Matematica 1 (Analiza)Notit,e de seminar

Adrian ManeaCurs: Mircea Olteanu

13 ianuarie 2020

Cuprins

1 Serii de numere reale pozitive 21.1 Seria geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Seria armonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Criterii de convergent, a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Criterii de convergent, a (cont.). Serii oarecare 62.1 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Serii alternante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Aproximarea sumelor seriilor convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Convergent, a seriilor — Exercit, ii 10

4 S, iruri s, i serii de funct, ii 124.1 S, iruri de funct, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.1.1 Convergent, a punctuala s, i convergent, a uniforma . . . . . . . . . . . . . . 124.1.2 Transferul proprietat, ilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.2 Serii de funct, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.3 Serii de puteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.4 Polinomul Taylor s, i seria Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.5 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5 Spat, ii metrice 225.1 Not, iuni teoretice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.2 Exemplu rezolvat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.3 Exercit, ii propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

6 Derivate part, iale 256.1 Extreme libere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.2 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

7 Recapitulare part, ial 29

7.1 Model 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297.2 Model 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307.3 Part, ial 2018–2019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

8 Extreme cu legaturi 338.1 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

9 Metoda celor mai mici patrate 379.1 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

10 Integrale improprii s, i cu parametri 3910.1 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

11 Integrale duble 4711.1 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4711.2 Metode de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4711.3 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

12 Integrale triple 5012.1 Resurse suplimentare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

13 Integrale curbilinii 5313.1 Elemente de teorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5313.2 Formula Green-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

13.2.1 Forme diferent, iale ınchise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5513.3 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5513.4 Exercit, ii suplimentare (ETTI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

14 Integrale de suprafat, a 5914.1 Integrale de suprafat, a de spet, a ıntıi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5914.2 Integrale de suprafat, a de spet, a a doua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6014.3 Formula Gauss-Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6014.4 Parametrizari uzuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6214.5 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6214.6 Formula lui Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6314.7 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6314.8 Resurse suplimentare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

15 Examen 2018–2019 6515.1 Numarul 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6515.2 Numarul 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6615.3 Restant, a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Index 68

Bibliogra�e 69

1

SEMINAR 1

SERII DE NUMERE REALE POZITIVE

Intuitiv, o serie poate � gındita ca o suma in�nita, data de o regula a unui termen general. Deexemplu, seria:

∑n≥0

3n5n2 + 2n − 1

are termenul general de forma xn =3n

5n2 + 2n − 1s, i putem rescrie seria mai simplu ∑ xn, presu-

punınd implicit ca indicele n ia cea mai mica valoare permisa s, i merge pına la ∞.Natura seriilor este fundamental diferita de cea a s, irurilor prin faptul ca seriile acumuleaza.

De exemplu, sa consideram s, irul constant an = 1, ∀n. Atunci, evident, limn→∞

an = 1. Pe de altaparte, daca luam seria de termen general an, adica ∑ an, observam ca aceasta are suma ∞, decieste divergenta.

In continuare, vom studia criterii prin care putem decide daca o serie este sau nu conver-genta. Dar ınainte de aceasta, vom folosi foarte des doua serii particulare, pe care le detaliem ıncontinuare.

1.1 Seria geometricaPornim de la progresiile geometrice studiate ın liceu. Fie (bn) o progresie geometrica, cu primultermen b1 s, i cu rat, ia q. Deci termenul general are formula bn = b1qn−1. Atunci suma primilor ntermeni ai progresiei se poate calcula cu formula:

Sn =n

∑k=1

bk = b1 ⋅qn − 1q − 1

.

Daca, ınsa, ın aceasta suma consideram ”tot, i“ termenii progresiei, obt, inem seria geometrica,anume ∑

n≥1bn.

2

Suma acestei serii coincide cu limn→∞

Sn s, i se poate observa cu us, urint, a ca seria geometrica esteconvergenta daca s, i numai daca |q| < 1. Mai mult, ın caz de convergent, a, suma seriei se poatecalcula imediat ca �ind b1 ⋅

11 − q

.

1.2 Seria armonicaAceasta serie se mai numes, te funct, ia zeta a lui Riemann s, i se de�nes, te astfel:

� (s) = ∑n≥1

1ns, s ∈ ℚ.

Remarcam cıteva cazuri particulare:

� (0) = ∑ 1 = ∞

� (1) = ∑1n= ∞

� (2) = ∑1n2

=� 2

6� (−1) = ∑ n = ∞

� (−2) = ∑ n2 = ∞.

Rezultatul general este:

Teorema 1.1: Seria armonica � (s) este convergenta daca s, i numai daca s > 1.

1.3 Criterii de convergent, aNe pastram ın continuare ın contextul seriilor cu termeni reali s, i pozitivi, pe care le scriem ıngeneral ∑ xn.

Convergent, a poate � decisa us, or folosind criteriile de mai jos.

Criteriul necesar: Daca limn→∞

xn ≠ 0, atunci seria ∑ xn este divergenta.

Observatie 1.1: Sa remarcam ca, as, a cum ıi spune s, i numele, criteriul de mai sus da doar condit, iinecesare, nu s, i su�ciente pentru convergent, a! De exemplu, pentru � (1), termenul general tindecatre 0, dar seria este divergenta.

Criteriul de comparat, ie termen cu termen: Fie ∑ yn o alta serie de numere reale s, i pozi-tive.

3

• Daca xn ≤ yn, ∀n, iar seria ∑ yn este convergenta, atunci s, i seria ∑ xn este convergenta;

• Daca xn ≥ yn, ∀n, iar seria ∑ yn este divergenta, atunci s, i seria ∑ xn este divergenta.

Acest criteriu seamana foarte mult cu criteriul de comparat, ie de la s, iruri. Astfel, avem ca uns, ir mai mare (termen cu termen) decıt un s, ir divergent este divergent, iar un s, ir mai mic (termencu termen) decıt un s, ir convergent este convergent. Celelalte cazuri sınt nedecise.

De asemenea, mai remarcam ca, ın studiul seriei ∑ xn apare seria ∑ yn, care trebuie aleasaconvenabil astfel ıncıt sa aiba loc condit, iile criteriului. In practica, cel mai des vom alege aceastanoua serie ca �ind o serie geometrica sau una armonica, cu rat, ia, respectiv exponentul aleseconvenabil.

Criteriul de comparat, ie la limita: Fie ∑ yn o alta serie de numere reale s, i pozitive, astfelıncıt lim

n→∞

xnyn

∈ (0,∞). Atunci cele doua serii au aceeas, i natura, adica ∑ xn este convergenta daca

s, i numai daca ∑ yn este convergenta.

Criteriul raportului: Fie � = limn→∞

xn+1xn

.

• Daca � > 1, atunci seria ∑ xn este divergenta;

• Daca � < 1, atunci seria ∑ xn este convergenta;

• Daca � = 1, atunci criteriul nu decide.

Criteriul radical: Fie � = limn→∞

n√xn.

• Daca � > 1, atunci seria ∑ xn este divergenta;

• Daca � < 1, atunci seria ∑ xn este convergenta;

• Daca � = 1, atunci criteriul nu decide.

4

1.4 Exercit, ii1. Studiat, i convergent, a seriilor ∑ xn ın cazurile de mai jos:

(a) xn = (3n

3n + 1)n; (D, necesar)

(b) xn =1n!

; (C, raport)

(c) xn =1

n√n + 1

; (C, comparat, ie la limita cu � (3/2))

(d) xn = arcsinn + 12n + 3

; (D, necesar)

(e) xn = (1 −1n)

n; (D, necesar)

(f) xn =n!n2n

; (C, raport)

(g) xn = (n + 13n + 1)

n; (C, radical)

(h) xn = (1 −1n)

n2

; (C, radical)

(i) xn =1

7n + 3n; (C, comparat, ie cu geometrica)

(j) xn =2 + sin n

n2; (C, comparat, ie cu armonica)

(k) xn =sin2 nn2 + 1

; (C, comparat, ie cu armonica)

(l) xn =√n4 + 2n + 1 − n2; (D, comparat, ie cu armonica)

2*. Studiat, i convergent, a s, irurilor cu termenul general xn din exercit, iul anterior s, i comparat, icu comportamentul seriilor.

5

SEMINAR 2

CRITERII DE CONVERGENT, A (CONT.). SERII OARECARE

Pe lınga criteriile prezentate ın seminarul anterior, vor mai � de folos s, i altele, pe care le enu-meram mai jos. In continuare, ment, ionam ca vom lucra cu o serie de forma ∑ xn s, i sıntem ınipoteza xn ∈ ℝ+, ∀n ∈ ℕ.

Criteriul Raabe-Duhamel: Fie limita urmatoare:

� = limn→∞

n(xnxn+1

− 1) .

Atunci:

• Daca � > 1, seria este convergenta;

• Daca � < 1, seria este divergenta;

• Daca � = 1 criteriul nu decide.

In multe situat, ii, criteriul Raabe-Duhamel este folositor cınd criteriul raportului nu decide.Remarcat, i ca, ın acest caz, limita de mai sus este o nedeterminare de forma ∞ ⋅ 0, care de multeori se poate calcula s, i este diferita de 1.

Criteriul logaritmic: Fie limita:limn→∞

− ln xnln n

.

• Daca � > 1, seria este convergenta;

• Daca � < 1, seria este divergenta;

6

• Daca � = 1, criteriul nu decide.

Criteriul condensarii: Daca (xn) este un s, ir descrescator s, i cu termeni pozitivi, atunci seriile∑ xn s, i ∑ 2nx2n au aceeas, i natura.

Criteriul integral: Fie f ∶ (0,∞)→ [0,∞) o funct, ie crescatoare s, i de�nim s, irul:

an = ∫n

1f (t)dt.

Atunci seria ∑ f (n) este convergenta daca s, i numai daca s, irul (an) este convergent.

2.1 Exercit, ii1. Studiat, i natura urmatoarelor serii cu termeni pozitivi, cu termenul general xn dat de:

(a) xn =1ln n

; (D, integral/comparat, ie)

(b) xn =1

n ln n; (D, integral/condensare)

(c) xn =1 ⋅ 3 ⋅ 5⋯ (2n − 1)2 ⋅ 4 ⋅ 6⋯ 2n

(D, Raabe)

(d) xn = (1 −3 ln n2n )

n

(C, logaritmic)

(e) xn =1

n n√n

(D, comparat, ie/logaritmic)

(f) xn = (1ln n)

ln(ln n); (D, logaritmic)

(g) xn = n2e−√n (C, logaritmic)

(h) xn =an(n!)2

(2n)!, a > 0. (raport, discut, ie a?4)

7

2.2 Serii alternanteIn continuare, discutam s, i cazul cınd termenii seriei pot � negativi. Dar vom � interesat, i doar deun caz particular, anume acela al seriilor alternante, adica acelea ın care un termen este negativ,iar celalalt pozitiv. Mai precis, o serie ∑ xn se numes, te alternanta daca xn ⋅ xn+1 < 0, pentru oricen.

Singurul criteriu de convergent, a pe care ıl folosim pentru aceste cazuri este:Criteriul lui Leibniz: Fie ∑n(−1)nxn o serie alternanta. Daca s, irul (xn) este descrescator s, i

converge catre 0, seria este convergenta.De asemenea, vom mai � interesat, i s, i de:

• serii absolut convergente, adica acele serii pentru care s, i seria modulelor, s, i seria data sıntconvergente;

• serii semiconvergente, adica acele serii pentru care seria init, iala este convergenta, dar seriamodulelor este divergenta.

Evident, cum x ≤ |x |, rezulta ca orice serie absolut convergenta este convergenta, dar reciprocanu este adevarata.

Pentru acest caz, avem:Criteriul Abel-Dirichlet: Presupunem ca seria ∑ xn se mai poate scrie sub forma ∑ �nyn,

unde (�n) este un s, ir monoton s, i marginit (deci convergent). Daca s, i seria ∑ yn este convergenta,atunci seria init, iala ∑ �nyn este convergenta.

Formulare alternativa: Daca (�n) este un s, ir monoton, care tinde catre 0, iar s, irul cu termenulgeneral Yn = y1 +⋯ + yn este marginit, atunci seria ∑ �nyn este convergenta.

De exemplu, studiem seria ∑n(−1)n

n. Este o serie alternanta, deci:

• seria modulelor este � (1), care este divergenta;

• pentru seria data, aplicam criteriul lui Leibniz, cu s, irul xn =1n

, care este descrescator catre0, deci seria este convergenta.

Concluzia este ca seria ∑(−1)n

neste semiconvergenta.

Exercit, iu: Folosind criteriul Leibniz, studiat, i natura seriei cu termenul general:

xn = (−1)nloga nn

, a > 1.

