functii - sibiulcopiilor.ro · clasa a 9-a - 2 - functii . functii injective , surjective ,...

18
Clasa a 9-a - 1 - Functii . Functii injective , surjective , bijective Functii . Functii injective , surjective , bijective Functii . Notiunea de functie : - Fie A si B doua multimi nevide ; - Prin functie definita pe multimea A cu valori in B se intelege orice lege ( procedeu sau conventie etc. ) f , in baza careia oricarui element a A i se asociaza un unic element , notat f(a) , din B . Elementele unei functii : - Definitia functiei presupune de fapt existenta a trei elemente : 1). O multime A pe care este definite functia si care se numeste domeniul de definitie al functiei . 2). O a doua multime B , in care ia valori functia si care se numeste domeniul valorilor functiei sau codomeniul functiei . 3). O lege ( procedeu , conventie etc. ) f . Notatia unei functii : - O functie se noteaza : B A : f sau B f A sau ) ( x f x , x A cu legea de corespondenta : f(x) = y

Upload: dinhhuong

Post on 09-Jul-2018

643 views

Category:

Documents


45 download

TRANSCRIPT

Page 1: Functii - sibiulcopiilor.ro · Clasa a 9-a - 2 - Functii . Functii injective , surjective , bijective Functii . Functii injective , surjective , bijective

Clasa a 9-a - 1 -

Functii . Functii injective , surjective , bijective

Functii . Functii injective , surjective , bijective

Functii .

Notiunea de functie :

- Fie A si B doua multimi nevide ;

- Prin functie definita pe multimea A cu valori in B se intelege orice lege ( procedeu

sau conventie etc. ) f , in baza careia oricarui element a A i se asociaza un unic

element , notat f(a) , din B .

Elementele unei functii :

- Definitia functiei presupune de fapt existenta a trei elemente :

1). O multime A pe care este definite functia si care se numeste domeniul de

definitie al functiei .

2). O a doua multime B , in care ia valori functia si care se numeste domeniul

valorilor functiei sau codomeniul functiei .

3). O lege ( procedeu , conventie etc. ) f .

Notatia unei functii :

- O functie se noteaza :

B A : f sau B f

A sau )( xfx , x A

cu legea de corespondenta :

f(x) = y

Page 2: Functii - sibiulcopiilor.ro · Clasa a 9-a - 2 - Functii . Functii injective , surjective , bijective Functii . Functii injective , surjective , bijective

Clasa a 9-a - 2 -

Functii . Functii injective , surjective , bijective

Functii . Functii injective , surjective , bijective

Imagine . Valoarea functiei :

- Elementului x A ii corespunde prin functia f un unic element din B , care se

noteaza f(x) si se numeste imaginea lui x prin functia f sau valoarea functiei f

in x .

Deci : y = f(x) se numeste imaginea lui x prin functia f !!!

Variabila . Argument :

- Un element oarecare x al domeniului de definitie se numeste variabila sau

argument al functiei f .

Egalitatea functiilor :

- Doua functii f : A B si g : C D se numesc egale daca :

A = C , B = D si f(a) = g(a) , ( ) a A

Graficul unei functii :

- Fie f : A B o functie ;

- Se numeste graficul acestei functii submultimea Gf a produsului cartezian A x B

formata din perechile ( x , f(x) ) cu x A :

G f = { ( x , f(x) ) / x A }

Page 3: Functii - sibiulcopiilor.ro · Clasa a 9-a - 2 - Functii . Functii injective , surjective , bijective Functii . Functii injective , surjective , bijective

Clasa a 9-a - 3 -

Functii . Functii injective , surjective , bijective

Functii . Functii injective , surjective , bijective

Ecuatia graficului :

- Egalitatea f(x) = y , verificata de toate elementele ( x , y ) ale graficului si

numai de acestea , se numeste ecuatia graficului functiei f .

Functii numerice :

- Functii reale de variabila reala .

- Se numeste functie numerica o functie f : A B , pentru care atat domeniul

cat si codomeniul sunt submultimi din R , adica A R , B R .

