1

Cursul 1

�oțiuni introductive

1.1. Gândirea

Gândirea este sclava vieţii. (William Shakespeare) Definiții Gândirea sau cugetarea este însușirea creierului omenesc de a reflecta în mod generalizat și abstract realitatea obiectivă prin teorii, judecăți, etc. ( http://dexonline.ro/definitie/gandire/) Gândirea reprezintă procesul psihic de reflectare a însușirilor esențiale și generale ale obiectelor fenomenelor, arelațiilor dintre acestea, prin intermediul noțiunilor, judecăților și raționamentelor. (Zlate M., Psihologia mecanismelor cognitive, Ed. Polirom 1999, pag 235) Psihologul american J.P.Guilford, a propus un model larg acceptat al structurii gândirii, alcătuit din 3 elemente: a) Operații: evaluare, gândire convergentă, gândire divergentă, memorie, cogniție; b) Conținuturi: comportamental, semantic, simbolic și figural; c) Produse: unități, clase, relații, sisteme, transformări și implicații. (Guilford, J. P., The nature of human intelligence, New York: McGraw-Hill,1967)

Din punct de vedere structural gândirea poate fi: definită, pe rând, ca: a)Sistem de noțiuni, de judecăți și de raționamente (latura de conținut); b)Sistem de operații (latura relațională); c)Sistem de produse (latura operatorie a procesului). Principala caracteristică a gândirii ca instrument de cunoaştere specific uman o reprezintă stabilirea de relaţii / raporturi corecte în diferitele clase de obiecte. Prin gândire este sintetizată esenţa lucrurilor în forma noţiunilor (concepte), a judecăţilor (propoziţii logice) şi a raţionamentelor (inferenţe). Formele gândirii constituie atât obiectul de studiu al psihologiei, cât și al de logicii, însă din perspective de abordare diferite. Psihologia încearcă să explice modul în care

2

gândesc oamenii şi să pună în evidenţă care sunt consecinţele unui anumit mod de a gândi (o abordare descriptivă), iar logica ne arată care este modul corect de a gândi, corectează gândirea prin raportare la normă (abordare prescriptivă). Ipostaze ale gândirii

a) gândirea este cognitivă, dar este inferată din comportament, ea apare intern în minte sau în sistemul cognitiv, insă trebuie inferată indiect;

b) gândirea este un proces care implică o manipulare sau un set deoperaţii asupra cunoştiinţelor din sistemul cognitiv;

c) gândirea este direcţională şi rezultă în comportamentul care rezolvăo problemă sau este orientat către soluţie.

(Richard E. Mayer, Thinking, Problem Solving, Cognition, W.H.Freeman & Co, New York, 1992) Unelte ale gândirii (Bernstein, D. A., Roy, E. J., Srull, T. K., & Wickens, C. D., Psychology (2nd ed.). Boston, 1991 după Zlate M

• conceptele, • propoziţiile, • silogismele, • modelele mintale, • scenariile, • cuvintele, • imaginile, • algoritmii, • euristicile. Unităţile de bază ale gândirii (Zlate M, 1999) sunt:

• imaginea (reprezentare mintală a unui obiect - unitate primitivă agândirii); • simbolul (unitate abstractă a gândirii ce redă obiectul,evenimentul, calitatea; cel mai simplu

simbol este cuvântul); • conceptul (eticheta pusă une clase de obiecte • prototipul (exemplu ce ilustrează un concept); • operaţia (acţiune reversibilă utilizată în formarea conceptelor sau la rezolvarea problemelor); • regula sau legea (cea mai complexă unitate a gândirii; o relaţie între două sau mai multe

concepte).

1.2. Limbajul

Limbaj(http://dexonline.ro/definitie/limbaj) = Procesul de exprimare, de comunicare a ideilor și a sentimentelor prin mijlocirea limbii. = Sistem de semne servind pentru comunicarea informațiilor. =Limbaj formalizat = limbaj artificial, alcătuit dintr-un sistem de semne convenționale. =Limbă. - Mod de exprimare. =Limbaj artistic = modalitate de comunicare specifică artei. =(Fig.) Orice mijloc de exprimare a ideilor, a sentimentelor. [Pl. -je, -juri, var. limbagiu s.n. / cf. it. linguaggio, fr. langage] Limbajul poate fi privit ca funcţie de utilizare a limbii în raporturile cu ceilalţi oameni. Limba este un ansamblu de semne cu ajutorul cărora se poate comunica. Se distinge un vocabular, o mulţime de cuvinte şi operaţii asupra cuvintelor. (G. Albeanu, Logică computațională, Sinteze anul I, Ed. FRM, București, 2004)

