l1-2013

1. INTRODUCERE – PREZENTARE GENERALA

Reprezentarea “lumii reale” prin modele virtuale utilizand aplicatiile pe calculator

se regaseste in orice domeniu al ingineriei si proiectarii.

Avantajele procedeului:

• modelele virtuale, bazate pe platforme de calcul comerciale, sunt mai ieftine

decat modelele fizice (la scara) analoage;

METODA ELEMENTELOR FINITE -C1 Departamentul de Inginerie Hidrotehnica

• modelele virtuale permit analize de tip “feed back” (revenire si

adaptare/corectare), conducand in final la optimizarea sistemelor ce depind de un

numar mare de parametri.

Comportarea oricarui sistem fizic poate fi descrisa analitic prin intermediul unor

relatii matematice, precum ecuatiile cu derivate partiale sau sistemele de ecuatii

diferentiale.

Din pacate, pentru problemele practice complexe nu pot fi gasite solutii analitice,

fiind disponibile numai cateva solutii clasice ale problemelor particulare, simple,

valabile in contextul unor ipoteze simplificatoare.1

SISTEM

FIZIC

MODEL

MATEMATIC

MODEL

DISCRET

SOLUTIE

DISCRETA

IDEALIZARE DISCRETIZARE SOLUTIE


FEEDBACK – OPTIMIZARE

(MINIMIZAREA ERORII)

MEF se bazeaza pe descompunerea unui domeniu al lumii reale (sistemul fizic) intr-

un numar finit de subdomenii discrete (elemente) conectate intr-un numar finit de

puncte (noduri).

DISCRETIZAREA conduce la un sistem fizic virtual a carui comportare trebuie sa fie

cat mai apropiata de cea a sistemului fizic real, atunci cand sunt atribuite

proprietati si conditii de margine similare.2

x

y (D )

(De )

A(u) = 0B(u) = 0

(Γ )

(Γe)


x

D = domeniul de studiu

G = limita domeniului de studiu (frontiera domeniului)

De = subdomeniul (element finit)

G e= limita subdomeniului (conturul elementului finit)

o = noduri (puncte de conectare a elementelor)

3

“Ingredientele” produsului comercial MEF:

• inginerie - pentru exprimarea sistemelor de ecuatii cu derivate partiale in

concordanta cu fenomenul fizic;

• metode numerice - pentru construirea si rezolvarea sistemelor de ecuatii

algebrice;

• limbaje de programare si IT - pentru implementarea celor de mai sus

intr-o platforma comerciala, cu interfata prietenoasa.


Tipuri de variabile implicate

– variabile spatiale 1D - unidimensionale (axa orientata)

2D - doua dimensiuni (plan/suprafata)

3D - trei dimensiuni (volum)

- variabile nespatiale temperatura, potential hidraulic, timp

4

Principalele domenii ale ingineriei civile in care se aplica MEF:

• Proiectarea si verificarea structurilor – evaluarea starii de deformatie si eforturi

prin analize statice si/sau dinamice; optimizarea componentelor structurale;

evaluarea sensibilitatii structurilor la diversi parametri (temperatura, proprietatile

materialelor, conditii de margine, etc);

• Mecanica rocilor si geotehnica, interactiunea structurilor cu masivul de fundare;


• Mecanica rocilor si geotehnica, interactiunea structurilor cu masivul de fundare;

• Evaluarea fenomenelor de infiltratie; fenomene termice la structuri masive;

• Probleme de mecanica a fluidelor si interactiunea intre fluidul in miscare si

structura.

5

2. RADACINILE SI EVOLUTIA MEF

Fundamentul matematic – Mecanica elementelor structurale discrete – in

deceniul 6 al sec. XIX-lea, odata cu dezvoltatea calculului matriceal in Germania si

Marea Britanie.

Inainte de cel de-al doilea razboi mondial – tehnologia aeronautica si primele

masini de calcul mecanice – au dat principalul impuls al utiizarii algebrei

matriceale in secvente de calcul complexe.

