Marcelina Popa  –  Vectori într‐un reper cartezian  

 

1  

  

GGGeeeooommmeeetttrrriiieee   aaannnaaallliiitttiiicccăăă   ­­­   ccclllaaasssaaa   aaa   XXX­­­aaa   şşşiii   aaa   XXXIII­­­aaa      (((fffăăărrrăăă   vvveeeccctttooorrriii)))  

 

     • Formula distanței dintre două puncte.  

Fie punctele  ( , )A AA x y şi  ( , )B BB x y . Atunci   2 2( ) ( )B A B AAB x x y y= − + − . 

 

     • Coordonatele punctului care împarte un segment într‐un raport dat. Fie numărul  k ∈ şi punctele 

( , )A AA x y şi  ( , )B BB x y . Fie ( , )M MM x y punctul M AB∈ cu proprietatea AM kMB

= . Atunci  

                           11 1M A B

kx x xk k

= ++ +

            11 1M A B

ky y yk k

= ++ +

. 

     In particular, dacă M este mijlocul segmentului [AB], avem 

                         2

A BM

x xx

+=                             

2A B

My y

y+

=   

 

     • Coordonatele centrului de greutate al unui triunghi: 

                        3

A B CG

x x xx

+ +=                       

3A B C

Gy y y

y+ +

=  

 

     • Panta unei drepte oblice sau orizontale.  Panta unei drepte oblice sau orizontale d este egală, prin definiție, cu tangenta unghiului [ ) 20, \{ }πθ∈ π , format de acea dreaptă cu direcția pozitivă a axei Ox. Panta 

dreptei d se notează cu md. Dreptele verticale nu au pantă, pentru ca tangenta nu este definită în  2π.  

 

     • Ecuația unei drepte. Este o relație verificată de coordonatele oricărui punct M(x,y) de pe acea dreaptă (şi numai de ele).  

Marcelina Popa  –  Vectori într‐un reper cartezian  

 

2  

      Ecuația oricărei drepte se poate pune sub forma  0ax by c+ + =  (ecuaț ia  carteziană generala  a  

dreptei ), cu  0a ≠ sau  0b ≠ .  

      Cazuri particulare: 

      1). Ecuaț ia  unei  drepte  oblice :  y mx n= + , cu  0m ≠ . In acest caz, m este panta dreptei, iar  n  

ordonata punctului de intersecție dintre dreaptă şi axa Oy. 

      2). Ecuaț ia  unei  drepte  orizontale :  y n=  (sau forma de mai sus, cu m=0). In acest caz, panta 

dreptei este 0, iar  n reprezintă, ca şi in cazul anterior, ordonata punctului de intersecție dintre dreaptă si axa Oy. 

      3). Ecuaț ia  unei  drepte  verticale :  x = α  , unde α este abscisa punctului de intersecție dintre dreaptă si axa Ox. 

      Ecuația dreptei care trece printr‐un punct dat , 0 0 0( , )M x y , şi are o panta data, m:    

                                           0 0( )y y m x x− = −      

      Ecuația dreptei care trece prin două puncte diferite  ( , ), ( , )A A B BA x y B x y  : 

                                          A A

B A B A

x x y yx x y y− −

=− −

,  

dacă. numitorii sunt nenuli. 

      Ecuația primei  bisectoare :  y x=  (panta fiind egală cu 1). Ecuația  celei  de ‐a  doua  

bisectoare :  y x= −  (panta find egală cu ‐1).  

      

 

     • Aflarea pantei unei drepte. Când nu cunoaştem unghiul dintre dreaptă şi Ox, panta se poate afla astfel: 

      1). Panta dreptei ce trece prin punctele  ( , )A AA x y şi  ( ; )B BB x y este  B AAB

B A

y ym

x x−

=−

, daca  A Bx x≠ . 

      2). Panta dreptei de ecuație  y mx n= + este m (coeficientul lui x). 

      3). Panta dreptei de ecuație  0ax by c+ + = este  amb

= − (daca  0b ≠ ). Panta se poate obține şi 

exprimându‐l pe y în funcție de x, apoi considerând coeficientul lui x din membrul drept.  

                                             

Marcelina Popa  –  Vectori într‐un reper cartezian  

 

3  

     • Condiții de paralelism şi perpendicularitate. 

      Fie dreptele d: y=mx+n şi d’: y=m’x+n’. Avem: 

•  si d d m m n n′ ′ ′⇔ = ≠  

•  si d d m m n n′ ′ ′= ⇔ = =  

•  1d d mm′ ′⊥ ⇔ = −  (produsul pantelor este ‐1) 

        

     • Intersecția a doua drepte. Două drepte sunt concurente dacă şi numai dacă sistemul format din ecuațiile lor are soluție unică. In acest caz, coordonatele punctului de intersecție se obțin rezolvand sistemul.         

 

     • Distanța de la un punct la o dreaptă. Distanța de la punctul  0 0 0( , )M x y  la dreapta  : 0d ax by c+ + =  

este  dată de formula:     0 00 2 2

| |( , )

ax by cd M d

a b

+ +=

+ 

 

     • Aplicații ale determinanților în geometrie (clasa a XI‐a) 

     Punctele  ( , ), ( , ), ( , )A A B B C CA x y B x y C x y sunt col iniare  dacă şi numai dacă 

 

                                                              

11 01

A A

B B

C C

x yx yx y

= . 

     Ecuația dreptei care trece prin două puncte diferite  ( , ), ( , )A A B BA x y B x y  este 11 01

A A

B B

x yx yx y

=  

     Aria  tr iunghiului  cu vârfurile în  ( , ), ( , ), ( , )A A B B C CA x y B x y C x y  este: 

                              [ ]1 | |2ABCA = Δ , cu 

111

A A

B B

C C

x yx yx y

Δ = . 

Marcelina Popa  –  Vectori într‐un reper cartezian  

 

4  

     Fie dreptele de ecuații  1 1 1 0a x b y c+ + = ,  2 2 2 0a x b y c+ + = ,  3 3 3 0a x b y c+ + = , concurente două cate 

două. Dreptele sunt toate trei concurente (adică au toate trei un punct comun) dacă şi numai dacă 

1 1 1

2 2 2

3 3 3

0a b ca b ca b c

= .