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Clasa XI – M2 – prof. Cornelia Mestecan

Fişă de lucru – DERIVATE – FUNCŢII SIMPLE

1

Exerciţii rezolvate

Să se calculeze derivatele funcţiilor, scriindu-se de fiecare dată şi formulele utilizate:

a) 2: , 3 8 2f f x x x ; b) 2: , 2xf f x x ;

c) : , 3 5x xf f x e ; d) 4

3

1 1: \ 0 , 5f f x x

x x ;

e) 4

: \ 0 ,x

f f xx

; f) 2

4: ,

2

xf f x

x

;

g) 5: , 7 2 xf f x x x e ; h) : 0; , ln 2 lnf f x x x ;

i) : 0; , 3 lnf f x x x ; j) : , 2sin cosf f x x x ;

k) : , 2 sinf f x x x ; l) : 1;1 , 5arcsin 8arccosf f x x x ;

m) 2: 1;1 , 3 arcsinf f x x x ; n) 3sin 5

: ,cos 2

xf f x

x

;

o) : , 2 5f f x arctgx arcctgx ; p) 5 3

3 2

1 1: 0; , 3f f x x x

x x

Rezolvare:

a) 2 2 2(3 8 2) 3 8 2 3 8 0 3 2 8 6 8f x x x x x x x x x ;

am folosit formulele: ' ' 'f g f g ;

' 'c f c f ; 0c ; 1x ; 1( )n nx n x

b) 2 2( 2 ) 2 2 2 ln 2x x xf x x x x ;


1( )n nx n x ; lnx xa a a

c) ( 5 ) 5 5 ln5x x x x x xf x e e e ;

am folosit formulele: ' ' 'f g f g ; lnx xa a a

; x xe e

d) 4 4 3 1 3 3 2 4

3 3

3

2 4

1 1 1 15 5 5 4 20 1 3

1 320

f x x x x x x x x xx x x x

xx x

;


' 'c f c f ; 1( )n nx n x ; 1r rx r x

e)

2 2 2 2

4 4 1 4 14 4 4x x x x x xx x xf x

x x x x x

;

am folosit formulele:

' ' '

2

f f g f g

g g

;

' ' 'f g f g ; ' 'c f c f ; 0c ; 1x .

f)

2 2 2 2 2

2 2 222 2 2

2

22

4 2 4 2 1 2 4 24 2 2 8

2 2 2 2

8 2

2

x x x x x x xx x x xf x

x x x x

x x

x

;



2


' ' '

2

f f g f g

g g

;

' ' 'f g f g ; 0c ; 1x ; 1( )n nx n x

g)

5 5 5 4 5

5 4

[ 7 2 ] 7 2 7 2 5 7 7 2

5 7 5

x x x x x

x

f x x x e x x e x x e x e x x e

x x x e

;


' ' 'f g f g f g ;

' ' 'f g f g ; 0c ; 1x ; 1( )n nx n x ; x xe e

h) 1 1

ln 2 ln ln 2 ln ln 2 1 ln 2f x x x x xx x

;

am folosit formulele: ' ' 'f g f g ; 1x ;

1ln x

x

; ' 'c f c f

i) 1 3

3 ln 3 ln 3 ln 1 ln 3 lnx

f x x x x x x x x x xx x

;

am folosit formulele: ' ' 'f g f g f g ; 1x ; 0c ;

1ln x

x

;

j) 2sin cos 2sin cos 2cos sinf x x x x x x x ;


' 'c f c f ; sin cosx x ; cos sinx x

k) 2 sin 2 sin 2 sin 2sin 2 cos 2sin 2 cosf x x x x x x x x x x x x x

am folosit formulele: ' ' 'f g f g f g ;

' 'c f c f ; 1x ; sin cosx x ; cos sinx x

l) 2 2 2

5 8 135arcsin 8arccos 5arcsin 8arccos

1 1 1f x x x x x

x x x

;


' 'c f c f ; 2

1arcsin

1x

x

; 2

1arccos

1x

x

m) 2

2 2 2

2

33 arcsin 3 arcsin 3 arcsin 2 arcsin

1

xf x x x x x x x x x

x

;

am folosit formulele: ' ' 'f g f g f g ;

1( )n nx n x ; 0c ; 2

1arcsin

1x

x

n)

2

2 2

2 2

2 2

2 2

3sin 5 cos 2 3sin 5 cos 23sin 5

cos 2 cos 2

3cos cos 2 3sin 5 sin 3cos 6cos 3sin 5sin

cos 2 cos 2

3 cos sin 6cos 5sin 3 6cos 5sin

cos 2 cos 2

x x x xxf x

x x

x x x x x x x x

x x

x x x x x x

x x

;


' ' '

2

f f g f g

g g

;

' ' 'f g f g ; 0c ; ' 'c f c f ;

sin cosx x ; cos sinx x ;



3

şi formula fundamentală a trigonometriei

o) 2 2 2

2 5 32 5 (2 ) (5 )

1 1 1f x arctgx arcctgx arctgx arcctgx

x x x


' 'c f c f ; 2

1

1arctgx

x

; 2

1

1arcctgx

x

p)

5 3 5 3

3 2 3 2

3 2 2 51 3

5 3 5 32 2

5 2 3 3 5

1 1 1 13 3

3 3 3 1 2 3 3 1 2

5 2 32 2 2 5 2 3

f x x x x xx xx x

x x x x x xx x x x x x


' 'c f c f ;

m

n m nx x ; 1

2x

x

; 1r rx r x

Exerciţii propuse

1.Să se calculeze derivatele funcţiilor, scriindu-se de fiecare dată şi formulele utilizate:

a) 2: , 8 12f f x x x ; b) 5: , 3 7xf f x x ;

c) : , 2 2 4x x xf f x e ; d) 7

2 4

1 1: \ 0 , 3f f x x

x x ;

e) 3

: \ 1 ,1

xf f x

x

; f) 2

3: ,

1

xf f x

x

;

g) 2: , 3 2 xf f x x x e ; h) : 0; , ln7 2lnf f x x x ;

i) 2: 0; , 2 lnf f x x x ; j) : , 3sin 2cosf f x x x ;

k) : , 3 4 cosf f x x x ; l) : 1;1 , 4arcsin 3arccosf f x x x ;

m) : 1;1 , 2 3 arcsinf f x x x ; n) 2cos 3

: ,sin 2

xf f x

x

;

o) : , 6f f x arctgx arcctgx ; p) 4

5 3

1 1: 0; , 2f f x x x

x x

2.Construiţi alte 3 funcţii asemănătoare pentru fiecare subpunct de la ex. 1 şi calculaţi derivatele lor .

2 2cos sin 1x x

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