Formularile fundamentale ale Analizei structurale bazate pe calcul matriceal, in


Formularile fundamentale ale Analizei structurale bazate pe calcul matriceal, in

functie de necunoscutele primare:

- Metoda deplasarilor;

- Metoda fortelor.

1959 – Metoda Directa a Rigiditatii (Direct Stiffness Method) – Turner, o metoda

generala si eficienta de analiza ce permitea implementarea in algoritmi de calcul

automat; premergatoarea MEF.

6

Utilizarea elementelor finite de suprafata – aplicata pentru prima oara de Turner,

Clough, Martin si Topp. Criterii riguroase de compatibilitate si completitudine au

fost formulate de Melosh si Irons (1955 – 1959).

Intre 1950 – 1960 – tot industria aeronautica a fost cea care a impulsionat

dezvoltarea MEF.


Analize structurale aprofundate pentru optimizarea aerodinamica si necesitatea

unor raspunsuri privind fenomenele de flambaj si oboseala au avut un rol

important in dezvoltarea metodei.

MEF a fost reformulata utilizand principii energetice si variationale – aplicarea

teoriei minimizarii reziduurilor ponderate.

7

Progresele tehnologice ale calculatoarelor

• 1951 – primul calculator comercial Univac I;

• 1952 Univac 1103, primul calculator cu mediu de stocare sub forma de disc

rotativ;

• 1953 primul calculator IBM, modelul 701

Desi abordarea digitala a crescut viteza si performantele de calcul, capacitatea de

stocare era foarte redusa.


Dezvoltarea limbajelor de programere

In stadiul initial al calculului digital, programarea se facea in “cod masina”, nefiind,

in principiu, accesibila inginerilor.

Dupa 1957 – a devenit disponibil primul limbaj prietenos dedicat aplicatiilor:

limbajul de programare FORTRAN pe calculatorul IBM 704.

8

Dupa 1965 MEF a fost acceptata ca metoda generala pentru rezolvarea

problemelor descrise de sisteme de ecuatii diferentiale, fiind extinsa la probleme

neliniare si nestationare (dependente de timp): analize structurale, mecanica

fluidelor, probleme de camp termic, etc.

Atingerea nivelului actual de dezvoltare a MEF (complexitate, acuratete,

minimizarea erorii) se bazeaza pe evolutia simultana a urmatoarelor conditii:


• imbunatatirii suportului matematic, prin dezvoltarea elementelor finite de inalta

precizie si a elementelor finite specializate;

• cresterea puterii de calcul prin dezvoltarea spectaculoasa a calculatoarelor

(viteza de operare si cantitatea de informatii stocate) ceea ce permite alcatuirea

unor modele de calcul din ce in ce mai complexe.

9

“Clasici” ai MEF:

M.J. Turner

R.W. Clough

H.C. Martin

L.J. Topp

J.H. Argyris

C.A. Felippa


C.A. Felippa

R.H. Gallagher

K.J. Bathé

C. Taylor

C. O. Zienkiewikz

10

Programe de calcul specializate:

NASTRAN

SAP

ANSYS

ADINA


ADINA

ABAQUS

MARC

TITUS

11

Interpretarea si verificarea rezultatelor sunt de maxima importanta.

Principalul risc pentru un utilizator neexperimentat: validarea rezultatelor fara

verificarea acestora, numai pe baza faptului ca au fost obtinute utilizand un program de

calcul consacrat.

Utilizatorul MEF trebuie sa gaseasca intotdeauna mijloacele specifice de verificare a


Utilizatorul MEF trebuie sa gaseasca intotdeauna mijloacele specifice de verificare a

rezultatelor. Rezultatele eronate sau problemele de calcul se datoreaza intotdeauna

datelor de intrare gresite, a ipotezelor de calcul eronate sau utilizarii

necorespunzatoare a comenzilor.

