5. Functii diferentiabile

5.1. Derivate partiale

Derivate partiale de ordinul unu. Fie f : D ! R, unde D � Rn este omultime deschis¼a. Dac¼a x 2 D; atunci x = (x1; : : : ; xn) si avem f(x) = f(x1; : : : ; xn).Se spune c¼a f este functie de variabilele x1; : : : ; xn.Fie acum a = (a1; : : : ; an) 2 D. Dac¼a

limxi!ai

f(a1; : : : ; ai�1; xi; ai+1; : : : ; an)� f(a1; : : : ; an)

xi � ai

exist¼a, atunci ea se noteaz¼a cu@f

@xi(a) si se numeste derivata partial¼a în raport cu

variabila xi a functiei f în a.

Dac¼a derivata partial¼a@f

@xiexist¼a si este �nit¼a în orice punct din D; atunci

functia@f

@xi: D ! R se numeste derivata partial¼a în raport cu variabila xi a functiei

f pe multimea D.

Functii de clas¼a C1. Dac¼a functiile@f

@x1; : : : ;

@f

@xnse pot de�ni si sunt toate

continue pe multimea D; atunci functia f se spune c¼a este de clas¼a C1 pe D si sescrie f 2 C1(D).S¼a consider¼am acum o functie f : D ! R, unde D � R2 este o multime deschis¼a.

Un punct din D se va nota (x; y); deci vom scrie f(x; y) si x; y sunt variabilele lui fîn acest caz. Dac¼a (a; b) 2 D; atunci

@f

@x(a; b) = lim

x!a

f(x; b)� f(a; b)

x� asi

@f

@y(a; b) = lim

x!a

f(a; y)� f(a; b)

y � b:

Exemplu. Fie f : D ! R, unde D = f(x; y) j x > 0g ; f(x; y) = ln(1 + x + y2).S¼a calcul¼am derivatele partiale ale acestei functii în (1; 1).

@f

@x(1; 1) = lim

x!1

f(x; 1)� f(1; 1)

x� 1 = limx!1

ln (2 + x)� ln 3x� 1 = lim

x!1

1

2 + x=1

3.

@f

@y(1; 1) = lim

y!1

f(1; y)� f(1; 1)

y � 1 = limy!1

ln (2 + y2)� ln 3y � 1 = lim

y!1

2y

2 + y2=2

3.

Observatie. Dac¼a functia f : D ! R, D � Rn, are derivat¼a partial¼a în raportcu variabila xi pe multimea D; atunci aceasta se poate calcula folosind regulile obis-nuite pentru derivarea functiilor de o singur¼a variabil¼a, considerând aici c¼a variabilaeste xi, iar x1; : : : ; xi�1; xi+1; : : : ; xn sunt constante.

Exemplu. Pentru functia din exemplul precedent avem@f

@x(x; y) =

1

1 + x+ y2(1 + x+ y2)

0x =

1

1 + x+ y2.

@f

@y(x; y) =

1

1 + x+ y2(1 + x+ y2)

0y =

2y

1 + x+ y2.

1

De aici rezult¼a@f

@x(1; 1) =

1

1 + 1 + 12=1

3si@f

@y(1; 1) =

2 � 11 + 1 + 12

=2

3.

Derivatele partiale ale functiilor compuse. FieD � Rn; E � Rm; u1; : : : ; um :D ! R astfel încât oricare ar �x = (x1; : : : ; xn) 2 D s¼a avem (u1(x); : : : ; um(x)) 2 Esi ' : E ! R. Dac¼a t 2 E; atunci t = (t1; : : : ; tm) si avem '(t) = '(t1; : : : ; tm); adic¼at1; : : : ; tm sunt variabilele lui '. De�nim f : D ! R prin f(x) = ' (u1(x); : : : ; um(x)) ;x = (x1; : : : ; xn). Dac¼a functiile u1; : : : ; um; ' sunt de clas¼a C1; atunci si f este declas¼a C1 si au loc relatiile (pentru a 2 D)

@f

@xi(a) =

mXj=1

@'

@tj(u1(a); : : : ; um(a))

@uj@xi

(a):

De multe ori, pentru a retine mai usor acest¼a formul¼a de calcul, numit¼a formulade derivare a functiilor compuse, se foloseste forma mai putin riguroas¼a dar maisugestiv¼a

@f

@xi(a) =

mXj=1

@'

@uj(u1(a); : : : ; um(a))

@uj@xi

(a)

sau, chiar mai scurt@f

@xi=

mXj=1

@'

@uj

@uj@xi

:

Exemplu. S¼a se arate c¼a functia f(x; y; z) = '(xy; x2+y2�z2); unde ' 2 C1(R2);veri�c¼a relatia

xz@f

@x(x; y; z)� yz

@f

@y(x; y; z) + (x2 � y2)

