** Experiment i evenimente aleatoare. ** s Experiment aleator: experiment, care poate repetat conditii identice, urma cruia n n a se msoar o caracteristic (de obicei numeric) a crei valoare nu poate cunoscut apriori1 , a a a a a a dar rezultatele posibile formeaz o multime cunoscut. a a Exemple: I. se alege, la ntmplare, un student dintr-un laborator: cel ales nu este dinainte cunos a cut, dar toate rezultatele posibile sunt cunoscute, iar experimentul se poate repeta n mod identic. II. se arunc dou zaruri (identice, dar diferit colorate), rezultatul (numerele obtinute pe a a fetele zarurilor) nu este cunoscut dinainte, ceea ce se poate cunoate este doar multimea s din care face parte rezultatul: (1, 1), (1, 2), . . . , (1, 6), (2, 1), (2, 2), . . . , (6, 5), (6, 6); evident experimentul se poate repeta n conditii identice. Eveniment aleator elementar: rezultatul unui experiment aleator. Exemple: I. studentul John Smith. II. primul zar are valoarea 3 iar al doilea valoarea 5. Eveniment aleator: o multime de rezultate ale unui experiment aleator. Exemple: I. studentul ales nu are restante sau studentul ales este bursier. II. suma valorilor de pe cele dou zaruri este un numr par sau pur i simplu {(2, 3), (2, 4), (5, 5)}. a a s Proprieti ale evenimentelor aleatoare: at Evenimentul imposibil este evenimentul care nu se poate produce niciodat (se noteaz a a de obicei cu ). Evenimentul sigur (total) este cel care se produce ntotdeauna (notat cu S sau cu ). Un eveniment aleator oarecare este identicat cu o multime A . Evenimentul A implic evenimentul B: orice realizare a evenimentului A implic si rea a alizarea evenimentului B (se noteaz A B). a Evenimentele A i B sunt incompatibile dac orice realizare a evenimentului A exclude s a realizarea evenimentului B (A B = ). Evenimentele A i B sunt compatibile dac se pot realiza simultan (A B = ). s a Evenimentele A i B sunt contrare dac realizarea evenimentului A este echivalent cu s a a nerealizarea evenimentului B (A B = i A B = ), caz care se folosete notatia: s n s c sau B = A. B=A

1

Acesta este caracterul aleatoriu.

** Functia de probabilitate. ** Functia de probabilitate este o functie ataata unui experiment aleator care atribuie s ecrui eveniment aleator un numr real din intervalul [0, 1] i are urmtoarele proprieti: a a s a at (i) P : P() [0, 1]; (ii) P () = 0;

P () = 1;

(iii) Pn=1

An

=n=1

P (An ) , dac evenimentele A1 , A2 , . . . , An , . . . sunt dou cte dou a a a a

incompatibile.

Proprieti ale functiei de probabilitate: at (iv) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B), pentru orice dou evenimente aleatoare A i B. a sn n

(v) Pi=1

A1

=i=1

P (Ai ) , dac evenimentele A1 , A2 , . . . , An sunt dou cte dou incoma a a a

patibile.

(vi) Dac A B, atunci P (A) = P (B) P (B \ A) ( particular rezult c P (A) a n a a

P (B)).

cazul unui experiment cu un numr nit2 de rezultate. Dac evenimentul aleator A este In a a multimea {e1 , e2 , . . . , ek }, atunci P (A) = P ({e1 }) + P ({e2 }) + + P ({ek }). Dac evenimentele aleatoare elementare sunt echiprobabile3 , atunci pentru orice eveniment a aleator A, avem: |A| . P (A) = || ** Evenimente independente. Probabiliti conditionate. ** at Dou evenimente A i B se numesc independente dac a s a P (A B) = P (A) P (B) Evenimentele dintr-o familie (Ai )iI se numesc independente ( ansamblu) dac n a P (Ai1 Ai2 . . . Ain ) = P (Ai1 ) P (Ai2 ) P (Ain ) Exemplu: se arunc dou zaruri i se noteaz cu A evenimentul pe fata primului zar se a a s a obtine 2 i cu B evenimentul pe fata celui de-al doilea zar se obtine un numr impar. Se s a poate verica faptul c P (A) = 1/6, P (B) = 1/2, iar P (A B) = 1/12, deci evenimentele A a sunt independente. Fie A i B dou evenimente aleatoare; evenimentul conditionat A|B se produce ori de cte s a a ori se realizeaz A tiind c s-a realizat B, iar probabilitatea lui este a s a P (A|B) =2 3

