse domenii. 3.17. Să folosească estimări şi aproxi-mări în rezolvări de ecuaţii, inecuaţii, sisteme, totalităţi.

ecuaţii algebrice studiate; 5. ecuaţii logaritmice simple în rezol-

varea cărora se utilizează definiţia logaritmului şi/sau proprietăţile acestuia;

6. ecuaţii logaritmice de tipul 1-5 ce conţin necunoscuta sub semnul mo-dulului.

Inecuaţii logaritmice de tipul: 1. logaf(x) < b; 2. logaf(x) < logag(x); 3. logaf(x) ± logag(x) < loga ϕ(x), a>0,

a≠1; 4. inecuaţii logaritmice reductibile la inecuaţii algebrice studiate; 5. inecuaţii logaritmice de tipul logmx+na<b, m,n∈R, a∈R*

+; 6. inecuaţii logaritmice de tipul 1-5 ce conţin necunoscuta sub semnul modulu-lui (semnul “<” poate fi înlocuit cu “>”, “≤”, “≥”).

Sisteme de ecuaţii exponenţiale şi logaritmice

Sisteme de ecuaţii exponenţiale şi loga-ritmice ce conţin ecuaţii exponenţiale şi/sau logaritmice studiate.

Elemente de trigonometrie Măsura unghiului în grade, radiani. Cercul trigonometric. Identităţi trigonometrice fundamentale. Tabelul valorilor sinusului, cosinusului, tangentei, cotangentei pentru unghiuri frecvent utilizate. Formulele de reducere. Identităţile trigonometrice uzuale: a) formulele sumei sin (α ± β), cos (α ± β), tg (α ± β); b) formulele unghiului dublu sin 2α, tg 2α, cos 2α şi formulele de

20

micşorarea gradului; c) formulele sinα ± sinβ, cosα ± cosβ. Ecuaţii trigonometrice de tipul: 1. ecuaţii trigonometrice fundamentale; 2. ecuaţii trigonometrice reductibile la

ecuaţii algebrice; 3. ecuaţii trigonometrice omogene (de

grad I, II) şi reductibile la ele; 4. ecuaţii trigonometrice de formă

asinx + bcosx + c = 0, a, b, c ∈ R. 5. ecuaţii trigonometrice de tipul 1-4

cu selecţia soluţiilor. Rezolvarea celor mai simple inecuaţii trigonometrice.

Obiectiv-cadru: IV. Organizarea datelor şi utilizarea unor elemente de statistică şi probabilităţi

La sfîrşitul clasei a X-a elevul va fi capabil: 4.1. Să recunoască şi să utilizeze noţiu-nea de eveniment ataşat unui experi-ment; să clasifice evenimente după di-verse criterii. 4.2. Să reprezinte rezultatele observaţii-lor, relaţii prin desene şi tabele şi să extragă informaţii din tabele, liste, dia-grame. 4.3. Să determine probabilitatea produ-cerii unui eveniment utilizînd raportul: numărul cazurilor favorabile/numărul cazurilor posibile. 4.4 Să sorteze şi să clasifice obiecte pe baza unor criterii, să formuleze criteriile după care alege o mulţime de obiecte; 4.5. Să organizeze datele în exemple din cotidian (coduri poştale, coduri se-crete etc.) şi informatică (algoritmizarea datelor).

21

Obiectiv cadru: V. Recunoaşterea şi utilizarea unor relaţii, funcţii, şiruri

La sfîrşitul clasei a X-a elevul va fi capabil: 5.1. Să recunoască şi să utilizeze noţiu-nea de funcţie, graficul funcţiei în diver-se contexte. 5.2. Să recunoască proprietăţile funcţiei studiate şi ale graficului ei. 5.3. Să determine existenţa funcţiei in-verse avînd dat graficul funcţiei. 5.4. Să clasifice funcţiile studiate după diverse criterii. 5.5. Să utilizeze proprietăţile funcţiilor: funcţiile de gradul I şi II; proporţionali-tatea directă şi inversă; funcţia putere, funcţia radical, exponenţială, logaritmi-că, funcţiile trigonometrice.

Funcţii reale

Noţiune de funcţie. Moduri de definire a funcţiei. Graficul funcţiei. Proprietăţi ale funcţiei referitoare la monotonie. Paritatea, periodicitatea, mărginire, zerouri, extreme. Noţiunea de funcţie inversabilă. Compunerea funcţiilor elementare. Funcţiile elementare principale: funcţiile de gradul I şi II; proporţionalita-tea directă şi inversă; funcţia putere, funcţia radical, exponenţială, logaritmi-că; funcţiile trigonometrice. Proprietăţile şi graficele lor. Calculul valorilor funcţiilor trigonometrice ale măsurilor unghiurilor uzuale. Funcţiile trigonometrice inverse: definiţii; pro-prietăţile: arcsin (-a) = -arcsin a; arccos (-a) = π - arccos a; arctg (-a) = - arctg a; arcctg (-a) = π - arcctg a. Calculul valorilor funcţiilor trigonometri-ce inverse ale numerelor reale uzuale.

Obiectiv-cadru: VI. Recunoaşterea figurilor şi a corpurilor geometrice. Utilizarea unor elemente de geometrie metrică.

Utilizarea unor transformări geometrice. La sfîrşitul clasei a X-a elevul va fi

capabil: 6.1. Să recunoască şi să utilizeze axio-me, definiţii, teoreme specifice geome-triei în plan şi spaţiu. 6.2. Să clasifice afirmaţii, aplicînd diverse criterii (axiomă, teoremă, lemă, consecinţă, teorema directă, teorema reciprocă).

Geometria în plan

Elemente ale sistemului axiomatic al geometriei plane. Poziţia relativă a două drepte în plan. Axioma lui Euclid. Teorema lui Thales. Consecinţe. Congruenţa şi asemănarea figurilor. Linii importante în triunghi.

22

6.3. Să recunoască şi să descrie poziţii relative ale punctelor, dreptelor, figuri-lor în plan şi spaţiu, planelor şi corpuri-lor în spaţiu. 6.4. Să construiască, folosind materiale adecvate, modele ale unor poziţii rela-tive ale punctelor, dreptelor, figurilor în plan şi spaţiu, planelor şi corpurilor în spaţiu. 6.5. Să reprezinte în plan configuraţii geometrice. 6.6. Să recunoască şi să utilizeze triun-ghiurile congruente şi asemenea în diverse contexte. 6.7. Să aplice în situaţii reale şi/sau modelate elementele de geometrie în plan studiate. 6.8. Să recunoască şi să utilizeze:

− concurenţa dreptelor în plan şi spaţiu studiate în diferite contex-te;

− proprietăţile figurilor plane în di-ferite contexte;

− plane paralele în diverse contexte. 6.9. Să recunoască, să identifice, să deseneze drepte concurente, neconcu-rente, paralele în plan şi în spaţiu. 6.10. Să recunoască, să deseneze drepte ce intersectează planul, drepte ce nu intersectează planul. 6.11. Să utilizeze criteriile de parale-lism ale dreptei cu planul. 6.12. Să recunoască, să descrie şi să deseneze drepte perpendiculare, drepte perpendiculare pe plan, plane perpendi-culare. 6. 13. Să calculeze lungimile unor seg-mente, măsura unor unghiuri, utilizînd teorema celor trei perpendiculare şi a relaţiilor metrice în triunghi.

Punctele remarcabile ale triunghiului. Relaţiile metrice în triunghiul dreptun-ghic. Relaţiile metrice în triunghi: teorema cosinusurilor, teorema sinusurilor, teo-rema lui Pitagora generalizată. Inegali-tăţi în triunghi. Cercul. Discul. Poziţia relativă a drep-tei şi cercului. Unghi la centru. Unghi înscris. Triun-ghiuri înscrise. Triunghiuri circumscri-se. Relaţiile metrice în cerc. Patrulatere. Patrulatere convexe. Para-lelogramul, rombul, dreptunghiul, pă-tratul, trapezul şi proprietăţile lor. Patrulatere inscriptibile. Poligoane convexe. Poligoane regulate. Proprietăţi. Ariile figurilor plane studiate.

Geometria în spaţiu

Elemente ale sistemului axiomatic a geometriei în spaţiu. Poziţia relativă a dreptelor în spaţiu. Poziţia relativă a dreptei şi planului. Dreapta paralelă cu planul, proprietăţi, criteriu. Poziţia relativă a două plane. Plane paralele, proprietăţi, criteriu. Dreapta perpendiculară pe plan, pro-prietăţi, criteriu. Distanţa de la un punct la o dreaptă, de la o dreaptă la un plan. Teorema celor trei perpendiculare. Reciprocele. Plane perpendiculare, proprietăţi, cri-teriu.

23

6.14. Să recunoască şi să utilizeze crite-riile de perpendicularitate a două drep-te, a dreptei şi a planului, a două plane în diverse contexte. 6.15. Să recunoască şi să utilizeze rela-ţiile metrice în triunghi în diverse con-texte. 6.16. Să aplice elementele de trigono-metrie studiate în geometrie. 6.17. Să recunoască şi să construiască unghiuri diedre, unghiul plan al unui unghi diedru; să calculeze măsuri de unghiuri în spaţiu. 6.18. Să recunoască şi să construiască proiecţii ortogonale ale punctelor, seg-mentelor, dreptelor. 6.19. Să calculeze lungimi de segmen-te, perimetre, arii ale figurilor ce se obţin la secţionarea corpurilor geome-trice cu diverse plane (secţiunea diago-nală, secţiunea axială, secţiunea parale-lă cu bazele). 6.20. Să recunoască figurile geometrice plane din cadrul figurilor spaţiale în contextul paralelismului şi al perpendi-cularităţii figurilor. 6.21. Să interpreteze reprezentări plane ale configuraţiilor spaţiale, să imagine-ze corespondenţa spaţială a acestora şi să extragă din aceste reprezentări ele-mente semnificative.

Proiecţii ortogonale a punctelor, seg-mentelor, dreptelor pe plan. Unghiul dintre dreaptă şi plan. Unghi diedru. Secţiuni cu plane în corpuri geometri-ce (secţiunea diagonală, secţiunea axială, secţiunea paralelă cu bazele).