- Functiile numerice se mai numesc functii reale de variabila reala .

Monotonia functiilor :

- Fie f : D R , D R , o functie numerica . Functia f se numeste :

1). Monoton crescatoare pe D daca ( ) x1 , x2 D cu x1 < x2

f (x1) f (x2) .

2). Strict crescatoare pe D daca ( ) x1 , x2 D cu x1 < x2

f (x1) < f (x2) .

3). Monoton descrescatoare pe D daca ( ) x1 , x2 D cu x1 < x2

f (x1) f (x2) .

4). Strict descrescatoare pe D daca ( ) x1 , x2 D cu x1 < x2

f (x1) > f (x2) .

Page 4: Functii - sibiulcopiilor.ro · Clasa a 9-a - 2 - Functii . Functii injective , surjective , bijective Functii . Functii injective , surjective , bijective

Clasa a 9-a - 4 -

Functii . Functii injective , surjective , bijective

Functii . Functii injective , surjective , bijective

5). Monotona pe D daca : f este crescatoare sau descrescatoare pe D .

6). Strict monotona pe D daca : f este strict crescatoare sau strict

descrescatoare pe D .

Functii pare . Functii impare .

Fie o functie f : D R , D R , D o multime simetrica .

( x D - x D ) .

Functie para :

- Functia f se numeste para daca : f (-x) = f(x) , ( ) x D

- Graficul unei functii pare este simetric fata de axa Oy .

Functie impara :

- Functia f se numeste impara daca : f (-x) = - f(x) , ( ) x D

- Graficul unei functii impare este simetric fata de origine .

Page 5: Functii - sibiulcopiilor.ro · Clasa a 9-a - 2 - Functii . Functii injective , surjective , bijective Functii . Functii injective , surjective , bijective

Clasa a 9-a - 5 -

Functii . Functii injective , surjective , bijective

Functii . Functii injective , surjective , bijective

Observatii :

- Suma si produsul a doua functii pare sunt functii pare ;

- Suma a doua functii impare este o functie impara ;

- produsul a doua functii impare este o functie para ;

- produsul unei functii pare cu o functie impara este o functie impara .

Functii periodice .

Definitia functiei periodice :

- O functie numerica f : D R , D R , se numeste periodica de perioada T

daca ( ) x D , avem x + T D , x – T D si :

f ( x + T ) = f ( x )

Observatii :

- Daca T este o perioada , atunci kT este o perioada ( ) k Z ;

- Daca exista o cea mai mica perioada , strict pozitiva , aceasta se numeste perioada

principala a lui f .

- functiile sin si cos sunt periodice de perioada T = 2 ;

- functiile tg si ctg sunt periodice de perioada T = ;

- functia f : R R , f(x) = sin x2 , nu este periodica .

Page 6: Functii - sibiulcopiilor.ro · Clasa a 9-a - 2 - Functii . Functii injective , surjective , bijective Functii . Functii injective , surjective , bijective

Clasa a 9-a - 6 -

Functii . Functii injective , surjective , bijective

Functii . Functii injective , surjective , bijective

Functii injective .

Functie injectiva :

- Fie f : D C o functie ;

1). Se spune ca functia f este o functie injectiva , sau simplu o injectie , daca

( ) x1 , x2 D , x1 x2 f(x1) f(x2)

altfel spus :

oricare doua elemente distincte din domeniu ai imagini distincte in codomeniu .

2). Se spune ca functia f este o functie injectiva , sau simplu o injectie , daca

( ) x1 , x2 D , f(x1) = f(x2) x1 = x2

Functie care nu este injectiva :

- Functia f : D C nu este injectiva daca in multimea D exista cel putin doua

elemente distincte care au imagini egale prin functia f :

exista x1 , x2 D , astfel incat x1 x2 f(x1) = f(x2)

Page 7: Functii - sibiulcopiilor.ro · Clasa a 9-a - 2 - Functii . Functii injective , surjective , bijective Functii . Functii injective , surjective , bijective

Clasa a 9-a - 7 -

Functii . Functii injective , surjective , bijective

Functii . Functii injective , surjective , bijective

Interpretarea geometrica a injectivitatii :

- Daca f este injectiva , atunci orice dreapta paralela cu axa Ox intersecteaza

graficul lui f in cel mult un punct ;

- Daca orice dreapta paralela cu axa Ox intersecteaza graficul lui f in cel mult un

punct atunci f este injectiva ;

- Daca exista o dreapta paralela cu axa Ox care intersecteaza graficul lui f in cel

putin doua puncte , atunci f nu este injectiva .

