integrala nedeﬁnita (primitive)˘ - grupa 5107 | just ... · pdf fileprimitive.tabelul...

Integrala nedefinitaIntegrala definita

Integrala nedefinita (primitive)

1 Integrala nedefinitaPrimitiveIntegrarea prin partiSchimbarea de variabilaIntegrarea functiilor rationaleIntegrarea functilor trigonometriceIntegrarea functiilor irationale

2 Integrala definita

Integrala


Integrala

februarie 2011

Integrala


PrimitiveIntegrarea prin partiSchimbarea de variabilaIntegrarea functiilor rationaleIntegrarea functilor trigonometriceIntegrarea functiilor irationale

Primitive.Tabelul primitivelor

Definitia

Fie f : J → R, J ⊂ R un interval. Functia F : J → R se numesteprimitiva sau antiderivata a functiei f pe J, daca

1. F este derivabila pe J2. F ′(x) = f (x), ∀x ∈ J

Multimea tuturor primitivelor se mai numeste integralanedefinita si se noteaza∫

f (x)dx = F (x) + c, c ∈ R.

Integrala



Tabelul primitivelor

1∫

xn dx =xn+1

n + 1J ⊂ R

2∫

xa dx =xa+1

a + 1, J ⊂ (0,+∞), a ∈ R \ {−1}

3∫

ax dx =ax

ln a, J ⊂ R, a ∈ R+ \ {0,1}

4∫

1x

dx = ln |x | J ⊂ (−∞,0) sau J ⊂ (0,+∞)

5∫

1x2 − a2 dx =

12a

ln∣∣∣∣x − ax + a

∣∣∣∣ , x ∈ J ⊂ R \ {−a,a},a 6= 0

Integrala



6∫

1x2 + a2 dx =

1a

arctanxa, x ∈ J ⊂ R, a 6= 0

7∫

sin x dx = − cos x , x ∈ J ⊂ R

8∫

cos x dx = sin x , x ∈ J ⊂ R

9∫

1cos2 x

dx = tan x , x ∈ J ⊂ R \ {(2k + 1)π

2}, k ∈ Z

10∫

1sin2 x

dx = − coth x , x ∈ J ⊂ R \ {kπ}, k ∈ Z

Integrala



11∫

tan x dx = − ln | cos x | x ∈ J ⊂ R \ {(2k + 1)π

2}, k ∈ Z

12∫

coth x dx = ln | sin x | x ∈ J ⊂ R \ {kπ}, k ∈ Z

13∫

1√x2 + a2

dx = ln(x +√

x2 + a2), a 6= 0, x ∈ J ⊂ R

14∫

1√x2 − a2

dx = ln |x +√

x2 − a2|, a > 0,

x ∈ J ⊂ (−∞,−a) sau J ⊂ (a,∞)

15∫

1√a2 − x2

dx = arcsinxa, a > 0, x ∈ J ⊂ (−a,a)

Integrala



1 Aratati ca orice doua primitive ale functiei f pe un interval Jdifera printr-o constanta.

2 Aratati ca o functie care admite primitive pe un interval areproprietatea lui Darboux.

3 Aratati ca urmatoarele functii nu au primitiva pe R

1. f (x) =

{0, daca x ≤ 12x , daca x > 1

2. f (x) = [x ], x ∈ R unde prin [ ] s-a notat partea întreagaa numarului x .

3. f (x) =

{x , daca x ∈ Qx3, daca x /∈ Q

Integrala



Aratati ca urmatoarele functii au primitiva

1 1. f (x) =

{ sin xx

, daca x ∈ R \ {0}1, daca x = 0

pe R

2 2. f (x) =

{x sin

1x, daca x ∈ R \ {0}

0, daca x = 0pe R

3 f (x) =1

4 + 3 cos xpe intervalele [0, π] si [0,2π].

