c3. REZISTENTA SI RIGIDITATEAELEMENTELOR DE TIP BARA.

ELEMENTE SOLICITATE LA INTINDERE SI COMPRESIUNE

CENTRICA.

REZISTENTA MATERIALELOR

DEFINITIE:Intinderea/compresiunea centrică

este solicitarea simplă în prezenţa căreia, în secţiunea transversală, interacţiunea este exprimată printr-o

pereche de forţe axiale

O pereche de forţe echilibrate aplicate pe o bară dreaptă de-a lungul axului ei generează între punctele

de aplicaţii întindere/compresiune centrică.

Forţa axială N are intensitatatae P a fiecăruia din cele două forţe exterioare.

IN PRACTICĂ

• ÎNTINDEREA/COMPRESIUNEA CENTRICĂeste solicitarea caracteristică barelor grinzilorcu zăbrele (şi în general sistemelor alcătuitedin bare drepte articulate la capete, încărcatecu forţe în punctele de articulare),

• numai sub formă de întindere, ea este propriefirelor (drepte, poligonale sau curbe).

REZISTENTA BARELOR INTINSE/COMPRIMATE CENTRIC

Eforturi unitare pe sectiunea transversala

a. Studiul geometric (privind modul de deformare).

Pe suprafeţele laterale ale unei bare drepte cusecţiune dreptunghiulară se trasează un sistem de liniilongitudinale (paralele cu axa) şi transversale(perpendiculare pe axă).

În regim de solicitare: liniile transversale se depărtează sau se apropie (prin translaţii) rămânând drepte, paralele

între ele şi normale pe cele longitudinale.Observaţia corespunde ipotezei lui Bernoulli (secţiunile

transversale plane şi normale pe axă, rămân plane şi normale tot timpul deformării)

Cu privire la cele două tipuri de deformaţii (liniare şi unghiulare) se constată:

- lipsa deformaţiilor unghiulare (γ = 0) căci unghiurile reţelei nu se modifică

- prezenţa unor deformaţii liniare egale în toate fibrele longitudinale ale barei (∆l = const., deci ε = const.).

b. Studiul fizic consemnează condiţia de elasticitate liniară (legea lui

Hooke) acceptată în Rezistenţa materialelorσ = E . ετ = G . γ

Sinteza studiu geometric - studiu fizic. • Dacă γ = 0, rezultă τ = 0. • Dacă ε = const., rezultă σ = const.• Pe secţiunea transversală, interacţiunea

punctuală este exprimată prin eforturi unitare normale σ egale (uniform distribuite).

Pe secţiunea transversală, interacţiunea punctuală este exprimată prin eforturi unitare

normale σ egale (uniform distribuite)

c. Studiul static Efortul secţional N şi sistemul de eforturi unitare sunt măsura aceleaşi interacţiuni. Studiul static consemnează echivalenţa dintre cele două moduri de exprimare ale ei:

N = ∫ σ dASinteza studiu geometric - studiu static

Intrucât: σ = const. N = σ ∫dA = σ . ARezultă:

Nσ = --------

AMărimea efortului unitar σ depinde de doi parametri:- forţa axială N, parametrul global al interacţiunii din secţiune,

măsura solicitării- aria A, parametrul geometriei secţiunii transversale

PROIECTAREA DE REZISTENŢĂ A SECŢIUNII BARELOR ÎNTINSE/COMPRIMATE CENTRIC

Aspecte ale proiectarii de rezistenţă:

•Verificare;•Dimensionare,•Capacitate portantă

Condiţia de rezistenţă impusă de metoda rezistenţeloradmisibile devine:

AN ≤ σa

Relaţia conţine trei parametri; ei corespund celor trei factori care apar în procesul proiectării secţiunii:

– solicitarea, exprimată prin forţa axială N;– materialul, exprimat prin rezistenţa sa admisibilă σa;– geometria suprafeţei secţiunii transversale, exprimată

prin aria A.

După felul în care aceştia intervin (ca parametriicunoscuţi sau necunoscuţi), proiectarea derezistenta îmbracă trei aspecte:– verificarea,– dimensionarea– determinarea capacităţii portante a secţiunii.

In problemele de dimensionare, după stabilirea ariei necesare Anec, dimensiunile secţiunii (cărora le va corespunde aria efectivă Aef) se aleg astfel, încât, indiferent de forma ei,

Aef ≥ Anec.

Capacitatea portantă a unei secţiuni se măsoară prin forţa axială - numită forţă capabilă, Ncap -corespunzătoare unor eforturi unitare egale cu rezistenţa admisibilă.

Rezistenţa barei este asigurată dacă efortul axial N corespunzător solicitării (determinat în funcţie de încărcări) nu depăşeşte efortul capabil

N ≤ Ncap

OBSERVAŢIE PRIVIND PROIECTAREA BARELOR COMPRIMATE.

