interfere nte 10

7/29/2019 Interfere Nte 10

1/62


2/62

1

INSPECTORATUL COLAR JUDEEAN PRAHOVACOALA GIMNAZIAL RARE VODPLOIETI

INTERFERENE

N

UNIVERSUL COLII

PUBLICAIE PERIODIC(APARE LA DOU LUNI)

A LUCRRILOR PREZENTATE DE ELEVI LASIMPOZIOANUL NAIONAL

DE MATEMATIC

PLOIETINR. 10, INUARIE 2013


3/62


4/62


5/62

5

Geometrie plana i n patiuComan Andreea

coala cu cls. I-VIII Rare Vod PloietiProf. ndrumtor: Badea Daniela

"Natura vorbete n limba matematicii; literele acesteilimbi sunt cercuri, triunghiuri i

alte figuri matematice." (Galileo Galilei)

Matematica, zei a tuturor tiinelor, muzic de vis, a patruns tot mai multin cotidian ,reuind s ajung o limb de circulaie.

Matematica nu este un simplu joc , o simpl scriere ci o ntreag niruire adiferitelor teoreme i axiome demonstrate, pe care mariimatematicieni le-au descoperit.

Astfel, aceasta limb a viitorului, este i va fii conditia existenei logicii

oamenilor.

PROBLEMA 1:Se d un paralelogram ABCD. Notm cu, ,

, mijloacele laturilor AB, BC, CD, DA.Notm cu E i F intersecia diagonalei AC cui , iar cu F i H interseciile diagonaleiBD cu i . Sse arate c:a)Figura EFGH este un paralelogram avndlaturile sale paralele cu laturile

paralelogramului dat.b)Lungimile laturilor EF i FG sunt a treiaparte din lungimile AB i BC .

c) Punctul E se mai afl pe iar punctul F pe.d)

=

=

=

=2.

SOLUIA:a) Notm cu O intersecia diagonalelorAC i BD . Avem . n triunghiul CED avem :

CG=GE, n triunghiul AGB

avemAE=GEAE=EG=GC. De asemenea, OG=OE Analog,BF=FH=HD, FO=OH.Deci, FGHE este un paralelogram cci diagonalele se njumtesc.

b) OA =30E; OD=30H;EHAD, la fel3EF=AB.c) n triunghiul ABD segmenteleAOi sunt mediane, deci E este centrul lui de greutate iOA=30E. Idem =3En triunghiul ABC, BO i sunt mediane, deci i AF va fi mediana i va trece deci prin .

d) Avem CF=2; AF=2; DE=2CG=GE=EA i CE=2EA.

PROBLEMA 2:

Doua cercuri de raze R i r , (R


6/62

6

a) S se calculeze raportul ()n funcie de R i r.

b) S se calculeze suma +n funcie de r i R i s de arate c dac n particular punctulQ coincide cu unul din centrele celor dou cercuri, atunci + =2Rr.

SOLUTIE:a) Fie , respectiv centrele cercurilor de raze R i r. Teorema catetei,

n triunghiurile ABE ,ACd :

i

= . Deci()

=

=

=

.

b) Teorema nlimii n triunghiurile dreptunghice ABE, ACd:=QE QA; =Q i adunndu-le obinem:

Dar QE=2r-QA, Q=2R+QA i deci+=QA(2r+2R-2QA).Q+=QA(QE+Q)

Dar QE=2r-QA, Q=2R+QA i deci +=QA(2r+2R-

2QA).Daca Q coincide cu atunci QA = =R i (2) devine:+=2Rr

Analog, daca Q coincide cu , avem QA==r i relaia esteaceeai.

PROBLEMA 3:

Se consider triunghiul ABC cu ortocentrul H. Prin punctele A i H se duc paralele,iar

prin B i C, o alt pereche de drepte paralele perpendiculare pe primele.Se formeazastfel dreptunghiul MNPQ cruia i se curcumscrie cercul (O). S se demonstreze c :

a) Diagonalele dreptungiului MNPQ trec prin picioarele inaltimilor BH i CH.

b) Cercul (O) trece printr-un punct fix.

c) Locul punctului O este cercul Euler al triunghiului ABC.

SOLUTIE:

Fie RFG triunghiul ortic al triunghiului ABC . Din

patrulaterele inscriptibile AMBF i HCPF se deduc

egalitile: AFM=AMB i CFP=PHC.Cum PHC= AMB, ca unghiuri cu laturileperpendiculare ,rezult AFM=CFP, ceea cedovedete coliniaritatea punctelor M, F,P. Analog se

poate arta c i punctele N, G, Q sunt coliniare.

Pe de alt parte, din patrulatelele inscriptibile

PHRC i AMPR se deduc egalitile:ARP= HCP iARM=ABM.

Cum HCP=BAM , ca unghiuri cu laturile perpendiculare, rezult:MRP=ARM+ARP=ABM+BAM=90 .

Bibliografiie: Culegerea ,,Geometrie plana i in spaiu pentru admiterea in facultate


7/62

7

Pitagora i Teorema a

Realizat de Neacsu Adrian din cls.a VI-a

Scoala Rares Voda Ploiesti

Prof.coordonator Dumitrache Ion

Cine a fost Pitagora?

Pitagora (n. circa. 580 .Hr. - d. circa. 495 .Hr.)a fostun filozof i matematician grec, originar din insulaSamos, ntemeietorul pitagorismului, care punea la

baza ntregii realiti teoria numerelor i a armoniei.A fost i conductorul partidului aristocratic din

Crotone (sudul Italiei). Scrierile sale nu s-au pstrat.Tradiia i atribuie descoperirea teoremei geometricei a tablei de nmulire, care i poart numele. Ideilei descoperirile lui nu pot fi deosebite cu certitudinede cele ale discipolilor apropiai.Pitagora a fost un mare educator i nvtor alspiritului grecesc i se spune c a fost i un atlet

puternic, aa cum sttea bine atunci poeilor,filosofilor (de exemplu, Platon nsui) i

comandanilor militari etc.Pitagora era ionian, originar din insula Samos, dar aemigrat la Crotone, n Italia de sud, unde a ntemeiat coala ce-i poart numele, cea dinti coal italic a

Greciei antice.Prin traditie lui i se atribuie urmatoarele descoperiristiintifice importante: in geometrie - vestita teoremaal lui Pitagora, precum si construirea unor poligoanesi poliedre regulate; in astronomie si geografie -ideea ca Pamintul este o sfera care se roteste in jurulpropriei sale axe si ca exista si alte lumi asemenea

lui; in muzica - ca de lungimea coardei sau aflautului depinde sunetul pe care il produc ele. Deasemenea Pitagora a descoperit tabla de inmultire sia introdus metoda de demonstrare in geometrie.Teorema lui Pitagora este o teorema din geometria

elementara, conform careea, intr-un triunghidreptunghic, patratul lungimii ipotenuzei este egal cusuma patratelor lungimilor catetelor. Teorema a fostcunoscuta pina la Pitagora (secolul 6 i.e.n.), insa

demonstrarea in forma generala i se atribuie luiPitagora.


8/62

8

Teorema lui Pitagora

Dei teorema se atribuie astzi filozofului i matematicianului grec antic Pitagora, care a trit n secolul alaselea, dC, se tie cu siguran c a fost cunoscut de mai toate civilizaiile Pmntului de-a lungultimpului: indienii antici, asiro-babilonieni, egiptenii antici, chinezii antici i alii. Subiectul acesta poate fimprit n trei: cunoaterea tripletelor pitagoreice (seturi de cte trei numere ntregi care reprezintlungimile laturilor unui triunghi dreptunghic), cunoaterea teoremei propriu-zise, i cunoaterea unei

demonstraii.Tripletele pitagoreice sunt cunoscute de foarte mult timp, ele fiind folosite pentru construirea unui unghidrept n condiii practice: o sfoar este marcat cu noduri aflate la anumite distane; formnd din ea untriunghi (de exemplu de laturi 3, 4 i 5), acel triunghi va fi dreptunghic - metoda poate fi folosit deexemplu pentru a monta vertical catargul unui vas pe mare.Monumente megalitice de acum 6000 de ani (n Egipt) sau 4500 de ani (n Insulele Britanice) conintriunghiuri dreptunghice cu laturi de lungimi numere ntregi[2], dar aceasta nu nseamn neaprat c ceicare le-au construit cunoteau teorema. De asemenea, scrieri vechi din Regatul Mijlociu Egiptean i dinMesopotamia menioneaz triplete pitagoreice.

Sulba Sutra lui Baudhayana, scris n secolul 8 .e.n. n India, conine o list de triplete pitagoreicedescoperite algebric, un enun al teoremei, precum i o demonstraie pentru un triunghi dreptunghicisoscel.cercettori susin c de aici s-ar fi putut inspiraPitagora, n timpul cltoriei sale n India.Pitagora (aproximativ 569 - 475 .e.n.) a folosit metode algebrice pentru a construi triplete pitagoreice,conform lui Proclus. Acesta a scris ns ntre anii 410 i 485 e.n., adic 9 secole mai trziu. Dup SirThomas L. Heath, teorema nu i-a fost atribuit lui Pitagora timp de cinci secole dup perioada n careacesta a trit. Totui, atunci cnd autori cum ar fi Plutarh i Cicero au vorbit despre teorem ca fiind a luiPitagora, au fcut-o ca i cum acesta era un lucru binecunoscut i de necontestat.


9/62

9


10/62

10

LA GRANIA DINTRE GEOMETRIE I ARTA Dumitru Andrei Daniel, cls VIII A

C.N.Jean Monnet Ploieti

Coordonator Prof. Militaru Claudiu Geometria este cuprins n artele plastice aa cum gramatica este cuprins n arta scrisului

Guillaume Apollinaire

Cele mai vechi urme ale geometriei se gsesc n Egiptul Antic i Babylon, n jurul anului 3000.e.n. Istoria geometriei urmrete evoluia acestei tiine care studiaz relaiile spaiale din cele mai vechitimpuri, cnd oamenii au nceput s msoare distanele, ariile i volumele, ca apoi s se ajung lageometria clasic, n care accentul era pus pe construciile cu rigla i compasul.

Construciile geometrice cu rigla i compasul se refer la trasarea unor anumite figuri geometricei determinarea unor elemente ale acestora utiliznd numai rigla i compasul. Aceste instrumente au fost

alese prin tradiie i mai ales datorit faptului c sunt cele mai simple i dau construcii precise.Marelefilozof Platon (427-347 .Hr.) avea un cult deosebit pentru geometrie.Una din concepiile lui Platon,rmase n vigoare i astzi, susine c la realizarea figurilor geometrice trebuie utilizate doar rigla icompasul.

Pape - Carpantier, Marie (1815-1878) educator i profesor a promovat metoda numita de ea"natural", dnd o importan maxim intuiiei sau unei experiene directe a lucrurilor, i a intereselorcopilului. n Desenul explicat de natur n 1873, Carpantier scrie c Punctuleste n acelai timpimaterialul din care se compune liniai captul care o atrage fr ncetare.Fiecare punct exist pn inmomentul in care linia l atinge i l absoarbe.Apoi ea i continu mersul su spre puncte tot maindepartate pe care le atingei le depete succesiv. Aceast extensie perpetu a liniei, alimentat frncetare de punctele care renasc, este expansiunea perpetu a activitaii omului, alimentat nentrerupt

prin dorine, mergnd de la ceea ce a realizat la ceea ce urmeaz sa realizeze; le atinge unele dupaltele, vazndu-le cum se succed la fel de departe aa cum se prelungete activitatea uman i aceast

linie geometric pnla inepuizabilul infinit...

Caracterul moral la care se raporteaz linia curb este delicateea; caracterul cruia icorespunde linia dreapteste rigoarea. Prima, reprezint cursul vieii practice n toate necesitile ei,

raporturile cu cei apropiai, cei asemntori nou, viaa plin de menajamente pentu alii, de concesiireciproce, de condescenden. Cealalt, reprezint viaa teoretic, idealul, idea, indrazneala,independena absolut..... Linia curb reprezint graia, bunvoina, comptimirea. Sprijinindu se de

linia curb se dezvolt conciliant,simpatic.Ea se apleac asupra tuturor necesitailor vieii noastre,

se preteaz la toate creaiile artistice ale imaginaiei noastre i se diversific in mii de moduri pentru a

satisface nevoile noastre i a ncnta ochii..

