info artpl

Cap. 7. Sisteme de bare articulate

7.A. Sisteme plane de bare articulate

A. Caracteristici principale ale elementului barǎ articulatǎ planǎ (Fig. 7.1):

Fig. 7.1: Elementul bară articulată în plan

1. este generatǎ de douǎ noduri I şi J;

2. are douǎ grade de libertate pe nod (GLN = 2), translaţii X şi Y (UX, UY);

3. este bară dreaptă, încărcată axial la capete (nu poate prelua încovoiere), cu

proprietăţi uniforme de la un capăt la celălalt;

4. elementul poate fi folosit pentru a modela bara articulată plană, arc în plan

etc, (funcţie de aplicaţie);

5. matricea de rigiditate în coordonate globale este:

22

22

22

22

e

mlmmlm

lmllml

mlmmlm

lmllml

L

EA]K[ , (7.1)

în care: l = cos; m = sin.

6. uzual elementul este denumit TRUSS, ROD sau LINK.

B. Date legate de element

1. aria transversală a secţiunii barei - A.

C. Date despre materialul elementului

1. modulul de elasticitate longitudinal - E;

(2). coeficientul de dilatare termică - ;

(3). densitatea materialului - ;

(4). acceleraţia gravitaţională - g sau greutatea specifică - = g.

7. Sisteme de bare articulate

57

D. Date despre încărcări

1. blocaje în direcţia X-BX şi în direcţia Y-BY;

2. forţe la noduri în direcţia X-FX şi Y-FY;

(3). deplasări impuse pe orice direcţie;

(4). temperaturi în noduri sau în elemente;

(5). forţe de inerţie generate de câmpul gravitaţional (pentru care sunt

necesare ca date de intrare , g direcţia şi sensul gravitaţiei), sau generată de

mişcarea de rotaţie uniformă (pentru care trebuie precizate axa de rotaţie şi viteza

unghiulară ).

E. Rezultatele rezolvării

1. deplasările nodale - UX, UY;

2. eforturile şi tensiunile în bare: N, SIGMA;

(3). reacţiunile din legăturile cu exteriorul.

F. Structura fişierului cu date de intrare

1. Date generale

NN NE

2. Date despre noduri

NI BX BY X Y

...

3. Date despre elemente

EI I J A E

...

4. Date despre încărcări cu forţe

NF

NIF FX FY

...

G. Programul de lucru

ARTPLw_ref.EXE

Acest program a fost conceput astfel încât lucrează cu noţiunile (datele) de la

punctele B-E care nu sunt incluse între paranteze. Programul este de fapt

implementarea metodei deplasărilor (metoda de calcul exactă) pentru sisteme de bare

articulate în plan.

H. Schema logică a programului se prezintă în Fig. 7.2. Sistemul de ecuaţii care se

rezolvă este stocat în memoria RAM a calculatorului sub formă de matrice bandă.

Dimensiunea maximă a problemelor ce pot fi rezolvate rezultă din numărul


58

necunoscutelor şi lăţimea de bandă. Pentru a rezolva probleme de dimensiuni mari se

impune reconsiderarea gestionării resurselor hard (memoria extinsă).

Fig. 7.2: Schema logică a programului ARTPL.EXE

Aplicaţii

ARTP1. Un sistem de susţinere (vezi Fig. 7.3) este format dintr-o sârmă de

oţel de diametru 6 şi o baretă de plastic de secţiune dreptunghiulară 2015 [mm]


59

articulată în punctul A. Ştiind că sistemul susţine o forţă verticală de 1 kN, modulul

de elasticitate al oţelului este EOL=2.105 MPa iar al plasticului Eplastic=1.10

4 MPa, se

cere deplasarea punctului B şi tensiunile din materiale.

Rezolvare

Deoarece legăturile din B şi C pot

fi considerate articulaţii (sârma nu preia

încovoiere decât dacă este foarte groasă)

putem încadra problema în categoria

barelor articulate plane.

Se alege sistemul global de axe cu

originea în punctul A, unităţile de măsură

folosite se aleg [mm] pentru dimensiuni;

[N] pentru forţe şi rezultă [mm2] pentru

arie, [MPa] pentru tensiuni.

