liceultehnologicferdinand · ministerul educa ţiei na ționale centrul na ţional de evaluare şi...

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Probă scrisă la matematică M_tehnologic Model Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

Pagina 1 din 1

Examenul de bacalaureat naţional 2020 Proba E. c)

Matematică M_tehnologic Model Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte)

5p 1. Arătați că ( )( )10 2 3 10 2 3 64− ⋅ + ⋅ = . 5p 2. Se consideră 1x și 2x soluțiile ecuației

2 7 10 0x x− + = . Arătați că ( )1 2 1 22 4x x x x+ − = . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( )2 2log 2020 2log 3x − = . 5p 4. Un obiect costă 200 de lei. Determinaţi prețul obiectului după o scumpire cu 10%.

5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2,4A şi ( )4,4B . Calculați distanța de la punctul ( )0,0O la mijlocul segmentului AB .

5p 6. Arătați că sin 60 cos150 0° + ° = .

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricele

2 9

0 2A

− = −

și ( ) 30

x xB x

x

− =

, unde x este număr real.

5p a) Arătați că det 4A = .

5p b) Determinați numărul real x pentru care ( ) ( ) ( )B x B x B x A⋅ − + = . 5p c) Rezolvaţi în ( )2 ℝM ecuaţia ( )1B X A⋅ = .

2. Pe mulțimea ( )0,M = +∞ se definește legea de compoziție

2 2x yx y

xy

+=� .

5p a) Arătaţi că 1 82

33 9

=� .

5p b) Demonstrați că 2x y ≥� , pentru orice ,x y M∈ .

5p c) Determinați a M∈ , pentru care 22

12a

a=� .

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) ( )2 12 3f x x x= − + . 5p a) Arătaţi că ( ) ( )( )' 3 2 2f x x x= − + , x∈ℝ .

5p b) Arătați că ( )

3

6lim 15

3x

f x

x→

+=

−.

5p c) Demonstrați că ( )13 19f x− ≤ ≤ , pentru orice [ ]2,2x∈ − . 2. Se consideră funcția :f →ℝR , ( ) 5 1f x x x= + + .

5p a) Arătați că ( )( )1

5

1

1 0f x x dx−

− − =∫ .

5p b) Calculați ( )( )1

2020

0

1x f x x dx− −∫ .

5p c) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcției

[ ]: 1,2g →ℝ , ( ) ( )( )51g x f x xx

= − este egal cu 32ln 22

π +

.


Probă scrisă la matematică M_tehnologic Varianta 7 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

Pagina 1 din 1


Matematică M_tehnologic Varianta 7

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte)

5p 1. Arătați că 3 2 3 2 13

: 12 3 2 3 5

− + ⋅ =

.

5p 2. Se consideră funcția ( ): , 2 4f f x x→ = −ℝ ℝ . Determinați numărul real m , știind că ( )1f m m+ = . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( )7 7log 2 3 log 9x + = . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea { }10,20,30,40,50,60,70,80,90A = ,

acesta să fie multiplu de 3 .

5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )4,1M , ( )1,5N şi ( )4,5P . Calculați aria triunghiului MNP .

5p 6. Arătați că 21

sin 60 sin 45 13

⋅ ° + ° = .



1 2

3 4A

=

și ( ) 11

a aM a

a a

+ − = −

, unde a este număr real.

5p a) Arătați că det 2A = − . 5p b) Demonstrați că ( ) ( ) ( )M a M b M a b⋅ = + , pentru orice numere reale a și b . 5p c) Determinați matricea ( )2X ∈ ℝM pentru care ( ) ( )1 2M X M A⋅ ⋅ = .

2. Se consideră polinomul 3 22 4 4 3f X X X= − + − .

5p a) Arătaţi că ( )0 3f = − .

5p b) Demonstrați că numărul 1 2 3

3 3 3a

x x x= + + este natural, unde 1x , 2x și 3x sunt rădăcinile lui f .

5p c) Demonstrați că polinomul f nu are toate rădăcinile reale.


1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 6 5

xf x

x=

+.

5p a) Arătați că ( )( )( )

( )3 3

26

5 1 1'

5

x xf x

x

− +=

+, x∈ℝ .

5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă 0x = situat pe graficul funcției f .

5p c) Determinați mulțimea valorilor funcției f .

2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) ( )1 xf x x e= − .

5p a) Arătați că ( )1

0

1

2xf x

dxe

= −∫ .

5p b) Demonstrați că :F →ℝ ℝ , ( ) ( )2 2019xF x x e= − + este o primitivă a funcției f .

5p c) Calculați ( ) ( )1

2

0

'f x f x dx∫ .



Pagina 1 din 1




5p 1. Arătați că ( )6 3 2 1 27 2+ − = . 5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 4f x x= − . Calculați ( ) ( ) ( )0 1 2f f f⋅ ⋅ . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( )5 5log 20 6 log 14x − = . 5p 4. După o scumpire cu 10%, un obiect costă 440 de lei. Determinaţi prețul inițial al obiectului.

5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )3,4A , ( )0,6B şi ( )6,0C . Calculați distanța de la punctul A la mijlocul segmentului BC .

5p 6. Arătați că cos30

tg301 sin30

° = °+ °

.


1. Se consideră matricele 1 2

6 9M

− = − −

și ( ) 1 22 1

a aA a

a a

+ + = − +


5p a) Arătați că det 21M = . 5p b) Demonstrați că ( ) ( ) ( )2 0A a A a A− + = , pentru orice număr real a . 5p c) Determinați numerele reale a și b pentru care ( ) ( )A a A b M⋅ = .

2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție ( )2

2

xyx y x y= + −� .

5p a) Arătaţi că ( )2 2 2− =� .

5p b) Determinați numărul natural nenul n pentru care 1 9

2n

n=� .

5p c) Determinați numărul real y astfel încât 8x y =� , pentru orice număr real x . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2 4x

f xx

=+

.

5p a) Arătaţi că ( ) ( )( )( )22

2 2'

4

x xf x

x

− +=

+, x∈ℝ .

5p b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre −∞ la graficul funcției f . 5p c) Determinați mulțimea valorilor funcției f .

2. Se consideră funcţia ( ): 1,f − +∞ →ℝ , ( ) 1 11 2

f xx x

= −+ +

.

5p a) Arătaţi că ( ) ( )2

0

11 2

2x x f x dx

x + + = + ∫

.

5p b) Arătați că ( )1

0

9ln

8x f x dx =∫ .

5p c) Determinați numărul natural p , știind că suprafața plană delimitată de graficul funcției f , axa

Ox şi dreptele de ecuaţii 0x = și 1x = are aria egală cu 2 1ln3

p +

.



Pagina 1 din 1



Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

SUBIECTUL I (30 de puncte)

5p 1. Arătați că ( )7 7 1 7 7+ − = . 5p 2. Se consideră funcția : ,f →ℝ ℝ ( ) 2 6 8f x x x= − + . Determinați coordonatele punctului de

intersecție a graficului funcției f cu axa Oy .

5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( )25log 9 2x + = . 5p 4. După o ieftinire cu 40%, preţul unui obiect este 300 de lei. Calculați prețul obiectului înainte de

ieftinire.

5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )3,2A , ( )3,2B − şi ( )0,6C . Determinaţi, în triunghiul ABC , lungimea medianei din vârful C .