Pornind de la aceast lectur s ncercm, privind n jur, s descoperim unde rigurozitatea linieidrepte se armonizeaz cu linia curb.

Decorarea i ornamentul au fost evidente n civilizaiile de la nceputul istoriei, variind de laarhitectura Egiptului antic la lipsa aparent de ornament a secolului 20 n arhitectura modernist. narhitectur i art decorativ, ornamentul este un element de decor folosit pentru a infrumuseta pri aleunei cldiri sau ale unui obiect. O mare varietate de stiluri decorative i de motive au fost dezvoltatepentru arhitecturi arte aplicate, inclusiv ceramic, mobilier, esturi.

Constnd din sau generate de forme geometrice simple, precum cerc, arc de cerc, i ptrat,modelele geometrice au fost combinate, duplicate, intercalate, i aranjate n combinaii complexe.Aurmas reprezentri grafice i figuri geometrice, mrturii ale primelor ncercri ale omului de a nfrumusea

prin art.Astfel,repertoriul decorativ al populaiilor protoistorice din epoca bronzului se rezum la ctevasemne :


11/62

11

spirala dubla spiral soare I soare II

roata ptrat triunghi trznet

Dezvoltarea i perfecionarea deopotriv amaterialelor folosite, a geometriei riglei i a compasului,dar i a cunotinelor de geometrie a celor ce ncercau screeze n domeniul artistic au condus la realizarea unoropere tot mai rafinate: dosebitele ornamente alecatedralelor, moscheelor, palatelor i grdinilor dininteriorul acestora ce ncnt prin frumuseea lor.Arhitectii mauri sunt bine cunoscuti pentru detaliilegeometrice pe care le-au introdus in constructiile lor.Aceste constructii aveau la baza patrate, dreptunghiuri sialte forme geometrice derivate din aceeasi unitate si

relatii exacte intre toateelementele.Dale de

perete in Myrtles n Alhambra

Pavaj pe Piazza di Spagna n Sevilia Plafonul suspendat n Alcazar de Sevilla


12/62

12

Decor generos pe fatada exterioara a Moscheea din Cordoba

Cupola moscheei din Cordoba

Maurits Cornelis Escher, pe numele sau complet, este unuldintre cei mai cunoscui (i opera lui recunoscut din primaprivire) artiti graficieni ai secolului trecut. M.C. Escher esteobsedat de ideea de umplere a spaiului nc din pruncie, care iaavnt dup ce viziteaz Spania i n special Alhambra cu artadecorativ maur. Aici petrece foarte mult timp n a copiamozaicuri maure. Decoraiunile de la Alhambra, ca i toataopera lui Escher de altfel, sunt pline de geometrie. In 1924,dup ce citete un articol al lui Geoge Polya n care suntdescrise 17 grupuri de simetrie care pot creea motive a carorrepetiie umplu planul, unele fiind inspirate din mozaicurile dela Alhambra, altele inspirate din forme de parchet i 4 dintre elecreaiile lui Polya,Escher incepe s ii

construiasc propria teorie n care folosete translaia , refleciai rotaia motivelor elementare pentru umplerea planurilor.Astfel pentru creearea planurilor Escher descompune imaginea

n forme geometrice ca apoi s o recompun n forme ale

realitii imediate (peti, psri, ngeri, demoni, etc.).Un loc special in opera lui Escher il joaca operele in carenotiunea de limit joac un rol important. Aceast noudescoperire l face pe Escher s deseneze aceleai motive ndimensiuni din ce n ce mai mici, mai inti nspre centrulimaginii iar mai apoi spre marginea imaginei. In aceasta seriede lucrri intrLimita cercului III.

Dei aceste opere ale lui Escher sunt gndite pn n celmai intim detaliu din punct de vedere matematic ele sunt

menite s bucure ochiul, sau cel puin s-l incite. Dac geometria funciona undeva n spatele artei, prinEscher geometria devine generatoare de art , iar regulile abstracte i seci sunt transpuse n imagine care


13/62

13

pot s sensibilizeze fiina uman, n felul acesta raiuneapur matematic reuind s fie transpus n imagini lacare omul se poate raporta uor i fr o pregtireanterioar extensiv.

Construcia elementelor de decor ce folosesc figurigeometrice se poate realiza, aa cum am spus, cu ajutorul

riglei i compasului nc din cele mai vechi timpuri.De aceea, construcia unor elemente de decor cu

ajutorul riglei i compasului se pot face att n cadrulorelor de desen ct i n cadrul orelor de matematicopional.

Calea vietii IIIn finalul acestei prezentri, iat cteva construcii

de elemente de decor, cu ajutorul riglei i compasului :

Iedera col de elefant bob de orez

Eflorescena Model grecesc

n geometrie nu exist drumuri speciale pentru regi.

Euclid

Bibliografie:1. Construcii cu rigla i compasul, Ioan Dncil, Ed. Sigma, 20002.Caleidoscop matematic, V.Bobancu, Ed. Albatros,19793.http://www.mcescher.com
http://www.mcescher.com/http://www.mcescher.com/http://www.mcescher.com/http://www.mcescher.com/


14/62

14


15/62

5

Geometrie plana i n patiuComan Andreea

coala cu cls. I-VIII Rare Vod PloietiProf. ndrumtor: Badea Daniela

"Natura vorbete n limba matematicii; literele acesteilimbi sunt cercuri, triunghiuri i

alte figuri matematice." (Galileo Galilei)

Matematica, zei a tuturor tiinelor, muzic de vis, a patruns tot mai multin cotidian ,reuind s ajung o limb de circulaie.

Matematica nu este un simplu joc , o simpl scriere ci o ntreag niruire adiferitelor teoreme i axiome demonstrate, pe care mariimatematicieni le-au descoperit.

Astfel, aceasta limb a viitorului, este i va fii conditia existenei logicii

oamenilor.

PROBLEMA 1:Se d un paralelogram ABCD. Notm cu, ,

, mijloacele laturilor AB, BC, CD, DA.Notm cu E i F intersecia diagonalei AC cui , iar cu F i H interseciile diagonaleiBD cu i . Sse arate c:a)Figura EFGH este un paralelogram avndlaturile sale paralele cu laturile

paralelogramului dat.b)Lungimile laturilor EF i FG sunt a treiaparte din lungimile AB i BC .

c) Punctul E se mai afl pe iar punctul F pe.d)

=

=

=

=2.

SOLUIA:a) Notm cu O intersecia diagonalelorAC i BD . Avem . n triunghiul CED avem :

CG=GE, n triunghiul AGB

avemAE=GEAE=EG=GC. De asemenea, OG=OE Analog,BF=FH=HD, FO=OH.Deci, FGHE este un paralelogram cci diagonalele se njumtesc.

b) OA =30E; OD=30H;EHAD, la fel3EF=AB.c) n triunghiul ABD segmenteleAOi sunt mediane, deci E este centrul lui de greutate iOA=30E. Idem =3En triunghiul ABC, BO i sunt mediane, deci i AF va fi mediana i va trece deci prin .

d) Avem CF=2; AF=2; DE=2CG=GE=EA i CE=2EA.

PROBLEMA 2:

Doua cercuri de raze R i r , (R


16/62

6

a) S se calculeze raportul ()n funcie de R i r.

b) S se calculeze suma +n funcie de r i R i s de arate c dac n particular punctulQ coincide cu unul din centrele celor dou cercuri, atunci + =2Rr.

SOLUTIE:a) Fie , respectiv centrele cercurilor de raze R i r. Teorema catetei,

n triunghiurile ABE ,ACd :

i

= . Deci()

=

=

=

.

b) Teorema nlimii n triunghiurile dreptunghice ABE, ACd:=QE QA; =Q i adunndu-le obinem:

Dar QE=2r-QA, Q=2R+QA i deci+=QA(2r+2R-2QA).Q+=QA(QE+Q)

Dar QE=2r-QA, Q=2R+QA i deci +=QA(2r+2R-

2QA).Daca Q coincide cu atunci QA = =R i (2) devine:+=2Rr

Analog, daca Q coincide cu , avem QA==r i relaia esteaceeai.

PROBLEMA 3:

Se consider triunghiul ABC cu ortocentrul H. Prin punctele A i H se duc paralele,iar

prin B i C, o alt pereche de drepte paralele perpendiculare pe primele.Se formeazastfel dreptunghiul MNPQ cruia i se curcumscrie cercul (O). S se demonstreze c :

a) Diagonalele dreptungiului MNPQ trec prin picioarele inaltimilor BH i CH.

b) Cercul (O) trece printr-un punct fix.

c) Locul punctului O este cercul Euler al triunghiului ABC.

SOLUTIE:

Fie RFG triunghiul ortic al triunghiului ABC . Din

patrulaterele inscriptibile AMBF i HCPF se deduc

egalitile: AFM=AMB i CFP=PHC.Cum PHC= AMB, ca unghiuri cu laturileperpendiculare ,rezult AFM=CFP, ceea cedovedete coliniaritatea punctelor M, F,P. Analog se

poate arta c i punctele N, G, Q sunt coliniare.

Pe de alt parte, din patrulatelele inscriptibile

PHRC i AMPR se deduc egalitile:ARP= HCP iARM=ABM.

Cum HCP=BAM , ca unghiuri cu laturile perpendiculare, rezult:MRP=ARM+ARP=ABM+BAM=90 .

Bibliografiie: Culegerea ,,Geometrie plana i in spaiu pentru admiterea in facultate


17/62

7

Pitagora i Teorema a

Realizat de Neacsu Adrian din cls.a VI-a

Scoala Rares Voda Ploiesti

Prof.coordonator Dumitrache Ion

Cine a fost Pitagora?

Pitagora (n. circa. 580 .Hr. - d. circa. 495 .Hr.)a fostun filozof i matematician grec, originar din insulaSamos, ntemeietorul pitagorismului, care punea la

baza ntregii realiti teoria numerelor i a armoniei.A fost i conductorul partidului aristocratic din

Crotone (sudul Italiei). Scrierile sale nu s-au pstrat.Tradiia i atribuie descoperirea teoremei geometricei a tablei de nmulire, care i poart numele. Ideilei descoperirile lui nu pot fi deosebite cu certitudinede cele ale discipolilor apropiai.Pitagora a fost un mare educator i nvtor alspiritului grecesc i se spune c a fost i un atlet

puternic, aa cum sttea bine atunci poeilor,filosofilor (de exemplu, Platon nsui) i

comandanilor militari etc.Pitagora era ionian, originar din insula Samos, dar aemigrat la Crotone, n Italia de sud, unde a ntemeiat coala ce-i poart numele, cea dinti coal italic a

Greciei antice.Prin traditie lui i se atribuie urmatoarele descoperiristiintifice importante: in geometrie - vestita teoremaal lui Pitagora, precum si construirea unor poligoanesi poliedre regulate; in astronomie si geografie -ideea ca Pamintul este o sfera care se roteste in jurulpropriei sale axe si ca exista si alte lumi asemenea

lui; in muzica - ca de lungimea coardei sau aflautului depinde sunetul pe care il produc ele. Deasemenea Pitagora a descoperit tabla de inmultire sia introdus metoda de demonstrare in geometrie.Teorema lui Pitagora este o teorema din geometria

elementara, conform careea, intr-un triunghidreptunghic, patratul lungimii ipotenuzei este egal cusuma patratelor lungimilor catetelor. Teorema a fostcunoscuta pina la Pitagora (secolul 6 i.e.n.), insa

demonstrarea in forma generala i se atribuie luiPitagora.


