Ministerul Educaiei al Republicii Moldova

Ministerul Educaiei al Republicii MoldovaUniversitatea Tehnic a MoldoveiSpecialitatea Ingineria Sistemelor Biomedicale

Lucrarea de laborator nr.5la disciplina Prelucrarea Semnalelor BiomedicaleTEMA : Z-Transformarea direct i factorial. Regiunea de Convergen

A efectuat:st. gr. ISBM-111 Dumitra tefan

A controlat: conf. univ, doctor Railean Sergiu

Chiinu 2014Scopul lucrrii:Studierea Z-Transformrii directe i factoriale. Determinarea Regiunii de Convergen.

Consideraii teoretice:Z-transformarea directZ-transformarea direct a semnalului x(n) este definit ca o serie de putere: (1)unde z este o variabil complex. Relaia (1) este numit Z-transformarea direct, deoarece transform semnalul din domeniul de timp x(n) n reprezentarea lui pe planul complex X(z). Procedura obinerii semnalului x(n) din X(z) se numete Z-transformarea invers..Deseori Z-transformarea semnalului x(n) se noteaz:(2)sau relaia dintre x(n) i X(z) este indicat:(3)Z-transformarea este o serie de putere infinit. Regiunea de convergen (ROC) a X(z) este un set de valori a valorii z, pentru care X(z) ia valori finite.Din punct de vedere matematic Z-transformarea semnalului x(n) este o reprezentare alternativ, compact a semnalului.Fie variabila complex z n form polar exprimat :

(4)

unde r= i z. Atunci X(z) poate fi exprimat:(5)

z=rej=r-ne-jn

n ROC a X(z), , aceast serie de putere este convergent pe 1/(1-)Deci avem perechea Z-transformrii:

ROC (10)

ROC este exteriorul unui cerc. ce are raza ||. n Figura 4 este artat graficul semnalului x(n) i Regiunea de Convergen corespunztoare acestui semnal.

Dac vom nota = 1 vom obine Z-transformarea:

ROC (11)

Fig.4

Mersul Lucrrii:1. Determinai forma factorial a z-transformrii urmtoare. AfiaiPOLE-urile i ZERO-urile transformrii obinute:

% Deterinarea formei factorialenum=[2 16 44 56 32];den=[3 3 15 18 12];[z,p,k]=tf2zp(num,den);m=abs(p);disp(ZERO-urile sunt la);disp(z);disp(POLE-urile sunt la);disp(p);disp(Constanta GAIN este la);disp(k);disp(Raza POES-urilor sunt);disp(m);sos=zp2sos(z,p,k);disp(Sectiunea de ordinul doi);disp(real(sos));zplane(num,den)

ZERO-urile sunt la -4.0000 -2.0000 -1.0000 + 1.0000i -1.0000 - 1.0000i

POLE-urile sunt la -3.2361 1.2361 0.5000 + 0.8660i 0.5000 - 0.8660i

Constanta GAIN este la 0.6667

Raza POES-urilor sunt 3.2361 1.2361 1.0000 1.0000

Sectiunea de ordinul doi 0.6667 4.0000 5.3333 1.0000 2.0000 -4.0000 1.0000 2.0000 2.0000 1.0000 -1.0000 1.0000

Deci forma factoriala a expresiei (1) va fi:

(12)

Forma de ordinul a (12) va fi urmatoarea:

Din expresia (12) Regiunea de Convergen va fi:

2. Repetai determinarea formei factoriale de ordinul I i a formei de ordinul II a unei z-transformri, selectnd constantele A i B. Afiai POLES-urile i ZERO-urile transformrii obinute:

A=A1=A2=A3=A4=A5=4B=B1=B2=B3=B4=B5=7

% Deterinarea formei factorialenum=[4 4 4 4 4];den=[7 7 7 7 7];[z,p,k]=tf2zp(num,den);m=abs(p);disp('ZERO-urile sunt la');disp(z);disp('POLE-urile sunt la');disp(p);disp('Constanta GAIN este la');disp(k);disp('Raza POES-urilor sunt');disp(m);sos=zp2sos(z,p,k);disp('Sectiunea de ordinul doi');disp(real(sos));zplane(num,den)

ZERO-urile sunt la 0.3090 + 0.9511i 0.3090 - 0.9511i -0.8090 + 0.5878i -0.8090 - 0.5878i

POLE-urile sunt la 0.3090 + 0.9511i 0.3090 - 0.9511i -0.8090 + 0.5878i -0.8090 - 0.5878i

Constanta GAIN este la 0.5714

Raza POES-urilor sunt 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

Sectiunea de ordinul doi 0.5714 -0.3532 0.5714 1.0000 -0.6180 1.0000 1.0000 1.6180 1.0000 1.0000 1.6180 1.0000

3. Determinai rspunsul de frcvene a sistemului utiliznd operatorul freqz:

X=

Pentru aceasta am culeges:

num=[0 1 0];den=[1 -0.25 -0.375];freqz(num,den,512)

4. Determinai acela rspuns, utiliznd o metod alternativ de afiare culegnd i lansnd programul:

num=[0 1 0];den=[0 -0.25 -0.375];[H,f]=freqz(num,den,512,8000);plot(f,abs(H))

5. Repetai p.3-4 pentru o alt Z-transformare determinat de X2, seletnd valorile A i B:

Pentru aceasta am culeges:

num=[2 4 5 6 8];den=[1 -0.25 -0.375 -0.455 -0.15 1];freqz(num,den,512)

Metoda alternativa de afisare:

num=[2 4 5 6 8];den=[1 -0.25 -0.375 -0.455 -0.15 1];[H,f]=freqz(num,den,512,8000);plot(f,abs(H))

6. Cercetarea Z-transformrii CZT.

- Din meniul MATLAB DEMO am selectat Toolboxex, apoi Signal processing.Am selectat Chirp Z-Transform i am lansat aplicaia apsnd Run Chirp Z-TransformPe ecran a aprut interfaa

Aceast demonstraie v permite s explorai doi algoritmi diferii de transformare i de a examina performanele lor. Acestea sunt FFT - the Fast Fourier Transform CZT - the Chirp-Z TransformFereastra de sus prezinta Z-planul, i cea de jos arat transformata unui filtru digital eliptic trece band conform punctelor n fereastra de sus. Filtrul are o banda de trecere de la 0.4 la 0.7 de la frecven Nyquist (Nyquist = Fs / 2).

7. Cercetarea amplasamentului Poleu-Zerou.

Am setat aleatoriu cele dou pole-uri (sau zero-uri) independent, sau ca perechi complexe conjugate, prin utilizarea csuelor pereche.

Am setat cele dou pole-uri i zero-uri ca perechi complexe conjugate, prin utilizarea csuelor pereche conform figurei prezentate mai jos cu scupul de a obine patru tipuri de filtre.

Filtrele obtinute cu ajutorul amplasamentului specific plasat mai sus:

Concluzii:In prezenta lucrare de laborator am aprofundat cunostintele privind Z-Transformarea precum si regiunea de convergenta cu ajutorul setului de programe MatLab. Programele scrise permit efectuarea Z-Transformarii precum si afisarea Zerourilor si Poleurilor. Pe baza informatiei obtinute poate fi afisata forma facotriala de ordinul I si II.Instrumentele demonstrationale furnizate de MatLab permitcercetarea Z-Transformarii cu ajutorul programului demonstrational Chrip Z-Transform (CZT). Demonstratia permite de a explora doi algoritmi de transformare si de a cerceta performantele lor, si anume CZT si FFT.