P (A B) (probabilitatea ca A s se realizeze ipoteza c B s-a realizat) a n a P (B)

Sau cel mult numrabil. a Toate evenimentele elementare au aceeai probabilitate, ca cazul aruncrii unui zar. s n a

Exemplu: o urn contine patru bile albe (dou numerotate cu 1 i dou numerotate cu 2) a a s a i cinci bile negre (trei numerotate cu 1 i dou numerotate cu 2). Se extrage o bil din urn. s s a a a Care este probabilitatea ca dac bila extras este alb s e numerotat cu 1? a a a a a Notm A =bila extras este numerotat cu 1 i B =bila extras este alb. Atunci: a a a s a a P (A B) = 4 2 9 1 2 , P (B) = , P (A|B) = = . 9 9 9 4 2

** Formule probabilistice. ** Formula de nmultire a probabilitilor: e A1 , A2 , . . . , An evenimente aleatoare oare at cari, atunci P (A1 A2 . . . An ) = P (A1 ) P (A2 |A1 ) P (A3 |A1 A2 ) . . . P (An |A1 A2 . . . An1 ) Exemplu: ntr-o urn sunt cinci bile albe i cinci bile negre. Se scot trei bile, una cte una a s a fr ntoarcere. Care este probabilitatea obtinerii a trei bile albe? Dar a dou bile albe i una a a a s neagr? a Pentru prima ntrebare e Ai = a i-a bil extras este alb (i = 1, 3), atunci a a a 4 3 1 P (A1 ) = , P (A2 |A1 ) = , P (A3 |A1 A2 ) = 2 9 8 i s P (A1 A2 A3 ) = P (A1 ) P (A2 |A1 ) P (A3 |A1 A2 ) = Pentru a dou cerint probabilitatea cerut este a a a P A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 = 1 4 3 = . 2 9 8

P A1 A2 A3 + P A1 A2 A3 + P A1 A2 A3 i ecare dintre aceste trei probabilti se calculeaz cu formula de nmultire. s at a Formula probabilitii totale: e A1 , A2 , . . . , An evenimente aleatoare care realizeaz o at a 4 a evenimentului sigur i B un eveniment oarecare, atunci partitie sn

P (B) =i=0

P (B|Ai ) P (Ai )

Exemplu: urna U1 contine trei bile albe i cinci bile negre, iar urna U2 patru bile albe i ase s s s bile negre. Se extrage o bil dintr-una din urne aleas la ntmplare (urnele sunt identice). Care a a a este probabilitatea ca bila s e alb? a a s a a Notm Ai =extragerea se face din urna Ui (i = 1, 2) i B =bila extras este alb. a A1 A2 = , A1 A2 = i putem presupune, evident, c P (A1 ) = P (A2 ) = 1/2. Atunci s a P (B) = P (B|A1 ) P (A1 ) + P (B|A2 ) P (A2 ), cum P (B|A1 ) = voma avea P (B) =4

3 4 , P (B|A2 ) = , 8 10

1 3 1 4 31 + = . 2 8 2 10 80n

O astfel de partitie se numete sistem complet de evenimente: si=1

Ai = i Ai Aj = , i = j. s

Formula lui Bayes: e A1 , A2 , . . . , An evenimente aleatoare care realizeaz o partitie a a evenimentului sigur i B un eveniment oarecare, atunci s P (Ak |B) = P (B|Ak ) P (Ak )n