5p 6. Arătați că 3 2 1

sin 60 sin 452 2 4

⋅ ° − ⋅ ° = .



6 10

3 5A

− = −

, 21 0

0 1I

=

și ( ) 2M a I aA= + , unde a este număr real.

5p a) Arătați că det 0A = . 5p b) Demonstrați că ( ) ( ) ( )M a M b M a b ab⋅ = + + , pentru orice numere reale a și b . 5p c) Determinați numărul real a pentru care ( ) ( ) ( ) ( )1 2 2019 2019M M M M a+ + + =… .

2. Se consideră polinomul 3 22 2f mX X mX= + − − , unde m este număr real nenul.

5p a) Arătați că ( )1 0f = , pentru orice număr real nenul m . 5p b) Pentru 3m = , determinaţi rădăcinile polinomului f .

5p c) Determinați numărul real nenul m pentru care 1 2 3

1 1 14

x x x+ + = − , unde 1x , 2x și 3x sunt

rădăcinile polinomului f .


1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 3 3 5f x x x= − + . 5p a) Arătați că ( ) ( )( )' 3 1 1f x x x= − + , x ∈ℝ . 5p b) Demonstrați că funcția f este convexă pe [ )0,+∞ . 5p c) Demonstrați că ( ) 7f x ≤ , pentru orice ( ],1x ∈ −∞ . 2. Se consideră funcția :f → ℝR , ( ) 23 6 7f x x x= + + .

5p a) Arătați că ( )1

2

0

11f x dx =∫ .

5p b) Calculați ( )1

1

1xdx

f x−

+∫ .

5p c) Demonstrați că, pentru orice ( )0,a ∈ +∞ , suprafața plană delimitată de graficul funcției f , axa Ox și dreptele de ecuații 0x = și x a= are aria mai mare sau egală cu 7a .



Pagina 1 din 1






1 : 1 13 4 12

− + − =

.

5p 2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2 4f x x= + . Arătaţi că ( ) ( ) ( )2 2 4 0f f f− + = . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( ) ( )228 8log 27 log 3x x− = − . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea { }10,11,12,13,14,15,16,17,18,19M = ,

acesta să fie număr par.

5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )4,3A şi ( )8,3B . Determinaţi coordonatele punctului C , știind că punctul B este mijlocul segmentului AC .

5p 6. Arătați că 2 2cos 30 sin 60 2cos30 sin 60 0° + ° − ° ⋅ ° = .



2 1

1 2M

=

, 21 0

0 1I

=

și ( ) 13 2

aA a

=

unde a este număr real.

5p a) Arătați că det 3M = . 5p b) Determinați numărul real a pentru care ( ) ( ) ( ) 24A a A a A a I⋅ = − . 5p c) Determinați numărul real a pentru care ( )( )det 0aA a M+ = .

2. Se consideră polinomul 3 24 2f X X mX= − + + , unde m este număr real. 5p a) Arătați că ( )2 2 6f m= − , pentru orice număr real m . 5p b) Demonstrați că, pentru orice număr real m , numărul 2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 3E x x x x x x x x x= + + este întreg, unde

1x , 2x și 3x sunt rădăcinile polinomului f .

5p c) Pentru 3m = , determinați rădăcinile polinomului f .


1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 3 27 5 1f x x x x= − + + . 5p a) Arătați că ( ) ( )( )' 3 1 7 1f x x x= − − , x ∈ℝ .

5p b) Calculați ( )

( )'

limx

x f x

f x→+∞.

5p c) Demonstrați că ( ) 5249

f x ≤ , pentru orice 1,3

x ∈ −∞

.

2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) ( ]( )2 8 2, ,0

2, 0,

x x xf x

x x

+ − ∈ −∞= − ∈ +∞

.

5p a) Arătaţi că ( )2

1

1

2f x dx = −∫ .

5p b) Demonstrați că funcția f admite primitive pe ℝ . 5p c) Demonstrați că suprafaţa plană delimitată de graficul funcţiei f , axa Ox şi dreptele de ecuaţii

1x = − şi 0x = are aria egală cu 173

.


Probă scrisă la matematică M_tehnologic Model Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

Pagina 1 din 1


Matematică M_tehnologic Model Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale • Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I – Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete. (30 de puncte)

5p 1. Arătați că numărul ( ) ( )2 24 3 3 4N i i= + + − este natural, unde 2 1i = − . 5p 2. Determinaţi numerele reale a , știind că punctul ( ),A a a aparține graficului funcției :f →ℝ ℝ ,

( ) 22f x x= − . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 15 5 30x x++ = . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea { }1, 2, 3, , 49M = … , acesta să

fie număr natural.

5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2,5A , ( )3,5B și ( )2,1C . Determinați lungimea medianei din B a triunghiului ABC .

5p 6. Demonstrați că ( ) ( )2 2sin cos sin cos 2x x x x+ + − = , pentru orice număr real x . SUBIECTUL al II-lea – Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete. (30 de puncte)

1. Se consideră matricea ( ), x yA x y y x

− =

, unde x și y sunt numere reale.

5p a) Arătați că ( )( )det 1,1 2A = . 5p b) Determinați numărul natural n pentru care ( ) ( ) ( )1,0 1,0 2018,0A n A n A− + + = . 5p c) Determinați numărul real a , știind că există un număr real x pentru care ( ) ( ) ( ),1 ,1 , 2A x A x A a⋅ = − .

2. Se consideră polinomul 3 27 8f X X mX= − + − , unde m este număr real.

5p a) Arătați că ( ) ( )1 1 30f f− + = − , pentru orice număr real m . 5p b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului f la 2 3 1X X− + , știind că f se divide cu

2X − . 5p c) Determinați numărul real m pentru care polinomul f are trei rădăcini reale pozitive, în progresie

geometrică. SUBIECTUL al III-lea – Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete. (30 de puncte)

1. Se consideră funcţia ( ): 2,f − +∞ →ℝ , ( )2 2 1

2

x xf x

x

+ +=+

.

5p a) Arătați că ( )( )( )

( )21 3

'2

x xf x

x

+ +=

+, ( )2,x∈ − +∞ .

5p b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞ la graficul funcției f .

5p c) Demonstrați că funcția f este convexă pe ( )2,− +∞ .

2. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ →ℝ , ( ) 2 1f x xx

= + .

5p a) Determinați primitiva F a funcției f pentru care ( )1 0F = . 5p b) Arătați că volumul corpului obţinut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcţiei

[ ]: 1,2g →ℝ , ( ) ( )g x f x= este egal cu 9710

π.

5p c) Determinaţi numărul ( )1,m∈ +∞ , știind că ( )( )21

1ln

2

m

f x x x dx− =∫ .



Pagina 1 din 1




5p 1. Arătați că 1 1 1 1

2 3 4 32 3 4 5

− − − ⋅ =

.

5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 2f x x= + . Determinaţi numerele reale a pentru care ( ) ( )1 5f a f a+ + = .

5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 45 25x− = . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea { }10,15,20,25,30,35,40,45,50M = ,

acesta să fie un număr divizibil cu 10 .

5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )6,1A şi ( )2,5B . Calculaţi lungimea segmentului OM , unde M este mijlocul segmentului AB .

5p 6. Arătați că 2 21

2sin45 cos45 sin 45 cos 604

° ⋅ ° − ° − ° = .