24

CLASA A XI-A


Conţinuturi

Obiectiv-cadru: I. Înţelegerea noţiunii de număr: natural, întreg, raţional, real, complex şi efectuarea operaţiilor cu numere

La sfîrşitul clasei a Xl-a elevul va fi capabil: 1.1. Să utilizeze terminologia aferentă noţiunii de număr complex. 1.2. Să utilizeze numere complexe şi rea-le scrise în diferite forme în diverse con-texte. 1.3. Să calculeze puteri cu exponent natu-ral a lui i. 1.4. Să transforme numerele complexe reprezentate în forma algebrică în formă trigonometrică şi invers. 1.5. Să efectueze operaţii aritmetice cu numere complexe scrise în diferite forme. 1.6. Să efectueze operaţiile de înmulţire şi împărţire a numerelor complexe scrise în formă trigonometrică. 1.7. Să utilizeze formula lui Moivre în calculele respective. 1.8. Să extragă rădăcina de ordinul n din numere complexe (n∈N*, 2 ≤ n ≤ 6). 1.9. Să reprezinte geometric numărul complex dat. 1.10. Să estimeze ordinul de mărime al unui număr real rezultat dintr-o operaţie dată, dintr-un calcul.

Numere complexe. Noţiune de număr complex. Forma algebrică şi cea trigonometrică a nu-merelor complexe. Reprezentarea ge-ometrică a numerelor complexe. Mulţimea C. Incluziunile N⊂Z⊂Q⊂R⊂C. Operaţii aritmetice cu numere com-plexe scrise în forma algebrică, trigo-nometrică (înmulţirea, împărţirea, ri-dicarea la putere cu exponent natural, extragerea rădăcinii de ordinul n, 2 ≤ n ≤ 6, n ∈N*).

25


La sfîrşitul clasei a Xl-a elevul va fi capabil: 2.1. Să formuleze predicţii bazate pe ex-perienţă. 2.2. Să investigheze valoarea de adevăr a unei afirmaţii, cu ajutorul exemplelor sau contraexemplelor din matematică, din alte discipline. 2.3. Să facă generalizări şi să le verifice sau să dea un anumit grad de justificare a lor. 2.4. Să formuleze enunţuri în care inter-vin operatorii logici şi cuantificatori. 2.5. Să utilizeze terminologia studiată aferentă logicii matematice. 2.6. Să recunoască mulţimi finite şi mul-ţimi infinite. 2.7. Să efectueze operaţii studiate cu mul-ţimi. 2.8. Să utilizeze relaţiile de incluziune şi egalitate între mulţimi, proprietăţile lor. 2.9. Să aplice elemente de combinatorică şi inducţie matematică în diverse contex-te.

Obiectiv-cadru: III. Calcul algebric. Rezolvarea de ecuaţii, inecuaţii, sisteme şi totalităţi

La sfîrşitul clasei a Xl-a elevul va fi capabil: 3.1. Să aprecieze rigoarea, ordinea şi ele-ganţa în arhitectura rezolvării ecuaţiilor, inecuaţiilor, sistemelor şi totalităţilor. 3.2. Să rezolve ecuaţii de forma ax2+bx+c=0, ax4+bx2+c=0 unde, a≠ 0,a, b, c∈C, binoame de grad n, n ≤ 6, n ∈N în R şi C.

Ecuaţii de gradul al doilea, bipătrate, binoame în C

Sisteme de ecuaţii liniare.

Noţiuni generale. Regula lui Cramer. Sisteme de m ecuaţii liniare cu n ne-cunoscute, inclusiv omogene, n, m { }4,3,2,1∈ . Metoda lui Gauss. Ecuaţii matriciale. Aplicaţii

26

3.3. Să recunoască şi să rezolve sisteme de ecuaţii liniare, inclusiv omogene prin diverse metode (metoda lui Gauss, regula lui Cramer, metode matriciale). 3.4. Să rezolve ecuaţii matriciale de tipul: AּX=B, Y⋅A= B, A⋅X⋅C=B, dacă | A| ≠0, |C | ≠0. 3.5. Să clasifice matricele după diverse criterii studiate şi să utilizeze terminolo-gia aferentă noţiunii de matrice. 3.6. Să utilizeze operaţiile cu matrice şi proprietăţile lor în situaţii reale sau mode-late. 3.7. Să recunoască, să calculeze prin dife-rite metode determinanţii de ordinul doi, trei, patru şi termenii lor. 3.8. Să utilizeze proprietăţile determinan-ţilor, inclusiv dezvoltarea lor după linia i (coloana j) în calculul determinanţilor de ordinul patru. 3.9. Să utilizeze inversa unei matrice în diverse contexte.

Matrice.

Noţiune de matrice. Operaţii cu matrice. Proprietăţi

Determinanţi.

Determinanţi de ordinul doi, trei, de ordinul n; proprietăţile fundamentale necesare pentru calculul determinanţi-lor. Calculul determinanţilor de ordi-nul doi, trei, patru. Matrice inversabilă. Calculul inversei unei matrice inver-sabile de ordin n ≤ 3.


La sfîrşitul clasei a Xl-a elevul va fi capabil: 4.1. Să selecteze din mulţimea datelor culese informaţiile relevante pentru re-zolvarea unei probleme. 4.2. Să reprezinte rezultatele observaţii-lor, relaţii prin diverse grafice, tabele, diagrame şi să extragă informaţii din ta-bele, liste, diagrame, grafice. 4.3. Să estimeze şansa producerii unui eveniment şi să dea justificări pentru es-timarea propusă.

27

Obiectiv-cadru: V. Recunoaşterea si utilizarea unor relaţii, funcţii, şiruri

La sfîrşitul clasei a Xl-a elevul va fi capabil: 5.1. Să reprezinte prin simboluri sau grafi-ce şiruri, subşiruri de numere reale. 5.2. Să clasifice după diverse criterii stu-diate şirurile de numere reale. 5.3. Să utilizeze noţiunea de vecinătate a unui punct în R în diverse contexte. 5.4. Să determine punctele de acumulare, punctele izolate ale unei mulţimi. 5.5. Să prezinte exemple de funcţii care au limită în punctul dat şi care nu au limită în acest punct. 5.6. Să calculeze limite de funcţii elemen-tare studiate într-un punct, limite de func-ţii compuse într-un punct. 5.7. Să aplice noţiunile de limite laterale. 5.8. Să aplice limitele remarcabile stu-diate. 5.9. Să utilizeze terminologia aferentă noţiunilor de limită a funcţiilor la deter-minarea asimptotelor graficului funcţiei. 5.10. Să aplice noţiunile de funcţie conti-nuă, continuă lateral, funcţie discontinuă într-un punct, pe o mulţime în diverse contexte. 5.11. Să determine continuitatea, punctele de discontinuitate în baza formulei anali-tice şi pe graficu funcţiile date. 5.12. Să aplice operaţiile aritmetice la funcţiile continue într-un punct, pe un interval în diverse contexte. 5.13. Să utilizeze proprietăţile funcţiilor continue pe un interval în diverse contex-te. 5.14. Să recunoască noţiunea de derivată, inclusiv laterală, necesitatea introducerii ei, să aprecieze utilitatea ei.

Şiruri de numere reale.

Noţiunea de şir. Formula termenului general. Şiruri monotone, mărginite de numere reale.

Limita funcţiei.

Noţiunea de vecinătate a unui punct. Noţiune de limita unui şir.

Limita funcţiei într-un punct. Calculul limitelor funcţiilor elementare. Limita sumei, produsului, cîtului a două func-ţii; generalizări. Limite remarcabile

ex

exx

x

xx

x

xx

=+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

→

∞→→

1

0

0

)1(lim

,11lim,1sinlim

Cazuri exceptate de limite cu funcţii. Punct de acumulare, punct izolat pen-tru o mulţime. Limite laterale. Asimptotele funcţiilor reale.

Funcţii continue.

Noţiunea de funcţie continuă într-un punct, pe o mulţime. Funcţie discontinuă într-un punct. Continuitatea la stînga şi continuitatea la dreapta. Continuitatea funcţiilor elementare studiate. Proprietăţile fundamentale ale funcţii-lor continue. Operaţii cu funcţii conti-nue.

28

5.15. Să deosebească funcţiile derivabile de cele ce nu posedă derivată (la stînga, la dreapta) într-un punct, pe un interval. 5.16. . Să utilizeze definiţia derivatei la cal-culul derivatelor funcţiilor uzuale, să utilize-ze în diverse contexte formulele obţinute. 5.17. Să utilizeze în diverse situaţii reguli-le de derivare. 5.18. Să calculeze derivatele literale şi cele de ordin superior ale funcţiilor. 5.19. Să utilizeze în diverse contexte noţi-unea de diferenţială a funcţiei, interpreta-rea ei geometrică şi analitică. 5.20. Să utilizeze proprietăţile funcţiilor derivabile în situaţii reale sau modelate. 5.21. Să recunoască şi să utilizeze noţiu-nea de punct critic, punct de extrem, ex-tremele funcţiei. 5.22. Să utilizeze în diferite contexte teo-remele Fermat, Rolle, Lagrange. 5.23. Să aplice noţiunea de derivată în geometrie, fizică, economie. 5.24. Să utilizeze regula lui l΄Hospital în diverse contexte. 5.25. Să recunoască noţiunea de funcţie monotonă pe un interval în interpretare geometrică. 5.26. Să utilizeze derivata la determinarea intervalelor de monotonie şi a extremelor funcţiei. 5.27. Să utilizeze noţiunile de grafic con-cav (convex) pe un interval, punct de in-flexiune. 5.28. Să determine punctele de inflexiune, intervalele de concavitate, convexitate a unei funcţii cu ajutorul derivatei. 5.29. Să utilizeze metodele legate de apli-caţiile derivatei ca metode calitativ noi de studiere a funcţiei, de rezolvare a proble-melor teoretice şi practice.

