functii trigonometrice

cos x=xM

A

B

A’

B’

M(xM, yM)

O

sin x=yM

x

I II

III IV

[OM]=1

FUNCŢII TRIGONOMETRICE

Fie cercul trigonometric C(O,1)=M, {M( ) /[ ] 1}Mx y OM şi punctul M( xM , yM) situat pe

cerc.

1. FUNCŢIA SINUS

Definiţie: Se numeşte funcţie sinus , funcţia sin : [ 1.1], sin Mx R x y .

Graficul funcţiei sinus :

Proprietăţi:

1. Intersecţia graficului cu

axele de coordonate 0, , , ( ,0)f kG Ox y x k k Z A k

0,0,00arcsin0: OxOyG f

2. Paritate Impară sin(-x)= - sin(x) x R

3. Periodicitate Da, T= 2 , sin( 2 ) sin , ,x k x x R k Z

4. Simetria graficului În raport cu originea

5. Monotonia funcţiei Strict crescătoare pe 2 , 2

2 2k k

,

Strict descrescătoare pe 3

2 , 2 ,2 2

k k k Z

,

6. Mărginire

Valori extreme

- funcţie mărginită

1 sin 1x , x R

7. Convexitate şi

concavitate - Concavă pe [2 ,(2 1) ]k k

- Convexă pe [(2 1) ,2 ],k k k Z

8. Semnul funcţiei sin x <0 pe intervalul [(2 1) ,2 ],k k k Z

sin x >0 pe intervalul [2 ,(2 1) ]k k

9. Bijectivitatea pe intervalul [ , ]

2 2

10. Funcţia inversă

sin(arcsin x)= x, 1,1x

arcsin(sin x)= x,

2,

2

x

2. FUNCŢIA COSINUS

Definiţie: Se numeşte funcţie cosinus , funcţia cos : [ 1.1], cos Mx R x x .

Graficul funcţiei cosinus :

Proprietăţi:


axele de coordonate (2 1)

0, (2 1) , , ( ,0)2 2

f k

kG Ox y x k k Z A

0, arccos0 1, (0,1)fG Oy x C

2. Paritate Pară cos(-x)= cos(x) x R

3. Periodicitate Da, T= 2 , cos( 2 ) cos , ,x k x x R k Z

4. Simetria graficului În raport cu axa Oy

5. Monotonia funcţiei Strict crescătoare pe 2 ,2k k ,

Strict descrescătoare pe 2 , 2 ,k k k Z ,

6. Mărginire

Valori extreme


1 cos 1x , x R

7. Convexitate şi

concavitate - Concavă pe 3

2 , 2 ,2 2

k k k Z

- Convexă pe 2 , 22 2

k k

8. Semnul funcţiei cos x <0 pe intervalul

32 , 2 ,

2 2k k k Z

cos x >0 pe intervalul 2 , 22 2

k k

9. Bijectivitatea pe intervalul [0, ]

10. Funcţia inversă

cos(arccos x)= x, 1,1x

arccos(cos x)= x, ,0x

3. FUNCŢIA TANGENTĂ

Definiţie: Se numeşte funcţie tangentă, funcţia (2 1)

: \ ,2

ktgx R R k Z

,

sin

cos

xtgx

x .

Graficul funcţiei tangentă :

Proprietăţi:


axele de coordonate 0, , , ( ,0)f kG Ox y x k k Z A k

0, 0 0, (0,0)fG Oy x tg O

2. Paritate Impară; tg(-x)= - tg(x), x R

3. Periodicitate Da, T= , ( ) , ,tg x k tgx x R k Z


5. Monotonia funcţiei Strict crescătoare pe ,

2 2k k

6. Mărginire

Valori extreme

- funcţie nemărginită:

7. Convexitate şi concavitate - convexă pentru , ,

2k k k Z

- concavă pentru , ,2

k k k Z

8. Semnul funcţiei - tg x < 0, pentru , ,

2k k k Z

- tg x >0, pentru , ,2

k k k Z

9. Bijectivitatea pe intervalul ,

2 2

10. Funcţia inversă : ( , )

2 2arctgx R

tg(arctgx)= x, x R

arctg(tgx)= x,

2,

2

x

4. FUNCŢIA COTANGENTĂ

Definiţie: Se numeşte funcţie cotangentă, funcţia : \ ,ctgx R k R k Z ,cos

sin

xctgx

x .