4 8A

=

și ( ) 2 14 1

aM a

a

− = +


5p a) Arătați că det 36A = . 5p b) Determinați valorile reale ale lui a pentru care matricea ( )M a este inversabilă. 5p c) Determinați numerele reale x și y pentru care ( ) ( )M x M y A⋅ = .

2. Se consideră polinomul 3 6f X mX= + − , unde m este număr real. 5p a) Arătați că ( )1 5f m= − , pentru orice număr real m . 5p b) Determinaţi numărul real m pentru care 2 2 21 2 3 4x x x+ + = , unde 1x , 2x și 3x sunt rădăcinile

polinomului f .

5p c) Pentru 7m = − , determinați numerele reale p și q , pentru care ( )( )21f X X pX q= + + + . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 3 23 3f x x x= − + . 5p a) Arătați că ( ) ( )' 3 2f x x x= − , x ∈ℝ . 5p b) Determinaţi ecuația tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă 1x = , situat pe graficul

funcției f .

5p c) Demonstrați că ( ) 1f x ≥ − , pentru orice [ )0,x ∈ +∞ .

2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( )( ]( )

23 , ,1

12 ln , 1,

x x xf x

x xx

− ∈ −∞=

+ ⋅ ∈ +∞

.


1

2f x dx−

=∫ .

5p b) Arătați că funcția f admite primitive pe ℝ .

5p c) Determinaţi numărul natural n pentru care ( )2 2 2

0

4 ln 2

2

nf x dx

− +=∫ .



Pagina 1 din 1





30 0,3 13 ⋅ − =

.

5p 2. Se consideră 1x și 2x soluțiile ecuației 2 0x x a− + = , unde a este număr real. Determinați

valorile reale ale lui a pentru care 1 2 1 0x x − < .

5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 13 9x x+ = .

5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra unităților egală cu 3 .

5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1, 1A − − şi ( )4,4B . Demonstraţi că punctele A , O şi B sunt coliniare.

5p 6. Demonstraţi că ( )2sin cos sin 2 1x x x+ − = , pentru orice număr real x . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)


1 5

2 6A

− =

, 6 5

2 1B

= −

și 21 0

0 1I

=

.


5p b) Determinaţi numărul real a pentru care 2A B aI⋅ = .

5p c) Demonstrați că 1

det 49xA Bx

+ ≥

, pentru orice număr real nenul x .

2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă ( )5 15 42x y xy x y= + + +� . 5p a) Arătaţi că ( ) ( )2 2 2− − =� . 5p b) Demonstrați că ( )( )5 3 3 3x y x y= + + −� , pentru orice numere reale x și y . 5p c) Determinați numărul real x , pentru care ( ) ( ) ( )3 3 3 197x x x− − − =� � .


1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) ( )2 xf x x e= − . 5p a) Arătaţi că ( ) ( )' 1 xf x x e= − , x∈ℝ . 5p b) Arătați că ( )lim 0

xf x

→−∞= .

5p c) Demonstrați că ( ) 0e f x− ≤ ≤ , pentru orice ( ],2x∈ −∞ . 2. Se consideră funcţia :f →ℝR , ( ) 23 1f x x= + .

5p a) Arătaţi că ( )( )1

1

1 2f x dx−

− =∫ .

5p b) Demonstrați că orice primitivă a funcției f este crescătoare pe ℝ .

5p c) Calculați ( )1

lne

f x x dx∫ .



Pagina 1 din 1


Matematică M_tehnologic

Varianta 5


5p 1. Arătați că ( )1 31 1 0,52 4

− + =

.

5p 2. Determinați abscisa punctului de intersecție a graficelor funcțiilor :f →ℝ ℝ , ( ) 3 5f x x= − și :g →ℝ ℝ , ( ) 1 3g x x= − .

5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( )3 3log 5 log 9x + = . 5p 4. După o ieftinire cu 30%, preţul unui obiect este 700 de lei. Determinați prețul obiectului înainte

de ieftinire. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )0,6A şi ( )8,0B . Determinați lungimea

medianei din vârful O în triunghiul AOB .

5p 6. Arătați că ( )2 sin 45 sin30 cos60 0⋅ ° − ° + ° = . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)


1 3

1 2A

= −

, 21 0

0 1I

=

și ( ) 21 1

xB x

=


5p a) Arătați că det 5A = . 5p b) Arătați că, dacă ( ) 23A B x I+ = , atunci ( ) 25A B x I⋅ = . 5p c) Determinați numerele reale x pentru care ( ) ( )( )2det 0B x B x I⋅ − = .

2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție ( )9 90x y xy x y= − + +� . 5p a) Arătaţi că 10 8 8=� .

5p b) Demonstrați că ( )( )9 9 9x y x y= − − +� , pentru orice numere reale x și y . 5p c) Determinați numerele naturale n pentru care 10n n ≤� .


1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2

1

3

xf x

x

−=+

.

5p a) Arătați că ( ) ( )( )( )22

3 1'

3

x xf x

x

− +=

+, x∈ℝ .

5p b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul funcției f .

5p c) Demonstrați că ( ) ( ) 113

f x f y− ≤ + ≤ , pentru orice numere reale x și y .

2. Se consideră funcţia :f →ℝR , ( ) 1xf x xe= + .


1

10

xf x dx

e−

− = ∫ .

5p b) Demonstrați că orice primitivă a funcției f este concavă pe intervalul ( ],0−∞ .

5p c) Calculați ( )1

0

xe f x dx∫ .



Pagina 1 din 1





5p 1. Arătați că ( ) ( )3 2 2 2 3 6 0− + − = . 5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 2f x x= − . Determinaţi numerele reale a , știind că ( )f a a= . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 7 52 4x x− = . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea { }1, 2, 3, 4, 5A = , acesta să verifice

relaţia 2 16n ≤ . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1,2M , ( )4,3N şi ( )6,1P . Determinaţi

lungimea segmentului MQ , unde Q este mijlocul segmentului NP .

5p 6. Arătați că sin30 sin 45 cos60 cos45 0° + ° − ° − ° = .


1. Se consideră matricele 2

1 0

0 1I

=

şi ( ) 11 2

xA x

= −


5p a) Arătați că ( )( )det 2 5A = . 5p b) Determinați numerele reale x și y pentru care ( ) ( ) 23A x A y I⋅ = . 5p c) Determinați numărul întreg p pentru care ( ) ( )( )2det 5A p A p I⋅ + = .

2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă ( ) 2x y xy x y∗ = − + + . 5p a) Arătaţi că 2 2 2∗ = . 5p b) Demonstrați că ( )( )1 1 1x y x y∗ = − − + , pentru orice numere reale x și y . 5p c) Calculați 1 2 3 2018∗ ∗ ∗ ∗… .


1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( )

2

2

1

2 2

x xf x

x x

+ +=+ +

.

5p a) Arătați că ( ) ( )( )22

2'

2 2

x xf x

x x

+=

+ +, x∈ℝ .

5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă 1x = − , situat pe graficul funcției f .

5p c) Demonstrați că ( ) ( )1 3f x f y≤ + ≤ , pentru orice numere reale x și y . 2. Se consideră funcţia :f →ℝR , ( ) 3 26 12 5f x x x x= − + + .


3

0

9f x x dx− =∫ .

5p b) Demonstrați că orice primitivă a funcției f este o funcție convexă pe ℝ .