P (B|Ai )P (Ai )i=0

(P (B|Ak ) se numesc probabiliti apriori, iar P (Ak |B) sunt probabiliti aposteriori). at at Exemplu: se doau dou urne identice una continnd trei bile albe i patru bile negre, iar a a s cealalt patru bile albe i cinci negre. Se extrage o bil. Dac bila extras este alb, care este a s a a a a probabilitatea ca ea s provin din prima urn? a a a Notm Ai =extragerea se face din urna Ui (i = 1, 2) i B =bila extras este alb. a s a a A1 A2 = , A1 A2 = i P (A1 ) = P (A2 ) = 1/2. Probabilitile apriori sunt s at 4 3 P (B|A1 ) = , P (B|A2 ) = . 7 9 Probabilitatea aposteriori este 3 1 3 63 P (B|A1 ) P (A1 ) 27 7 2 = P (A1 |B) = = = . 3 1 4 1 P (B|A1 ) P (A1 ) + P (B|A2 ) P (A2 ) 7 55 55 + 7 2 9 2 ** Scheme probabilistice. ** 1. Schema binomial: Se consider o experient aleatoare i un eveniment aleator A legat a a a s de aceast experient cu P (A) = p. Se repet mod independent experienta de n ori. S se a a a n a calculeze probabilitatea ca evenimentul s se realizeze de exact k ori. a Notm cu Ai evenimentul se produce A la a i-a repetare a experientei, i = 1, n (evident a P (Ai ) = p, i = 1, n). Deoarece experienta se repet independent, cele n evenimente vor a n ansamblu independente. Astfel, probabilitatea ca evenimentul A s se produc de exact k ori a a este egal cu probabilitatea ca exact k dintre cele n evenimente Ai s se produc, adic5 a a a a P1 i1 ,i2 ,...,in n

Ai1 Ai2 . . . Aik Aik+1 Aik+2 Ain

=

=1 i1 ,i2 ,...,in n

P Ai1 Ai2 . . . Aik Aik+1 Aik+2 Ain .

k aceast sum sunt Cn termeni ecare egal cu pk (1 p)nk . Probabilitatea cerut este6 : In a a a k Cn pk (1 p)nk

Exemplu: se arunc dou zaruri de 10 ori. Care este probabilitatea ca de exact 6 ori produsul a a celor dou fete s e 12? a a A =produsul fetelor este 12 (la o aruncare), A = {(2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2)}, de unde obtinem P (A) = 4/36 = 1/9. Probabilitatea ca A s se realizeze de exact 6 ori este a6 C10

5 6

De xemplu, pentru n = 3 i k = 2: P A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 . s n k Acesta este coecientul lui x din dezvoltarea [px + (1 p)] dup formula binomului lui Newton. a

