curs 5 limite de functii - math.etc.tuiasi.romath.etc.tuiasi.ro/alazu/am1-curs/c5-am1.pdf ·...

Definitii. Caracterizari ale limitei Simbolurile−∞ si +∞ Unicitatea limitei Limite laterale Proprietati ale functiilor cu limita Operatii cu functii cu limita

Curs 5Limite de functii

Facultatea de HidrotehnicaUniversitatea Tehnica "Gh. Asachi"

Iasi 2014


Definitie

Fie D ⊆ R. Punctul x0 ∈ R este punct de acumulare al multimiiD daca orice vecinatate a punctului x0 contine puncte din Ddiferite de x0, adica

∀V ∈ V (x0) , V ∩ (D\ {x0}) 6= ∅.

ExempluD = [1,2) ∪ {3} ∪ (5,6)Observam ca punctele 2,5,6 sunt puncte de acumulare, dar 3nu este puncte de acumulare.


ExempluD = (2,+∞)x0 = +∞ este punct de acumulare pentru D.

ObservatiePunctele de acumulare pot sa apartina sau nu multimii D.


Definitie

Fie f : D ⊆ R→ R si x0 ∈ R punct de acumulare pentru D.Spunem ca l ∈ R este limita functiei f în punctul x0 daca:

∀V ∈ V (l) ,∃U ∈ V (x0) astfel încât ∀x ∈ U∩D, x 6= x0, sa avem

f (x) ∈ V .

Notaml = lim

x→x0f (x) .


Observatii1) Definitia limitei unei functii se da într-un punct de acumularex0 al multimii D, care poate sa nu apartina multimii D.

2) Daca x0 ∈ D, valoarea limitei în punctul x0 nu depinde devaloarea functiei în x0, adica lim

x→x0f (x) (daca exista) si f (x0) pot

fi egale sau nu.


Teorema (de caracterizare)Fie f : D ⊆ R→ R si x0 ∈ R punct de acumulare pentru D.Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:(i) l este limita functiei f în punctul x0;(ii) ∀ε > 0 ∃δ > 0 astfel încât ∀x ∈ D\ {x0} , cu |x − x0| < δ,avem |f (x)− l | < ε;(iii) ∀ (xn)n≥1 ⊂ D, xn 6= x0, ∀n, xn → x0, rezulta ca f (xn)→ l .

ObservatieAfirmatiile (i)-(iii) fiind echivalente, oricare dintre ele poate ficonsiderata definitie a limitei într-un punct. Vom spune ca (i)este definitia cu vecinatati, (ii) este definitia cu ε− δ, iar (iii)definitia cu siruri a limitei functiei f în punctul x0.


ExercitiuFie functia f : [−1,2] ∪ {3} → R, definita prin

f (x) =

x2 − 1x − 1

, daca x ∈ [−1,1) ∪ (1,2]

1, daca x ∈ {1,3} .

Sa se studieze problema existentei limitei în punctele 1 si 3.


ObservatieDeseori, pentru a arata ca nu exista limita unei functii f într-unpunct x0 se foloseste definitia cu siruri a limitei. Mai exact, auloc urmatoarele implicatii:

(i) Daca exista doua siruri (xn)n≥1 , (yn)n≥1 ⊂ D\ {x0} , xn → x0,yn → x0, pentru care sirurile valorilor (f (xn))n≥1 , (f (yn))n≥1 aulimite diferite, atunci functia f nu are limita în punctul x0.

(ii) Daca exista un sir (xn)n≥1 ⊂ D\ {x0} , xn → x0, iar sirulvalorilor (f (xn))n≥1 nu are limita, atunci functia f nu are limita înpunctul x0.