18/62

8

Teorema lui Pitagora

Dei teorema se atribuie astzi filozofului i matematicianului grec antic Pitagora, care a trit n secolul alaselea, dC, se tie cu siguran c a fost cunoscut de mai toate civilizaiile Pmntului de-a lungultimpului: indienii antici, asiro-babilonieni, egiptenii antici, chinezii antici i alii. Subiectul acesta poate fimprit n trei: cunoaterea tripletelor pitagoreice (seturi de cte trei numere ntregi care reprezintlungimile laturilor unui triunghi dreptunghic), cunoaterea teoremei propriu-zise, i cunoaterea unei

demonstraii.Tripletele pitagoreice sunt cunoscute de foarte mult timp, ele fiind folosite pentru construirea unui unghidrept n condiii practice: o sfoar este marcat cu noduri aflate la anumite distane; formnd din ea untriunghi (de exemplu de laturi 3, 4 i 5), acel triunghi va fi dreptunghic - metoda poate fi folosit deexemplu pentru a monta vertical catargul unui vas pe mare.Monumente megalitice de acum 6000 de ani (n Egipt) sau 4500 de ani (n Insulele Britanice) conintriunghiuri dreptunghice cu laturi de lungimi numere ntregi[2], dar aceasta nu nseamn neaprat c ceicare le-au construit cunoteau teorema. De asemenea, scrieri vechi din Regatul Mijlociu Egiptean i dinMesopotamia menioneaz triplete pitagoreice.

Sulba Sutra lui Baudhayana, scris n secolul 8 .e.n. n India, conine o list de triplete pitagoreicedescoperite algebric, un enun al teoremei, precum i o demonstraie pentru un triunghi dreptunghicisoscel.cercettori susin c de aici s-ar fi putut inspiraPitagora, n timpul cltoriei sale n India.Pitagora (aproximativ 569 - 475 .e.n.) a folosit metode algebrice pentru a construi triplete pitagoreice,conform lui Proclus. Acesta a scris ns ntre anii 410 i 485 e.n., adic 9 secole mai trziu. Dup SirThomas L. Heath, teorema nu i-a fost atribuit lui Pitagora timp de cinci secole dup perioada n careacesta a trit. Totui, atunci cnd autori cum ar fi Plutarh i Cicero au vorbit despre teorem ca fiind a luiPitagora, au fcut-o ca i cum acesta era un lucru binecunoscut i de necontestat.


19/62

9


20/62

10

LA GRANIA DINTRE GEOMETRIE I ARTA Dumitru Andrei Daniel, cls VIII A

C.N.Jean Monnet Ploieti

Coordonator Prof. Militaru Claudiu Geometria este cuprins n artele plastice aa cum gramatica este cuprins n arta scrisului

Guillaume Apollinaire

Cele mai vechi urme ale geometriei se gsesc n Egiptul Antic i Babylon, n jurul anului 3000.e.n. Istoria geometriei urmrete evoluia acestei tiine care studiaz relaiile spaiale din cele mai vechitimpuri, cnd oamenii au nceput s msoare distanele, ariile i volumele, ca apoi s se ajung lageometria clasic, n care accentul era pus pe construciile cu rigla i compasul.

Construciile geometrice cu rigla i compasul se refer la trasarea unor anumite figuri geometricei determinarea unor elemente ale acestora utiliznd numai rigla i compasul. Aceste instrumente au fost

alese prin tradiie i mai ales datorit faptului c sunt cele mai simple i dau construcii precise.Marelefilozof Platon (427-347 .Hr.) avea un cult deosebit pentru geometrie.Una din concepiile lui Platon,rmase n vigoare i astzi, susine c la realizarea figurilor geometrice trebuie utilizate doar rigla icompasul.

Pape - Carpantier, Marie (1815-1878) educator i profesor a promovat metoda numita de ea"natural", dnd o importan maxim intuiiei sau unei experiene directe a lucrurilor, i a intereselorcopilului. n Desenul explicat de natur n 1873, Carpantier scrie c Punctuleste n acelai timpimaterialul din care se compune liniai captul care o atrage fr ncetare.Fiecare punct exist pn inmomentul in care linia l atinge i l absoarbe.Apoi ea i continu mersul su spre puncte tot maindepartate pe care le atingei le depete succesiv. Aceast extensie perpetu a liniei, alimentat frncetare de punctele care renasc, este expansiunea perpetu a activitaii omului, alimentat nentrerupt

prin dorine, mergnd de la ceea ce a realizat la ceea ce urmeaz sa realizeze; le atinge unele dupaltele, vazndu-le cum se succed la fel de departe aa cum se prelungete activitatea uman i aceast

linie geometric pnla inepuizabilul infinit...

Caracterul moral la care se raporteaz linia curb este delicateea; caracterul cruia icorespunde linia dreapteste rigoarea. Prima, reprezint cursul vieii practice n toate necesitile ei,

raporturile cu cei apropiai, cei asemntori nou, viaa plin de menajamente pentu alii, de concesiireciproce, de condescenden. Cealalt, reprezint viaa teoretic, idealul, idea, indrazneala,independena absolut..... Linia curb reprezint graia, bunvoina, comptimirea. Sprijinindu se de

linia curb se dezvolt conciliant,simpatic.Ea se apleac asupra tuturor necesitailor vieii noastre,

se preteaz la toate creaiile artistice ale imaginaiei noastre i se diversific in mii de moduri pentru a

satisface nevoile noastre i a ncnta ochii..

Pornind de la aceast lectur s ncercm, privind n jur, s descoperim unde rigurozitatea linieidrepte se armonizeaz cu linia curb.

Decorarea i ornamentul au fost evidente n civilizaiile de la nceputul istoriei, variind de laarhitectura Egiptului antic la lipsa aparent de ornament a secolului 20 n arhitectura modernist. narhitectur i art decorativ, ornamentul este un element de decor folosit pentru a infrumuseta pri aleunei cldiri sau ale unui obiect. O mare varietate de stiluri decorative i de motive au fost dezvoltatepentru arhitecturi arte aplicate, inclusiv ceramic, mobilier, esturi.

Constnd din sau generate de forme geometrice simple, precum cerc, arc de cerc, i ptrat,modelele geometrice au fost combinate, duplicate, intercalate, i aranjate n combinaii complexe.Aurmas reprezentri grafice i figuri geometrice, mrturii ale primelor ncercri ale omului de a nfrumusea

prin art.Astfel,repertoriul decorativ al populaiilor protoistorice din epoca bronzului se rezum la ctevasemne :


21/62

11

spirala dubla spiral soare I soare II

roata ptrat triunghi trznet

Dezvoltarea i perfecionarea deopotriv amaterialelor folosite, a geometriei riglei i a compasului,dar i a cunotinelor de geometrie a celor ce ncercau screeze n domeniul artistic au condus la realizarea unoropere tot mai rafinate: dosebitele ornamente alecatedralelor, moscheelor, palatelor i grdinilor dininteriorul acestora ce ncnt prin frumuseea lor.Arhitectii mauri sunt bine cunoscuti pentru detaliilegeometrice pe care le-au introdus in constructiile lor.Aceste constructii aveau la baza patrate, dreptunghiuri sialte forme geometrice derivate din aceeasi unitate si

relatii exacte intre toateelementele.Dale de

perete in Myrtles n Alhambra

Pavaj pe Piazza di Spagna n Sevilia Plafonul suspendat n Alcazar de Sevilla


22/62

12

Decor generos pe fatada exterioara a Moscheea din Cordoba

Cupola moscheei din Cordoba

Maurits Cornelis Escher, pe numele sau complet, este unuldintre cei mai cunoscui (i opera lui recunoscut din primaprivire) artiti graficieni ai secolului trecut. M.C. Escher esteobsedat de ideea de umplere a spaiului nc din pruncie, care iaavnt dup ce viziteaz Spania i n special Alhambra cu artadecorativ maur. Aici petrece foarte mult timp n a copiamozaicuri maure. Decoraiunile de la Alhambra, ca i toataopera lui Escher de altfel, sunt pline de geometrie. In 1924,dup ce citete un articol al lui Geoge Polya n care suntdescrise 17 grupuri de simetrie care pot creea motive a carorrepetiie umplu planul, unele fiind inspirate din mozaicurile dela Alhambra, altele inspirate din forme de parchet i 4 dintre elecreaiile lui Polya,Escher incepe s ii

construiasc propria teorie n care folosete translaia , refleciai rotaia motivelor elementare pentru umplerea planurilor.Astfel pentru creearea planurilor Escher descompune imaginea

n forme geometrice ca apoi s o recompun n forme ale

realitii imediate (peti, psri, ngeri, demoni, etc.).Un loc special in opera lui Escher il joaca operele in carenotiunea de limit joac un rol important. Aceast noudescoperire l face pe Escher s deseneze aceleai motive ndimensiuni din ce n ce mai mici, mai inti nspre centrulimaginii iar mai apoi spre marginea imaginei. In aceasta seriede lucrri intrLimita cercului III.

Dei aceste opere ale lui Escher sunt gndite pn n celmai intim detaliu din punct de vedere matematic ele sunt

menite s bucure ochiul, sau cel puin s-l incite. Dac geometria funciona undeva n spatele artei, prinEscher geometria devine generatoare de art , iar regulile abstracte i seci sunt transpuse n imagine care


23/62

13

pot s sensibilizeze fiina uman, n felul acesta raiuneapur matematic reuind s fie transpus n imagini lacare omul se poate raporta uor i fr o pregtireanterioar extensiv.

Construcia elementelor de decor ce folosesc figurigeometrice se poate realiza, aa cum am spus, cu ajutorul

riglei i compasului nc din cele mai vechi timpuri.De aceea, construcia unor elemente de decor cu

ajutorul riglei i compasului se pot face att n cadrulorelor de desen ct i n cadrul orelor de matematicopional.

Calea vietii IIIn finalul acestei prezentri, iat cteva construcii

de elemente de decor, cu ajutorul riglei i compasului :

Iedera col de elefant bob de orez

Eflorescena Model grecesc

n geometrie nu exist drumuri speciale pentru regi.

Euclid

Bibliografie:1. Construcii cu rigla i compasul, Ioan Dncil, Ed. Sigma, 20002.Caleidoscop matematic, V.Bobancu, Ed. Albatros,19793.http://www.mcescher.com
http://www.mcescher.com/http://www.mcescher.com/http://www.mcescher.com/http://www.mcescher.com/


24/62

14

O problem mi deosebit...Cerntescu Romina

coala cu clasele I-VIII Rotrti

Comuna Nicolae Blcescu, jud. Vlcea

Profesor ndrumtor: Bologa Cristiana

Fie tetraedrul OABCn care OA, OB, OCsunt perpendiculare dou cte dou. S se arate c:a) Proiecia lui O pe (ABC) coincide cu ortocentrulHal triunghiului ABC.

b) Triunghiul ABCeste ascuitunghic.

c)

d) S2

AOB = S

2

ABCS

2

HAB; S

2

BOC= S

2

ABCS

2

HBC; S

2

AOC= S

2

ABCS

2

HAC.

e) S2ABC= S2

OAB+ S2

OBC + S2OCA.

f) sin2 + sin2 + sin2= 1, unde , , sunt unghiurile pe care OH le face cu planele (OAB),(OBC), (OCA).

g) , undeM, N, Psunt proieciile punctului D din interiorul triunghiului ABC

pe (OBC), (OCA), (OAB).

H

B

O

AC

A'

B'

C'


25/62

15

Soluieb) , ,

Adunate membru cu membru obinem:

, , .

De unde: + , + , + , rezult unghiuriletriunghiului ABCsunt ascuite.

c) n triunghiul dreptunghic OAA'avem:AA'OH= OAOA', rezultAA'OH

2 = OA2OA'2 OA2 OH2 + OA'2OH2 = OA2OA'2 dar

dar

Rezult

mprind ambii membri cu produsul obinem:

Observaie. n probleme de calcul, OHse poate calcula din aceast formul sau din

d) cos = .

Analog se demonstreaz celelalte.e) Adunnd cele trei egaliti de la d) obinem:

+ + =

f) sin2+ sin2 + sin2= cos2 +cos2 +cos2 =

=

g) ,

mprind prin , obinem:


26/62

16

CONCURENA LINIILOR IMPORTANTE INTRIUNGHI

Elev:Solomie Roxana, Pall CristinaColegiul Tehnic Traian Vuia Oradea

Profesor ndrumtor: Corina Nicoleta Negruiu

Introducere

Lucrarea prezint definiia centrului de greutate, concurena medianelor unui triunghi i

concurena bisectoarelor unui triunghi. Se prezint avantajul metodei vectoriale atunci cnd problema

apeleaz doar la substructura vectorial a spaiului punctual euclidian comparativ cu metoda sintetic. Dinpunctul de vedere a metodelor de rezolvare a problemelor de geometrie trebuie s stabilim la care dintre

substructurile spaiului euclidian punctual se refer coninutul problemei.

