CuprinsInformatii generale 21 MODULUL I. Analiza matematica 41.1 Functii reale de mai multe variabile reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.1 Spatiul Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2 Limit a si continuitate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.3 Derivate partiale, diferentiabilitate si diferential a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.4 Derivate partiale si diferentiale de ordin superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2 Extremele functiilor de mai multe variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.1 Extremele functiilor de dou a variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.2 Extremele functiilor de n variabile (n 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.3 Ajustarea datelor experimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3 Exercitii si probleme rezolvate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.4 Teme de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.5 Integrale Euleriene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.5.1 Integrala lui Euler de speta nt ai. Functia beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.5.2 Integrala lui Euler de speta a doua. Functia gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.5.3 Integrala Euler-Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.5.4 Exercitii si probleme rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.5.5 Teme de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 MODULUL II. Teoria probabilitatilor 362.1 C amp de evenimente, c amp de probabilitate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.1.1 Corp de p arti ale unei multimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.1.2 C amp de evenimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.1.3 C amp de probabilitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.1.4 Probabilit ati conditionate. Independenta evenimentelor. . . . . . . . . . . . . . . . . 412.2 Scheme clasice de probabilitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.2.1 Schema urnei cu bila nerevenit a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.2.2 Generalizare. Schema urnei cu bila nerevenit a cu mai multe st ari . . . . . . . . . . . 472.2.3 Schema urnei cu bila revenit a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.2.4 Generalizare. Schema urnei cu bila revenit a cu mai multe st ari . . . . . . . . . . . . . 482.2.5 Schema urnelor lui Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.3 Variabile aleatoare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.3.1 Operatii cu variabile aleatoare de tip discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.3.2 Functia de repartitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.3.3 Variabile de tip continuu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.3.4 Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.4 Exercitii si probleme rezolvate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.5 Teme de control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631Informat ii generaleUNIVERSITATEA BABES -BOLYAI CLUJ-NAPOCAFACULTATEA DE S TIINT E ECONOMICE S I GESTIUNEA AFACERILORTRUNCHI COMUN ANUL I zi si IDANUL UNIVERSITAR 2011/2012SEMESTRUL IDate de identicare a cursuluiDate de contact ale titularilor de curs:1. Muresan Anton S., Birou: Cabinetul 229, Etajul II, E-mail: anton.muresan@econ.ubbcluj.ro; tel 0264418 652/int.5809.2. Curt Paula, Birou: Cabinetul 229, Etajul II, E-mail: paula.curt@econ.ubbcluj.ro; tel 0264 418 652/int.5809.3. Filip Diana Andrada, Birou: Cabinetul 229, Etajul II, E-mail: diana.lip@econ.ubbcluj.ro; tel 0264418 652/int.5809.4. LungRodicaIoana, Cabinetul230, EtajulII, E-mail: rodica.lung@econ.ubbcluj.ro; tel0264418652/int.5810.5. Radu Voichita, Cabinetul 230, Etajul II, E-mail: voichita.radu@econ.ubbcluj.ro; tel 0264 418 652/int.5810.6. Rosca Alin, Cabinetul 231, Etajul II, E-mail: alin.rosca@econ.ubbcluj.ro; tel 0264 418 652/int.5857.Fax: 0264-412570Date de identicare curs si contact tutori:Numele cursului: MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIECodul cursului: EBS0003Anul I, Semestrul ITipul cursului: ObligatoriuPagina web a cursului:Tutori:1. Lung Rodica Ioana, rodica.lung@econ.ubbcluj.ro2. Radu Voichita, voichita.radu@econ.ubbcluj.ro3. Rosca Alin, alin.rosca@econ.ubbcluj.ro4. Filip Darius, darius.lip@econ.ubbcluj.ro5. Coconet Tiberiu, tiberiu.coconet@econ.ubbcluj.ro6. Pop Flaviu, aviu.pop@econ.ubbcluj.roLocul de desf asurare a cursului: Cl adirea Campus, s ali etajul IIProgramarea n orar a activit atilor (la nv at am atul de zi): S apt am anal 2 ore de curs + 2 ore de seminar,conform orarului asat la sediul facult atii; (la nv at am atul ID) :8 ore activitati tutorialeConditionari si cunostinte prerechizite: -Descrierea cursului :Se vor avea in vedere urmatoarele obiective: Introducerea catorva notiuni de analiza functiilor reale de mai multe variabile reale care sa consti-tuie pentru studenti instrumente pentru tratarea unor probleme de extrem, pentru a permite interpolareasi ajustarea datelor experimentale, etc. Crearea bazelor de analiza matematica necesare pentru studiul teoriei probabilitatilor si pentrustatistica matematica. Denirea si studiul principalelor proprietati ale conceptelor de baza din teoria probabilitatilor.Crearea la studenti a unor deprinderi de utilizare a tehnicilor probabilistice si de folosire a acestora in scopaplicativ. Fundamentarea probabilistica a statisticii matematice.Organizarea temelor (p artilor) in cadrul cursului:Cursul va avea urmatoarele doua parti:21. Elemente de analiza matematica2. Elemente de teoria probabilitatilorOrganizarea temelor s-a facut avand in vederea ordinea reasca si gradul de dicultate sa urmeze oordine crescatoare. Informatia relevanta referitoare la ecare tema (parte) se gaseste in lista bibliogracace va prezentata ulterior, iar accesul va realizat direct.Formatul si tipul activitatilor implicate de curs:Formatul va unul clasic, permitand studentului de a-si gestiona singur, fara constrangeri, parcurgereacursului. De sigur o participare la activitatile planicate va usura intelegerea tematicii cursului. Tipurilede activitati ce vor abordate in cadrul cursului vor atat cele clasice cat si proiecte de grup.Materiale bibliograce obligatorii:Principalele materiale bibliograce pe care le vom utiliza, si care se vor gasi la biblioteca facultatii, iarunele vor putea accesate prin internet, sunt:1. Colectiv, Matematici aplicate n economie, Ed. Mega, Cluj-Napoca, 2011.2. Colectiv, Analiza matematica, Teoria Probabilitatilor si Algebra liniara aplicate in economie, Ed.Mediamira, Cluj-Napoca, 2008.Materiale si instrumente necesare pentru curs :Vom folosi: suport electronic de curs, materiale multiplicate, calculator, videoproiector.Calendarul cursului: este prezentat in calendarul disciplineiPolitica de evaluare si notare:Evaluarea si notarea nala se va face prin rezolvarea de probleme, intocmirea unor teme de casa. Toateacestea se vor realiza pe parcursul semestrului. Intrarea in examenul nal este conditionata de realizareasarcinilor ce rezulta din temele de control de la sfarsitul ecarui modul al suportului de curs. Studentii vorprimi feed-back la rezultatele realizate in examenul nal prin comunicare directa cu cei care solicita. Incazul cand studentul doreste sa revina la un examen de marire a notei, acest nou examen se va desfasurain aceleasi conditii, cu aceleasi cerinte, ca si examenul initial.Observatie. Se pot face doua referate care valoreaza 3 puncte din nota nala de examen, cu urmatoareleteme:1. Modele de gestiune a stocurilor [1, Sec. 3.4] + problemele propuse in suportul de curs de la capitolul deanaliza (maxim 1,5 puncte)2. Repartitii clasice ale variabilelor aleatoare (binomiala, uniforma, normala, [1, Cap.8] + problemele pro-puse in suportul de curs de la capitolul de probabilitati (maxim 1,5 puncte)La examen vor pe bilet doar subiecte practice (probleme, max. 6 puncte; 1 punct din ociu).[1] Colectiv, Elemente de Algebra liniara, Analiza matematica si Teoria probabilitatilor, Ed. Mega, Cluj-Napoca, 2009.Elemente de deontologie academica:Pentru a evita situatiile care pun in discutie onestitatea studentilor facem de la inceput precizarea ca seinterzice categoric frauda, iar tentativele de frauda se vor trata conformreglementarilor in vigoare elaboratela nivelul facultatii si universitatii. Este normal ca atunci cand se utilizeaza anumite date, texte, formulari,etc. luate din alte surse, sa se faca citarea, si astfel sa se asume meritele doar pentru munca si contributiaproprie. Se va cere studentului sa aiba un comprtament academic fata de profesori si fata de colegi.Studentii cu dizabilitati:Nuvoravea nicioproblemainase incadraincerintelecursuluisia celorlalteactivitati, sanseleinpregatire si obligatiile lor ind de aceeasi factura ca si pentru studentii fara dizabilitati.Strategii de studiu recomandate:Recomandam studentilor sa se pregateasca mai intai din aspectele teoretice,asa incat,mai intai,dincurs, sa e studiate modulele cu teoria si exemplele ilustrative formulate, apoi sa se abordeze problemelerezolvate, iar apoi si problemele formulate spre rezolvare. Pentru tot cursul, apreciem ca fondul de timpnecesar insusirii complete este de 56 de ore, din care 40 pentru suportul de curs, 8 pentru activitatile directecu tutorii, iar 12 pentru sarcinile individuale de studiu al bibliograei si realizarea temelor de control.31MODULUL I. Analiza matematicaObiectivele modululuiIntroducerea catorva notiuni de analiza functiilor reale de mai multe variabile reale care sa constituiepentru studenti instrumente pentru tratarea unor probleme de extrem, pentru a permite interpolareasi ajustarea datelor experimentale, etc.Crearea bazelor de analiza matematica necesare pentru studiul teoriei probabilitatilor si pentru sta-tistica matematica.Concepte de bazaSpatiul Rn, distanta in Rn, topologia euclidiana in Rn;Limite de functii de la Rnla R, continuitatea functiilor de la Rnla R;Derivate partiale, diferentiabilitate si diferentiala pentru functiile de la Rnla R, derivate partiale sidiferentiale de ordin superior;Extremele functiilor reale de mai multe variabile reale (libere sau cu legaturi);Ajustarea datelor experimentale;Integrale Euler.Rezultate asteptateInsusireaconceptelordebazamentionatesicreareadeprinderilordeutilizareaacestora. Studentultrebuie sa e capabil sa aplice in practica notiunile studiate pentru analizarea unor situatii concrete dineconomie, cum ar de exemplu probleme de gestiunea optima a stocurilor.UNITATEA 1. Functii reale de mai multe variabile reale1.1 Functii reale de mai multe variabile reale1.1.1 Spatiul RnIn studiul fenomenelor zice, economice (si n alte situatii) apare de mai multe ori necesitatea studiuluimultimilor cu num ar x de numere reale. De exemplu, spatiul n care tr aim este modelat ca o multime depuncte determinate de trei coordonate. Fie n un num ar natural xat nenul. Multimea sistemelor de forma:x = (x1, x2, . . . , xn) ,unde x1, x2, . . . , xn sunt numere reale, se numeste spatiul Rn. Elementele acestei multimi se numesc puncte,iarnumerelex1, x2, . . . , xncaredetermin apunctul xsenumesccoordonatelesaucomponenteleacestuipunct.Pe spatiul Rnse pot considera diverse structuri care s a extind a structura axei reale.Pentru orice pereche de elemente x si y din Rn, exist a n Rnsuma lor x +y dat a de:x +y = (x1+y1, x2+y2, . . . , xn +yn) . (2.1.1)De asemenea, pentru ecare R si x Rnexist a n Rnx = (x1, x2, . . . , xn) . (2.1.2)4Denitia 1.1.1. Se numes te metric a sau distant a pe mult imea nevid a X orice aplicat ied : X X R (x, y) d (x, y)astfel nc at:D1) d (x, y) 0, x, y X s i d (x, y) = 0 x = yD2) d (x, y) = d (y, x) , x, y XD3) d (x, y) d (x, z) +d (z, y) , x, y, z X (inegalitatea triunghiului)Cuplul (X, d) unde X este o mult ime nevid a iar d este o metric a (distant a) pe X se numes te spatiu metric.Propozitia 1.1.1. Aplicat ia d : RnRnR dat a ded (x, y) =___x y___ =_n