2.3 Aproximarea sumelor seriilor convergentePresupunem ca avem o serie convergenta s, i alternanta. Se poate arata foarte simplu ca, dacanotam cu S suma seriei, iar cu sn suma primilor n termeni, cu xn termenul general al seriei, are

8

loc inegalitatea:" = |S − sn| ≤ xn+1. (2.1)

Cu alte cuvinte, eroarea aproximat, iei are ordinul de marime al primului termen neglijat.Deocamdata, exemplele simple pe care le studiem sınt de forma:Exercit, iu: Sa se aproximeze cu o eroare mai mica decıt " sumele seriilor de�nite de termenul

general xn de mai jos:

(a) xn =(−1)n

n!, " = 10−3;

(b) xn =(−1)n

n3√n, " = 10−2.

In ambele cazuri, se foloses, te inegalitatea din (2.1), de unde se scoate n. Se obt, ine n = 6 pentruprimul exercit, iu s, i n = 4 pentru al doilea.

Concluzia este ca, pentru a obt, ine valoarea sumei seriei cu o precizie de 3, respectiv 2 zecimale,este su�cient sa consideram primii 5, respectiv primii 3 termeni ai seriei. Eroarea este comparabilacu primul termen neglijat din serie.

9

SEMINAR 3

CONVERGENT, A SERIILOR — EXERCIT, II

Studiat, i convergent, a seriilor de forma ∑ xn. In cazul seriilor alternante, decidet, i s, i convergent, aabsoluta sau semiconvergent, a:

(1) xn = (arctan 1)n; (D, radical)

(2) xn =√n ⋅ ln(1 +

1n)

; (D, comparat, ie la limita)

(3) xn =1

n − ln n; (D, comparat, ie la limita)

(4) xn = (−1)nn + 1n3

; (C, Leibniz)

(5) xn =ln n

2n3 − 1; (C, comparat, ie)

(6) xn =n√2

n2; (C, comparat, ie/integral)

(7) xn =√n + 1 −

√n

3√n2

; (C, comparat, ie)

(8) xn =1

n ln2 n; (C, integral)

(9) xn =ln nn2

; (C, comparat, ie)

(10) xn =e 1n

n; (D, comparat, ie la limita)

10

(11) xn =(−1)n ln n

√n

; (C, Leibniz)

(12) xn =(−1)nn!(2n)!

; (C, Leibniz)

(13) xn =arctan nn2 + 1

; (C, comparat, ie/integral)

(14) xn =√n

ln(n + 1); (D, necesar)

(15) xn = (−1)n+12n + 13n

; (C, Leibniz)

(16) xn =3√n3 + n2 − n

n2; (part, ial 2018–2019)

(17) xn = (−1)nn

n2 − 1; (part, ial 2018–2019)

(18) xn = (−1)n(√n2 + 1 − n); (part, ial 2018–2019)

(19) xn =an

2n2 + 1; (discut, ie dupa a)

(20) xn = (−1)n(2n)!nn

; (part, ial FIA)

(21) xn = (n

n + a)n2

, a > 0; (discut, ie dupa a)

(22) xn =(−1)n

22n ⋅ n!(part, ial FIA)

(23) xn =an

n3, a > 0. (discut, ie dupa a)

11

SEMINAR 4

S, IRURI S, I SERII DE FUNCT, II

4.1 S, iruri de funct, ii

4.1.1 Convergent, a punctuala s, i convergent, a uniformaFie (fn)n ∶ ℝ → ℝ un s, ir (o familie) de funct, ii, adica pentru �ecare n ∈ ℕ, avem cıte o funct, iefn ∶ ℝ → ℝ. Putem gındi aceste s, iruri de funct, ii ca pe nis, te generalizari ale s, irurilor de numerereale. Daca ın cazul acela, regula generala era �xata, data de xn = x(n), ın cazul s, irurilor de funct, ii,pentru �ecare indice n, putem avea cıte o regula diferita, data de o funct, ie fn.

Daca s, irurile de numere reale au drept limita un numar real s, i astfel putem spune ca un s, ir denumere reale aproximeaza un numar real, ın cazul s, irurilor de funct, ii, limita va �, ın general, ofunct, ie. Deci putem spune ca aceste s, iruri aproximeaza funct, ii. Insa not, iunea de convergent, a ıncazul s, irurilor de funct, ii este ceva mai subtila.De�nitie 4.1: Fie (fn)n ∶ D ⊆ ℝ → ℝ un s, ir de funct, ii.

Spunem ca s, irul (fn)n converge punctual (simplu) la funct, ia f daca are loc:

limn→∞

fn(x) = f (x), ∀x ∈ D.

Pe scurt, putem nota aceasta prin fnPC←←←←←←←←←←←←←←←→ f sau fn

s←←←←→ f , iar funct, ia f se va numi limita punctuala a

s, irului (fn).Acest tip de convergent, a este foarte puternic, deoarece este de�nit destul de grosier, astfel ca

avem nevoie de ra�nari ale conceptului.Celalalt tip de convergent, a este de�nit mai jos.

De�nitie 4.2: In condit, iile s, i cu notat, iile de mai sus, spunem ca s, irul (fn) este uniform convergentla funct, ia f daca:

∀" > 0, ∃N" > 0 a. ı. |fn(x) − f (x)| < ", ∀n ≥ N" , ∀x ∈ D.

12

Notat, ia va � fnUC←←←←←←←←←←←←←←←←←←→ f sau fn

u←←←←←←→ f .

Cu alte cuvinte, s, irul (fn) se pastreaza arbitrar de aproape de funct, ia limita, de la un anumitrang ıncolo.

Ca s, i ın cazul s, irurilor de numere, se va folosi mai des ın exercit, ii o teorema de caracterizare.

Propozitie 4.1: In condit, iile s, i cu notat, iile de mai sus, are loc:

fnu←←←←←←→ f ⇔ lim

n→∞supx∈D

|fn(x) − f (x)| = 0.

Se poate vedea ca proprietatea de convergent, a uniforma o implica pe cea de convergent, apunctuala, ınsa reciproca este falsa.

De exemplu, �e fn ∶ [0, 1]→ ℝ, fn(x) = xn, n ≥ 1.Atunci se poate vedea imediat ca:

limn→∞

fn(x) =

{0, 0 ≤ x < 11, x = 1

.

De aici rezulta ca fns←←←←→ f , unde funct, ia f este de�nita pe cazuri mai sus.

Dar un calcul simplu arata ca:

limn→∞

supx∈[0,1]

|fn(x) − f (x)| = 1 ≠ 0,

deci s, irul nu este uniform convergent.

4.1.2 Transferul proprietat, ilorIn unele situat, ii, putem veri�ca proprietat, ile de convergent, a simpla s, i mai ales uniforma printransferul proprietat, ilor. Cu alte cuvinte, vom s, ti ce proprietat, i analitice (continuitate, integrabi-litate) ale funct, iilor se pastreaza prin convergent, a s, i aceasta ne va da condit, ii necesare pentru astudia acel tip de convergent, a.

Teorema 4.1 (Transfer de continuitate): Fie fn ∶ D ⊆ ℝ → ℝ un s, ir de funct, ii.Daca �ecare fn este funct, ie continua, iar s, irul fn converge uniform la funct, ia f , atunci f este

continua.

Aceasta teorema ne ajuta sa veri�cam convergent, a uniforma astfel: daca s, tim (am demonstrat)ca �ecare termen fn este funct, ie continua, iar funct, ia f , obt, inuta prin convergent, a punctuala as, irului (singurul candidat posibil s, i pentru convergent, a uniforma!) nu este o funct, ie continua,atunci s, tim sigur ca s, irul nu converge uniform la f .

13

Teorema 4.2 (Integrare termen cu termen): Fie fn ∶ D ⊆ ℝ → ℝ un s, ir de funct, ii s, i f ∶ D ⊆ ℝ → ℝo funct, ie.

Daca fnu←←←←←←→ f , atunci are loc proprietatea de integrare termen cu termen, adica:

limn→∞ ∫

b

afn(x)dx = ∫

b

af (x)dx.

Cu alte cuvinte, daca s, tim ca are loc convergent, a uniforma, atunci limita s, i integrala potcomuta.Teorema 4.3 (Derivare termen cu termen): Fie fn ∶ D ⊆ ℝ → ℝ un s, ir de funct, ii s, i f ∶ D ⊆ ℝ → ℝo funct, ie.

Presupunem ca funct, iile fn sınt derivabile, pentru orice n ∈ ℕ. Daca fns←←←←→ f s, i daca exista o

funct, ie g ∶ D ⊆ ℝ → ℝ astfel ıncıt f ′nu←←←←←←→ g, atunci f este derivabila s, i f ′ = g.

Aceasta proprietate este similara celei de integrabilitate s, i ne arata ca, daca are loc convergent, apunctuala a s, irului funct, iilor s, i uniforma a s, irului derivatelor, atunci limita s, i derivata pot comuta.

4.2 Serii de funct, iiPasul urmator este sa studiem serii de funct, ii. Pentru convergent, a acestora, avem un singurcriteriu de utilizat.Teorema 4.4 (Weierstrass): Fie (an) un s, ir cu termeni pozitivi, ∑ fn(x) o serie de funct, ii, cu �ecarefn ∶ D ⊆ ℝ → ℝ, astfel ıncıt |fn(x)| ≤ an pentru orice x ∈ D, iar seria ∑ an este convergenta, atunciseria ∑ fn converge uniform.

Transferul proprietat, ilor se formuleaza pe scurt astfel (vom pastra notat, iile s, i contextul dinteorema lui Weierstrass de mai sus):

• Transfer de continuitate: Daca fn sınt funct, ii continue, iar seria ∑ fn converge uniform la f ,atunci funct, ia f este continua.

• Integrare termen cu termen: Daca seria ∑ fn converge uniform la f , atunci f este integrabilas, i are loc:

∫b

a∑nfn(x)dx = ∑

n∫

b

afn(x)dx,

pentru orice interval [a, b] ⊆ D ⊆ ℝ din domeniul de de�nit, ie al funct, iilor fn.

• Derivare termen cu termen: Presupunem ca toate funct, iile fn sınt derivabile. Daca seria ∑ fnconverge punctual la f s, i daca exista g ∶ D → ℝ astfel ıncıt ∑ f ′n converge uniform la g,atunci f este derivabila s, i f ′ = g.

Toate aceste proprietat, i, ınsa, vor � utile ıntr-un caz particular de serii de funct, ii, anume acelaal seriilor de puteri.

14

4.3 Serii de puteriPornim cu o serie de funct, ii ∑ fn, dar ın care �ecare termen fn este o funct, ie de tip polinomial.Astfel ca, de fapt, seriile de puteri pot � scrise ın general sub forma ∑ an(x − a)n, cu an, a ∈ ℝ, cazın care se numesc serii de puteri centrate ın a, de�nite de s, irul (an).

In majoritatea cazurilor, vom lucra cu serii de puteri centrate ın origine, care se vor scrie, ıngeneral, ∑ anxn.

Toate rezultatele de la serii de funct, ii sınt valabile s, i cu demonstrat, ii imediate, dat �ind cafunct, iile polinomiale sınt us, or de studiat. Rezultatele speci�ce sınt urmatoarele.

Teorema 4.5 (Abel): Fie ∑ an(x − a)n o serie de puteri centrata ın a ∈ ℝ. Atunci exista un numar0 ≤ R ≤ ∞ astfel ıncıt:

• Seria este absolut convergenta pe intervalul (a − R, a + R);

• Seria este divergenta pentru |x | > R;

• Seria este uniform convergenta pentru [−r , r], pentru 0 < r < R.

Numarul R se numes, te raza de convergent, a a seriei, iar intervalul (a−R, a+R) se numes, te intervalulde convergent, a.

Problema centrala acum va � calculul razei de convergent, a, care se poate face cu unul dintrecriteriile de mai jos.

Teorema 4.6 (Cauchy-Hadamard): Fie ∑ an(x − a)n o serie de puteri. Fie R raza sa de convergent, as, i �e ! = lim sup n

√|an|. Atunci:

• R = !−1, pentru 0 < ! < ∞;

• R = 0, daca ! = ∞;

• R = ∞, daca ! = 0.

Teorema 4.7: In condit, iile s, i cu notat, iile de mai sus, raza de convergent, a se poate calcula s, i cuformula:

R = limn→∞

||||anan+1

||||.

Observatie 4.1: Remarcam ca proprietat, ile de transfer sınt imediate ın cazul seriilor de puteri.Rezulta ca, daca ∑ an(x − a)n este o serie de puteri convergenta la S(x), atunci:

• Seria derivatelor, ∑ nan(x − a)n−1, are aceeas, i raza de convergent, a cu seria init, iala s, i aresuma S′(x);

15

• Seria primitivelor, ∑ann + 1

(x − a)n+1 are aceeas, i raza de convergent, a cu seria init, iala, iarsuma sa este o primitiva a funct, iei S.