Integrala



Formula de integrare prin parti

Teorema(Integrarea prin parti) Daca f ,g : J → R sunt derivabile cu

derivate continue, atunci functiile fg, f ′g, fg′ admit primitive siare loc relatia∫

f (x)g′(x)dx = fg −∫

f ′(x)g(x)dx . (1)

Integrala



Exercitii

Determinati primitivele urmatoarelor functii

1. ln x 2. arctan x 3. arcsin x

4. x sin x 5. x cos 3x 6.xex 7. eax cos bx

Integrala



Schimbarea de variabila

TeoremaFie I, J ⊂ R doua intervale si

1. f : J → R o functie continua.2. ϕ : I → J este o functie bijectiva, derivabila cu derivatacontinua si nenula pe I.3. G este o primitiva a functiei (f ◦ ϕ)ϕ′

atunci G ◦ ϕ−1 este o primitiva a lui f .

Integrala



Exercitii

1. xe−(x2+1) 2. x7x2 3. e1x

x2 4. ex

ex−1 5. ex√

a− bex 6. ax

1+a2x

7. 12x+3 8. ex

1−e2x 9. cos√

x√x 10. sin(lg x)

x 11. sin 2x

12. xcos2(x2)

13. tan x 14. coth x 15. 1sin x cos x 16. x 5

√5− x2

Integrala



Primitivele functiilor rationale

Definitia

O functie f : J → R se numeste rationala daca este de forma

f (x) =P(x)

Q(x), Q(x) 6= 0, ∀x ∈ J

unde P,Q sunt doua polinoame cu coeficienti reali.

Se cunoaste ca orice functie rationala poate fi descompusaîntr-o suma finita de fractii simple. Reamintim aceste formesimple si primitivele lor.

Integrala



Observatie Daca f : J → R este o functie rationala, atunci prinîmpartirea lui P la Q, se obtine

f (x) =P(x)

Q(x)= L(x) +

R(x)

Q(x)

unde grad R < grad Q.

Integrala



Fractii simple

1 a0xn + a1xn−1 + . . .+ an−1x + an are primitiva imediata,data de punctul 1 din tabel.

21

(x − a)n , n ∈ N pe intervalul J ⊂ (a,∞) sau J ⊂ (−∞,a)

are primitiva data de punctul 4 din tabel, daca n = 1 , iardaca n > 1 data de punctul 1.

Integrala



Fractii simple

1bx + c

(x2 + px + q)n , n ∈ N∗,p2 − 4q < 0; semnalam doua

cazuri particulare importante:2 Daca bx + c este derivata numitorului si n = 1 , atunci

primitivaeste ln(x2 + px + q), iar daca n > 1 primitiva este

(x2 + px + q)−n+1

−n + 1.

3 Daca b = 0, c = 1 si n = 1, primitiva functiei1

x2 + px + qeste

2√4q − p2

arctan2x + p√4q − p2

Integrala



Descompunerea functiilor rationale în fractii simple

TeoremaFie f : J → R o functie rationala de forma

f (x) =P(x)

Q(x),Q(x) 6= 0, ∀x ∈ J si P,Q doua polinoame prime

între ele. Presupunem ca Q se descompune în factori primi

Q(x) = (x−a1)α1 . . . (x−am)αm(x2+p1x+q1)

β1 . . . (x2+pnx+qn)βn .

Atunci f se descompune unic

f (x) = L(x) +m∑

i=1

(A1,i

(x − ai)αi+

A2,i

(x − ai)αi−1 + . . .+Ai,i

x − ai

)+

Integrala



Teorema

n∑j=1

(B1,jx + C1,j

(x2 + pjx + qj)βj

+B2,jx + C2,j

(x2 + pjx + qj)βj−1 + . . .+

Bj,jx + Cj,j

(x2 + pjx + qj)

)

unde L este un polinom cu coeficienti reali,ai ,pj ,qj ,Aj,i ,Bi,j ,Ci,j ∈ R si p2

j − 4qj < 0.

Integrala



Exercitii

1.∫

dx(x + a)(x − b)

2.∫

x2 − 5x + 9x2 − 5x + 6

dx 3.∫

dxx3 + 1

4.∫

dx(x2 + 1)2 5.