i=1(xi yi)2este o metric a pe Rnnumit a metrica euclidian a pe Rn.Exemplul 1.1.1. Fie x = (1, 3, 1) s i y = (2, 1, 1), x, y R3. Avem:d(x, y) =_(1 2)2+(3 1)2+(1 +1)2=17.Observatia 1.1.1. In cazul normei euclidiene pentru n = 2 s i n = 3 reg asim formula distant ei dintre dou a punctedin plan s i din spat iu. Intr-adev ar dac a n = 2 atuncid (x, y) =_(x1y1)2+(x2y2)2iar dac a n = 3 atuncid (x, y) =_(x1y1)2+(x2y2)2+(x3y3)2.Notiunile de limit a si continuitate se pot introduce n orice spatiu normat, respectiv metric. In cele ceurmeaz a vom considera spatiul Rnnzestrat cu norma euclidian a respectiv metrica euclidian a.Denitia 1.1.2. Fie a = (a1, a2, . . . , an) Rns i r > 0. Se numes te bila deschis a cu centrul n a s i raza r mult imeaB(a, r) = x Rn, d (x, a) < r .Pentru n = 1 respectiv n = 2 adic a n R, respectiv n R2bilele deschise sunt intervale deschise centraten a1 de forma (a1r, a1+r) , respectiv discuri deschise cu centrul n a = (a1, a2) .Denitia 1.1.3. 1) Spunemc a mult imea V Rneste o vecin atate a punctului a Rndac a exist a o bil a deschis acu centrul n a inclus a n mult imea V, adic a B(a, r) V.Not am cu \ (a) = V RnVvecin atate a lui a mult imea vecin at at ilor punctului a. Din denit ie rezult ac a orice bil a deschis a cu centrul n a Rneste o vecin atate a lui a.2) Spunemc a a Rneste punct interior mult imii A Rndac a V \ (a) astfel ca V A. intA = aa punct interior lui A- reprezint a mult imea punctelor interioare mult imii A.3) O mult ime A Rncare cont ine numai puncte interioare se numes te multime deschis a.4) a Rneste punct de acumulare al mult imii A Rndac a orice vecin atate Va lui a cont ine cel put in un punctdin mult imea A, diferit de a, adic a V \ (a) , (V a) A5A = a Rnapunct de acumulare pentru A - reprezint a mult imea punctelor de acumulare a mult imii A.Din denit ie rezult a c a punctul a poate sau nu s a apart in a mult imii A.5) a A este punct izolat al mult imii A Rndac a exist a o vecin atate Va lui a astfel nc at V A = a6) A Rnse numes te multime m arginit a dac a exist a M > 0 astfel nc at A B(0, M) sau echivalent dac a x Aare loc [x[ < M.Denitia 1.1.4. Spunem c a mult imea D Rneste un domeniu dac a este deschis a s i conex a (format a dintr-osingur a ,,bucat a adic a nu se poate scrie ca reuniune disjunct a de dou a mult imi deschise s i nevide).Mention am c a dac a D Rneste un domeniu, atunci D nu are puncte izolate si prin urmare orice puncta D este punct de acumulare pentru multimea D (a D) .Vom prezenta n continuare un exemplu n R2care ilustreaz a notiunile introduse anterior.1.1.2 Limit a si continuitateIncontinuaresedenescnotiuniledelimit asicontinuitatepentrufunctiirealedemaimultevariabilereale.Denitia 1.1.5. Fie A Rn. Aplicat ia f : A R astfel nc atA = x = (x1, . . . , xn) f(x) = f(x1, x2, . . . , xn) Rse numes te functie real a de n variabile reale.Exemplul 1.1.2.In multe probleme economice intervin funct ii de tip Cobb - Douglas (denumite astfel dup aeconomis tii americani C.V. Cobb s i P.H. Douglas, c arora li se datoreaz a cercet ari s i descoperiri n domeniu, n anii1920). Aceste funct ii au forma general a:f : Rn+ R, f(x1, x2, . . . , xn) = Cx11x22. . . cxnn,unde C, 1, 2, . . . , n 0.Exemplul 1.1.3. Dac a Veste venitul unei societ at i comerciale, x num arul de ore de munc a productiv a prestat a,y fondurile xe angajate n product ie atunciV (x, y) = kxy, k, , constante pozitive(funct ie de product ie de tip Cobb-Douglas) este o funct ie real a de 2 variabile reale.Exemplul 1.1.4. Dac a A = [0, ) [0, ) [0, ) R3atunci funct iaf : A R, f(x) = f(x1, x2, x3) = x1x2 x3(funct ie real a de trei variabile reale) poate reprezenta product ia unei ntreprinderi dac a x1este productivitateamuncii, x2 num arul de muncitori, x3 timpul de munc a.Denitia 1.1.6. Fie A Rn(n 1) o mult ime nevid a, a un punct de acumulare al mult imii A, a As i f : A R. Spunem c a f are limita l R c and x tinde c atre a s i scrieml = limxaf(x) (sau f(x) xal)dac a > 0, > 0 astfel nc at pentru orice x A a cu proprietatea [x a[ < s a avem f(x) l < .Observatia 1.1.2. 1)In denit ia 1.1.6 se poate folosi orice norm a; dac a n = 1 atunci cele trei norme clasice peRndevin funct ia modul s i se obt ine denit ia limitei funct iilor de o variabil a real a (studiat a n liceu).62) Limita l =limxaf(x) se numes te limita global a a funct iei f c and x tinde c atre a, se noteaz a prinl = limx1a1x2a2..........xnanf(x1, x2, . . . , xn)s i se cites te limita funct iei f c and x1 a1, x2 a2, . . . , xn an simultan s i independent.Inceleceurmeaz a, mention amc atevapropriet atialelimitelordefunctiirealedenvariabilereale,propriet ati analoage celor ale functiilor reale de o variabil a real a.Fie n 2, A Rn, o multime nevid a, a A, l1, l2 R si f , g : A R.Propozitia 1.1.2. Dac a f are limit a atunci c and x tinde c atre a, atunci limita este unic a.Propozitia 1.1.3. Dac a limxaf(x) = l1 atunci exist a V \ (a) astfel nc at f este m arginit a pe V A.Propozitia 1.1.4. Dac alimxaf(x) = l1 s i limxag (x) = l2 atuncilimxa(f(x) +g (x)) = l1+l2, limxa(fg) (x) = l1l2iar dac a l20 s if(x)g (x)are sens pe o vecin atate a lui a atunci avem s ilimxaf(x)g (x)=l1l2.Propozitia 1.1.5. (criteriul major arii) Fie : A R. Dac a exist a V \ (a) astfel nc ata) (x) 0, x V Ab) f(x) l1 (x) , x V Ac) limxa(x) = 0atunci exist a limita funct iei f c and x tinde la a s i limxaf(x) = l1.Exemplul 1.1.5. Folosind criteriul major arii s a se calculeze limita urm atoarei funct ii n punctul indicat.f(x, y) =x2+y2x +y, a = (0, 0) ;Rezolvare: Pentru a aplica criteriul major arii vomncerca s a g asimo functie care ndeplineste conditiiledin criteriu.Avem c a:f(x, y) 0 =f(x, y) =x2+y2x +y=x2+y2x +y= x2+y2x +y x2+2xy +y2x +y=_x +y_2x +y= x +y .Lu and acum l = 0 si (x, y) = x +y si av and n vedere c alim(x,y)(0,0)(x, y) = 0,7rezult a pe baza criteriului major arii c alim(x,y)(0,0)x2+y2x +y= 0.In continuare vom studia c ateva propriet ati relative la continuitatea functiilor denite pe Rncu valorin R.Denitia 1.1.7. Fie A Rno mult ime nevid a a A s i f : A R. Funct ia f se numes te continu a (sau globalcontinu a) n a A dac a pentru orice > 0 exist a > 0 astfel nc at pentru orice x A cu [x a[ < avem c af(x) f(a) < . Funct ia f este continu a (sau global continu a) pe mult imea nevid a B A dac a f este continu an orice punct a B.Observatia 1.1.3. Dac a a A este un punct izolat al mult imii A atunci f este continu a n a. Dac a a AAatunci f este continu a n a dac a s i numai dac a limxaf(x) = f(a) .1.1.3 Derivate partiale, diferentiabilitate si diferential aIn aceast a sectiune se introduc notiunile de derivat a partial a, diferentiabilitate si diferential a.Derivatele partiale ale functiilor reale de mai multe variabile realeDenitia 1.1.8. Fie D Rn(n 2) un domeniu, a = (a1, . . . , an) D s i f : D R. Fie i 1, . . . , n. Spunem c af este derivabil a partial n raport cu variabila xi n punctul a dac a limitalimxiaif(a1, a2, . . . , ai1, xi, ai+1, . . . , an) f(a1, a2, . . . , an)xi aiexist a s i este nit a.Not am aceast a limit a (dac a exist a) cufxi(a) sau f xi (a) .Spunem c a f este derivabil a partial n raport cu xi pe D dac a este derivabil a part ial n raport cu xi n oricepunct a D. Dac a f este derivabil a part ial n raport cu xi pe D atunci se poate vorbi de funct ia part iala a lui f nraport cu variabila xi notat afxis i anumefxi: D R, x fxi(x)Observatia 1.1.4. In cazul n = 2 se noteaz a cu (x, y) n loc de (x1, x2) punctul curent din R2,iar n R3se noteaz acu (x, y, z) n loc de (x1, x2, x3) . As adar, o funct ie de dou a variabile f : D R, D domeniu, D R2este derivabil apart ial n raport cu x, respectiv cu y n punctul a = (a1, a2) D, dac a exist a s i este nit a urm atoare limit afx (a) =limxa1f(x, a2) f(a1, a2)x a1respectivfy (a) =limya2f(a1, y) f(a1, a2)y a2.Pentru functii elementare (polinoame, functiile rationale, trigonometrice, exponential a, logaritmic a sicompunerialeacestora, etc.)fx=f xsecalculeaz aderiv andf uzualnraportcux, consider andycaparametru, iarfy= f yse calculeaz a deriv and f n raport cu y si consider and x ca parametru.8Exemplul 1.1.6.1) Fie f(x, y) = x2+xy s i a = (5, 3) , D = R2. In acest cazfx (a) = limx5f (x,3)f (5,3)x5= limx5x23x10x5= limx5(x5) (x+2)x5= 7fy (a) =limy3f (5,y)f (5,3)y+3=limy35y+15y+3= 5.In punctul curent avemfx (x, y) = 2x + ys ify (x, y) = x s i dac a nlocuim x = 5, y = 3 reg asim valorileanterioare.2) Dac a f(x, y, z) = x2+sinyz, D = R3, atunci avemfx: R3R,fx (x, y, z) = 2x,fy: R3R,fy (x, y, z) = z cos yz,fz: R3R, (x, y, z) = y cosyz.Denitia 1.1.9. Funct ia f se numes te de clas a C1pe D s i se noteaz a f C1(D) dac a f este derivabil a part ial peD n raport cu toate variabilele s i plus, funct iilefx1, . . . ,fxnsunt continue pe D.Observatia 1.1.5. Productivit atile marginale (s i n general costurile, beneciile, c as tigurile marginale) reprezint ade fapt derivatele part iale de ordinul I ale funct iei care ne d a productivitatea (respectiv costul, beneciul, c as tiguletc.)Exemplul 1.1.7. Pentru a ara un teren cu suprafat a de x1 ha sunt necesare x2 ore de munc a pe zi. Dup a x3 zilede munc a s-au arat y ha de teren. Intre aceste variabile exist a relat ia:y =f(x1, x2, x3) = 3x41x2x33.S a se determine productivitatea marginal a raportat a la suprafat a terenului, la num arul de ore de munc a pe zi s irespectiv la num arul de zile de munc a.Rezolvare: In cazul problemei noastre vom avea:fx1 (x1, x2, x3) = 12x31x2x33, productivitatea marginal a raportat a la suprafata de teren,fx2 (x1, x2, x3) = 3x41x33, productivitatea marginal a raportat a la num arul orelor de munc a / zi,fx3 (x1, x2, x3) = 9x41x2x23, productivitatea marginal a raportat a la num arul de zile de lucru.Observatia 1.1.6. Tot ca s i aplicat ii ale derivatelor part iale se denesc:(xk)f(x) =fxk (x)f(x)- rata de schimbare partial a a lui f n raport cu xk,(xk)f(x) =xkfxk (x)f(x)- elasticitatea partial a a lui f n raport cu xk.Diferentiabilitatea functiilor reale de mai multe variabile realeDenitia 1.1.10. Fie D domeniu, D Rn, a D s i f : D R. Spunem c a f este diferentiabil a n punctul adac a exist a 1, 2, . . . , n R s i o funct ie : D R cu limxa(x) = (a) = 0 (deci continu a s i nul a n a) astfelnc at s a avemf(x) f(a) =n

i=1i(xi ai) +(x) [x a[ x D. (1.1)Spunem c a f este diferentiabil a pe A D dac a este diferent iabil a n orice punct din A.9Propozitia 1.1.6. Fie D domeniu, D Rn, a D s i f : D R. Dac a f este diferent iabil a n a atunci f estecontinu a n a.Intre diferentiabilitatea unei functii ntr-un punct si existenta derivatelor partiale n acel punct exist aurm atoarea leg atur a:Propozitia 1.1.7. Fie D domeniu, D Rn, a D s i f : D R. Dac a f este diferent iabil a n a atunci f admitederivate part iale n a s ifxi(a) = ipentru orice i = 1, n.Observatia 1.1.7.1) Rezultatul precedent implic a faptul c a relat ia de denit ie 1.1 a diferent iabilit at ii devine:f(x) f(a) =n

i=1fxi(a) (xi ai) +(x) [x a[,x D. (1.2)2) Reciproca propozit iei precedente este fals a, adic a exist a funct ii care admit derivate part iale ntr-un punct s itotus i nu sunt diferent iabile n acel punct.Concret, c and e nevoie s a studiem diferentiabilitatea unei functii ntr-un punct este necesar s a avemcunoscute conditii suciente de diferentiabilitate. Urm atorul rezultat rezolv a aceast a problem a.Propozitia 1.1.8. Fie D domeniu, D Rn, a D s i f : D R. Dac a exist a Vvecin atate a punctului a astfelnc at f are derivate part iale pe V D s i dac a acestea sunt continue n a atunci f este diferent iabil a n a.Observatia 1.1.8.1) Dac a f admite derivate part iale continue pe D atunci f este diferent iabil a pe D.2) Propozit ia precedent a prezint a condit ii suciente de diferent iabilitate dar nu s i necesare.Diferentiala functiilor reale de mai multe variabile realeDenitia1.1.11. FieD Rn, undomeniua Ds i f : D Rofunct iediferent iabil a na. Senumes tediferential a a functiei f n punctul a notat a df(a), aplicat iadf(a) : RnR , df(a)(h) =n

i=1fxi(a) hi. (1.3)Observatia 1.1.9. 1) Fie D Rn,un domeniua D s i f : D R o funct ie diferent iabil a n a. Atunci exist a : D R, continu a s i nul a n a astfel nc at x D avemf(x) f(a) =n

i=1fxi(a) (xi ai) +(x) [x a[.xi ai se numes te cres terea celui de-al i-lea argument a lui f_i = 1, n_ x a = (x1a1, x2a2, . . . , xnan) se numes te sistem de cresteri ale argumentelor lui f . f(x) f(a) se numes te cresterea functiei corespunz atoare sistemului de cres teri x a ale argumentelor.10 Pentru x sucient de apropiat de a (adic a pentru [x a[ sucient de mic a astfel nc at cantitatea (x) [x a[poate neglijat a) avemevident f(x)f(a) df(a)(x a) adic a df(a) aproximeaz a cres terea (sau descres terea)funct iei fn a corespunz atoare unui sistemxa de cres teri ale argumentelor (deci c and se trece de la punctulx la punctul a).2) Consider am funct iile i : RnR, i(x1, x2, . . . , xn) = xi, 1 i n.Avem:ixj(x) =_1, j = i,0, ji,_i, j = 1, n_ pentru orice x Rn, deci funct iile iadmit derivate part ialecontinue pe Rns i prin urmare sunt diferent iabile n orice punct a Rns idi(a)(x a) =n