ExercitiuAratati ca functia

f : R\ {0} → R, f (x) = sin1x,

nu are limita în 0.Solutie. Observam mai întâi ca 0 este punct de acumulare almultimii D = R2\ {0} . Consideram sirurile din D\ {0}:

xn =1

2nπ, xn → 0, iar f (xn) = sin(2nπ) = 0, deci f (xn)→ 0,

yn =1

2nπ + π2, yn → 0, iar f (yn) = sin(2nπ + π

2 ) = 1, deci

f (yn)→ 1.Cum f (xn) si f (yn) au limite diferite, rezulta ca functia f nu arelimita în punctul 0.


Fie f : D → R si x0 un punct de acumulare pentru D.

DefinitieSpunem ca lim

x→x0f (x) = +∞ daca, pentru orice ε > 0 exista

δ > 0 astfel încât, oricare ar fi x ∈ D, cu 0 < |x − x0| < δ, saavem f (x) > ε.


x→x0f (x) = −∞ daca, pentru orice ε < 0 exista

δ > 0 astfel încât, oricare ar fi x ∈ D, cu 0 < |x − x0| < δ, saavem f (x) < ε.



x→+∞f (x) = l daca, pentru orice ε > 0 exista δ > 0

astfel încât, oricare ar fi x ∈ D, cu x > δ, sa avem |f (x)− l | < ε.


x→−∞f (x) = l daca, pentru orice ε > 0 exista δ < 0

astfel încât, oricare ar fi x ∈ D, cu x < δ, sa avem |f (x)− l | < ε.


x→+∞f (x) = +∞ daca, pentru orice ε > 0 exista

δ > 0 astfel încât, oricare ar fi x ∈ D, cu x > δ, sa avemf (x) > ε.



x→+∞f (x) = −∞ daca, pentru orice ε < 0 exista

δ > 0 astfel încât, oricare ar fi x ∈ D, cu x > δ, sa avemf (x) < ε.


x→−∞f (x) = +∞ daca, pentru orice ε > 0 exista

δ < 0 astfel încât, oricare ar fi x ∈ D, cu x < δ, sa avemf (x) > ε.


x→−∞f (x) = −∞ daca, pentru orice ε < 0 exista

δ < 0 astfel încât, oricare ar fi x ∈ D, cu x < δ, sa avemf (x) < ε.


Teorema (caracterizare cu siruri)

Functia f : D → R are limita l ∈ R în punctul x0 ∈ R daca sinumai daca pentru orice sir (xn)n≥1 ⊂ D\ {x0} , xn → x0, sirulvalorilor f (xn)→ l .


Teorema (unicitatea limitei)Fie f : D → R si x0 punct de acumulare pentru D. Daca functiaf are limita în punctul x0, atunci aceasta limita este unica.

Demonstratie

Fie l , l ′ ∈ R limite ale functiei f în x0. Atunci, conform definitieicu siruri a limitei unei functii, pentru orice sir (xn)n≥1 de punctedin D\ {x0} cu lim

n→∞xn = x0, avem lim

n→∞f (xn) = l si

limn→∞

f (xn) = l ′. Cum limita unui sir de puncte din R este unica,

rezulta ca l = l ′.


DefinitieFie D ⊆ R.

Daca x0 este punct de acumulare pentru multimeaD1 = D ∩ (−∞, x0) , atunci vom spune ca x0 este punct deacumulare la stânga pentru D.

Similar, daca x0 este punct de acumulare pentru multimeaD2 = D ∩ (x0,+∞) , atunci vom spune ca x0 este punct deacumulare la dreapta pentru D.


DefinitieFie f : D → R si x0 punct de acumulare la stânga pentrumultimea D.Spunem ca functia f are limita la stânga în punctul x0, egala culs, daca ∀V ∈ V (ls) ∃U ∈ V (x0) astfel încât, ∀x ∈ U ∩ D,x < x0, sa avem f (x) ∈ V .

Notamls = lim

x→x0x<x0

f (x) sau ls = limx↑x0

f (x) .