In exercit, ii, se va folosi foarte des seria geometrica, ımpreuna cu derivata s, i o primitiva a ei.Astfel, pentru cazul convergent (|q| < 1), avem:

∑ aqn =a

1 − q⇒

∑ aqn+1

n + 1= −a ln(1 − q)

∑ anqn−1 =−a

(1 − q)2.

4.4 Polinomul Taylor s, i seria TaylorOrice funct, ie cu proprietat, i analitice ”bune“ poate � aproximata cu un polinom.

De�nitie 4.3: Fie D ⊆ ℝ un interval deschis s, i f ∶ D → ℝ o funct, ie de clasa Cm(D), adica estecontinua s, i are derivata continua, pına la a m-a iterat, ie.

Pentru orice a ∈ D de�nim polinomul Taylor de grad n ≤ m asociat funct, iei f ın punctul aprin:

Tn,f ,a =n

∑k=0

f (k)(a)k!

(x − a)k .

Restul (eroarea de aproximare), numit s, i restul Lagrange este de�nit prin:

Rn,f ,a = f (x) − Tn,f ,a(x).

Pentru cazul particular al polinomului Taylor de grad 1, acesta se mai numes, te aproximat, ialiniara a funct, iei f , iar pentru gradul 2, aproximat, ia patratica.

Evident, acest polinom poate � folosit mai departe pentru a studia seria Taylor asociata uneifunct, ii. Formal, conceptul este de�nit mai jos.

Teorema 4.8 (Seria Taylor): Fie a < b s, i f ∈ C∞([a, b]), astfel ıncıt sa existe M > 0 cu |f (n)(x)| ≤ M ,pentru orice n ∈ ℕ, x ∈ [a, b].

Atunci pentru orice x0 ∈ (a, b), se de�nes, te seria Taylor a lui f ın jurul punctului x0, care va �uniform convergenta pe [a, b], iar suma sa este funct, ia f , adica avem:

f (x) = ∑n≥0

f (n)(x0)n!

(x − x0)n, ∀x ∈ [a, b].

Pentru cazul particular x0 = 0, seria se numes, te Maclaurin.

16

Observatie 4.2: Daca nu se speci�ca punctul ın jurul caruia sa se faca dezvoltarea ın serie Taylorpentru funct, ia f , vom presupune ca lucram cu serii Maclaurin.

Observatie 4.3: Conform proprietat, ilor de aproximare a sumelor seriilor convergente din semi-narul anterior, s, tim ca eroarea de aproximare (restul Lagrange, ın acest caz) este comparabila cuprimul termen neglijat din seria Taylor (echivalent, cu urmatorul termen din polinomul Taylor).

Seriile Taylor uzuale pentru funct, iile elementare, ımpreuna cu domeniile de convergent, a,sınt date mai jos.

ex = ∑n≥0

1n!xn, x ∈ ℝ

11 − x

= ∑n≥0

xn, |x | < 1

11 + x

= ∑n≥0(−1)nxn, |x | < 1

cos x = ∑n≥0

(−1)n

(2n)!x2n, x ∈ ℝ

sin x = ∑n≥0

(−1)n

(2n + 1)!x2n+1, x ∈ ℝ

(1 + x)� = ∑n≥0

�(� − 1)(� − 2)⋯ (� − n + 1)n!

xn, |x | < 1, � ∈ ℝ

arctan x = ∑n≥0

(−1)n

2n + 1x2n+1, |x | ≤ 1.

Seriile pentru alte funct, ii se pot obt, ine �e prin calcul direct, �e prin derivare sau integraretermen cu termen a seriilor de mai sus.

4.5 Exercit, ii1. Sa se studieze convergent, a punctuala s, i uniforma a s, irurilor de funct, ii:

(a) fn ∶ (0, 1)→ ℝ, fn(x) =1

nx + 1, n ≥ 0;

(b) fn ∶ [0, 1]→ ℝ, fn(x) = xn − x2n, n ≥ 0;

(c) fn ∶ ℝ → ℝ, fn(x) =√x2 +

1n2, n > 0;

(d) fn ∶ [−1, 1]→ ℝ, fn(x) =x

1 + nx2;

17

(e) fn ∶ (−1, 1)→ ℝ, fn(x) =1 − xn

1 − x;

(f) fn ∶ [0, 1]→ ℝ, fn(x) =2nx

1 + n2x2;

(g) fn ∶ ℝ+ → ℝ, fn(x) =x + n

x + n + 1;

(h) fn ∶ ℝ+ → ℝ, fn(x) =x

1 + nx2.

2. Sa se arate ca s, irul de funct, ii dat de:

fn ∶ ℝ → ℝ, fn(x) =1narctan xn

converge uniform pe ℝ, dar:

( limn→∞

fn(x))′

x=1≠ lim

n→∞f ′n (1).

Rezultatele difera deoarece s, irul derivatelor nu converge uniform pe ℝ.

3. Sa se arate ca s, irul de funct, ii dat de:

fn ∶ [0, 1]→ ℝ, fn(x) = nxe−nx2

este convergent, dar:

limn→∞ ∫

1

0fn(x)dx ≠ ∫

1

0limn→∞

fn(x)dx.

Rezultatul se explica prin faptul ca s, irul nu este uniform convergent. De exemplu, pentru xn =1n

,avem fn(xn)→ 1, dar, ın general, fn(x)→ 0.

4. Sa se dezvolte urmatoarele funct, ii ın serie Maclaurin, precizınd s, i domeniul de convergent, a:

(a) f (x) = ex ;

(b) f (x) = sin x ;

(c) f (x) = cos x ;

(d) f (x) = (1 + x)� , � ∈ ℝ;

18

(e) f (x) = 11 + x

;

(f) f (x) = ln(1 + x);

(g) f (x) = arctan x ;

(h) f (x) = ln(1 + 5x);

(i) f (x) = 3 ln(2 + 3x).

5. Sa se calculeze raza de convergent, a s, i mult, imea de convergent, a pentru urmatoarele seriide puteri:

(a) ∑n≥0 xn;

(b) ∑n≥1 nnxn;

(c) ∑n≥1(−1)n+1xn

n;

(d) ∑n≥1nnxn

n!;

(e) ∑(x − 1)2n

n ⋅ 9n;

(f) ∑(x + 3)n

n2;

(g) ∑n + 2n2 + 1

(x − 2)n;

(h) ∑n + 1√

n4 + n3 + 1 (x + 12x + 3)

n.

6. Gasit, i mult, imea de convergent, a s, i suma seriilor:

(a) ∑n≥0(−1)nx2n+1

2n + 1;

(b) ∑2n

2n + 1xn;

(c) ∑n

n + 1xn.

19

7. Sa se calculeze cu o eroare mai mica decıt 10−3 integralele:

(a) ∫

12

0

sin xx

dx ;

(b) ∫

12

0

ln(1 + x)x

dx ;

(c) ∫1

0e−x

2dx .

8. Sa se calculeze polinomul Taylor de grad 3 ın jurul originii pentru funct, iile:

(a) f (x) = 3 ln(2 + x);

(b) f (x) = arctan x ;

(c) f (x) =√1 + 2x .

9. Gasit, i aproximarea liniara s, i patratica a funct, iilor:

(a) f (x) = 3√x ;

(b) f (x) = sin(cos x);

(c) f (x) = esin x ;

(d) f (x) = arcsin x .

10. Folosind seria Taylor, aproximat, i cu o eroare mai mica decıt 10−3 numerele:

(a) 3√65;

(b) sin 32;

(c) arctan 12

;

(d) e−0,2;

(e) ln 1, 1;

20

(f) ln 4;

(g) ln 5.

Indicat, ie: Atent, ie la domeniile de convergent, a!

11*. Aratat, i ca seriile numerice de mai jos sınt convergente s, i calculat, i sumele lor, folosindserii de puteri:

(a) ∑n≥0

(−1)n

3n + 1;

(b) ∑n≥0

(n + 1)2

n!;

(c) ∑n≥1

n2(3n − 2n)6n

.

Indicat, ii:

(a) Seria satisface criteriul lui Leibniz, deci este convergenta.

Pentru a gasi suma, pornim cu seria de puteri ∑(−1)nx3n+1

3n + 1.

Intervalul de convergent, a este (−1, 1), iar pentru x = 1, avem seria data.Fie f suma acestei serii de puteri ın intervalul (−1, 1). Derivam termen cu termen s, i obt, inem:

f ′(x) = ∑(−1)nx3n =1

1 + x3,

pentru |x | < 1, ca suma unei serii geometrice alternate.Rezulta:

f (x) = ∫dx1 + x3

=16ln

(x + 1)2

x2 − x + 1+1√3arctan 2x − 1

√3 + c,

pentru |x | < 1. Calculınd f (0), gasim c =�6√3

.

(b) Se foloses, te seria pentru ex , din care obt, inem seria pentru (x+x2)ex , pe care o derivam termencu termen.Pentru x = 1, se obt, ine seria ceruta, cu suma 5e.

(c) Descompunem seria ın doua, apoi folosim seria de puteri ∑ n2xn, pe care o derivam termencu termen, pentru a obt, ine seria pentru nxn−1, apoi seria pentru nxn.

21

SEMINAR 5

SPAT, II METRICE

5.1 Not, iuni teoreticeDe�nitie 5.1: Fie X o mult, ime nevida. O aplicat, ie d ∶ X ×X → ℝ se numes, te distant, a (metrica)pe X daca:

(a) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ ℝ;

(b) d(x, y) = 0⇔ x = y;

(c) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X ;

(d) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (inegalitatea triunghiului).

In acest context, perechea (X, d) se numes, te spat, iu metric.

Aceasta not, iune generalizeaza calculul distant, elor cu ajutorul modulului, cum se procedeazaın cazul mult, imii numerelor reale, de exemplu. In consecint, a, avem ca (ℝ, | ⋅ |) este spat, iu metric.

Principala not, iune teoretica de interes foloses, te urmatoarea:

De�nitie 5.2: Fie (X, d) un spat, iu metric s, i �e f ∶ X → X o funct, ie.Aplicat, ia f se numes, te contract, ie pe X daca exista k ∈ [0, 1) astfel ıncıt:

d(f (x), f (y)) ≤ k ⋅ d(x, y), ∀x, y ∈ X.

Numarul k se numes, te factor de contract, ie.

Rezultatul fundamental este:

22

Teorema 5.1 (Banach): Fie (X, d) un spat, iu metric complet1s, i �e f ∶ X → X o contract, ie de factork. Atunci exista un unic punct � ∈ X astfel ıncıt f (� ) = � .

In acest context, � se numes, te punct �x pentru f .

Putem folosi metoda aproximat, iilor succesive pentru a gasit punctul �x al unei aplicat, ii. Seconstruies, te un s, ir recurent astfel. Fie x0 ∈ X arbitrar. De�nim s, irul xn+1 = f (xn). Se poate demon-stra ca s, irul xn este convergent, iar limita sa este punctul �x cautat. In plus, eroarea aproximat, ieicu acest s, ir este data de:

d(xn, � ) ≤kn

1 − k⋅ d(x0, x1), ∀n ∈ ℕ.

5.2 Exemplu rezolvatVom aproxima cu o eroare mai mica decıt 10−3 solut, ia reala a ecuat, iei

x3 + 4x − 1 = 0.

Solut, ie: Folosind, eventual, metode de analiza (e.g. s, irul lui Rolle), se poate arata ca ecuat, iaare o singura solut, ie reala � ∈ (0, 1). Folosim mai departe metoda aproximat, iilor succesive pentrua o gasi.

Fie X = [0, 1] s, i f ∶ X → X, f (x) =1

x2 + 4. Se vede ca, pına la o translat, ie (constanta), ecuat, ia

data este echivalenta cu f (x) = x , adica a gasi un punct �x pentru f .Spat, iul metric X este complet, ca orice subspat, iu al lui ℝ. Mai demonstram ca f este contract, ie

pe X . Derivata este:

f ′(x) =−2x

(x2 + 4)2⇒ sup

x∈X|f ′(x)| = −f ′(1) =

225

< 1.

Am obt, inut ca f este o contract, ie de factor 225.

Construim s, irul aproximat, iilor succesive. Alegem x0 = 0 (pentru simplitate) s, i:

xn+1 = f (xn) =1

x2n + 4.

Evaluarea erorii:|xn − � | <

kn

1 − k|x0 − x1| =

13(

225)

2≤ 10−3

de unde rezulta ca putem lua:� ≃ x3 = f(

1665)

≃ 0, 235.

Observatie 5.1: Alternativ, puteam lucra cu g(x) =14(1 − x3), cu x ∈ [0, 1]. Se arata ca s, i g este

o contract, ie, de factor k =34

. In acest caz, s, irul aproximat, iilor succesive converge mai ıncet s, iavem � ≃ x6.