CONCURENA MEDIANELOR UNUI TRIUNGHI

Definiie: Se numete centru de greutate al unui triunghi punctul G pentru care 0 GCGBGA Teorema: G este unic.

Dem: Fie G a. .

GGGGGG

GGGGGG

GCGBGA

CGBGAGGCGBGCGBdar

CGBGAG

003

03

0

0GCGBGA

GA0GA

0

Vectorul de poziie al centrului de greutate al unui triunghi.G centru de greutate 0 CGBGAG


27/62

17

CBAG

OCOBOAOG

OCOBOAOG

OCOBOAGOGCGBGA

OCGCGC

OBGOGB

OAGOGA

rrr3

1r

3

1

3

3

Obs:Gr nu depinde de alegerea punctului O.

Teorem: Medianele unui triunghi sunt concurente.

Fie ABC iM, N, P mijloacele laturilor (BC), (CA), (AB).

S se demonstreze c: GCPBNAM Dem:

Considerm concurena a dou dintre mediane i artm cA,G,Msunt coliniare.

Fie GMGDGCGBGCPBN 2

amparalelogr

amparalelogr

2

2

GAFB

GAEC

GPGFGBGA

GNGEGAGC

amparalelogr||

||AEGF

GEAFGBAF

GFAEGCAE

AMGcoliniareMGA

GMAGGMGDGBGCAGAGAFAE

,,,

22

GCPBNAM medianele unui triunghi sunt concurente G punctul de intersectie al medianelor

Concurenta bisectoarelor

Teorem:Sa se demonstreze ca bisectoarele unui triunghi sunt concurente.

Dem:

1

1

AC ABc

AC PB romb AC AB AP

AB ACb

1 1 1

1

AI

, vectori coliniari AI

AP AC AB AB AC b AB c ACc b bc

AP b AB c ACbc b AB c AC bc

AI AP AP


28/62

18

notam

AI

analog BI

xbc

x b AB c ACBA BI IA BI AI

y cBC aBA

1 0

BA ycBC yaBA xbAB xcACdar BC BA AC

BA ycBA ycAC yaBA xbAB xcAC

yc ya xb BA yc xc AC

1 0

1 0 0

dar c 0, vectori necoliniari

yc ya xb

yc ya xb AB yc xc AC c y x y x

dar AB AC

11

1 1AI

xb xa xcx a b c

x b AB c ACa b c a b c

OACcABbcba

OAAIOAOI

1

OI ACcABbOAcOAbOAacba

1dar

OCAOAC

OBAOAB

pozitiedetorulvec1

1OI

1OI

CBAI rcrbracba

r

OCcOBbOAacba

OCcAOcOBbAObOAcOAbOAacba

relatia este simetrica in a,b,c, OCOBOA ,, bisectoarele sunt concurente

Concluzie

Se prezint avantajul metodei vectoriale atunci cnd problema apeleaz doar la substructura

vectorial a spaiului punctual euclidian comparativ cu metoda sintetic. Din punctul de vedere a

metodelor de rezolvare a problemelor de geometrie trebuie s stabilim la care dintre substructurile

spaiului euclidian punctual se refer coninutul problemei.

Bibliografie

[1] ALBU,A.C., DRAGOS,P. Geometrie cu coordonate, Editura Eurobit Timisoara, 1997

[2] ION si colaboratori Ghidul profesorului de matematica, Editura Sigma Bucuresti, 2004

[3] BANEA,H. Metodica predarii matematicii, Editura Paralela 45, Pitesti, 1998


29/62

19

DESPRE NUM RUL DE URElevi: Bonoiu Mdlina-clasa a XI-a A

Bucur Gabriela clasa a X-a B

Profesor Voiculescu Carmen-Elena

Centrul colar nr.3,Bucureti

Ideea c universul e guvernat de numere afascinat, ncepnd cu Pitagora, pe matematicieni,fizicieni, filozofi sau teologi. Probabil c nici unnumr nu ilustreaz mai bine aceast idee i nu afost nconjurat de atta faim i mister ca numrul

phi, cunoscut i sub numele de seciunea de aur.Definit de Euclid cu mai bine de doua mii de ani n

urm, phi (1,618...) pare implicat peste tot nnatur: de la cochiliile melcilor si dispunereapetalelor florilor, pn la forma galaxiilor. Niciartele plastice sau muzica nu rmn n afara razeide aciune a uimitorului numr. S-au fcutnenumrate speculaii despre prezenta Seciunii deaur n construcia piramidelor sau a Partenonului,ori n picturile lui Leonardo da Vinci.

Numrul de aur,seciunea de aur,proporia divini multe alte apelative mistice sunt nume care desemneaz de fapt un raport aritmetic, raport care nu estenici msur, nici dimensiune. Numrul de aur este raportul a dou mrimi omogene. Despre acest numr

au fost scrise mii de pagini; el este un numr cunoscut din timpuri imemoriale i a fost folosit de ctrepictorii Renaterii, la catedralele gotice, la faadele templelor greceti i se regsete chiar i n inimamarii Piramide. Se spune c a fost transmis ca un secret universal i imuabil, nefiind considerat numrdeoarece doar ntregii erau considerai numere de ctre greci.

Numrul de aur se regsete n foartemulte opere de art, n special tablouri,acestea fiind concepute dup regulileproporiei divine (expresie folosit in1509 de ctre Leonardo Da Vinci):Salvador Dali n Cina cea de Tain,Mondrian n Compoziie sau Seurat nCircul sunt cteva exemple de pictoricare au folosit aceast proporie. Spreexemplu, liniile orizontale trasate ntabloul Circul au mrimi proporionalecu numrul . In aceeai pictur seregsete dreptunghiul de aur .


30/62

20

S-a demonstrat c artitii i mpreau pnza n optimi ceea ceeste simplu, apoi n 4/8 i 5/8, foarte aproape de numrul de aur (7miimi). Aceast diferen mic a fost de ajuns pentru a-i face peunii s viseze i a declanat multe pasiuni pentru cercetareaproporiei de aur, pasiuni care s-au domolit ntre timp pentru clocul numrului de aur a fost luat de alte apariii pe scenamatematicii, apariii care incit mai mult imaginaia cercettorilor(fractalii etc). Proporia de aur se regsete i n formatul coliiutilizate att de des n societatea contemporan: formatul cel maifolosit este faimosul 29,7/21 care reprezint dimensiunile colii A4,singurul format care pliat n dou pstreaz aceeai form iraportul 2. In acelai timp, numrul de aur are proprietimatematice reale i l regsim oriunde avem o simetrie de ordin 5 :la iepurii lui Fibonacci, la ptratul cu latura de 8 (aria 64) care sedecupeaz n patru pri , dou cate dou congruente i care pot fireconstruite ntr-un dreptunghi cu aria 65 etc.

Prezentm cteva proprieti matematice ale numrului de aur.

NUMRUL DE AUR- DEFINIIENumrul de aur este valoarea raportului a dou mrimi omogene. El se noteazcu i este determinat

printr-o proporie.Dac a i b sunt dou variabile, atunci avem:

a/b=(a+b)/a a/b=(a/a)+(b/a) a/b=1+(b/a)Pentru simplificare, notm x=a/b i egalitatea devine:

x=1+(1/x)x-1-(1/x)=0,x0adic

x2-x-1=0 ecuaie de gradul 2 care are rdcina pozitivx=(1+5)/2(aleg rdcina pozitiv pentru c numrul de aur este raportul a dou lungimi, deci este pozitiv).

Aceast valoare obinut se noteazcu i este aproximativ egal cu 1,618. Notarea numrului cu afost fcut n onoarea sculptorului grec Phidias care l-a folosit n proporiile Parthenonului din Atena.n legtur cu numrul de aur, trebuie reinute urmtoarele rezultate:

2--1=02= +11/= -1

Fr a folosi rezolvarea ecuaiei de gradul 2, putem demonstra c1/= -1:1/=2/(1+5)=2(1-5)/(1-5)= (5-1)/2= -1

Din ecuaiile anterioare, deducem relaiile :x2=x+1 x=(x+1)= (1+x)= (1+(1+x))=.....(radicali continui)x=1+(1/x)=1+(1/1+(1/x))=.....(fracii continue)

Numrul de aur se poate scrie folosind o infinitate de radicalisuprapui sau fracii continue: =( +1)= (1+ )= (1+(1+ ))=.....

=1+(1/ )=1+(1/1+(1/ ))=.....

DESPRE DREPTUNGHIUL DE AUR

Dreptunghiul de aur este un dreptunghi n care raportul dintrelungime i lime este egal cu numrul de aur. Cum construim acestdreptunghi? Pornim de la un segment (latur) de lungime i sedeseneaz un triunghi dreptunghic cu catetele de 1 i . Folosindteorema lui Pitagora, deducem cacest triunghi are ipotenuza 5/2. In

continuare construim dreptunghiul care are lungimile laturilor(1+5)/2 si 1.


31/62

21

SPIRALA DREPTUNGHIULUI DE AUR

Aceasta este o spiral fals pentru c este format din arce de cerci nu se obine printr-o variaie continu a razei. Totui conexiunilesunt perfecte deoarece sunt respectate condiiile de tangen: centrelearcelor sunt de fiecare dat situate pe aceeasi dreapt perpendicularpe tangent. Curba obinut este cunoscut ca spiralalogaritmic. Eatinde ctre un punct Z numit centrul spiralei, rulndu-se n jurul lui dince n ce mai mult. Numit i spirala lui Bernoulli ea are multeproprieti matematice. Una dintre acestea afirm c lungimeasegmentului care unete punctul Z cu un punct al curbei crete nprogresie geometric. Lungimea razei vectoare se nmulete cu

numrul de aur de fiecare datcnd direcia sa face un sfert de

rotaie, iar unghiul pe care l facesegmentul cu oricare dintre direciile iniiale, crete n progresiearitmetic.

Dac n dreptunghiul de aur trasm diagonala de la vrful dindreapta sus la vrful din stnga jos, apoi de la vrful din stnga susla vrful din dreapta jos al dreptunghiului de aur mai mic, punctulde intersecie este punctul focal al tuturor dreptunghiurilor de aurmici. Mai mult de att, raportul lungimilor celor dou diagonale

este egal cu numrul de aur. Punctul focal al tuturordreptunghiurilor de aur se mai numete i ochiul lui Dumnezeu.

IRUL DREPTUNGHIURILOR DE AUR

Putem construi un ir al dreptunghiurilor de aur folosind urmtoarea regul: primul dreptunghi are laturile 1 i ,raportul lor fiind ; al doilea dreptunghi are laturile -1 i 1,adica 1/ i 1,raportul lor fiind ; al treilea dreptunghi are laturile 1-1/ i 1/, adic1/ 2i 1/,raportul lor fiind ; continund procedeul,al n-lea dreptunghi are laturile 1/n-1i 1/n-2,raportul lor fiind .


32/62

22

TRIUNGHIUL DE AUR

Acesta este un triunghi isoscel ale crui unghiuri au msurile de 720,720i 360. Raportul dintre lungimealaturii mari i lungimea laturii mici este egal cu numrul de aur. Se poate vorbi i n acest caz desprespirala triunghiului de aur care este tot o spiral fals.

Demonstrm faptul c raportul lungimilor laturilor este egal cu numrul de aur.A) In radiani, 720=2/5.Pentru calcularea lui cos(2/5) se folosesc urmtoarele formule trigonometrice:cos2x+sin2x=1

sin2x=2sinxcosx cos2x=2cos2x-1sin(a+b)=sinacosb+sinbcosasin(-a)=sina.

Notm cos(/5)=x i sin(/5)=y i obinem:x2+ y2=1sin(2/5)=2xycos(2/5)= 2x2-1sin(3/5)=sin(5-2)/5=sin (-(2/5))=sin(2/5) , deci

2xy = 2 cos(/5) sin(/5)= sin(2/5)= sin(3/5) = sin(2/5+ /5)= sin(2/5) cos(/5)+ sin(/5) cos(2/5)= 2xyx+y(2x2-1) = 2x2 y+2y x2-y = 4 x2 y-y


33/62

23

2xy = 4 x2 y-y : y pentru cy0 i obinem ecuaia echivalent 4 x2 -2x-1 = 0 a crei soluie pozitiveste x = (1+5)/4 adic cos(/5)= (1+5)/4.

n acest caz , cos(2/5)= 2x2-1 = (-1+5)/4.B) In triunghiul isoscel ABC folosim teorema cosinusurilor:

BC2= AB2+ AC2-2ABACcos A , AB=ACBC2= 2AB2-2AB2cos 360BC2= 2AB2(1-cos 360) / : AB2(BC/AB)2=2(1-(1+5)/4)=(3-5)/2(AB/BC)2=2/(3-5)= )=(3+5)/2= 2

Concluzia este c AB/BC= .