Fişierul cu date de intrare artp1

construit interactiv este:

3 2

1 1 1 0.0000000000E+00 0.0000000000E+00

2 1 1 0.0000000000E+00 3.5000000000E+02

3 0 0 5.0000000000E+02 3.5000000000E+02

1 2 3 2.8260000000E+01 2.0000000000E+05

2 1 3 3.0000000000E+02 1.0000000000E+04

1

3 0.0000000000E+00 -1.0000000000E+03

Atenţie! Fişierul nu trebuie să conţină linii goale nici la începutul fişierului nici între

datele intermediare. Pentru separarea datelor în cadrul liniei se foloseşte cel puţin un

spaţiu (blanc).

Discretizarea se poate urmări în Fig. 7.4 (imagine reprodusă de pe ecran).

Fig. 7.4: Discretizare ARTP1 Fig. 7.5: Deformata ARTP1

Fig. 7.3: Problema ARTP1


60

Rulând programul se obţine listingul:

NOD BX BY X Y

1 1 1 0.0000000000E+00 0.0000000000E+00

2 1 1 0.0000000000E+00 3.5000000000E+02

3 0 0 5.0000000000E+02 3.5000000000E+02

ELEM I J A E

1 2 3 2.8260000000E+01 2.0000000000E+05

2 1 3 3.0000000000E+02 1.0000000000E+04

NOD FX FY

1 0.0000000000E+00 0.0000000000E+00

2 0.0000000000E+00 0.0000000000E+00

3 0.0000000000E+00 -1.0000000000E+03

NUMAR DE ECUATII NEC= 2

SEMIBANDA MATRICII DE RIGIDITATE LB= 2

DEPLASARI NODALE

NOD UX UY

1 0.0000000000E+00 0.0000000000E+00

2 0.0000000000E+00 0.0000000000E+00

3 1.2637751491E -01 -7.9917086714E -01

EFORTURI SI TENSIUNI IN ELEMENTE

ELEM N SIGMA

1 1.4285714286E+03 5.0551005965E+01

2 -1.7437936594E+03 -5.8126455313E+00

Interpretarea rezultatelor


61

Rezultatele se pot citi din listă, nodul B este nodul numărul 3, deci deplasarea

lui este 0,126 mm pe orizontală spre dreapta şi 0,799 mm pe verticală în sus (invers

sensului axei Y întrucât valoarea este negativă). Tensiunea din bara de oţel,

(elementul numărul 1) este întindere de valoare 50,55 MPa iar în bara de plastic

(elementul numarul 2) este de compresiune cu 5,81 MPa. Valorile obţinute pentru

deplasare sunt foarte mici, ceea ce justifică calculul liniar. Tensiunile obţinute sunt

acceptabile. Deformata structurii se prezintă în Fig. 7.5.

Faza de interpretare a rezultatelor este importantă pentru o primă confirmare

a rezultatelor. Pentru aplicaţiile care urmează această fază cade în grija celui care

rezolvă problemele.

ARTP2. Pentru sistemul de bare articulate din Fig. 7.6 se cere să se

determine forţa capabilă Fcap şi deplasarea ei ştiind că barele sunt din oţel cu

E=2,1.105 MPa; A=100 mm

2; a=0,1 m; a = 150 MPa (tensiunea admisibilă).

Fig. 7.6: Problema ARTP2 Fig. 7.7: Discretizare ARTP2

Rezolvare

Se observă ca problema prezintă simetrie geometrică şi de încărcare (întrucât

reacţiunile verticale din C şi D sunt egale iar reacţiunea orizontală din reazemul C

este nulă), deci putem adopta rezolvarea unui model pe jumătate din structură. Forţa

F se împarte egal pe cele două jumătăţi, ca şi aria barei din axa de simetrie. Stiind că

relaţia dintre tensiune şi efort este liniară (A

Nσ ), şi eforturile din bare sunt funcţie

de F, se adoptă iniţial o valoare oarecare pentru F (spre exemplu F=1 N) şi din

tensiunile maxime corespunzătoare acestei forţe se poate determina forţa capabilă

funcţie de tensiunea admisibilă.

Discretizarea cu condiţiile la limită se poate urmări în Fig. 7.7 (sau pe ecranul

monitorului dacă se ruleaza fişierul artp2).

