info artsp

7. Sisteme de bare articulate

75

7.B. Sisteme 3D de bare articulate

Problemele spaţiale ale barelor articulate diferă puţin faţă de cele plane. In

continuare se face o scurtă introducere pentru rezolvarea structurilor în trei

dimensiuni formate din bare articulate la capete. Din punct de vedere fizic

articulaţiile sunt sferice (cele ale barelor articulate în plan sunt cilindrice).

Faţă de cele enumerate la barele plane modificări apar la:

-GLN = 3 (UX, UY, UZ);

-matricea de rigiditate în coordonate globale este:

00

00e

kk

kk

L

EA]K[ , (7.7)

unde:

2

2

2

0

nnmnl

mnmml

lnlml

k ; l, m, n -cosinusurile directoare ale axei barei;

-fişierul cu date de intrare se completează cu BZ, Z şi FZ;

-programul de lucru este ARTSPw_ref.EXE.

Aplicaţii

ARTS1. Patru bare identice, din oţel

cu E=2.105 MPa, şi aria secţiunii A=100

mm2

sunt fixate ca în Fig.7.29. Stiind că a

=200 mm si F=50 kN, să se afle tensiunile

din bare şi deplasarea punctului de aplicare al

forţei.

Rezolvare

Alegând sistemul de axe ca cel din figura,

dacă modelul problemei include toată

structura, fişierul cu date de intrare arts1 este:

5 4

1 1 1 1 200.0000 200.0000 0.0000

Fig.7.29. Problema ARTS1


76

2 1 1 1 -200.0000 200.0000 0.0000

3 1 1 1 -200.0000 -200.0000 0.0000

4 1 1 1 200.0000 -200.0000 0.0000

5 0 0 0 0.0000 0.0000 300.0000

1 1 5 100.000000 200000.0000

2 2 5 100.000000 200000.0000

3 3 5 100.000000 200000.0000

4 4 5 100.000000 200000.0000

1

5 0.00 0.00 -50000.00

Discretizarea se poate urmări în Fig.7.30, iar deformata în Fig.7.31.

Deoarece reprezentarea în spaţiu este mai dificilă, s-a adoptat pentru

reprezentarea blocajelor şi forţelor coduri numerice, astfel codul 123 pentru blocaje

semnifică blocaj la toate gradele de libertate (vezi cap. 6); forţele de încărcare se

listeză pe desen ca valori rotunjite. Cele două desene de mai sus (discretizarea şi

deformata) sunt privite în spaţiu din puncte diferite.

Rulând programul se obţine lista datelor de intrare şi rezultatul rulării:

NOD BX BY BZ X Y Z

1 1 1 1 200.0000 200.0000 0.0000

2 1 1 1 -200.0000 200.0000 0.0000

3 1 1 1 -200.0000 -200.0000 0.0000

4 1 1 1 200.0000 -200.0000 0.0000

5 0 0 0 0.0000 0.0000 300.0000

Fig.7.31. Deformata ARTS1

Fig.7.30. Discretizare ARTS1


77

ELEM I J A E

1 1 5 100.0000 200000.0000

2 2 5 100.0000 200000.0000

3 3 5 100.0000 200000.0000

4 4 5 100.0000 200000.0000

NOD FX FY FZ

1 0.0000 0.0000 0.0000

2 0.0000 0.0000 0.0000

3 0.0000 0.0000 0.0000

4 0.0000 0.0000 0.0000

5 0.0000 0.0000 -50000.0000

NUMARUL ECUATIILOR NEC = 3

SEMILATIMEA DE BANDA LB = 3

DEPLASARI NODALE

NOD UX UY UZ

1 0.00000000 0.00000000 0.00000000

2 0.00000000 0.00000000 0.00000000

3 0.00000000 0.00000000 0.00000000

4 0.00000000 0.00000000 0.00000000

5 0.00000000 0.00000000 -0.48675553

EFORTURI SI TENSIUNI IN ELEMENTE

ELEM N SIGMA

1 -17179.60677300 -171.79606773

2 -17179.60677300 -171.79606773

3 -17179.60677300 -171.79606773

4 -17179.60677300 -171.79606773

Deci tensiunile în bare sunt egale (de compresiune), iar deplasarea forţei datorită

simetriei este doar de-a lungul axei Z (-0,4867 mm).

TEMA: Să se trateze problema pe sfert folosind simetria.