3

Limba naturală (maternă sau nu) este utilă în experienţa cotidiană. Limba artificală este creată de specialişti - limbajul artificial, pentru ase comunica, cu ajutorul unităţilor de bază ale gândirii, ceea ce se gândeşte, cum se gândeşte etc. Unul sau mai multe cuvinte ale unei limbi (pentru comunicare) se constituie într-o propoziţie. Propoziţiile comunică întrebări, ordine, dorinţe, dar şi cunoştinţe. Propoziții cognitive = propoziții care comunică cunoştinţe. Propozitiile cognitive pot fi adevarate, false sau probabile! (G. Albeanu, Logică computațională, Sinteze anul I, Ed. FRM, București, 2004) O propoziţie cognitivă este adevărată numai dacă informaţia(cunoştinţa) pe care o exprimă corespunde stării de fapt despre care se vorbeşte (exemplu: Un trunghi isoscel are 2 laturi egale). Propoziţia cognitivă este falsă dacă ceea ce ea susţine nu corespunde unei stări de fapt (exemplu: Trapezul are laturile egale 2 câte 2). Propoziţia cognitivă este probabilă dacă nu poate fi stabilit nici adevărul şi nici falsitatea propoziţiei (exemplu: Numărul numerelor întregi este impar). Logica tradiţională se sprijină pe anumite condiţii formale numite principii logice sau legi de raţionare/legi logice fundamentale, ce reprezintă condiţiile generale ele raţionamentelor. Principiul logic = o condiţie fundamentală de raţionalitate, un criteriu fundamental prin care distingem între corect şi incorect, un reper pentru alte condiţii de raţionalitate. Principiile logice au fost formulate pentru prima dată de Parmenide (cca. 515 – cca. 450 î.Hr.), deşi nu într-o formă exactă. Orice raţionament trebuie să respecte simultan următoarele principii logice: (G. Albeanu, Logică computațională, Sinteze anul I, Ed. FRM, București, 2004) I. PRINCIPIUL IDENTITĂŢII Orice formă logică este ceea ce este Presupune că orice obiect este identic numai cu sine însuşi, în acelaşi timp şi sub acelaşi raport. Fiecare obiect are un set de trăsături care-l fac să fie ceea ce este în realitate. Pentru om, de exemplu, el are însușiri care îi arată apartenența la clasa tuturor oamenilor, dar în acelaşi timp, fiecare om are și însușri particulare (o anumită înălţime, culoare a ochilor, ocupaţie, dată şi loc al naşterii etc.), toate acestea il fac din fiecare individ un anumit om, şi nu un om în genere, adică ceea ce el este de fapt. La nivelul gândirii logice, această particularitate elementară se exprimă sub forma principiului identităţii, conform căruia orice formă logică este ceea ce este, altfel spus, are o individualitate aparte prin care ea este o anumită formă logică (noţiune, propoziţie etc.). Orice propoziție p este echivalentă cu sine p p∼

Importanţa principiului identităţii: Când operăm cu termeni sau cu propoziţii cărora nu le cunoaştem suficient înţelesul sau valoarea de adevăr, principiul identităţii ne cere fie să ne completăm în prealabil cunoştinţele, fie să precizăm în ce sens/cu ce valoare folosim termenii şi propoziţiile respective. Respectarea principiului identităţii asigură claritatea şi precizia gândirii.