Fişierul cu datele de intrare este:

3 3

1 1 0 0.00 100


62

2 1 0 0.00 200

3 0 1 200 0.00

1 1 2 100 2.1E5

2 2 3 100 2.1E5

3 1 3 100 2.1E5

1

1 0.00 -0.50

Rezultatele rulării sunt:

DEPLASARI NODALE

NOD UX UY

1 0.0000000000E+00 -9.0018468776E-05

2 0.0000000000E+00 -8.5256564014E-05

3 5.8319162825E -05 0.0000000000E+00

EFORTURI şi TENSIUNI IN ELEMENTE

ELEM N SIGMA

1 1.0000000000E+00 1.0000000000E-02

2 -1.4142135624E+00 -1.4142135624E-02

3 1.1180339888E+00 1.1180339888E-02

Tensiunea maximă (în valoare absolută) se atinge în bara 2 şi este 2

1F|max 104142,1σ

MPa. Dacă forţa creşte tensiunea maximă în această bară

poate atinge a, deci forţa capabilă poate creşte de 1F|max

a

σ

σ

ori, deci

Fcap= 2104142,1

150

=10607 N.

Deplasarea pe verticală a nodului 1 este -9,001846.10-5

pentru F=1, pentru

Fcap deplasarea va fi UY(1)Fcap= -0,954 mm pe verticală şi UX(3)Fcap= 0,618 mm pe

orizontală.

TEMĂ: Trataţi problema fără a ţine seama de simetrie pentru a verifica rezultatele

de mai sus.


63

ARTP3. Un cadru dreptunghiular cu

diagonale format din bare articulate este

solicitat ca în figura 7.8. Ştiind că barele sunt

din oţel cu E=2,1.105 MPa, şi toate au arie

A=200 mm2; a=0,5 m; a=100 MPa şi F=13

kN, se cere să se facă verificarea solicitării în

bare şi să se determine deplasarea relativă

între punctele A şi C.

Rezolvare

Aşa cum este dată problema deşi în echilibru, structura are “mişcare de solid

rigid” şi nu poate fi rezovată decât dacă se impun deplasări (de obicei blocaje) unor

noduri ale modelului. În plan numărul gradelor de libertate mecanică sunt trei (două

translaţii şi o rotaţie), prin urmare se impune blocarea a minim trei grade de libertate

din model astfel încât să nu se modifice problema iniţială. Unele modele pot arăta ca

în Fig. 7.9.

Fig. 7.9: Modele pentru problema ARTP3

Modelele a, b, c introduc trei blocaje care asigură înlăturarea mişcării de solid

rigid, modificarea aparentă a încărcărilor b, c nu modifică problema întrucât

calculând reacţiunile din reazeme, acestea sunt egale cu forţele din încărcare.

Modelul d, deşi are trei blocaje conduce la matrice de rigiditate singulară întrucât

poate avea mişcare de rotaţie în jurul punctului D (vezi Fig. 7.8). Modelul e modifică

problema întrucât impiedică deplasarea relativă între A şi C. Modelul f modifică

problema prin introducerea de elemente suplimentare, dar dacă rigidităţile acestor

elemente, sunt neglijabile faţă de cele ale barelor reale atunci se poate obţine un



64

rezultat foarte aproape de cel real. Aceasta metodă (“a rigidităţilor adiţionale”) poate

fi folosită şi pentru înlăturarea mişcării de mecanism. Pentru problema de mai sus

sunt suficiente trei sau chiar două bare în locul celor patru din colţuri. Uneori

modificarea rigidităţilor poate duce la obţinerea de rezultate false, deoarece matricea

de rigiditate rezultă slab condiţionată.

E posibil ca programul să ruleze şi fără condiţii la limită în deplasări şi uneori

se pot obţine rezultate acceptabile datorită faptului ca procedura de rezolvare folosită

în program (Gauss), nu face toate verificările necesare rezolvării corecte a unui

sistem de ecuaţii.