78

ARTS2. Sistemul de şase bare identice din

Fig.7.32 este solicitat cu o forţa F a cărei

componente pe cele trei axe sunt: FX=4 kN;

FY=8kN; FZ=12 kN. Stiind că aria secţiunii

barelor este A=300 mm2; modulul de elasticitate

longitudinal E=2.105 MPa; lungimea barelor L =

500 mm; să se afle tensiunile din bare şi deplasarea

punctului de aplicaţie al forţei. Cum se poate folosi

simetria geometrică pentru reducerea modelului ?

Răspuns: Modelul poate fi redus dacă folosim

suprapunerea de efecte şi considerăm ca cele trei

componente ale forţei F actionează pe rând.

Deplasările şi tensiunile sunt (pentru numerotarea din figură):

NOD UX UY UZ

7 0.01666667 0.03333333 0.05000000

ELEM N SIGMA

1 -2000.00000000 -6.66666667

2 -4000.00000000 -13.33333333

3 2000.00000000 6.66666667

4 4000.00000000 13.33333333

5 6000.00000000 20.00000000

6 -6000.00000000 -20.00000000

ARTS3. Se consideră o grindă cu zăbrele (din ţevi de oţel E=2·10

11 Pa)

simplu rezemată (Fig.7.33.a), de deschidere totală 4L=3 m, care susţine o sarcină

verticală centrală F=10 kN. Lăţimea maximă a grinzii este B=0,3 m, iar înălţimile

sunt 1H =0,15 m, 2H =0,25 m, 1H =0,35 m. Pe fiecare faţă patrulateră a grinzii, se

introduce câte o diagonală, pentru rigidizarea structurii. Dacă nodurile de

îmbinare fizică se consideră articulaţii sferice, structura rezultă interior static

determinată. Deoarece rezemarea (Fig.7.33.b) în planul XOY este în cele patru

puncte de colţ, rezultă că structura este exterior odată static nedeterminată. Restul

de blocaje au fost introduse pentru preluarea mişcării de corp rigid. Modul în care

se introduc diagonalele pe fiecare faţă, generează un număr foarte mare de

configuraţii geometrice. Se au în vedere patru configuraţii particulare

Problemă preluată şi adaptată din raportul de cercetare al contactului CNCSIS 487/2003 condus

de prof. dr.ing. Adriana Sandu, Catedra de Rezistenţa materialelor, UPB

Fig.7.32: Problema ARTS2


79

reprezentative (Fig.7.34). Cele 12 diagonale se dispun ca în tabelul 7.2 în care s-a

folosit numerotarea nodurilor fizice din Fig.7.34, în care s-au reprezentat cele

patru configuraţii.

Se cere să se precizeze care dintre variantele de montare a diagonalelor din

Fig.7.34 este mai eficientă din punctul de vedere al tensiunilor maxime în bare şi

al săgeţii maxime a grinzii. Se precizează că există cinci categorii (seturi) de ţevi

de diametrul D şi grosimea pereţilor t (vezi Fig.7.33.b) prezentate în Tabelul 7.1.

Fig.7.33.a: Parametrii geometrici de gabarit (reprezentare fără diagonale) pentru

problema ARTS3

Fig.7.33.b: Seturile de proprietăţi ale secţiunilor, rezemarea şi încărcarea structurii

(reprezentare fără diagonale). Diagonalele se consideră din setul 5

Tabelul 7.1: Caracteristicile secţiunilor pentru problema ARTS3

Setul 1 2 3 4 5

D [mm] 20 30 32 35 25

t [mm] 2 2 2 2 2,5


80

a. Configuraţia 1 (diagonale paralele) b. Configuraţia 2 (diagonale în zig-zag)

c. Configuraţia 3 (diagonale dispuse simetric

în Λ faţă de centrul grinzii)

d. Configuraţia 4 (diagonale dispuse

simetric în V faţă de centrul grinzii )

Fig.7.34: Dispunerea diagonalelor în mai multe variante

Tabelul 7.2: Configuraţiile de aranjare a diagonalelor din Fig.7.34

Diagonala Configuraţia 1 Configuraţia 2 Configuraţia 3 Configuraţia 4

Nod I NodJ Nod I NodJ Nod I NodJ Nod I NodJ

1 2 3 2 3 2 3 2 3

2 4 5 3 6 3 6 3 6

3 6 7 6 7 6 7 6 7

4 8 9 7 10 7 10 7 10

5 1 12 1 12 1 12 3 11

6 3 13 12 5 3 13 5 12

7 5 14 5 14 7 13 5 14

8 7 15 14 9 9 14 7 15

9 4 11 4 11 2 12 4 11

10 6 12 13 4 13 4 6 12

11 8 13 8 13 8 13 6 14

12 10 14 15 8 10 14 8 15

info artsp

Documents