23

5.3 Exercit, ii propuseGasit, i solut, ia reala a ecuat, iilor de mai jos, cu eroarea ":

(a) x3 + 12x − 1 = 0, " = 10−3;

(b) x5 + x − 15 = 0, " = 10−3;

(c) 3x + e−x = 1, " = 10−3;

(d) x3 − x + 5 = 0, " = 10−2;

(e) x5 + 3x − 2 = 0, " = 10−3.

24

SEMINAR 6

DERIVATE PART, IALE

In general, putem lucra cu funct, ii de mai multe variabile, sub forma f ∶ ℝn → ℝ, funct, ii careaccepta n variabile ca ”date de intrare“ s, i rezultatul este o variabila reala, deci f (x1,… , xn) = y ∈ ℝ,pentru orice n-tuplu (x1,… , xn) ∈ ℝn.

Cazurile pe care le vom ıntılni cel mai des la acest seminar vor �, ınsa, n = 2 s, i n = 3, cazuriın care variabilele de intrare se vor nota, respectiv (x, y) sau (x, y, z).

Fie, deci, f ∶ ℝ3 → ℝ o funct, ie de 3 variabile reale, cu valori reale, f = f (x, y, z).Putem de�ni derivata part, iala a funct, iei f dupa variabila x , de exemplu, ca �ind derivata

obt, inuta prin tratarea lui y s, i z ca parametri (”constante“). Notat, ia este )f)x

sau fx sau )xf .Similar se pot de�ni s, i celelalte derivate part, iale. Un exemplu simplu:

f ∶ ℝ3 → ℝ, f (x, y, z) = 3x2y + 5xey + sin(yz).

Avem:

fx = 6xy + 5ey

fy = 3x2 + 5xey + z cos(yz)fz = y cos(yz).

Calculele pot continua s, i putem de�ni derivatele part, iale de ordin superior :

fxx =)2f)x2

=))x (

)f)x)

s, i similar pentru derivate mixte de forma fxy , fyx sau derivate de ordin s, i mai mare.In cazul funct, iilor pe care le vom folosi, are loc:

25

Teorema 6.1 (Teorema de simetrie a lui Schwarz): In anumite ipoteze1, derivatele mixte au pro-prietatea de simetrie, adica fxixj = fxjxi sau, scris pe larg:

)2f)xi)xj

=)2f)xj)xi

, ∀xi , xj .

In exercit, iile pe care le vom aborda, vor � de folos derivatele de ordinul ıntıi s, i cele de ordinulal doilea. In plus, pentru o funct, ie de 3 variabile reale, f ∶ ℝ3 → ℝ, f = f (x, y, z), se de�nes, telaplacianul (sau operatorul Laplace) prin:

Δf = fxx + fyy + fzz .

Similar, desigur, putem de�ni laplacianul s, i pentru funct, ii de 2 variabile reale prin:

Δf = fxx + fyy .

O funct, ie se numes, te armonica daca Δf = 0.

Data o funct, ie de 3 variabile, se poate de�ni diferent, iala totala, care cont, ine laolalta informat, iilefurnizate de derivatele part, iale. Pentru o funct, ie f ∶ ℝ3 → ℝ, diferent, iala totala se noteaza df s, ise calculeaza cu formula:

df = fxdx + fydy + fzdz,

unde dx, dy, dz sınt diferent, ialele elementare (nu se calculeaza! ele constituie vectori-baza ıntr-un anumit spat, iu vectorial).

O expresie ca mai sus, de forma df , se numes, te 1-forma diferent, iala, pe care o vom reıntılniın studiul integralelor curbilinii.

Avem mai departe s, i diferent, iala totala de ordinul al doilea, de�nita pentru aceeas, i funct, ie demai sus prin:

d2f = fxxdx2 + 2fxydxdy + fyydy2,

expresie care se mai numes, te 2-forma diferent, iala s, i pe care o vom reıntılni ın studiul integralelorde suprafat, a.

De asemenea, o alta not, iune utila este aceea a polinoamelor Taylor pentru funct, ii de mai multevariabile. Fie f = f (x, y) o funct, ie de 2 variabile s, i �e A(xA, yA) ∈ ℝ2 un punct arbitrar. In exercit, ii,vom ıntılni doar polinoamele Taylor de grad 1 s, i 2, care se de�nesc astfel, ın jurul punctului A:

T1(X, Y ) = f (A) +11! [

fx (A)(X − xA) + fy(A)(Y − yA)]

T2(X, Y ) = T1(X, Y ) +12! [

fxx (A)(X − xA)2 + fyy(A)(Y − yA)2 + 2fxy(A)(X − xA)(Y − yA)] .

1O prezentare a teoremei se poate gasi aici, iar ın exercit, iile de la seminar, ipotezele vor � veri�cate automat.

26

Ca ın cazul seriilor Taylor pentru funct, iile de o singura variabila, eroarea aproximat, iei folosindaceste polinoame este comparabila cu primul termen neglijat.

6.1 Extreme libereFie o funct, ie de 2 variabile f ∶ ℝ2 → ℝ, f = f (x, y). Ne propunem sa studiem valorile saleextreme, adica sa ıi gasim minimul s, i maximul, considerınd ca funct, ia este de�nita, derivabila s, icontinua pe tot domeniul de de�nit, ie.

Pas, ii pe care ıi urmam sınt:

(1) Rezolvam sistemul de ecuat, ii dat de anularea derivatelor part, iale de ordinul ıntıi, din carea�am punctele critice, care este posibil sa �e de extrem. As, adar, rezolvam sistemul:

{fx = 0fy = 0

⟹ A1(x1, y1), A2(x2, y2) …

(2) Pentru �ecare dintre punctele critice Ai se alcatuies, te matricea hessiana a funct, iei, alcatuitadin derivatele de ordinul al doilea s, i se evalueaza matricea ın punctele critice:

Hf (Ai) = (fxx (Ai) fxy(Ai)fyx (Ai) fyy(Ai))

(3) Fie Ai un punct critic �xat. Calculam valorile proprii �1,2 ale matricei hessiene Hf (Ai) s, i deci-dem astfel:

• Daca �1, �2 > 0, atunci punctul Ai este de minim local;• Daca �1, �2 < 0, punctul Ai este maxim local;• Daca �1 ⋅ �2 < 0, punctul Ai nu este de extrem;• Daca �1 ⋅ �2 = 0, nu putem decide.

(4) Se repeta procedura pentru �ecare dintre punctele critice.

6.2 Exercit, ii1. Veri�cat, i daca urmatoarele funct, ii de 2 variabile sınt armonice (presupunem ca domeniile dede�nit, ie au fost date corect):

(a) f (x, y) = ln(x2 + y2);

27

(b) f (x, y) =√x2 + y2;

(c) f (x, y) = arctan xy+ arctan

yx

;

(d) f (x, y) = x + yx − y

.

2. Gasit, i punctele de extrem pentru funct, iile de 2 sau 3 variabile, de�nite corespunzator peℝ2 sau ℝ3:

(a) f (x, y) = 3x2y − 2x + 5y − xy2;

(b) f (x, y) = x3 + y3 − 6xy;

(c) f (x, y) = 3xy2 − x3 − 15x − 36y + 9;

(d) f (x, y) = 4xy − x4 − y4;

28

SEMINAR 7

RECAPITULARE PART, IAL

7.1 Model 11. Studiat, i natura seriilor:

(a) ∑2n ⋅ n!nn

;

(b) ∑(√n + 1 −

√n);

2. Studiat, i convergent, a uniforma a s, irului de funct, ii:

fn ∶ [0, 2]→ ℝ, fn(x) =nx3

x2 + n.

3. Calculat, i cu o eroare de maximum 10−3 integrala:

∫

13

0

ln(1 + x)x

dx.

4. Sa se dezvolte ın serie Taylor ın jurul originii funct, ia f (x) = ln(2 + 3x).Gasit, i domeniul de convergent, a al dezvoltarii.

5. (a) Sa se aproximeze, folosind polinomul Taylor de gradul 2 ın jurul originii, funct, ia f (x) =3√x + 1.

(b) Sa se calculeze, folosind aproximat, ia de mai sus, 3√28.

29

(c) Estimat, i eroare aproximat, iei de mai sus.

(*) Veri�cat, i daca funct, ia f (x, y) = arctanxy

este armonica.

7.2 Model 21. Studiat, i convergent, a seriilor:

∑an

2n2 + 1, a ∈ ℝ ∑

(−1)n

ln n.

2. Studiat, i convergent, a punctuala s, i uniforma a s, irului de funct, ii:

fn ∶ [0, 1]→ ℝ, fn(x) =nxn + 1nxn + 2

.

3. Determinat, i mult, imea de convergent, a s, i suma seriei ∑(−1)n

3n + 1x3n+1.

4. Sa se calculeze, cu o eroare mai mica decıt 10−3, integrala:

∫

13

0

arctan xx2

dx.

5. Gasit, i extremele funct, iei f ∶ ℝ3 → ℝ, f (x, y, z) = x2 + 2z2 − xy + 2xz − yz + x .

(*) Calculat, i aproximat, ia patratica ın jurul originii pentru funct, ia f (x) = xex2 .

7.3 Part, ial 2018–2019Numarul 1

1. Stabilit, i natura seriilor:

(a) ∑n≥1

3√n3 + n2 − n

n2;

(b) ∑n≥2(−1)n

nn2 − 1

.

30

2. Aproximat, i cu o eroare de maximum " = 10−3 valoarea integralei:

I = ∫1

0

1 − cos xx2

dx.

3. Fie seria de puteri: ∑n≥1

(−1)n−1

nx2n.

(a) Determinat, i domeniul de convergent, a.

(b) Calculat, i suma seriei de puteri.

4. Fie funct, ia f ∶ ℝ2 → ℝ, f (x, y) = ye2x+y .Scriet, i polinoamele Taylor de gradul 1 s, i 2 asociate funct, iei, ın jurul punctului A(

−12, 1).

5. Determinat, i punctele de extrem local ale funct, iei:

f ∶ ℝ3 → ℝ, f (x, y, z) = x3 + 2y2 + z2 + yz − 3x + 6y + 2.

Numarul 21. Studiat, i natura seriilor numerice:

(a) ∑n≥1

3√n3 + n2 − n

n;

(b) ∑n≥1(−1)n (

√n2 + 1 − n).

2. Sa se aproximeze cu o eroare de maximum 10−3 valoarea integralei:

I = ∫1

0

1 − e−x

xdx.

3. Fie seria de puteri: ∑n≥0

(−1)n

3n + 1x3n+1.

(a) Gasit, i domeniul de convergent, a.

(b) Calculat, i suma seriei.

31

4. Fie funct, ia f ∶ ℝ2 → ℝ, f (x, y) = xex+2y .Scriet, i polinoamele Taylor T1 s, i T2 ın jurul punctului A(1,

−12 ).

5. Gasit, i punctele de extrem local ale funct, iei:

f ∶ ℝ3 → ℝ, f (x, y, z) = x3 − 2x2 + y2 + z2 − 2xy + xz − yz + 3z.

32

SEMINAR 8

EXTREME CU LEGATURI

In seminarul anterior am vazut cum se studiaza punctele de extrem s, i valorile extreme pentrufunct, ii de 2 sau 3 variabile, de�nite pe ıntreg domeniu, ℝ2 sau ℝ3. In multe situat, ii, ınsa, domeniulde de�nit, ie va � doar o port, iune a planului sau spat, iului, de�nita prin (in)ecuat, ii.

Exista mai multe posibilitat, i pentru a delimita domeniul de de�nit, ie s, i le prezentam ın ordineacrescatoare a di�cultat, ii.

Consideram, pentru simplitate, ca lucram cu o funct, ie de doua variabile:

f ∶ D ⊆ ℝ2 → ℝ, f = f (x, y).

Pentru toate cazurile cınd domeniul de de�nit, ie are o frontiera (chiar s, i interval des-chis), studiul se ımparte ın 2 etape: pe interior s, i pe frontiera.

Pentru domenii de tip dreptunghiular, D = [a, b] × [c, d]:

• se studiaza mai ıntıi pe interiorul domeniului, adica IntD = (a, b)×(c, d), cu metoda din cazulextremelor libere. Se impune condit, ia ca punctele critice sa apart, ina interiorul domeniului.

• se studiaza apoi pe frontiera (FrD = )D), care poate � ımpart, ita ın mai multe bucat, i: x =a, y ∈ [c, d] s, i celelalte, caz pentru care funct, ia devine de o singura variabila. In exempluldat, avem f (x, y) = f (a, y) = g(y), pentru care se studiaza extremele ca ın liceu, �ind vorbade o funct, ie de o singura variabila.

Pentru domenii delimitate de ecuat, ii sau inecuat, ii de gradul ıntıi, de forma D = {x ∈[a, b], m1x + n1 ≤ y ≤ m2x + n2}, studiul se poate face ca mai sus pe interior, iar pe frontiera, sesubstituie x ∈ [a, b], iar y = m1x +n1, respectiv x ∈ [a, b], iar y = m2x +n2, ın ambele cazuri avındfunct, ii de o singura variabila.