Legatura dintre proprietatile de monotonie stricta si injectivitate :

- Fie D o submultime a lui R si o functie f : D R

1). Daca f este strict monotona , atunci f este injectiva .

2). Daca f este injectiva , nu rezulta in mod necesar ca f este strict

monotona .

3). Daca f nu este injectiva , atunci f nu este strict monotona .

Page 8: Functii - sibiulcopiilor.ro · Clasa a 9-a - 2 - Functii . Functii injective , surjective , bijective Functii . Functii injective , surjective , bijective

Clasa a 9-a - 8 -

Functii . Functii injective , surjective , bijective

Functii . Functii injective , surjective , bijective

Exercitii :

Aratati ca urmatoarele functii sunt injective :

1). 0 , )( , : abaxxfRRf

2). 1

1 )( , 1 - :

x

xxfRRf

3). xxfRf 2 )( , ) , 0 ( :

4). xxfRRf 3 )( , :

Exercitii :

Studiati daca urmatoarele functii sunt sau nu injective :

1). 1 2 )( , ) , 0 ( : xxxfRf

2). 16 - )( , : 24 xxxfRRf

3).

4 , 43

4 , 12 )( , :

xx

xxxfRRf

4). 42 - )( , : 3xxfRRf

5). 523 - )( , : 23 xxxxfRRf

6).

2 , 43

2 , 12 )( , :

xx

xxxfRRf

7). xxxfRRf 2 )( , : 3

8). )( , : xxfRRf

9). 32 - )( , : 2xxxfRRf

10). 63

12 )( , 2 - :

x

xxfRRf

Page 9: Functii - sibiulcopiilor.ro · Clasa a 9-a - 2 - Functii . Functii injective , surjective , bijective Functii . Functii injective , surjective , bijective

Clasa a 9-a - 9 -

Functii . Functii injective , surjective , bijective

Functii . Functii injective , surjective , bijective

11). 32 - )( , ] 1 - , - ( : 2xxxfRf

12). 32 - )( , ) , 1- [ : 2xxxfRf

13).

5 , 42

5 , 1 )( , :

xx

xxxfRRf

14).

2 , 42

2 , 1 )( , :

xx

xxxfRRf

15).

6 , 42

6 , 1 )( , :

xx

xxxfRRf

16). )( , : xxxfRRf

17). 4 - )( , : xxfRRf

Page 10: Functii - sibiulcopiilor.ro · Clasa a 9-a - 2 - Functii . Functii injective , surjective , bijective Functii . Functii injective , surjective , bijective

Clasa a 9-a - 10 -

Functii . Functii injective , surjective , bijective

Functii . Functii injective , surjective , bijective

Functii surjective .

Functie surjectiva :

- Fie f : D C o functie ;

- functia f este o functie surjectiva sau simplu o surjectie , daca pentru orice

element y C exista cel putin un element x D , astfel incat f(x) = y , adica

daca orice element din codomeniul C este imaginea a cel putiun un element din

domeniul de definitie D prin functia f .

sau

pentru orice y C , ecuatia f(x) = y , in necunoscuta x , are cel putin o

solutie in D .

Functie care nu este surjectiva :

- Functia f : D C nu este surjectiva daca exista cel putin un element al

codomeniului C care nu este imaginea nici unui element din domeniul de definitie

D prin functia f ,

ceea ce se poate exprima prin enunturile echivalente :

exista y C astfel incat pentru orice x D avem : y f(x) ;

exista cel putin un element y C pentru care ecuatia y = f(x) nu are

solutie in D .