1 84 . 96 94

2. Schema geometric: Se consider o experient i un eveniment A legat de aceast a a a s a experient cu P (A) = p. Experienta se repet mod independent pn la realizarea evenimena a n a a tului A. S se determine probabilitatea ca evenimentul A s se realizeze abia la a n- a repetare a a a experientei (n 1). Notm, ca mai sus, cu Ai evenimentul se produce A la a i-a repetare a experientei, a a P (Ai ) = p, i = 1, n. Deoarece experienta se repet independent, cele n evenimente vor ansamblu independente. Probabilitatea evenimentul A s se produc abia la a n-a efectun a a are a experimentului este probabilitatea ca evenimentele A1 , A2 , . . . , An1 s nu se produc, iar a a evenimentul An s se realizeze: a P A1 An . . . An1 An = P A1 P A2 P An1 P (An ) . Probabilitatea cerut este a p (1 p)n1 Exemplu: o urn contine trei bile roii, dou negre i patru bile albastre. Se scoate o bil din a s a s a urn i apoi se pune la loc. Se repet experienta pn se obtine o bil roie sau una albastr. a s a a a a s a Care este probabilitatea ca abia la a patra extragere s se realizeze acest eveniment? a A =bila extras este roie sau albastr, P (A) = 7/9. Probabilitatea ca evenimentul A s a s a a se produc abia la a patra extragere: a 7 23 . 9 93 ** Variabile aleatoare discrete. ** Variabil aleatoare: o functie a crei valoare este determinat urma unei msuratori a a a n a (observatii) legate de un experiment aleator. Formal o variabil aleatoare discret este o functie X : R, astfel at multimea a a nc valorilor sale, X(), este cel mult numrabil7 . Pentru orice x X(), X 1 ({x}) este un a a eveniment aleator; pentru acest eveniment se utilizeaz notatia: a P X 1 (x) = P (X = x) = f (x) Dac X() = {x1 , x2 , . . . , xn , . . .}, atunci multimea perechilor (xi , f (xi )) (sau (xi , pi )) formeaz a a distributia sau repartitia variabilei aleatoare X i uzual se noteaz sub forma unui tabel: s a X: x1 x2 . . . xn . . . p1 p2 . . . pn . . .

mod evident suma8 probabilitilor din a doua linie a tabelului de repartitie este 1: In at pi = 1 i 0 si

pi

1, i

Catacteristici numerice ale variabilelor aleatoare: presupunem c X este o variabil a a aleatoare discret avnd repartitia de mai sus. a a 7 8

|X()| 0 . Care poate i o serie. s

Media9 variabilei X este M (X) =i

p i xi

Proprieti ale mediei: at (i) M (X + Y ) = M (X) + M (Y ); (iii) dac X a (ii) M (aX) = aM (X), a R; 0, atunci M (X) 0.

Dispersia10 variabilei X este D 2 (X) =i

pi [xi M (X)]2

Deviatia standard a variablei aleatoare X este D(X) = Proprieti ale dispersiei: at (i) D 2 (X) 0; D 2 (X)

(iii) X const dac i numai dac D 2 (X) = 0; as a

(ii) D 2 (aX) = a2 D 2 (X), a R;

(iv) formul de calcul: D 2 (X) = M X 2 [M (X)]2 . a

Exemplu: Se consider urmtorul joc: se arunc un zar; juctorul primete 1 punct dac a a a a s a apare fata 3 sau 4, 2 puncte dac apare fata 5, 3 puncte pentru fata 6 i nici un punct pentru a s celelalte fete. Se noteaz cu X numrul de puncte obtinute. S se determine repartitia, media a a a i dispersia variabilei aleatoare X. s 2 1 1 2 P (X = 0) = , P (X = 1) = , P (X = 2) = , P (X = 3) = 6 6 6 6 X: M (X) = 0 1 2 3 1/3 1/3 1/6 1/6 1 1 1 1 7 0+ 1+ 2+ 3 = , 3 3 6 6 62

D 2 (X) =

7 1 0 3 6

2

+

7 1 1 3 6

+

7 1 2 6 6

2

+

7 1 3 6 6

2

=

49 + 1 + 25 + 121 49 = . 36 9

** Repartitii discrete remarcabile. ** Repartitia uniform. Variabila notat generic Un cu urmtoarea repartitie: a a a 1 X: 1/n 1/n . . . 1/nDac suma care o denete este o serie divergent atunci se spune c X nu are medie. a s a a Dac X nu are medie sau suma care denete dispersia este o serie divergent atunci se spune c X nu are a s a a dispersie.10 9

2

...