Domeniile delimitate de ecuat, ii oarecare se studiaza folosind o metoda generala (care, dealtfel, poate � folosita s, i ın celelalte cazuri), numita metoda multiplicatorilor lui Lagrange. Astfel,

33

sa presupunem ca avem un domeniu de forma D ∶ E(x, y) ≤ � ∈ ℝ, cum ar �, de exemplu,interiorul unui disc:

D ∶ x2 + (y − 2)2 ≤ 9.

Metoda consta ın:

• studiul pe interiorul domeniului, ca ın cazul extremelor libere, dar se impune condit, ia capunctele critice sa satisfaca inegalitatea stricta E(x, y) < � ;

• pe frontiera, se de�nes, te funct, ia lui Lagrange:

F (x, y) = f (x, y) − �E(x, y), � ∈ ℝ

s, i se reia calculul, pentru funct, ia F , cu parametrul �. Mai precis, avem de rezolvat sistemul:

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

Fx = 0Fy = 0E(x, y) − � = 0

⟹ (x, y, �), puncte critice.

Din aceste puncte, extragem perechile (x, y), pe care le folosim mai departe. Rezultatulcentral este:

Teorema 8.1: O funct, ie continua de�nita pe un domeniu compact1este marginita s, i ıs, i atinge mar-ginile.

Mai departe, putem continua ca ın cazul extremelor libere, i.e. cu matricea hessiana pentrupunctele critice (xc , yc) obt, inute, �e putem cita teorema s, i va � su�cient sa calculam f (xc , yc).Aceasta deoarece punctele de extrem sigur sınt printre punctele critice (teorema lui Fermat dinliceu) s, i deci, valoarea maxima dintre f (xc , yc) va � punctul de maxim, iar cea minima, punctul deminim.

8.1 Exercit, ii1. Fie funct, ia f ∶ D ⊆ ℝ2 → ℝ, f (x, y) = x3 + y3 − 6xy . Determinat, i valorile extreme ale

funct, iei pentru:

(a) D = [0, 1] × [0, 1];

(b) D = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≥ 5}.1Compacitatea este un concept matematic destul de subtil s, i nu us, or de ınt,eles. Intuitiv, ınsa, va � su�cient sa

ment, ionam ca domeniile care din punct de vedere geometric nu au ”gauri“ sınt compacte. In particular, ceea ce vomfolosi ın exercit, ii (discuri, elipse, triunghiuri etc.) vor � toate compacte, deci sıntem ın ipotezele teoremei.

34

2. Fie funct, ia f ∶ D → ℝ2, f (x, y) = x2 + xy + y2 − 4 ln x − 10 ln y + 3. Determinat, i valorileextreme ale funct, iei, daca D este domeniul maxim de de�nit, ie (extreme libere!).

3. Fie funct, ia f ∶ D → ℝ2, f (x, y) = 3xy2 − x3 − 15x − 36y + 9.

(a) Pentru D = ℝ2, determinat, i valorile extreme ale funct, iei.

(b) Pentru D = [−4, 4] × [−3, 3], determinat, i valorile extreme ale funct, iei.

4. Fie funct, ia f ∶ D ⊆ ℝ2 → ℝ, f (x, y) = 4xy − x4 − y4. Determinat, i valorile extreme alefunct, iei pentru:

(a) D = ℝ2;

(b) D = [−1, 2] × [0, 2];

5. Fie f ∶ D ⊆ ℝ2 → ℝ, f (x, y) = x3 + 3x2y − 15x − 12y. Aceeas, i cerint, a ca mai sus pentru:

(a) D = ℝ2;

(b) D = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x ≥ 0, y ≥ 0, 3y + x ≤ 3}.

6. Determinat, i valorile extreme pentru funct, iile f , de�nite pe domeniile D, unde:

(a) f (x, y) = xy(1 − x − y), D = [0, 1] × [0, 1];

(b) f (x, y) = x4 + y4 − 2x2 + 4xy − 2y2, D = (−∞0) × (0,∞);

(c) f (x, y) = x3 + 8y3 − 2xy, D = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x, y ≥ 0, y + 2x ≤ 2};

(d) f (x, y) = x4 + y3 − 4x3 − 3y2 + 3y, D = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x2 + y2 < 4}.

7. (Part, ial ETTI, Prof. Purtan) Fie funct, ia: f ∶ D ⊆ ℝ2 → ℝ, f (x, y) = x2 +2xy −4x −y. PentruD = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ −x2 + 2x}, determinat, i valorile extreme ale funct, iei.

8. (Examen ACS, Prof. Olteanu) A�at, i valorile extreme ale funct, iei:

f (x, y) = x2 + y2 − 3x − 2y + 1

pe mult, imea K ∶ x2 + y2 ≤ 1.

9*. Dintre toate paralelipipedele dreptunghice cu volum constant 1, determinat, i pe cel cu ariatotala minima.

35

10. Fie funct, ia f ∶ D → ℝ, f (x, y, z) = x + 2y − 2z. Gasit, i extremele funct, iei pentru D ={(x, y, z) ∈ ℝ3 ∣ x2 + y2 + z2 ≤ 16}.

11. Fie funct, ia f ∶ D → ℝ, f (x, y, z) = −4x − 3y + 6z. Gasit, i extremele funct, iei pentruD = {(x, y, z) ∈ ℝ3 ∣ x2 + y2 + z2 ≤ 1}.

12. Fie funct, ia f ∶ D → ℝ, f (x, y) = xy2(x + y − 2). Gasit, i extremele funct, iei pentru D ={(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x + y ≤ 3, x, y ≥ 0}.

13. Fie funct, ia f ∶ ℝ2 → ℝ, f (x, y) = xy . Gasit, i extremele funct, ie pentru D = {(x, y) ∈ ℝ ∣x2 + 2y2 ≤ 1}.

36

SEMINAR 9

METODA CELOR MAI MICI PATRATE

Aceasta metoda este strıns legata de conceptul de interpolare, care ne ajuta sa gasim cea maipotrivita curba, pornind de la un set de puncte (reprezentınd, eventual, date experimentale).

Cazul particular pe care ıl vom discuta este acela al curbelor liniare, deci atunci cınd se cautacea mai potrivita dreapta pentru un set de puncte. Aceasta dreapta se mai numes, te dreapta deregresie s, i spunem ca ea mediaza ıntre un set de puncte date, ın sensul ca optimizeaza erorile.

Pe scurt, daca se da un set de date experimentale, distribuite ıntr-un anume fel ın plan s, i avemde gasit cea mai potrivita dreapta care sa medieze ıntre aceste puncte, sıntem ın situat, ia din �gura9.1.

Figura 9.1: Dreapta y = b0 + b1x care mediazaıntre punctele yi , cu calculul erorilor ri

Aceasta dreapta se va gasi astfel ıncıt suma patratelor erorilor sa �e minima. Motivul simplueste ca erorile pot � s, i pozitive, s, i negative, iar mai mult, erorile mari vrem sa �e ”ampli�cate“ demetoda, erorile mai mici �ind de o important, a inferioara. De aceea, metoda se numes, te metodacelor mai mici patrate.

37

Fie, deci, dreapta y = ax + b, dreapta de regresie liniara pe care o cautam, care sa mediezeıntre punctele Pi(xi , yi).

Echivalent, putem scrie relat, ia s, i funct, ional, ın sensul ca dreapta cautata se asociaza uneifunct, ii f (x) = ax+b. Atunci, daca punctul Pi se gases, te pe aceasta dreapta, are loc relat, ia f (xi) = yi .Rezulta ca eroarea poate � calculata prin diferent, a |yi−f (xi)| s, i vom � interesat, i de suma patrateloracestor erori. Aceasta va � funct, ia pe care ıncercam sa o minimizam, iar argumentele sale sıntcoe�cient, ii a, b care de�nesc dreapta cautata

As, adar, de�nim:F (a, b) = ∑

i(f (xi) − yi)2 = ∑

i(axi + b − yi)2.

Metoda dores, te, deci, sa minimizeze eroarea, deci problema revine la a gasi M(a, b) punctulde minim al funct, iei F (a, b) de mai sus. Coordonatele punctului vor de�ni dreapta de regresiecautata.

9.1 Exercit, iiGasit, i dreptele de regresie care mediaza ıntre punctele:

(a) (1, 3), (2, 4), (−1, 0);

(b) (2, 3), (−1, −1), (0, 2);

(c) (1, 0), (2, 1), (3, 2), (−1, 2);

(d) (1, 1), (2, 1), (−1, 0), (−2, 1);

(e) (1, 0), (2, 1), (−1, 1), (−2, −2).

38

SEMINAR 10

INTEGRALE IMPROPRII S, I CU PARAMETRI

Integralele improprii sınt integrale ın care �e unul dintre capete este in�nit, �e funct, ia nu estede�nita ın cel put, in un punct din domeniul de integrare. De exemplu:

• ∫1

0

ln xx

este improprie ın x = 0;

• ∫∞

0

ln xx

este improprie ın ambele capete.

Pentru aceste integrale, calculul se poate face trecınd la limita, daca unul dintre capete estein�nit. Mai precis, avem:

∫∞

af (x)dx = lim

t→∞ ∫t

af (x)dx,

daca integrala nu este improprie s, i ın capatul x = a sau ın alt punct din interiorul domeniului.Pentru celelalte cazuri, exista criterii de convergent, a, care depas, esc scopul acestui seminar.

Le includem mai jos, pentru completitudine.

*****Fie a, b ∈ ℝ s, i f ∶ [a, b) → ℝ o funct, ie local integrabila (i.e. integrabila pe orice interval

compact [u, v] ⊆ [a, b)).

Integrala improprie (ın b) ∫b

af (x)dx se numes, te convergenta daca limita:

limt→b ∫

t

af (x)dx

39

exista s, i este �nita. Valoarea limitei este valoarea integralei. In caz contrar, integrala se numes, tedivergenta.

Daca f ∶ [a,∞) → ℝ este local integrabila, atunci integrala improprie (la ∞) ∫∞

af (x)dx se

numes, te convergenta daca limita:

limt→∞ ∫

t

af (x)dx

exista s, i este �nita. Valoarea limitei este egala cu valoarea integralei.

Integrala improprie ∫b

af (x)dx se numes, te absolut convergenta daca integrala ∫

b

a|f (x)|dx

este convergenta.Criteriile de convergent, a pentru integralele improprii sınt foarte asemanatoare cu cele pentru

serii (amintit, i-va, ca, de fapt, integralele de�nite se construiesc cu ajutorul sumelor in�nite, adicaserii, v. sumele Riemann).

As, adar, avem:Criteriul lui Cauchy (general): Fie f ∶ [a, b) → ℝ local integrabila. Atunci integrala

∫b

af (t)dt este convergenta daca s, i numai daca:

∀" > 0, ∃b" ∈ [a, b) a.ı. ∀x, y ∈ (b" , b), ||| ∫y

xf (t)dt ||| < ".

Criteriul de comparat, ie (”termen cu termen“): Fie f , g ∶ [a, b)→ ℝ astfel ıncıt 0 ≤ f ≤ g.

• Daca ∫b

ag(x)dx este convergenta, atunci s, i integrala ∫

b

af (x)dx este convergenta;

• Daca integrala ∫b

af (x)dx este divergenta, atunci s, i integrala ∫

b

ag(x)dx este divergenta.

Criteriul de comparat, ie la limita: Fie f , g ∶ [a, b)→ [0,∞), astfel ıncıt sa existe limita:

� = limx→b

f (x)g(x)

.

• Daca � ∈ [0,∞), iar ∫b

ag(x)dx este convergenta, atunci ∫

b

af (x)dx este convergenta;

• Daca � ∈ (0,∞) sau � = ∞, iar ∫b

ag(x)dx este divergenta, atunci s, i ∫

b

af (x)dx este diver-

genta.

40

Criteriul de comparat, ie cu1x�

: Fie a ∈ ℝ s, i f ∶ [a,∞) → [0,∞) local integrabila, astfelıncıt sa existe:

� = limx→∞

x� f (x).

• Daca � > 1 s, i 0 ≤ � < ∞, atunci ∫∞

af (x)dx este convergenta;

• Daca � ≤ 1, iar 0 < � ≤ ∞, atunci ∫∞

af (x)dx este divergenta.

Criteriul de comparat, ie cu1

(b − x)�: Fie a < b s, i f ∶ [a, b)→ [0,∞), local integrabila, astfel

ıncıt sa existe:� = lim

x→b(b − x)� f (x).

• Daca � < 1 s, i 0 ≤ � < ∞, atunci ∫b

af (x)dx este convergenta;

• Daca � ≥ 1 s, i 0 < � ≤ ∞, atunci ∫b

af (x)dx este divergenta.