Funcţii derivabile

Noţiunea de derivată, derivată laterală a unei funcţii într-un punct. Probleme din diverse domenii ce con-duc la noţiunea de derivată. Interpretarea geometrică şi fizică a derivatei. Funcţii derivabile pe o mulţime. Derivata de ordin n, n ≤ 3, n ∈N*. Calculul derivatelor, diferenţialelor funcţiilor uzuale. Reguli de derivare. Derivata funcţiei compuse. Tabelul de-rivatelor funcţiilor elementare. Diferenţiala funcţiei. Aplicaţii ale dife-renţialei la calculul aproximativ. Puncte critice. Puncte de extrem, extremele funcţiei. Proprietăţile funcţiilor derivabile: teo-remele Fermat, Rolle, Lagrange. Aplicaţii ale derivatelor Aplicaţii ale derivatelor în studiul va-riaţiei funcţiei, reprezentarea grafică a ei. Calculul limitelor funcţiei cu ajutorul derivatei. Regula lui l΄Hospital. Aplicaţii directe ale derivatelor în fizi-că, geometrie, economie. Probleme de maxim şi minim. Optimi-zări.

29

5.30. Să aplice derivatele la modelarea matematică a realităţii fizice, la rezolvarea unor probleme de maxim şi minim din diverse domenii. 5.31. Să aplice diferenţiale la efectuarea calcului aproximativ.

Obiectiv-cadru: VI. Recunoaşterea figurilor şi a corpurilor geometrice. Utilizarea unor elemente de geometrie metrică. Utilizarea unor transformări geometrice.

La sfîrşitul clasei a Xl-a elevul va fi capabil: 6.1. Să recunoască şi să utilizeze simetria axială, simetria faţă de un punct, simetria faţă de un plan, translaţia, asemănarea în diverse contexte. 6.2. Să utilizeze terminologia aferentă transformărilor geometrice studiate. 6.3. Să clasifice transformările geometri-ce studiate în spaţii după diverse criterii studiate. 6.4. Să recunoască poliedrele studiate şi să le clasifice după diverse criterii date. 6.5. Să recunoască corpurile de rotaţie şi să le clasifice după diverse criterii date. 6.6. Să reprezinte diverse proiecţii parale-le în plan ale unui corp geometric. 6.7. Să reprezinte secţiunile, indicate la conţinuturi, a corpurilor geometrice cu diferite plane. 6.8. Să calculeze lungimi de segmente, măsuri de unghiuri, perimetre, arii şi vo-lume în corpuri geometrice şi în secţiuni-le lor cu plane. 6.9. Să recunoască figurile geometrice plane din cadrul corpurilor spaţiale. 6.10. Să utilizeze proprietăţile poliedrelor şi ale corpurilor de rotaţie în situaţii reale sau modelate.

Transformări geometrice în spaţiu

Transformări izometrice în spaţiu: - simetria faţă de un punct; - simetria axială; - simetria în raport cu un plan; - translaţia; - asemănarea.

Poliedre

Prisma. Piramida. Trunchiul de piramidă. Poliedre regulate.

Corpuri de rotaţie

Cilindrul. Conul. Trunchiul de con. Sfera. Corpul sferic. Corpuri înscrise şi circumscrise. Secţiuni în corpurile geometrice (diagonale, axiale, paralele cu bazele).

Arii. Volume

30

6.11. Să utilizeze formulele pentru calcu-larea ariilor suprafeţelor şi volumelor cor-purilor geometrice în situaţii reale sau modelate. 6.12. Să estimeze lungimi de segmente, măsuri de unghiuri, perimetre, arii şi vo-lume în corpuri geometrice din situaţii reale sau modelate. 6.13. Să estimeze diferite măsuri în raport cu anumite unităţi de măsură.

CLASA A XII-A


Conţinuturi

Obiectiv-cadru: I. Înţelegerea noţiunii de număr: natural, întreg, raţional, real, com-plex şi efectuarea operaţiilor cu numere

La sfîrşitul clasei a XII-a elevul va fi capabil: 1.1. Să reprezinte numere reale, comple-xe, folosind diferite forme echivalente de scriere; să efectueze treceri de la o formă de scriere la alta. 1.2. Să poziţioneze numere reale pe axa numerelor şi numere complexe în siste-mul ortogonal de coordonate în plan. 1.3. Să utilizeze în calcule proprietăţile operaţiilor cu numere reale, complexe. 1.4. Să estimeze ordinul de mărime al unui număr real rezultat dintr-un calcul. 1.5. Să efectueze estimări pentru verifica-rea corectitudinii unor calcule. 1.6. Să refacă o estimare deja făcută îm-bunătăţind “marja” de eroare.

Mulţimi numerice. Operaţii cu numere.

31


La sfîrşitul clasei a XII-a elevul va fi capabil: 2.1. Să formuleze predicţii bazate pe ex-perienţă. 2.2. Să investigheze valoarea de adevăr a unei afirmaţii, cu ajutorul exemplelor sau contraexemplelor. 2.3. Să facă generalizări şi să le verifice sau să dea un anumit grad de justificare a lor. 2.4. Să formuleze enunţuri în care inter-vin operatorii şi cuantificatorii logici. 2.5. Să utilizeze terminologia aferentă logicii matematice. 2.6. Să efectueze operaţii cu mulţimi. 2.7. Să utilizeze relaţiile de incluziune şi de egalitate între mulţimi. 2.8. Să utilizeze proprietăţile relaţiei de egalitate şi ale relaţiei de inegalitate în mulţimi numerice. 2.9. Să utilizeze elemente de combinato-rică, metoda inducţiei matematice în di-verse contexte.

Aplicaţiile logicii matematice la de-monstrarea teoremelor şi rezolvarea problemelor. Aplicaţii ale mulţimilor şi operaţiilor cu mulţimi la rezolvarea de probleme.

Obiectiv-cadru: III. Calcul algebric. Rezolvarea de ecuaţii, inecuatii, sisteme şi totalităţi

La sfîrşitul clasei a XII-a elevul va fi capabil: 3.1. Să recunoască polinoame cu coefi-cienţi complecşi. 3.2. Să efectueze operaţiile de adunare şi înmulţire a polinoamelor cu o nedetermi-nată. 3.3. Să aplice algoritmul împărţirii poli-noamelor. 3.4. Să utilizeze schema lui Horner la îm-părţirea polinoamelor.

Polinoame cu coeficienţi complecşi. Definiţia polinomului. Forma algebri-că a polinoamelor. Operaţii cu poli-noame. Proprietăţi. Valoarea unui po-linom. Împărţirea polinoamelor. Teo-rema împărţirii cu rest. Împărţirea la „X-a". Schema lui Horner. Rădăcinile polinoamelor. Teorema lui Bezout. Teorema lui Abel-Ruffini şi teorema

32

3.5. Să determine valoarea unui polinom, aplicînd diverse metode. 3.6. Să calculeze rădăcinile polinomului, soluţiile unor ecuaţii algebrice, aplicînd diverse modalităţi studiate, inclusiv relaţii-le Viete. 3.7. Să folosească proprietăţile relaţiei de divizibilitate a polinoamelor în diverse contexte. 3.8. Să aplice algoritmul lui Euclid la cal-culul celui mai mare divizor comun a două polinoame. 3.9. Să exploreze modalităţi de a căuta cel mai mic multiplu comun a două polinoa-me.

lui D' Alembert-Gauss (fără demon-straţie). Rădăcini multiple. Relaţiile între rădăcinile şi coeficienţii polinomului (relaţiile lui Viete). Divizibilitatea polinoamelor. Relaţia de divizibilitate. Proprietăţile funda-mentale ale relaţiei de divizibilitate. Cel mai mare divizor comun a două polinoame. Cel mai mic multiplu comun a două polinoame. Rădăcinile polinoamelor cu coeficien-ţii reali, raţionali, întregi. Ecuaţii reci-proce de gradul 3, 4. Aplicaţiile polinoamelor la rezolvarea unor ecuaţii algebrice de gradul n (1≤ n ≤ 4, n∈N* ) cu coeficienţii reali, raţionali, întregi.

Obiectiv-cadru: IV. Recunoaşterea şi utilizarea unor elemente de statistică matematică şi probabilităţi

La sfîrşitul clasei a XII-a elevul va fi capabil: 4.1. Să recunoască şi să utilizeze noţiunea de eveniment ataşat unui experiment; să clasifice evenimente după diverse criterii. 4.2. Să determine probabilitatea produce-rii unui eveniment utilizînd raportul: nu-mărul cazurilor favorabile/numărul cazu-rilor posibile şi să calculeze probabilita-tea realizării a fiecărui din n evenimente egal probabile. 4.3. Să utilizeze noţiunile de variabilă aleatoare discretă pe exemple concrete, inclusiv din cotidian. 4.4. Să determine valoarea medie a varia-bilei aleatoare discrete. 4.5. Să recunoască şi să utilizeze corelaţia statistică (pe exemple concrete). 4.6. Să construiască şi să interpreteze di-

Evenimente. Eveniment sigur, impo-sibil. Operaţii cu evenimente. Evenimente compatibile, incompatibi-le. Frecvenţele absolută şi relativă a eve-nimentului. Probabilitatea evenimen-tului. Valoarea medie a variabilei aleatoare discrete. Unităţi statistice, populaţie statistică, sondaje (exemple din cotidian). Reprezentări grafice a seriilor statisti-ce. Aplicaţii ale organizării datelor. Compararea datelor. Modul, mediana serie statistice.

33

agrame statistice. 4.7. Să reprezinte rezultatele observaţiilor prin desene, tabele şi să extragă informa-ţiile din tabele, liste, diagrame. 4.8. Să determine modul, mediana, frec-venţa seriei statistice. 4.9. Să organizeze datele în exemple din cotidian (coduri poştale, coduri secrete etc.) şi informatică (algoritmizarea datelor).

Obiectiv-cadru: V. Recunoaşterea şi utilizarea unor relaţii, funcţii, şiruri

La sfîrşitul clasei a XII-a elevul va fi capabil: 5.1. Să recunoască primitiva unei funcţii continue. 5.2. Să aplice în diverse contexte noţiunea de integrală nedefinită. 5.3. Să calculeze primitive şi integrale nedefinite aplicînd proprietăţile respective şi tabelul de integrale nedefinite. 5.4. Să calculeze integrale nedefinite şi definite aplicînd:

– integrarea prin părţi; – metoda de schimbare de variabilă,

pentru integralele nedifinite de tipul ∫ f(ϕ(x)) ⋅ ϕ΄(x)dx 5.5. Să interpreteze geometric integrala definită a unei funcţii continue cu valori nenegative. 5.6. Să recunoască subgraficul unei funcţii în diverse contexte. 5.7. Să aplice formula lui Leibnitz-Newton la calcularea integralei definite. 5.8. Să aplice proprietăţile studiate inte-gralelor definite în diverse contexte. 5.9. Să calculeze integrale definite apli-cînd tabelul de integrale. 5.10. Să calculeze aria subgraficului func-ţiei şi volumul corpului de rotaţie, aplicînd integrala definită.