n

M (X) =

n+1 n2 1 i D 2 (X) = s 2 2

Repartitia Bernoulli. Se consider un eveniment aleator A, cu P (A) = p i o variabil a a s a crei valoare este 1 dac evenimentul A se produce i 0 altfel. Variabila notat generic B(p) are a a s a urmtoarea repartitie: a 0 X: 1p p M (X) = p i D 2 (X) = p p2 s Repartitia binomial. Se consider o experient aleatoare i un eveniment aleator A, cu a a a s P (A) = p. Experienta se repet mod independent de n 1 ori i se noteaz cu X numrul a n s a a de realizri ale evenimentului A. Variabila notat generic B(n, p) are urmtoarea repartitie: a a a 0 X:0 1 k n Cn (1 p)n Cn p(1 p)n1 . . . Cn pk (1 p)nk . . . Cn pn

1

1

...

k

...

n

M (X) = np i D 2 (X) = np(1 p) s Repartitia geometric. Se consider o experient aleatoare i un eveniment aleator A, cu a a a s P (A) = p. Se noteaz cu X numrul de repetri independente ale experientei pn la producerea a a a a a evenimentului A. Variabila notat generic Geometric(p) (sau G(p)) are urmtoarea repartitie: a a 1 X: p p(1 p) . . . p(1 p)n . . . M (X) = 1 1p i D 2 (X) = s p p2 2 ... n ...

Repartitia Poisson. Pentru un eveniment aleator rar se cunoate media a numrului de s a aparitii ntr-un interval de timp dat. Se noteaz cu X numrul de aparitii ale evenimentului a a n acel interval. Variabila notat generic P oisson() are urmtoarea repartitie: a a 0 X: 0 e 0! 1 e 1! ... ... n n e n! ... ...

M (X) = i D 2 (X) = s ** Repartitii comune pentru variabile aleatoare discrete. ** Fie X i Y dou variabile aleatoare discrete cu repartitiile s a X: x1 x2 . . . xn . . . p1 p2 . . . pn . . . i Y : s y1 y2 . . . ym . . . q1 q2 . . . qm . . . .

Repartitia comun a celor dou variabile este format din multimea tripletelor a a a (xi , yj , P (X = xi Y = yj )) 1i n 1 j m

Dac notm cu rij = P (X = xi Y = yj ) repartitia comun se reprezint astfel: a a a arr X r x1 Y rr r

x2 r21 r22 . . . r2j . . . p2

xi ri1 ri2 . . . rij . . . pi

q1 q2 qj

y1 y2 . . . yj . . .

r11 r12 . . . r1j . . . p1

Se observ c probabilitile aferente celor dou variabile pot obtinute adunnd probaa a at a a bilitile din repartitia comun pe linii (pentru Y ) respectiv pe coloane (pentru Y ): at a rij = qj , j i sj

i

rij = pi , i. i n i 1 s j m, avem

X i Y se numesc independente dac, pentru orice 1 s a

P (X = xi Y = yj ) = P (X = xi ) P (Y = yj ) = pi qj acest caz repartitia comun poate calculat direct din cele dou repartitii: rij = pi qj , In a a a i, j. Exemplu: Se dau dou urne: U1 care contine dou bile albe, dou negre i trei bile roii i a a a s s s U2 care contine trei bile albe, dou negre i o bil roie. Din prima urn se extrage o bil care a s a s a a se introduce n cea de-a doua urn, iar apoi se extrage o bil din cea de a doua urn. Se noteaz a a a a cu X numrul de bile albe obtinute i cu Y numrul de bile negre obtinute. a s a a) s se determine repartit ia comun a variabilelor X i Y ; a a s b) s se determine repartit ia i apoi media variabilei X + Y . a s Observatie: variabilele X i Y sunt dependente, sunt legate, de exemplu, prin relatia X +Y s 2. Notm cu Ai evenimentul a i-a bil extras este alb, cu Bi evenimentul a i-a bil extras a a a a a a este neagr i cu Ci evenimentul a i-a bil extras este roie (i = 1, 2). a s a a s P (X = 0 Y = 0) = P (C1 C2 ) = P (C1 ) P (C2 |C1 ) = 6 3 2 = 7 7 49 P (X = 1 Y = 0) = P (A1 C2 ) + P (C1 A2 ) =

11 2 1 3 3 + = 7 7 7 7 49 8 2 4 P (X = 2 Y = 0) = P (A1 A2 ) = P (A1 ) P (A2 |A1 ) = = 7 7 49 P (A1 ) P (C2 |A1 ) + P (C1 ) P (A2 |C1 ) =rr X r Y rr r

0 6/49 ? ? ?