Criteriul lui Abel: Fie f , g ∶ [a,∞)→ ℝ, cu proprietat, ile:

• f este de clasa C1, limx→∞

f (x) = 0, iar ∫∞

af ′(x)dx este absolut convergenta;

• g este continua, iar G(x) = ∫x

af (t)dt este marginita pe [a,∞).

Atunci integrala ∫∞

af (x)g(x)dx este convergenta.

Exercit, iu: Folosind criteriile de comparat, ie, sa se studieze natura integralelor improprii:

(a) ∫∞

1

dx√x2 + 1

(D);

(b) ∫1

0

x2√1 − x2

dx (C);

(c) ∫1

0

sin x1 − x2

dx (D);

41

(d) ∫∞

1

x√x3 − 1

dx (C x = 1, D x → ∞⇒ D);

(e) ∫∞

1

ln x√x3 − 1

dx (C);

(f) ∫∞

1

dxx√x − 1

dx (C x → ∞, D x = 1⇒ D);

(g) ∫∞

1

dxx(ln x)�

, � > 0 (D);

*****Un caz particular care ne intereseaza este acela al integralelor improprii cu parametri. Un

exemplu este:

I (m) = ∫

�2

0ln(cos2 x +m2 sin2 x)dx, m > 0,

care se poate rezolva folosind tehnica de derivare ın interiorul integralei, adica:

I ′(m) = ∫

�2

0

))m

ln(cos2 x +m2 sin2 x)dx.

Exemple rezolvate:Sa se calculeze integralele, folosind derivarea sub integrala:

(a) I (m) = ∫

�2

0ln(cos2 x +m2 sin2 x)dx,m > 0;

(b) I (a) = ∫

�2

0ln(a2 − sin2 �)d�, a > 1;

(c) I (a) = ∫1

0

arctan axx√1 − x2

dx, a > 0.

Solut, ii:(a) Daca consideram funct, ia:

f (x,m) = ln(cos2 x +m2 sin2 x),

observam ca este continua s, i admite o derivata part, iala continua ın raport cu m.Atunci obt, inem:

)f)m

= I ′(m) = 2m ∫

�2

0

sin2 xcos2 x +m2 sin2 x

dx

42

Pentru a calcula integrala, facem schimbarea de variabila tan x = t s, i atunci:

dt =1

cos2 xdx.

Integrala init, iala se poate prelucra:

I ′(m) = 2m ∫

�2

0

sin2 xcos2x(1 +m2 tan2 x)

dx.

As, adar, pentru a obt, ine sin2 x ın funct, ie de t calculam:

sin2 x1 − sin2 x

= t2 ⇒ sin2 x =t2

1 + t2.

In �ne, integrala devine:

I ′(m) = 2m ∫∞

0

t2

(1 +m2t2)(1 + t2)dt.

Facınd descompunerea ın fract, ii simple, obt, inem:

t2

(1 +m2t2)(1 + t2)=

1m2 − 1(

1t2 + 1

−1

m2t2 + 1).

s, i calculam ın �ne integrala I ′(m) = �m+1 . Integram s, i gasim I (m) = � ln(m + 1) + c. Deoarece

I (1) = 0, rezulta c = −� ln 2 s, i, ın �ne:

I (m) = � lnm + 12

.

(b) Daca consideram funct, ia:

f (�, a) = ln(a2 − sin2 �),

observam ca este continua s, i admite o derivata part, iala continua ın raport cu a.Atunci avem:

I ′(a) =)f)a

= ∫

�2

0

2aa2 − sin2 �

d�.

43

Cu schimbarea de variabila t = tan � , avem succesiv:

I ′(a) = ∫∞

0

2aa2 − t2

1+t2⋅

11 + t2

dt

= ∫∞

0

2at2(a2 − 1) + a2

dt

=2a

a2 − 1 ∫∞

0

1t2 + a2

a2−1

dt

=2a

a2 − 1⋅√a2 − 1a

⋅ arctan t√a2 − 1a

|||∞

0

=2√a2 − 1

⋅�2

=�√a2 − 1

.

Integram pentru a obt, ine I (a) s, i gasim:

I (a) = ∫�√a2 − 1

da = � ln(a +√a2 − 1) + c.

Pentru a calcula constanta c, putem rescrie integrala din forma init, iala:

I (a) = ∫

�2

0ln(a

2(1 −

sin2 �a2 ))d�

= ∫

�2

0ln a2d� + ∫

�2

0ln(1 −

sin2 �a2 )d�.

Putem considera limita a → ∞ s, i atunci integrala de calculat tinde la 0, deci c = −� ln 2.

Concluzie: I (a) = � ln a +√a2 − 12

.

(c) Daca consideram funct, ia f (x, a) =arctan axx√1 − x2

, observam ca este continua s, i admite o deri-vata part, iala continua ın raport cu a. Atunci:

I ′(a) =)f)a

= ∫1

0

dx(1 + a2x2)

√1 − x2

.

Pentru a calcula integrala, facem schimbarea de variabila x = sin t s, i obt, inem:

I ′(a) = ∫

�2

0

dt1 + a2 sin2 t

.

44

Mai departe, aplicam schimbarea de variabila tan t = u s, i obt, inem succesiv:

I ′(a) = ∫∞

0

du(1 + a2)u2 + 1

=�2⋅

1√1 + a2

.

As, adar, printr-o integrare ın funct, ie de a, gasim:

I (a) =�2ln(a +

√1 + a2) + c.

Cum I (0) = 0, gasim c = 0.

Insa accentul pentru acest seminar va cadea pe funct, iile lui Euler, Beta s, i Gamma, care sede�nesc astfel:

Γ(t) = ∫∞

0x t−1e−xdx, t > 0

B(p, q) = ∫1

0xp−1(1 − x)q−1, p, q > 0.

Remarcam ca integrala Gamma este improprie pentru x → ∞, iar integrala Beta nu esteimproprie, ci doar cu parametri.

Proprietat, ile pe care le vom folosi ın exercit, ii sınt:

(1) B(p, q) = B(q, p), ∀p, q > 0;

(2) B(p, q) = Γ(p) ⋅ Γ(q)Γ(p + q)

;

(3) B(p, q) = ∫∞

0

yp−1

(1 + y)p+qdy;

(4) Γ(1) = 1;

(5) Γ(t + 1) = t ⋅ Γ(t), ∀t > 0;

(6) Γ(n) = (n − 1)!, ∀n ∈ ℕ∗.

10.1 Exercit, iiCalculat, i, folosind funct, iile B s, i Γ, integralele:

(a) ∫∞

0e−x

pdx, p > 0;

45

(b) ∫∞

0

4√x

(x + 1)2dx ;

(c) ∫∞

0

dxx3 + 1

;

(d) ∫

�2

0sinp x cosq xdx, p > −1, q > −1;

(e) ∫1

0xp+1(1 − xm)q−1dx, p, q, m > 0;

(f) ∫∞

0xpe−x

qdx, p > −1, q > 0;

(g) ∫1

0lnp x−1dx, p > −1;

(h) ∫1

0

dxn√1 − xn

, n ∈ ℕ;

(i) ∫e

1

1xln3 x ⋅ (1 − ln x)4dx ;

(j) ∫1

0

√ln1xdx ;

(k) ∫∞

0

x2

(1 + x4)2dx ;

(l) ∫∞

−1e−x

2−2x+3dx .

46

SEMINAR 11

INTEGRALE DUBLE

11.1 Exercit, iiReprezentat, i gra�c domeniile date de urmatoarele (in)ecuat, ii:

(a) D1 = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ y = x2, y2 = x}

(b) D2 = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x = 2, y = x, xy = 1};

(c) D3 = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x2 + y2 ≤ 2y};

(d) D4 = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x2 + y2 ≤ x, y ≥ 0};

(e) D5 = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ y = 0, x + y − 6 = 0, y2 = 8x};

(f) D6 = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x2 + y2 ≤ 2x + 2y − 1}.

11.2 Metode de calculCazurile particular care ne intereseaza sınt de 4 feluri.

Integralele pe dreptunghiuri se calculeaza direct, ca nis, te integrale iterate. De exemplu,pentru D = [a, b] × [c, d], avem:

∬Df (x, y)dxdy = ∫

d

c∫

b

af (x, y)dxdy = ∫

b

a∫

d

cf (x, y)dxdy,

ultima egalitate rezultınd dintr-o teorema, numita teorema lui Fubini.Integralele pe domenii intergra�c se calculeaza prin a le descrie ca pe nis, te dreptunghiuri,

cu o latura variabila.

47

Consideram, de exemplu, cazul D1 de mai sus. Acest domeniu poate � descris astfel (vedet, idesenul):

x ∈ [0, 1], y ∈ [x2,√x],

deci putem calcula integrale duble pe acest domeniu sub forma:

∬D1f (x, y)dxdy = ∫

1

0∫

√x

x2f (x, y)dydx.

Integralele pe cercuri centrate ın origine se calculeaza folosind trecerea la coordonatepolare: {

x = r cos ty = r sin t

, (r , t) ∈ [0,∞) × [0, 2� ).

Aceasta este, de fapt, o schimbare de variabile, deci trebuie schimbate s, i diferent, ialele, folosindmatricea jacobiana:

dxdy ↦ |J |drdt, unde J =||||xr xtyr yt

||||= r .

Astfel, de exemplu, daca D = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x2 + y2 ≤ 4}, putem calcula:

∬Df (x, y)dxdy = ∫

2

0∫

2�

0f (r , t) ⋅ rdtdr .

Pentru cercuri necentrate ın origine sau alte domenii arbitrare, se expliciteaza ca do-menii intergra�c. De exemplu, pentru domeniul D4 din primul exercit, iu, avem:

(x −12)

2+ y2 ≤

12, y ≥ 0,

care este un disc, centrat ın (12, 0) s, i cu raza 1

2, din care se ia doar partea superioara, cores-

punzatoare lui y ≥ 0. As, adar, acesta poate � descris astfel (vedet, i desenul):

x ∈ [0, 1], y ∈[0,√12− (x −

12)2].

Integrala se calculeaza ın continuare pe acest domeniu.

Pentru toate cazurile de mai sus, aria domeniului D se calculeaza prin:

A(D) = ∬Ddxdy.

48

11.3 Exercit, ii

1. Calculat, i ∬Df (x, y)dxdy ın urmatoarele cazuri:

(a) D = [0, 1] × [2, 3], iar f (x, y) = xy2;

(b) D = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ 0 ≤ x ≤ 1, 2x ≤ y ≤ x2 + 1}, iar f (x, y) = x ;

(c) D = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ y = x, y = x2}, iar f (x, y) = 3x − y + 2;

(d) D = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x2 + y2 ≤ 1}, iar f (x, y) = ex2+y2 ;

(e) D = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x ≥ 0, y ≥ 0}, iar f (x, y) = e−2(x2+y2);

(f) D = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x2 + y2 ≤ x, y ≥ 0}, iar f (x, y) = xy .

2. Calculat, i ariile domeniilor de mai sus.

3. Calculat, i aria domeniului:

D = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ 2 ≤ x2 + y2 ≤ 4, x + y ≥ 0}.

49

SEMINAR 12

INTEGRALE TRIPLE

Integralele triple pe care le vom calcula se rezolva folosind o abordare de tipul domeniilor inter-gra�c. Astfel, dacaΩ este un domeniu de tip corp tridimensional, delimitat de suprafet, e de ecuat, iidate, se poate calcula volumul domeniului Ω cu formula:

V (Ω) = ∭Ωdxdydz,

iar de cele mai multe ori, se calculeaza init, ial integrala dupa z, deoarece suprafet, ele sınt date ınaceasta forma.

Exercit, iu: Calculat, i volumul corpului delimitat de suprafet, ele de ecuat, ii date:

(a) z = x2 + y2 (paraboloid) s, i z = x + y (plan);

(b) z = x2 + y2 − 1 s, i z = 2 − x2 − y2 (2 paraboloizi);

(c) x2 + y2 + z2 = 1 (sfera) s, i x2 + y2 =12

(cilindru).

Indicat, ii: (a) Se calculeaza mai ıntıi integrala dupa z, deoarece o reprezentare gra�ca ne vaajuta sa vedem ca ın sensul crescator al axei OZ ıntılnim mai ıntıi paraboloidul, apoi planul,conform �gurii 12.1.

Astfel, avem de calculat:

V (Ω) = ∭Ωdxdydz = ∬

D∫

x2+y2

x+ydzdxdy,

unde D este proiect, ia pe planul XOY a �gurii, care se poate obt, ine foarte simplu eliminınd z dincele doua ecuat, ii, adica:

x2 + y2 = x + y,

50

Figura 12.1: Intersect, ia ıntre paraboloidul z = x2 + y2 s, i planul z = x + y

care este un cerc. Dupa aceea, integrala pe D se calculeaza ca o integrala dubla.