j=1ixj(a) _xj aj_ = xi ai, i = 1, n.Pentru simplicarea notat iilor vom nota di (a) = dxi. Cu aceasta relat ia 1.3 se scriedf(a)(x a) =n

j=1fxi(a) dxi.Adesea dx1, dx2, . . . , dxn se identic a cu cres terile argumentelor s i avemdf(a)(dx1, dx2, . . . , dxn) =n

i=1fxi(a) dxi.3) Interpret and produsul simbolicxif(a) ca ind derivata part ial a a lui f n raport cu xi n punctul a_i = 1, n_se obt inedf(a) =_x1dx1+x2dx2+. . . +xndxn_f(a) , a D. (1.4)Putem considera astfel operatorul de diferent iered =x1dx1+x2dx2+. . . +xndxn. (1.5)Exemplul 1.1.8. S a se calculeze diferent iala funct iei f : R2R,f (x, y) = x3+2xy2+y 1Rezolvare: Avem:fx(x, y) = 3x2+2y2;fy(x, y) = 4xy +1;df(x,y)(dx, dy) =fx(x, y)dx +fy(x, y)dy = (3x2+2y2)dx +(4xy +1)dy.111.1.4 Derivate partiale si diferentiale de ordin superiorDerivate partiale de ordin superiorDenitia 1.1.12. Fie D domeniu, D Rn, a D s i f : D R o funct ie ce admite derivate part iale pe D .Dac a derivatafxi: D R, i = 1, n, este derivabil a n raport cu variabilaxj, j= 1, n n punctula D,numim derivat a partial a de ordinul al doilea n punctulaa funct ieif n raport cu variabilelexi, xj(naceast a ordine) num arul2fxixj(a) =xj_ fxi_(a) , (2.4.1)Dac a ij, i, j 1, . . . , n atunci derivata2fxixj(a) not=f xixj (a)se numes te derivata mixt a n raport cu variabilele xi s i xj.Dac a i = j 1, . . . , n atunci vom folosi una dintre notat iile2fx2i(a) = f x2i(a) .In general o functie de n variabile reale f are n derivate partiale de ordin nt ai si n2derivate partiale deordinul doi.Exemplul 1.1.9. S a calcul am derivatele part iale de ordinul nt ai s i doi pentru funct ia f : R2R,f(x, y) = ln_x2+y2+1_Avem:fx (x, y) = f x(x, y) =2xx2+y2+1,fy (x, y) = fy(x, y) =2yx2+y2+1.2fx2 (x, y) =_2xx2+y2+1_x=2(x2+y2+1)2x2x(x2+y2+1)2=2(x2+y2+1)(x2+y2+1)2.2fxy (x, y) =_2xx2+y2+1_y= 2x_2y(x2+y2+1)2_ = 4xy(x2+y2+1)2.2fy2 (x, y) =_2yx2+y2+1_y=2(x2y2+1)(x2+y2+1)2.Se observ a c a f xy (x, y) = f yx (x, y). In general, aceste derivate part iale de ordinul al doilea nu sunt egale. Urm atorulcriteriu stabiles te condit ii suciente pentru ca derivatele part iale mixte s a e egale.Teorema 1.1.1. (Schwarz). Dac a funct ia f : D R , D domeniu, D Rn, are derivate part iale de ordinul doimixte2fxixjs i2fxjxi, i, j 1, . . . , n , ij, ntr-o vecin atate Va punctului a D s i dac a aceste funct ii derivatepart iale de ordinul doi mixte2fxixjs i2fxjxisunt continue n a atunci are loc egalitatea:2fxixj(a) =2fxjxi(a) .Propozitia 1.1.9. Dac a funct ia f : D R, D Rnare derivate part iale de ordinul doi mixte2fxixjs i2fxjxi, i, j 1, . . . , n , ij, pe D s i sunt funct ii continue pe D atunci ele sunt egale pe D adic a2fxixj(x) =2fxjxi(x) , x D.Observatia 1.1.10. Condit ia de continuitate a derivatelor mixte este esent ial a.12Derivate partiale de ordinul 3 Fie D domeniu, D Rn, si f : D Ro functie ce admite derivate partialede ordinul doi pe D . Atunci putem studia existenta derivatelor partiale de ordinul 3.Dac a derivata2fxixj: D R( i, j 1, . . . , n)este derivabil a n raport cu xk(k 1, . . . , n) n punctul a D, numimderivat a partial a de ordinul al treilean punctul a a functiei f n raport cu variabilele xi, xj, xk (n aceast a ordine) num arul3fxixjxk(a) not=f xixjxk (a) =xk_2fxixj_(a) .Dac a cel putin doi indici dintre i, j, k sunt diferiti derivata se va numi mixt a. In caz contrar, adic a i = j = k,se obtine derivata de ordinul 3 n raport cu aceiasi variabil a xi_i = 1, n_,3fx3i(a) = f x3i(a) .Concluzia Teoremei lui Schwarz r am ane adev arat a si pentru derivatele partiale mixte de ordin mai mareca doi. De fapt, n ipoteza continuit atii acelor functii derivate mixte de ordin superior, important a este nuordinea n care se face derivarea ci variabilele n raport cu care se face derivarea si de c ate ori se deriveaz an raport cu o variabil a. De exemplu avem c a3fx2y=3fxyx =3fyx2.Exemplul 1.1.10. Fie funct ia f : R(0, ) R dat a de f(x, y) = xlnyDerivatele part iale distincte de ordinul doi, trei se calculeaz a astfel:Calcul am mai nt ai derivatele part iale de ordinul nt aif (x,y)x= (xlny)x = lny,fy (x, y) = (xlny)y =xyCalcul am derivatele part iale de ordinul doi distincte2f (x,y)x2=x_fx (x, y)_ =x (lny) = 02f (x,y)xy=y_fx (x, y)_ =y (lny) =1y=2f (x,y)y x2f (x,y)y2=y_fy (x, y)_ =y_xy_ = xy2.Calcul am derivatele part iale de ordinul trei distincte3fx3 (x, y) =x_2fx2 (x, y)_ =x (0) = 03fx2y (x, y) =3fxyx (x, y) =3fyx2 (x, y) =y_2fx2 (x, y)_ ==y (0) = 03fxy2 (x, y) =3fyxy (x, y) =3fy2x (x, y) =x_2fy2 (x, y)_ ==x_xy2_ = 1y23fy3 (x, y) =y_2fy2 (x, y)_ =y_xy2_ =2xy3.Observatia 1.1.11. In mod analog se pot deni derivate part iale de ordin mai mare ca trei.13Diferentiale de ordin superiorIn paragraful 1.1.3 a fost introdus a notiunea de diferential a a unei functii n punctul a, notat a df(a).Aceasta este dat a de df(a) : RnR, df(a)(h) =n

i=1fxi(a) hisau dac a not am cu dx = (dx1, dx2, . . . , dxm) cresterile argumentelor atuncidf(a)(dx) =n

i=1fxi(a) dxi.De asemenea, am introdus operatorul de diferentiered =x1dx1+x2dx2+. . . +xndxncu ajutorul c aruia se poate scriedf(a) =_x1dx1+x2dx2+. . . +xndxn_f(a) .Denitia 1.1.13. Fie D domeniu, D Rn, a D s i f : D R1) Spunem c a f este de dou a ori diferentiabil a n punctul a sau c a are diferent ial a de ordinul doi n a dac a fadmite derivate part iale n raport cu toate variabilele pe o vecin atate Va lui a s i funct iile derivate part ialefxi, i 1, . . . , n, (considerate pe V D) sunt diferent iabile n a.2) Spunem c a funct ia f este diferentiabil a de k ori n punctul a, sau c a are diferent ial a de ordinul k n a dac atoate derivatele part iale de ordinul k 1 ale lui f exist a ntr-o vecin atate Va lui a s i sunt diferent iabile na.3) Spunem c a funct ia f este diferent iabil a de k ori pe domeniul D dac a este diferent iabil a de k ori n ecare punctdin D.Prezent amncontinuare(f ar ademonstratie) unrezultatcarened aconditii sucientepentrucaofunctie s a e de k ori diferentiabil a ntr-un punct.Teorema 1.1.2. FieDdomeniu, D Rn, a Ds if :D R.Dac af are ntr-o vecin atateVa luia toatederivatele part iale de ordinul k s i dac a aceste funct ii derivate part iale sunt continue n a, atunci f este diferent iabil ade k ori n a.Dac a f : D R, D R2, a = (a1, a2) si dac a f este o functie de trei ori diferentiabil a n a atuncid2f(a1,a2)(dx, dy) =2fx2 (a) dx2+22fxy (a) dxdy + 2fy2 (a) dy2,respectivd3f(a1,a2)(dx, dy) =3fx3 (a) dx3+32fx2y (a) dx2dy ++32fxy2 (a) dxdy2+ 3fy3 (a) dy3.Diferentiala de ordinul k n punctul a se deneste prin egalitatea14dkf(a)(dx) =_x1dx1+x2dx2+. . . +xndxn_(k)f(a) , (1.6)unde dx = (dx1, dx2, . . . , dxm) iar (k) reprezint a puterea simbolic a-formal a, dup a care se dezvolt a suma dinparantez a si apoi se nmulteste formal cu f(a) .Relatia 1.6 pune n evident a operatorul de diferentiere de ordinul k.dk=_x1dx1+x2dx2+. . . +xndxn_(k)care este (formal) puterea de ordinul k a operatorului de diferentiere de ordinul nt ai. Ridicarea la putereasimbolic a conduce la expresia:dkf(a)(dx) =

k1+k2+...+kn=kk!k1!, k2!, . . . , kn!kf(a)xk11. . . xknndxk11dxk22. . . dxknn.Exemplul 1.1.11. Scriem diferent ialele de ordinul unu, doi s i trei pentru funct ia: f : R(0, ) R prezentat an exemplul 1.1.10.Diferent iala de ordinul unu estedf(a1,a2)(dx, dy) =fx (a1, a2) dx + fy (a1, a2) dy == lna2dx + a1a2dy.Diferent iala de ordinul doi ested2f(a1,a2)(dx, dy) =2fx2 (a1, a2) dx2+22fxy (a1, a2) dxdy ++2fy2 (a1, a2) dy2=2a2dxdy a1a22dy2.Diferent iala de ordinul trei va d2f(a1,a2)(dx, dy) = 3a22dxdy2+ 2a1a32dy3.1.2 Extremele functiilor de mai multe variabileOptimizareamatematic aseocup acuselectareacelui mai bunelementdintr-omultimedealternativedisponibile.In particular,aceasta nseamn a rezolvarea unor probleme n care se caut a extremele (max-imul sau minimul) unei functii reale.In acest capitol vom studia problema calculului extremelor unei functii reale de mai multe variabilereale, precumsiaplicatiialeacesteiandomeniuleconomic, precumproblemagestiuniistocurilorsauajustarea datelor experimentale.1.2.1 Extremele functiilor de dou a variabileDenitia 1.2.1. Fie f o funct ie de dou a variabile f : D R, D R2s i (x0, y0) D un punct interior. Funct iaf admite un punct de extrem (maxim sau minim) n punctul (x0, y0) dac a exist a o vecin atate Va punctului(x0, y0) astfel nc at oricare ar un punct (x, y) din V _D s a avemf(x, y) f(x0, y0) 0, pentru (x0, y0) punct de maxim;f(x, y) f(x0, y0) 0, pentru (x0, y0) punct de minim.(1.7)15Observatia1.2.1. Puncteledeextremcorespunz atoaredenit iei demai sussunt punctedeextremlocal(maxim local sau minim local).Exemplul 1.2.1. Fie funct ia de dou a variabile f : R2R,f(x, y) = x3+y33xy.Punctul (1, 1) este un punct de minim local pentru f , deoarecef (x, y) f (1, 1) 0pentru orice (x, y) ntr-o vecin atateVa acestuia. Vom vedea n Exemplul 1.2.3 cum se determin a punctul deextrem (1, 1).Teorema 1.2.1. (Conditii necesare de extrem local)Dac a funct ia f : D R, D R2are derivatele part iale de ordinul nt ai f xs i f ycontinue pe o vecin atate Vaunui punct (x0, y0) interior domeniului D s i dac a (x0, y0) este un punct de extrem local, atunci avem:f x (x0, y0) = 0, f y (x0, y0) = 0 (1.8)Demonstratie. Presupunem c a (x0, y0) este punct de maxim local. Atuncif(x, y0) f(x0, y0) 0f(x0, y) f(x0, y0) 0,adic a functiile partiale (de o singur a variabil a)h(x) = f(x, y0) , g (y) = f(x0, y)au n punctelex0siy0valori maxime locale.In baza teoremei lui Fermat,derivatele functiilorh sigseanuleaz a n x0, respectiv n y0, adic a avemh(x0) = f (x0, y0) = 0g(y0) = f (x0, y0) = 0.In mod analog se arat a c a dac a (x0, y0) este un punct de minim local pentru functia f(x, y) atunci au locconditiile (1.8). Denitia 1.2.2. Punctele domeniului D n care derivatele part iale f xs i f yale funct iei f se anuleaz a, se numescpuncte critice sau puncte stationare ale acestei funct ii.Exemplul 1.2.2. Fie funct ia f : R2R,f(x, y) = x3+y33xy.din Exemplul 1.2.1. Calcul am punctele critice ale lui f . Acestea sunt solut ii ale urm atorului sistem de ecuat ii___f x=fx= 3_x2y_ = 0f y=fy= 3_y2x_ = 0.Solut iile reale ale sistemului sunt (punctele) (1, 1) s i (0, 0), acestea ind cele dou a puncte critice ale lui f .Observatia 1.2.2. Natura punctelor stat ionare, deci a punctelor din domeniul D ce sunt solut ii ale sistemuluide ecuat ii (1.8), se va preciza prin intermediul condit iilor suciente de extrem local, care vor rezulta pe bazaDenit iei 1.2.1.16Teorema 1.2.2. (Conditii suciente de extrem local)Fie funct ia f : D R, D R2. Presupunem c a f are derivatele part iale de ordinul nt ai s i doi continue pe ovecin atate Va unui punct (x0, y0) interior domeniului D. Dac a (x0, y0) este un punct critic (stat ionar) al funct ieif , atunci folosind urm atoarele notat iiA =2fx2 (x0, y0) , B =2fxy (x0, y0) , C =2fy2 (x0, y0) , D = B2AC.avem urm atoarele situat ii:1) Dac a D < 0 s i A > 0 atunci (x0, y0) este un punct de minim local;2) Dac a D < 0 s i A < 0 atunci (x0, y0) este un punct de maxim local;3) Dac a D > 0, atunci (x0, y0) nu este un punct de extrem;4) Dac a D = 0, atunci studiul naturii punctului stat ionar (x0, y0) se face cu ajutorul derivatelor part iale de ordinsuperior lui doi.Exemplul 1.2.3. Fie funct ia f : R2R,f(x, y) = x3+y33xy.din Exemplul 1.2.1 s i 1.2.2. Determin am extremele funct iei f .Natura acestor dou a puncte stat ionare (1, 1) s i (0, 0) ale lui f se va stabili utiliz and condit iile suciente deextrem. Avem:f x2 = 6x, f y2 = 6y, f xy = 3.Pentru punctul stat ionar (1, 1) avem:f x2 (1, 1) = 6, f y2(1, 1) = 6, f xy(1, 1) = 3s iD = 9 36 = 27 < 0, A = 6 > 0,deci punctul (1, 1) este un punct de minim, iarfmin = f(1, 1) = 1 +1 3 = 1.Pentru punctul stat ionar (0, 0) avem D = 9 s i deci acest punct nu este un punct de extrem.1.2.2 Extremele functiilor de n variabile (n 2)In cazul functiilor de n variabile avem o extindere reasc a a Denitiei 1.2.1.Denitia 1.2.3. Fie f : D R, D Rno funct ie de n variabile reale s i x0=_x01, x02, . . . , x0n_ un punct interiorlui D. Vom spune c a funct ia f admite un punct de maxim local sau minim local n punctul x0dac a exist a ovecin atate Vx0 a acestui punct astfel nc at s a avemf(x) f_x0_ 0, pentru x0punct de maximf(x) f_x0_ 0, pentru x0punct de minimpentru orice punct x = (x1, x2, . . . , xn) Vx0_D.Observatia 1.2.3. Punctele de extreme denite mai sus sunt puncte de extrem local.Dac a n = 2 atunci reg asimdenit iile prezentate n cazul unei funct ii de dou a variabile. Condit iile necesare s i suciente de extrem pentrufunct iile de n variabile vor sintetizate n teoremele ce urmeaz a.17Teorema 1.2.3. (Conditii necesare de extrem)Fie f o funct ie denit a ntr-o vecin atate Vx0 a punctului x0=_x01, . . . , . . . , x0n). Dac a acest punct este un punctde extrem al funct iei f s i dac a n acest punct exist a derivatele part iale de ordinul nt ai f xj, j = 1, n, atunci ele suntegale cu zero, adic a avem:fxj_x0_ =fxj_x01, x02, . . . , x0n_ = 0, j = 1, n. (1.9)Denitia 1.2.4. Punctele n care sunt ndeplinite condit iile necesare de extrem ale funct iei f se numesc punctecritice (sau stationare) ale funct iei.Exemplul 1.2.4. Fie funct ia de trei variabile f : R3R,f(x, y, z) = x2+y2+z2+x 2z.Calcul am punctele stat ionare ale funct iei f . Avem sistemul de ecuat ii___f x= 2x +1 = 0f y= 2y = 0f z= 2z 2 = 0care reprezint a condit iile necesare de extrem ale funct iei. Rezolv and acest sistem de ecuat ii obt inem doar o solut iex0 = 12, y0 = 0, z0 = 1s i deci g asim punctul stat ionar (x0, y0, z0) =_12, 0, 1_.Teorema 1.2.4. (Conditii suciente de extrem)Fie f o funct ie de n variabile denit a ntr-o vecin atate Vx0 a punctului x0=_x01, x02, . . . , x0n_ s i cu derivatelepart iale de ordinul doi continue n vecin atatea Vx0 . Dac a x0este un punct stat ionar al funct iei f s id2f(x0)(dx) =n

