iv mcc discret
DESCRIPTION
MOTOARE DE C.C.TRANSCRIPT
-
MODELAREA IDENTIFICAREA I SIMULAREA ACIONRILOR ELECTRICE
1
IV. MODELAREA MAINII DE CURENT CONTINUU
4.3. Modelul matematic discret al sistemelor de acionare cu maini de curent continuu
Semnalele numerice sunt obinute n dou etape: - eantionare, - cuantizare. Prin eantionare se obine semnalul discret n timp din semnalul continuu, iar operaia de
cuantizare, realizat cu ajutorul convertorului analog-digital, ncadreaz fiecare eantion ntr-un interval al amplitudinii semnalului i transmite valoarea numeric corespunztoare acelui eantion. Pentru evitarea pierderilor de informaie trebuie aleas corespunztor perioada de eantionare. Teorema Shannon-Nyquist ne ofer limita superioar de alegere a perioadei de eantionare:
un semnal x(t) a crui dinamic este definit de constanta de timp T0, poate fi descris n forma
discret de seria de valori x(kTe), dac 01
2eT T , Te reprezentnd perioada de eantionare.
Perioada de eantionare depinde de dinamica sistemului discretizat i de viteza procesorului utilizat. Alegerea perioadei de eantionare este un compromis ntre performan i cost. Practic se alege cea mai mic perioad de eantionare care asigur toate performanele impuse. Pentru asigurarea unui rspuns neted i fr pierderi de informaie din semnalul continuu, perioada de eantionare trebuie s fie cuprins ntre (1/401/10) din cea mai mic constant de timp a buclei de reglare.
Fig. 4.8 Alegerea perioadei de eantionare Te
a)
b)
c)
-
Modelul discret al SAE de curent continuu
2
Exemplul din figura 4.8 prezint un semnal sinusoidal 0 0 0 0( ) sin , 2 /x t x t T pentru
discretizarea cruia s-au folosit trei valori diferite ale pasului de eantionare Te:
a) 01
10eT T
b) 01
4eT T
c) 01
2eT T
Dac pasul de eantionare este mult mai mic dect perioada semnalului x(t), reconstrucia semnalului iniial este uoar cazul a).
Mrind pasul de eantionare, semnalul discret aproximeaz o sinusoid, dar semnalul iniial este greu de recunoscut. Mai precis, dac tim apriori c semnalul este sinusoidal, putem determina perioada i amplitudinea, ceea ce ne va permite s reconstruim complet semnalul x(t) cazul b).
Depirea valorii limit impus pentru Te de teorema Shannon-Nyquist duce la pierderea informaiei asupra semnalului x(t) i la imposibilitatea reconstruciei acestuia cazul c).
MCC
=+ Convertor
c.a-c.cTG
k4-s
k3
+
Filtru Filtru+
k2-s
k1 Te Te Te
+
--
+*(s)
Te
Te
n cazul mainii de curent continuu, cele dou bucle de reglare sunt sincronizate, perioadele de eantionare fiind identice, analiza cu ajutorul transformatei Z putnd fi uor aplicat. n vederea efecturii analizei numerice, transformata Z transfer ecuaiile difereniale corespunztoare sistemelor continue n ecuaii algebrice liniare corespunztoare sistemelor discrete. Obinerea semnalului numeric din semnalul continuu, prin procesul de eantionare, a fost prezentat n figura 9 prin contactul dispozitivului de eantionare, contact care se nchide cu frecvena de eantionare 1/Te.
n cazul automatizrii convenionale, utiliznd regulatoare continue conectate n cascad, acordarea optimal a acestora se realizeaz utiliznd criteriile modulului, respectiv simetriei (varianta Kessler), caracteristice proceselor rapide.
Astfel, adoptnd un sistem unificat de reglare n tensiune, regulatorul de curent rezult de tip proporional-integral cu funcia de transfer
43RIk
H s ks
, (4.22)
cu urmtorii parametri
3
4
2
2
A A
I D I
A
I D I
T Rk
T k k
Rk
T k k
, (4.23)
Fig. 4.9 Schema bloc de reglare a turaiei SAE de curent continuu
-
MODELAREA IDENTIFICAREA I SIMULAREA ACIONRILOR ELECTRICE
3
unde:
10
ND
Uk este funcia de transfer a convertorului static, echivalent cu o constant de
amplificare,
max
10I
A
kI
, factorul de atenuare al traductorului de curent,
I IT T , suma constantelor de timp parazite corespunztoare buclei interioare, de curent, fiind egal cu constanta de timp a traductorului de curent.