Calculatorul nu greseste niciodata !!!

12

3. NOTATII UZUALE (in ordine alfabetica)

[B], B matricea derivatelor functiilor de aproximare

[C], C matricea de amortizare

[D], D matricea conductivitatii

[E], E matricea de elasticitate

{ε}, εεεεvectorul deformatiilor specifice

{u}, u


{u}, u

{δ}, δδδδ vectorii deplasarilor/grade de libertate

{d}, d

{F}, F vectorul fortelor

{H}, H vectorul potentialului hidraulic

[I], I matricea unitate

13

[K], K matricea de rigiditate

[M], M matricea maselor

[N], N matricea functiilor de aproximare

[0], 0 matricea nula

{R}, R vectorul incarcarilor

{σ}, σσσσ vectorul eforturilor unitatre

{T}, T vectorul temperaturilor nodale


{T}, T vectorul temperaturilor nodale

{v}, v vectorul vitezei de infiltratie

u, v, w componentele deplasarii

δU lucru mecanic virtual al fortelor interioare

δW lucru mecanic virtual al fortelor exterioare

x, y, z coordonatele sistemului de referinta global

r, s, tcoordonate normalizate

14

4. SOLUTII DISCRETE – EXEMPLE SIMPLE

MEF este un procedeu de obtinere a unei solutii numerice (aproximare

numerica), inlocuind “solutia exacta” a unei probleme exprimate pe un

domeniu D.

Domeniul D este inlocuit cu reuniunea unor subdomenii distincte si adiacente


Domeniul D este inlocuit cu reuniunea unor subdomenii distincte si adiacente

De (elemente); geometria domeniului D este aproximata de reuniunea

subdomeniilor individuale.

Functia necunoscuta este aproximata local pe fiecare element, pe baza unei

formule de interpolare, exprimata in functie de valorile nodale ale functiei (si,

eventual, ale derivatelor sale) – in puncte amplasate pe conturul elementului

(noduri).

15

α

d

ln

1

2

3

4

5

6

7

8

α = 2π/n

ln = d sin (π/n)


Calculul perimetrului (lungimii) cercului L = ππππd by prin inlocuirea acestuia cu un

poligon inscris cu n laturi.

Perimetrul poligonului P = nln se va apropia de lungimea cercului prin cresterea

numarului de laturi n (simultan cu reducerea lungimii laturii ln).

Diferenta dintre lungimea cercului L si perimetrul poligonului P reprezinta eroarea

aproximatiei,

e = L – P.

16

Daca sistemul fizic poate fi descris analitic printr-un model matematic sub forma unei

variable sau functii exacte u(x), aceasta poate fi inlocuita pe domeniul de studiu cu o

functie aproximativa ua(x), astfel incat diferenta (eroarea)

e(x) = ua(x) - u(x)

sa fie suficient de mica pentru scopul propus.

Etape pentru definirea functie de aproximare ua(x) :

• alegerea unei functii convenabile care depinde de un numar de n parametri a ,


• alegerea unei functii convenabile care depinde de un numar de n parametri ai,

u(x, a1, a2, …, an)

• gasirea parametrilor ai astfel incat conditia anterioara sa fie satisfacuta (prin atribuirea

unei valori nule erorii in n puncte diferite ale domeniului).

Functia de aproximare u(x, a1, a2, …, an) este aleasa in mod obisnuit astfel incat sa

permita operatii de diferentiere si integrare simple, deobicei sub forma polinomiala.

17

APROXIMAREA VARIATIEI UNUI PARAMETRU FIZIC

Presupunand ca un parametru fizic poate fi masurat in numai 3 puncte in lungul

unui domeniu unidimensional cuprins intre x = 0 and x = 1 (valori discrete).

Puncte masuratori x 0 0.5 1

Valorile parametrului u(x) 10 18 12


Valorile parametrului u(x) 10 18 12

Trebuie gasita o functie de aproximare ua(x) pentru exprimarea valorilor

parametrului in orice punct al domeniului .