DefinitieFie f : D → R si x0 punct de acumulare la dreapta pentrumultimea D.Spunem ca functia f are limita la dreapta în punctul x0, egalacu ld , daca ∀V ∈ V (ld) ∃U ∈ V (x0) astfel încât, ∀x ∈ U ∩ D,x > x0, sa avem f (x) ∈ V .

Notamld = lim

x→x0x>x0

f (x) sau ld = limx↓x0

f (x) .

Limitele la stânga si la dreapta într-un punct se numesc limitelaterale.


ExempluFie functia f : R→ R definita prin

f (x) =

x , x < 12, x > 10, x = 1.

Observam ca

limx→1x<1

f (x) = 1, limx→1x>1

f (x) = 2, f (1) = 0.


ExercitiuSa se calculeze limitele laterale în x0 = 0 ale functiei

f : R∗ → R, f (x) =|sin x |

x.

Solutie. Avem

ls = limx→0x<0

f (x) = limx→0x<0

− sin xx

= −1

si

ld = limx→0x>0

f (x) = limx→0x>0

sin xx

= 1.

Observam ca, în acest exemplu, limitele laterale sunt diferite.


TeoremaFie f : D → R si x0 punct de acumulare la stânga si la dreaptapentru multimea D. Functia f are limita în punctul x0 daca sinumai daca f are limite laterale în x0 si acestea sunt egale. Înacest caz,

limx→x0

f (x) = ls = ld .


DemonstratieSa presupunem ca exista lim

x→x0f (x) = l . Atunci, daca în definitia

limitei retinem punctele x pentru care x < x0, rezulta ls = l sirespectiv, daca retinem punctele x pentru care x > x0, obtinemld = l .Reciproc, sa presupunem ca exista ls = lim

x→x0x<x0

f (x) si

ld = limx→x0x>x0

f (x) si ls = ld . Vom arata ca exista limx→x0

f (x) = l ,

unde l = ls = ld . Fie V o vecinatate a lui l . Conform definitiilorlimitelor laterale ls si ld , exista U1 si U2 vecinatati ale lui x0astfel încât, pentru orice x ∈ (U1 ∩ D1) ∪ (U2 ∩ D2) , x 6= x0, saavem f (x) ∈ V . Fie U = U1 ∩ U2 vecinatate a lui x0. Atunci,pentru orice x ∈ U ∩D ⊆ (U1 ∩ D1)∪ (U2 ∩ D2) avem f (x) ∈ V ,adica exista lim

x→x0f (x) = l .


ExempluFie functia f : R→ R definita prin

f (x) =

x , x < 11, x > 10, x = 1.

Observam calimx→1x<1

f (x) = limx→1x>1

f (x) = 1,

deci ∃ limx→1

f (x) = 1.


Teorema (Cauchy)Fie f : D → R, unde D ⊆ R, si x0 punct de acumulare pentru D.Atunci functia f are limita în punctul x0 daca si numai dacapentru orice ε > 0 exista δ > 0 astfel încât pentru oricex ′, x ′′ ∈ D\ {x0} , cu |x ′ − x0| < δ si |x ′′ − x0| < δ, sa avem∣∣f (x ′)− f

(x ′′)∣∣ < ε.


Exercitiu

Sa se arate ca exista limita limx→0 x2 sin1x

.

Solutie. Pentru orice ε > 0 fixat, trebuie sa determinam δ > 0astfel încât pentru orice x ′, x ′′ ∈ R∗, cu |x ′| < δ si |x ′′| < δ sa

avem |f (x ′)− f (x ′′)| < ε, unde f (x) = x2 sin1x, x 6= 0. Folosind

faptul ca |sin x | ≤ 1 pentru orice x ∈ R, avem

∣∣f (x ′)− f(x ′′)∣∣ = ∣∣∣∣(x ′)2 sin

1x ′−(x ′′)2 sin

1x ′′

∣∣∣∣≤∣∣x ′∣∣2 ∣∣∣∣sin

1x ′

∣∣∣∣+ ∣∣x ′′∣∣2 ∣∣∣∣sin1x ′′

∣∣∣∣ ≤ ∣∣x ′∣∣2 + ∣∣x ′′∣∣2 < 2δ2.