@f

@z(x; y; z) = 0

oricare ar � x; y; z 2 R.Aici avem D = R3; E = R2; u1; u2 : R3 ! R, u1(x; y; z) = xy; u2(x; y; z) =

x2 + y2� z2 si evident c¼a (u1(x; y; z); u2(x; y; z)) 2 E = R2. u1; u2; ' sunt functii declas¼a C1. Atunci avem

@f

@x(x; y; z) =

@'

@u1(u1(x; y; z); u2(x; y; z))

@u1@x(x; y; z) +

+@'

@u2(u1(x; y; z); u2(x; y; z))

@u2@x(x; y; z)

sau@f

@x(x; y; z) =

@'

@u1(xy; x2 + y2 � z2)y +

@'

@u2(xy; x2 + y2 � z2)2x:

Analog avem

@f

@y(x; y; z) =

@'

@u1(u1(x; y; z); u2(x; y; z))

@u1@y(x; y; z) +

+@'

@u2(u1(x; y; z); u2(x; y; z))

@u2@y(x; y; z)

sau@f

@y(x; y; z) =

@'

@u1(xy; x2 + y2 � z2)x+

@'

@u2(xy; x2 + y2 � z2)2y

2

si

@f

@z(x; y; z) =

@'

@u1(u1(x; y; z); u2(x; y; z))

@u1@z(x; y; z) +

+@'

@u2(u1(x; y; z); u2(x; y; z))

@u2@z(x; y; z)

de unde@f

@z(x; y; z) = � @'

@u2(xy; x2 + y2 � z2)2z:

Scriind mai scurt aceste relatii, adic¼a@f

@x=

@'

@u1y+

@'

@u22x;

@f

@y=

@'

@u1x+

@'

@u22y

si@f

@z(x; y; z) = � @'

@u22z; obtinem

xz@f

@x�yz@f

@y+(x2�y2)@f

@z= xz

�@'

@u1y +

@'

@u22x

��yz

�@'

@u1x+

@'

@u22y

�+ (x2�

y2)

�� @'

@u22z

�= 0.

Derivate partiale de ordin superior. Fie f : D ! R, D � Rn multimedeschis¼a. S¼a presupunem c¼a derivata partial¼a

@f

@xiexist¼a pe D. Dac¼a derivata

partial¼a în raport cu variabila xj a functiei@f

@xiîn punctul a 2 D exist¼a, atunci

ea se noteaz¼a@2f

@xj@xi(a) si se numeste derivata partial¼a de ordinul doi în raport cu

variabilele xi; xj a functiei f în punctul a. Dac¼a i = j; atunci se noteaz¼a@2f

@x2i(a).

Aceeasi idee conduce la de�nirea derivatelor partiale de ordinul trei, patru, etc.Dac¼a f este o functie de dou¼a variabile (n = 2) notate x; y; atunci f are derivatele

partiale (presupunând c¼a toate exist¼a pe D) de ordinul unu@f

@xsi@f

@y; derivatele

partiale de ordinul doi@2f

@x2;@2f

@y@x;@2f

@x@y,@2f

@y2; derivatele partiale de ordinul trei

@3f

@x3;@3f

@y@x2;

@3f

@x@y@x;@3f

@x2@y;@3f

@y2@x;

@3f

@y@x@y;@3f

@x@y2,@3f

@y3etc.

Derivatele partiale în raport cu variabile diferite (cum ar �@2f

@y@x;

@3f

@x@y2) se

numesc derivate partiale mixte. Derivatele partiale mixte în care apar aceleasi vari-

abile de acelasi num¼ar de ori (cum ar �@2f

@y@xsi

@2f

@x@y; sau

@3f

@x2@ysi

@3f

@x@y@x) pot

s¼a �e egale sau nu.

Exemple. 1) Fie f : R2 ! R,

f(x; y) =

8>><>>:xy(x2 � y2)

x2 + y2; (x; y) 6= (0; 0)

0; (x; y) = (0; 0)

:

3

Prin calcul obtinem (se aplic¼a regulile cunoscute de drivare) pentru (x; y) 6= (0; 0)

@f

@x(x; y) =

y(x4 � y4 + 4x2y2)

(x2 + y2)2;

@f

@y=x(x4 � y4 � 4x2y2)

(x2 + y2)2:

Apoi

@f

@x(0; 0) = lim

x!0

f(x; 0)� f(0; 0)

x� 0 = 0;@f

@y(0; 0) = lim

y!0

f(0; y)� f(0; 0)

y � 0 = 0:

Vom calcula acum derivatele partiale mixte de ordinul doi în (0; 0).

@2f

@y@x(0; 0) =

@

@y

�@f

@x

�(0; 0) = lim

y!0

@f

@x(0; y)� @f

@x(0; 0)

y � 0 = limy!0

�yy= �1

si

@2f

@x@y(0; 0) =

@

@x

�@f

@y

�(0; 0) = lim

x!0

@f

@y(x; 0)� @f

@y(0; 0)

x� 0 = limx!0

x

x= 1:

Vedem c¼a@2f

@y@x(0; 0) 6= @2f

@x@y(0; 0).