Dacă se adoptă pentru rezolvare modelul din Fig. 7.9.f, alegând pentru

modulul de elasticitate al elementelor suplimentare valoarea E = 1 MPa, iar pentru

arie se păstrează A=200 mm2 (se pot modifica E şi A în sensul scăderii valorilor şi L

în sensul creşterii), cu discretizarea din Fig. 7.10 fişierul datelor de intrare este:

8 10

1 0 0 0.00E+00 0.00E+00

2 0 0 1.00E+03 0.00E+00

3 0 0 1.00E+03 5.00E+02

4 0 0 0.00E+00 5.00E+02

5 1 1 -2.50E+02 -2.50E+02

6 1 1 1.25E+03 -2.50E+02

7 1 1 1.25E+03 7.50E+02

8 1 1 -2.50E+02 7.50E+02

1 1 2 2.00E+02 2.10E+05

2 2 3 2.00E+02 2.10E+05

3 3 4 2.00E+02 2.10E+05

4 4 1 2.00E+02 2.10E+05

5 1 3 2.00E+02 2.10E+05

6 2 4 2.00E+02 2.10E+05

7 5 1 2.00E+02 1.00E+00

8 6 2 2.00E+02 1.00E+00

9 7 3 2.00E+02 1.00E+00

10 8 4 2.00E+02 1.00E+00

4

1 0.00E+00 1.30E+04

2 2.60E+04 0.00E+00

3 0.00E+00 -1.30E+04

4 -2.60E+04 0.00E+00


Fig. 7.10: Discretizare ARTP3


65

DEPLASARI NODALE

NOD UX UY

1 3.314931E -01 -3.80460E -01

2 5.336515E -01 4.84683E -01

3 -3.314931E -01 3.80460E -01

4 -5.336515E -01 -4.84683E -01

5 0.000000E+00 0.00000E+00

6 0.000000E+00 0.00000E+00

7 0.000000E+00 0.00000E+00

8 0.000000E+00 0.00000E+00

EFORTURI SI TENSIUNI IN ELEMENTE

ELEM N SIGMA

1 8.490E+03 4.245E+01

2 -8.754E+03 - 4.377E+01

3 8.490E+03 4.245E+01

4 -8.754E+03 -4.377E+01

5 -9.492E+03 -4.746E+01

6 1.957E+04 9.788E+01

7 -1.958E -02 -9.793E -05

8 -1.958E -02 -9.793E -05

9 -1.958E -02 -9.793E -05

10 -1.958E -02 -9.793E -05

Deformata structurii se poate urmări în Fig. 7.11, iar reprezentarea tensiunilor

pe elemente în Fig. 7.12. Un anumit tip de linie precizează tensiune între valoarea

imediat superioară şi inferioară din legenda tensiunilor, spre exemplu bara 3 se

încadrează între tensiuni cuprinse între 39,74 şi 54,45 MPa, adică mai precis (din lista

tensiunilor) 42,45 MPa. Cea mai mare tensiune în valoare absolută este în bară

numărul 6 şi are valoare 97,88 MPa inferioară tensiunii admisibile.

Pentru a afla deplasarea relativă A - C se calculează lungirea barei 5 adică:

AC = 252,0200101,2

500100085,9492

AE

LN5

22

55

mm sau se poate folosi relaţia de

calcul a deplasării între două noduri:

2

JJII

2

JJIIIJ )UYYUYY()UXXUXX(δ

Fig. 7.11: Deformata ARTP3


66

2

JI

2

JI )YY()XX( , (7.2)

care dă acelaşi rezultat.

Fig. 7.12: Distribuţia tensiunilor ARTP3

ARTP4. O grindă cu zăbrele se sprijină pe trei arcuri identice ca în Fig. 7.13.

Cunoscând forţa F = 5 kN, aria secţiunilor

barelor A = 500 mm2; E = 2.10

5 MPa; a =

0,3 m, iar pentru arcuri: raza spirei de

înfăşurare R = 40 mm; diametrul sârmei d =

10 mm; numărul spirelor i = 12; modulul de

elasticitate transversal G = 8,1.104 MPa se

cer tensiunile maxime în bare şi în arcuri

precum şi săgeata maximă a arcurilor.

Rezolvare

Arcurile spirale după cum se ştie lucrează în principal la răsucire, dar din

punct de vedere al rigidităţii cu care participă la structură poate fi considerat o bară.