5p c) Arătați că ( )4

2

3' 12 8

dxf x

π=+∫

.


Probă scrisă la matematică M_tehnologic Model Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic,

toate calificările profesionale Pagina 1 din 1

Examenul de bacalaureat naţional 2018

Proba E. c)


Model Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul

tehnic, toate calificările profesionale

• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. SUBIECTUL I (30 de puncte)

5p 1. Arătați că numărul ( )8 2 1 2 2n = + − este pătratul unui număr natural. 5p 2. Se consideră funcțiile :f →ℝ ℝ , ( ) 2 2f x x x= − + și :g →ℝ ℝ , ( ) 1g x x= + . Determinați

numărul real a pentru care ( ) ( )f a g a= . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 22 6 5 1x x x− + = − . 5p 4. Determinaţi câte numere naturale de trei cifre distincte au cifrele elemente ale mulțimii { }1, 2, 3, 4, 5 . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2,1A şi ( )3,0B . Determinaţi ecuația dreptei d

care trece prin mijlocul segmentului AO și este paralelă cu dreapta AB .

5p 6. Arătați că ( ) ( )2 2sin 7cos 7sin cos 50x x x x+ + − = , pentru orice număr real x . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră matricea ( )

1 2

1A m

m m

= +

, unde m este număr real.

5p a) Arătați că ( )( )det 0 1A = . 5p b) Demonstrați că ( ) ( ) ( )2 0A m A m A+ − = , pentru orice număr real m .

5p c) Determinați matricea ( )2X ∈ ℝM pentru care ( ) ( )2 5A X A⋅ = . 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 3 3 3 2x y xy x y= + + +� .

5p a) Arătați că ( )( )3 1 1 1x y x y= + + −� , pentru orice numere reale x și y .

5p b) Arătați că 2

3x x − = � , pentru orice număr real x .

5p c) Determinați numerele naturale n pentru care ( )1 17n n −



Pagina 1 din 1





4 24 15

− ⋅ =

.

5p 2. Determinați numărul real m , știind că punctul ( )1,5A aparține graficului funcției :f →ℝ ℝ , ( ) 2f x x m= + .

5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 1 1x x+ + = . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr n din mulțimea { }1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9A = , acesta

să verifice egalitatea ( )( )2 4 0n n− − = . 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )0,3M , ( )4,3N și ( )4,0P . Calculați perimetrul

triunghiului MNP .

5p 6. Arătați că 2 2sin 120 cos 30 0° − ° = . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)


1 3

3 4A

= −

și 2 2

2 2B

=

.

5p a) Arătați că det 13A = − .

5p b) Arătați că 0 10

10 0A B B A

⋅ − ⋅ = −

.

5p c) Determinați numerele reale x pentru care ( )2det 0B B xI⋅ − = , unde 21 0

0 1I

=

.

2. Se consideră polinomul 3 23 3f X X X= + − − . 5p a) Arătați că ( )1 0f = . 5p b) Determinaţi câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul 2X − .

5p c) Demonstrați că 2 2 21 2 3 11x x x+ + = , unde 1x , 2x și 3x sunt rădăcinile polinomului f . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 32 6 4f x x x= − + . 5p a) Arătați că ( ) ( )( )' 6 1 1f x x x= − + , x ∈ℝ .


1lim 0

1x

f x

x→=

−.

5p c) Demonstrați că ( )0 8f x≤ ≤ , pentru orice [ ]1,1x ∈ − . 2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2 5f x x x= + .


0

15

3f x x dx− =∫ .

5p b) Arătaţi că funcția :F →ℝ ℝ , ( ) 3 21 5 20173 2

F x x x= + + este o primitivă a funcției f .

5p c) Demonstrați că volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcţiei

[ ]: 1,2g →ℝ , ( ) ( )f xg xx

= este egal cu 1273

π.



Pagina 1 din 1





2 22 5

+ ⋅ =

.


1 2

11

x x

x x

+ − = , unde 1x și 2x sunt soluțiile ecuației 2 4 3 0x x− + = .

5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 12 8x+ = .

5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea { }1,2,3,4,5,6,7,8,9A = , acesta să fie multiplu de 4.

5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )0,3A şi ( )4,0B . Calculați perimetrul triunghiului OAB .

5p 6. Arătați că 2 2sin 150 sin 60 1° + ° = .



3 2

2 3A

=

și 1 1

1B

a

=


5p a) Arătați că det 5A = . 5p b) Determinaţi numărul real a pentru care 2B B B⋅ = .

5p c) Arătați că ( )det 0A B B A⋅ − ⋅ ≥ , pentru orice număr real a . 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 3 3 12x y xy x y= − − +� .

5p a) Arătaţi că 1 3 3=� .

5p b) Demonstrați că ( )( )3 3 3x y x y= − − +� , pentru orice numere reale x și y . 5p c) Determinați numărul real x , pentru care ( ) 3x x x =� � .


1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 3 6 2f x x x= + + . 5p a) Arătaţi că ( ) ( )2' 3 2f x x= + , x∈ℝ . 5p b) Arătați că

( )0

'lim 3

2x

f x

x→=

+.

5p c) Demonstrați că ( )5 9f x− ≤ ≤ , pentru orice [ ]1,1x∈ − . 2. Se consideră funcţia :f →ℝR , ( ) 34f x x x= − .


0

1f x x dx+ =∫ .

5p b) Arătaţi că ( )( )1

3

0

4 1xx f x e dx− =∫ .

5p c) Determinaţi aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției f , axa Ox și dreptele de ecuații 1x = și 3x = .



Pagina 1 din 1






2 : 32 2

− =

.

5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 1f x x= + . Calculați ( ) ( )1 1f f− ⋅ . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 23 9x+ = . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea { }11, 22,33,44,55,66,77,88,99A = ,

acesta să fie multiplu de 2.

5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2,1A şi ( )2, 1B − . Arătați că AO OB= .


sin 45 cos 604

° − ° = .



1 3

3 1A

=

și 0 2

2B

x

=



5p b) Arătați că 22 8A A A I⋅ − = , unde 21 0

0 1I

=

.

5p c) Demonstrați că ( )det 0A B B A⋅ − ⋅ ≥ , pentru orice număr real x . 2. Se consideră polinomul 3 22 3 2f X X X= + − − .

5p a) Arătați că ( )1 2f = . 5p b) Determinaţi câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul 1X + . 5p c) Determinați rădăcinile polinomului f .


1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 4 22 12f x x x= − + . 5p a) Arătați că ( ) ( )( )' 4 1 1f x x x x= − + , x∈ℝ .


2

4

1 1lim

2xx

f x x→+∞

+ = −−

.

5p c) Determinaţi ecuația tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă 1x = , situat pe graficul funcției f .

2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 23 2 4f x x x= + − .


1

2 4 7f x x dx− + =∫ .

5p b) Determinați primitiva F a funcției f pentru care ( )1 2017F = .

5p c) Determinaţi numărul real a pentru care ( ) 31

2a

f x dx a= −∫ .



Pagina 1 din 1






2 : 23 6

+ =

.

5p 2. Arătați că ( )21 2 1 26 1x x x x+ − = , unde 1x și 2x sunt soluțiile ecuației 2 5 4 0x x− + = . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 5 2x − = . 5p 4. După o ieftinire cu 25%, preţul unui televizor este 600 de lei. Determinați preţul televizorului

înainte de ieftinire.