Alegem o functie de aproximare sub forma unui polinom de ordinul 2.

18

u(x) ≈ u(x, a1, a2, a3) = a1 + a2 x + a3 x 2

u(x = 0) = ua(x = 0) = a1 = 10

u(x = 0.5) = ua(x = 0.5) = a1 + 0.5 a2 + 0.25 a3 = 18

u(x = 1) = ua(x = 1) = a1 + a2 + a3 = 12

Cu solutia a1 = 10

a = 30


a2 = 30

a3 = –28

ua(x = 0.75) = a1 + 0.75 a2 + 0.5625 a3 = 16.75

Functia de aproximare rezulta:

ua(x) = 10 + 30x -28x2

Valoarea functie pentru x = 0.75:

19

xx1 x2 x3 x4

u1

u2

u3

u4

u

ua

u(x)

uai(x)

1 2 3 4

D1 D2 D3

D

APROXIMARE UNIDIMENSIONALA UTILIZAND DOMENII DISCRETE


Definirea geometriei noduri: 1, 2, 3, 4

coordinate nodale: x1, x2, x3, x4

domeniul complet: D: x1 < x < x4

domenii discrete D1 : x1 < x < x2

D2 : x2 < x < x3

D3 : x3 < x < x4

Functia de aproximare : uae(x) lineara pe fiecare element

Valori nodale cunoscute: u1, u2, u3, u4

20

Etape:

1 – identificarea subdomeniilor (elementelor) De ∈ D, ∑De ≈ D;

2 – definirea unei functii de aproximare ua(x)e pe fiecare element, prin aplicarea

metodei aproximarii nodale

Caracteristici ale metodei de aproximare:


1 – fiecare functie ua(x)e este definita utilizand numai variabilele nodale atasate

elementului De;

2 – functia de aproximare ua(x)e trebuie sa fie continua pe sub-domeniul De;

3 - functia de aproximare ua(x)e trebuie sa satisfaca anumite conditii de continuitate la

granita intre sub-domenii (elemente)

21

Element 1 (D1) ua1(x)= N1 u1 + N2 u2 x1 ≤ x ≤ x2

cu

21

21

xx

xxN

−

−=

12

12

xx

xxN

−

−=

31

xx

xxN

−

−= 2

2xx

xxN

−

−=


cu


32 xx −23

2xx −

43

4

1xx

xxN

−

−=

34

3

2xx

xxN

−

−=


cu

22

Functiile de aproximare uae(x) si functiile Ni(x) au exprimari similare dar sunt

diferite pe fiecare element De datorita valorilor coeficientilor polinomiali.

Suma functiilor ua1(x), ua

2(x), ua3(x) formeaza functia de aproximare pe domeniul

complet D.

Observatii:

1. Desi continuitatea functiilor de aproximare uai(x) este asigurata in punctele

nodale xi (functiile adiacente au aceeasi valoare), pantele graficelor difera

(derivatele au valori diferite);


(derivatele au valori diferite);

2. Functia de aproximare poate fi cautata pe domeniul D si sub forma unui

polinom de ordinul 3 de forma:

u(x) ≈ u(x, a1, a2, a3, a4) = a1 + a2 x + a3 x2 + a4 x3

Conform valorilor nodale cunoscute ale functiei, se determina cei 4 parametrii

ai (coeficientii polinomiali).

O aceeasi problema de aproximare poate fi rezolvata fie utilizant functii

lineare simple pe domenii discrete, fie prin functii de aproximare de ordin

superior pe intregul domeniu.

