Proiect didactic   Clasa   : a - XI - a A / Matematica - Informatica Lectie de verificare si dobandire de noi cunostinte

Proiect  didactic

Data :

Clasa : a - XI - a   A / Matematica

OBIECTUL:    Matematica

Unitatea de invatare : Limite de functii

Titlul lectiei : definitia limitei  unei  functii  intr - un punct cu  vecinatati

Tipul lectiei : Lectie de verificare si dobandire de noi cunostinte

COMPETENTE SPECIFICE :

3.   Aplicarea unor algoritmi specifici calculului diferential in rezolvarea unor

      probleme si modelarea unor procese4. Exprimarea cu ajutorul notiunilor de limita, continuitate, derivabilitate, monotonie, a unor proprietati cantitative si calitative ale unei functii5. Studierea unor functi 222h72c i din punct de vedere cantitativ si calitativ utilizand diverse procedee: majorari, minorari pe un interval dat, proprietatile algebrice si de ordine ale multimii numerelor reale in studiul calitativ local, utilizarea reprezentarii grafice a unei functii pentru verificarea unor rezultate si pentru identificarea unor proprietati6. Explorarea unor proprietati cu caracter local si/ sau  global ale unor functii utilizand continuitatea , derivabilitatea sau reprezentarea grafica  .

OBIECTIVE OPERATIONALE :

1. Prin rezolvarea  exercitiilor  la tabla , elevii sa  demonstreze ca

pot  aplica  in  rezolvarea  exercitiilor , criteriul raportului  ,

lema lui Stolz - Cesaro si criteriul radicalului  si pot  opera  liber

cu ele .

2. Elevul  sa - si insuseasca  notiunea de punct de acumulare  , definitia

      limitei  unei  functii  intr - un  punct cu  vecinatati  si teoremele de

      caracterizare a limitei unei functii .

3. Folosirea  corecta  a limbajului matematic  si exprimarea

      orala , scrisa  privind notiunea de punct de acumulare  , definitia

      limitei  unei  functii  intr - un  punct cu  vecinatati  si teoremele de

 caracterizare a limitei unei functii.

4. Sa  aplice notiunile invatate in  rezolvarea exercitiilor  propuse

de  catre  profesor  .

5. Sa dezvolte imaginatia si gandirea creatoare

STRATEGII  DIDACTICE :

               Principii didactice :

Principiul participarii si invatarii active. Principiul asigurarii progresului gradat al performantei. Principiul conexiunii inverse ( feed - back )

               Metode de invatamant :

conversatia explicatia exercitiul descoperirea expunerea

               Forme de evaluare :

observatia prin lucru individual

              Forme de oganizare a clasei :

frontala individuala

              Resurse materiale :

        materiale didactice : fise de lucru , manualul , proiect didactic

        Mijloace de invatare : tabla , creta

             Resurse procedurale :

investigatia stiintifica problematizarea observarea sistematica a elevului rezolvarea de probleme/situatii problema.

Material bibliografic :

Marcel Tena , etc.  - Matematica M1 , Manual  pentru

clasa a - XI - a  , Ed. ART Grup Editorial , 2006

Ion Petrica - Probleme de algebra pentru liceu Vom.III

( clasele XI - XII) , Ed. Petrion Bucuresti , 1995

Eugen Radu , etc.  - Matematica M1 , Manual  pentru

clasa a - XI - a  , Ed. ALL , 2006

Evenimentelelectie

Obiective Continutul lectiei  Strategii didactice

 Moment organizatoric

Activitatea profesorului Activitatea elevului conversatia

Saluta clasa.

Se rezolva unele probleme extradidactice aparute.

Noteza  absentele

Elevul de serviciu prezinta lista elevilor carelipsesc.

Verificarea cunostintelor din lectia precedenta si reactualizarea celor necesare

comunicarii temei noi :

a) controlul

temelor date

 elevilor pentru

  acasa

-         Ce tema ati avut de pregatit pentru acasa?

-         Sunt intrebari de tema pentru acasa?

Invita un elev la tabla sa rezolve un exercitiu din tema de acasa.

Precizeaza titlul lectiei.