Primitive Noţiunea de primitivă a funcţiei con-tinue. Pproprietăţile fundamentale ale func-ţiilor continue care admit primitive. Noţiunea de integrală nedefinită. Proprietăţile de bază ale integralei ne-definite. Tabela de integrale nedefinite ale funcţiilor elementare studiate. Formula de integrare prin părţi a inte-gralelor nedifinite Metoda de schimbare de variabilă pentru integralele nedefinite de tipul ∫ f(ϕ(x)) ⋅ ϕ΄(x)dx. Integrala definită. Noţiunea de integrală definită. Subgraficul funcţiei. Formula lui Leibnitz-Newton Proprietăţile fundamentale ale integra-lelor definite. Reprezentarea geometrică a integralei definite a unei funcţii cu valori nene-gative. Aplicaţii ale integralei definite la cal-cularea: − ariei subgraficului funcţiei; − volumului corpului de rotaţie.

34

5.11. Să aplice în situaţii reale sau mode-late noţiunile de primitivă, integrală nede-finită şi integrală definită. 5.12. Să folosească estimări pentru verifi-carea valorii obţinute a integralei definite.

Obiectiv-cadru: VI. Recunoaşterea figurilor plane şi a corpurilor geometrice. Utiliza-rea unor transformări geometrice.

Utilizarea unor elemente de geometrie metrică.

La sfîrşitul clasei a XII-a elevul va fi capabil: 6.1. Să calculeze distanţa dintre două puncte în plan fiind date coordonatele acestora; coordonatele mijlocului unui segment. 6.2. Să scrie ecuaţia dreptei: a) determinate de două puncte; b) determinate de pantă şi un punct; c) prin tăieturi; d) în formă generală. 6.3. Să recunoască şi să construiască dreapta după diferite ecuaţii ale ei. 6.4. Să determine poziţia reciprocă a două drepte în plan fiind date ecuaţiile lor. 6.5. Să calculeze măsura unghiului dintre două drepte în plan. 6.6. Să calculeze distanţa de la un punct la o dreaptă. 6.7. Să recunoască conicele în situaţii rea-le sau modelate, inclusiv ca intersecţii ale suprafeţei conice cu planul. 6.8. Să determine poziţia reciprocă între dreaptă şi conice prin metoda geometrică şi/sau analitică. 6.9. Să scrie, să recunoască ecuaţia tan-gentei la diferite conice. 6.10. Să utilizeze terminologia aferentă dreptelor, conicelor în diverse contexte. 6.11.Să descrie poziţiile dreptelor, punc-tel r în plan.

Dreapta în plan

Distanţa dintre două puncte în plan. Coordonatele mijlocului unui seg-ment. Dreapta în plan. Ecuaţia dreptei de-terminate de: a) două puncte; b) pantă şi un punct; c) prin tăieturi; d) ecuaţia generală a dreptei. Poziţia reciprocă a două drepte în plan. Unghiul dintre două drepte. Pa-ralelismul şi perpendicularitatea dreptelor. Distanţa de la un punct la o dreaptă. Aria unui triunghi.

Conice

Cercul. Definiţie. Ecuaţia canonică. Ecuaţia generală. Elipsa. Definiţie. Ecuaţia canonică. Tangenta la elipsă. Hiperbola. Defini-ţie. Ecuaţia canonică. Asimptotele hiperbolei. Tangenta la hiperbolă. Parabola. Definiţie. Ecuaţia canonică. Tangenta la parabolă.

o

35

B. PROFIL UMANIST

EŞALONAREA BLOCURILOR DE CONŢINUT PE CLASE

Clasa a X-a 1. Recapitulare şi completări. 2. Numere reale. 3. Elemente de logică. Mulţimi. 4. Binomul lui Newton. Metoda inducţiei matematice. Elemente de

combinatorică. 5. Relaţii şi funcţii. Funcţia putere, radical, exponenţială, logaritmică.

Funcţiile trigonometrice. 6. Ecuaţii. Inecuaţii. Sisteme. Totalităţi. 7. Geometria în plan. Recapitulare şi completări. 8. Elemente de axiomatica geometriei plane. Elemente de axiomatica

geometriei spaţiale. 9. Paralelismul şi perpendicularitatea în spaţiu.

Notă: Repartizarea timpului de predare-învăţare-evaluare se va de-termina reieşind din 3 ore pentru profilul umanist.


Clasa a Xl-a 1. Recapitulare şi completări. 2. Limite de şiruri. Limite de funcţii. 3. Derivate. Calcul diferenţial. 4. Numere complexe. 5. Matrice. Determinanţi. Sisteme de ecuaţii liniare. 6. Transformări geometrice în spaţiu. 7. Poliedre.



Clasa a XII-a 1. Recapitulare şi completări. 2. Primitiva. Integrala nedefinită. Integrala definită. Aplicaţii. 3. Polinoame în mulţimea numerelor complexe. 4. Corpuri de rotaţie.

36

5. Elemente de statistică matematică şi teoria probabilităţilor. 6. Recapitulare finală.



CLASA A X-A

Obiective-cadru. Obiective de refe-rinţă. Evaluările făcute vor arăta

dacă: Conţinuturi

Obiectiv-cadru: I. Înţelegerea noţiunii de număr: natural, întreg, raţional, real, complex. Efectuarea operaţiilor cu numere

La sfîrşitul clasei a X-a elevul va fi capabil: 1.1. Să recunoască elementele mulţimi-lor numerice studiatem (N, Z, Q, R) şi să scrie numere reale, folosind di-verse forme. 1.2. Să facă trecerea de la o formă de scriere a numerelor reale la alta. 1.3. Să reprezinte geometric nume-rele reale şi să utilizeze terminolo-gia aferentă noţiunilor de număr. 1.4. Să efectueze adunări, scăderi, înmulţiri, împărţiri, ridicări la pu-teri cu exponent număr raţional, real, operaţii cu radicali de ordinul n, n∈N, n=2, 3 cu logaritmii nume-relor pozitive. 1.5. Să utilizeze în calcule proprie-tăţile operaţiilor matematice. 1.6. Să descompună un număr real dat utilizînd operaţiile studiate. 1.7. Să efectueze calcul rapid cu expresii numerice simple. 1.8. Să compare numerele reale prin diverse metode.

Numere reale

Noţiunea de număr natural, întreg, raţional, iraţional, real. Mulţimile N, Z, Q, R. Reprezentarea numere-lor reale pe axa numerelor. Modulul numere-lor reale. Proprietăţi:

0.b,ba

ba5)

baba4)

;aaa3)

;aa2)0;a1)222

≠=

⋅=⋅

==

−=≥

;

Operaţii cu numere reale (adunarea, scăde-rea, înmulţirea, împărţirea, ridicarea la pu-tere cu exponent raţional, real, extragerea rădăcinilor). Proprietăţi. Logaritmul unui număr pozitiv. Proprietăţi. Logaritmarea şi potenţierea expresiilor.

37

1.9. Să aproximeze numerele date prin lipsă sau prin adaos. 1.10. Să analizeze diferite estimări deja făcute, prin refacerea lor, îm-bunătăţind marja de eroare. 1.11. Să folosească estimări şi aproximări pentru verificarea vali-dităţii unor calcule cu numere rea-le, folosind puteri, radicali, loga-ritmi.

Aproximări şi estimări cu numere reale


La sfîrşitul clasei a X-a elevul va fi capabil: 2.1.Să investigheze valoarea de adevăr a unei afirmaţii cu ajutorul exemplelor, contraexemplelor, proprietăţilor operaţiilor algebrice. 2.2. Să opereze cu noţiunile: ipote-ză, concluzie, demonstraţie, teore-mă, axiomă, definiţie, teoremă di-rectă, teoremă reciprocă, negaţie, implicaţie, echivalenţă, conjuncţie, disjuncţie, operator logic, tabelă de adevăr, cuantificator. 2.3. Să aplice în diverse contexte cuantificatorii existenţial şi univer-sal. 2.4. Să facă generalizări, concreti-zări şi să le verifice prin diverse modalităţi (exemple, contraexem-ple, formule, proprietăţi, tabelă de adevăr). 2.5. Să folosească terminologia aferentă teoriei mulţimilor. 2.6. Să utilizeze în diverse contexte relaţiile de incluziune şi egalitate între mulţimi; relaţia de apartenen-ţă a elementelor unei mulţimi.

Elemente de logică matematică.

Noţiunea de propoziţie. Valoarea de ade-văr a propoziţiei. Operaţii cu propoziţii: negaţia, disjuncţia, conjuncţia, implicaţia, echivalenţa. Tabelul de adevăr. Noţiunea de predicat. Cuantificatorii exis-tenţial şi universal. Implicaţia şi echivalen-ţa predicatelor. Propoziţia directă, propoziţia reciprocă.

Mulţimi

Noţiunea de mulţime. Relaţia de apartenenţă. Cardinalul mulţimii finite. Relaţia de incluziune. Relaţia de egalitate. Operaţii cu mulţimi (reuniunea, intersecţia, diferenţa, produsul cartezian).

Combinatorica

Noţiunea de mulţime ordonată. Noţiunea de factorial. Permutări, aranjamente, combinări (fără repetări). Proprietăţi fundamentale. Ecuaţii ce conţin Pn; A m

n ; C . mn

38

2.7. Să determine submulţimile unei mulţimi. 2.8. Să efectueze operaţii studiate cu mulţimi; să reprezinte analitic, sintetic, geometric rezultatele obţi-nute. 2.9. Să identifice noţiunea de mul-ţime ordonată. 2.10. Să identifice noţiunile de per-mutări, aranjamente, combinări ale elementelor unei mulţimi finite. 2.11. Să utilizeze permutările, combinările, aranjamentele în re-zolvarea ecuaţiilor, problemelor simple din viaţă. 2.12. Să folosească estimări şi aproximări pentru verificarea vali-dităţii unor calcule cu mulţimi şi elemente de combinatorică. 2.13. Să utilizeze în situaţii reale sau modelate binomul lui Newton şi/sau formula termenului general. 2.14. Să utilizeze proprietăţile coe-ficienţilor binomiali la rezolvarea diverselor probleme.