IRUL TRIUNGHIURILOR DE AURirul triunghiurilor de aur se construiete trasnd bisectoarele unghiurilor de 720. In triunghiul ABC

ducem bisectoarea unghiului C , rezultnd triunghiul AEC isoscel (AE=EC). Din teorema bisectoareirezult c:

AE/EB=AC/BC= i cum AE=EC obinemAE/EB=EC/EB=, deci EBC este un triunghi de aur.

Continund procedeul,se obine irul triunghiurilor de aur.

O PROBLEM CARE ARE LEGTUR CU TEMAEu dispun de o anumit sum de bani (capital) pe care o investesc. Aceasta crete n doi ani

consecutivi cu un acelai procent, apoi scade cu acelai procent n al treilea an. La acest termen,verificnd capitalul am constatat c am suma iniial. Cu ct s-a multiplicat capitalul n primul an? Careeste procentul investiiei capitalului n primii doi ani? Care este legtura problemei cu tema prezentat?

Rspuns:Fie C variabila care reprezint capitalul i T% rata de investiie, T pozitiv . Notez t = T/100.La sfritul primului an, capitalul crete cu T %, devenind C + t C=(1 + t ) C.La sfritul celui de-al doilea an capitalul (1 + t ) C crete din nou cu T % , adic s-a nmulit nc o datcu (1+t) i a devenit (1+ t) (1+ t) C =(1 + t)2 C.La sfritul celui de-al treilea an, noul capital (1 + t)2 C scade cu T %, adic s-a nmulit cu (1-t) i devine(1 + t)2 (1 - t) C. tiind c aceast valoare este egal cu valoarea iniial, rezolvm ecuaia:

(1 + t)2 (1 - t) C = C /: C nenul(1 + t)2 (1 - t)=11 - t2 + t - t3 = 1- t2 + t - t3 = 0 /: t nenul, rezultnd ecuaia

t + t - 1 = 0 care are solu ia pozitiv t=(-1+5)/2 =(1+5)/2-1= 1, deci t0,618 , iar rata este T61,8%. Cu alte cuvinte capitalul s-a multiplicat cu numrul de aur.

Cum t = 1, avem 1 + t = i 1 - t = 2 - . La sfritul primilor doi ani capitalul s-a multiplicat cu(1 + t)2 = 2, iar la sfritul celui de-al treilea an s-a multiplicat cu (1 - t) = 2.

Astfel , la sfritul celor 3 ani capitalul a fost multiplicat cu :2 (2 - ) = ( + 1) (2 - ) =2 + 2 -2= + 2 - 2=( + 1) + 1 - 2=2 + 1 - 2=1Iat de ce la sfritul celor trei ani voi regsi capitalul investit iniial: el a fost multiplicat cu 1.

BIBLIOGRAFIE:

1. www.google.ro2. www.didactic.ro3. Mario Livio : Seciunea de aur.Povestea lui Phi, cel mai uimitor numr, editura Humanitas 20054. Dan Vlad Filimon, Vasile Postolic : Incursiune in acupunctur.Numrul de aur in structura ienergetica sistemelor vii , editura Polirom 2000
http://www.google.ro/http://www.google.ro/http://www.didactic.ro/http://www.didactic.ro/http://www.didactic.ro/http://www.google.ro/


34/62

24

CLASE DE FUNCII CU PUNCT FIXElev: BUJOR CRISTINAclasa a X-a

Grup colarALEXANDRU CEL BUN BOTOANI

Profesor ndrumtor: ANGELICA UNGUREANUO funcie f are un punct fix dac .Interpretare geometric (fig.1): O funcie are unul sau mai multe puncte fixe dac graficul suintersecteazo dat sau de mai multe ori prima bisectoare (dreapta de ecuaiey=x ) .

Problema 1.(Teorema lui Knaster de punct fix)Fie , - , - o funcie cresctoare. Atunci fconine un punct fix.

Soluie Fie mulimea * , - +Deoarece rezult c Notez : Atunci ;

f fiind cresctoare se obine este minorant al mulimiiA

Din i f cresctoare () i cum

Din (1) si (2) ,adic funciaf conine un punct fix.

Problema 2.(criteriu ca o funcie continu s aib un punct fix)Fie , - , - o funcie continu. Atuncif conine cel puin un punct fix.

Soluie Fie funcia auxiliar , - , - , -Din si rezult: .Cum g este funie continu , - a.i. , adic funciafconine un punct fix.

Problema 3.Fief o funcie continu. Daca are puncte fixe, atunci si funciaf conine cel puin un punct

fix.

Soluie Presupunem prin reducere la absurd c fnu are puncte fixe pe , adic

Dar funcia este continu are proprietatea lui Darboux, deci pstreaz semn constant pe .

Y=f(x

)

Y=xY

xO X2X1

Fig. 1


35/62

25

Dac adic () din care obinem

() adic nu are puncte fixe, ceea ce contrazice ipoteza.Pentru se procedeaz analog.n concluzie, funcia are puncte fixe.

Problema 4.

Fief , cu I interval,o funcie cu proprietatea lui Darboux, astfel nct Sse demonstreze c fare un punct fix.

Soluie Deoarecef are proprietatea lui Darboux si ,atunci feste continu i strictmonoton.Presupunem c .Atunci sau .Dac -contradicie.

Analog se ajunge la contradie dac .n concluzie, aa inct ,adic funcia fare cel puin un punct fix.

Problema 5.Se consider funcia f , continu i mrginit. Atunci fare cel puin un punct fix.

Soluie Funcia f fiind mrginit

astfel nct

Considerm funcia auxiliarg () () () .Din: i obinem

i cum funcia g este continu

,- aa nct adic funcia fare cel puin un punct fix.

Problema 6.Fief o funcie continu i periodic.Atunci feste marginit i conine cel puin un punct fix.

Soluie Cumfeste periodic, astfel nct Deoarece f este continu pe , este continu pe , -, deci , conform teoremei lui Weierstrass, estemarginit i ii atinge marginile , -de unde rezult c f este mrginit pe

fiind marginit, aa nct ,-Notm ,-i observm : Rezult c funciaf are cel puin un punct fix.

Problema 7.

Dac ,- este o funcie continu i

,atunci astfel nct

Soluie

.

Dar

, atunci

Fie funcia continu ,- , , ,-Aplicnd teorema de medie funciei g

aa nct


36/62

26

Dar

, adic funcia fare cel puin un punct fix.

Observaie Problema poate fi generalizat astfel

Fie , - o funcie continu ,cu proprietatea ca

. S se arate ca exist

astfel nct .

Problema 8.Fie ,- o funcie continu pe,-i || ,-.

S se arate c f are un punct fix.

Soluie Fie funcia ,- , , ,-.Deoarece || ,-

si : de unde se obine: .Dac sau , atunci punctul fix este sau .

Presupunem c .Cum g este continu pe ,- aa nct

, adic fare cel puin un punct fix.

BIBLIOGRAFIE Dinulescu,C.,Dinulescu,I.,Lungoci,G.,Matei,I.-Elemente (complemente de )analiz matematic

pentru clasa a XI-a,Ed. Ager ,Bucureti,2002

Ganga,M.-Elemente de analiz matematic pentru clasa a XI-ai a XII-a,Ed.Mathpress,Ploieti,1999

Batintu,M.,Maftei,I.,Minasian-Stancu,I.-Exerciiii probleme de analiz matematic pentruclasele a XI-ai a XII-a,Ed.Didactic i Pedagogic,Bucureti,1981

Burtea,M.,Burtea,G.-Matematic-clasa a XI-a i clasa a XII-a,Editura Carminis,Piteti,2006


37/62

27

Geometrie cufoarfeceElev: Papuc Corina

Clasa VII A

coala Ioan Grigorescu PloietiProf. ndrumtor: Gavriloiu Mihaela

1. O problem foarte simpl: reprodu pe o bucat de hrtie transparent figura alturat i

decupeaz-o. Printr-o singura taietur, obine dou buci, astfel nct cu ele s poi recontitui un ptrat.

2. Dup ce ai obinut pe hrtia transparent figura din stnga, utilizeaza o singur tietur, iar cu

cele dou buci obinute compune un ptrat.

3. Taie dreptunghiulde mai jos in cinci buci i, cu ele, compune(contruiete) un ptrat.


38/62

28

4. Poi s reconstitui un ptrat decupnd figura alturat, alctuit numai din arce de cerc?

5. Din cauza unor arsuri, o ptur are o gaur ca in desenul din dreapta. Copiaz acest desen,

imagineaz-i c este chiar ptura n cauz, decupeaz-o i coase-o n mod avantajos, n aa fel nct s

obii o ptur perfect dreptunghiular, dar...fr guri.


39/62

29

6. Efectueaz dou tieturi n linie dreapt, taie figura din stnga n aa fel nct, cu cele trei pri

obinute, s compui un ptrat.

7. Cte ptraele msoara aria suprafeei gri? Te-ai gndit la o decupare convenabil?

8. Decupeaz convenabil triunghiul de mai jos astfel nct s poi constitui cu el un dreptunghi.


40/62

30

INTELIGENTA ARTIFICIALA Elev Vrzaru Cristina

Colegiul Tehnic Anghel Saligny, Roiorii de Vede, Teleorman

Profesor coordonator Udma Arleziana

Inteligena artificial poate fi definit ca simularea inteligenei umane procesat de maini, nspecial, de sisteme de calcul. Acest domeniu afost caracterizat de cercetri complexe nlaboratoare i, recent a devenit o parte a

tehnologiei n aplicaii comerciale.n ultimii ani au avut loc numeroase

discuii privind filozofia Inteligenei artificiale irolul su n dezvoltarea tehnologiilor. S-auridicat unele ntrebri legate de avantajultehnologic bazat pe Inteligena artificial:

n ce msur mainile inteligente fac partedin viaa oamenilor?

se pot construi maini cu contiin? dac oamenii sunt capabili sconstruiasc

maini cu adevrat inteligente cum le vorcontrola?

cine va deine puterea, omul sau maina? avem cu nevoie de aceste maini

inteligente?Termenul de Inteligena Artificial este ntlnit azi n numeroase publicaii tehnice, medicale,

tiinifice, de obicei pentru aplicaii, performane de care numai omul este capabil: jocuri deinteligen (ah, bridge), luarea unor decizii complexe fr intervenia unui operator uman,recunoatereai analiza vocii i a imaginilor, traduceri dintr-o limbn alta, etc.

Principalul scop al Inteligenei artificiale este de a imita ntrutotul creierul uman n modul n careacesta gndete, rspundei interacioneaz. Acest deziderat nu va fi atins foarte curnd, creierul umanfiind nc o enigm, aproape imposibil de analizat matematic i tradus n limbaj main.

n economia bazat pe cunoatere exist un enorm potenial de utilizare a sistemelorinteligente.

Tehnicile de programare automat i ingineria cunotinelor vin n sprijinulmanagementului cunotinelor, tehnologia agenilor software iabordrile bazate pe teoria jocurilor potfi implicate n activiti de comer electronic, data mining i sistemele bazate pe raionament pot fifolosite eficient n managementul relaiilorcu clienii.

De exemplu, metodele de achiziionare a cunotinelor promovate de inteligena artificiala, nspecial metodele pentru data mining, sunt aplicate pe scar larg n managementul cunotinelor

n vederea identificrii,formalizriiievaluriicunotinelororganizaionale.Crearea bazelor de cunotine se sprijin frecvent pe metode de reprezentare a cunotinelor

oferite de inteligen artificial i pe elemente metodologice din domeniul realizrii sistemelorsoftware bazate pe cunotine.