4

II. PRINCIPIUL NON-CONTRADICŢIEI Presupune că în acelaşi timp şi sub acelaşi raport un obiect nu poate fi în acelaşi timp şi sub acelaşi raport şi A, şi non-A. Există însuşiri ale obiectelor care coexistă, de exemplu greutatea şi întinderea şi însuşiri care sunt incompatibile, se exclud reciproc, nu pot aparţine deodată aceluiaşi obiect: nici un copac nu poate fi şi fag şi stejar, nici un număr nu poate fi şi par şi impar. Incompatibilitatea obiectivă a coexistenţei însuşirilor incompatibile se reflectă la nivel logic prin PRINCIPIUL NONCONTRADICŢIEI: O propoziție nu poate fi în același timp și sub același raport, atât adevărată, cât și falsă. Exprimarea în același timp arată că anumite însișiri incompatibile pot reveni unui obiect, dar în momente diferite. Nerespectarea acestui principiu poate genera contradicţii logice, şi deci imposibilitatea de a deosebi adevărul de fals. Respectarea acestui principiu conferă gândirii COERE(ŢĂ. III. PRINCIPIUL TERŢULUI EXCLUS (latină tertium non datur) Presupune că în acelaşi timp şi sub acelaşi raport sau este acceptată o propoziţie A, sau este respinsă dintr-un sistem de propoziţii, a treia posibilitate fiind exclusă. Cu referire la valoarea de adevăr a propoziţiilor cognitive, terţul exclus se formulează: Oricare ar fi propoziţia, ea are sau nu are o anumită valoare de adevăr. Respectarea principiului terţului exclus conferă gândirii CONSECVENŢĂ, capacitate de decizie riguroasă. Împreună, principiile noncontradicţiei şi terţului exclus, fundamentează demonstraţia prin reducere la absurd – procedeu larg utilizat mai ales în matematică. IV. PRINCIPIUL RAŢIUNII SUFICIENTE Presupune că pentru a accepta sau pentru a respinge o propoziţie trebuie să avem o raţiune suficientă sau, altfel spus, de un temei satisfăcător. Prin rațiune suficientă se înțelege temei satisfăcător. Fiind dată o propoziție oarecare p, spunem că dispune de un temei satifăcător q numai dacă, fiind dat adevărul lui q devine imposibil ca p să nu fie și el adevărat. Din adevăr trebuie să rezulte adevăr. Din fals poate rezulta orice-atât propoziții false, cât și adevărate. Există următoarele tipuri de temeiuri: �ici necesare, nici suficiente; Exemplu: 1. Afară plouă. 2. Ion şi Adrian sunt prieteni. �ecesare, dar nu şi suficiente; Suficiente, dar nu şi necesare; Exemplu: 1. Eminescu şi Creangă au fost contemporani. 2. Eminescu l-a îndemnat pe Creangă să scrie „Amintirile din copilărie”. Propoziţia 1 este temei necesar, dar nu şi suficient pentru propoziţia 2; Propoziţia 2 este temei suficient, dar nu şi necesar pentru propoziţia 1.

5

Relaţia de la temei la întemeiat se formulează astfel: „dacă…, atunci…” �ecesare şi suficiente Exemplu: 1. Triunghiul ABC este isoscel. 2. Triunghiul ABC are unghiurile de la bază congruente. Relaţia de la temei la întemeiat se formulează astfel: „dacă şi numai dacă …, atunci …”. Propoziţia p este un temei necesar pentru propoziţia q, atunci când fără adevărul lui p nu se poate dovedi adevărul lui q. Propoziţia p este un temei suficient pentru propoziţia q dacă admiţând adevărul lui p devine imposibil ca q să nu fie adevărată. Logica nu acceptă ca argumente care se bazează pe: propoziții false, argumente de autoritate de tipul pentru ca așa vreau, nici argumente care pot fi corecte, dar sunt incomplete (precum cele inductive). Aparitia în cadrul limbajelor naturale (mai tâarziu, chiar în interiorul unor teorii matematice) a unor propoziții ce nu respectă, principiul necontradicției, propoziții numite antinomii,-Constând dintr-o contradicție aparent insolubilă dintre două teze, legi sau principii care, deși se exclud reciproc, pot fi demonstrate, fiecare în parte, la fel de convingător. termen folosit cu precădere de filosofi, fie de paradoxuri orice propoziție corect construită care este adevărată dacă și numai dacă este falsă., a impulsionat atât logica cât și matematica spre rezolvarea cu prioritate a problemelor proprii de fundament. Matematica până la un anumit punct, s-a format, dezvoltat și formalizat pe baza logicii, ulterior observându-se și o inversare de roluri: logica s-a formalizat utilizând metode matematice. Există o corespondență perfectă între calculul propozițiilor și operațiile cu submulțimile unei mulțimi nevide date. De exemplu, disjuncției a două propoziții îi corespunde reuniunea a două mulțimi, și reciproc. Din acest motiv, elementele de logică matematică se prezintă împreună cu cele de teoria mulțimilor, suportul intuitiv al celei din urmă find de un real folos în înțelegerea și aprofundarea a numeroase construcții logice abstracte. Putem să subliniem că au existat logicieni (de exemplu Bertrand Russell- care au susținut teza că matematica este o ramură a logicii). (Logică și teoria mulțimilor, Claudiu Volf & Ioan I. Vrabie www.math.uaic.ro/~volf/depozit/LTM.pdf ) Definții. Propoziții Logica operează cu definiții, propoziții (pe care le vom mai numi și enunțuri), predicate (numite și funcții propoziționale), operatori logici, cuantificatori și reguli de deducție. Noțiunea reprezintă forma logică elementară care, în planul cunoașterii raționale, reprezintă reflectarea claselor de obiecte. Forma lingvistică ce materializează și comunică o noțiune are rol de nume pentru elementele clasei refectate de noțiune. Termenul este ansamblul format dintr-o noțiune și un nume. Definiția este operația logică prin care se precizează conținutul sau sfera noțiunii, înțelesul sau aria de aplicabilitate a unui nume. O definiție are trei părți 1. definitul- (defniendum-lat)=noținea sau numele care formează obiectul definiției 2. definitorul (definiens-lat) ceea ce spune despre obiectul definit 3. relația de definire (notată :=, sau def= )