i,j=12fxixj_x0_dxidxj > 0 (respectiv< 0), dxatunci punctul x0este un punct de minim local (respectiv punct de maxim local). Dac a d2f(x0) ia valori de semnediferite, atunci punctul x0nu este punct de extrem.Observatia 1.2.4. Teoremademaisusnearat ac apentruastabilinaturapunctelorstat ionare, decinaturapunctelor care sunt solut ii ale sistemului de ecuat iifxj(x1, x2, . . . , xn) = f xj_x1, x2, . . . , xj, . . . , xn_ = 0, j = 1, ntrebuie s a determin am diferent iala de ordinul doi corespunz atoare funct iei fd2f (dx) =2fx21dx21 + 2fx22dx22 +. . . + 2fx2ndx2n ++2_2fx1x2dx1dx2+. . . +2fxn1xndxn1dxn_s i apoi s a stabilim semnul ei n care rolul variabilelor este jucat de cres terile (dx1, dx2, . . . , dxn),pentru ecarepunct stat ionar.18Exemplul 1.2.5. Fie funct ia de trei variabile f : R3R,f(x, y, z) = x2+y2+z2+x 2zdin Exemplul 1.2.4. Calcul am diferent iala de ordinul doi a lui f s i ncerc am s a-i stabilim semnul.Calcul am mai nt ai derivatele part iale de ordinul doi ale funct iei:f x2 = 2, f xy = f yx = 0f xz = f zx = 0, f y2 = 2, f yz = f zy = 0, fzz= 2.Diferent iala de ordinul doi n punctul stat ionar (x0, y0, z0) = (12, 0, 1) ested2f(x0,y0,z0)(dx, dy, dz) = f x2 (x0, y0, z0) dx2+f y2(x0, y0, z0) dy2++f z2 (x0, y0, z0) dz2+2fxy(x0, y0, z0) dxdy ++2 f xz (x0, y0, z0) dxdz +2fyz(x0, y0, z0) dydz= 2dx2+2dy2+2dz2> 0.Conform Teoremei 1.2.4, punctul (x0, y0, z0) = (12, 0, 1) este punct de minim local.Observatia 1.2.5. Pentru ecare punct stat ionar x0diferent iala de ordinul doi (3.2.3) poate scris a sub formamatriceal ad2f(x0)(dx) = (dx1, dx2, . . . , dxn) __2fx212fx1x2. . .2fx1xn2fx2x12fx22. . .2fx2xn. . . . . . . . . . . .2fxnx12fxnx2. . .2fx2n__x0.H(x0)

__dx1dx2...dxn__unde matricea p atratic a s i simetric a de ordinul n se numes te matricea hessian a asociat a funct iei f n punctulstat ionar x0s i se noteaz a H_x0_.Introduc and notat iileasj = f xsxj_x0_ =2fxsxj_x0_, s, j = 1, n,matricea hessian a H_x0_ are forma:H_x0_ =__a11a21. . . a1na21a22. . . a2n. . . . . . . . . . . .an1an2. . . ann__,care este o matrice simetric a deoarece sunt ndeplinite condit iile din teorema lui Schwarz, deci avem egalit at ileasj = f xsxj= f xjxs= ajs, s, j = 1, n.Not and prin A1 = a11, A2 =a11a12a21a22, A3 =a11a12a13a21a22a23a31a32a33, . . . ,An =a11a12. . . a1na21a22. . . a2n. . . . . . . . . . . .an1an2. . . annminorii principali ai matricei H(x0), putem formula criteriul lui Sylvester.19Teorema 1.2.5. (Criteriul lui Sylvester)1) Dac a minorii principali ai matricei hessiene H_x0_ sunt pozitivi, adic a sunt ndeplinite inegalit at ile:A1 > 0, A2 > 0, A3 > 0, . . . , An > 0, (1.10)atunci punctul stat ionar x0este un punct de minim al funct iei f .2) Dac a minorii principali ai matricei hessiene H_x0_ au semne alternate, ncep and cu semnul minus, deci dac aavem:A1 < 0, A2 > 0, A3 < 0, . . . , (1)nAn > 0, (1.11)atunci punctul stat ionar x0este un punct de maxim al funct iei f .Observatia 1.2.6. Pentrun = 2, deci dac a este vorba de extremele unei funct ii de dou a variabilef matriceahessian a are formaH_x0_ =__f x21f x1x2f x2x1f x22__x0=_A BB C_.Dac a sunt ndeplinite condit iile (1.10), obt inemA1 = A = f x21(x0) > 0, A2 =_AC B2_ = D > 0s i deci punctul x0este un punct de minim pentru funct ia f .Dac a sunt ndeplinite condit iile (1.11), obt inemA1 = A = f x21(x0) < 0, A2 =_AC B2_ = D > 0s i deci punctul x0este un punct de maxim pentru funct ia f .Exemplul 1.2.6. Fie funct ia de trei variabile f : R3R,f(x, y, z) = x2+y2+z2+x 2zdin Exemplele 1.2.4 s i 1.2.5. Determin am extremele funct iei f folosind criteriul lui Sylvester.Matricea hessiana asociat a funct iei f n punctul stat ionar (x0, y0, z0) = (12, 0, 1) esteH(x0, y0, z0) =__2 0 00 2 00 0 2__.Deoarece sunt ndeplinite condit iileA1 = 2 > 0, A2 = 4 > 0, A3 = 8 > 0,conform cazului 1) din criteriul lui Sylvester rezult a c a punctul stat ionar unic al funct ieif este un punct deminim local pentru funct ia dat a s i avemfmin = f(x0, y0, z0) = f_12, 0, 1_ = 94.201.2.3 Ajustarea datelor experimentaleS a presupunem c a ntr-un proces concret particip a dou a m arimi m asurabile ale c aror valori s a e notatecu x si y. Dependenta dintre cele dou a m arimi poate descris a de o functie f : R R cu ajutorul relatieiy = f (x). Determinarea functiei f este o problem a central a n orice stiint a experimental a. Informatii utilen rezolvarea acestei probleme sunt perechi de valori determinate experimental pentru cele dou a m arimi,dar si cunoasterea tipului dependentei respective.Valorile determinate experimental sunt n mod obiectiv afectate de erori de m asurare. Recunoastereaacestui fapt subliniaz a importanta cunostintelor teoretice despre procesul n discutie.In cele ce urmeaz a vomconsidera un procedeu de determinare a unor functii care s a constituie aproxim ariacceptabile pentru functia f numite ajustarea datelor experimentale.In ajustarea datelor experimentale se accept a c a dependenta este de un anumit tip (de exempluy=Pm(x), unde Pm este o functie polinomial a de grad cel mult m) si se caut a acea dependent a careajusteaz acel mai bine valorile determinate experimental.In continuare, pentru a folosi limbajul uzual n teoria aproxim arii, vom utiliza termenul de polinom sic and este vorba de functie polinomial a.Metoda celor mai mici p atrateS a presupunem c a legile teoretice care guverneaz a procesul n care apar cele dou a m arimi m asurabile neasigur a c a dependenta dintre aceste dou a m arimi este descris a de relatia y = f (x), unde f T, unde Testeo clas a precizat a de functii reale de o variabil a real a. Se pune atunci problema determin arii acelei functii fdin clasa Tcare d a c at mai bine dependenta lui y de x n procesul concret respectiv.S a admitem c an observatii experimentale asupra procesului respectiv dau pentruxsiyvalorile dintabelul urm ator:x x1x2 xny y1y2 ynProblema pus a revine la determinarea functiei f din clasa Tale c arei valori n punctele x1, x2, . . . , xns ase apropie c at mai mult de datele determinate experimental.O m asur a aapropierii functiei f de datele experimentale esten

i=1(f (xi) yi)2.Denitia 1.2.5. Determinarea funct iei f din clasa Tpentru care expresian

i=1(f (xi) yi)2are cea mai mic a valoare posibil a se numes te ajustarea datelor experimentale din tabelulx x1x2 xny y1y2 yncu metoda celor mai mici p atrate.In cele ce urmeaz a vom considera cazul c and Teste clasa functiilor polinomiale de grad cel mult m nnedeterminata x, adic aT=_Pm(x) = a0+a1x +a2x2+. . . +amxm ak R, k = 0, m_.A determina functia f revine atunci la a determina coecientii a0, a1, . . . , am.21Not amF(a0, a1, . . . , am) =n

i=1(Pm(xi) yi)2.Problema pus a se reduce atunci la problema determin arii punctului de minim al functieiF,de unde sinumele metodei.Punctele stationare ale functiei F sunt solutiile sistemuluiFaj(a0, a1, . . . , am) = 0, j = 0, m.Efectu and calculele si f ac and urm atoarele notatiisl =n

i=1xlisi tl =n

i=1xliyi,se ajunge laFaj(a0, a1, . . . , am) = 2__m

k=0sk+jak tj__,astfel nc at sistemul care d a punctele stationare ale functiei F estem

k=0sk+jak = tj, j = 0, m,adic a___s0a0+s1a1+ +smam = t0s1a0+s2a1+ +sm+1am = t1. . .sma0+sm+1a1+ +s2mam = tm.Acest sistem este numit sistemul normal.Sistemul normal poate scris dac a se cunosc sumele s0, s1, . . . , s2msi sumele t0, t1, . . . , tm. Aceste sumepot determinate complet and tabelul urm atorx0ix1ix2i x2mix0i yix1i yi xmiyi1 x1x21x2m1y1x1y1xm1 y11 x2x22x2m2y2x2y2xm2 y2.....................1 xnx2nx2mnynxnynxmn yn

s0s1s2 s2mt0t1 tmn care coloanele x1isi x0i yi sunt date de tabelul de date experimentalex x1x2 xny y1y2 ynrestulcoloanelorsepotdeterminausor, (00vainterpretat1), iar nultimaliniegureaz asumeleelementelor din cele n linii precedente.T in and cont de faptul c a sl=n