5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )0,0O şi ( )8,6M . Calculaţi distanța dintre punctele O și M .

5p 6. Arătați că 2 2sin 135 sin 45 1° + ° = .



1 2

0 2A

=

și 1 2

2 0B

− − =

.


5p b) Arătați că ( )( ) 0 00 12

A B B A

+ − = − .

5p c) Determinați matricea ( )2X ∈ ℝM , știind că A X B⋅ = . 2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă 3x y x y∗ = + − .

5p a) Arătaţi că 1 2 0∗ = .

5p b) Determinați numerele reale x pentru care ( )2 1x x∗ = − . 5p c) Determinați numerele naturale nenule n pentru care 3n n n n∗ ∗ ∗ < .


1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 3 22f x x x x= + + . 5p a) Arătați că ( ) ( )( )' 1 3 1f x x x= + + , x∈ℝ .

5p b) Arătați că ( )( )

1lim

' 3x

f x

x f x→+∞= .

5p c) Demonstrați că ( ) 427

f x ≥ − , pentru orice [ )1,x∈ − +∞ .

2. Se consideră funcţia :f →ℝR , ( ) 2 1f x x x= + + .


2

0

11

2f x x dx− − =∫ .

5p b) Demonstrați că funcţia :F →ℝR , ( ) 3 21 1 20173 2

F x x x x= + + + este o primitivă a funcţiei f .

5p c) Determinaţi numărul natural n , ştiind că suprafaţa plană delimitată de graficul funcţiei f , axa

Ox şi dreptele de ecuaţii 0x = și 2x = are aria egală cu 2 73

n − .

Ministerul Educaţiei Naționale și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare


toate calificările profesionale

Pagina 1 din 1


Proba E. c)


Model Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul



5p 1. Arătați că 1 1 5: 12 3 6

+ =

.

5p 2. Se consideră funcția : ,f →ℝ ℝ ( ) 2 3f x x= + . Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficului funcției f cu axa Oy .

5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( )2lg 5 lg9x + = . 5p 4. După o ieftinire cu 10% , preţul unui obiect este 270 de lei. Calculați prețul obiectului înainte de

ieftinire.

5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )3,1A şi ( )3,5B . Calculați distanța de la punctul ( )0,0O la mijlocul segmentului AB .

5p 6. Dacă 0,2

xπ ∈

și 2cos

2x = , arătați că tg 1x = .



1 2

4 8A

=

, 8 4

2 1B

=

şi 21 00 1

I =

.

5p a) Calculați det A .

5p b) Arătați că ( ) ( ) 29 45A B A B B A I+ − ⋅ + ⋅ = . 5p c) Determinați numerele reale x , pentru care ( )2det 0A xI+ = .

2. Se consideră polinomul 3 23 6 8f X X X= − − + .

5p a) Arătați că ( )2 8f = − . 5p b) Determinaţi câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul 1X − .

5p c) Demonstrați că ( ) ( ) ( )22 21 2 31 1 1 30x x x+ + + + + = , unde 1x , 2x și 3x sunt rădăcinile polinomului f .


1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 3 22 9 12 1f x x x x= − + + . 5p a) Arătați că ( ) ( )( )6 1 2f x x x′ = − − , x∈ℝ .


( )

32lim

'x

x f x

f x→+∞

−.

5p c) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă 1x = , situat pe graficul funcţiei f .

2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2 2f x x x= − .


1

22

3f x x dx

−

+ =∫ .

5p b) Calculați ( )( )1

2

0

xe x f x dx−∫ .

5p c) Demonstrați că suprafaţa plană delimitată de graficul funcţiei f , axa Ox şi dreptele de ecuaţii

0x = şi 1x = are aria egală cu 23

.



Pagina 1 din 1




5p 1. Arătați că 11 :0,5 02

− = .

5p 2. Arătați că ( )1 2 1 22 1x x x x+ − = , unde 1x și 2x sunt soluțiile ecuației 2 8 15 0x x− + = . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 5 1 6x + = . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea { }1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8A = , acesta să fie

divizibil cu 2.

5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )6,0A şi ( )0,8B . Calculați lungimea segmentului AB .

5p 6. Calculați lungimea laturii AB a triunghiului ABC , dreptunghic în A , știind că 3 2BC = și ( ) 45m B = °∢ .



1 0

2 1A

= −

și 21 0

0 1I

=

.

5p a) Arătați că det 1A = . 5p b) Arătați că 2 2A A I A⋅ + = .

5p c) Determinaţi numerele reale a , b și c , pentru care 22

1 1

a bA I

c

− ⋅ = +

.

2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 3 3 6x y xy x y= + + +� . 5p a) Arătaţi că ( )1 3 3− = −� . 5p b) Demonstrați că ( )( )3 3 3x y x y= + + −� , pentru orice numere reale x și y . 5p c) Determinați valorile reale ale lui x , pentru care x x x≤� .


1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 3 22 3 7f x x x= − + . 5p a) Arătaţi că ( ) ( )' 6 1f x x x= − , x∈ℝ .


2

11lim 12

2x

f x

x→

−=

−.

5p c) Demonstrați că ( ) 6f x ≥ , pentru orice [ )0,x∈ +∞ . 2. Se consideră funcţia :f →ℝR , ( ) 2 3f x x x= + .


1

23

3f x x dx

−

− =∫ .


2

0

3xf x x e dx− =∫ .

5p c) Determinaţi volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcţiei

[ ]: 1,2g →ℝ , ( ) ( )3 f xg xx

= .



Pagina 1 din 1




5p 1. Arătați că 3 11 : 14 4

− =

.

5p 2. Se consideră funcția :f →ℝ ℝ , ( ) 2 1f x x= − . Calculați ( ) ( )1 1f f− + . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 4 4x + = . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea { }1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10A = , acesta

să fie multiplu de 3.

5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )0,0O , ( )0,5A şi ( )5,0B . Arătați că triunghiul AOB este isoscel.

5p 6. Calculați aria triunghiului ABC , dreptunghic în A cu 4AB = și 3AC = . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)


1 2

1 1A

=

și 21 0

0 1I

=

.

5p a) Arătați că det 1A = − . 5p b) Arătați că 22A A A I⋅ − = .

5p c) Determinați numărul real x , pentru care 2A B I⋅ = , unde 1

1 1

xB

x

− = − −

.

2. Se consideră polinomul 3 25 4f X X= + − . 5p a) Arătați că ( )1 2f = . 5p b) Determinaţi câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul 1X + .

5p c) Demonstrați că 2 3 3 1 1 21 2 3

3x x x x x x

x x x

+++

+ = −+

, unde 1 2,x x și 3x sunt rădăcinile polinomului f .

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 33f x x x= − . 5p a) Arătați că ( ) ( )2' 3 1f x x= − , x ∈ℝ . 5p b) Arătați că ( )

lnlim 0

x

x

f x→+∞= .

5p c) Determinaţi ecuația tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă 1x = , situat pe graficul funcției f .

2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 3 2 1f x x x x= − + − .


2

1

1 0f x x x dx−

+ − + =∫ .

5p b) Arătaţi că funcția :F →ℝ ℝ , ( )4 3 2

4 3 2

x x xF x x= − + − este o primitivă a funcției f .