Multe dintre conceptele i instrumentele de inteligen artificial pot fi aplicate n

managementul cunotinelor, inclusiv pentru stimularea proceselor de nvareorganizaional.Ca orice alt sistem informatic, sistemele de inteligenartificial devin interesante n momentul

n care pot realiza sarcini n mod mai eficient sau la un nivel calitativ mai nalt sau atunci cnd


41/62

31

exploateaz oportuniti neexplorate nc.Ceea ce confer inteligena artificiale n acest moment este colectarea unor mari cantiti de

informaii pentru folosirea acestora n scopul automatizrii. Informaii maibune nseamn decizii maibune.

Este ns din ce n ce mai greu s oferi informaiile dorite la momentul dorit, calitatea lorn forma dorit, avnd n vedere cantitile mari de informaii din diferite surse. Este una dindireciile de cercetare asupra creia se concentreaz inteligena artificial: anticiparea nevoilor de

informaie, gsirea acestora, distilarea i prezentarea n modcorespunztora informaiilor dorite.

Inteligena artificial nseamn noi modaliti de ainterconecta persoane i calculatoare, persoane i cunotine,

persoane i mediul fizic sau persoane ntre ele.n domeniul Inteligenei Artificiale prin construirea

primelor sisteme expert conceperea i scrierea primului limbajde programare logic (Limbajul Prolog) se ofer suportul pentrudezvoltarea i utilizarea larg a metodelor i tehnicilor

InteligeneiArtificiale n rezolvarea ctorva dintre cele mai dificileprobleme.

Dezvoltarea gndirii algoritmice trebuie luat nconsiderare ca obiectiv n instruire, atunci cnd se nvaalgoritmic (metode i tehnici), dar i cnd se nvaprogramarea (limbaje de programare). Practica instruiriielevilor i studenilor a demonstrat c nvarea unui limbajde programare este n general mai uoar dect nvarea

elaborrii algoritmilor. Astfel, elaborarea unui algoritm este echivalent cu implementarea(reprezentarea) raionamentelor (procese demonstrative) deduse din metode i tehnici utilizate nrezolvarea unei probleme. Rezolvarea problemelor necesit nu numai cunotine clare i precise, dari capacitate de sintez i control i mai ales capacitate de creaie. Prin analogie, un programatoreste compozitorul ce compune o lucrare muzical.

Complexitatea problemelor care necesit descrierea mai multor procese de calcul complexe adeterminat folosirea noiunii de algoritm n activitatea de rezolvare a problemelor. Multeprocese naturale, multe activiti umane, pot fi descrise ntr-o formalgoritmic prin definirea unorinformaii i aciuni clare i precise, eliminndu-se ambiguitile n interpretare i n operaii.

Algoritmizarea este o cerin fundamental n rezolvarea oricrei probleme cu ajutorulcalculatorului.

n etapa actual de dezvoltare tiinific i tehnic, rezolvarea unei probleme dintr-undomeniu (matematic, informatic, fizic, chimie, etc.) reprezint o activitate de creaie, unraionamentprin construirea, generarea, descrierea:

demonstraieicare s arate existena unei soluii sau a mai multor soluii algoritmului care s codifice o demonstraie, o metod sau o tehnic de rezolvare n scopul

determinrii soluiei exacte.n procesul de rezolvare a unei probleme dintr-un anumit domeniu (tiinific, economic,

social, etc.), este necesarevidenierea ipotezei (condiiile, parametrii iniiali) i a concluziei (cerinele,obiectivele) din analiza i studiul enunului problemei. Procesul de rezolvare (raionamentul) const nutilizarea selectiv a legilor, teoremelor,propoziiilor, etc. Din domeniul problemei, pentru ca pornind dela ipotez(I), prin aplicarea succesiv a legilor, teoremelor, etc. s se obin concluzia (C) problemei.Legtura dintre ipotez, concluzie iprocesul de rezolvare (raionamentul - R) determin o structurasemntoare conceptului deprogram, i anume (Ipotez - Date de intrare; Concluzia - Date de ieire).


42/62

32

Aceast prezentare poate fi neleas dac, deexemplu, facem analogia cu rezolvarea problemelor degeometrie care necesit delimitarea ipotezei i a concluziei,ca apoi s se utilizeze numai acele teoreme, propoziii,

proprieti care, pornind de la ipotez, prin aplicareasuccesiv, s se obin concluzia cerut. Evident, se poateafirma faptul c selectarea teoremelor i aplicarea lor se

poate realiza doar prin stpnirea domeniului respectiv lanivel de specialist sau de expert.Este cunoscut faptul c o problem se poate rezolva

n trei moduri evideniate de Inteligena artificial: pornind de la ipotez s obinem concluzia pornind de la concluzie s obinem ipoteza pornind simultan, de la ipotez iconcluzie.

Concluzie:n rezolvarea problemelor se pornete de la ipotez, se cunoate teorema i prin modalitatea

de rezolvare a acesteia se obine concluzia. n mod similar, pornind de la concluzie i urmndcalea invers, se poate obine ipoteza. Dar ceea ce st la baza inteligenei este de faptdescoperirea drumului prin care pornind de la ipotez s ajungi la concluzie, sau pornind de laconcluzie s ajungi la ipotez.

Bibliografie

1. Andone, I., Mockler, R., Dologite, D., Tugui, A. Dezvoltarea sistemelor inteligenten economie, Ed. Economica, Bucuresti 2001;

2. Bodea, C. Inteligenta artificiala si managementul cunostintelor economice Revista Informatica Economica, nr 1 (13) / 2000;

3. Vlada, M., Rezolvarea problemelor folosind Eureka, software educaional,www.unibuc.ro/eBooks/informatica/eureka/, Universitatea din Bucuresti, 2003.

4. Vlada, M.,Gndirea algoritmic - o filosofie modern a matematicii i informaticiisoftware educaional, www.unibuc.ro/eBooks/informatica/eureka/, Universitatea dinBucuresti, 2003.


43/62

33

Matematica aplicata n confectii textile.

Modalita ti de apreciere a modelelor

economiceElevi: Rduc Ionela, Oancea Lelia-Elena, coala Special de Arte i Meserii Buzundrumtor: prof. Andrei Doina

Dup cum se tie, partea important a normelor de consum de estur n mbrcminte estereprezentat de suprafaa nsumat a reperelor i elementelor din care este alctuit produsul. De aceea,formele i dimensiunile acestora trebuie s se ncadreze n tendinele modei la un moment dat dar, nacelai timp, trebuie s conduc la utilizarea raional a bazei de materii prime. n acest context, esteimportant s se poat aprecia ct mai corect consumurile materiale ntr-o etap anterioar procesului

efectiv de proiectare constructiv a unui nou model, atunci cnd se mai poate interveni fr a se diminuai componenta estetic a produsului.

Exist posibilitatea de evaluare a economicitii modelelor cu urmtorii indicatori:

consumul specific de materie prim(Cs); indicele de utilizare a suprafeei materialului(Iu); procentul pierderilor la ncadrare(Ip).Consumul specific reprezint cantitatea de materie prim (de baz, materiale auxiliare i

secundare) necesar confecionrii unui produs.

Studierea i definirea consumului de materii prime i materiale se face n urma realizriincadrrilor, valoarea consumului specific determinndu-se cu relaiile:

Cs =p

nc

n

L(m)

Cs =p

nc

n

lL (m2)

Cs =p

nc

n

lL M(kg)

unde: Lnclungimea ncadrrii (m);npnumrul de produse ncadrate;

llimea materialului (m);

Mmasa materialului textil (kg/m2).

Consumul specific exprimat n uniti de mas este foarte util pentru evaluarea masei produsului,indicator semnificativ de confort la purtarea mbrcmintei i totodat indicator de valorificare amateriilor prime fibroase. Cs oglindete preocuparea specialitilor pentru realizarea unor produsefuncionale, cu mas redus.

Cunoaterea consumului specific este necesar dar nu i suficient pentru evaluarea modului devalorificare a suprafeei materialului textil deoarece o ncadrare trebuie apreciat att prin consumul dematerial obinut, ct i prin modul de ocupare a suprafeei materialului cu reperele produsului. Pentru


44/62

34

aceasta se calculeaz indicele de utilizare a suprafeei materialului (Iu), care exprim de faptrandamentul de utilizare al acestuia:

Iu =nc

ab l

S

S 100 (%)

unde: Sablsuprafaa abloanelor din ncadrare sau suprafaa util a ncadrrii (m2);

Sncsuprafaa ncadrrii: Snc = Lncl (m

2

).Deoarece abloanele au n general un contur neregulat, iar la amplasarea pe material sunt impuse o

serie de restricii, suprafaa ncadrrii este ntotdeauna mai mare dect suprafaa abloanelor, astfel nc tindicele de utilizare este mai mic de 100 %.

ntr-o ncadrare, ntre abloanele amplasate, vor fi permanent suprafee neocupate, numitepierderidintre abloane (P) saupierderi absolute,care reprezint diferena dintre suprafaa ncadrrii i suprafaaabloanelor i totodatsuprafaa materialelor recuperabile la ablonare:

P = Snc - Sabl(m2)

Se poate calcula un indice, opus ca semnificaie indicelui de utilizare, numit indice de pierdere

(Ip), de fapt indicele materialelor textile recuperabile, cu relaia:

Ip =ncS

P 100 (%)

Pentru verificare:Iu + Ip = 100 (%).

Bibliografie:

1. Emilia Filipescu, Structura i proiectarea confeciilor, Editura Performantica, Iai, 20032. Stan Mitu, Ecaterina Pintilie, Mihaela Mitu, Bazele tehnologiei confeciilor textile (ndrumar

de lucrri practice), Editura Performantica, Iai, 2003


45/62


46/62

36

Cifrele arabe

Dac la cifrele romane I,II,III,IV,V,VI,exist o legtur ntre forma lor i numrul pe care-lreprezint,cifrele arabe par la prima vedere lipsite de logic.FALS!n aceast privin arabii au fost mult mai sofisticai dect romanii.Mai nti trebuies stii c n vechimei cifrele arabe erau formate din linii drepte pentru scrierea(sau mai bine zis scrijelirea)lor mai uoar pe

nisip,pe tblie de lut n piatr etc.Ulterior pe msur ce instrumentele de scris i suportul pe care se scrias-au perfecionat a crescut viteza de scriere i segmetele drepte care formau cifrele s-au rotunjitajungndu-se la forma de azi.

i acum s vedem cum aratau cifrele arabe n vechime,iar logica formei lor o vei descoperisinguri

i cel mai interesant dintre toate este

8 unghiuri

9 unghiuri

1 unghi

2 unghiuri

3 unghiuri

4 unghiuri

5 unghiuri

6 unghiuri

7 unghiuri

Nici un unghi


47/62

37

Numrul zero

Din punct de vedere etimologic, cuvntul zero este de origine latin fiind mprumutat dinlimba arab unde sensul su era de vid.Acest numr are n matematic o personalitate deosebit:nuse poate mpri sau simplifica cu zero,este element neutru n rzboiul cu adunarea,este limita superioar anumerelor negative i cea inferioar a celor pozitive.Adugat dup un numr natural,i modific cu multvaloarea.

Este greu s ne imaginm c secole de-a rndul oamenii nu au cunoscut aceast cifr, ceea cefcea ca efectuarea operaiilor s fie extrem de dificil.n zilele noastre, zero a cptat o importan i maimare deoarece n calculatoarele electronice numerele se formeaz din iruri alctuite numai din dou cifre0 i 1.

Se zice c zeroeste o nulitate,dar de cte ori nu ne raportm la el? Este temperatura la carenghea apa;este considerat anul dinaintea naterii lui Iisus Hristos;cu zero este notat i nivelul mrii. Bachiar exist i un meridian zero.

Cu adevrat matematica exist n fiecare zi!

Bibliografie Aristoteliana, nr. 1, 2009Revista cercului metodic de matematica

Fagaras-Rupea-Victoria; Aristoteliana, nr. 2, 2010Revista cercului metodic de matematica

Fagaras-Rupea-Victoria; Teste de logic, Valerie Clisson i Arnaud Duval, Editura Polirom, 2006


48/62

38

Matematica-prezenta activa n viata

cotidiana

Neacu Cristinel Gabriel

Clasa a VI-acoala cu clasele I-VIII Vleni

Prof. ndrumtor: Stancu Maria

Matematica este un limbaj universal, avnd aplicaii n diferitedomenii de activitate, n viaa noastr de zi cu zi. Efectum

calcule, aplicm diferite cunotine matematice.Referatul prezint doar cteva din aplicaiile

procentelor n probleme financiare cotidiene: ieftiniri,scumpiri, dobnd, TVA, remiz i ale noiunii de raport,

scara unui plan sau a unei hri.Auzim periodic de ieftiniri i scumpiri, adic demicorarea sau mrirea un pre cu un procent anunat.Problema nr.1: O pine cost 1 leu. Se scumpete cu 10%.Ct va costa dup scumpire?Rezolvare: 1+1*10%=1,1 (lei)

Bncile acord dobnd dac depunem bani n conturisau pltim dobnd, dac ne mprumutm.