2) Fie f : R2 ! R, f(x; y) = x3�xy3+ y2. f are derivate partiale de orice ordin

în orice punct din R2. Avem@f

@x= 3x2 � y3;

@f

@y= �3xy2 + 2y; @2f

@y@x= �3y2;

@2f

@x@y= �3y2 si are loc egalitatea @2f

@y@x=

@2f

@x@ype tot R2.

Functii de clas¼a Cm. Se spune c¼a functia f : D ! R,D � Rn multime deschis¼a,este de clas¼a Cm pe D si se noteaz¼a f 2 Cm(D) dac¼a f are derivate partiale de ordinmai mic sau egal cu m si toate aceste derivate partiale sunt continue pe D.

Teorem¼a. Dac¼a f 2 Cm(D); atunci derivatele partiale mixte de ordin cel multm nu depind de ordinea de derivare.

5.2. Diferentiabilitatea functiilor de mai multe variabile

Fie f : D ! R, D � Rn multime deschis¼a si a = (a1; : : : ; an) 2 D.

Functie diferentiabil¼a. Functia f este diferentiabil¼a în punctul a dac¼a exist¼anumerele reale �1; : : : ; �n si o functie ! : D ! R continu¼a în a si nul¼a în acest punctastfel încât pentru orice (x1; : : : ; xn) 2 D s¼a aib¼a loc

f(x1; : : : ; xn)� f(a1; : : : ; an) = �1 (x1 � a1) + : : :+ �n (xn � an) +

+!(x1; : : : ; xn)

q(x1 � a1)

2 + : : :+ (xn � an)2:

O functie diferentiabil¼a în sensul dat aici se mai numeste diferentiabil¼a forte saudiferentiabil¼a Fréchet.

4

Pentru a urm¼ari mai usor exemplul de mai jos, vom relua de�nitia diferentiabi-lit¼atii pentru cazul n = 2.Fie f : D ! R, D � R2 multime deschis¼a si (a; b) 2 D. Functia f este

diferentiabil¼a în punctul (a; b) dac¼a exist¼a numerele reale � si � si o functie ! : D !R continu¼a în (a; b) si nul¼a în acest punct (adic¼a lim

(x;y)!(a;b)!(x; y) = !(a; b) = 0)

astfel încât pentru orice (x; y) 2 D s¼a aib¼a loc

f(x; y)� f(a; b) = � (x� a) + � (y � b) + !(x; y)

q(x� a)2 + (y � b)2:

Exemplu. Functia f : R2 ! R, f(x; y) = (x� 2)2 + (y + 1)2 este diferentiabil¼aîn (1; 2). Într-adev¼ar, avem

f(x; y)� f(1; 2) = (�2) (x� 1) + 6 (y � 2) + !(x; y)q(x� 1)2 + (y � 2)2;

unde !(x; y) =q(x� 1)2 + (y � 2)2 (egalitatea se veri�c¼a prin calcul). Cum s-au

g¼asit � = �2 si � = 6 se va vedea mai departe.

Teorem¼a. a) Dac¼a f este diferentiabil¼a în a; atunci f este continu¼a în a.

b) Dac¼a f este diferentiabil¼a în a; atunci f are derivate partiale în a si@f

@xi(a) =

�i; i = 1; : : : ; n (�i; i = 1; : : : ; n, sunt cele din de�nitia diferentiabilit¼atii).

c) Dac¼a f are derivate partiale@f

@xiîntr-o vecin¼atate a lui a si dac¼a aceste derivate

sunt continue în a; atunci f este diferentiabil¼a în a.

Vom demonstra punctele a) si b) pentru cazul f : D ! R, D � R2.a) Dac¼a f este diferentiabil¼a în (a; b), atunci f(x; y) = f(a; b) + � (x� a) +

� (y � b) + !(x; y)q(x� a)2 + (y � b)2 si, deorece lim

(x;y)!(a;b)!(x; y) = 0;

lim(x;y)!(a;b)

f(x; y) = f(a; b) deci f este continu¼a în (a; b).

b)@f

@x(a; b) = lim

x!a

f(x; b)� f(a; b)

x� a= lim

x!a

� (x� a) + !(x; b) jx� ajx� a

=

limx!a

��+ !(x; b)

jx� ajx� a

�= �. Analog

@f

@y(a; b) = �.