Numescexercitiile:

Un elev rezolva Ex.

Exercitiu individual

 b) Verificarea        cunostintelor din lectiaprecedenta

- Enuntul teoremelor : criteriului raportului  , lema lui Stolz - Cesaro si criteriul radicalului  ?

Concomitent cu exercitiul din tema  propune  pentru un  elev din clasa  un exercitiu asemanator cu lucrul de acasa :  Ex.

Profesorul verifica si apreciaza oral rezultatele obtinute.

Trei elevi enuntacriteriul raportului ,lema lui Stolz - Cesaro si criteriul radicalului Doi elevi rezolva exercitiu

Conversatia             Exercitiu

Dirijareainvatarii

Def.  Fie D  R , D∅ . Un punct

x0 ∈  se numeste punct

de acumulare  pentru D daca oricare ar fi  V∈V( x0) avem :

( V)∩D ∅.

Notam multimea punctelor de acumulare ale multimii D cu D/ .

Def. Daca un punct apartine multimii D si nu este punct

de acumulare pentru D , atunci el se numeste punct izolat  pentru D .

            Expunere

Mai precis : a∈D este punct izolat  pentru D daca exista

U∈ V( a) a.i. ( U)∩D =∅ ( vecinatatea U are in comun

Un elev rezolva la tabla Ex. 2           Explicatie                 Descoperire

cu multimea  D cel mult punctul a ) .

Ex. 1. D =ℕ  . In acest caz  D/ =

Rezolvare : Fie V =   ∈V( ) .

( V)∩D ∅ ( V contine toate numerele naturale mai mari sau egale cu 1+ []  ) .

Ex.2. D=[ 0 , 1)   . In acest caz  D/ =[ 0 , 1] .

                             0                            x0             1         2

Rezolvare :       (  [       )        (      |      )      )  (   |   )

- punctele interioare din x0 ∈( 0 , 1 )  sunt evident punctele  de acumulare pentru D .

- orice vecinatate a lui 1 si orice vecinatate a lui 0 are elemente

in comun cu D (deci 0 si 1sunt puncte de acumulare pentru D )

- punctul 2 este izolat pentru D : alegand V=(1,7; 2,3) ∈ V( 2)

avem  V∩D = adica ( V)∩D =∅

Consideram functiile

f:RR , f(x) = x+3 si g: R R , g(x) =

ln  . Graficele lor ne sunt cunoscute din casa a-IX-a , respectiv a-X-a .

       Graficul lui f                                          Graficul lui g

Sa consideram numarul real x0 = 0 . Observam pe grafice ca

atunci cand  x se apropie foarte mult de x0 = 0 , fara a atinge insa acest numar , valorile f(x) se apropie oricand de mult de

numarul ℓ1=3 , iar valorile g(x) se apropie oricand de mult de

numarul ℓ2=   .Aceasta  apropiere intuitiva a lui x catre x0 ,

respectiv a lui f(x) catre ℓ1 sau a lui g(x) catre ℓ2 , o vom

descrie matematic  cu ajutorul notiunii de vecinatate .Def. Fie f : D  R , D  R ,

D∅si x0 ∈D/. Punctul ℓ∈

este  limita  functiei  in x0  daca   

V∈V(ℓ) ,   U∈V( x0) ,

astfel incat f(x) ∈V  pentru orice x∈D∩U , x x0 .

Limita functiei in punctul  x0 se

noteaza    si se

citeste  ,, limita cand x tinde la x0 din f(x) ''

Teoreme de caracterizare a limitei unei functii

Criteriul   

Definitia  cu vecinatati a limitei unei functii este echivalenta are o transcriere in limbaj de inecuatii si inegalitati .

Fie x0 ∈  si  ℓ∈  .

        Expunere                                                                                                                                                                                                             Descoperire

O vecinatati oarecare U∈V( x0) poate fi :

-   , cu   , daca x0 = 

-    , cu   , daca x0 =   

-   cu   , daca x0 ∈R .

O vecinatati oarecare V∈V(ℓ) poate fi :

 , cu   , daca ℓ = 

-    , cu   , daca ℓ =   

-   cu   , daca ℓ∈R  .