Problema nr.2: Un om mprumut de la o banc 36000 lei pentru a cumpra o main. Pltete odobnd anual de 20%. Ce sum vaplti dup 1 an?Rezolvare: 36000+20%* 36000=43200 (lei)

n sistemul bancar se practic: dobnda simpl este folosit atunci cnd perioadele pentru care se calculeaz aceasta sunt maimici de un an; n acest caz dobnda aferent se ncaseaz (nu se capitalizeaz); dobnda compus este folosit atunci cnd perioadele pentru care se calculeaz aceasta sunt maimari de un an; n acest caz dobnda se capitalizeaz (se pltete dobnd la dobnd).

Datorit inflaiei vom ntlni rata nominal a dobnzii (dobnda cuvenit prin contractul de credit) irata real a dobnzii reale.

n condiiile n care, de pild, rata nominal a dobnzii este de 40%, iar rata inflaiei este de 33%, ratadobnzii reale va reprezenta 7 (dobnda real pozitiv).

n fiecare zi pltim TVA sau mai concret taxape valoarea adugat.Este un impozit indirect stabilit iperceput asupra valorii adugate n fiecare stadiu al produciei i al distribuiei bunurilor economice,

oricare ar fi proveniena lor, din ar sau din import. Fiind un impozit deconsum, cel care suport aceastsarcin fiscal este consumatorul final, intreprinderea avnd rolul de a colecta i de a vrsa la bugetul destat TVA.

Are un caracter universal, deoarece se aplic tuturor bunurilor rezultate att din activitateacurent deexploatare, ct i din activitatea financiar de fructificare a capitalurilor disponibile. Este un impozitneutru i unic, deoarece se aplic tuturor activitilor economice, iar nivelul ei este independent de

ntinderea circuitului economic. Plata TVA este fracionat, deoarece ea se calculeaz pentru fiecarestadiu care intervine n producerea i comercializarea bunului economic.Problema nr.3:Un obiect cost 25 lei. Ci lei va costa dup aplicarea TVA de 20%?Rezolvare: 25+20%*25=30(lei)

n comer exist o form de retribuire, numit remiz,potrivit creia lucrtorii primesc pentru muncaprestat, o sum de bani, n funcie de volumul vnzrilor pe care le efectueaz.

Problema nr.4:Un lucrtor comercial primete 600 lei salariui 1% procent din vnzri. Dac ntr-olun va vinde produse n valoare de 10000 lei, care va fi salariul primit la sfritul lunii?


49/62

39

Rezolvare: 600+1%*10000=700 (lei)O aplicaie a noiunii de raport este scara unui plan sau a unei hri.

Plan, desen, fotografie, machet, hart sunt cteva moduri de a reprezenta pe un suport obiecte.Dac obiectele sunt prea mari sau sunt prea mici, pentru a fi reprezentate n dimensiuni reale, s -a

convenit ca dimensiunile lor s fie reduse sau s fie mrite respectnd o proporionalitate direct ntredimensiunile reale i cele reproduse.

Coeficientul de proporionalitate dintre dimensiunile unui obiect reproduse printr-un plan, desen,

fotografie, machet, hart i cele reale se numete scar.

Exemple de reproduceri prin reducere Scri folositeMachete de automobil, avion, vaporHri, planuri urbane

Fotografiile unei cldiri, unui imobil

Machete:1:24; 1:36; 1:72Hart zon: 1:10 000Hart ar: 1:1 000 000

1:2 000 000Arhitectur: 1:50; 1:100

Scara acestor reproduceri este de forma: 1:n, unde n este un nr. natural nenul.

Exemple de reproduceri prin mrire Scri folositeDesene din biologie, cristalografie

Desene reprezentnd circuite electronice

Microbiologie: 1 000:1Zoologie: 10:1Circuite electronice: 100:1

Scara acestor reproduceri este n:1, unde n este un nr. natural nenul.Observaie: Lupele, microscoapele, telescoapele sunt caracterizate prin posibilitile lor de mrire,

posibiliti corespunztoare unor scri. De obicei aceste scrisunt menionate pe instrmente.Citirea unei scri:Scara de reducere1:250, se citete unu la 250 i are semnificaia c 1 cm din reproducere reprezint250 cm n realitate.Scara de mrire100:1, se citete o sut la 1 i are semnificaia c 100 cm din reproducere reprezint 1cm din realitate.Problemele la reproducerile la scar suntprobleme de proporionalitate.

Exemplu:Care este scara unei reproduceri dac msura reprodus este de 8 cm, iar msura real de320 000 cm?Rezolvare

000408

00032011

000320

8

x

x

scara este de 1:40 000.n concluzie, matematica nu este un domeniu abstract, numai cifre, formule i teoreme, este o

prezen activ n viaa de zi de zi a oamenilor, indiferent de domeniul lor de activitate.

Bibliografie:Dncil Ioan Matematic aplicat, Editura Sigma, Bucureti 2000


50/62

40

MATEMATICA TIINTA I LIMBAUNIVERALA

Elev:Apostol Amalia clasa a IX-aLiceul Teoretic. Tata Oancea

Prof. ndrumtor:Musti Liliana Gabriela

Matematica ...reprezint att de multe pentru aceast lume,dar reprezint att de multe pe care

aceast lume nu le vede , nu le nelege sau nu le poate cuprinde .

Pentru unii matematica reprezint un important

mijloc de dezvoltare economic ,pentru alii , o tiin

complicat cu care nu se poate deprinde oricine .Pentru unii

devine chiar o pasiune prin satisfacia de a descoperi mereu

ceva nou , pe cnd pentru alii nseamn doar un prilej de a

avea note mai mici n catalog.

De fapt, matematica este o reprezentare mult mai

ampl i mai amnunit a cifrei . Importana ei este mult

mai mare dect crede lumea.Poate nu toti tiu teorema

sinusului , dar toi tiu c unu plus unu fac doi i de cele mai

multe ori , asta aduce un folos mai mare dect orice teorem

sau formul complicat.

Matematica nu este numai un domeniu ,ci i un

element al multor altor domenii, fr de care ar fi mult mai

greu chiar i pentru cei crora nu le place matematica.Deaceea, ei nu tiu ct de vast este universul cifrei :Geografia spune c temperatura scade cu ase grade

Celsius la fiecare 1000 m nlime , Istoria spune c naintea erei noastre , lumea a existat alte milioane de

ani , Biologia condiioneaz ca n fiecare celul a corpului omenesc s fie prezeni strict 46 cromozomi,

Muzica a descoperit c pe numai opt note muzicale se pot construi sute de game i Literatura ne spune c

Alb ca Zpada a avut nu mai mult i nici mai puin de apte pitici.Ct despre fizic ,informatic i

chimie , se tie cu certitudine care este baza lor i de la ce au pornit.Deci matematica este regina tiinelor.

Pe lng faptul c a participat la construirea acestor

domenii , matematica a devenit cu timpul , o limb

universal.Fie c te duci n Japonia sau n America , dac nu

tii limba ,tii sigur c este egal tot cu 3,14 ( cu aproximare

prin lips cu o sutime, bineneles).

Faptul c la un moment dat clasica materie se

bifurc n dou categorii total diferite (algebra i geometria )

,ofer noi satisfacii ale cunoaterii i ,totodat , curiozitatea

avanseaz n grad.Atunci descoperi cele dou drepte

paralele :dintre acestea , algebra este instrumentul intelectual

care a fost creat pentru redarea clar a aspectelor cantitative

ale lumii, te nva s ncerci mereu s gseti o rezolvare la o

situaie ce-i st nainte ,orict de monstruoas ar fi i ct de

groaznic te-ar speria .Aici descoperi c dac ncerci , mereu

vei gsi un rezultat .Poate acesta nu este ntotdeauna bun , dar data viitoare vei ncerca din nou , nsperana c , tiind unde ai greit , vei reui.


51/62

41

Cealalt dreapt , geometria , te nva s priveti o situaie din toate prile i s o ntorci pe

toate feele , pn i gseti i un aspect favorabil .Avantajul este c , dac nu are nici o parte bun, o poi

transforma din piramid triunghiular ntr-una patrulater, iar dac nu ajung nici cinci fee o poi

transforma n cub , i tot aa pn lucrurile ncep s fie de partea ta.

Dup ce ai nceput s ptrunzi , s cunoti i s stpneti ambele paralele, observi c ajungi n

punctul lor de intersecie , punctul n care poi sfida definiia paralelelor punctul care nu se mai noteaz

cu o liter mare din alfabetul latin , ci se numete Trigonometrie .Acum dup ce la nceput era o singur

matematic , separndu-se n dou drepte acestea devin paralele, iar printr-un mod att de armonios , elese unesc din nou , lsnd lumii matematica spre a fi studiat mai departe , n toat splendoarea ei .

Pentru cei pasioni ns, segmentarea ei n nite etape nu este suficient pentru a o putea descrie

. Ei tiu c niciodat nu va putea fi conceput un grafic

att de amplu nct s cuprind toate rezultatele care schimb lumea .

Pentru unii matematica nseamn formule i teoreme de memorat , dar dup ce o afli cu adevrat

, vezi c acestea nu trebuie memorate , ci trebuie gndite .Cifrele reprezint doar o poart spre o alt lume

, o lume fantastic unde , dac vrei s poi avansa , nu o faci cu picioarele ci cu mintea .Sunt categorii de

oameni care i cred pe iubitorii de matematic cum s-ar zice acum tocilari , dar nu tiu ce greeal

fac.Numai un artist poate vedea matematica ca pe o art , ceea ce i este .Dar pentru a o vedea ca pe o art

, trebuie s tii din ce unghi s o priveti :dac unghiul are 90 de grade ai toate ansele s stpneti lumea

cifrelor .


52/62

42

CLASE DE FUNC II CU PUNCT FIXElev: BUJOR CRISTINA

coala: GRUP COLAR ALEXANDRU CEL BUN-BOTO ANI

Profesor ndrumator: ANGELICA UNGUREANU


53/62

43


54/62

44


55/62

45


56/62

46


57/62

47

irului lui Fibonacci altfelWollhrap Irina, Colegiul Naional Octav Onicescu, Bucureti

Profesor ndrumtor Dinc Doina Mariana

Leonardo Pisano (Leonardo din Pisa,1170-1240), cunoscut i sub numele de Leonardo Fibonacci(Filius Bonaccii, fiul lui Bonaccio) a fost de departe cel mai mare matematician european din EvulMediu. A studiat lucrarea lui al-Khwarizimi (al crui nume sta laoriginea cuvntului "algoritm" ) i aadus numeroase contribuii originale aritmeticii i geometriei. De altfel el este cunoscut ca fiind unul

dintre primii care a adus cifrele arabe n Europa, cifre pe care le folosim i n zilele noastre

(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9). irul lui Fibonacci este o secven de numere n care fiecare numr se obine dinsuma precedentelor dou din ir. Astfel, primele 10 numere ale irului lui Fibonacci sunt: 1, 1, 2, 3, 5, 8,

13, 21, 34, 55, ... (primele 2 numere sunt predefinite, iar restul se obin n mod recursiv, din sumaprecedentelor dou: 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2, .a.m.d.).

Numerele lui Fibonacci se regsesc n natur i n trupul uman i au influenat totodat i arta,

arhitectura, muzica. Proporiile lui Fibonacci se regsesc chiar i n obiectele din viaa de zi cu zi, cumsunt crile de joc, carneelele de notie, oglinzile, ferestrele, crile de credit. Cu alte cuvinte, noi i

mediul nconjurtor ne conformm principiilor matematice manifeste n univers.