[ ]g : 1,2 →ℝ , ( ) ( )2 1f x

g xx

=+

.



Pagina 1 din 1




5p 1. Arătați că 1 1 10 12 5 3

− ⋅ =

.

5p 2. Determinați numărul real a , știind că punctul ( )1, 0A aparține graficului funcţiei :f →ℝ ℝ , ( )f x x a= − .

5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 1 5x + = . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea { }10, 20,30,40,50,60,70, 80,90M = ,

acesta să fie multiplu de 30. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )3,5A şi ( )7,5B . Determinaţi coordonatele

mijlocului segmentului AB .

5p 6. Dacă 0,2

xπ ∈

și

5cos

13x = , arătați că 12tg

5x = .



1 0A

= −

şi 0 1

1 1B

− =

.


5p b) Arătați că 2B B A O⋅ + = , unde 20 0

0 0O

=

.

5p c) Determinați numerele reale x și y , pentru care 2 0

0 4

x

yA B

+ =

.

2. Se consideră polinomul 3 22 2 1f X X X= − − + . 5p a) Arătați că ( )1 2f = − . 5p b) Determinaţi câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul 1X + .

5p c) Demonstrați că ( )( )( )2 3 3 1 1 2 3x x x x x x+ + + = − , unde 1 2,x x și 3x sunt rădăcinile polinomului f . SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 3 3 2f x x x= − + + . 5p a) Arătați că ( ) ( )( )' 3 1 1f x x x= − + , x ∈ℝ .


2lim 9

2x

f x

x→= −

−.

5p c) Demonstrați că ( ) 4f x ≤ , pentru orice [ )1,x ∈ − +∞ . 2. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 2f x x= + .


1

2 0f x dx−

− =∫ .

5p b) Arătați că ( )1

0

2 1xe f x dx e= −∫ .

5p c) Determinaţi numărul real a , știind că ( ) ( )( )6

0 0

4a a

f x dx f x dx−

= −∫ ∫ .



Pagina 1 din 1




5p 1. Arătați că 1 1 1: 13 4 12 − =

.

5p 2. Arătați că ( )1 2 1 24 3 2x x x x+ − = , unde 1x și 2x sunt soluțiile ecuației 2 5 6 0x x− + = . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 1 2x − = . 5p 4. După o ieftinire cu 10%, preţul unui obiect este 90 de lei. Determinați prețul obiectului înainte de

ieftinire. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )5,1A şi ( )3,1B . Calculați lungimea segmentului

AB .

5p 6. Dacă 0,2

xπ ∈

și

4cos

5x = , arătați că 3sin

5x = .



2 3

3 2A

=

și 1

1

xB

x

=


5p a) Arătați că det 5A = − . 5p b) Arătați că A B B A⋅ = ⋅ , pentru orice număr real x .

5p c) Determinați numărul real x , pentru care ( ) 23A A A B I⋅ − + = , unde 2 1 00 1I =

.

2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

1

3x y xy x y∗ = + + .

5p a) Arătaţi că ( )1 3 3∗ − = − .

5p b) Demonstrați că ( )( )1 3 3 33

x y x y∗ = + + − , pentru orice numere reale x și y .

5p c) Determinați numerele reale nenule x , pentru care 1

3xx

∗ = − .


1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 3 3f x x x= − . 5p a) Arătați că ( ) ( )( )' 3 1 1f x x x= − + , x ∈ℝ .


0

3lim 0x

f x x

x→

+= .

5p c) Demonstrați că ( ) 2f x ≥ − , pentru orice [ )1,x∈ − +∞ . 2. Se consideră funcţia :f →ℝR , ( ) 4 1f x x x= + + .


0

11

5f x x dx− − =∫ .


4

1

11 ln

4

ee

f x x x dx+− − =∫ .

5p c) Determinaţi aria suprafeţei plane delimitate de graficul funcţiei f , axa Ox și dreptele de ecuaţii 0x = şi 1x = .



Pagina 1 din 1





5p 1. Arătați că 11 :0,25 04

− = .

5p 2. Calculați ( ) ( )1 1f f− ⋅ , unde :f →ℝ ℝ , ( ) 1f x x= + . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 3 5x − = . 5p 4. Un obiect costă 100 de lei. Determinaţi prețul obiectului după o scumpire cu 20%.

5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2,4A şi ( )5,4B . Calculați distanța de la punctul A la punctul B .

5p 6. Calculați lungimea laturii AB a triunghiului ABC , dreptunghic în A , știind că 6AC = și 4

Bπ= .



1 2

1 2A

= −

și 1

1

xB

y

= −

, unde x și y sunt numere reale.


5p b) Arătați că ( )det 2 0A B− = , pentru orice numere reale x și y . 5p c) Determinați numerele reale x și y , pentru care A B B A⋅ = ⋅ .

2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 2 2 2x y xy x y= + + +� .

5p a) Arătaţi că ( )1 2 2− = −� . 5p b) Demonstrați că ( )( )2 2 2x y x y= + + −� , pentru orice numere reale x și y .

5p c) Determinați numerele reale nenule x , pentru care 1

x xx

=� .


1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 3 2 1f x x x x= + − + . 5p a) Arătaţi că ( ) 2' 3 2 1f x x x= + − , x∈ℝ .


( )'

lim 3x

x f x

f x→+∞= .

5p c) Determinați abscisele punctelor situate pe graficul funcţiei f în care tangenta la graficul funcţiei

f este paralelă cu dreapta 4 1y x= + .

2. Se consideră funcția :f →ℝR , ( ) 5 3 2f x x x x= + + .


3

1

2 0f x x x dx−

− − =∫ .

5p b) Arătați că ( )( )2

5 3 2

0

1 3 1xe f x x x dx e− − + = +∫ .

5p c) Demonstrați că orice primitivă a funcției f este convexă pe R .

Ministerul Educaţiei și Cercetării Științifice Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare



Pagina 1 din 1


Proba E. c)


Model

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul



5p 1. Arătați că 1 1 1 11 1 12 3 4 4

− − − =

.

5p 2. Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției :f →ℝ ℝ , ( ) 2 3 2f x x x= − + cu axa Ox .

5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( )5log 2 1 2x − = . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea { }10,20,30,40,50,60,70,80,90A = ,

acesta să fie divizor al lui 1000 .

5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )0,0O , ( )0,3A şi ( )4,0B . Calculați perimetrul triunghiului AOB .


sin5

x = , știind că 0,2

xπ ∈

și

4cos

5x = .



1 1

0 0A

− =

și 21 0

0 1I

=

.

5p a) Arătați că det 0A= .

5p b) Verificați dacă ( )2 2A A I O⋅ + = , unde 20 0

0 0O

=

.

5p c) Determinați numerele reale m pentru care det 0B= , unde 2B A A mI= ⋅ + .

2. Se consideră polinomul 3 2 4 4f X X X= + + + .

5p a) Arătați că ( )1 0f − = . 5p b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul 2 3 2X X+ + .

5p c) Demonstrați că 1 2 3 1 2 2 3 3 1

1 1 1 1 1 1 3

4x x x x x x x x x+ + + + + = − , unde 1x , 2x și 3x sunt rădăcinile

polinomului f .


1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 3 12f x x x= − .

5p a) Arătați că ( ) ( )( )' 3 2 2f x x x= − + , x∈ℝ . 5p b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției f în punctul de abscisă 2x = , situat pe graficul

funcției f .