Tinând cont de teorema precedent¼a, putem spune c¼a functia f : D ! R, D � R2,este diferentiabil¼a în punctul (a; b) 2 D dac¼a exist¼a

@f

@x(a; b) si

@f

@y(a; b) si

lim(x;y)!(a;b)

f(x; y)� f(a; b)� @f

@x(a; b) (x� a)� @f

@y(a; b) (y � b)q

(x� a)2 + (y � b)2= 0:

Exemple. 1) Functia

f(x; y) =

8<:0; dac¼a x = 0 sau y = 0

1; dac¼a x 6= 0 si y 6= 0

5

nu este diferentiabil¼a în (0; 0) pentru c¼a nu este continu¼a în (0; 0). Într-adev¼ar,

limn!1

f(1

n;1

n) = lim

n!11 = 1 6= f(0; 0) = 0.

2) Pentru a ar¼ata c¼a functia f : R2 ! R, f(x; y) = (x� 2)2 + (y + 1)2 estediferentiabil¼a în (1; 2) vom calcula mai întâi derivatele partiale ale lui f în (1; 2);

@f

@x(x; y) = 2 (x� 2) ; @f

@y(x; y) = 2 (y + 1) ;

@f

@x(1; 2) = �2; @f

@y(1; 2) = 6 si apoi

lim(x;y)!(1;2)

f(x; y)� f(1; 2)� @f

@x(1; 2) (x� 1)� @f

@y(1; 2) (y � 2)q

(x� 1)2 + (y � 2)2=

= lim(x;y)!(1;2)

(x� 2)2 + (y + 1)2 � 10 + 2 (x� 1)� 6 (y � 2)q(x� 1)2 + (y � 2)2

= lim(x;y)!(1;2)

q(x� 1)2 + (y � 2)2 = 0:

3) Functia

f(x; y) =

8>><>>:xypx2 + y2

; (x; y) 6= (0; 0)

0; (x; y) = (0; 0)

nu este diferentiabil¼a în (0; 0).

Functia are derivate partiale în (0; 0) si acestea sunt@f

@x(0; 0) = 0,

@f

@y(0; 0) = 0;

dar

lim(x;y)!(0;0)

f(x; y)� f(0; 0)� @f

@x(0; 0)x� @f

@y(0; 0)yp

x2 + y2= lim

(x;y)!(0;0)

xypx2 + y2px2 + y2

=

= lim(x;y)!(0;0)

xy

x2 + y2

si limita nu exist¼a.4) Putem s¼a ar¼at¼am c¼a functia f : R2 ! R, f(x; y) = (x� 2)2 + (y + 1)2 este

diferentiabil¼a în (1; 2) folosind punctul c) al Teoremei. f are derivate partiale în

tot R2 si acestea sunt@f

@x(x; y) = 2 (x� 2) ; @f

@y(x; y) = 2 (y + 1) deci sunt continue

peste tot R2, asa c¼a si în (1; 2).

Derivata unei functii într-un punct. S¼a revenim acum la de�nitia faptuluic¼a functia f : D ! R, D � Rn, este diferentiabil¼a în a 2 D. Observând c¼aq(x1 � a1)

2 + : : :+ (xn � an)2 = kx� ak (x = (x1; : : : ; xn); a = (a1; : : : ; an)), unde

k�k este norma euclidian¼a pe Rn si notând � =��1 : : : �n

�(� este o matrice

linie cu n elemente), (x� a)t =�x1 � a1 : : : xn � an

�t((x� a) este o matrice

linie cu n elemente, iar (x� a)t este transpusa ei, adic¼a o matrice coloan¼a cu n

6

elemente) putem spune c¼a f este diferentiabil¼a în a dac¼a exist¼a o functie ! : D ! Rcontinu¼a în a si nul¼a în acest punct astfel încât pentru orice x 2 D s¼a aib¼a loc

f(x)� f(a) = � (x� a)t + !(x) kx� ak :

Notând �a(x) = !(x) kx� ak ; observ¼am c¼a �a(a) = 0 si c¼a pentu x 6= a�a(x)

kx� ak = !(x) deci limx!a

�a(x)

kx� ak = 0.

Matricea linie�

@f

@x1(a) : : :

@f

@xn(a)

�se numeste derivata lui f în a si se

noteaz¼a f 0(a). Tinând cont de teorema enuntat¼a mai sus, avem � = f 0(a). Putemastfel reformula de�nitia diferentiabilit¼atii lui f în a:Functia f : D ! R, D � Rn, este diferentiabil¼a în a 2 D dac¼a exist¼a f 0(a) si o

functie �a : D ! R, �a(a) = 0 si limx!a

�a(x)

kx� ak = 0, astfel încât pentru orice x din D

f(x)� f(a) = f 0(a) (x� a)t + �a(x):

Exemplu. Derivata functiei f : R2 ! R, f(x; y) = (x� 2)2 + (y + 1)2 în (1; 2)este f 0(1; 2) =

��2 6

�.