23

BARAJ BRADISOR – ANALIZA STRUCTURALA


24


Model 3D in elemente finite – axonometrie amonte

25


Model 3D in elemente finite – axonometrie aval

26

Rocă 1

Rocă 2

Rocă 3

a. Vedere amonte


b. Vedere aval

Model 3D in elemente finite – zonarea materialelor

27


Distribuţia presiunii hidrostatice pe paramentul amonte (KN/m2)

28


Distribuţia maselor adiţionale pe paramentul amonte

29


Greutate proprie+presiune hidrostaticâ –

deplasări amonte - aval (uy) (m)

Greutate proprie+presiune hidrostaticâ –

deplasări mal drept – mal stâng (ux) (m)

30


Greutate proprie+presiune hidrostaticâ -

deplasări verticale (uz) (m)

31

a. Faţa aval


Greutate proprie+ presiune hidrostatică - Eforturi principale σ1 (KN/m2)

b. Faţa amonte

32

a. Faţa aval


Greutate proprie+ presiune hidrostatică (GP+PH) - Eforturi principale σ3 - (KN/m2)

b. Faţa amonte

33


Greutate proprie+ presiune hidrostatică – Eforturi principale σ1 (KN/m2)

Sectiune 1 – 1 (maestră) Seciune 2 – 2 Sectiune 3 - 3

34


Greutate proprie + presiune hidrostatică – Eforturi principale σ3 (KN/m2)


35

Greutate proprie + presiune hidrostatică – Eforturi principale σ1 (KN/m2)


Greutate proprie + presiune hidrostatică – Eforturi principale σ3 (KN/m2) 36

Dinamic - Lac plin – modul 1 de vibraţie – T1 = 0.270 sec Dinamic - Lac plin – modul 2 de vibraţie – T2 = 0.252 sec




37

a. Faţa aval


Dinamic - greutate proprie+ presiune hidrostatică+cutremur de verificare (GP+PH+MCE)

- Eforturi principale σ1 (KN/m2)

b. Faţa amonte

38

a. Faţa aval


Dinamic - greutate proprie+ presiune hidrostatică+cutremur verificare (GP+PH+MCE)

- Eforturi principale σ3 (KN/m2)

b. Faţa amonte

39



– Eforturi principale σ1 (KN/m2)


40




– Eforturi principale σ3 (KN/m2) 41



a. Arc cota +435 mdM

b. Arc cota +415 mdM


a. Arc cota +435 mdM

b. Arc cota +415 mdM



42

CLADIRI – ANALIZA STRUCTURALA


Structura cladire 2S+P+5E 43

METODA DIRECTA A RIGIDITATII (DSM)

Cel mai simplu element structural este bara dublu articulata (pendulul), capabila

sa preia numai forta axiala (forta taietoare si momentul incovoietor sunt zero).

2 Fx=10210

)2()1( == LL


1 3

(1) (2)

(3)

Fy = -20

Nivelul efortului unitar in fiecare componenta structurala se considera suficient de

redus astfel incat materialul sa se gaseasca in domeniul linear-elastic de

comportare si este exclusa pierderea stabilitatii (flambajul).

2100)2()1( == EAEA

100)3( =EA

20)3( =L

44

FORTE SI DEPLASARI NODALE

Geometria barei este referentiata fata de un sistem de coordonate carteziene,

Sistemul Global de Coordonate.

Principalii parametri ai problemei, fortele si deplasarile nodale sunt, pe

componente:

2fx,2,u2

fy,2,v2

L(2)=10

EA(2)=100

L(1)=10

EA(1)=100


L(3)=20

EA(3)=100

1 3

(1) (2)

(3)

fx,3,u3fx,1,u1

fy,3,v3fy,1,v1

x

y

[ ] T

yxyxyx ffffff3,3,2,2,1,1,

=f

[ ]T

vuvuvu 332211=δ

45

SISTEMUL GLOBAL DE ECUATII

Sistemul global de ecuatii exprima echibrul structural al problemei.

Matricea de rigiditate globala face legatura intre deplasarile nodale δδδδ si fortele

nodale f, inainte de precizarea conditiilor de margine.