Page 11: Functii - sibiulcopiilor.ro · Clasa a 9-a - 2 - Functii . Functii injective , surjective , bijective Functii . Functii injective , surjective , bijective

Clasa a 9-a - 11 -

Functii . Functii injective , surjective , bijective

Functii . Functii injective , surjective , bijective

Interpretarea geometrica a surjectivitatii :

- Daca f este surjectiva , atunci orice dreapta paralela la axa Ox intersecteaza

graficul lui f in cel putin un punct ;

- Daca orice dreapta paralela cu axa Ox intersecteaza graficul lui f in cel putin un

punct atunci f este surjectiva ;

- Daca exista a dreapta paralela la axa Ox care nu nintersecteaza graficul lui f in nici

un punct , atunci f nu este surjectiva .

Page 12: Functii - sibiulcopiilor.ro · Clasa a 9-a - 2 - Functii . Functii injective , surjective , bijective Functii . Functii injective , surjective , bijective

Clasa a 9-a - 12 -

Functii . Functii injective , surjective , bijective

Functii . Functii injective , surjective , bijective

Exercitii :

Aratati ca urmatoarele functii sunt surjective :

1). xxfRf 2 )( , ) , 0 [ :

2). 63 )( , ] 6 , 0 [ ] 4 , 2 [ : xxff

3). 82 - )( , ) , 9- [ : 2xxxfRf

4). 1

1 )( , ) ,

2

1 [ ] 4 , 1- ( :

xxff

Exercitii :

Studiati surjectivitatea urmatoarelor functii :

1). 2 3 )( , ) , 2 [ : xxfRf

2). )( , : 2xxfRRf

3).

3 , 33

3 , 2 )( , :

xx

xxxfRRf

4). 5 3 )( , ) , 3 [ : xxxfRf

5). 63 )( , R ] 4 , 2 [ : xxff

6).

2 , 42

2 , 2- )( , :

xx

xxxfRRf

7). 33 )( , ] 9 , 3 [ ] 2 , 0 [ : xxff

8). 82 - )( , : 2xxxfRRf

9). 82 - )( , ) , 9- [ ) , 1- [ : 2xxxff

10). 2 - )( , ] 4

9 , - ( : 2 xxxfRf

11). 3 5 )( , : xxfRRf

12). )( , : xxxfRRf

Page 13: Functii - sibiulcopiilor.ro · Clasa a 9-a - 2 - Functii . Functii injective , surjective , bijective Functii . Functii injective , surjective , bijective

Clasa a 9-a - 13 -

Functii . Functii injective , surjective , bijective

Functii . Functii injective , surjective , bijective

Functii bijective .

Functie bijectiva :

- Functia f : D C este bijectiva daca are loc una dintre proprietatile :

1). Functia este injectiva si surjectiva ;

2). Pentru y C , ecuatia y = f(x) are solutie unica in D ;

3). Orice paralela la axa Ox intersecteaza graficul functiei intr-un singur punct .

Proprietati caracteristice ale functiilor injective , surjective sau bijective :

- Fie doua multimi D , C o functie f : D C .

- In cele ce urmeaza ne vom referi la ecuatia y = f(x) , in necunoscuta x D ,

unde y C parametru .

1). Functia f este injectiva daca si numai daca , pentru orice y C , ecuatia

y = f(x) are cel mult o solutie in D .

1’). Functia f nu este injectiva daca si numai daca exista y C astfel incat

ecuatia y = f(x) are cel putin doua solutii in D

Page 14: Functii - sibiulcopiilor.ro · Clasa a 9-a - 2 - Functii . Functii injective , surjective , bijective Functii . Functii injective , surjective , bijective

Clasa a 9-a - 14 -

Functii . Functii injective , surjective , bijective

Functii . Functii injective , surjective , bijective

2). Functia f este surjectiva daca si numai daca , pentru orice y C , ecuatia

y = f(x) are cel putin o solutie in D .

2’). Functia f nu este surjectiva daca si numai daca exista y C astfel incat

ecuatia y = f(x) nu are nici o solutie in D .