Atent, ie! Volumul unui corp, ca s, i aria unui domeniu bidimensional, trebuie sa �e pozitiv!Daca din calcule corecte rezulta un volum negativ, ınseamna ca s-au luat gres, it capetele de inte-grare (ın exemplul de mai sus s-a luat z de la paraboloid la plan).

In unele exercit, ii, ın special cınd apar sfere sau cilindri, se pot folosi coordonate speci�ce:Coordonatele sferice: (r , �, ') ∈ ℝ+ × [0, � ) × [0, 2� ), reprezentate ın �gura 12.2.

Figura 12.2: Coordonatele sferice r , �, '

51

Schimbare de coordonate este data de:⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x = r sin � cos 'y = r sin � sin 'z = r cos �

.

Nu uitat, i, ın acest caz, sa calculat, i s, i jacobianul schimbarii de coordonate:

J =||||||

xr x� x'yr y� y'zr z� z'

||||||.

Coordonate cilindrice: (r , t, z) ∈ ℝ+ × [0, 2� ) × ℝ, care sınt, practic, coordonatele polare,

”mutate“ ın lungul axei OZ . De aceea, schimbarea de coordonate este data de:

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x = r cos ty = r sin tz = z

.

Iar jacobianul transformarii se calculeaza similar, cu derivatele lui x, y, z ın raport cu r , t s, irespectiv z.

12.1 Resurse suplimentare• Lect, iile online ale Prof. Travis Kowalski, ın special lista Calculus 3, ıncepınd cu lect, ia 17

pentru integrale duble: link;

• GeoGebra, pentru reprezentari gra�ce, ın special tridimensionale: link;

• Exercit, ii rezolvate ale Prof. R. Purtan de la ETTI: integrale duble s, i integrale triple.

52

SEMINAR 13

INTEGRALE CURBILINII

13.1 Elemente de teorieIntegrale curbilinii de spet, a ıntıi

Fie = (t) o curba neteda, de�nita pe un interval t ∈ [a, b]. Se de�nes, te integrala curbiliniea unei funct, ii f ∶ ℝ3 → ℝ, f = f (x, y, z) prin formula:

∫ f (x, y, z)ds = ∫

b

af (x(t), y(t), z(t)) ⋅

√x ′(t)2 + y′(t)2 + z′(t)2dt.

De asemenea, cıteva cazuri particulare de interes sınt:

• lungimea curbei se obt, ine pentru f = 1, deci:

� ( ) = ∫b

a

√x ′(t)2 + y′(t)2 + z′(t)2dt ;

• daca funct, ia f reprezinta densitatea unui �r pe care ıl aproximam cu o curba neteda , atuncimasa �rului se calculeaza cu formula:

M( ) = ∫ f (x, y, z)ds;

• ın aceeas, i ipoteza de mai sus, coordonatele centrului de greutate al �rului, xGi se calculeazacu formula (am notat x1 = x, x2 = y, x3 = z):

xGi =1M ∫

xif (x1, x2, x3)ds,

unde M este masa calculata mai sus.

53

Integrala curbilinie de spet, a a douaFie ! = Pdx + Qdy + Rdz o 1-forma diferent, iala. Se de�nes, te integrala curbilinie a formei !

ın lungul curbei ca mai sus prin formula:

∫ ! = ∫

b

a(P◦ )x ′ + (Q◦ )y′ + (R◦ )z′dt,

unde = (t), t ∈ [a, b] este o parametrizare a curbei .O aplicat, ie �zica importanta a integralelor curbilinii de spet, a a doua este calculul circulat, iei

cımpurilor vectoriale.Fie, deci, un cımp vectorial ın spat, iu:

V = P (x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k.

Atunci circulat, ia1 cımpului vectorial ın lungul unei curbe netede se calculeaza cu integralacurbilinie:

∫ P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz

s, i putem asocia o 1-forma diferent, iala cımpului, anume:

! = P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz.

13.2 Formula Green-RiemannAceasta formula, care face parte din formulele integrale esent, iale pe care le vom studia, ne permitesa transformam o integrala curbilinie de spet, a a doua ıntr-una dubla.

Mai precis, avem formula:

∫ Pdx + Qdy = ∬

K

)Q)x

−)P)y

dxdy,

unde K este suprafat, a bidimensionala ınchisa de curba .Observat, ie importanta: Pentru a putea aplica formula Green-Riemann, este necesar ca dru-

mul sa �e ınchis, pentru a putea descrie o suprafat, a ınchisa K ! De asemenea, evident, formadiferent, iala trebuie sa �e de clasa C1, inclusiv ın K , pentru a putea calcula derivatele part, iale.

1Circulat, ia unui cımp vectorial este analogul �uxului, dar ın dimensiune 1. Astfel, daca �uxul se calculeazapentru cımpuri care traverseaza o suprafat, a (vom ıntılni conceptul ın lect, ia despre integrale de suprafat, a), circulat, iase calculeaza pentru cımpuri ın lungul unor curbe.

54

13.2.1 Forme diferent, iale ınchiseFie � = Pdx +Qdy o 1-forma diferent, iala de clasa C1 pe o vecinatate a K = Int( ). Aceasta formadiferent, iala se numes, te ınchisa daca are loc:

)Q)x

=)P)y

.

Se poate observa, folosind formula Green-Riemann, ca pentru forme diferent, iale ınchise, inte-grala curbilinie ın lungul oricarui drum este nula. Aceasta observat, ie se mai numes, te independent, ade drum a integralei curbilinii sau teorema Poincare.

13.3 Exercit, ii1. Sa se calculeze urmatoarele integrale curbilinii de spet, a ıntıi:

(a) ∫ xds, unde ∶ y = x2, x ∈ [0, 2];

(b) ∫ y5ds, unde ∶ x = y4

4, y ∈ [0, 2];

(c) ∫ x2ds, unde ∶ x2 + y2 = 2, x, y ≥ 0;

(d) ∫ y2ds, unde ∶ x2 + y2 = 4, x ≤ 0, y ≥ 0.

2. Calculat, i, direct s, i aplicınd formula Green-Riemann, integrala curbilinie ∫ � ın urmatoarele

cazuri:

(a) � = y2dx + xdy, unde este patratul cu vırfurile A(0, 0), B(2, 0), C(2, 2), D(0, 2);

(b) � = ydx + x2dy, unde este cercul centrat ın origine s, i de raza 2.

3. Calculat, i urmatoarele integrale curbilinii de spet, a a doua:

(a) ∫ xdy − ydx , unde ∶ x2 + y2 = 4, y = x

√3 ≥ 0 s, i y =

x√3

;

55

(b) ∫ (x + y)dx + (x − y)dy, pe domeniul:

∶ x2 + y2 = 4, y ≥ 0;

(c) ∫

yx + 1

dx + dy, unde este triunghiul cu vırfurile A(2, 0), B(0, 0), C(0, 2).

4. Sa se calculeze ∫ ydx + xdy pe un drum de la A(2, 1) la B(1, 3).

5. Sa se calculeze circulat, ia cımpului de vectori V de-a lungul curbei , pentru:

(a) V = −(x2 + y2)i − x2 − y2 j, cu:

∶ {x2 + y2 = 4, y < 0} ∩ {x2 + y2 − 2x = 0, y ≥ 0}

(b) V = xy + xyj, unde: ∶ {x2 + y2 = 1} ∩ {x + y = 3}.

6. Sa se calculeze masa �rului material , cu ecuat, iile parametrice:⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x(t) = ty(t) = t2/2, t ∈ [0, 1]z(t) = t3/3

iar densitatea f (x, y, z) = √2y.

7. Fie forma diferent, iala:� =

−yx2 + y2

dx +x

x2 + y2dy.

Sa se calculeze ∫ � , unde este cercul centrat ın origine s, i cu raza 2.

8. Sa se calculeze integrala curbilinie ∫ xydx +

x2

2dy, pe conturul:

∶ {x2 + y2 = 1, x ≤ 0 ≤ y} ∩ {x + y = −1, x, y < 0}.

56

Indicat, ie: Curba nu este ınchisa, deci nu putem aplica formula Green-Riemann. Consideramsegmentul orientat [AB], cu A(0, −1), B(0, 1), cu care ınchidem curba. De�nim C = ∪ [AB] s, iacum putem aplica Green-Riemann pe C . Vom avea, de fapt:

∫C� = ∫

� + ∫

[AB]�,

unde � este forma diferent, iala de integrat.Putem calcula acum integrala pe C cu Green-Riemann, iar cea pe [AB] cu de�nit, ia, obt, inınd

ın �nal integrala pe .

9. Calculat, i, folosind integrala curbilinie:

(a) lungimea unui cerc de raza 2;

(b) lungimea segmentului AB, cu A(1, 2) s, i B(3, 5);

(c) lungimea arcului de parabola y = 3x2, cu x ∈ [−2, 2];

(d) lungimea arcului de hiperbola xy = 1, cu x ∈ [1, 2].

13.4 Exercit, ii suplimentare (ETTI)Calculat, i integralele curbilinii de mai jos:

Spet, a ıntıi:

(a) ∫ ye−xds, unde parametrizarea curbei este data de:

∶

{x(t) = ln(1 + t2)y(t) = 2 arctan t − t

, t ∈ [0, 1];

(b) ∫ (x2 + y2) ln zds, unde parametrizarea curbei este data de:

∶

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

x(t) = et cos ty(t) = et sin tz(t) = et

, t ∈ [0, 1];

57

(c) ∫ xyzds, unde parametrizarea curbei este:

∶

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x(t) = t

y(t) =23√2t3

z(t) =12t2

, t ∈ [0, 1];

(d) ∫ x2yds, unde = [AB] ∪ [BC], iar capetele segmentelor sınt A(−1, 1), B(2, 1), C(2, 5);

(e) ∫ x2ds, unde este data de:

∶ x2 + y2 = 2, x, y ≥ 0;

(f) ∫ (x2 + y2)ds, unde este sectorul de cerc x2 + y2 = 1, parcurs de la A(0, −1) la B(1, 0);

(g) Calculat, i lungimea segmentului [AB], unde A(1, 2), B(3, 5).

Spet, a a doua: ∫ ! pentru:

(a) ! = (x2 + y2)dx + (x2 − y2)dy, unde este data de:

∶

{x(t) =

√t

y(t) =√t + 1

, t ∈ [1, 4];

(b) ! =1

y2 + 1dx +

yx2 + 1

dy, unde este data de:

∶

{x(t) = t2

y(t) = t, t ∈ [0, 1];

(c) ! =√xdx + xy2dy , unde este parabola y = x2, pentru x ∈ [0, 1].

58

SEMINAR 14

INTEGRALE DE SUPRAFAT, A

14.1 Integrale de suprafat, a de spet, a ıntıiIntegralele de suprafat, a reprezinta generalizarea ıntr-o dimensiune superioara pentru integralelecurbilinii. Astfel, multe dintre formulele s, i abordarile de calcul pe care le vom folosi vor � similare.

Fie Φ ∶ D → ℝ3 o pınza parametrizata s, i �e Σ = Φ(D) imaginea ei (i.e. suprafat, a pe care vomintegra). Fie f ∶ U ⊆ Σ → ℝ o funct, ie continua (deci integrabila), de�nita pe (o port, iune din)imaginea pınzei.

Vom � interesat, i de un caz particular (s, i, totodata, cel mai des ıntılnit) pentru integrala desuprafat, a, anume cınd pınza este data ıntr-o parametrizare carteziana. Adica ecuat, ia suprafet, eipoate � scrisa ın forma z = z(x, y).

Integrala de suprafat, a de spet, a ıntıi a funct, iei f pe suprafat, a Σ parametrizata cartezian prinz = z(x, y) este:

∫Σf (x, y, z)d� = ∬

Df (x, y, z(x, y)) ⋅

√1 + p2 + q2dxdy,

unde:

• D este domeniul de de�nit, ie al parametrizarii carteziene, adica proiect, ia pe planul XOY asuprafet, ei (z ∶ D ⊆ ℝ2 → ℝ);

• coe�cient, ii de sub radical sınt p = )z)x

s, i q =)z)y

.

In cazul particular ın care f = 1, se obt, ine aria suprafet, ei Σ.

59

14.2 Integrale de suprafat, a de spet, a a douaFie, ca mai sus, o pınza tridimensionala, pe care o consideram a � parametrizata:

Φ ∶ D → ℝ3, Φ(u, v) = (X (u, v), Y (u, v), Z (u, v)).

Fie, de asemenea, o 2-forma diferent, iala1:

! = Pdy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.