Barele comprimate se pot distruge mai înainteca eforturile unitare (determinate ca raport întreforţa axială şi aria secţiunii transversale) săatingă limita de rupere sau de curgere amaterialului, prin fenomenul numit flambaj.In principiu, pericolul flambajului este cu atâtmai mare cu cât barele sunt mai svelte.Numai barele robuste (cu lungimea redusă şisecţiuni transversale dezvoltate) pot fiproiectate la compresiune similar cu bareleintinse.

CONCENTRĂRI DE EFORTURI

In secţiuni transversale foarte apropiate de punctul de aplicaţie a forţeiexterioare axiale ipoteza lui Bernoulli (a secţiunilor plane…) esteinfirmată de experiment.

Fibrele longitudinale din preajma axei barei, cu deformaţiilongitudinale mai mari, vor fi mai puternic solicitate;

Se prezinta distribuţia eforturilor unitare σ în trei secţiuni (a, b, c)aflate la distanţe diferite de punctul de aplicaţii a forţei exterioare.

• In secţiuni transversale suficient de depărtate de punctul de aplicaţie al forţelor exterioare, distribuţia în secţiune a eforturilor unitare nu este influenţată de modul de aplicare a acestor forţe (principiului Saint-Venant).

• Neuniformităţile în distribuţia eforturilor unitare pe secţiunea transversală apar şi la variaţii brusteale formei secţiunii (găuri, crestături etc.).

• Concentraţiile de eforturi din secţiunile slăbite de găuri sau crestături au consecinţe diferite la materialele casante şi ductile.

• La materialele casantebara se rupe brusc când “vârful” eforturiloratinge σr (deci la o valoare a efortului mediumult mai mică decât σa.

• La materialele ductile (cu curgere, sau cudeformaţii plastice mari)ruperea este un proces îndelungat, care sesfârşeşte chiar după ce, treptat, pe măsură cecreşte solicitarea, toate eforturile unitare dinsecţiune ating rezistenţa de curgere;

DISTRIBUŢIA EFORTURILOR UNITARE ÎN CÂTEVA FAZE PREMERGĂTOARE RUPERII UNEI BARE ALCĂTUITE DIN

MATERIAL DUCTIL

DEFORMATIILE BARELOR INTINSE/COMPRIMATE CENTRIC

Intre deformaţii şi eforturi există legătura liniară exprimată de legea lui Hook

σ = Eε; de aici se deduce expresia deformaţiilor specifice liniare ε:

ε = EAN

EAN

E==

σ

Deformaţia specifică liniară ε• este proporţională cu solicitarea (N) şi• invers proporţională cu factorul de rigiditate la

întindere/compresiune (produsul EA);acesta, la rândul lui, depinde de două categorii deparametri:– modulul de elasticitate E (care exprimă rigiditatea

materialului) şi– aria suprafeţei secţiunii transversale A (care exprimă

rigiditatea secţiunii)Cum ε reprezintă deformaţia unităţii de lungime,deformaţia întregii unităţi de lungime, (alungirea sauscurtarea ∆l) este proporţională cu lungimea l:

∆l = εl ∆l = EANl

EFECTUL STATIC AL VARIAŢIILOR DE TEMPERATURĂ ÎN BARE

O bară liberă, cu lungimea l, supusă unei variaţii de temperatură ∆to se dilată/contractă (alungeşte/scurtează) cu cantitatea:

∆lt = ∆to α l

unde α este coeficientul de dilataţie termică al materialului; pentru oţel,

α = 1,2 . 10-5

APLICAŢIE

La o variaţie de temperatură de 30oC, o bară de oţel de lungime I = 8 m, se alungeşte/scurtează cu:

∆lt = 30 . 1,2 . 10-5 . 8000 mm = 2,88 mm

Dacă dilataţia/contracţia barei este împiedicată de legăturile acesteia în sistem, în bară apar eforturi σt de compresiune/întindere corespunzătoare alungirii/scurtării blocate (ca şi cum eforturi axiale de compresiune N ar constrânge bara dilatată cu cantitatea ∆lt să revină la poziţia iniţială printr-o scurtare ∆lN egală):

∆lt = ∆l N

∆to . α . l = de unde:

σt = = ∆t . α . E

EANl

APLICAŢIEBlocarea deformaţiilor de dilatare/contracţie genereazăeforturi unitare care consumă mai mult de jumătate dinrezistenţa admisibilă a materialului:

σt = 30 . 1,2 . 10-5 . 2,1 . 106 = 755 Kgf/cm2

în expresia eforturilor unitare nu intervine geometriabarei (nici aria secţiunii transversale, nici lungimea).

Eforturile nu pot fi moderate prin dimensionare, ciprintr-o conformare de ansamblu a structurii care săpermită deformaţii libere.

a. In sistemele static determinate (cu număr minim de legături)deformaţiile de dilatare/contracţie se produc liber, deci fărăconsecinţe asupra stării de efort din bare.

b. Legăturile suplimentare ale sistemelor static nedeterminateîngrădesc libertatea de deformare, generând în bare eforturi.

Podurile metalice sunt totdeauna structuri simplu rezemate (cuun reazem fix şi altul mobil), cu posibilitatea de dilatare saucontracţii neblocată în lungul axului podului.