Dacă ţinem seama de relaţia dintre săgeată şi forţa pentru un arc:

arc4

3

arc FGd

iR64f , (7.3)

şi de relaţia dintre lungire şi forţă pentru o bară de lungime L:

NEA

LLΔ , (7.4)



67

rezultă că între rigidităţile unui arc şi ale unei bare există relaţia:

iR64

Gd

L

EA3

4

. (7.5)

Dacă alegem pentru bara echivalentă arcului E=2.105 MPa şi L = a = 300 mm

rezultă pentru secţiunea barei care modelează arcul (din relaţia 7.5) aria:

2

35

44

3

4

1047192,2124010264

30010101,8

iER64

LGdA

mm

2 .

Discretizarea se prezintă în

Fig. 7.14. Blocajul nodului 2

pe orizontală se introduce

pentru înlăturarea posibilităţii

de pendulare a cadrului

(mişcare de mecanism).

Fişierul cu date de intrare

artp4 este:

11 16

1 1 1 0.0000000000E+00 0.0000000000E+00

2 1 0 0.0000000000E+00 3.0000000000E+02

3 0 0 3.0000000000E+02 3.0000000000E+02

4 0 0 3.0000000000E+02 5.1000000000E+02

5 1 1 6.0000000000E+02 0.0000000000E+00

6 0 0 6.0000000000E+02 3.0000000000E+02

7 0 0 6.0000000000E+02 5.1000000000E+02

8 0 0 9.0000000000E+02 3.0000000000E+02

9 0 0 9.0000000000E+02 5.1000000000E+02

10 1 1 1.2000000000E+03 0.0000000000E+00

11 0 0 1.2000000000E+03 3.0000000000E+02

1 2 3 5.0000000000E+02 2.0000000000E+05

2 2 4 5.0000000000E+02 2.0000000000E+05

3 3 4 5.0000000000E+02 2.0000000000E+05

4 3 6 5.0000000000E+02 2.0000000000E+05

5 3 7 5.0000000000E+02 2.0000000000E+05

6 4 7 5.0000000000E+02 2.0000000000E+05

7 6 7 5.0000000000E+02 2.0000000000E+05

8 6 8 5.0000000000E+02 2.0000000000E+05

9 7 8 5.0000000000E+02 2.0000000000E+05

10 7 9 5.0000000000E+02 2.0000000000E+05

11 8 9 5.0000000000E+02 2.0000000000E+05

Fig. 7.14: Discretizare - ARTP4


68

12 8 11 5.0000000000E+02 2.0000000000E+05

13 9 11 5.0000000000E+02 2.0000000000E+05

14 1 2 2.4719238000E -02 2.0000000000E+05

15 5 6 2.4719238000E -02 2.0000000000E+05

16 10 11 2.4719238000E -02 2.0000000000E+05

1

4 0.0000000000E+00 -5.0000000000E+03


DEPLASARI NODALE

NOD UX UY

1 0.0000000000E+00 0.0000000000E+00

2 0.0000000000E+00 -1.7697610689E+02

3 1.2499184595E -02 -1.3911275317E+02

4 -2.6524018051E+01 -1.3911712857E+02

5 0.0000000000E+00 0.0000000000E+00

6 1.6068982437E -02 -1.0115888525E+02

7 -2.6536517235E+01 -1.0116238605E+02

8 1.9638780288E -02 -6.3220382696E+01

9 -2.6538302134E+01 -6.3219508095E+01

10 0.0000000000E+00 0.0000000000E+00

11 2.1423679168E -02 -2.5272405030E+01

EFORTURI şi TENSIUNI IN ELEMENTE

ELEM N SIGMA

1 4.1663948650E+03 8.3327897300E+00

2 -5.0857329184E+03 -1.0171465837E+01

3 -2.0835234872E+03 -4.1670469745E+00

4 1.1899326140E+03 2.3798652279E+00

5 3.6332351749E+03 7.2664703499E+00

6 -4.1663947729E+03 -8.3327895457E+00

7 -1.6670470636E+03 -3.3340941272E+00

8 1.1899326171E+03 2.3798652342E+00

9 -7.2624892174E+02 -1.4524978435E+00

10 -5.9496625909E+02 -1.1899325182E+00

11 4.1647642363E+02 8.3295284726E-01


69

12 5.9496629309E+02 1.1899325862E+00

13 -7.2624890507E+02 -1.4524978101E+00

14 -2.9164763376E+03 -1.1798407126E+05

15 -1.6670470402E+03 -6.7439256834E+04

16 -4.1647639651E+02 -1.6848270020E+04

Tensiunea maximă în bare este -10,17 MPa în bara 2. Săgeata maximă a arcului

corespunde cu deplasarea pe verticală a nodului 2 şi este 176,97 mm. Tensiunile din

barele care modelează arcurile sunt false, pentru a afla tensiunea din arcuri folosim

relaţia:

3

arcarc

dπ

RF16τ . (7.6)

Forţa din arcul 14 (modelat ca bară) este forţa maximă care încarcă un arc, deci

tensiunea maximă în acest arc este:

1,59410π

40291616τ

3arc

MPa.