Binomul lui Newton

Formula termenului general. Proprietăţile fundamentale ale coeficienţilor binomiali. Triunghiul lui Pascal.


La sfîrşitul clasei a X-a elevul va fi capabil: 3.1.Să efectueze transformări identi-ce ale expresiilor transcendente sim-ple. 3.2.Să aprecieze rigoarea, ordinea şi eleganţa în arhitectura rezolvării ecuaţiilor şi inecuaţiilor. 3.3. Să utilizeze diverse metode de rezolvare a ecuaţiilor iraţionale de tipul:

Ecuaţii şi inecuaţii raţionale. Sisteme, totalităţi de ecuaţii (inecuaţii).

Transformarea expresiilor transcendente.

Ecuaţii iraţionale

Ecuaţii iraţionale de tipul: 1. Rbabaxxf ∈+= ,,)( ; 2. 0)()( =⋅ xfxg şi reductibile la ele.

39

1. Rbabaxxf ∈+= ,,)(

2. 0)()( =⋅ xfxg şi reductibile la ele. 3.4. Să recunoască ecuaţiile expo-nenţiale şi logaritmice. 3.5. Să utilizeze diverse metode de rezolvare a ecuaţiilor exponenţiale şi logaritmice indicate la conţinuturi. 3.6. Să recunoască sistemele (totali-tăţile) de ecuaţii exponenţiale şi lo-garitmice studiate. 3.7. Să aplice diverse metode de rezolvare a sistemelor de ecuaţii exponenţiale şi logaritmice studiate. 3.8. Să utilizeze cercul trigonometric în rezolvarea unor exerciţii şi pro-bleme. 3.9. Să măsoare unghiuri, aplicînd diverse unităţi de măsură. 3.10. Să recunoască şi să utilizeze identităţile trigonometrice funda-mentale şi formulele indicate la con-ţinuturi în diverse contexte. 3.11.Să aplice elemente de trigono-metrie în diverse domenii. 3.12. Să aplice ecuaţiile, inecuaţiile, sistemele studiate în diverse domenii. 3.13. Să folosească estimări şi apro-ximări în rezolvări de ecuaţii, ine-cuaţii, sisteme, totalităţi.

Ecuaţii exponenţiale

Ecuaţii exponenţiale de tipul: 1. af (x)=ag (x) şi reductibile la ele; 2. ecuaţii exponenţiale ce se reduc la ecua-ţii algebrice studiate.

Ecuaţii logaritmice Ecuaţii logaritmice de tipul:

1. logaf(x)=b; 2. logaf(x)= logag(x); 3. logaf(x) ± logag(x)= loga ϕ(x), a>0, a≠1 4. ecuaţii logaritmice reductibile la ecua-ţii algebrice studiate;

5. ecuaţii logaritmice simple în rezolva-rea cărora se utilizează definiţia loga-ritmului şi/sau proprietăţile acestuia;

Sisteme de ecuaţii exponenţiale şi loga-ritmice

Sisteme de ecuaţii exponenţiale şi loga-ritmice ce conţin ecuaţii exponenţiale şi/sau logaritmice studiate. Identităţile trigonometrice uzuale:

a) formulele sumei sin (α ± β), cos (α ± β), tg (α ± β);

b) formulele unghiului dublu sin2α, tg 2α, cos2α şi formulele de micşorarea gradului.


La sfîrşitul clasei a X-a elevul va fi capabil: 4.1. Să recunoască şi să utilizeze noţiunea de eveniment ataşat unui experiment; să clasifice evenimente după diverse criterii.

40

4.2. Să reprezinte rezultatele obser-vaţiilor, relaţii prin desene şi tabele şi să extragă informaţii din tabele, liste, diagrame. 4.3. Să determine probabilitatea pro-ducerii unui eveniment utilizînd ra-portul: numărul cazurilor favorabi-le/numărul cazurilor posibile. 4.4. Să sorteze şi să clasifice obiecte pe baza unor criterii, să formuleze Criteriile, după care alege o mulţime de obiecte; 4.5. Să organizeze datele în exemple din cotidian (coduri poştale, coduri secrete etc.) şi informatică (algorit-mizarea datelor).


La sftrşitul clasei a X-a elevul va fi capabil: 5.1. Să recunoască şi să utilizeze noţiunea de funcţie, graficul funcţiei în diverse contexte. 5.2. Să recunoască proprietăţile stu-diate funcţiei şi ale graficului ei. 5.3. Să clasifice funcţiile studiate după diverse criterii studiate. 5.4. Să utilizeze proprietăţile funcţii-lor: funcţiile de gradul I şi II; pro-porţionalitatea directă şi inversă; funcţia putere, funcţia radical, expo-nenţială, logaritmică.

Funcţii reale

Noţiune de funcţie. Moduri de definire a funcţiei. Graficul funcţiei. Proprietăţi ale funcţiei referitoare la mo-notonie. Paritatea, zerouri, extreme. Noţiunea de funcţie inversabilă. Compunerea funcţiilor elementare. Func-ţiile elementare principale: funcţiile de gradul I şi II; proporţionalitatea directă şi inversă; funcţia putere, funcţia radical, exponenţială, logaritmică. Proprietăţile şi graficele lor.

Obiectiv-cadru: VI. Recunoaşterea figurilor şi a corpurilor geometrice. Utilizarea unor elemente de geometrie metrică.

Utilizarea unor transformări geometrice

La sfîrşitul clasei a X-a elevul va fi capabil: 6.1. Să recunoască şi să utilizeze axiome, definiţii, teoreme specifice geometriei în plan şi spaţiu.

Geometria în plan

Poziţia relativă a două drepte în plan. Axioma lui Euclid. Teorema lui Thales.

41

6.2. Să clasifice afirmaţii aplicînd diverse criterii (axiomă, teoremă, consecinţă, directa, reciproca). 6.3. Să recunoască şi să descrie poziţii relative ale punctelor, drep-telor, figurilor în plan şi spaţiu, planelor şi corpurilor în spaţiu. 6.4. Să construiască, folosind mate-riale adecvate, modele ale unor poziţii relative ale punctelor, drep-telor, figurilor în plan şi spaţiu, planelor şi corpurilor în spaţiu. 6.5. Să reprezinte în plan configu-raţii geometrice. 6.6. Să recunoască şi să utilizeze triunghiurile congruente şi aseme-nea în diverse contexte. 6.7. Să aplice în situaţii reale şi saumodelate elementele de geome-trie în plan studiate. 6.8. Să recunoască şi să utilizeze:

− concurenţa dreptelor în plan în diferite contexte; − proprietăţile figurilor plane studiate în diferite contexte; − plane paralele în diverse con-texte.

6.9. Să recunoască, să identifice, să deseneze drepte concurente, necon-curente, paralele în plan şi în spaţiu. 6.10. Să recunoască, să deseneze drepte ce intersectează planul, drep-te ce nu intersectează planul. 6.11. Să utilizeze criteriile de para-lelism ale dreptei cu planul. 6.12. Să recunoască, să descrie şi să deseneze drepte perpendiculare, drepte perpendiculare pe plan, plane perpendiculare.

Congruenţa şi asemănarea figurilor. Liniile importante în triunghi. Relaţiile metrice în triunghiul dreptun-ghic. Cercul. Discul. Poziţia relativă a dreptei şi a cercului. Unghi la centru. Unghi înscris. Triun-ghiuri înscrise. Triunghiuri circumscri-se. Patrulatere. Patrulatere convexe. Para-lelogramul, rombul, dreptunghiul, pă-tratul, trapezul şi proprietăţile lor. Poligoane convexe. Poligoane regulate. Proprietăţi. Ariile figurilor plane studiate.

Geometria în spaţiu

Elemente ale sistemului axiomatic a geometriei în spaţiu. Poziţia relativă a dreptelor în spaţiu. Poziţia relativă a dreptei şi planului. Dreapta paralelă cu planul, proprietăţi, criteriu. Poziţia relativă a două plane. Plane paralele, proprietăţi, criteriu. Dreapta perpendiculară pe plan, pro-prietăţi, criteriu. Distanţa de la un punct la o dreaptă, de la o dreaptă la un plan. Teorema celor trei perpendiculare. Re-ciprocele. Plane perpendiculare, proprietăţi, crite-riu. Proiecţii ortogonale a punctelor, seg-mentelor, dreptelor pe plan. Unghiul dintre dreaptă şi plan. Unghi diedru. Secţiuni cu plane în corpuri geometrice (secţiunea diagonală, secţiunea axială, secţiunea paralelă cu bazele).

42

6.13. Să calculeze lungimile unor segmente, măsura unor unghiuri, utilizînd teorema celor trei perpen-diculare şi a relaţiilor metrice în triunghi. 6.14. Să recunoască şi să utilizeze criteriile de perpendicularitate a două drepte, a dreptei şi a planului, a două plane în diverse contexte. 6.15. Să recunoască şi să utilizeze relaţiile metrice în triunghiul drept-unghic în diverse contexte. 6.16. Să aplice elementele de trigo-nometrie studiate în geometrie. 6.17. Să recunoască şi să constru-iască unghiuri diedre, unghiul plan al unui unghi diedru; să calculeze măsuri de unghiuri studiate în spa-ţiu. 6.18. Să recunoască şi să constru-iască proiecţii ortogonale ale punc-telor, segmentelor, dreptelor. 6.19. Să calculeze lungimi de seg-mente, perimetre, arii ale figurilor ce se obţin la secţionarea corpurilor geometrice cu diverse plane (secţi-unea diagonală, secţiunea axială, secţiunea paralelă cu bazele). 6.20. Să recunoască figurile geome-trice plane din cadrul figurilor spa-ţiale în contextul paralelismului şi al perpendicularităţii figurilor. 6.21. Să interpreteze reprezentări plane ale configuraţiilor spaţiale, să imagineze corespondenţa spaţială a acestora şi să extragă din aceste reprezentări elemente semnificati-ve.