Diferentiala unei functii într-un punct. Functia (df) (a) : Rn ! R de�nit¼aprin

(df) (a)(h1; : : : ; hn) =@f

@x1(a)h1 + : : :+

@f

@xn(a)hn

pentru orice (h1; : : : ; hn) 2 Rn, se numeste diferentiala (de ordinul întâi) a lui f îna.Diferentiala de�nit¼a aici se numeste diferentiala forte sau Fréchet (spre deosebire

de alt tip de diferential¼a care se poate de�ni numit¼a diferentiala slab¼a sau Gâteaux).

Observatie. Din punctul de vedere al "Algebrei liniare" functia (df) (a) esteo aplicatie liniar¼a (transformare liniar¼a), mai precis o form¼a liniar¼a (pentru c¼a iavalori în R).

Notând cu dxi : Rn ! R, dxi(h1; : : : ; hn) = hi; (aceast¼a functie este "proiectia"de component¼a i a lui Rn) i = 1; : : : ; n; putem scrie

(df) (a) =@f

@x1(a)dx1 + : : :+

@f

@xn(a)dxn:

Exemplu. Diferentiala functiei f : R2 ! R, f(x; y) = (x� 2)2+(y + 1)2 în (1; 2)este functia (df) (1; 2) : R2 ! R de�nit¼a prin

(df) (1; 2) =@f

@x(1; 2)dx+

@f

@y(1; 2)dy = �2dx+ 6dy:

Dac¼a (h1; h2) 2 R2; atunci

(df) (1; 2)(h1; h2) = �2h1 + 6h2:

7

Cu notatia dx = (dx1 : : : dxn)t; avem

(df) (a) = f 0(a)dx:

5.3. Diferentiale de ordin superior si dezvolt¼ari Taylor

Fie f : D ! R, D � Rn multime deschis¼a, o functie de clas¼a Ck; k 2 N�; sia 2 D. Folosind ca si mai sus notatia dxi pentru proiectia de component¼a i a luiRn; de�nim diferentiala de ordinul k a lui f în a prin

�dkf

�(a) =

Xi1;:::;ik

@kf

@xi1 : : : @xik(a)dxi1 : : : dxik :

�dkf

�(a) este o functie de�nit¼a pe Rn si care ia valori reale. Dac¼a (h1; : : : ; hn) 2

Rn; atunci

�dkf

�(a)(h1; : : : ; hn) =

Xi1;:::;ik

@kf

@xi1 : : : @xik(a)hi1 : : : hik :

S¼a vedem cum arat¼a diferentialele de ordinul unu, doi si trei ale unei functii dedou¼a vriabile (n = 2). Avem

(df) (a) =@f

@x(a)dx+

@f

@y(a)dy;

�d2f

�(a) =

@2f

@x2(a) (dx)2 + 2

@2f

@x@y(a)dxdy +

@2f

@y2(a) (dy)2 ;

�d3f

�(a) =

@3f

@x3(a) (dx)3 + 3

@3f

@x2@y(a) (dx)2 dy +

+3@3f

@x@y2(a)dx (dy)2 +

@3f

@y3(a) (dy)3 :

Exemplu. Fie f : R2 ! R, f(x; y) = x3 � xy3 + y2. Vom scrie diferentialele de

ordinul unu, doi si trei ale acestei functii în (1; 1). Avem@f

@x= 3x2 � y3;

@f

@y=

�3xy2 + 2y; @2f

@x2= 6x;

@2f

@x@y= �3y2; @

2f

@y2= �6xy + 2; @

3f

@x3= 6;

@3f

@x2@y=

0;@3f

@x@y2= �6y; @

3f

@y3= �6x si @f

@x(1; 1) = 2;

@f

@y(1; 1) = �1; @

2f

@x2(1; 1) = 6;

@2f

@x@y(1; 1) = �3; @

2f

@y2(1; 1) = �4; @

3f

@x3(1; 1) = 6;

@3f

@x2@y(1; 1) = 0;

@3f

@x@y2(1; 1) =

�6; @3f

@y3(1; 1) = �6.

(df) (1; 1) = 2dx� dy;�d2f

�(1; 1) = 6 (dx)2 � 6dxdy � 4 (dy)2 ;

8

�d3f

�(1; 1) = 6 (dx)3 � 6dx (dy)2 � 6 (dy)3 :

Dac¼a (h1; h2) 2 R2; atunci

(df) (1; 1)(h1; h2) = 2h1 � h2;�d2f

�(1; 1)(h1; h2) = 6h

21 � 6h1h2 � 4h22;�

d3f�(1; 1)(h1; h2) = 6h

31 � 6h1h22 � 6h32:

Pentru o functie de dou¼a variabile se poate obtine expresia diferentialei�dkf

�(a)

ridicând formal la puterea k expresia@f

@x(a)dx +

@f

@y(a)dy cu ajutorul formulei bi-

nomului lui Newton. Prin ridicare formal¼a la puterea k întelegem c¼a în loc de�@f

@x(a)

�kvom scrie

@kf

@xk(a) si în loc de

�@f

@x(a)

�m�@f

@x(a)

�p; m + p = k; vom

scrie@kf

@xm@yp(a). Cu aceast¼a conventie putem scrie

�dkf

�(a) =

�@f

@x(a)dx+

@f

@y(a)dy

�k.