Funcia de transfer a regulatorului de vitez are forma
21Rk
H s ks
, (4.24)
avnd parametrii
1
2 2
2
8
I
I
k Jk
T k k
k Jk
T k k
, (4.25)
n care:
10
N
k este factorul de atenuare al traductorului de turaie,
2 IT T T , suma constantelor de timp parazite corespunztoare buclei exterioare, de vitez, T fiind constanta de timp a traductorului de vitez.
Deoarece semnalul de intrare al elementului de execuie este continuu n timp, iar ieirea regulatorului este o funcie discret, semnalul numeric trebuie convertit ntr-un semnal continuu. Acest lucru se realizeaz cu ajutorul extrapolatoarelor.
Extrapolatorul de ordin zero menine ultima valoare primit (blocheaz aceast valoare) n timpul perioadei de eantionare care urmeaz, fiind caracterizat prin urmtoarea funcie de transfer:
1 e
sT
EOZe
H ss
, (4.26)
Fig. 4.10 Reconstrucia semnalului
cu un extrapolator de ordinul zero
+
1-s
S1-s
e-sTe
- x(t)x(kTe)
Fig. 4.11 Funcia de transfer a extrapolatorului de ordinul zero
-
Modelul discret al SAE de curent continuu
4
Extrapolatorul de ordinul 1. Acesta realizeaz o extrapolare liniar a evoluiei semnalului, utiliznd ultimele dou eantioane. Funcionarea extrapolatorului de ordin 1 este ilustrat n fig. 4.12.
4.3.1. Modelarea matematic discret a buclei de reglare a curentului
Schema bloc pentru obinerea modelului discret al buclei de curent este prezentat n figura
4.13.
Te
I*A +
-
kD 1
1A AR sT4
3
kk
s
1
1 FIsT
1
I
I
k
sT
Te
Te
Te
UcUA IAI*FI
IR
Folosind un extrapolator de ordinul zero, trecerea din domeniul complex s n domeniul discret Z se face conform relaiei:
1FI EOZ FIH z Z H s H s , (4.27) sau sub alt form:
1 1 11
esT
FIFI
eH z Z
s sT
. (4.28)
innd cont c esTz e , relaia (4.28) devine:
1
1 1 1
11
FIFI
FI
zH z Z
Ts s
T
. (4.29)
Deoarece lucrm n domeniul s, pentru a determina transformata Z din relaia (4.29) utilizm metoda de calcul indirect
* pe baza transformatei Laplace. Astfel, aplicnd teorema reziduurilor pentru
poli simpli, forma final a funciei de transfer n domeniul discret devine:
Fig. 4.12 Reconstrucia semnalului cu un extrapolator de ordinul 1
Fig. 4.13 Bucla de reglare a curentului rotoric
*THEORIE DE LA COMMANDE DES SYSTEMES E. Ceang et. all, Editura Tehnic, 2001
-
MODELAREA IDENTIFICAREA I SIMULAREA ACIONRILOR ELECTRICE
5
1 1
1
11
e
FI
e
FI
T
T
FI T
T
z z eH z
z e
(4.30)
sau
* 1
1
* 1
FI
FI
A
I zH z
I z
. (4.31)
innd cont de (4.30) i (4.31) obinem relaia de recuren:
* * *1 1 1e e
FI FI
T T
T TFI FI AI k I k e I k e
. (4.32)
Plecnd de la funcia de transfer a traductorului de curent:
1
R I
A I
I s k
I s sT
, (4.33)
se obine o ecuaie asemntoare pentru relaia de curent sub forma:
1 1 1e e
I I
T T
T TR R A II k I k e I k e k
. (4.34)
Implementarea numeric a regulatorului de curent avnd funcia de transfer:
43RIk
H s ks
, (4.35)
se face utiliznd relaiile (4.27), (4.28) i proprietatea de liniaritate a transformatei Z sub forma:
1 1 13 4 21 1
1 1RIH z k z Z k z Zs s
. (4.36)
Pentru a calcula transformata Z a celui de-al doilea termen din membrul drept al relaiei (4.36) se utilizeaz teorema reziduurilor pentru poli multipli, obinnd:
11
3 4 211
eRI
T zH z k k
z
. (4.37)
Pe de alt parte
1
1
* 1 1
c
RI
FI R
U zH z
I z I z
, (4.38)
astfel nct ecuaia de implementare numeric a regulatorului de curent este:
* *3 4 31 1 1c c FI R e FI RU k U k k I k I k k T k I k I k . (4.39)
Tensiunea aplicat rotorului mainii de curent continuu este:
A D cU k k U k . (4.40)
Mrimea de ieire a buclei interioare de curent: - considernd rotorul calat
1
1 1 1
e e
A A
T T
T TA A A
A
I k I k e U k eR
, (4.41)
- cu rotorul n micare
-
Modelul discret al SAE de curent continuu
6
1
1 1 1 1
e e
A A
T T
T TA A A
A
I k I k e U k k k eR
. (4.42)
4.3.2. Modelarea matematic discret a buclei de reglare a vitezei
Schema bloc a modelului discret al buclei de vitez este prezentat n figura 4.14, unde funcia
de transfer n circuit nchis a buclei de reglare a curentului este aproximat prin cea reprezentat n
figura 4.15.