∫dx

x(x + 1)2 6.∫

5x3 + 2x3 − 5x2 + 4x

dx

7.∫

dx(x2 − 4x + 3)(x2 + 4x + 5)

8.∫

dxx4 + x2 + 1

Integrala



Functii rationale de forma∫

R(cos x , sin x)dx

R este o functie rationala. Substitutia generala este

tanx2

= t , sin x =2t

1 + t2 , cos x =1− t2

1 + t2

Cazuri particulare1 Daca R(− sin x , cos x) = −R(sin x , cos x) se face

substitutia t = cos x2 Daca R(sin x ,− cos x) = −R(sin x , cos x) se face

substitutia t = sin x3 Daca R(− sin x ,− cos x) = R(sin x , cos x) se face

substitutia

t = tan x , cos2 x =1

1 + t2 , sin2 x =t2

1 + t2

Integrala



Exercitii

1.∫

1sin x

dx 2.∫

1cos x

dx 3.∫

13 + 5 cos x

dx

4.∫

1sin x + cos x

dx 5.∫

18− 4 sin x + 7 cos x

dx

6.∫

cos xcos x + 1

dx 7.∫

sin5 xcos4 x

dx 8.∫

sin2 x cos3 xdx

9.∫

dxsin4 x cos2 x

Integrala



Integrarea functiilor irationale

Calculati

1.∫

dx√2x − 1− 4

√2x − 1

2.∫

dx√x + 3√

x

3.∫

x

√x − 1x + 1

dx

Integrala



Substitutiile lui Euler

Substitutiile lui Euler pentru integrale de forma∫R(x ,

√ax2 + bx + c)dx , unde R este o functie irationala.

1. Daca a > 0√

ax2 + bx + c = x√

a + t2. Daca c > 0

√ax2 + bx + c =

√c + tx

3. Daca ax2 + bx + c = 0 are radacinile x1, x2 atunci facemsubstitutia

√ax2 + bx + c = t(x − x1) sau t(x − x2)

Integrala



Exercitii

Calculati

1.∫

xdx(x − 1)

√1 + x − x2

2∫

dxx√−x2 + 5x − 6

3.∫

x2dx√1− 2x − x2

Integrala



Integrale binome (Cebâsev)

Integrale binome (Cebâsev)∫

xm(a + bxn)pdx , m,n,p ∈ Q

1. Daca p ∈ Z se face schimbarea x = t r unde r este cel maimic multiplu comun al numitorilor lui m si n.

2. Dacam + 1

n∈ Z se face schimbarea a + bxn = ts unde s

este numitorul lui p.

3.Dacam + 1

n+ p ∈ Z se face schimbarea ax−n + b = ts unde

s este numitorul lui p.

Integrala



Calculati

1.∫ 3√

1 + 4√

x√x

dx

2.∫

x3(1 + x2)−32 dx

3.∫

dx4√

1 + x4

4.∫

dxx4√

1 + x2

5.∫

dxx 3√

1 + x5

Integrala


Integrala definita

Determinati semnul integralelor

1.∫ 10

0ex2

dx

2.∫ π

π2

sin xx

dx

Determinati cea mai mare dintre integralele

1.∫ 1

0

√1 + x2dx si

∫ 1

0xdx

2.∫ 1

0x2 sin2 xdx si

∫ 1

0x sin2 xdx

Integrala


Aratati ca are loc

23≤∫ 1

0

dx√2 + x − x2

≤ 1√2

Aratati ca are loc ∫ π4

0ln(1 + tan x)dx =

π

8ln 2

Integrala


Calculati

1 Im =

∫ π2

0sinm xdx

2

∫ a

0(a2 − x2)ndx

Integrala


1 Calculati aria delimitata de curbele y = 2− x2 si y3 = x2.2 Calculati aria elipsei.3 Calculati lungimea astroidei, curba de ecuatie

x23 + y

23 = a

23 , a > 0

4 Calculati lungimea cicloidei, curba de ecuatii{x = a(t − sin t)y = a(1− cos t)

, t ∈ [0, π]

Integrala

integrala nedeﬁnita (primitive)˘ - grupa 5107 | just ... · pdf fileprimitive.tabelul...

Documents