Pentru o functie de trei variabile vom scrie diferentialele de ordinul unu si doi:

(df) (a) =@f

@x(a)dx+

@f

@y(a)dy +

@f

@z(a)dz;

�d2f

�(a) =

@2f

@x2(a) (dx)2 +

@2f

@y2(a) (dy)2 +

@2f

@z2(a) (dz)2 +

+2@2f

@x@y(a)dxdy + 2

@2f

@x@z(a)dxdz + 2

@2f

@y@z(a)dydz:

Si pentru o functie de n variabile putem obtine expresia diferentialei de ordinulk prin ridicarea formal¼a la puterea k a expresiei diferentialei de ordinul unu,

�dkf

�(a) =

�@f

@x1(a)dx1 + : : :+

@f

@xn(a)dxn

�k:

Teorem¼a (Formula lui Taylor pentru functii de mai multe variabile).Fie f : D ! R, D � Rn multime deschis¼a, o functie de clas¼a Ck+1 în bila deschis¼aBr(a) � D. Atunci pentru orice x 2 Br(a) exist¼a t 2 (0; 1) astfel încât

f(x) = f(a) +1

1!(df) (a) (x� a) +

1

2!

�d2f

�(a) (x� a) + : : :

: : :+1

k!

�dkf

�(a) (x� a) +

1

(k + 1)!

�dk+1f

�(c) (x� a) ;

9

unde c = (c1; : : : ; cn), ci = ai + t(xi � ai); dac¼a x = (x1; : : : ; xn) si a = (a1; : : : ; an);i = 1; : : : ; n.

S¼a scriem formula lui Taylor de ordinul 2 (k = 2) pentru o functie de dou¼avariabile în punctul (a; b). Avem

f(x; y) = f(a; b) +1

1!

�@f

@x(a; b) (x� a) +

@f

@y(a; b) (y � b)

�+

+1

2!

�@2f

@x2(a; b) (x� a)2 + 2

@2f

@x@y(a; b) (x� a) (y � b) +

@2f

@y2(a; b) (y � b)2

�+

+1

3!

�@3f

@x3(c; d) (x� a)3 + 3

@3f

@x2@y(c; d) (x� a)2 (y � b)+

+ 3@3f

@x@y2(c; d) (x� a) (y � b)2 +

@3f

@y3(c; d) (y � b)3

�;

unde c = a+ t(x� a); d = b+ t(y � b); t 2 (0; 1); dezvoltarea �ind valabil¼a pentruorice (x; y) cu (x� a)2+(y � b)2 < r dac¼a f este de clas¼a C3 în bila deschis¼a Br(a; b).

Exemplu. Vom scrie formula lui Taylor de ordinul 2 pentru functia f : R2 ! R,f(x; y) = x3 � xy3 + y2 în punctul (1; 1). Folosim calculele din exemplul precedent.G¼asim

f(x; y) = f(1; 1) +1

1!

�@f

@x(1; 1) (x� 1) + @f

@y(1; 1) (y � 1)

�+

+1

2!

�@2f

@x2(1; 1) (x� 1)2 + 2 @

2f

@x@y(1; 1) (x� 1) (y � 1) + @2f

@y2(1; 1) (y � 1)2

�+

+1

3!

�@3f

@x3(c; d) (x� 1)3 + 3 @3f

@x2@y(c; d) (x� 1)2 (y � 1)+

+ 3@3f

@x@y2(c; d) (x� 1) (y � 1)2 + @3f

@y3(c; d) (y � 1)3

�;

unde c = 1 + t(x � 1); d = 1 + t(y � 1); t 2 (0; 1). Înlocuind functia si valoriledrivatelor partiale, obtinem

x3�xy3+y2 = 1+(2 (x� 1)� (y � 1))+12

�6 (x� 1)2 � 6 (x� 1) (y � 1)� 4 (y � 1)2

�+

+1

6

�6 (x� 1)3 � 18 (1 + t (y � 1)) (x� 1) (y � 1)2 � 6 (1 + t (x� 1)) (y � 1)3

�;

unde t 2 (0; 1).

5.4. Functii implicite

Fie F : D � R2 ! R. Se pune urm¼atoarea problem¼a: în ce conditii exist¼ao functie f : I ! J; I si J intervale din R pentru care I � J � D; astfel încâtF (x; f(x)) = 0 pentru orice x 2 I. Functia f de�nit¼a în acest mod se spune c¼a estede�nit¼a implicit de ecuatia F (x; y) = 0 sau c¼a f este o functie implicit¼a.