Te
I*A+
-
bucla de curent1
sJ
21
kk
s
1
1 FsT
1
k
sT
Te
Te
Te
Ms
-
+
* *
F
k
R
IA
1
1 2I Ik sT
I*A IA
Viteza unghiular impus filtrat este dat de:
* * *1 1 1e e
F F
T T
T TF Fk k e k e
. (4.43)
Semnalul de pe reacia de turaie are forma:
*1 1 1e eT T
T TR Rk k e k k e
. (4.44)
Forma discret a regulatorului de turaie este dat de ecuaia:
* * * *1 2 11 1 1A A F R e F RI k I k k k k k T k k k , (4.45)
iar semnalul de ieire al sistemului de acionare este:
1 1 1e A sT
k k k I k M kJ
. (4.46)
Fig. 4.14 Bucla de reglare a vitezei
Fig. 4.15 Funcia de transfer a
buclei de reglare a curentului
-
MODELAREA IDENTIFICAREA I SIMULAREA ACIONRILOR ELECTRICE
7
Pentru obinerea ecuaiilor necesare simulrii buclelor de reglare ale sistemului de acionare electric, vom stabili aceste ecuaii ntr-un bloc de relaii de recuren, ecuaii care vor fi aezate n ordinea fireasc de continuitate i compatibilitate ntre elementele componente ale sistemului, adic n ordinea (4.43), (4.44), (4.45), (4.32), (4.34), (4.39), (4.40), (4.41), (4.46).
Setul de ecuaii de mai sus se poate obine i folosind transformata Z biliniar. Pentru a trece o funcie de transfer H(s) din planul complex s ntr-o funcie de transfer H(z) din planul discret Z, cu ajutorul transformatei Z biliniare se consider exemplul din figura 4.16.
H sU(s) Y(s)
Fie elementul integrator caracterizat prin
1
H ss
. (4.47)
n domeniul timp se obine ecuaia:
y t u t dt . (4.48)
Pentru o perioad de eantionare T putem scrie:
1
1e
e
k T
kT
y k y k u t dt
. (4.49)
Folosind metoda trapezelor putem aproxima integrala:
1 12
eTy k y k u k u k . (4.50)
Scris n domeniul Z, ecuaia (4.50) conduce la:
1 1 1 1 1 12
eTY z z Y z U z z U z ,
(4.51)
de unde funcia de transfer se obine sub forma:
1
1
1
1
2 1
eT zH zz
, (4.52)
sau
1 11
1
2 1
1e
H zz
T z
. (4.53)
innd cont de ecuaiile (4.47) i (4.53), trecerea din domeniul s n domeniul Z se face nlocuind 1
1
2 1
1e
zs
T z
. (4.54)
Funcia de transfer a filtrului pe viteza unghiular impus avnd ecuaia
*
*
1
1
F s
sTs
(4.55)
dup prelucrri algebrice i utiliznd (4.54), conduce la ecuaia n diferene finite de forma:
* * * *2
1 12 2
e F eF F
e F e F
T T Tk k k k
T T T T
.
(4.56)
Fig. 4.15 Funcia de transfer
a elementului integrator
-
Modelul discret al SAE de curent continuu
8
n acelai mod se determin ecuaiile: - regulatorului de vitez
* * * *1 2 2 11 1 12 2
e eA A F R F R
T TI k I k k k k k k k k k
, (4.57)
- curentului rotoric impus
* * * *2
1 12 2
e FI eFI FI A A
e FI e FI
T T TI k I k I k I k
T T T T
(4.58)
- reaciei de curent
2
1 12 2
e I eR R I A A
e I e I
T T TI k I k k I k I k
T T T T
. (4.59)
- i regulatorului de curent
* *3 4 4 31 1 12 2
e ec c FI R FI R
T TU k U k k k I k I k k k I k I k
. (4.60)
Tensiunea aplicat rotorului rmne de forma
A D cU k k U k . (4.61)
Ecuaiile de calcul al curentului rotoric rezult de forma: - cu rotorul calat
2 1
1 12 2
e A eA A A A
e A e A A
T T TI k I k U k U k
T T T T R
, (4.62)
- cu rotorul n micare
2 1
1 1 12 2 2
e A e eA A A A
e A A e A A e A
T T T TkI k I k U k U k k k
T T R T T R T T
. (4.63)
Viteza unghiular la arborele motorului, calculabil n acelai mod, este dat de:
1 1 12
eA A s s
Tk k k I k I k M k M k
J . (4.64)