3). Functia f este bijectiva daca si numai daca , pentru orice y C , ecuatia

y = f(x) are o solutie si numai una in D .

Page 15: Functii - sibiulcopiilor.ro · Clasa a 9-a - 2 - Functii . Functii injective , surjective , bijective Functii . Functii injective , surjective , bijective

Clasa a 9-a - 15 -

Functii . Functii injective , surjective , bijective

Functii . Functii injective , surjective , bijective

Exercitii :

Studiati bijectivitatea urmatoarelor functii :

1). 42 )( , : xxfRRf

2). 42 )( , ] 8 , 6 [ ] 2 , 1 [ : xxff

3).

6 , 2

6 , 4 - 2 )( , :

xx

xxxfRRf

4). 2

1 )( , 1 2 - :

x

xxfRRf

5). 34 )( , ) , 1- [ ) , 2 [ : 2 xxxff

Page 16: Functii - sibiulcopiilor.ro · Clasa a 9-a - 2 - Functii . Functii injective , surjective , bijective Functii . Functii injective , surjective , bijective

Clasa a 9-a - 16 -

Functii . Functii injective , surjective , bijective

Functii . Functii injective , surjective , bijective

Compunerea functiilor .

Compunerea a doua functii :

- Fie f : A B si g : B C doua functii .

- Functia : g f : A C data prin

( g f )(x) = g ( f(x) ) , x A

se numeste compunerea functiei g cu functia f .

Observatie :

- este posibila compunerea a doua functii atunci cand codomeniul primei functii coincide

cu domeniul de definitie al celei de a doua functie !!!

Asociativitatea compunerii functiilor :

- Fie f : A B , g : B C , h : C D trei functii ;

- Are loc egalitatea :

h ( g f ) = ( h g ) f .

Page 17: Functii - sibiulcopiilor.ro · Clasa a 9-a - 2 - Functii . Functii injective , surjective , bijective Functii . Functii injective , surjective , bijective

Clasa a 9-a - 17 -

Functii . Functii injective , surjective , bijective

Functii . Functii injective , surjective , bijective

Functie inversabila .

Functia identica :

- Fie A o multime ;

- Vom nota 1A : A A

Functia definita astfel : 1A (x) = x , x A

1A se numeste functia identica a multimii A .

Functie inversabila :

- O functie f : A B se numeste inversabila daca exista o functie g : B A

astfel incat :

g f = 1A si f g = 1B

unde g se numeste inversa functiei f si se noteaza : g = f –1

Teorema :

- O functie f : A B se numeste inversabila daca si numai daca este bijectiva !

Interpretarea geometrica :

- Graficele functiilor f si f –1 sunt simetrice fata de prima bisectoare .

Page 18: Functii - sibiulcopiilor.ro · Clasa a 9-a - 2 - Functii . Functii injective , surjective , bijective Functii . Functii injective , surjective , bijective

Clasa a 9-a - 18 -

Functii . Functii injective , surjective , bijective

Functii . Functii injective , surjective , bijective

Exercitii :

Studiati existenta inverselor urmatoarelor functii :

1). 42 )( , : xxfRRf

2). 42 )( , ] 8 , 6 [ ] 2 , 1 [ : xxff

3).

6 , 2

6 , 4 - 2 )( , :

xx

xxxfRRf

4). 2

1 )( , 1 2 - :

x

xxfRRf

5). 34 )( , ) , 1- [ ) , 2 [ : 2 xxxff

Exercitiu :

Aratati ca urmatoarele functii sunt inversabile si determinati functiile inverse :

1). 32 )( , : xxfRRf

2). 53x- )( , ) , 2 [ ]1 , -( : xff

3). 24 )( , ] 10 , 6 [ ] 2 , 1 [ : xxff

4).

2 , 3 4

2 , 1 2 )( , :

xx

xxxfRRf

5).

4 , 7 2

4 , 3 )( , :

xx

xxxfRRf

6). 1

14 )( , 4 1- - :

x

xxfRRf