10

Exemplu. Fie F : R2 ! R, F (x; y) = x2 + y2 � 1. Multimea punctelor dinplan care veri�c¼a ecuatia F (x; y) = 0 este cercul cu centrul în origine si raz¼a 1.Luând I = (�1; 1); J = (0; 1) si f : (�1; 1) ! (0; 1); f(x) =

p1� x2; avem

F (x; f(x)) = 0 pentru orice x 2 (�1; 1); deci functia f este de�nit¼a implicit deecuatia x2 + y2 � 1 = 0.Dac¼a lu¼am I = (�1; 1); J = (�1; 0) si g : (�1; 1) ! (�1; 0); g(x) = �

p1� x2;

avem F (x; g(x)) = 0 pentru orice x 2 (�1; 1); deci si functia g este de�nit¼a implicitde ecuatia x2 + y2 � 1 = 0.

Din exemplul de mai sus se vede c¼a o ecuatie de forma F (x; y) = 0 poatede�ni implicit mai multe functii. Asadar, în cazul existentei functiei f pentru careF (x; f(x)) = 0 dac¼a x 2 I, se mai poate pune si problema unicit¼atii acestei functii.În plus, este �resc s¼a ne punem problema calit¼atilor acestei functii cum ar � deri-vabilitatea ei. R¼aspunsurile sunt date de

Teorema functiilor implicite. Fie F : D � R2 ! R, D multime deschis¼a, Fde clas¼a C1 pe D. Presupunem c¼a exist¼a un punct (a; b) 2 D astfel încât F (a; b) = 0

si@F

@y(a; b) 6= 0.

Atunci exist¼a I si J intervale deschise din R pentru care I�J � D; a 2 I; b 2 Jsi o unic¼a functie f : I ! J cu propriet¼atile:a) f(a) = b;b) F (x; f(x)) = 0 pentru orice x 2 I;

c) f este de clas¼a C1 si f 0(x) = �@F

@x(x; f(x))

@F

@y(x; f(x))

pentru orice x 2 I.

Vom justi�ca aici doar expresia derivatei f 0(x). Conform formulei de derivare afunctiilor compuse, dac¼a g(x) = F (u(x); v(x)); atunci

g0(x) =@F

@x(u(x); v(x))u0(x) +

@F

@y(u(x); v(x))v0(x):

Deriv¼am acum ambii membrii ai egalit¼atii F (x; f(x)) = 0 aplicând aceast¼a formul¼ade derivare si obtinem

@F

@x(x; f(x)) +

@F

@y(x; f(x))f 0(x) = 0:

De aici se obtine expresia lui f 0(x).

Exemple. 1) S¼a consider¼am din nou functia din exemplul precedent. Dac¼a lu¼am

punctul (0; 1); atunci F (0; 1) = 0 si@F

@y(0; 1) = 2 6= 0. Functia cu proprietatea

f(0) = 1 de�nit¼a implicit de ecuatia F (x; y) = 0 este f(x) =p1� x2. Avem

f 0(x) = � 2x

2f(x)= � xp

1� x2.

11

Pentru (0;�1); F (0;�1) = 0 si @F@y(0;�1) = �2 6= 0. Functia cu proprietatea

g(0) = �1 de�nit¼a implicit de ecuatia F (x; y) = 0 este g(x) = �p1� x2. Avem

g0(x) = � 2x

2g(x)=

xp1� x2

.

2) S¼a se calculeze f 0(1) si f 00(1) pentru functia f de�nit¼a implicit de ecuatia

x2 � 2xy + y2 + x+ y � 2 = 0

si care îndeplineste conditia f(1) = 0:

Dac¼a F (x; y) = x2�2xy+y2+x+y�2; atunci F (1; 0) = 0 si @F@y(x; y) = �2x+

2y + 1;@F

@y(1; 0) = �1 6= 0. Atunci f 0(x) = �

@F

@x(x; f(x))

@F

@y(x; f(x))

= � 2x� 2f(x) + 1�2x+ 2f(x) + 1 =

2x� 2f(x) + 12x� 2f(x)� 1 si f

0(1) =2 + 1

2� 1 = 3.

f 00(x) =(2� 2f 0(x)) (2x� 2f(x)� 1)� (2x� 2f(x) + 1) (2� 2f 0(x))

(2x� 2f(x)� 1)2si f 00(1) =

(2� 6) (2� 1)� (2� 6) (2 + 1)(2� 1)2

= 8.