In aceste conditii definitia ,, cu vecinatati '' a limitei unei functii este echivalenta cu urmatoarele propozitii '

Cazul x0 =   ;  ℓ =   

,, astfel incat

f(x) <  pentru orice  x∈ D , x <   

Ex .1.   

Intr-adevar  , pentru    ,

avem      .

Alegand  .

Atunci  pentru  orice  ave

m Cazul x0 ∈R ;   ℓ = 

,

, astfel incat

f(x) <  pentru orice  x∈ D , x  x0 ,

 .

Ex. 2.

 

Un elev rezolva Ex. 3                                                                      Descoperire

Intr-adevar  , pentru    ,   

 

Daca alegem   avem   x

 , 

 lnx  <   

Cazul x0 =   ;  ℓ =   

,, astfel incat

f(x) <  pentru orice  x∈ D , x >   

Ex. 3.

Teorema :Daca limita unei functii exista atunci  ea este unica .

Intensificarea

retinerii si 

asigurarea

trasferului

Ex1. Sa se determine celelalte  6 cazuri  ale teoremelor  de caracterizare a limitei unei functii

Ex2. Sa se arate ca 

Trei elevi  expune la tabla celelalte

cazuri  aleteoremelor de caracterizare a limitei unei functii .

Un elev rezolva Ex. 2

Exercitiu comentat

Concluzii si realizarea feed-back-ului

Fac o scurta recapitulare a notiunilor care au fost utilizate in decursul lectiei si generalizez cu ajutorul elevilor notarea si comentarea activitatii elevilor pe parcurs.

Despre ce am vorbit astazi la lectie?

Enuntul teoremelor invatate ?

- Se rezolva la tabla exercitii   ca aplicatii la notiunile prezentate

Elevii raspund la intrebari .

- Elevii rezolva exercitiile de pe fisa de lucru .

Apoi  prezinta la tabla

rezolvarea lor .

Conversatia   Descoperire    

Asigurareatransferului

Stabilesc tema pentru acasa (man.ex:1pag 110;din culegere ex: 2 pag 110).si de rezolvat exercitiile din fisa .Ofer indicatii cu privire la rezolvarea exemplelor ce ar putea prezenta dificultati.

Isi noteaza in caiete tema pe acasa Conversatie

Limite de functii

Clasa a-XI - a  A  2008-2009

Ex .1.   ( 1)

Rezolvare :  Fie   , f(x) = x3 Intr-adevar  , pentru    , avem  f(x) <        

.....   .

Alegand  > 0 .     Atunci  ( 1)    ,    a. i.  f(x) =   pentru  orice   

Ex. 2.   (2)

Rezolvare :  Fie   , f(x) = lnx

Intr-adevar  , pentru    , avem  f(x) <  ,        ...... ,   .

Atunci  ( 2)    ,    a. i.  f(x) = lnx    pentru  orice  x  ,  , x  0

Ex .3.   ( 3)

Rezolvare :  Fie   , f(x) = 2x - 3

Intr-adevar  , pentru    , avem  f(x) > ,     2x - 3 >  ,    .......

Atunci  ( 3)    ,   ... a. i.  f(x)    pentru  orice   ,   

Ex .4.   ( 4 )

Rezolvare :  Fie   , f(x) = 

Intr-adevar  , pentru    , avem  ,     ,    ,

    . Atunci  ( 4)   ,     a. i.   pentru  orice  ......

Ex .5.   ( 5)

Rezolvare :  Fie   , f(x) = 2x + 1

Intr-adevar  , pentru    , avem  f(x) < ,    2x + 1 <  ,      =  

    .  Atunci  ( 5)    ,   ... a. i.  f(x)    pentru  orice   .....

Ex .6.   ( 5)

Rezolvare :  Fie   , f(x) =   

Intr-adevar  , pentru    , avem    ,      ,   

 ,              

Atunci  ( 6)    ,   ......  a. i.   pentru  orice ...... 

Ex .7.   ( 7)

Rezolvare :  Fie   , f(x) = 2x2 + 1

Intr-adevar  , pentru    , avem    , x      , x      ....... 

  

 Pt.            

Fie       

............................