11313121211111 xyxxxyxxxyxxx

f

fu

kkkkkk

kkkkkk


=

⋅

3

3

2

2

1

3

3

2

2

1

333323231313

3333213231313

323222221212

323222221212

313121211111

y

x

y

x

y

yyxyyyxyyyxy

yxxxyxxxyxxx

yyxyyyxyyyxy

yxxxyxxxyxxx

yyxyyyxyyyxy

f

f

f

f

f

v

u

v

u

v

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

kkkkkk

Kδδδδ = f

K – matricea de rigiditate globala

46

Termenii matricii de rigiditate pot fi interpretati prin alegerea unui vector al

deplasarii δδδδ astfel incat toate componentele sale sa fie 0 cu exceptia componentei

“i”, care este 1.

Coloana “i” a matricii de rigiditate devine astfel vectorul fortelor f.

0

0

31yx

k

k


=

1

0

0

0

0

δ

=

33

33

32

32

31

yy

yx

yy

yx

yy

k

k

k

k

k

fSpre exemplu,

dacavectorul fortelor devine

47

ECUATII DE ECHILIBRU IN COORDONATE LOCALE – ETAPELE DESCOMPUNERII

STRUCTURII

1. Separarea (deconectarea) componentelor

2

(1) (2)


1 3(3)

x

y

Fiecarei componente (e), (e = 1, 2, 3), i se ataseaza un sistem de coordonate

carteziene local, cu axa x orientata in lungul barei, sensul pozitiv fiind ales prin

conventie de la nodul i spre nodul j, i < j.

Sistemul de coordonate este denumit si sistem de coordonate atasat.

48

2. Localizare

Pentru componenta generica, sistemul local de coordonate este ( )yx,

fy,i,vi fy,j,vj


i j

(e)fx,i,ui fx,j,uj

L d

ks=EA/LF F

49

3. Ecuatiile de echilibru pe componente

Componentele vectorilor forta si deplasare sunt legate intre ele prin relatii de

echilibru exprimate prin relatiile

fδk =

xiixiyjxixjxiyixixi

f

f

v

u

kkkk

kkkk


=

yj

xj

yi

j

j

i

yjyjyjxjyjyiyjxi

xjyjxjxjxjyixjxi

yiyjyixjyiyiyixi

f

f

f

v

u

v

kkkk

kkkk

kkkk

in care vectorii sunt denumiti forte nodale componentale si deplasari nodale

componentale, iar matricea este matricea de rigiditate componentala.

50

Utilizand echivalenta cu resortul elastic, expresia fortei axiale este

dL

EAdkF s ==

Care poate fi exprimata in termenii fortelor si deplasarilor nodale ca:

xixj ffF −= ij uud −=


=

−

−

yj

xj

yi

xi

j

j

i

i

f

f

f

f

v

u

v

u

L

EA

0000

0101

0000

0101

dezvoltare din care se pune in evidenta matricea de rigiditate componentala.

51

PROCESUL DE ASAMBLARE

Asamblarea presupune doua etape: transformarea inversa a fiecarei

componente in sistemul de coordonate global si sumarea ecuatiilor pentru

formarea sistemului global de ecuatii.

1. Transformarea coordonatelor

Aceata etapa defineste relatia matriceala de transformare a fortelor si


Aceata etapa defineste relatia matriceala de transformare a fortelor si

deplasarilor nodale dintr-un sistem de coordonate in altul (local si global).

i

j

(e)

xy

ϕ

iu

iuiv

iv

jv

jv

ju

ju

svcuu iii += cvsuv iii +−=

svcuu jjj += cvsuv jjj +−=

52

−

−=

j

j

i

i

j

j

i

i

v

u

v

u

cs

sc

cs

sc

v

u

v

u

00

00

00

00

Matricea cu termenii c si s se numeste matricea transformarii deplasarilor

Td.


Matricea transformarii fortelor Tf este folosita pentru exprimarea fortelor in

sistemul de coordonate global pe baza fortelor nodale din sistemul de

coordonate local.