i=1xli,l= 0, 2m, se poate ar ata c a determinantul sistemului normal estediferit de zero, adic a22s0s1 sms1s2 sm+1 smsm+1 s2m 0,deci sistemul normal este un sistem compatibil determinat.Fie (a0, a1, . . . , am) solutia unic a a sistemului normal. Atunci punctul (a0, a1, . . . , am) este punctul stationarunic al functiei F.Av and n vedere c a F este o sum a de p atrate:F(a0, a1, . . . , am) =n

i=1(Pm(xi) yi)2,se poate ar ata c a dac a F are un punct de extrem nit atunci el este punct de minim si c a punctul stationar(a0, a1, . . . , am) este ntotdeauna punctul de minim al functiei F.Inacestfel, etapaadouaaprocedeuluidedeterminareaextremelorfunctieiFnumaitrebuiepar-curs a si deci polinomul (de grad cel mult m) care ajusteaz a n sensul metodei celor mai mici p atrate dateleexperimentale considerate estePm(x) = a0+a1x +a2x2+ +amxm.Observatia 1.2.7. Dac a m = 1, n locul expresieis a se determine polinomul de ajustare de grad cel mult unu, semai utilizeaz a expresias a se ajusteze cu o dreapt a, iar dac a m = 2, n locul expresieis a se determine polinomulde ajustare de grad cel mult doi, se mai utilizeaz a expresias a se ajusteze cu o parabol a. Aceste exprim ari sebazeaz a pe faptul c a imaginea geometric a a unui polinom de gradul nt ai este o dreapt a, iar imaginea geometric aa unui polinom de gradul doi este o parabol a.Exemplul 1.2.7. S a se ajusteze cu o dreapt a s i cu o parabol a datele experimentale din tabelulx -1 0 1 2y -3 1 0 31. Pentru ajustarea cu o dreapt a,m = 1, f = a0+a1x,_s0a0+s1a1 = t0s1a0+s2a1 = t12. Pentru ajustarea cu o parabol a,m = 2, f = a0+a1x +a2x2,___s0a0+s1a1+s2a2 = t0s1a0+s2a1+s3a2 = t1s2a0+s3a1+s4a2 = t2Pentru calcularea valorilor s0, s1, s2, s3, t0, t1 si t2, folosim tabelulx0ix1ix2ix3ix4iyiyixiyix2i1 1 1 1 1 3 3 31 0 0 0 0 1 0 01 1 1 1 1 0 0 01 2 4 8 16 3 6 124 2 6 8 18 1 9 9s0s1s2s3s4t0t1t2231. Pentru m = 1, f = a0+a1x si sistemul normal este:_4a0+2a1 = 12a0+6a1 = 9Solutia unic a a sistemuluieste (a0, a1) = (35, 85).Polinomul de ajustare de grad cel mult 1 esteP(x) = 35 + 85x.Dreapta de ajustare are ecuatia: y = 35 +85x.2. Pentru m = 2, f = a0+a1x +a2x2si sistemul normal este___4a0+2a1+6a2 = 12a0+6a1+8a2 = 96a0+8a1+18a2 = 9Solutia sistemului: (a0, a1, a2) = (720, 3920, 14).Parabola de ajustare are ecuatiay = 720 + 3920x 14x2.Observatia 1.2.8.In aplicat ii se utilizeaz a, pe l ang a funct iile polinomiale, s i funct iile exponent iale, logaritmice,trigonometrice, etc. Evident, n asemenea cazuri sistemul normal este altul mai complicat s i mai dicil de rezolvat.1.3 Exercitii si probleme rezolvateProblema 1.3.1. S a se studieze existent a limitei funct iilor de mai jos n punctele specicate iar atunci c and estecazul s a se calculeze aceste limite.a) f (x, y) =x2+y2x+y, (0, 0); b) f (x, y) =xyxy+11, (0, 0); c) f (x, y) =x2y2x2+y2, (0, 0).Rezolvare. a) Domeniul de denitie al functiei este D = R2 (0, 0) . (0, 0) nu apartine domeniului D dareste punct de acumulare al s au. Avem:f (x, y) =x2+y2x+y x2+y2+2xyx+y= (x+y)2x+y= x +ysi cum lim(x,y)(0,0)(x +y) = 0, din criteriul major arii, rezult a c al = lim(x,y)(0,0)f (x, y) = 0.b) f este denit a pentru_xy +1 0_xy +1 10adic a pe D = (x, y) R2 xy 1, xy0l = lim(x,y)(0,0)f (x, y) = lim(x,y)(0,0)xyxy+11 == lim(x,y)(0,0)xy_xy+1+1_xy= lim(x,y)(0,0)__xy +1 +1_ = 2.c) Domeniul de denitie al functiei este D = R2 (0, 0).lim(x,y)(0,0)f (x, y) = limx0,y=mxf (x, y) = limx0x2m2x2x2+m2x2= limx0x2(1m2)x2(1+m2) =1m21+m2,depinde de m si deci f nu are limit a n (0, 0).Problema 1.3.2. S a se cerceteze continuitatea funct ieif(x, y) =___1cos(x3+y3)x2+y2, dac a (x, y)(0, 0)0, dac a (x, y) = (0, 0)24Rezolvare. f este continu a pe R2 (0, 0)ind o functie compusa de functii elementare.Mai r am ane destudiat continuitatea n punctul (0, 0). Avem:l = lim(x,y)(0,0)1cos(x3+y3)x2+y2= lim(x,y)(0,0)2sin2_x3+y32_x2+y2== lim(x,y)(0,0)2 sin2_x3+y32__x3+y32_2

_x3+y32_2x2+y2=12lim(x,y)(0,0)(x3+y3)2x2+y2.Pentru a calcula limita l, aplic am inegalitatea Cauchy-Schwarz-Buniakowsky:(x3+y3)2= (xx2+yy2)2 (x2+y2)(x4+y4) (x2+y2)3Avem0 l 12lim(x,y)(0,0)(x2+y2)3x2+y2=120 = 0 = f (0, 0)adic a f este continu a si n origine si deci continu a pe tot spatiul R2.Problema 1.3.3. Folosind denit ia s a se calculezefx, fyn punctele precizate, pentru funct ia de mai jos:f (x, y) = x2+y2+xy, (2, 1)Rezolvare.fx(2, 1) = limx2f (x,1)f (2,1)x2= limx2(x2+1+x)(4+1+2)x2=limx2x2+x6x2= limx2(x +3) = 5fy(2, 1) = limy1f (2,y)f (2,1)y1= limy1(4+y2+2y)(4+1+2)y1=limy1y2+2y3y1= limy1(y +3) = 4Problema 1.3.4. S a se calculeze derivatele part iale de ordinul nt ai pentru urm atoarele funct ii:a) f : D R, f (x, y) = x2+y23axyb) f : D R, f (x, y) =yxc) f : D R, f (x, y) = ln_x +_x2+y2_(D este domeniul maxim de denit ie.)Rezolvare. a)fx(x, y) = (x2+y23axy)x = 2x 3ayfy(x, y) = (x2+y23axy)y = 2y 3axb)fx(x, y) =_yx_x = yx2sify(x, y) =_yx_y =1xc)fx(x, y) =_ln_x +_x2+y2__x =1x+x2+y2_x +_x2+y2_x =1x2+y2fy(x, y) =1x+x2+y2_x +_x2+y2_y =y_x+x2+y2_x2+y2Problema 1.3.5. S a se scrie diferent ialele de ordinele unu, doi s i trei pentru funct ia f (x, y) = ln(xy) cu xy > 0Rezolvare. Derivatele partiale sunt:f (x,y)x=1x,f (x,y)y=1y2f (x,y)x2= 1x2,2f (x,y)xy= 0,2f (x,y)y2= 1y23f (x,y)x3=2x3,3f (x,y)x2y= 0,3f (x,y)xy2= 0,3f (x,y)y3=2y3Diferentiala de ordinul intai este: df(x,y)(dx, dy) =f (x,y)xdx +f (x,y)ydy =1xdx +1ydyDiferentiala de ordinul doi este:d2f(x,y)(dx, dy) =2f (x,y)x2dx2+22f (x,y)xydxdy +2f (x,y)y2dy2= 1x2dx21y2dy225Diferentiala de ordinul trei va :d3f(x,y)(dx, dy) =_xdx +ydy_(3)f (x, y) =3f (x,y)x3dx3+33f (x,y)x2ydx2dy +33f (x,y)xy2dxdy2++3f (x,y)x3dy3=2x3dx3+2y3dy3Problema 1.3.6. O fabric a produce dou a tipuri de bunuri. Costul producerii acestor bunuri este dat prin funct iaf (x, y), unde x s i y reprezint a cantit at ile produse din ecare tip de produs. S a se minimizeze costul c andf (x, y) = x3+y39xy +100.Rezolvare. Pentru nceput determin am punctele stationare.___f (x,y)x= 3x29y = 0f (x,y)y= 3y29x = 0Solutiile sistemului, adic a (0, 0) si (3, 3), vor punctele stationare ale functiei f . Derivatele partiale deordinul doi vor 2f (x,y)x2= 6x,2f (x,y)xy= 9,2f (x,y)y2= 6ysi deci diferentialele de ordinul doi calculate n punctele stationare vor d2f(0,0)(dx, dy) = 18dxdysi d2f(3,3)(dx, dy) = 18dx218dxdy +18dy2Matricea asociat a primei diferentiale de ordinul doi este A =_0 99 0_Folosind aceast a matrice putem arma c a punctul stationar (0, 0) nu este punct de extrem local.Matricea asociat a celei de-a doua diferentiale esteA =_18 99 18_

12L1+L2L2_18 90272_

12C1+C2C2_18 00272_ = D.Din forma matricei D rezult a c a forma p atratic a asociat a celei de-a doua diferentiale este pozitiv denit a.Deci punctul stationar (3, 3) este un punct de minim local. Valoarea minim a a costului este fmin = f (3, 3) =73.Problema 1.3.7. Fie datele numericex 1 0 1 2y 2 1 2 11S a se ajusteze aceste date numerice:a) printr-un polinom de gradul nt ai (o dreapt a)b) printr-un polinom de gradul doi (o parabol a)Rezolvare.a) Avem gradul polinomului m = 1, deci pentru scrierea sistemului normal trebuie calculatesumele s0, s1, s2 si sumele t0 si t1.x0ix1ix2ix0i yix1i yi1 1 1 2 21 0 0 1 01 1 1 2 21 2 4 11 22