1 11/49 ? 0 ?

2 8/49 0 0 8/49 25/49 ? ?

0 1 2

** O aplicatie: metoda probabilistic. ** a Metoda probabilistic este utilizat pentru a demonstra existenta11 unor obiecte (coma a binatoriale) i se bazeaza pe urmtoarele dou observatii s a a a a) Dac M (X) = m, atunci exist o valoare xi0 a variabilei aleatoare discrete X, astfel at12 a a nc xi0 m; b) Dac un eveniment aleator are o probabilitate nenul, atunci el se poate produce. (Dac a a a probabilitatea ca un obiect s existe este nenul, atunci acel obiect exist.) a a a Exemplu: Fie C = {C1 , C2 , . . . , Cm } o familie de m clauze. Atunci exist o asignare a a valorilor de adevr pentru variabilele booleene implicate astfel nct cel putin m/2 dintre clauze a a s e satisfcute. a a Se asociaz ecrei variabile, nmod aleator i uniform, o valoare de adevr: se construiete a a s a s astfel o functie de adevr t pe multimea variabilelor. a Se noteaz cu X numrul clauzelor satisfcute i cu Xk o variabil care ia valoare 1 dac a a a s a a t(Ck ) = 1 i 0 altfel. s X = X1 + X2 + + Xm , de unde M (X) = M (X1 ) + M (X2 ) + + M (Xm ). Dac clauza Cj contine h literali, atunci a 0 Xj : 1/2h 1 1/2h 1 = M (Xj ) = 1 1 2h 1 2

m m , de aici obtinem c X are o valoare mai mare sau egal cu , deci exist a a a Astfel M (X) 2 2 o asignare cu proprietile din enunt. at

11 12

Este o tehnic existential de demonstratie. a a Exist, deasemenea, i o valoare xj0 , astfel ca xj0 a s

m.

** Variabile aleatoare continue. ** O variabil aleatoare X : R se numete continu dac X() este de cardinal a s a a continuu13 . Distributia (repartitia) unei astfel de variabile este dat de a - functia de repartitie, F : R [0, 1] F (a) = P (X a)

- sau prin functia de densitate (de mas), f : R [0, +), astfel at functia de a nc repartitie F 14 poate descris astfel: aa

F (a) = P (X

a) =

f (t) dt

Functia de repartitie este cresctoare, continu la dreapta15 i a a sx

lim F (x) = 0

x+

lim F (x) = 1.

Cu ajutorul functiei de densitate, pentru o variabil aleatoare continu: a a+

Media este M (X) =

tf (t) dt

+

Dispersia este D (X) =

2

[t M (X)]2 f (t) dt

Probabilitile asociate unei variabile aleatoare continue se calculeaz astfel: at ab

P (a

X

b) = F (b) F (a) =

f (t) dta

Observatie: dac F este continu, P (X = a) = F (a) = 0 i probabilitile P (a a a s at P (a < X b), P (a < X < b) sunt toate egale. ** Distributii continue remarcabile. **

X < b),

Distributia (legea) normal. Este o distributie notat N (, 2 ) cu are functia de densi a a tate (x )2 1 2 2 f (x) = e 2 Dac X : N (, 2 ), atunci a M (X) = i D 2 (x) = 2 s13

Cteodat aceast denitie se restrnge la familia variabilelor cu functie de repartitie continu. a a a a a In acest caz F va continu. a 15 lim F (x) = F (a).14 x a