ARTP5. Să se dimensioneze cu

secţiune circulară barele structurii din Fig.

7.15, ştiind că: a = 1 m; E = 7.104 MPa;

F=100 kN; a = 200 MPa, şi să se calculeze

deplasarea totală a punctului de aplicaţie al

forţei F.

Indicaţie. Se alege iniţial A=1 mm2, Anec

rezultă că trebuie să fie de a

1A|max

σ

σ ori mai

mare.

Raspuns: A=161,7 mm2, deci 14,38 şi 20,29. În practică se aleg valori rotunjite

superior. 588,5285,4586,3UYUXδ 2222

F mm.

ARTP6. Pentru grinda cu zăbrele (în consolă) din Fig.7.16 se cere distribuţia

tensiunilor în elementele structurii şi săgeata maximă a grinzii ştiind că: a = 0,4 m;

F=6 kN; toate barele sunt din oţel cu E=2.105 MPa şi au aceeaşi arie a secţiunii



70

A=400 mm2. Numerotaţi diferit nodurile şi constataţi care sunt modificările în rulare

şi rezultate.

Răspuns:

vmax = -5,069 mm.

Pentru distribuţie

vezi Fig.7.17.

Fig.7.16: Problema ARTP6

Fig.7.17: Distribuţia de tensiuni - ARTP6

ARTP7. Grinda cu zăbrele

din Fig.7.18 este formată din bare de

secţiune circulară 60. Se cunosc

E=2,1.105 MPa; a =250 mm şi a =

150 MPa. Pentru încărcarea din figură

se cere forţa maximă capabilă Fcap de

încărcare a grinzii, deplasarea pe

orizontală a reazemului din dreapta şi

bara cea mai solicitată.


Răspuns: Fcap = 159,042 kN; u= -0,46875 mm.


71

ARTP8. Structura din Fig.7.19 este formată din bare de oţel (E = 2,1.105

MPa) de secţiune pătrată 20x20 fixate cu bolţuri la capete. Stiind că a = 0,4 m; F = 70

kN si a = 150 MPa să se verifice barele.



Indicaţii: Modelul se poate face pe jumătate din structura, dar pentru înlăturarea

mişcării de mecanism (aparută prin tăierea barelor centrale) se mai adaugă două

elemente cu rigidităţi neglijabile. Este utilă tratarea în paralel a celor două modele,

cu întreaga structură şi pe jumătate.

Răspuns: max = 134 MPa.

ARTP9. Să se determine forţa capabilă la care rezistă structura din Fig.7.20,

şi deplasarea relativă între punctele de aplicaţie ale forţelor (pentru forţa capabilă)

ştiind că: A = 250 mm2; E = 2,1.10

5 MPa; a = 0,2 m; a =100 MPa. Ce se întâmplă

dacă lipsesc cele două reazeme ?

Indicaţii: Modelul se poate alege pe un sfert de structură întrucât structura are două

axe de simetrie.

Răspuns: Fcap = 77936 N; = 0,7569 mm.

ARTP10. Pentru podul din Fig.7.21 se cunosc E=2,1.105 MPa; a = 1 m;

F=120 kN şi a =150 MPa. Să se dimensioneze barele podului ştiind că barele de la

talpa inferioară podului au aria de 4 ori mai mare decât barele care formează talpa

superioară, stâlpii din dreptul reazemelor au secţiunea de 6 ori mai mare decât barele

tălpii superioare, iar restul stâlpilor au aria jumătate din cea a stâpilor din dreptul

reazemelor, toate diagonalele au aria dublă tălpii superioare.


72

Să se studieze distribuţia de tensiuni şi să se precizeze dacă se poate neglija

greutatea proprie ( = 7800 Kg/m3, g = 10 m/s

2). Care este săgeata podului sub

încărcarea dată ?