4 2 6 16 22Deci s0 = 4, s1 = 2, s2 = 6, t0 = 16 si t1 = 22. Sistemul normal este:26_4a0+2a1 = 162a0+6a1 = 22Solutia unic a a acestui sistem este: a0 =135 , a1 =145Atunci polinomul de ajustare de grad cel mult unu esteP1(x) =135+145 x,iar dreapta de ajustare estedreapta de ecuatie y =135+145 x.b) Av andm = 2, pentru scrierea sistemului normal vom calcula sumeles0 = 4,s1 = 2,s2 = 6,s3 = 8,s4 = 18, t0 = 16, t1 = 22, t2 = 48.Sistemul normal va :___4a0+2a1+6a2 = 162a0+6a1+8a2 = 226a0+8a1+18a2 = 48ce admite solutia unic a a0 =110, a1 =310, a2 =2510.Polinomul de ajustare de grad cel mult 2 este P2(x) =110 +310x +2510x2iar parabola de ajustare este parabola de ecuatie: y = 0, 1 +0, 3x +2, 5x21.4 Teme de controlProblema 1.4.1. S a se studieze existent a limitelor funct iilor de mai jos n punctele specicate iar atunci c and estecazul s a se calculeze aceste limite:a) f (x, y) =sin(x3+y3)x2+y2, (0, 0); b) f (x, y) =y2+xy2x, (0, 0); c) f (x, y) = _1 x2y2,_12, 12_.R aspuns. a) D = R2 (0, 0), l = 0, b) D = (x, y) R2 x0, y0, xy2, nu exist a limita lui f ,c) D = (x, y) R2 x2+y2 1 este discul cu centrul n originea axelor de coordonate si de raz a 1, l =22.Problema 1.4.2. S a se cerceteze continuitatea urm atoarelor funct ii:f(x, y) =___3xy22x2+9y4, dac a (x, y)(0, 0)0, dac a (x, y) = (0, 0)R aspuns. f continu a pe R2 (0, 0)Problema 1.4.3. S a se calculeze derivatele part iale de ordinul nt ai pentru urm atoarele funct ii:a) z = f (x, y) =xyx+y, b) z = f (x, y) =xx2+y2, c) z = arctgyxR aspuns. a)zx =2y(x+y)2,zx = 2x(x+y)2, b)zx =y23_(x2+y2)2,zy= y23_(x2+y2)2,c)zx = yx2+y2,zy=xx2+y2,Problema 1.4.4. S a se calculeze derivatele part iale de ordinul doi s i trei pentru funct ia f (x, y, z) = x2yz3R aspuns. a)2f (x,y,z)x2= 2yz2,2f (x,y,z)y2= 0,2f (x,y,z)z2= 6x2yz,2f (x,y,z)xy= 2xz3, 2f (x,y,z)xz= 6xyz2,2f (x,y,z)yz=3x2z23f (x,y,z)x3= 0,3f (x,y,z)x2y= 2z2,3f (x,y,z)x2z= 4yz, 3f (x,y,z)y3= 0,3f (x,y,z)y2z= 0,3f (x,y,z)z3= 6x2y3f (x,y,z)xy2= 0,3f (x,y,z)xyz= 4xz,3f (x,y,z)xz2= 12xyz, 3f (x,y,z)yz2= 6x2zProblema 1.4.5. S a se scrie diferent ialele de ordinele doi s i trei pentru funct ia f (x, y) = x2xy+2y3+3x5y+10R aspuns. d2f(x,y)(dx, dy) = 2dx22dxdy +12ydy2, d3f(x,y)(dx, dy) = 12dy3Problema 1.4.6. S a se determine punctele de extrem local pentru funct ia f (x, y) = 2x2+ 2xy 5y2+ 6x + 6y,(x, y) R2,R aspuns. fmax = f (2, 1) = 927Problema 1.4.7. Se consider a datele numerice:x 2 0 1 2y 48 32 9 8S a se ajusteze aceste date numerice printr-o dreapt a s i g asit i apoi valoarea lui y n punctul x = 3.R aspuns. y = 10, 89x +26, 97, y(3) = 5, 69Rezumat modulIn acest capitol s-au prezentat denitii si concepte de baza legate de functiile reale de mai multe variabilereale cum sunt: elemente de topologie ale spatiului Rn, limite de functii si continuitatea lor de la Rnla R,derivate partiale si diferentiala. Au fost prezentate notiunile de derivate partiale si derivate de ordin supe-rior, extremele functiilor de mai multe variabile (conditii necesare si suciente pentru existenta extremelorlocale). De asemenea s-au prezentat si notiuni legate de ajustarea prin metoda celor mai mici patrate adatelor experimentale.Bibliograe modul1. Colectiv, Elementedealgebraliniara, analizamatematicasiteoriaprobabilitatilor, Ed. Mega, Cluj-Napoca, 20092. Colectiv, Matematici aplicate n economie, Ed. Mega, Cluj-Napoca, 20111.5 Integrale EulerieneSubdenumireadeintegraleeulerienevomstudiatrei integraleimproprii desfolositenteoriaproba-bilit atilor si n diverse alte domenii ale matematicii aplicate.1.5.1 Integrala lui Euler de speta nt ai. Functia betaDenitia 1.5.1. Se numes te integrala lui Euler de speta nt ai integrala_10xp1(1 x)q1dx,care pentru p < 1 este o integral a improprie av and ca punct critic pe 0 s i pentru q < 1 este o integral a improprieav and ca punct critic pe 1.Observatia 1.5.1. Integrala improprie_10xp1(1 x)q1dxeste convergent a dac a p > 0 s i q > 0 s i este divergent a n celelalte cazuri. De fapt dac a p 1 s i q 1 atunci ea esteo integral a propriu-zis a (proprie).Denitia 1.5.2. Funct ia real a de dou a variabile reale B : (0, ) (0, ) R denit a prin relat iaB(p, q) =_10xp1(1 x)q1dx.se numes te functia lui Euler de speta nt ai sau functia beta.28Propriet ati ale functiei Beta(B1) B(p, 1) = 1pIntr-adev ar,B(p, 1) =_10xp1(1 x)11dx =_10xp1dx =xp10= 1p.In particular, pentru p = 1 se obtineB(1, 1) = 1.(B2) B_12, 12_ = .Intr-adev ar, avemB_12, 12_ =_10x121(1 x)121dx =_101_x(1 x)dx,integral a pe care o putem calcula utiliz and substitutia lui Euler_x(1 x) = tx,de unde se g asestex = (t) =11 +t2si deci (t) =2t(1 +t2)2.Pentru ca x = 0 trebuie ca t = si pentru ca x = 1 trebuie ca t = 0.Deci_101_x(1 x)dx =_01t .11+t22t(1 +t2)2dt = 2_011 +t2dt == 2_ 011 +t2dt = 2arctg t 0= 2_2 0_ = .(B3) B(p, q) = B(q, p).Intr-adev ar, avemB(p, q) =_10xp1(1 x)q1dxdin care, f ac and substitutia x = (t) = 1 t se obtineB(p, q) =_10(1 t)p1(1 (1 t))q1(1 t)dt == _10(1 t)p1tq1dt =_10tq1(1 t)p1dt ==_10xq1(1 x)p1dx = B(q, p).29(B4) Dac a p > 1 atunciB(p, q) =p 1p +q 1B(p 1, q).Intr-adev ar, dac a integr am prin p arti pun andf (x) = xp1si g(x) = (1 x)q1obtinemB(p, q) =_10xp1(1 x)q1dx = xp1q (1 x)qq10_10(p 1)xp2.(1 x)qqdx ==p 1q_10xp2(1 x)qdx ==p 1q_10xp2(1 x)(1 x)q1dx ==p 1q_10(xp2xp1)(1 x)q1dx ==p 1q_10[xp2(1 x)q1xp1(1 x)q1]dx ==p 1q__10xp2(1 x)q1dx _10xp1(1 x)q1dx_ ==p 1q[B(p 1, q) B(p, q)] .Deci am obtinut egalitateaB(p, q) =p 1q[B(p 1, q) B(p, q)] ,din care se obtine imediatB(p, q) =p 1p +q 1B(p 1, q) .Mention am c a ipoteza p > 1 este necesar a pentru ca p 1 > 0 si deci B(p 1, q) s a existe.Proprietatea (B4) demonstrat a aici permite micsorarea cu o unitate a primului argument al functieiB. Ea poate utilizat a succesiv at ata timp c at primul argument r am ane pozitiv.(B5) Dac a q > 1 atunciB(p, q) =q 1p +q 1B(p, q 1).Aceast a proprietate rezult a usor din propriet atile (B4) si (B3). Intr-adev ar, avem succesiv30B(p, q) = B(q, p) =q 1p +q 1B(q 1, p) =q 1p +q 1B(p, q 1).Proprietatea (B5) permite micsorarea cu o unitate a celui de al doilea argument al functiei B. Ea poate de asemenea utilizat a succesiv at ata timp c at al doilea argument r am ane pozitiv.Observ am astfel c a prin utilizarea convenabil a a propriet atilor (B4) si (B5) se poate calculaB(p, q)pentru p > 1 si q > 1 dac a se cunoaste B(p, q), unde x noteaz a partea fractionar a a lui x.Exist a tabele cu valori ale lui B(p, q) pentru 0 < p 1 si 0 < q 1.Exemplul 1.5.1. Exemplu de utilizare a propriet at ilor (B4) s i (B5):B_32, 52_ =32 132 +52 1B_32 1, 52_ = 16B_12, 52_ == 1652 112 +52 1B_12, 52 1_ = 16 34B_12, 32_ == 16 34 32 112 +32 1B_12, 32 1_ = 16 34 12B_12, 12_ == 16 34 12 =116.(B6) Dac a m N si n N atunciB(m, n) = (m1)! (n 1)!(m+n 1)!.Aceast a relatie rezult a din utiliz ari succesive ale propriet atilor (B4) si (B5). De exemplu:B(5, 4) = 4!3!8!=1280.(B7) Dac a 0 < p < 1 atunciB(p, 1 p) =sin p.Omitem aici demonstrarea acestei propriet ati. Din (B7) se obtine imediat (B2) lu and p = 12B_12, 1 12_ =sin 2= .311.5.2 Integrala lui Euler de speta a doua. Functia gamaDenitia 1.5.3. Se numes te integrala lui Euler de speta a doua integrala_ 0xa1exdx,care este o integral a improprie (av and limita superioar a de integrare ) s i n plus dac a a < 1 are punct critic s i pe0.Observatia 1.5.2. Integrala improprie _ 0xp1exdx este convergent a dac a p > 0 s i este divergent a dac a p 0.Denitia 1.5.4. Funct ia real a de o variabil a real a : (0, ) R denit a prin relat ia(p) =_ 0xp1exdx.se numes te functia lui Euler de speta a doua sau functia gama.Propriet ati ale functiei Gama(1) (1) = 1.Intr-adev ar, avem(1) =_ 0x11exdx =_ 0exdx = ex0= 0 (1) = 1.(2) Dac a p > 1, atunci(p) = (p 1)(p 1).Intr-adev ar, dac a integr am prin p arti pun and f (x) = xp1si g(x) = ex, avem succesiv(p) =_ 0xp1exdx = xp1(ex) 0 _ 0(p 1)xp2(ex)dx = xp1ex0++(p 1)_ 0xp2exdx = (p 1)(p 1).Mention am c a ipoteza p > 1 este necesar a pentru a exista (p 1).Proprietatea 2) permite micsorarea cu o unitate a argumentului functiei gama. Prin utiliz ari succe-sive ale acestei propriet ati, calculul lui (p) pentru p > 1 poate redus la calculul lui (p).Exist a tabele cu valori ale functiei gama pentru 0 < p 1.(3) Dac a m N, atunci(m) = (m1)!Proprietatea 3) sugereaz a faptul c a functia gama este o generalizare a factorialului.32Observatia 1.5.3. Dac a n proprietatea B6) a funct iei beta,B(m, n) = (m1)! (n 1)!(m+n 1)!,utiliz am n locul factorialului valori ale funct iei gama date de proprietatea 3) obt inemB(m, n) =(m) (n)(m+n), m, n N.(4) Aceast a relatie dintre functiile beta si gama r am ane adev arat a si pentru argumente reale, adic a areloc proprietateaB(p, q) =(p) (q)(p +q), p > 0si q > 0cunoscut a sub denumirea de relatia lui Euler.(5) _12_ =.Intr-adev ar, dac a n relatia lui Euler lu am a = b = 12, obtinemB_12, 12_ =_12__12__12 +12_.Dar B_12, 12_ = , iar (1) = 1, deci =__12__2,din care rezult a _12_ =.1.5.3 Integrala Euler-PoissonDenitia 1.5.5. Integrala improprie_ 0ex2dxse numes te integrala Euler-Poisson.Observatia 1.5.4. Prin calcule elementare se g asesc urm atoarele rezultate_ ex2dx = s i_ ex22dx =2.331.5.4 Exercitii si probleme rezolvateProblema 1.5.1. S a se calculeze valorile funct iilor lui Euler:a) (6), b) _52_, c) B(3, 5), d) B_32, 12_, e) B_14, 54_Solutie:a) (6) = 5! = 120b) _52_ =_52 1__52 1_ =32_32_ =32_32 1__32 1_ =3212_12_ =34c) B(3, 5) =(31)!(51)!(3+51)!=2! 4!7!=485040 =1105d) B_32, 12_ =(32)(12)(32+12)=121!=2e) B_14, 74_ =74114+741B_14, 34_ =341B_14, 34_ =34sin 4=3422=322Problema 1.5.2. Folosind integralele euleriene s a se calculeze integralele:a) _ badx(xa)(bx), b) _ 2xe2xdx, c) _ 03x1+x2dx.Solutie:a) Facem schimbarea de variabil axaba = t, dx = (b a) dtLimitele de integrare:_x = a, t = 0x = b, t = 1_Deci,_ badx(xa)(bx) =_ 10(ba)dt(ba)t(ba)(1t) =_ 10dtt(1t) =_ 10t12 (1 t)12dt = B_12, 12_ = b) Facem schimbarea de variabil ax 2 = t dx = dt Obtinem astfel:_ 2xe2xdx =_ 0(t +2) etdt =_ 0tetdt +2_ 0etdt = (2) +(1) = 1! +2 1 = 3c) Facem schimbarea de variabil ax2=t1t, dx =12_t1t_12 1(1t)2dt_ 03x1+x2dx =_ 10(t1t)161+t1t12_t1t_12 1(1t)2dt =12_ 10t1612 (1 t)16+1+122dt=12_ 10t13 (1 t)23dt =12B_23, 13_ =12B_13, 23_ =12sin 3=1232=3.1.5.5 Teme de controlProblema 1.5.3. S a se calculeze valorile funct iilor lui Euler:a) (8), b) _92_, c)B(2, 2), d) B_32, 32_,R aspuns:a) 5040, b)10516, c)16, d)8Problema 1.5.4. Folosind integralele euleriene s a se calculeze:a)_ 10x5x6dx, b) _20sin4x cos2xdx, c) _ 0x3dx(1+x3)2, d) _ 0x2ex5dx, e) _ 03x(1+x)4dxR aspuns:a)527 , b)8, c)2327, d) 250, e)1033534RezumatIn aceasta unitate au fost introduse si studiate notiunile privind integralele Euler de speta intai (functiabeta), de speta a doua (functia gama), proprietatile acestora, precum si integrala Euler-Poisson.Bibliograe1. Colectiv, Elementedealgebraliniara, analizamatematicasiteoriaprobabilitatilor, Ed. Mega, Cluj-Napoca, 20092. Colectiv, Matematici aplicate n economie, Ed. Mega, Cluj-Napoca, 2011.352MODULUL II. Teoria probabilitatilorObiectiveDenirea si studiul principalelor proprietati ale conceptelor de baza din teoria probabilitatilor.Crearea la studenti a unor deprinderi de utilizare a tehnicilor probabilistice si de folosire a acestorain scop aplicativ.Fundamentarea probabilistica a statisticii matematice.Concepte de bazaEveniment aleator, probabilitate, probabilitate conditionata, scheme clasice de probabilitate.Variabila aleatoare, functie de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete, functie de repartitie aunei variabile aleatoare, densitate de probabilitate, functia de repartitie a unei variabile aleatoare detip continuu.Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare (media, dispersia, momente, corelatia)Repartitii clasice.Rezultate asteptateSe urmareste buna intelegere de catre studenti a tehnicilor de abordare probabilistica a fenomeneloraleatoare, utilizarea adecvata a schemelor probabilistice care modeleaza astfel de fenomene, intelegereaconceptuluidevariabilaaleatoare, precumsiformareadeprinderilordecalculalecaracteristicelornu-merice pentru variabilelor aleatoare. Se doreste ca studentii sa inteleaga foarte bine semnicatia carac-teristicilor pe care le calculeaza si, de asemenea sa inteleaga motivele aplicarii teoriei probabilitatilor instatistica matematica.UNITATEA 1. C amp de evenimente. C amp de probabilitate. Schemeclasice de probabilitate.2.1 C amp de evenimente, c amp de probabilitate2.1.1 Corp de p arti ale unei multimiDenitia 2.1.1. Se numes te corp de p arti ale mult imii nevide orice familie nevid a K P() unde P() estemult imea p art ilor lui , astfel nc ata) A K= CA Kunde CA = A;b) A, B K= A_B K.Propozitia 2.1.1. Fie K un corp de p art i ale mult imii nevide . Atunci:1) , K;2) A, B K= A_B K;3) A, B K= AB K.Demonstratie.361)K nevid a =(A K = CA K) = A_CA K = K = C K = K. Deci , K.2) A, B K =CA, CB K = CA_CB KDe Morgan= CA_B K = C_CA_B_ K = A_B K.3) A, B K = A, CB K =A_CB K =AB K.