Graficul funcţiei cotangentă :

Proprietăţi:


axele de coordonate (2 1)

0, (2 1) , , ( ,0)2 2

f k

kG Ox y x k k Z A

fG Oy x

2. Paritate Impară; ctg(-x)= - ctg(x), x R

3. Periodicitate Da, T= , ( ) , ,ctg x k ctgx x R k Z


5. Monotonia funcţiei Strict descrescătoare pe ,( 1)k k

6. Mărginire

Valori extreme

- funcţie nemărginită:

7. Convexitate şi concavitate - convexă pentru , ,

2k k k Z

- concavă pentru , ,2

k k k Z

8. Semnul funcţiei - ctg x < 0, pentru , ,

2k k k Z

- ctg x >0, pentru , ,2

k k k Z

9. Bijectivitatea pe (0, )

10. Funcţia inversă : (0, )arcctgx R

ctg(arcctgx)= x, x R

arcctg(ctgx)= x,

FUNCTII TRIGONOMETRICE INVERSE

1. FUNCŢIA ARCSINUS

Tabel de valori:

Graficul funcţiei arcsinus :

Proprietăţi:


axele de coordonate 0,0,00: OxyOxG f

0,0,00arcsin0: OxOyG f

2. Paritate Impară arcsin(-x)= - arcsin(x) [ 1,1]x


4. Monotonia funcţiei Strict crescătoare pe [-1,1]

5. Mărginire

Valori extreme


1,1,2

arcsin2

xx

6. Convexitate şi

concavitate

- Concavă pe [-1,0]

- Convexă pe [0,1]

7. Semnul funcţiei arcsin x <0 pe intervalul [-1,0)

arcsin x >0 pe intervalul (0,1]

8. Bijectivitatea Da

9. Funcţia inversă xxff sin,1,1

2,

2:

sin(arcsin x)= x, 1,1x

arcsin(sin x)= x,

2,

2

x

2. FUNCŢIA ARCCOSINUS

Tabel de valori:

Graficul funcţiei arcosinus:

Proprietăţi:


axele de coordonate 0,1,10: AxyOxG f

2,0,

20:

CyxOyG f

2. Paritate Nu arccos(-x)= - arccos(x), [ 1,1]x

3. Simetria graficului

În raport cu punctul

2,0

C

1,1,

2

arccosarccos

2

x

xx

4. Monotonia funcţiei Strict descrescătoare pe [-1,1]

5. Mărginire

Valori extreme


1,1,arccos0 xx 6. Convexitate şi

concavitate

- Convexă pe [-1,0]

- Concavă pe [0,1]

7. Semnul funcţiei arccos x>0 [ 1,1]x


9. Funcţia inversă xxff cos,1,1,0:

cos(arccos x)= x, 1,1x

arccos(cos x)= x, ,0x

2. FUNCŢIA ARCTANGENTĂ

: ( , )2 2

arctgx R

Tabel de valori:

Graficul funcţiei arctangentă :

Proprietăţi:


axele de coordonate 0,0,00: OxyOxG f

0,0,000: OarctgxOyG f

2. Paritate Impară; arctg(-x)= - arctg(x), x R


4. Monotonia funcţiei Strict crescătoare pe R

5. Mărginire

Valori extreme

- funcţie mărginită:

Rxarctgx ,

22

6. Convexitate şi concavitate - convexă pentru ( ,0)x

- concavă pentru (0, )x

7. Semnul funcţiei - arctg x < 0, dacă ( ,0)x

- arctg x >0, dacă (0, )x


9. Funcţia inversă tgxxfRf

,

2,

2:

tg(arctgx)= x, x R

arctg(tgx)= x,

2,

2

x

4. FUNCŢIA ARCCOTANGENTĂ

: (0, )arcctgx R

Tabel de valori:

1

0

Graficul funcţiei arccotangentă :

Proprietăţi:


axele de coordonate fyOxG f Im0:

,

Graficul nu taie axa Ox

2,0,

200:

CarcctgxOyG f

2. Paritate Nu ; arcctg(-x)= - arcctg(x) x R

3. Simetria graficului

În raport cu punctul

2,0

C

Rx

xx

,

2

arccosarccos

2

4. Monotonia funcţiei Strict descrescătoare pe R

5. Mărginire

Valori extreme

funcţie mărginită:

Rxarcctgx ,0 6. Convexitate şi concavitate - concavă pentru ( ,0)x

- convexă pentru (0, )x

7. Semnul funcţiei - arcctg x >0, dacă x R


9. Funcţia inversă ctgxxfRf ,,0: ctg(arcctgx)= x, x R

arcctg(ctgx)= x, ,0x

functii trigonometrice

Documents