Astfel, conurile de brad, anghinarele, ananasul, floarea soarelui, nuca, petalele, solzii, seminele -toate respect proporiile lui Fibonacci. Conurile de brad i anghinarele au 5 spirale abrupte i 8 spirale

gradate. Ananasul are 8 i 13 spirale gradate i 21 de spirale abrupte. Floarea-soarelui prezint 55 dernduri de semine orientate n sensul invers al acelor de ceasornic i 89 de randuri de semine orientate n

sensul acelor de ceas.n ceea ceprivete lumea florilor, natura se mbin cu Fibonacci.

Fig.1 Fig.2

Cu o petal: cala (Zantedeschia aethiopiea) este o floare mare, cu petale groase, cerate i capetesolitare de 15-20 cm lungime. Cu 2 petale: laptele cinelui (florile cu 2 petale sunt foarte rare).
http://3.bp.blogspot.com/_B9lBhwK8yCI/S_AMpiTat0I/AAAAAAAAAt0/LFg8xGnz8GY/s1600/fib02sm.jpghttp://4.bp.blogspot.com/_B9lBhwK8yCI/S_AMX3dqYXI/AAAAAAAAAts/9tCOniTg7P0/s1600/fib01sm.jpg


58/62

48

Fig. 3 Fig.4Cu 3 petale: crin, iris (n poz - trillium). Acestea sunt mai comune dect cele cu 2 petale. Cu 5

petale: piciorul cocoului, trandafir slbatic, nemisor, cldrua. Sunt sute de specii, att slbatice ct icultivate.

Fig. 5 Fig.6

Cu 8 petale: bloodroot (termenul este n englez). Florile sunt de culoare alb, cu centrul galben.Apar prima oar iarna trziupnprimvar devreme. Floare are, de obicei, opt petale dispuse simetric.

Cu 13 petale: cineraria. Este o plant sub forma de tuf, florile neparfumate sunt aezate subform de buchete globulare, seamn cu margaretele i au numeroase culori (galben, roz, portocaliu,rou, violet, albastru), in funcie de specie.

Cu 21 petale: susanul cu ochii negri, bnuei. Cu 34 petale: bnueii de cmp.

Fig. 7 Fig.8
http://3.bp.blogspot.com/_B9lBhwK8yCI/S_ANOKtY1tI/AAAAAAAAAt8/xDzmTdwBrdc/s1600/fib03sm.jpghttp://2.bp.blogspot.com/_B9lBhwK8yCI/S_ANxNAL5vI/AAAAAAAAAuE/YPVPrniTZxA/s1600/fib_flow5.jpghttp://4.bp.blogspot.com/_B9lBhwK8yCI/S_AOwDTxSdI/AAAAAAAAAuk/Bod1ZJjgo5I/s1600/fib08sm.jpghttp://1.bp.blogspot.com/_B9lBhwK8yCI/S_AOgtr8IuI/AAAAAAAAAuc/NfnsKLXFzV8/s1600/fib07sm.jpghttp://3.bp.blogspot.com/_B9lBhwK8yCI/S_AOV7vZnzI/AAAAAAAAAuU/Lgpc-xNSn2A/s1600/fib06sm.jpghttp://2.bp.blogspot.com/_B9lBhwK8yCI/S_AOBb6u6nI/AAAAAAAAAuM/kCN4Ev4s_3k/s1600/bloodroot.jpg


59/62

49

Cochilia melcului - Ci dintre voi nu au studiat un pic cochilia melcilor iesii "la plimbare" dupo ploaie de var? Designul ei urmeaz o spiral extrem de reuit,o spiral pe care nou ne-ar fi greu s orealizm trasnd-o cu pixul.

Fig.9Fiind studiat mai n amnunime, s-a ajuns la concluzia c aceast spiral urmrete dimensiunile

date de secvena lui Fibonacci:

-pe axa pozitiv: 1, 2, 5, 13, amd...-pe axa negativ: 0, 1, 3, 8, amd..

Dup cum putem observa, aceste 2 subiruri combinate, vor da chiar numerele lui Fibonacci. Lafel i Aloe Polyphylla are spirale descrise sub forma irului lui Fibonacci.

Mna uman are 5 degete, fiecare deget avnd 3 falange separate prin 2 ncheieturi (numere nsecven). In medie, dimensiunile falangelor sunt: 2cm, 3cm, 5cm. In continuarea lor este un os al palmeicare are n medie 8 cm. Cercettorii pasionai de irul lui Fibonacci au gsit chiar c i ADN-ul respectaceast regul aparent ciudat.

Pn acum, irul lui Fibonacci era un lucru ciudat de care mai toat lumea se ferea. Mai nou,acest ir este o adevrat minune care capteaz atenia cercettorilor i i face s neleag mult mai uor

cum evolueaz natur. Celebrul ir al lui Fibonacci este probabil unul dintre cele mai captivante lucruri

nvate la matematic/informatic, tocmai datorit faptului c i putem vedea reflexia n

fenomenele/lucrurile din jurul nostru. Ne demonstreaz c nimic nu este ntmpltor i c fiecare amnunt

este bine calculat pentru a fi pus acolo unde trebuie pus, dupa cteva calcule. Natura ne ofer numeroase

astfel de exemple, amintite mai sus. Acelea sunt ns o parte, paleta de demonstraii fiind att de

generoas nct epractic imposibil s fie toate prezentate. Rmne, ns, s le descoperim singuri, de-alungul vieii.

Fig.13

Bibliografie[1] Mariana Miloescu, Manual Informatic, clasa a IX-a,Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti,2004

[2] A. Bucur,Aplicaii ale matematicii n biologie i ecologie, Ed.ULBS, Sibiu, 2008.[3] G. Smoran, Elemente de matematic pentru biologi, Editura Didactic i Pedagogic, Bucureti,1991.[4] http://4.bp.blogspot.com/


60/62

50

Poveste matematica tefnescu Beatrice Alexandra

coala cu clasele I-VIII Rotrti

Comuna Nicolae Blcescu, jud. Vlcea

Profesor ndrumtor: Bologa Cristiana

Cadrul: la ora de curs n timpul anului colar( pauzamare, alt pauz, la nceputul cursurilor, dup cursuri, lasfritul semestrului I, sau la sfritul semestrului al II lea i alanului colar).

Roluri: Primul elev care este preocupat de situaiasa colar la disciplina matematic, are rezultatele mai slabe (se

situeaz la nivelul de corigenie i/sau la nivelul de repetenie,dup momentul n care se organizeaz sceneta), care dorete s recupereze rmnerile n urm la nvtur, s obin note mai mari, s-i redreseze situaia.

Al doilea elev care ntlnete primul elev , afl despre problemele acestuia i i propune snvee mpreun i cu ali colegi, ntr-un cadru preferat din lumea feeric a basmelor, unde nvatul lamatematic poate fi uor, amuzant i cu reuit .

Vitejii elevii care doresc s obin note mai mari (s promoveze semestrul I, s promovezesemestrul al IIlea, s evite corigenia etc.), participani la ntreceri concurs de tip

ntrebare - rspuns.

Ali elevi - care vor fi distribuii n celelalte roluri ale povestirii alese.

Subiectul de basm al scenetei:

Prinesele Algebra i Geometria sunt rpite de ctre Zmeul Notelor Mici i fratele acestuia, ZmeulCorigenelor.

Pentru a le elibera i a le reda familiei Regelui i Domeniului su Regal, vitejii (elevii care dorescs obin note mai mari, s promoveze la disciplina matematic n semestrul I), trebuie s participe la

ntrecericoncurs, de tip ntrebarerspuns.Regele Mathematicus l trimite pe viteazul Numericus, s participe la ntrecerea - concurs impus,

s elibereze cele dou Prinese.

Cadrul:or de curs din sptmna 2.04.2012 - 6.04.2012, la clasa a VIa.Roluri: Primul elev rolul viteazului Numericus...

Al doileaelev rolul Regelui Mathematicus - ...Prinesa Algebra - nsoitoarea Prinesei Algebra Prinesa Geometria ..nsoitoarea Prinesei Geometria Zmeul Notelor MiciZmeul Corigenelor

nsoitorii viteazului Numericus doi sau mai muli elevi, care l vor ajuta pe viteaz sutilizeze documentele (fiele cu aplicaii adezive) n ntrecerea concurs.Prezentatorulun elev ( o elev sau profesorul).


61/62

51

Sceneta:Primul elev, foarte preocupat de situaia sa colar se ntlnete cu al doilea elev.Al doilea elev: Ce faci ?Primul elev:M gndesc ce ar trebui s fac, deoarece mi place matematica, ns am notele foarte mici, sar putea s nu promovez n acest semestru.Al doilea elev: n lumea basmelor, nvatul la matematic poate fi uor, amuzant i cu reuit. S ne

imaginm c tu eti viteazul Numericus, eu sunt Regele Mathematicus, iar fiicele mele, Prinesa Algebrai Prinesa Geometria sunt rpite de ctre Zmeul Notelor Mici i de ctre fratele acestuia, ZmeulCorigenelorCei doi elevi ies din scen pentru a se costuma.Intr n scen celelalte personaje, costumate i se aeaz la locurile stabilite pentru desfsurarea ntrecerii

concurs.Prinesele mpreun cu nsoitoarele lor susin planele cu ntrebrile din algebr i din geometrie, sau lefixeaz pe un suport.Cei doi Zmei vor adresa ntrebrile i vor ncearca s-l mpiedice pe viteazul Numericus s rspundcorect la ntrebri (nerespectnd ordinea n care sunt scrise pe plane). Pot s -i cheme ajutoare, sau s-iformeze o galerie.

Intr n scen Regele Mathematicus, apoi viteazul Numericus.Regele Mathematicus:Numericus, i nmnez documentele necesare ( fiele cu aplicaii adezive), ia-insoitori i du-te pe Trmul Zmeului Notelor Mici i al fratelui su, ZmeulCorigenelor, unde sunt rpite cele dou Prinese, Algebra i Geometria, pentru a le elibera !

Numericus ia documentele, i cheam nsoitorii i pleac spre Trmul Zmeului Notelor Mici i alfratelui su, Zmeul Corigenelor.ntrecereaconcurs:

1. Cte cifre zero finalizeaz numrul 886 532 ?

2. Aflai cel mai mare numr naturalde trei cifre, care mprit la 24 d ctul 18 .3. Aflai ct reprezint 30% dintr-un numr, dac 70% din acest numr este 175.4. Dac (x,y) = 12 i [x,y] = 60, aflai xy.5. Calculai : a) (1+3+5+...+2001+2003)-(2+4+6+...+2002+2004); b) (-1)(-1)(-1)(-1)(-1);

c) ;3:3:32247 220222333333

6. Rezolvai: a) xy+x =3, n Z; b) (x-1)(y-11) = - 17, n Z.

7. Dac bisectoarele a dou unghiuri adiacente formeaz un unghi cu msura de 0356 ,aflai suma msurilor celor dou unghiuri.

8. Aflai diferena dintre suplementul i complementul unghiului de 40 .9. Stabilii natura triunghiului ABC, dac ACBABC .10. Perimetrul unui triunghi este de 51 cm. Aflai lungimile laturilor triunghiului tiind c sunt numere

impare consecutive.

11. Determinai msurile unghiurilor unui triunghi tiind c unul dintre unghiurile sale exterioare are 75 ,iar

unghiurile neadiacente cu acesta, ale triunghiului au diferenaegal cu 10 .12. Aflai media aritmetic a msurilor unghiurilor exterioare ale unui triunghi.13. Determinai msura unghiului format de bisectoarele unghiurilor ascuite ale unui triunghidreptunghic.


62/62

14. Aflai x din figura :

x

150

15. Cte pagini are o carte dac n prima zi s-au citit 4

1

dintre acestea, a doua zi 2

1

din rest, dup care aumai rmas 45 de pagini.16. Precizai cnd punctul B este simetricul punctului A fa de un punct O

Aflai noiunile matematice cuprinse n tabelul de mai jos.M U L T I M E L E M E N T E G A L X

U B A C X D B Y N U M A R W S C G P

L I N I E R V H T X W X I Z I O D R

T S U N I T A T E M A S U R A L E O

I E M E D I A N A T L F N B P A F B

P C A G I N A L T I M E G G U D I L

L T R A P O R T R E S T H P T A N E

U O A L Q M O R P D N D I R

interfere nte 10

Documents