−

−

=

yj

xj

yi

xi

yj

xj

yi

xi

f

f

f

f

cs

sc

cs

sc

f

f

f

f

00

00

00

00

53

Matricea transformarii fortelor este transpusa matricii transformarii

deplasarilor

TTT == Tfd

2. Globalizare

Lucrand in sistemul de coordonate global este necesar sa introducem indicele

componentei e. Ecuatiile de echilibru componentale in sistemul global de


componentei e. Ecuatiile de echilibru componentale in sistemul global de

coordonate vor fi:

)()()( eeeδkf =

)()()( eeeδTδ =

( ) )()()( eTeefTf =

54

( ) )()()()( eeTeeTkTk =

Calculand produsul matriceal, matricea de rigiditate componentala exprimata

in sistemul global de coordonate devine:


−−

−−

−−

−−

=

22

22

22

22

)(

)()()(

sscssc

sccscc

sscssc

sccscc

L

AEe

eee

k

55

δkf =

δkTfTTT =

δkTfT=

T δδ =

TδTδT11 −− =

Expresia matricii de rigiditate exprimata in coordonate globale prin utilizarea

matricelor de transformare:

a.

b.

c.


56

δTδ1−=δTTkTf

1−= T

TδkTfT=

TkTkT=

b : multiplicarea la stanga cu TT

d : multiplicarea in mijloc cu TT-1

d.

e.

f.

Astfel, inlocuind datele geometrice, matricele de rigiditate componentale in

sistemul global devin:

- componenta (1), ϕ = 45°, 2

2== sc

−−

−−

−−

−−

=

5.05.05.05.0

5.05.05.05.0

5.05.05.05.0

5.05.05.05.0

210

2100)1(k


- componenta (2), ϕ = - 45°, ,2

2=c

2

2−=s

−−

−−

−−

−−

=

5.05.05.05.0

5.05.05.05.0

5.05.05.05.0

5.05.05.05.0

210

2100)2(k

57

- componenta (3), ϕ = 0°, c = 1, s = 0

−

−

=

0000

0101

0000

0101

20

100)3(k

3. Reguli de asamblare

Elementul esential in procesul de asamblare il reprezinta “plasarea” corecta a


Elementul esential in procesul de asamblare il reprezinta “plasarea” corecta a

contributiei fiecarei componente in sistemul global de ecuatii.

Operatia de asamblare poate fi interpretata ca reconectarea fizica a

componentelor in procesul de fabricare a structurii. Ea este supusa urmatoarelor

reguli:

1. Compatibilitatea deplasarilor – deplasarile tuturor componentelor

convergente intr-un nod sunt aceleasi (sunt egale).

2. Echilibrul fortelor – suma fortelor exercitate de toate componentele

convergente intr-un nod echilibreaza forta exterioara aplicata in acel nod.

58

)3(3

)2(3 uu = )3(

3)2(

3 vv =

)3(3

)2(3

)1(3

)3(3

)2(33 xxxxxx ffffff ++=+=

)3(3

)2(3

)1(3

)3(3

)2(33 yyyyyy ffffff ++=+=

Spre exemplu,

pentru nodul 3

4. Extinderea matricelor si asamblare


4. Extinderea matricelor si asamblare

Matricele de rigiditate componentale trebuie extinse (eventual prin partitionare)

si adaugarea de linii si coloane cu termeni nuli, astfel incat dimensiunea acestora

sa corespunda numarului total de componente ale parametrilor structurii (forte

si deplasari nodale).