6

Clasificarea=operația logică prin care noțiuni mai puțin generale sunt grupate în baza anumitor însușiri (sau note) în noțiuni mai generale. Propoziția sau enunțul reprezintă o constatare spusă, scisă sau exprimată în orice alt mod, care este fie adevărată (A sau 1), sau falsă (F sau 0). Propoziții categorice exprimă un raport între numai două noțiuni absolute. Valorile de adevăr ale unei propoziții: Adevărul-verum (lat.) Falsul –falsum (lat.) ?- pentru proprietăți probabile Structura propozițiilor categorice -subiect logic S -predicat logic P=ceea ce se spune despre subiectul logic. Clasificare -propoziții categorice afirmative=concordanță între S și P -propoziții categorice negative=raport de opoziție între S și P Enunțul =asamblaj de semne susceptibil de a purta informații, ce cuprinde două părți

• subiectul (subiectele)-despre care se comunică ceva • partea predicativă-ceea ce rămâne după eliminarea tuturor subiectelor (este unică) Subiectele pot fi determinate sau nu. Dacă toate subiectele dintr-o propoziție sunt determinate

avem de a face cu o propoziție, în caz contar enunțul se numește predicat. Subiectele nedeterminate se numesc variabile libere.

Exemple de propoziții 1. Parisul este capitala Franței. 2. Pătratul are toate laturile congruente. 3. Orice funcție continuă este derivabilă.

Enunțul ( )( )1 3 0x x− + ≥ este un predicat cu variabila liberă x,

Enunțul 1 1x x−⋅ = este un predicat cu variabila liberă x. Clasificare enunțuri -enunțuri atomice (simple) -enunțuri compuse=enunțurile care se obțin din ale enunțuri folosind operatori logici (Partea de logică a propozițiilor a fost sistematic construită de catre filozoful grec Aristotel în urmă cu peste 2300 de ani.) Operatori logici

Operator �otație Semn Negația Non ¬ Conjuncția And, și ∧ Disjuncția Or, sau ∨ Implicația Implică, dacă...atunci...,

If...then... →

Echivalența Dacă și numai dacă If and only if

↔

Cuantificatori

• Oricare ar fi ∀

• Există cel puțin ∃

7

Simbolurile ( și ) pentru a specifica modul de structurare a unui enunț compus, atunci când nu sunt stabilite alte reguli. Un enunț format numai cu propoziții (numite și constante propoziționale-notate A, B,...) dă naștere tot la o propoziție. Formă propozițională= enunț care conține variabile propoziționale (simboluri ce pot fi substituite cu constante propoziționale). =predicat cu variabile libere propoziții. �otații

, , ...p q r variabile propoziționale. P, Q, R,...enunțurile (indiferent de natura lor) Definiția 1.