5p c) Arătați că ( )16 16f x− ≤ ≤ , pentru orice [ ]2,2x∈ − . 2. Se consideră funcţia :f → ℝR , ( ) 4 25 3 1f x x x= + + .


2

0

3 1 1f x x dx− − =∫ .

5p b) Calculați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției f , axa Ox și dreptele de ecuații

1x = și 2x = . 5p c) Demonstrați că orice primitivă a funcției f este crescătoare pe ℝ .



Pagina 1 din 1


Proba E. c) Matematică M_tehnologic

Varianta 1 Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale


5p 1. Arătați că 1 :0,5 1 02

− = .

5p 2. Calculați ( ) ( ) ( )1 0 1f f f− + + , unde :f →ℝ ℝ , ( ) 2f x x x= + . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 1 5x + = . 5p 4. Un obiect costă 150lei. Calculați prețul obiectului după o scumpire cu 30%. 5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1,5A şi ( )3,5B . Determinaţi distanța de la

punctul A la punctul B . 5p 6. Calculați lungimea laturii AB a triunghiului ABC dreptunghic în A , știind că 5AC = și

( ) 45m B = °∢ . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)


2 2

1 1M

− = − −

și 21 0

0 1I

=

.

5p a) Arătați că det 4M = .

5p b) Arătați că 2 23 4M M M I O⋅ + + = , unde 20 0

0 0O

=

.

5p c) Determinaţi numerele reale a și b astfel încât 2M M M aM bI⋅ ⋅ = + .

2. Se consideră polinomul 3 25 5 1f X X X= − + − .

5p a) Arătați că ( )1 0f = . 5p b) Arătați că ( ) ( ) 2 0f a f a+ − + ≤ , pentru orice număr real a . 5p c) Demonstrați că 2 2 21 2 3 1 2 315x x x x x x+ + = , unde 1 2,x x și 3x sunt rădăcinile polinomului f .


1. Se consideră funcţia : →ℝ ℝf , ( ) 32 6 1f x x x= − + . 5p a) Arătați că ( ) ( )( )' 6 1 1f x x x= − + , x∈ℝ . 5p b) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă 1x = , situat pe graficul

funcției f .

5p c) Demonstraţi că ( ) ( ) ( ) ( )2012 2014 2013 2015f f f f+ ≤ + . 2. Se consideră funcţia :f →ℝR , ( ) 2 4f x x= − .


0

14

3f x dx+ =∫ .

5p b) Determinați aria suprafeţei plane delimitate de graficul funcţiei :g →ℝ ℝ , ( ) ( )1

5g x

f x=

+, axa

Ox și dreptele de ecuații 0x = și 1x = .

5p c) Determinaţi numărul real a , 1a > , pentru care ( )

1

412

a f xdx

x

+=∫ .



Pagina 1 din 1




• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.


5p 1. Arătați că media geometrică a numerelor 16a = și 9b = este egală cu 12. 5p 2. Determinaţi numărul real m pentru care ( )2 0f = , unde :f →ℝ ℝ , ( )f x x m= + . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 1 53 3x+ = . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea { }1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9A = , acesta să

fie multiplu de 2.

5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )1,3A − şi (5,3)B . Determinaţi coordonatele mijlocului segmentului AB .


sin2


xπ ∈

și

3cos

2x = .



1 3

2 1A

=

, 4 0

0 4B

− =

şi ( ) 12 3

xC x

=


5p a) Arătați că det 5A = − . 5p b) Arătați că ( )( )det 1 detA C B+ − = . 5p c) Determinați numărul real x pentru care ( ) ( )C x A A C x B⋅ − ⋅ = .

2. Se consideră polinomul 3 22 6 3f X X X= + − + .

5p a) Arătați că ( )1 0f = . 5p b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul 2 3 3X X+ − .

5p c) Demonstrați că 1 2 31 2 3

1 1 1 0x x xx x x

+ + + + + = , unde 1x , 2x și 3x sunt rădăcinile polinomului f .


1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 3 3 1f x x x= − + . 5p a) Arătați că ( ) ( )( )' 3 1 1f x x x= − + , x∈ℝ .

5p b) Calculați ( ) 3

limx

f x x

x→+∞

−.

5p c) Arătați că ( )1 3f x− ≤ ≤ , pentru orice [ ]1,1x∈ − .

2. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ →ℝ , ( ) 12f x xx

= + .


2

15f x dx

x − = ∫ .

5p b) Demonstrați că funcția ( ): 0,F +∞ →ℝ , ( ) 2 ln 2015F x x x= + + este o primitivă a funcției f . 5p c) Determinaţi volumul corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcţiei

[ ]: 1,2g →ℝ , ( ) ( ) 2g x f x x= − .



Pagina 1 din 1



Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale


5p 1. Arătați că 1 1 20 22 5 7

+ ⋅ =

.

5p 2. Determinați numărul real a , știind că punctul ( ), 0A a aparține graficului funcţiei :f →ℝ ℝ , ( ) 2f x x= − .

5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 4x + = . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea { }10, 20,30,40,50,60,70, 80,90M = ,

acesta să fie multiplu de 15.

5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )4,2A şi ( )4,6B . Determinaţi coordonatele mijlocului segmentului AB .


sin13


xπ ∈

și

5cos

13x = .



1 2

3 4A

=

, 4 3

2 1B

=

și 1 11 1

C =

.

5p a) Arătați că det 2A = − . 5p b) Arătați că 5A B C+ = .

5p c) Demonstrați că 24 25AB BA I C+ + = , unde 21 00 1

I =

.

2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție 4 4 12x y xy x y= + + +� . 5p a) Arătați că ( )5 4 4− = −� . 5p b) Arătați că ( )( )4 4 4x y x y= + + −� , pentru orice numere reale x și y . 5p c) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x x x=� .


1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 3 232 5xf x x+= + . 5p a) Arătaţi că ( ) ( )' 6 1f x x x= + , x∈ℝ .


( ) 3'

lim2x

f x

f x x→+∞ −.

5p c) Determinaţi intervalele de monotonie a funcției f . 2. Se consideră funcţia :f →ℝR , ( ) 3 24 3f x x x+= .


1

13 5dxf x x =−∫ .

5p b) Determinaţi primitiva F a funcţiei f pentru care ( )1 2015F = .

5p c) Determinaţi numărul natural n , 1n > , ştiind că ( )2

1

9n

x

f xdx =∫ .



Pagina 1 din 1






3 1− =

−.

5p 2. Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficului funcției f cu axa Oy , unde

: ,f →ℝ ℝ ( ) 22 2015f x x x= + + . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 2x + = . 5p 4. După o reducere cu 10% un obiect costă 99 de lei. Calculați prețul obiectului înainte de reducere.

5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2,1M şi ( )4,1N . Determinați lungimea segmentului MN .


sin5

x = , ştiind că 0,2

xπ ∈

și

3cos

5x = .


1. Se consideră matricea 2 1

2 1A

=

.

5p a) Arătați că det 0A = . 5p b) Determinați numărul real x pentru care A A xA⋅ = .

5p c) Arătați că ( ) ( )2 2det det 2A I A I+ + − = , unde 2 1 00 1I =

.

2. Se consideră polinomul 3 22 2 1f X X X= − − + . 5p a) Arătaţi că ( )1 2f = − . 5p b) Arătaţi că polinomul f este divizibil cu polinomul 1X + .