43

CLASA A XI-A

Obiective-cadru. Obiective de referin-ţă. Evaluările făcute vor arăta dacă:

Conţinuturi


La sfirşitul clasei a Xl-a elevul va fi capabil: 1.1. Să utilizeze terminologia aferen-tă noţiunii de număr complex. 1.2. Să utilizeze numere complexe si reale scrise în diferite forme în diver-se contexte. 1.3. Să calculeze puteri cu exponent natural al lui i. 1.4. Să efectueze operaţii aritmetice cu numere complexe date în forma algebrică. 1.5. Să estimeze ordinul de mărime al unui număr real rezultat dintr-o operaţie dată, dintr-un calcul.

Numere complexe. Noţiune de număr complex. Forma alge-brică a numerelor complexe. Mulţimea C. Incluziunile N⊂Z⊂Q⊂R⊂C. Operaţii aritmetice cu numere complexe scrise în forma algebrică.

Obiectiv-cadru:II. Recunoaşterea şi utilizarea unor elemente de logică mate-matică, din teoria mulţimilor şi combinatorică

La sfîrşitul clasei a Xl-a elevul va fi capabil: 2.1. Să formuleze predicţii bazate pe experienţă. 2.2. Să investigheze valoarea de adevăr a unei afirmaţii, cu ajutorul exemplelor sau contraexemplelor din matematică, din alte discipline. 2.3. Să facă generalizări şi să le veri-fice sau să dea un anumit grad de justificare a lor. 2.4. Să formuleze enunţuri în care intervin operatorii logici şi cuantifi-catori.

44

2.5. Să utilizeze terminologia studia-tă aferentă logicii matematice. 2.6. Să recunoască mulţimi finite şi mulţimi infinite. 2.7. Să efectueze operaţii cu mul-ţimi. 2.8. Să utilizeze relaţiile de incluziu-ne şi egalitate între mulţimi, proprie-tăţile lor. 2.9. Să aplice elemente de combina-torică în diverse contexte.

Obiectiv-cadru: III. Calcul algebric. Rezolvarea de ecuaţii, inecuaţii, sisteme şi totali-tăţi

La sfîrşitul clasei a Xl-a elevul va fi capabil: 3.1. Să aprecieze rigoarea, ordinea şi eleganţa în arhitectura rezolvării ecuaţiilor, inecuaţiilor, sistemelor şi totalităţilor. 3.2. Să rezolve ecuaţii de forma ax2 +bx +c = 0, ax4+bx2+c=0 unde, a≠ 0, a, b, c∈R, în R şi C. 3.3. Să recunoască şi să rezolve sis-teme de ecuaţii liniare, inclusiv omogene, prin diverse metode (me-toda lui Gauss, regula lui Cramer). 3.4. Să clasifice matricele după di-verse criterii studiate şi să utilizeze terminologia aferentă noţiunii de matrice. 3.5. Să utilizeze operaţiile cu matrice şi proprietăţile lor în situaţii reale şi/sau modelate. 3.6. Să recunoască, să calculeze prin diferite metode determinanţii de or-dinul doi, trei şi termenii lor.

Ecuaţii de gradul al doilea, bipătrate în C Sisteme de ecuaţii liniare. Noţiuni genera-le. Regula lui Cramer. Sisteme de m ecua-ţii liniare cu n necunoscute, inclusiv omo-gene, n, m ∈ {1, 2, 3} Metoda lui Gauss. Noţiune de matrice. Operaţii cu matrice. Proprietăţi Determinanţi. Determinanţi de ordinul doi, trei. Calculul determinanţilor de ordinul doi, trei.

45


La sfîrşitul clasei a Xl-a elevul va fi capabil: 4.1. Să selecteze din mulţimea date-lor culese informaţiile relevante pen-tru rezolvarea unei probleme. 4.2. Să reprezinte rezultatele obser-vaţiilor, relaţii prin diverse grafice, tabele, diagrame şi să extragă infor-maţii din tabele, liste, diagrame, gra-fice. 4.3. Să estimeze şansa producerii unui eveniment şi să dea justificări pentru estimarea propusă.


La sfîrşitul clasei a Xl-a elevul va fi capabil: 5.1. Să utilizeze noţiunea de vecină-tate a unui punct în R în diverse con-texte. 5.2. Să calculeze limite de funcţii elementare studiate într-un punct, limite de funcţii compuse într-un punct. 5.3. Să recunoască asimptotele func-ţiei elementare studiate definită gra-fic. 5.4. Să determine intervalele de con-tinuitate a funcţiilor elementare de-finite grafic. 5.5. Să recunoască noţiunea de deri-vată, necesitatea introducerii ei, să aprecieze utilitatea ei. 5.6. Să utilizeze în diverse situaţii re-gulile de derivare şi formulele deriva-telor funcţiilor elementare studiate.

Limita funcţiei

Noţiunea de vecinătate a unui punct. Limita funcţiei într-un punct. Calculul li-mitelor funcţiilor elementare studiate. Li-mita sumei, produsului, cîtului a două funcţii. Limite remarcabile:

.)1(lim

,11lim

,1sinlim

1

0

0

ex

ex

xx

xx

x

x

x

=+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

→

∞→

→

Noţiunea de asimptotă orizontală, oblică, verticală. Noţiunea de funcţie continuă într-un punct, pe o mulţime. Continuitatea funcţiilor elementare studia-te.

46

5. 7. Să utilizeze proprietăţile func-ţiilor derivabile în situaţii reale sau modelate. 5. 8. Să recunoască şi să utilizeze noţiunea de punct critic, punct de extrem, extremele funcţiei. 5. 9. Să utilizeze în diferite contexte teorema lui Fermat. 5. 10. Să aplice noţiunea de derivată în geometrie, fizică. 5. 11. Să recunoască noţiunea de funcţie monotonă pe un interval în interpretare geometrică. 5. 12. Să utilizeze derivata la deter-minarea intervalelor de monotonie şi a extremelor funcţiei. 5. 13. Să utilizeze metodele legate de aplicaţiile derivatei ca metode calitativ noi de studiere a funcţiei, de rezolvare a problemelor teoretice şi practice. 5. 14. Să aplice derivatele la modela-rea matematică a realităţii fizice, la rezolvarea unor probleme de maxim şi minim din diverse domenii.

Derivata funcţiei

Noţiunea de derivată. Derivată funcţiei într-un punct. Probleme din diverse domenii ce conduc la noţiunea de derivată. Interpretarea geometrică şi fizică a deriva-tei. Funcţii derivabile pe o mulţime. Calculul derivatelor funcţiilor uzuale. Re-guli de derivare. Derivata funcţiei compuse. Tabelul derivatelor funcţiilor elementare. Puncte critice. Puncte de extrem, extremele funcţiei. Proprietăţile funcţiilor derivabile: teorema lui Fermat. Aplicaţii ale derivatelor în studiul variaţiei funcţiei. Reprezentarea grafică a funcţiilor polinomiale şi raţionale simple. Aplicaţii directe ale derivatelor în fizică, geometrie. Probleme simple de maxim şi minim. Op-timizări simple.

Obiectiv-cadru: VI. Recunoaşterea figurilor şi a corpurilor geometrice. Utilizarea unor elemente de geometrie metrică. Utilizarea unor transformări

geometrice

La sfirşitul clasei a Xl-a elevul va fi capabil: 6.1. Să recunoască şi să utilizeze sime-tria axială, simetria faţă de un punct, simetria faţă de un plan în diverse con-texte. 6.2. Să utilizeze terminologia aferentă transformărilor geometrice studiate. 6.3. Să clasifice transformările geome-trice studiate în spaţii după diverse crite-rii.

Transformări geometrice în spaţiu

Transformări izometrice în spaţiu: - simetria faţă de un punct; - simetria axială; - simetria în raport cu un plan;

Poliedre

Prisma. Piramida. Trunchiul de piramidă.

47

6.4. Să recunoască poliedrele şi să clasi-fice poliedre după diverse criterii studia-te. 6.5. Să reprezinte diverse proiecţii para-lele în plan ale unui corp geometric. 6.6. Să reprezinte secţiunile, indicate la conţinuturi, a corpurilor geometrice cu diferite plane. 6.7. Să calculeze lungimi de segmente, perimetre, arii şi volume în corpuri ge-ometrice şi în secţiunile lor cu plane. 6.8. Să recunoască figurile geometrice plane din cadrul corpurilor spaţiale. 6.9. Să utilizeze proprietăţile poliedrelor în situaţii reale sau modelate. 6.10. Să utilizeze formulele pentru cal-cularea ariilor suprafeţelor şi volumelor corpurilor geometrice în situaţii reale sau modelate. 6.11. Să estimeze lungimi de segmente, perimetre, arii şi volume în corpuri ge-ometrice din situaţii reale sau modelate. 6.12. Să estimeze diferite măsuri în ra-port cu anumite unităţi de măsură.

Poliedre regulate. Secţiuni în corpurile geometrice (dia-gonale, axiale, paralele cu bazele).

Arii. Volume

CLASA A XII-A

Obiective-cadru. Obiective de referinţă. Evaluările făcute vor arăta dacă: elevul

este capabil:

Conţinuturi


La sfîrşitul clasei a XII-a elevul va fi capabil: 1.1. Să reprezinte numere reale, com-plexe, folosind diferite forme echivalen-te de scriere; să facă treceri de la o for-mă de scriere la alta.

Mulţimi numerice. Operaţii cu numere.

48

1.2. Să poziţioneze numere reale pe axa numerelor. 1.3. Să utilizeze în calcule proprietăţile operaţiilor cu numere reale, complexe. 1.4. Să estimeze ordinul de mărime al unui număr real rezultat dintr-un calcul. 1.5. Să folosească estimări pentru veri-ficarea corectitudinii unor calcule. 1.6. Să refacă o estimare deja făcută, îmbunătăţind “marja” de eroare.