Indicaţie: Se lucrează pe jumătate şi se alege iniţial un parametru A = 1 mm2 (aria

tălpii superioare).

Fig.7.22: Distribuţia de tensiuni - ARTP10

Răspuns: A=1600 mm2. Greutatea unei bare de secţiune 4A din talpa inferioară

este: 4,998107800121016004gρa2A4G 6 N. Comparativ cu forţa

F (de încărcare într-un nod), forţa rezultată din greutatea proprie reprezintă 0,83%.

Pentru estimarea corectă ar trebui determinată greutatea întregului pod raportată la

forţa totală de încărcare, sau determinarea tensiunii şi deformaţiilor cu considerarea


73

greutăţii proprii, oricum greutatea proprie se poate neglija. Distribuţia de tensiuni

este prezentată în Fig.7.22.

ARTP11. Stâlpul din Fig.7.23 suportă în vârf o forţa orizontală F=20 kN.

Stiind că barele conţinute între cotele (0, 2a] au aria 300 mm2, cele între (2a, 5a] au

aria 200 mm2, iar cele două bare de vârf au aria 150 mm

2; E=2.10

5 MPa şi a=0,5 m,

să se afle tensiunea maximă în bare şi deplasarea punctului din vârful stâlpului.



Indicaţie: Modelul problemei poate fi dezvoltat pe jumătate din structură, datorită

simetriei geometrice şi antisimetriei de încărcare.

Răspuns: max = 210,8 MPa, u = 15,25 mm; v = 0.

ARTP12. Să se determine tensiunea maximă pentru structura din figura 7.24.

Se cunosc E=2.105 MPa; a = 0,3 m; A=200 mm

2; F=10 kN. Ce se intamplă dacă

dispare reazemul simplu ?

Răspuns: max = 106 MPa. Dacă dispare reazemul simplu problema nu se poate

rezolva întrucât devine neliniară (vezi problema ARTP15).

ARTP13. Structura cu bare şi arcuri din Fig.7.25 este formată din bare de

secţiune A=25 mm2; modulul lui Young E = 2.10

5 MPa şi patru arcuri identice cu

caracteristicile: R=6 mm; d=2 mm; i = 15 spire; G=8,1.104 MPa.

Cunoscând a=20 mm si F=10 N să se calculeze deplasarea relativă între

punctele 1 şi 2 precum şi tensiunea din arcuri.


74

Indicaţie: Arcurile se modelează ca bare (vezi problema ARTP4). Structura fiind

repetitivă modelul se poate dezvolta pe o porţiune de bară şi o jumătate de arc (1/16

din structura) ca în Fig.7.26. Lungimea barei care modelează arcul este cunoscută 3a,

pentru modulul de elasicitate longitudinal se poate alege valoarea E=2.105 MPa şi

rezultă din relaţia (7.5) A=1,875.10-2

mm2.

Fig.7.25: Problema ARTP13 Fig.7.26: Model - ARTP13

Răspuns: 1-2 = 14,4 mm; arc = 57,3 MPa.

ARTP14. O structură tip macara ca în

Fig.7.27, formată din bare de oţel (E=2.105

MPa) de secţiuni egale A=4000 mm2, trebuie

să reziste la solicitarea unei forţe înclinate F.

Stiind că a = 1 m şi a = 150 MPa, să se afle

forţa capabilă de încărcare fără a de depăşi

tensiunea admisibilă şi să se calculeze

deplasarea totală a punctului unde este

aplicată forţa.

Răspuns: Fcap = 161 kN.

22 )78,59(52,36δ 70,05 mm.

ARTP15. Sistemul de două bare

articulate prezentat în Fig.7.28, încărcat cu

forţa F perpendiculară pe bare nu poate fi

rezolvat cu acest program. Să se explice de ce?

Dacă unghiul dintre cele două bare este foarte

mic (aproximativ un grad) problema se poate

rezolva ! Interpretaţi rezultatul.




75

Răspuns: Calculul fiind liniar echilibrul nodului central trebuie să poată fi scris în

poziţia iniţială (nedeformată) ceea ce este imposibil. Problema este neliniară. Deşi

pentru unghiuri mici programul poate fi rulat, rezultatele sunt false (deplasare

exagerată pentru forţă F mică).

info artpl

Documents