Fie P un enunț. Enunțul P¬ sau ( )P¬ se numește negația enunțului P.

În limbaj natural, noul enunț se obține din P prin intercalarea cuvântului nu în fața părții predicative. Exemplu Fie propozițiile p Astăzi este marți.

p¬ Astăzi nu este marți. Negația propoziției: dreptele 1 2d si d sunt paralele sau necoplanare este dreptele 1 2d si d nu sunt paralele si nu sunt necoplanare, ceea ce, în virtutea pricipiului dublei negații, se reformulează: dreptele 1 2d si d nu sunt paralele si sunt coplanare ( deducem că dreptele

1 2d si d sunt concurente. Aceeași negație se mai exprimă sub forma: dreptele 1 2d si d nu sunt paralele și nici necoplanare. Tabloul de adevăr pentru negație

p p¬

A (1) F (0) F (0) A (1)

Definiția 2.

Fie P și Q enunțuri. Enunțul ( ) ( )sauP Q P Q∧ ∧ se numește conjuncția enunțurilor P și Q.

În limbaj natural, noul enunț se obține prin intercalarea cuvântului și între textele celor două enunțuri. Exemplu 1. p Astăzi este marți. q Astăzi ninge. p q∧ Astăzi este marți și azi ninge. (Propoziția este adevarată într-o zi de marți cu ninsoare și este falsa in orice zi dacă nu e marți și în orice zi de marți în care nu ninge.) 2. Patrulaterul ABCD este romb și are un unghi drept.

8

Tabloul de adevăr pentru conjuncție

p q p q∧

A (1) A (1) A (1) A (1) F (0) F (0) F (0) A (1) F (0) F (0) F (0) F (0)

Definiția 3.

Fie P și Q două enunțuri. Enunțul P Q∨ sau ( ) ( )P Q∨ se numește disjuncția enunțurilor P și Q.

În limbaj natural, noul enunț se obține prin intercalarea cuvântului sau între textele celor două enunțuri. Exemplu 1. p Astăzi este marți. q Astăzi ninge. p q∨ Astăzi este marți sau azi ninge. (Adevărată în orice zi de marți și în orice zi în care ninge și falsă dacă nu este nici marți și nici nu ninge.) 2. Patrulaterul ABCD este dreptunghi sau romb. Tabloul de adevăr pentru disjuncție

p q p q∨ A (1) A (1) A (1) A (1) F (0) A (1) F (0) A (1) A (1) F (0) F (0) F (0)

Definiția 4. Fie P și Q două enunțuri. Implicația P Q→ sau ( ) ( )P Q→ . În limbaj natural se exprimă: Dacă P atunci Q. Exemplu p Studentul învață. q Studentul promovează examenul. p q→ Dacă studentul învață atunci el promovează examenul. Tabloul de adevăr pentru implicație

p q p q→ A (1) A (1) A (1) A (1) F (0) F (0) F (0) A (1) A (1) F (0) F (0) A (1)

9

Definiția 5.

Fie P și Q două enunțuri. Enunțul P Q↔ sau ( ) ( )P Q↔ se numește echivalența enunțurilor P și Q.

În limbaj natural noul enunț se exprimă • P dacă și numai dacă Q

sau • P este necesar și suficient pentru Q,

sau • dacă P atunci Q și viceversa

Exemplu f J R→: derivabilă pe J p f convexă q f ′ este crescătoare p q↔ Tabloul de adevăr pentru echivalență

p q p q↔ A (1) A (1) A (1) A (1) F (0) F (0) F (0) A (1) F (0) F (0) F (0) A (1)

Definiția 6. Fie F un enunț în care variabila x este liberă (se mai folosește notația F(x) sau Fx, F numindu-se variabila predicativă, iar x variabila individuală).

• Enunțul ( )xF x∀ se numește cuantificarea universală a enunțului F în raport cu variabila x.

Dacă x este unica variabilă liberă a enunțului F atunci enunțul ( )xF x∀ este o propoziție.

• Enunțul ( )xF x∃ se numește cuantificarea universală a enunțului F în raport cu variabila x.

Dacă x este unica variabilă liberă a enunțului F atunci enunțul ( )xF x∃ este o propoziție.

• În enunțurile ( )xF x∃ , ( )xF x∀ variabila x se numește variabilă legată.