La sfîrşitul clasei a XII-a elevul va fi capabil: 2.1. Să formuleze predicţii bazate pe experienţă. 2.2. Să investigheze valoarea de adevăr a unei afirmaţii, cu ajutorul exemplelor sau contraexemplelor. 2.3. Să formuleze enunţuri în care inter-vin operatorii şi cuantificatorii logici. 2.4. Să utilizeze terminologia aferentă logicii matematice. 2.5. Să efectueze operaţii studiate cu mulţimi. 2.6. Să utilizeze relaţiile de incluziune şi de egalitate între mulţimi. 2.7. Să utilizeze proprietăţile relaţiei de egalitate şi ale relaţiei de inegalitate în mulţimi numerice. 2.8. Să utilizeze elemente de combina-torică în diverse contexte.

Aplicaţiile logicii matematice la de-monstraţia teoremelor şi rezolvarea problemelor. Aplicaţii ale mulţimilor şi operaţiilor cu mulţimi la rezolvarea de probleme.


La sfîrşitul clasei a XII-a elevul va fi capabil: 3.1. Să recunoască polinoame cu coefi-cienţi complecşi.

Polinoame cu coeficienţi complecşi.

Definiţia polinomului. Forma algebrică a polinoamelor. Operaţii cu polinoame.

49

3.2. Să efectueze operaţiile de adunare şi înmulţire a polinoamelor cu o nede-terminată. 3.3. Să aplice algoritmul împărţirii poli-noamelor. 3.4. Să utilizeze schema lui Horner la împărţirea polinoamelor. 3.5. Să determine valoarea unui poli-nom, aplicînd diverse metode 3.6. Să calculeze rădăcinile polinomu-lui, soluţiile unor ecuaţii algebrice sim-ple de grad n, n ≤ 3, n ∈N*, aplicînd diverse modalităţi, inclusiv relaţiile Vie-te.

Valoarea unui polinom. Împărţirea po-linoamelor. Teorema împărţirii cu rest. Împărţirea la „X-a". Schema lui Hor-ner. Rădăcinile polinoamelor. Teorema lui Bezout. Relaţiile între rădăcinile şi coeficienţii polinomului de gradul 2, 3 (relaţiile lui Viete). Aplicaţiile polinoamelor la rezolvarea unor ecuaţii algebrice simple de grad 1≤ n ≤ 3, n∈N* cu coeficienţii reali, raţionali, întregi.

Obiectiv-cadru: IV. Recunoaşterea şi utilizarea unor elemente de statistică matema-tică şi probabilităţi

La sfîrşitul clasei a XII-a elevul va fi capabil: 4.1. Să recunoască şi să utilizeze noţiu-nea de eveniment ataşat unui experi-ment; să clasifice evenimente după di-verse criterii. 4.2. Să determine probabilitatea produ-cerii unui eveniment, utilizînd raportul: numărul cazurilor favorabile/numărul cazurilor posibile şi să calculeze proba-bilitatea realizării a fiecărui din n eve-nimente egal probabile. 4.3. Să utilizeze noţiunile de variabilă aleatoare discretă pe exemple concrete, inclusiv din cotidian. 4.4. Să determine valoarea medie a va-riabilei aleatoare discrete. 4.5. Să recunoască şi să utilizeze corela-ţia statistică (pe exemple concrete). 4.6. Să construiască şi să interpreteze diagrame statistice.

Evenimente. Eveniment sigur, imposi-bil. Operaţii cu evenimente. Evenimente compatibile, incompatibile. Frecvenţele absolută şi relativă a eve-nimentului. Probabilitatea evenimentu-lui. Valoarea medie a variabilei aleatoare discrete. Unităţi statistice, populaţie statistică, sondaje (exemple din cotidian). Reprezentări grafice a seriilor statisti-ce. Aplicaţii ale organizării datelor. Compararea datelor. Modul, mediana serie statistice.

50

4.7. Să reprezinte rezultatele observaţiilor prin desene şi tabele şi să extragă informa-ţiile din tabele, liste, diagrame etc. 4.8. Să determine modul, mediana, frecvenţa seriei statistice. 4.9. Să organizeze datele în exemple din cotidian (coduri poştale, coduri secrete etc.) şi informatică (algoritmizarea date-lor).

Obiectiv-cadru: V. Recunoaşterea şi utilizarea unor relaţii, funcţii, şiruri

La sfîrşitul clasei a XII-a elevul va fi capabil: 5.1. Să recunoască primitiva unei funcţii continue. 5.2. Să aplice în diverse contexte noţiu-nea de integrală nedefinită. 5.3. Să calculeze primitive şi integrale nedefinite, aplicînd proprietăţile respec-tive şi tabelul de integrale nedefinite. 5.4. Să interpreteze geometric integrala definită a unei funcţii continue cu valori nenegative. 5.5. Să recunoască subgraficul unei funcţii elementare în diverse contexte. 5.6. Să aplice formula lui Leibnitz-Newton la calcularea integralei definite. 5.7. Să aplice proprietăţile integralelor definite în diverse contexte. 5.8. Să calculeze integrale definite, apli-cînd tabelul de integrale. 5.9. Să calculeze aria subgraficului funcţiei aplicînd integrala definită. 5.10. Să aplice în situaţii reale sau mo-delate noţiunile de primitivă, integrală nedefinită şi integrală definită.

Primitive Noţiunea de primitivă a funcţiei conti-nue. Proprietăţile fundamentale ale funcţii-lor continue careadmit primitive. Noţiunea de integrală nedefinită. Proprietăţile de bază ale integralei ne-definite. Tabela de integrale nedefinite ale func-ţiilor elementare studiate. Integrala definită Noţiunea de integrală definită. Subgraficul funcţiei. Formula lui Leib-nitz-Newton Proprietăţile fundamentale ale integra-lelor definite. Reprezentarea geometrică a integralei definite a unei funcţii cu valori nenega-tive. Aplicaţii ale integralei definite la cal-cularea:

- ariei subgraficului funcţiei.

51

Obiectiv-cadru: VI. Recunoaşterea figurilor plane şi a corpurilor geometrice. Utiliza-rea unor transformări geometrice.

Utilizarea unor elemente de geometrie metrică

La sfîrşitul clasei a XII-a elevul va fi capabil: 6.1. Să recunoască corpurile de rotaţie şi să le clasifice după diverse criterii. 6.2. Să reprezinte secţiunile axiale, pa-ralele cu bazele în corpurile de rotaţie. 6.3. Să recunoască figurile geometrice plane în cadrul corpurilor de rotaţie. 6.4. Să calculeze lungimi de segmente, lungimi de cercuri, arii şi volume în corpurile de rotaţie. 6.5. Să utilizeze proprietăţile corpurilor de rotaţie în situaţii reale sau modelate. 6.6. Să utilizeze formulele pentru calcu-larea ariilor suprafeţelor şi volumelor corpurilor de rotaţie în situaţii reale sau modelate. 6.7. Să recunoască în situaţii reale sau modelate conicele. 6.8. Să estimeze lungimi de segmente, lun-gimi de cercuri, arii şi volume în corpuri de rotaţie din situaţii reale sau modelate.

6.9. Să estimeze diferite măsuri în raport cu anumite unităţi de măsură.

Corpuri de rotaţie

Cilindrul. Conul. Trunchiul de con. Sfera. Corpul sferic. Secţiuni în corpurile de rotaţie (axiale, paralele cu bazele). Secţiuni ale suprafeţei conice cu pla-nul: cercul, elipsa, hiperbola, parabola-noţiuni elementare. Arii, volume ale corpurilor de rotaţie.

52

SUGESTII METODOLOGICE Cadrele didactice îşi pot alege metodele şi tehnicile de predare şi îşi

pot adapta practicile pedagogice în funcţie de ritmurile de învăţare şi de particularităţile elevilor.

Prin tehnologie didactică înţelegem ansamblul formelor metodelor, tehnicilor, procedeelor, operaţiilor mijloacelor pe care le utilizează profeso-rul pentru a asigura atingerea, de către elev a obiectivelor de învăţare propu-se.

Componentele de bază ale tehnologiei didactice structural-cognitive sînt:

1. Predarea de informaţii şi formarea sau învăţarea de capacităţi menta-le specifice matematicii. Aceste operaţii mentale, adecvate capacită-ţilor vizate, şi informaţiile deja structurate, sînt în lista de obiective şi conţinuturi în acest curriculum.

2. Antrenarea sistematică a capacităţilor. 3. Antrenarea aleatorie, în situaţii noi, a capacităţilor formate.

Această activitate are un rol deosebit de important pentru consolida-rea structurilor mentale dobîndite de către elevi şi se realizează, în principal, prin jocuri didactice (în echipe, concursuri etc), organizate la lecţii.

Reconsiderarea finalităţilor şi conţinuturilor învătămîntului este înso-ţită de reevaluarea şi înnoirea metodelor folosite în practica instructiv-educativă.

Prin metodele de învăţămînt trebuie antrenate procesele intelectuale ale elevilor, imprimate acţiuni de învăţare cu un pronunţat caracter activ şi formativ.

Accelerarea caracterului formativ al tuturor metodelor de instruire utilizate în activitatea de predare-învăţare, acestea asumîndu-şi o intervenţie mai activă şi mai eficientă în cultivarea potenţialului individual, în dezvolta-rea capacităţilor de a opera cu informaţiile asimilate, de a judeca şi de a aplica cunoştinţele, de a investiga şi de a căuta soluţii adecvate de rezolvare a problemelor sau a situaţiilor-problemă.

Aplicarea metodelor centrate pe elev, pe activizarea la maxim a structurilor cognitive şi operatorii ale elevilor, pe exersarea funcţiilor şi po-tenţialului psihofizic al acestora, pe transformarea elevului în coparticipant al propriei instruiri şi educaţii.

În cadrul predării matematicii e necesară crearea unor condiţii favo-rabile antrenării elevilor pe calea căutărilor, al cercetării, care să favorizeze învăţarea prin problematizare şi descoperire.

53

O îmbinare şi o alternanţă sistematică a activităţilor bazate pe efortul individual al elevului (documentarea după diverse surse de informaţie, ob-servaţia proprie, exerciţiul personal, instruirea programată, experimentul şi lucrul individual, tehnica muncii cu fişe etc.) cu activităţile ce solicită efor-tul colectiv (de echipă, de grup) de genul discuţiilor, asaltul de idei etc.