Observatia 2.1.1. Prindenit ie, uncorpdep art i Keste nchisfat adetrecerealacomplementar as ifat adereuniune. Denit ia corpului de p art i garanteaz a s i nchiderea sa fat a de reuniunea sau diferent a de mult imi.Prin induct ie matematic a rezult a c a un corp de p art i este nchis s i fat a de reuniunea sau intersect ia nit aoarecare de mult imi adic a pentru orice A1, A2, . . . , An K, (n 3) avem s in_i=1Ai K respectivn_i=1Ai K.De asemenea, un corp de p art i cont ine n mod necesar submult imile improprii s i .Exemplul 2.1.1. 1) Dac a atunci K= P() este un exemplu (banal) de corp de p art i ale lui .2) Fie = 1, 2, 3, 4, 5, 6. AtunciK=, , 1, 6 , 2, 3 , 4, 5 , 1, 2, 3, 6 , 1, 4, 5, 6 , 2, 3, 4, 5este un corp de p art i ale lui .2.1.2 C amp de evenimenteVom ntelege prin experiment aleator orice experiment al c arui rezultate, considerate din punct de vederealunuianumitcriteriu, nusuntcunoscute naintedeefectuareaexperimentului(repet andunastfeldeeveniment, n conditii identice, se pot obtine rezultate diferite, nu se poate preciza rezultatul ci se poateface doar o list a cu rezultatele posibile). Orice rezultat posibil n urma unui experiment aleator se numesteeveniment aleator. Evenimentelecarenusepotrealizadreptconsecint aarealiz ariialtorasenumescevenimente elementare. Consider am, de exemplu, experimentul arunc arii unui zar (obisnuit, nem asluit)si evalu am rezultatul din punct de vedere al aparitiei (non-aparitiei) vreunora dintre fetele de la 1 la 6.Folosim notatii de tipul ce urmeaz a:A = 1 aparitia fetei 1.B = 1, 4 aparitia vreuneia dintre fetele 1 sau 4.C = 2, 5, 6 aparitia vreuneia dintre fetele 2,5 sau 6,etc.A este evenimente elementar (analog 2 , 3 , 5 , 6) dar B nu este elementar (B se poate realiza ca siconsecint a a realiz arii lui A). Vom reveni ulterior, cu mai mult a rigoare, asupra conceptului de experimentelementar.Not am cumultimea tuturor evenimentelor elementare generate de un experiment aleator.In con-tinuare ne este comod s a trat am aceast a multime ca o multime de puncte pentru care submultimile re-duse la un punct cores-pund evenimentelor elementare. se mai numeste si multime fundamental a (dereferint a)sau spatiu de selectie. Oricealtevenimentpoateasimilatcuosubmultimeaspatiului(n exemplul de mai sus avem = 1, 2, 3, 4, 5, 6 si A, B, C ). In particular, corespunde evenimentu-lui const and n realizarea a cel putin unuia dintre evenimentele elementare posibile ceea ce se nt ampl ala orice efectuare a evenimentului si de aceea acest eveniment se numeste eveniment cert sau sigur. Unalt eveniment particular este cel care corespunde multimii vide si care revine la nerealizarea nici unuieveniment elementar posibil, ceea ce este imposibil la orice efectuare a experimentului si din acest motivacest eveniment se numeste eveniment imposibil. Vom p astra pentru evenimentul sigur si evenimentulimposibil aceleasi notatii si respectiv ca si pentru submultimile lui c arora le corespund.Fie c multimea tuturor evenimentelor aleatoare generate de un experiment aleator.Denitia 2.1.2. Fie A, B c. Se numes te intersectie a evenimentelor A s i B, notat a A_B, evenimentul carese realizeaz a dac a s i numai dac a se realizeaz a at at A c at s i B. Se numes te reuniune a evenimentelor A s i B,37notat a A_B, evenimentul care se realizeaz a dac a s i numai dac a se realizeaz a cel put in unul dintre evenimenteleA s i B. Se numes te diferent a a evenimentelor A s i B, notat a AB, evenimentul care se realizeaz a atunci c and serealizeaz a A dar nu s i B (adic a A B = A_CB). Se numes teeveniment complementar evenimentului A, notatCA, evenimentul care se realizeaz a dac a s i numai dac a nu se realizeaz a A (evenimentul complementar lui A se mainumes te s i eveniment contrar lui A s i se mai noteaz a A sau nonA).Observatia 2.1.2. 1) Pe c s-au evident iat legile interne de compozit ie (binare):_,_, : c c c,(A, B) A_B, (A, B) A_B, (A, B) A Bs i legea de compozit ie intern a (unar a) C : c c, A CA.2) Cum A B = A_CB, A, B c vom urm ari n continuare doar propriet at i ale legilor _, _, C (propriet at ilelegii rezult a din propriet at ile legilor_ s iC).Din denitiile de mai sus se obtin rezultatele din urm atoarea propozitie.Propozitia 2.1.2. Pentru orice A, B, C c au loc propriet at ile:a) asociativitate: (A_B)_C = A_(B_C),(A_B)_C = A_(B_C).b) comutativitate: A_B = B_A, A_B = B_A.c) distributivitate:A_(B_C) = (A_B)_(A_C), A_(B_C) = (A_B)_(A_C).d) idempotent a: A_A = A, A_A = A.e) A_CA = , A_CA = , A_ = A, A_ = , A_ = , A_ = A.Denitia 2.1.3. Fie A, B c. Se spune c a evenimentul A implic a evenimentul B (sau c a B este implicat deA) s i se scrie A B (respectiv B A) dac a realizarea lui A antreneaz a neap arat s i realizarea lui B.Observatia 2.1.3. 1) Relat ia de implicat ie se poate deni s i cu ajutorul_ sau_. Mai precis, pentru A, B cavemA B A_B = A A_B = B.Cum A_ = s i A_ = A rezult a c a As i A adic a avem A , A c.2) Relat ia de implicat ie este o relat ie de ordine part ial a pe c(adic a este reexiv a, antisimetric a s i tranzitiv a).Intr-adev ar avem:a) A c =A A. (reexivitate)b) A, B c, A B s i B A =A = B. (antisimetrie)c) A, B c, A B s i B C =A C.3) Se poate ar ata c a dac a A, B c, A_B = s i A_B = atunci A = CB sau, echivalent, B = CA.In particular, cum A_CA = s i A_CA = avem C(CA) = A s i de asemenea din _ = , _ = rezult a c a = C s i = C.Utiliz and aceast a observatie se poate demonstra propozitia de mai jos (pe care o admitemf ar a demonstratie).Propozitia 2.1.3. (relatiile lui De Morgan)Pentru orice A, B c avem CA_B = CA_CB s i CA_B = CA_CB.38Denitia 2.1.4. Se spune c a evenimenteleA, B c sunt incompatibile dac a ele nu se pot realiza simultan, adic aA_B = .Denitia 2.1.5. Se spune c a evenimentul A c este eveniment elementar dac a B c, B A rezult a c a B = sau B = A (adic a A nu poate implicat dec at de c atre evenimentul imposibil sau de c atre el nsus i).Observatia 2.1.4. 1. Mai sus am constatat c a evenimentele aleatoare generate de un experiment aleator pot concepute ca ind submult imi ale unei mult imi de referint aadic a cse poate asimila cu o familie desubmult imi ale lui nchis a fat a de operat iile cu mult imi s i care nu este neap arat P(). Motivele pentrucare nu orice submult ime a luieste eveniment dep as esc cadrul acestui curs ind deci omise. Se poatear ata ns a c a c se poate asimila cu un corp de p art i (, K), pentru care elementele din K corespund bijectivcu elementele din c (n particular mult imea din K corespunde evenimentului imposibil din c mult imeade referint a din K corespunde evenimentului sigur din c), reuniunea a dou a mult imi din K corespundereuniunii (n sensul din c) a evenimentelor din c corespunz atoare celor dou a mult imi, etc.2.In cele de mai sus am presupus implicit c a este o mult ime nit a. S a consider am acum, din nou, experimentularunc arii zarului s i urm arimevenimentul A const and n faptul c a fat a 5 (de exemplu) s a apar a pentru primadat a la o aruncare de ordin par (dup a un num ar impar de neaparit ii).Not and cu Ak evenimentul ca fat a 5 s a apar a pentru prima dat a la a k-a aruncare ( k N) avemA = A2_A4_A6_. . ._A2k_. . ._. . . =_k=1A2k s i suntem condus i la a considera o innitate num arabil a(un s ir) de evenimente elementare = w1, w2, . . . , wn, . . . unde wn = An, n N) s i la a cere ca cs a enchis a s i fat a de reuniunea num arabil a (nu numai nit a) de evenimente. In fapt, se poate ar ata riguros, nastfel de cazuri c se poate asimila cu un -corp de p art i (, K).Din aceast a observatie ca si din cea precedent a rezult a c a putem opera cu evenimentele utiliz and limba-jul teoriei multimilor si de aceea, n continuare, structurile de evenimente se denesc (din punct de vedereformal) direct ca structuri de multimi. Se justic a astfel denitia care urmeaz a.Denitia2.1.6. Senumes tec ampdeevenimenteoricecorpdep art i(, K)aluneimult iminevide. Senumes te -c amp de evenimente orice -corp de p art i (, K) al unei mult imi nevide .Observatia 2.1.5. Intr-unc ampdeevenimente, relat iileluiDeMorgansepotgeneralizapentrus irurideevenimente adic a avem:C_ _n=1An_ =_n=1CAns i C_ _n=1An_ =_n=1CAn.2.1.3 C amp de probabilitateDenitia 2.1.7. (denitia axiomatic a a probabilit atii)Fie (, K) un c amp de evenimente. Se numes te probabilitate pe K orice aplicat ie P : KR astfel nc atP1) P(A) 0, A K;P2) P(A_B) = P(A) +P(B), A, B Kcu A_B = ;P3) P() = 1.Se numes te c amp de probabilitate orice triplet (, K, P), unde (, K) este un c amp de evenimente iar P pesteo probabilitate pe K.Propozitia 2.1.4. Fie (, K, P) un c amp de evenimente. Atunci:a) P () = 0;b) P (CA) = 1 P (A) , A K;39c) P (B A) = P (B) P (A) , A, B K, A B;d) P (B A) = P (B) P (A_B) , A, B K;e) P (A_B) = P (A) +P (B) P (A_B) , A, B K.Demonstratie.a) _ = = P (_) = P () si cum_ = rezult a din P2) c a P (_) = P () + P (), adic aavem P () +P () = P () sau 1 +P () = 1, de unde P () = 0.b) A K avem A_CA = , de unde P (A_CA) = P (), sau P (A_CA)= 1, iar din A_CA = rezult a conform P2) c a P (A_CA) = P (A) + P (CA). Pentru orice A K avemdeci P (A) +P (CA) = 1, adic a P (CA) = 1 P (A).c) A, B K, A B=B=A_(BA), si cumA_(BA)==P (B)=P (A_(BA))P2= P (A) +P (BA) =P (BA) = P (B) P (A).d) A, B K =BA = B(A_B) cu A_B Bc)=P (BA) = P (B) P (A_B).e) A, B K =A_B = A_(B(A_B)) cuA_(B(A_B))==P (A_B)=P (A_(B(A_B)))P2)= P (A) + P (B(A_B))c)=P (A) + P (B) (A_B) pentru c a A_B B.

Consecinte.1. Dac a A, B K, cu A B =P (A) P (B). (monotonie)Intr-adev ar, P (BA) 0c)=P (B) P (A) 0 =P (B) P (A).2. A K=0 P (A) 1.Cum A Kavem A , folosindconsecintaprecedent a, obtinemP () P (A) P () sau0 P (A) 1.3. Prin inductie matematic a, folosind P2), rezult a c a dac a A1, A2, . . . , An K, cu Ai_Aj= , i = 1, n, ij,atunciP_n_i=1Ai_ =n

i=1P (Ai) (probabilitatea unei reuniuni nite de evenimente incompatibile dou ac ate dou a este suma probabilit atilor evenimentelor reuniunii).Comportamentulprobabilit atiifat adeoreuniunenit adeevenimenteoarecare(numaisuntin-compatibile dou a c ate dou a) din K este dat de propozitia care urmeaz a, obtinut a tot prin inductiematematic a pornind de la subpunctul e) din Propozitia 2.1.4.Propozitia 2.1.5. (formula de adunare a probabilit atilor sau formula lui Poincar e)Fie (, K, P) un c amp de probabilitate s i A1, A2, . . . , An K. AtunciP__n_i=1Ai__=n

i=1P (Ai) n

i,j=1i 0, i = 1, s sis

i=1pi = 1.48Din Use fac n extrageri succesive de c ate o bil a cu ntoarcere (adic a, dup a extragerea oric arei bile siobservarea culorii ei, bila extras a este reintrodus a n urn a naintea extragerii urm atoare).Se cere probabilitatea evenimentului Xk1,k2,...,ksnca dintre cele n bile astfel extrase ki s a e de culoarea ci,i = 1, s. Evident 0 ki n, i = 1, s sis