Alegând δ =√ε

2obtinem ca |f (x ′)− f (x ′′)| < ε. Prin urmare,

conform criteriului lui Cauchy, limita exista.


Propozitie1) Daca ∃ limx→x0 f (x) = l , atunci ∃ limx→x0 |f (x)| = |l | .2) Daca

f (x) ≤ g (x) ≤ h (x) , ∀x ∈ D,

atuncilim

x→x0f (x) ≤ lim

x→x0g (x) ≤ lim

x→x0h (x) .

3) Dacaf (x) ≤ g (x) ≤ h (x) , ∀x ∈ D,

si dacalim

x→x0f (x) = lim

x→x0h (x) = l ,

atunci∃ lim

x→x0g (x) = l .


TeoremaFie f ,g : D → R astfel încât ∃ lim

x→x0g (x) = 0. Presupunem ca

exista l ∈ R astfel încât

|f (x)− l | < g (x) , ∀x ∈ D.

Atunci ∃ limx→x0

f (x) = l .

DemonstratieFie sirul (xn)n≥0 ⊂ D astfel încât xn 6= x0, ∀n si xn → x0. Atunci

|f (xn)− l | < g (xn) .

Dar g (xn)→ 0 pentru n→∞. Atunci folosind criteriul majorariide la siruri, obtinem ca ∃ limx→x0 f (xn) = l , adica

∃ limx→x0

f (x) = l .



x→x0g (x) = +∞. Presupunem ca

f (x) ≥ g (x) , ∀x ∈ D.


f (x) = +∞.


x→x0g (x) = −∞. Presupunem ca

f (x) ≤ g (x) , ∀x ∈ D.


f (x) = −∞.


Teorema

Fie functiile f ,g : D → R si x0 un punct de acumulare pentru D.Presupunem ca exista

limx→x0

f (x) = l1 si limx→x0

g (x) = l2.

Atunci exista:(i) lim

x→x0(f + g) (x) = l1 + l2;

(ii) limx→x0

λf (x) = λl1, pentru orice λ ∈ R;

(iii) limx→x0

(fg) (x) = l1l2.


Daca l2 6= 0, atunci exista

(iv) limx→x0

f (x)g (x)

=l1l2.

TeoremaFie functiile f : E ⊆ R→ R si ϕ : D ⊆ R→ R astfel încâtϕ (D) ⊂ E si x0 ∈ R punct de acumulare al multimii D. Dacaexista

limx→x0

ϕ (x) = y0,

y0 este punct de acumulare pentru E , ϕ (x) 6= y0 pentru x 6= x0si exista

limy→y0

f (y) = z0,

atunci existalim

x→x0(f ◦ ϕ) (x) = z0.


ExercitiuSa se calculeze

limx→0

√2x2 + 4− 2

2x2

Solutie. Vom scrie

√2x2 + 4− 2

2x2 =

√2x2 + 4− 2

2x2 ·√

2x2 + 4 + 2√2x2 + 4 + 2

=2x2 + 4− 4

2x2(√

2x2 + 4 + 2) =

2x2

2x2(√

2x2 + 4 + 2)

=1√

2x2 + 4 + 2,


de unde rezulta ca

limx→0

√2x2 + 4− 2

2x2 = limx→0

1√2x2 + 4 + 2

=14.

ExercitiuSa se calculeze limita

limx→0

sin x3

x2 .

Solutie. Vom folosi limita fundamentala limt→0

sin tt

= 1 si vom

scrie

limx→0

sin x3

x2 = limx→0

sin x3

x3 · x3

x2

= limx→0

sin x3

x3 · limx→0

x = 1 · 0 = 0.

curs 5 limite de functii - math.etc.tuiasi.romath.etc.tuiasi.ro/alazu/am1-curs/c5-am1.pdf ·...

Documents