FUNCŢII INJECTIVE

Fie A şi B două mulţimi şi :f A B→ o funcţie.

Definiţie: Funcţia f se numeşte funcţie injectivă (injecţie), dacă

( ) ( )1 2 1 2 1 2, ,x x Ax x f x f x∀∈≠⇒≠

Definiţie echivalentă: Funcţia f se numeşte funcţie injectivă (injecţie), dacă

( ) ( )1 2 1 2 1 2, ,x x Af x f x x x∀∈ = ⇒=

Metode de studiu pentru injectivitate:

Fie :f A B→ , ,A B R⊂ o funcţie numerică. Funcţia f este injectivă daca are loc una din afirmaţiile:

- ( ) ( )1 2 1 2 1 2, ,x x A x x f x f x∀ ∈ ≠ ⇒ ≠

- ( ) ( )1 2 1 2 1 2, ,x x A f x f x x x∀ ∈ = ⇒ =- f strict monotonă ⇒ f injectivă

- ,y B∀ ∈ ecuaţia ( )f x y= are cel mult o soluţie x A∈- metoda grafică (nu constituie o demonstraţie) : funcţia f este injectivă dacă orice

paralelă la Ox va intersecta graficul funcţiei în cel mult un punct.

Compunerea şi injectivitatea

Propoziţie:1) Fie : , :g A B f B C→ → două funcţii injective. Atunci funcţia :f g A C→o este

injectivă2) Fie : , :g A B f B C→ → două funcţii. Dacă funcţia :f g A C→o este injectivă

atunci funcţia g este injectivă

FUNCŢII SURJECTIVE

Fie A şi B două mulţimi şi :f A B→ o funcţie.

Definiţie: Funcţia f se numeşte funcţie surjectivă (surjecţie), dacă

,y B x A∀ ∈ ∃ ∈ astfel încât ( )f x y=

Metode de studiu pentru surjectivitate:

Fie :f A B→ , ,A B R⊂ o funcţie numerică. Funcţia f este surjectivă daca are loc una din afirmaţiile:

- ,y B x A∀ ∈ ∃ ∈ astfel încât ( )f x y=

- ,y B∀ ∈ ecuaţia ( )f x y= are cel puţin o soluţie x A∈

- f surjectivă ( ) Imf A f B⇔ = =- metoda grafică (nu constituie o demonstraţie) : funcţia f este surjectivă dacă orice paralelă la Ox, dusă printr-un punct al codomeniului, va intersecta graficul funcţiei în cel puţin un punct.

Compunerea şi surjectivitatea

Propoziţie:1) Fie : , :g A B f B C→ → două funcţii surjective. Atunci funcţia :f g A C→o este surjectivă.2) Fie : , :g A B f B C→ → două funcţii. Dacă funcţia :f g A C→o este surjectivă atunci funcţia f este surjectivă.

FUNCŢII BIJECTIVE

Fie A şi B două mulţimi şi :f A B→ o funcţie.

Definiţie: Funcţia f se numeşte funcţie bijectivă (bijecţie), dacă este atât injectivă cât şi surjectivă

Metode de studiu pentru bijectivitate:

Fie :f A B→ , ,A B R⊂ o funcţie numerică. Funcţia f este bijectivă daca are loc una din afirmaţiile:

- f injectivă şi surjectivă

- ,y B∀ ∈ ecuaţia ( )f x y= are o unică soluţie x A∈- metoda grafică (nu constituie o demonstraţie) : funcţia f este bijectivă dacă orice paralelă la Ox, dusă printr-un punct al codomeniului, va intersecta graficul funcţiei într-un singur punct.

Compunerea şi bijectivitatea

Propoziţie:1) Fie : , :g A B f B C→ → două funcţii bijective. Atunci funcţia :f g A C→o este bijectivă.2) Fie : , :g A B f B C→ → două funcţii. Dacă funcţia :f g A C→o este bijectivă atunci funcţia f este surjectivă şi g este injectivă.

FUNCŢII INVERSABILE

Definiţie : Fie :f A B→ o funcţie. Funcţia f se numeşte inversabilă dacă există o funcţie

:g B A→ cu proprietăţile: 1Bf g =o şi 1Ag f =o

Observaţii:1) dacă există funcţia g, atunci se notează cu 1f − şi se numeşte inversa funcţiei f

1 1Bf f − =o şi 1 1Af f− =o

2) inversa unei funcţii, dacă există, este unică.

Teoremă Funcţia :f A B→ este inversabilă dacă şi numai dacă este bijectivă.