Integrala pe suprafat, a orientata Σ = Φ(D) a 2-formei diferent, iale ! se de�nes, te prin:

∫Σ! = ∬

D(P◦Φ) ⋅

D(Y , Z )D(u, v)

+ (Q◦Φ) ⋅D(Z, X )D(u, v)

+ (R◦Φ) ⋅D(X, Y )D(u, v)

dudv,

unde D este domeniul parametrizarii ((u, v) ∈ D), iar D(Y , Z )D(u, v)

etc. sınt jacobienii parametrizarii(X, Y , Z ) ın funct, ie de u, v. Concret, de exemplu, avem:

D(X, Y )D(u, v)

=||||Xu XvYu Yv

||||,

s, i celelalte, folosind notat, ia simpli�cata Xu =)X)u

etc. 2

Intr-o forma simpli�cata, putem scrie integrala folosind un determinant formal:

∫Σ! = ∫

||||||

P◦Φ Q◦Φ R◦ΦXu Yu ZuXv Yv Zv

||||||dudv.

14.3 Formula Gauss-OstrogradskiAceasta formula ne permite sa schimbam o integrala de suprafat, a de spet, a a doua cu una tripla,similar formulei Green-Riemann, dar ın dimensiune superioara.

1! este o 2-forma diferent, iala deoarece ea cont, ine produse de cıte 2 elemente diferent, iale dx, dy, dz. De aseme-nea, notat, ia ∧ (citita ”wedge“ sau ”produs exterior“) este o notat, ie speci�ca pentru produsul care se de�nes, te ıntrediferent, ialele dx, dy, dz. Alternativ, putet, i gasi scrierea s, i prin juxtapunere:

! = Pdydz + Qdzdx + Rdxdy.

Insa acest produs nu este comutativ, deci ordinea ın care scriem 2-forma diferent, iala este esent, iala! (observat, i per-mutarile circulare: dydz → dzdx → dxdy).

2Ordinea scrierii jacobienilor este, evident, esent, iala. Pentru a-i ret, ine mai us, or, observat, i ca ordinea urmeaza toto permutare circulara, asemanatoare diferent, ialelor din 2-forma diferent, iala !.

60

Pastrınd notat, iile s, i contextul de mai sus, formula Gauss-Ostrogradski se scrie:

∫Σ! = ∭

KPx + Qy + Rzdxdydz,

unde K = IntΣ este solidul care are drept frontiera suprafat, a Σ, iar Px , Qy , Rz noteaza derivatelepart, iale corespunzatoare coe�cient, ilor din 2-forma diferent, iala !.

Observatie 14.1: Formula Gauss-Ostrogradski are, ca s, i formula Green-Riemann, condit, ii de apli-care (existent, a). Incercat, i sa le formulat, i, analizınd formula.

Formula Gauss-Ostrogradski se mai numes, te formula �ux-divergent, a. Intr-adevar, folosindo interpretare �zica, se poate asocia 2-formei diferent, iale ! cımpul vectorial V = (P, Q, R), iarmembrul stıng, adica integrala de suprafat, a, calculeaza �uxul cımpului V prin suprafat, a Σ. In�zica, acesta se de�nes, te ca produsul scalar dintre cımpul vectorial s, i versorul normal la suprafat, a.Membrul drept este, dupa cum se poate vedea us, or, divergent, a cımpului vectorial ın solidul IntΣ,deci avem:

∫ΣV ⋅ nd� = ∭

K∇ ⋅ V dxdydz.

Versorul normal se poate calcula prin formula:

n =1

||∇V ||⋅ ∇V .

Pentru cazul cınd suprafat, a este parametrizata, adica avem:

Φ = Φ(X (u, v), Y (u, v), Z (u, v)),

se pot calcula vectorii tangent, i la suprafat, a, dupa direct, iile lui u s, i v, prin derivate part, iale:

Tu =)Φ)u

, Tv =)Φ)v

.

Apoi, normala la suprafat, a se poate calcula prin produs vectorial3. O varianta simpla de aret, ine formula de calcul pentru produsul vectorial foloses, te determinantul formal:

n = Tu × Tv =

|||||||

i j kT 1u T 2

u T 3u

T 1v T 2

v T 3v

|||||||

,

unde T iu,v noteaza componenta i a vectorului Tu,v .

3amintit, i-va, produsul vectorial al doi vectori este un vector perpendicular pe planul dat de cei doi factori

61

14.4 Parametrizari uzualeUrmatoarele formule de parametrizare pot � folosite ın calcule:(1) Sfera: Fie R > 0 s, i (u, v) ∈ D = [0, �] × [0, 2� ). Parametrizarea sferei Φ = Φ(u, v) este:

Φ(u, v) = (R sin u cos v, R sin u sin v, R cos u);

(2) Elipsoidul: Fie a, b, c > 0 s, i (u, v) ∈ D = [0, �] × [0, 2� ). Parametrizarea elipsoidului este:

Φ(u, v) = (a sin u cos v, b sin u sin v, c cos u);

(3) Paraboloidul: Fie a > 0, ℎ > 0 s, i (u, v) ∈ D = [0, ℎ] × [0, 2� ). Parametrizarea paraboloiduluieste:

Φ(u, v) = (au cos v, au sin v, u2);

(4) Conul: Fie ℎ > 0 s, i (u, v) ∈ D = [0, 2� ) × [0, ℎ]. Parametrizarea conului este:

Φ(u, v) = (v cos u, v sin u, v);

(5) Cilindrul: Fie a > 0, 0 ≤ ℎ1 ≤ ℎ2 s, i (u, v) ∈ [0, 2�] × [ℎ1, ℎ2]. Parametrizarea cilindrului este:

Φ(u, v) = (a cos u, a sin u, v).

14.5 Exercit, ii1. Calculat, i vectorii tangent, i s, i versorul normalei la suprafet, ele parametrizate din sect, iunea

anterioara.

2. Sa se calculeze integrala de suprafat, a de prima spet, a:

∫Σf (x, y, z)d�,

unde f (x, y, z) = y√z, iar Σ ∶ x2 + y2 = 6z, z ∈ [0, 2].

3. Folosind integrala de suprafat, a, calculat, i aria suprafet, ei Σ, unde:

Σ ∶ 2z = 4 − x2 − y2, z ∈ [0, 1].

4. Calculat, i �uxul cımpului vectorial V prin suprafat, a Σ pentru:

V = yi + xj + z2k, Σ ∶ z = x2 + y2, z ∈ [0, 1].

5. Calculat, i ∫Σ!, unde:

62

(a) • ! = ydy ∧ dz + zdz ∧ dx + xdx ∧ dy;• Σ ∶ x2 + y2 = z2, z ∈ [1, 2].

(b) • ! = x(z + 3)dy ∧ dz + yzdz ∧ dx − (z + z2)dx ∧ dy;• Σ ∶ x2 + y2 + z2 = 1, z ≥ 0.

6. Calculat, i �uxul cımpului:

V = (x + y)dy ∧ dz + (y + z)dz ∧ dx − 2zdx ∧ dy

prin emisfera Σ ∶ x2 + y2 + z2 = 4, z > 0.

14.6 Formula lui StokesAceasta ultima formula integrala ne permite sa schimbam o integrala curbilinie de spet, a a douacu una de suprafat, a de spet, a a doua.

Fie Σ o suprafat, a cu bord (frontiera) s, i �e o 1-forma diferent, iala� = Pdx + Qdy + Rdz,

care este de clasa C1 ıntr-o vecinatate a lui Σ.Notam frontiera lui Σ prin )Σ, care este o curba (conturul suprafet, ei) sau, mai precis, un drum

neted.Are loc formula lui Stokes:

∫)ΣPdx + Qdy + Rdz = ∫

Σ()R)y

−)Q)z )

dy ∧ dz + ()P)z

−)R)x )

dz ∧ dx + ()Q)x

−)P)y)

dx ∧ dy.

In notat, ie vectoriala, daca asociem cımpul vectorial V = (P, Q, R) 1-formei diferent, iale � ,atunci formula lui Stokes se scrie:

∫)ΣV ⋅ dr = ∫

Σ(∇ × V ) ⋅ nd�,

unde ∇× V = rotV se numes, te rotorul cımpului vectorial, calculat cu ajutorul produsului vectorial

formal ıntre operatorul diferent, ial ∇ = ())x

,))y

,))z)

s, i cımpul V = (P, Q, R).

14.7 Exercit, ii

7. Sa se calculeze, folosind formula lui Stokes, integrala curbilinie ∫ � pentru cazurile:

(a) � = (y −z)dx +(z −x)dy +(x −y)dz, iar curba este frontiera suprafet, ei Σ ∶ z = x2+y2, z = 1;

(b) � = ydx + zdy + xdz, iar curba este frontiera suprafet, ei Σ ∶ x2 + y2 + z2 = 1, x + y + z = 0.

63

14.8 Resurse suplimentareFormula Green-Riemann, formula Gauss-Ostrogradski s, i formula Stokes se numesc, ıngeneral, formule integrale. Pentru coerent, a, le-am introdus ın capitolele potrivite, ın loc sa lededic un capitol separat.

Recomand materialele Prof. Purtan, care cont, in exercit, ii rezolvate complet:

• integrale de suprafat, a;

• formule integrale.

64

SEMINAR 15

EXAMEN 2018–2019

15.1 Numarul 11. Sa se a�e valorile extreme ale funct, iei:

f (x, y) = x2 + y2 − 3x − 2y + 1

pe mult, imea K ∶ x2 + y2 ≤ 1.

2. Calculat, i ∫∞

0

dxx4 + 1

.

3. Sa se calculeze volumul corpului marginit de suprafet, ele:{z = x2 + y2

2 = x2 + y2 + z2.

4. Sa se calculeze �uxul cımpului V = (x + z2, y + z2, −2z) prin suprafat, a x2 + y2 + z2 = 1, z ≥ 0.

5. Sa se calculeze aria suprafet, ei:

Σ = {(x, y, z) ∣ x2 + y2 + z2 = R2, z ≥ 0} ∩ {(x, y, z) ∣ x2 + y2 ≤ Ry}.

(Aria lui Viviani)

65

15.2 Numarul 21. Sa se a�e valorile extreme ale funct, iei:

f (x, y) = x ⋅ y, pe K ∶ 2x2 + y2 ≤ 1.

2. Calculat, i ∫∞

0

dxx3 + 1

.

3. Sa se calculeze volumul corpului obt, inut prin intersect, ia suprafet, elor:{2 = x2 + y2 + z2

z2 = x2 + y2, z ≥ 0

4. Sa se calculeze aria suprafet, ei 2 − z = x2 + y2, z ∈ [0, 1].

5. Calculat, i �uxul cımpului vectorial V = q4� ⋅

rr3 prin:

(a) Sfera centrata ın origine s, i cu raza R > 0;

(b) Orice suprafat, a Σ ınchisa, care nu cont, ine originea.

Observat, ie: r = (x, y, z) s, i r = ||r || =√x2 + y2 + z2.

(Legea lui Gauss)

15.3 Restant, a1. Studiat, i convergent, a seriei de puteri:

∑n≥1

√n4n + 3xn.

2. Studiat, i convergent, a uniforma a s, irului de funct, ii:

fn ∶ [3,∞)→ ℝ, fn(x) =n

x(x2 + n), n ≥ 1.

3. Calculat, i volumul mult, imii marginite de suprafet, ele:

S1 ∶ x2 + y2 + z2 = 6z, z ≥ 3S2 ∶ 2(x2 + y2) = z2.

66

4. Fie suprafat, a S = {x2 + y2 + z2 = 5, z ≤ 0}. Desenat, i suprafat, a s, i calculat, i:

∬S(2x + 5y)dy ∧ dz + 2ydz ∧ dx + (2z − 5x)dx ∧ dy.

67

INDEX

convergent, asimpla, 12uniforma, 12

coordonatecilindrice, 52polare, 48sferice, 52

criteriulAbel-Dirichlet, 8condensarii, 7de comparat, ie

la limita, 4termen cu termen, 3

integral, 7Leibniz, 8logaritmic, 6necesar, 3Raabe-Duhamel, 6radical, 4raportului, 4Weierstrass, 14

derivate part, iale, 25funct, ie armonica, 26laplacian, 26matricea hessiana, 27

dreapta

de regresie, 37

extremecu legaturi, 33domeniu compact, 34funct, ia lui Lagrange, 34libere, 27

formula�ux-divergent, a, 60Gauss-Ostrogradski, 60Green-Riemann, 54Stokes, 63

integraleBeta, 45curbilinii, 53de suprafat, a

spet, a a doua, 60spet, a ıntıi, 59

duble, 47Gamma, 45improprii, 39jacobian, 48triple, 50

polinomTaylor, 16

68

seriialternante, 8armonice, 3de funct, ii, 14de numere pozitive, 2de puteri, 15geometrice, 2Maclaurin, 16Taylor, 16

spat, iu metric, 22contract, ie, 22teorema Banach, 23

teoremaAbel, 15Cauchy-Hadamard, 15Fubini, 47Green-Riemann, 54Poincare, 55Schwarz, 26

transferde continuitate, 13de derivabilitate, 14de integrabilitate, 14

69