i=1ki = n.Not am P(Xk1,k2,...,ksn) = Pn(k1, k2, . . . , ks) si se poate deduce formula:Pn(k1, k2, . . . , ks) =n!k1!k2!...ks!pk11pk22. . . pkss. (2.3)Remarc am c a dac a n (2.3) lu ams = 2 si not amp1= p, p2= 1 p= q, k1= ksik2= n kse obtinemembrul drept al relatiei (??).Observatia 2.2.5. Deoarece membrul drept al relat iei (2.3) este coecientul lui tk11tk22. . . tkssdin dezvoltarea lui(p1t1+p2t2+. . . +psts)nschema urnei cu bila revenit a cu mai multe st ari se mai numes te schema polinomial a sau schema multino-mial a.Exemplul 2.2.4. Urna Ucont ine 2 bile ros ii, 4 bile albe s i 3 bile albastre.Din Use fac 6 extrageri succesive dec ate o bil a cu ntoarcere. Se cere probabilitatea ca dintre cele 6 bile extrase una s a e ros ie, dou a s a e albe s i treis a e albastre.Rezolvare.Avem evident p1 = 29, p2 = 49, p3 = 39, n = 6, k1 = 1, k2 = 2 si k3 = 3, deci probabilitatea cerut a esteP6(1, 2, 3) =6!1!2!3!_29_1_49_2_39_3 0, 0325.2.2.5 Schema urnelor lui PoissonSchema urnelor lui Poisson este o alt a generalizare a schemei urnei cu bila revenit a.Experimentuldelaschemaurneicubilarevenit astudiat a nsectiunea2.2.3poateimaginatsi nmodul urm ator: exist a n urne U1, U2, . . . , Un cu compozitii identice, din ecare urn a se extrage c ate o bil a sise caut a probabilitatea evenimentului ca dintre cele n bile astfel extrase k sunt albe.O generalizare a acestui experiment se obtine consider and c a cele n urne au compozitii diferite.S a presupunem date urnele U1, U2, . . . , Un si c a aceste urne contin bile albe si negre, compozitiile urnelorsunt cunoscute n sensul c a se stie c a probabilitatea ca o bil a extras a din Ui s a e alb a este pi, i = 1, n (atunciprobabilitatea ca o bil a extras a din Ui s a e neagr a este qi = 1pi, i = 1, n). Se extrage c ate o bil a din ecaredin cele n urne si se cere probabilitatea evenimentului Xkc a dintre cele n bile astfel extrase k sunt albe sin k sunt negre. Evident 0 < pi < 1, i = 1, n si 0 k n.Dac a Ai este evenimentul c a bila extras a din Ui este alb a atunci P(Ai) = pi si P(Ai) = 1 pi = qi.Se constat a usor c a probabilitatea cerut a este egal a cu coecientul lui tkdin polinomul (p1t +q1)(p2t +q2) . . . (pnt +qq) de gradul n n t, astfel nc at probabilitatea P(Xk) este dat a de relatian

k=0P(Xk)tk=n_i=1(pit +qi). (2.4)Remarc am faptul c a dac a n schema urnelor lui Poisson consider am toate celen urne identice (adic api = p, qi = q, i = 1, n) atunci relatia (2.4) devinen

k=0P_Xk_tk= (pt +q)n,49astfel nc atP(Xk) = Cknpkqnk,adic a P(Xk) = Pn(k) dat de relatia (2.4).Exemplul 2.2.5. O ntreprindere agricol a cultiv a gr au n 3 ferme. Din date statistice se s tie c a probabilitatea cantr-un an oarecare product ia de gr au la hectar s a dep as easc a 3000 kg este p1 = 0, 5 la prima ferm a, p2 = 0, 4 la adoua s i p3 = 0, 6 la ferma a treia. Se cere probabilitatea evenimentului X c a ntr-un anumit an product ia de gr aula hectar s a dep as easc a 4000 kg la cel put in dou a din cele trei ferme.Rezolvare.Not amcu Xkevenimentul c a exact n k dintre cele 3 ferme productia de gr au n anul respectiv dep aseste3000 kg la hectar, k = 0, 3.Se observ a c a evenimentul Xkeste de tipul celor descrise n schema urnelor luiPoisson.AvemP(X) = P_X2_X3_ = P_X2_+P_X3_.Relatia (2.4) ne d a(0, 4t +0, 6)(0, 5t +0, 5)(0, 6t +0, 4) = 0, 12 +0, 38t +0, 38t2+0, 12t3,astfel c a P(X2) = 0, 38 si P(X3) = 0, 12, deciP(X) = 0, 38 +0, 12 = 0, 50.UNITATEA 2. Variabile aleatoare. Repartitii clasice de probabilitate2.3 Variabile aleatoareP an a acum evenimentele au fost studiate mai nt ai din punct de vedere calitativ, iar o dat a cu introducereaprobabilit atilor si din punct de vedere cantitativ. Studiul se extinde prin considerarea unei notiuni noi,aceea de variabil a aleatoare, variabil a care va juca un rol similar n teoria probabilit atilor ca si variabiladin cadrul analizei matematice sau din alt a parte a matematicii.In cazul variabilelor aleatoare valorile vor luate dintr-o anumit a multime nu n mod cert ci numai cuo anumit a probabilitate. Ca notatie pentru variabila aleatoare se utilizeaz a de obicei literele mari latine saupot utilizate si literele grecesti , , . . .Consider am un c amp de probabilitate (, /, P) .Denitia 2.3.1. Se numes te variabil a aleatoare real a orice aplicat ieX : Rcare asociaz a ec arui element un num ar real X() , X()astfel nc atX1(, x) /, x R.Aici, prinX1(, x)amnotatevenimentulidenticatcumultimeaelementelor astfelnc atX() < x, adic aX1(, x) = , X() < x .50Observatia 2.3.1.In cele ce urmeaz a vom avea n vedere dou a categorii de variabile aleatoare s i anume: variabile aleatoare de tip discret; variabile aleatoare de tip continuu.Variabilelealeatoarede tip discretsuntaceleapentrucaremult imeavalorilor(codomeniulluiX)esteomult ime nit a sau num arabil a de formaM = xi xi RiI , I N.Variabila aleatoare de tip continuu este variabila a c arei codomeniu M este un interval M = [a, b] Rnchissau nu.Exemplul 2.3.1. Not am cu Xvariabila aleatoare care reprezint a suma punctelor obt inute la aruncarea a dou azaruri. AtunciM = 2, 3, 4, 5, 6, . . . , 11, 12 .Exemplul 2.3.2. Fie = 1, 2, 3, / = , 1, 2, 3, , M = x1, x2 R, x1 < x2. Ar at am c a X : M, X(1) = x1, X(2) = x2, X(3) = x2 este o variabil a aleatoare.Rezolvare.X1((, x)) = /, pentru orice x x1;X1((, x)) = 1 /, pentru orice x1 < x x2;X1((, x)) = 2, 3 /, pentru orice x > x2.Denitia 2.3.2. Dac a Xeste o variabil a aleatoare de tip discret atunci numim functie de probabilitate s i onot am cufX : M Rfunct ia care asociaz a ec aruixi fX (xi) = P (X = xi)unde X = xi reprezint a evenimentul ca variabila aleatoare discret a X ia valoarea xi.Observatia 2.3.2. Atunci c and nu e pericol de confuzie indicele X de la funct ia f se va omite s i vom nota f(xi) cupi, unde pireprezint a probabilitatea evenimentului ca variabila X s a ia valoarea xi. Se constat a f ar a greutate c asistemul de evenimente X = xiiIeste un sistem complet de evenimente s i atunci vor ndeplinite ntotdeaunaurm atoarele dou a condit ii:___

iIpi = 1;pi 0, i I.Astfel variabilei aleatoare de tip discret X i se asociaz a un tabel (tablou) de repartit ie (distribut ie) de formaX :_xipi_iIsau detaliat X :_x1x2. . . xn. . .p1p2. . . pn. . ._.Se vede c a repartit ia (distribut ia) cont ine pe prima linie valorile pe care variabila aleatoare le ia, de obicei scriseo singur a dat a s i n ordine cresc atoare, iar pe linia a doua sunt trecute probabilit at ile cu care variabila aleatoareX ia valoarea corespunz atoare pi.Exemplul 2.3.3. Revenim la primul exemplu din aceast a sect iune s i ceremn plus s a construim distribut ia acesteivariabile aleatoare. AtunciX =_2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12136236336436536636536436336236136_.512.3.1 Operatii cu variabile aleatoare de tip discretCa si cu variabilele obisnuite, si cu variabilele aleatoare se pot face operatii. Pentru ecare nou a variabil aobtinut a dup a efectuarea operatiilor trebuie s a cunoastem tabloul de repartitie.1. Adunarea unei variabile aleatoare X cu un num ar constant C:C +X :_C +xipi_iI;2.Inmultirea unei variabile X cu o constant a C:CX :_Cxipi_iI;3. Ridicarea la putere a unei variabile aleatoare X. Fie k N. Atunci:Xk:_xkipi_iI,C and au sens xkise poate lua k Z sau chiar k R.4. Suma a dou a variabile aleatoare X si Y:X :_xipi_iI, Y :_yiqi_iI=X +Y :_xi +yjpij_iI, jJ,undepij = P_X = xi__Y = yj__.Caz particular. Atunci c and X si Ysunt independente,X = xi_ _Y = yj_, (i, j) I Jvor tot independente, deci pij este produsul pij = piqj.5. Produsul a dou a variabile aleatoare X si Y:XY :_xiyjpij_iI, jJ, pij = P_X = xi__Y = yj__.Exemplul 2.3.4. Se consider a variabilele aleatoare de distribut ii:X :_1 0 20.3 0.5 0.2_Y :_2 10.4 0.6_.Presupunem c a acestea sunt independente. S a se efectueze urm atoarele operat ii: 2X, 3 +Y, X4, X +Y, XY,XY .52Rezolvare.2X :_2 0 40.3 0.5 0.2_;3 +Y :_1 40.4 0.6_;X4:_0 1 160.5 0.3 0.2_;X +Y :_3 0 2 1 0 30.12 0.18 0.2 0.3 0.08 0.12_ =X +Y :_3 2 0 1 30.12 0.2 0.26 0.3 0.12_;Y1:_ 1210.4 0.6_;XY:_(1)_12_ =12(1) 1 = 1 0 0 1 20.12 0.18 0.2 0.3 0.08 0.12_XY:_1 01220.26 0.5 0.12 0.12_2.3.2 Functia de repartitieStudiulvariabileloraleatoaresepoateconsiderasiprinintermediuluneinoifunctiiasociatevariabileialeatoare. Aceast a functie numit a uneori functie cumulativ a a probabilit atilor are o serie de propriet atifoarte usor de exploatat, mai ales c and e vorba de a evalua probabilit atile unor evenimente construite cuvariabile aleatoare. Fie X o variabil a aleatoare discret a.Denitia 2.3.3. Se numes te functie de repartitie asociat a lui X, s i se noteaz a cuFX : R [0, 1] ,funct ia care asociaz a x FX (x) , denit a prinFX(x) def=P (X < x) .Observatia 2.3.3. Atunci c and nu exist a pericolul de confuzie se va renunt a la indiceleXs i la acoladele dinmembrul drept s i vom folosi notat iaF (x) = P (X < x) .Exemplul 2.3.5. S a construim funct ia de repartit ie pentru variabila aleatoare X din Exemplul 2.3.4.Rezolvare.Reprezent am pe o ax a valorile variabilei X. Studiem ecare caz n parte:Dac a x 1 = F (x) = P (X < x) = P () = 0;Dac a 1 < x 0 =F (x) = P (X < x) = P (x = 1) = 0.3;Dac a 0 < x 2=F (x) = P (X < x) = P (x = 1 x = 0) == 0.3 +0.5 = 0.8;Dac a x > 2 =F (x) = P (X < x) = 1.53Deci putem scrieF (x) =___0, x 10.3, 1 < x 00.8, 0 < x 21, x > 2.Propriet ati ale functiei de repartitie.Folosind doar denitia si propriet ati ale probabilit atilor, se deduc urm atoarele propriet ati ale functieide repartitie.1) 0 F (x) 1;2) F () = limxF (x) = 0; F (+) = limx+F (x) = 1;3) F este cresc atoare: x, x R, are loc implicatiax < x =F (x) F ( x) ;4) Feste continu a la st anga: x R,F (x) = F (x0) = limx0x0F(x +x) F(x)x.Denitia 2.3.5. Funct ia f se numes te functie densitate de probabilitate a variabilei aleatoare de tip continuu,s i are propriet at i similare cu acelea ale funct iei de probabilitate din cazul discret.Teorema 2.3.1. Dac a F este funct ie de repartit ie a unei variabile aleatoare continue, atunci densitatea de proba-bilitate f are urm atoarele propriet at i1) f (x) 0, x R;2)_f (t)dt = 1.Observatia 2.3.6. Dup a cum n cazul variabilei aleatoare discrete aveam o as a-zis a repartit ie, adic a un tabloucu dou a linii, pe prima linie ind trecute valorile variabilei, iar pe a doua funct ia de probabilitate, tot as a s i lavariabilele aleatoare de tip continuu vom considera o as a numit a repartitie sau distributie. Astfel, pentru ovariabil a aleatoare de tip continuu care ia valori doar dintr-un interval al axei reale, repartit ia va avea forma:X :_xf (x)_xRundef (x) 0, x Rs i_f (t)dt = 1.2.3.4 Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoareStudiulvariabileialeatoareat atdetipdiscretc atsidetipcontinuuseextindeprinintroducereaunorcaracteristici numerice cu ajutorul c arora se dau informatii suplimentare despre ele. Aceste caracteristicise mpart n mai multe categorii:de grupare: care evidentiaz a niste numere n jurul c arora se grupeaz a valorile variabilelor;de mpr as tiere (de dep artare): care dau informatii asupra gradului de dep artare a valorilor variabilelor fat ade o caracteristic a de grupare principal a;privind forma distribut iei: simetrie, asimetrie, boltire, turtire, etc.Caracteristici de grupareSunt niste numere care se determin a pornind de la variabila aleatoare considerat a, numere n jurul c arorase grupeaz a toate valorile variabilei aleatoare.Valoarea medie. Valoarea medie este considerat a cea mai important a dintre caracteristicile de grupare.Denitia 2.3.6. Se numes te valoarea medie a variabilei aleatoareXs i se noteaz aM(X) num arul calculabilprin una din relat iileM(X) =

iIxipi, dac a X este variabil a aleatoare discret a;M(X) =_+xf(x) dx, dac a X este variabil a aleatoare continu a.55Exemplul 2.3.7. Fie variabila aleatoare X av and distribut iaX :_2 1 20.4 0.3 0.3_Valoare medi