5p c) Determinaţi numărul real a pentru care ( )1 2 2 3 3 11 2 2 3 3 1

1 1 1a x x x x x x

x x x x x x+ + = + + , unde 1x , 2x și

3x sunt rădăcinile polinomului f .


1. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ →ℝ , ( ) 1f x xx

= − .

5p a) Arătați că ( ) 21' 1f xx

= + , ( )0,x ∈ +∞ .

5p b) Determinați ecuația asimptotei oblice spre +∞ la graficul funcției f .

5p c) Demonstrați că funcția f este concavă pe intervalul ( )0,+∞ . 2. Se consideră funcţia : →ℝ ℝf , ( ) 2 2= +f x x .


0

12

3f x dx− =∫ .

5p b) Determinaţi primitiva F a funcţiei f pentru care ( )3 5=F . 5p c) Arătați că suprafaţa delimitată de graficul funcţiei :g →ℝ ℝ , ( ) ( )xg x e f x= ⋅ , axa Ox și dreptele

de ecuații 0x = și 1x = , are aria egală cu 3 4e − .



Pagina 1 din 1





5p 1. Arătați că 1 32 : 52 10

− =

.

5p 2. Calculați ( ) ( )2 2f f− + , unde :f →ℝ ℝ , ( ) 2 4f x x= − . 5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 2 1 3x − = . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea { }1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10A = , acesta

să fie multiplu de 5.

5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( ) ( )0,0 , 0,4O M şi ( )4,0N . Arătați că triunghiul MON este isoscel.

5p 6. Calculați aria triunghiului ABC dreptunghic în A , știind că 10AB = și 12AC = . SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)


3 2

5 3A

− = −

și 21 0

0 1I

=

.


5p b) Arătați că 2 2A A I O⋅ + = , unde 20 0

0 0O

=

.

5p c) Demonstrați că ( )2det 1A aI− ≥ , pentru orice număr real a . 2. Se consideră polinomul 3 25 5f X X X= + + + .

5p a) Arătați că ( )5 0f − = . 5p b) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului f la polinomul 2 6 5X X+ + .

5p c) Demonstrați că 3 2 11 2 1 3 2 3

23

5

x x x

x x x x x x+ + = − , unde 1x , 2x şi 3x sunt rădăcinile polinomului f .

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 24 2 1x xf x− += .

5p a) Arătați că ( ) ( )( )' 4 1 1f x x x x= − + , x ∈ℝ . 5p b) Determinaţi ecuaţia tangentei la graficul funcţiei f în punctul de abscisă 1x = , situat pe graficul

funcţiei f .

5p c) Demonstrați că ( )0 1f x≤ ≤ , pentru orice [ ]1,1x ∈ − . 2. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ → ℝ , ( ) 2f x x x= + .


1

26

3f x x dx− =∫ .

5p b) Demonstrați că funcția ( ): 0,F +∞ → ℝ , ( )3 2

20153 3

x x xF x = + + este o primitivă a funcției f .

5p c) Arătați că suprafața delimitată de graficul funcției ( )0g : ,+∞ → ℝ , ( ) ( )( ) xg x f x x e= − , axa Ox și dreptele de ecuații 1x = și 2x = , are aria egală cu ( )2 1e e − .

Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare



Pagina 1 din 1


Proba E. c)


Model

Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul



5p 1. Calculați media aritmetică a numerelor ( )2 5 5a = − și 2 5b = . 5p 2. Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției :f →ℝ ℝ , ( ) 2 4 3f x x x= − +

cu axa Ox .

5p 3. Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia ( )5 5log 2 1 log 3 0x − − = . 5p 4. Calculaţi probabilitatea ca alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să

fie multiplu de 3.

5p 5. În reperul cartezian xOy se consideră punctele ( )2,4A şi ( )6,4B . Determinaţi coordonatele mijlocului segmentului AB .

5p 6. Arătați că ( ) 63sin65

a b+ = , știind că , 0,2

a bπ ∈

,

3sin

5a = și

12sin

13b = .


1. Se consideră matricea

2 2

1 1A

− = −

.

5p a) Calculaţi det A . 5p b) Determinaţi numerele reale p pentru care A A pA⋅ = .

5p c) Determinaţi matricele 0

0

bB

b

=

, ştiind că ( )det 0A B+ = , unde b este un număr real.

2. Pe mulţimea numerelor reale se defineşte legea de compoziţie dată de x y xy x y= − + +� .

5p a) Calculaţi 1 2015� .

5p b) Arătaţi că ( )( )1 1 1x y x y= − − − +� , pentru orice numere reale x şi y . 5p c) Rezolvaţi în mulţimea numerelor reale ecuaţia 3 5 1x x =� .


1. Se consideră funcţia :f →ℝ ℝ , ( ) 23

1

xf x

x=

+.

5p a) Calculați ( )1

limx

f x→

.

5p b) Arătați că ( ) ( )( )

( )223 1 1

'1

x xf x

x

− += −

+, x∈ℝ .

5p c) Determinaţi intervalele de monotonie ale funcţiei f .

2. Se consideră funcţia :f →ℝR , ( ) 5f x x x= + .

5p a) Calculați 1

5

1

x dx

−∫ .


5

0

1xf x x e dx− =∫ .


[ ]: 1,2g →ℝ , definită prin ( ) ( )3f x x

g xx

−= .

Ministerul Educaţiei Naţionale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare


Pagina 1 din 1



Filiera tehnologică: profilul servicii, toate calificările profesionale; profilul resurse, toate calificările profesionale; profilul tehnic, toate calificările profesionale

• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă 10 puncte din oficiu. • Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.


5p 1. Pentru 3a = arătați că 2 5

2 6

a

a− = .

5p 2. Determinaţi abscisa punctului de intersecţie a graficelor funcţiilor :f →ℝ ℝ , ( ) 2 3f x x= − și :g →ℝ ℝ , ( ) 1g x x= + .

5p 3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2 5 3x + = . 5p 4. Prețul unei imprimante este 120 de lei. Determinați prețul imprimantei după o scumpire cu 10%. 5p 5. În sistemul cartezian xOy se consideră punctele (2,2)A , (2,5)B și (6,5)C . Determinaţi

perimetrul triunghiului ABC .

5p 6. Calculaţi cosA ştiind că 3

sin2

A = şi unghiul A este ascuţit.



1 2

1 0A

=

, 0 1

b bB

=

şi 1 0

0 0C

=

, unde b este număr real.

5p a) Arătaţi că det 2A = − . 5p b) Determinaţi numărul real b pentru care A B AB C+ = + . 5p c) Arătaţi că ( )det 2 det detB C B A+ = − pentru orice număr real b .

2. Se consideră polinomul 3 24 2f X X X= − + + . 5p a) Arătaţi că ( )1 0f = . 5p b) Determinaţi câtul şi restul împărţirii polinomului f prin 1X − .

5p c) Arătaţi că ( )1 2 31 2 3

1 1 12x x x

x x x

+ + + + = −

ştiind că 1x , 2x și 3x sunt rădăcinile polinomului f .


1. Se consideră funcţia ( ): 0,f +∞ →ℝ , ( ) 2 lnf

liceultehnologicferdinand · ministerul educa ţiei na ționale centrul na ţional de evaluare şi...

Documents