Folosirea unor metode care să favorizeze relaţia nemijlocită a elevu-lui cu obiectele cunoaşterii, a metodelor practice.

Însuşirea metodelor de studiu, de informare şi de documentare, a me-todelor si tehnicilor de muncă intelectuală independentă, care oferă deschi-derea spre autoinstruire, spre învăţare continuă.

Pentru utilizarea curriculum-ului se va ţine cont de faptul că nivelul, volumul cerinţelor este determinat de obiectivele-cadru şi cele de referinţă. Conţinuturile (temele) se pot repeta în mai multe obiective-cadru, întrucît diverse obiective se vor atinge examinînd aceleaşi concepte.

Obiectivele-cadru, cele de referinţă, conţinuturile dau libertate profe-sorilor, autorilor de manuale pentru a introduce şi a dezvălui un concept sau altul. De exemplu, pentru atingerea obiectivelor referitoare la elemente de construcţie axiomatică ale geometriei se pot utiliza diverse sisteme de axi-ome. Ordinea examinării conceptelor, temelor este lăsată în seama profeso-rilor, autorilor, păstrînd, evident, ordinea impusă de dependenţa logică a conceptelor. De exemplu, noţiunea de creştere (salt) a(l) funcţiei poate fi examinată, studiind proprietăţile generale ale funcţiilor sau dezvăluind con-ceptul de derivată a funcţiei.

La fiecare lecţie, dezvăluind un anumit concept, profesorul va avea ca scop să atingă cîteva obiective de referinţă (operaţionalizate de el) ce fac parte din diferite obiective-cadru. Aceeaşi sarcină va avea şi autorul manua-lului dezvăluind un concept sau altul.

54

SUGESTII DE INTERDISCIPLINARITATE În curriculum sînt incluse, în mod intenţionat, şi obiectivele pe aria

curriculară “Matimatică şi ştiinţe”. Această categorie transpune obiectivele transdisciplinare la nivelul unor obiecte de studii înrudite sau al unor grupe integrate de discipline. Realizarea obiectivelor pe arie curriculară va asigura interdisciplinaritatea disciplinelor şcolare matematica, informatica, fizica, biologia, chimia. Activitatea practică şi profesională implică nu probleme separate de matematică, fizică, chimie etc., dar probleme, rezolvarea cărora necesită cunoştinţe şi capacităţi integrative.

În cadrul predării-învăţării-evaluării matematicii este necesară crea-rea unor condiţii favorabile privind transferul cunoştinţelor matematice în diverse domenii, inclusiv în cotidian şi în domeniul determinat de aria cur-riculară. În acest aspect profesorul de matematică va utiliza orice posibilita-te de a exemplifica aplicaţiile matematicii în fizică, chimie, biologie, infor-matică, în viaţa cotidiană şi în alte domenii. Astfel cadrul didactic:

• va ţine cont de posibilităţile oferite de către manualele şcolare la matematică privind realizarea conexiunilor interdisciplinare (probleme integrative; situaţii-problemă, prezente în textul manualului; itemi integrativi, prezenţi în probele de evaluare incluse în manual etc.);

• va selecta din culegerile de probleme şi exerciţii şi va propune elevilor probleme cu conţinut interdisciplinar;

• va selecta din materialele didactice şi metodice probleme in-tegrative şi le va propune elevilor în cadrul diverselor mani-festări matematice (ore, activităţi extracurriculare, olimpiade etc.);

• va realiza, împreună cu profesorul de fizică, chimie, biologie, informatică şi de la alte discipline, ore integrative;

• va organiza sistematic, în cadrul orelor şi în cadrul altor acti-vităţi educaţionale situaţii-probleme cu conţinut interdiscipli-nar şi/sau aplicativ;

• va organiza, în cadrul studierii matematicii, activităţi practice şi lucrări de laborator cu aspect interdisciplinar şi/sau aplica-tiv.

Evaluările, realizate la matematică, vor include în mod obligatoriu şi itemi rezolvarea cărora necesită conexiuni interdisciplinare. Vor fi propuse spre realizare şi proiecte integrative, ca metodă de evaluare.

În măsura posibilităţilor orele de matematică vor fi asistate de calcu-lator.

55

SUGESTII DE EVALUARE Noutatea tehnologiilor de evaluare constă în schimbarea mecanismu-

lui evaluării care implică trecerea de la verificarea tradiţională de cunoştinţe a elevilor (cu apreciere de note a acestor cunoştinţe) la descrierea şi la eva-luarea rezultatelor învăţării în raport cu unul sau mai multe criterii, printre care obiectivele educaţionale sînt plasate pe primul loc. Caracteristicile spe-cifice ale acestor tehnologii sînt exprimate sintetic în următoarele principii:

• evaluarea este un proces reglator care informează agenţii edu-caţionali despre calitatea activităţii şcolare;

• evaluarea se bazează pe obiectivele generale şi cele de refe-rinţă din curriculum şi pe standardele educaţionale la matema-tică;

• evaluarea conduce elevul la o autoapreciere corectă şi la îm-bunătăţirea continuă a performanţelor;

• sistemul metodologic al evaluării performanţelor elevilor cu-prinde îmbinarea diverselor metode, forme, tehnici: observa-rea comportamentului elevilor în timpul lecţiilor, verificări orale, antrenarea elevilor în completări, corectarea răspunsuri-lor, evaluarea prin probe scrise, probe practice, testarea capa-cităţilor cognitive, evaluarea asistată de calculator.

Obiectivele de referinţă din curriculum sînt formulate astfel încît servesc şi drept bareme de evaluare. Ele vizează formarea anumitor capaci-tăţi prin prisma a patru categorii de abilităţi:

• cunoaşterea conceptelor; • cunoaşterea procedurilor decalcul; • rezolvarea problemelor tipice; • rezolvarea problemelor ce implică un anumit grad de creativi-

tate. Procesul evaluării pregătirii elevilor constă în:

• evidenţierea performanţelor şcolare (rezultatele concrete obţi-nute în învăţare);

• determinarea progresului şcolar (randamentul în creştere şi exprimarea aprecierii prin note sau printr-o consemnare).

Se ştie că la matematică progresul şcolar este posibil numai dacă la momentul oportun sînt lichidate deficienţele în învăţare şi sînt create condi-ţiile optimale pentru dezvoltarea progresului şcolar. Pentru soluţionarea acestei probleme, profesorul planifică activitatea de predare-învăţare în funcţie de performanţele elevilor obţinute la începutul ciclului şcolar (anu-lui, semestrului, temei de studiu etc).

În acest context evaluării îi revine un rol deosebit: de orientare a pro-

56

gresului şcolar. Deci, evaluarea trebuie să fie concepută ca o parte inte-grantă a procesului de predare-învăţare.

Schema care urmează ilustrează un model posibil de integrare a eva-luării în procesul de predare-învăţare şi de exersare integrantă a funcţiilor evaluării: control-formare-stimulare.

1. Evaluarea iniţială Determinarea performanţelor şcolare în raport cu obiectivele curriculare. Diagnosticul deficienţilor de învăţare

3. Planificarea obiectivelor de predare-învăţare

4. Predarea de către profesor

5. Aplicarea unor teste formative sau/şi colocvii pentru formarea competenţelor de bază.

8. Învăţare prin cooperare, discutarea în grup a dificultăţilor întîmpinate.

2. Programe de compensare.

6. Programa de remediere.

7. Programe îmbunătăţite pentru elevi cu rezultate foarte bune.

9. Aplicare de teste sumative şi/sau co-locvii sumative.

Observaţie: într-un ghid special vor fi descrise exemple de teste de diferite tipuri, exemple de colocvii etc.

57

BIBLIOGRAFIE:

1. A. Crişan, V. Guţu, Proiectarea curriculum-ului de bază. Ghid me-todologic, Chişinău, 1996.

2. Curriculum-ul de bază. Documente reglatoare, Chişinău, 1996. 3. A. Stoica, S. Musteaţă, Evaluarea rezultatelor şcolare. Ghid meto-

dologic, Chişinău, 1996. 4. A. Stoica, Evaluarea progresului şcolar: De la teorie la practică,

Humanitas Educaţional, Bucureşti 2003. 5. A. Radu, N. Radu, Reciclarea gîndirii, Ed. Sigma, Bucureşti, 1993. 6. A. Răileanu, M. Singer, Strategia reformei conţinutului învăţămîn-

tului la matematică, fizică, chimie, biologie în învăţămîntul preuni-versitar, în Valenţele reformei învăţămîntului, Chişinău, 1992.

7. M. Singer, Structuri fundamentale ale gîndirii implicate în învăţarea matematicii (teză de doctorat), Chişinău, 1995.

8. S. Vîgotschi, Opere psihologice alese, E.D.P, Bucureşti, 1971. 9. I. Achiri, E. Cibotarencu, N. Solomon ş. a., Metodica predării ma-

tematicii, vol. I (1992), vol. II (1995), vol. III (1997), Chişinău, Lumina.

10. D. Brînzei, R. Brînzei Metodica predării matematicii, Editura Para-lela 45, Piteşti, 2000.

11. I. Vîrtopeanu, Metodica predării matematicii. Sinteze. Vol. I, Editu-ra SITECH, Craiova 1998.

12. F. Cîrjan, Didactica matematicii, Editura CORINT, Bucureşti 2002. 13. E, Joiţa, Eficienţa instruirii, E.D.P, Bucureşti, 1998. 14. M. Minder, Didactica funcţională: Obiective, strategii, evaluare,

Editura CARTIER, Chişinău 2003. 15. O. Oprea, Didactica nova. Tehnologia Didactică, Chişinău, Lumina,

1992. 16. Bunescu, Învăţarea deplină. Teorie şi practică, Bucureşti, 1992. 17. V. Guţu, V. Pîslaru, E. Grîu, A. Drăguţan, Tehnologii educaţionale,

Ghid metodologic, Chişinău, Cartier, 1998. 18. Л. Денищева, А. Райляну и др. Зачеты в системе дифференциро-

ваного обучения математике. Москва, Просвещение, 1993.

58

matematica

Documents