59

- componenta (1)

=

−−

−−

−−

−−

)1(3

)1(3

)1(2

)1(2

)1(1

)1(1

)1(3

)1(3

)1(2

)1(2

)1(1

)1(1

000000

000000

005555

005555

005555

005555

y

x

y

x

y

x

f

f

f

f

f

f

v

u

v

u

v

u


- componenta (2)

=

−−

−−

−−

−−

)2(3

)2(3

)2(2

)2(2

)2(1

)2(1

)2(3

)2(3

)2(2

)2(2

)2(1

)2(1

555500

555500

555500

555500

000000

000000

y

x

y

x

y

x

f

f

f

f

f

f

v

u

v

u

v

u

60

=

−

−

)3(3

)3(3

)3(2

)3(2

)3(1

)3(1

)3(3

)3(3

)3(2

)3(2

)3(1

)3(1

000000

050005

000000

000000

000000

050005

y

x

y

x

y

x

f

f

f

f

f

f

v

u

v

u

v

u- componenta (3)

In conformitate cu prima regula, se poate renunta la indexul componentei

corespunzator vectorului deplasarilor (stanga).


corespunzator vectorului deplasarilor (stanga).

Cele 3 ecuatii pot fi scrise in forma matriceala ca:

)1()1(fδk = )2()2(

fδk = )3()3(fδk =

In conformitate cu a doua regula:

Kδδkkkffff =++=++= )()3()2()1()3()2()1(

61

Operatia de asamblare devine o simpla sumare matriceala.

Eliminand indexul componentei, sistemul global de ecuatii devine

=

−−−

−−

−−−

2

1

1

2

1

1

5501055

005555

0555510

x

y

x

f

f

f

u

v

u


=

−−

−−−

−−−

3

3

2

2

3

3

2

2

555500

5105505

5510055

y

x

y

x

f

f

f

v

u

v

62

SOLUTIA

In aceasta forma, sistemul global de ecuatii nu poate fi rezolvat deoarece matricea

K este singulara (randurile si coloanele formeaza combinatii lineare). Interpretarea

fizica este cea de deplasare a structurii ca solid rigid fara legaturi (miscare

nesuprimata), deoarece nu au fost prevazute conditii de margine sub forma

legaturilor.

Pentru a elimina ecest inconvenient, se aplica conditiile de margine:

0221 === vuv


0221 === vuv

Cel mai simplu mod de exprimare a conditiilor de margine este eliminarea

ecuatiilor asociate deplasarilor suprimate, ceea ce conduce la sistemul de ecuatii

redus. In cazul de fata se elimina randurile si coloanele 2, 5 si 6:

−

=

−

−

−−

20

10

0

1005

0105

5510

2

2

1

v

u

u

63

Matricea coeficientilor nu mai este singulara si sistemul de ecuatii poate fi

rezolvat. Prin rezolvare, rezulta:

−

−

=

5.2

5.0

1

2

2

1

v

u

u

numita solutia redusa in deplasari.

Valorile deplasarilor sunt denumite necunoscutele primare ale problemei.


Solutia redusa se extinde la cele 6 componente, prin adaugarea termenilor

nuli:

−

−

=

=

0

0

5.2

5.0

0

1

3

3

2

2

1

1

v

u

v

u

v

u

δ

64

NECUNOSCUTE SECUNDARE

Cantitati precum fortele axiale, eforturile unitare axiale sau reactiunile pe directia

gradelor de libertate blocate sunt numite necunoscute secundare. Ele pot fi

calculate pe baza solutiei in deplasari.

Pentru acest tip de componenta structurala, fortele interne sunt numai forte

axiale, notate cu p(1), p(2) si p(3).

2


1 3

p(1) p(2)

p(3)

Forta axiala p(e) a componentei (e) poate fi obtinuta prin utilizarea deplasarilor

calculate din solutia globala.65

Deplasarea relativa (alungirea – scurtarea) se calculeaza ca

Deplasarile nodale in coordonate locale se determina prin multiplicarea cu

matricea transformarii deplasarilor T(e):

)()()( eeeδTδ =


)()()( ej

ei

e uud −=

iar forta axiala, deformatia specifica si efortul unitar axial se determina din

relatiile ce definesc echivalenta cu resortul elastic:

)(

)(

)()()( e

e

eee

dL

AEp =

)(

)()(

e

ee

L

d=ε )()()( eee

E εσ =

66

l1-2013

Documents