Fie acum F : D ! R, D � Rn+1 deschis¼a. Conditiile în care exist¼a o functief : E ! I; E � Rn deschis¼a; I interval din R; E � I � D; astfel încâtF (x1; : : : ; xn; f(x1; : : : ; xn)) = 0 pentru orice (x1; : : : ; xn) 2 E, sunt asem¼an¼atoarecu cazul n = 1. Functia f de�nit¼a în acest mod se spune c¼a este de�nit¼a implicit deecuatia F (x1; : : : ; xn; y) = 0 sau c¼a f este o functie implicit¼a.Astfel, dac¼a F este de clas¼a C1 pe D si exist¼a un punct (a1; : : : ; an; b) 2 D astfel

încât F (a1; : : : ; an; b) = 0 si@F

@y(a1; : : : ; an; b) 6= 0, atunci exist¼a E � Rn deschis¼a si

I interval deschis din R pentru care E � I � D; (a1; : : : ; an) 2 E; b 2 I si o unic¼afunctie f : E ! I cu propriet¼atile:a) f(a1; : : : ; an) = b;b) F (x1; : : : ; xn; f(x1; : : : ; xn)) = 0 pentru orice (x1; : : : ; xn) 2 E;

c) f este de clas¼a C1 si@f

@xi(x1; : : : ; xn) = �

@F

@xi(x1; : : : ; xn; f(x1; : : : ; xn))

@F

@y(x1; : : : ; xn; f(x1; : : : ; xn))

pentru

orice (x1; : : : ; xn) 2 E.

Exemple. 1) Fie F : R3 ! R, F (x; y; z) = x2 + y2 � z2 � 3xyz. F (0; 1; 1) = 0si@F

@z(0; 1; 1) = �2 6= 0 (

@F

@z(x; y; z) = �2z � 3xy). Atunci exist¼a E � R2 des-

chis¼a si I interval deschis din R astfel încât (0; 1) 2 E; 1 2 I si f : E ! Icu propriet¼atile f(0; 1) = 1; x2 + y2 � f 2(x; y) � 3xyf(x; y) = 0 pentru orice

(x; y) 2 E si@f

@x(x; y) = �

@F

@x(x; y; f(x; y))

@F

@z(x; y; f(x; y))

= � 2x� 3yf(x; y)�2f(x; y)� 3xy ;

@f

@y(x; y) =

12

�

@F

@y(x; y; f(x; y))

@F

@z(x; y; f(x; y))

= � 2y � 3xf(x; y)�2f(x; y)� 3xy .

S¼a calcul¼am acum@f

@x(0; 1);

@f

@y(0; 1) si

@2f

@x@y(0; 1). Avem

@f

@x(0; 1) =

2 � 0� 3 � 1 � f(0; 1)2f(0; 1) + 3 � 0 � 1 = �3

2,@f

@y(0; 1) =

2 � 1� 3 � 0 � f(0; 1)2f(0; 1) + 3 � 0 � 1 = 1.

Apoi@2f

@x@y(x; y) =

@

@x

�@f

@y(x; y)

�=

@

@x

�2y � 3xf(x; y)2f(x; y) + 3xy

�=�

�3f(x; y)� 3x@f@x(x; y)

�(2f(x; y) + 3xy)� (2y � 3xf(x; y))

�2@f

@x(x; y) + 3y

�(2f(x; y) + 3xy)2

si

g¼asim@2f

@x@y(0; 1) =

�3 � 2� 2�2

��32

�+ 3

�22

= �32.

2) S¼a ar¼at¼am c¼a functia z de�nit¼a implicit de ecuatia �(x � az; y � bz) = 0;unde � este o functie de clas¼a C1pe R2; iar a si b sunt numere reale nenule, satisfaceecuatia

a@z

@x+ b

@z

@y= 1:

Aici avem F (x; y; z) = �(x� az; y � bz). Atunci

@z

@x= �

@F

@x(x; y; z)

@F

@z(x; y; z)

= �@�

@u

�a@�@u

� b@�

@v

si@z

@y= �

@F

@y(x; y; z)

@F

@z(x; y; z)

= �@�

@v

�a@�@u

� b@�

@v

,

unde am notat cu u si v variabilele functiei �. În �nal, g¼asim c¼a

a@z

@x+ b

@z

@y= a

0B@ @�

@u

a@�

@u+ b

@�

@v

1CA+ b

0B@ @�

@v

a@�

@u+ b

@�

@v

1CA = 1.

13

5.5. Exercitii

1. Derivate partiale

a) Folosind de�nitia, s¼a se calculeze@f

@x(1; 1) si

@f

@y(1; 1) pentru f(x; y) =

px2 + y2.

b) S¼a se calculeze@f

@x(0; 0) si

@f

@y(0; 0) pentru

1)

f(x; y) =

8<:0; dac¼a x = 0 sau y = 0

1; dac¼a x 6= 0 si y 6= 0.

2)

f(x; y) =

8><>:xy

x2 + y2; dac¼a x2 + y2 6= 0

0; dac¼a x = 0 si y = 0

c) S¼a se calculeze derivatele partiale@f

@xsi@f

@yîntr-un punct oarecare:

1) f(x; y) = x3+y2�3axy 2) f(x; y) = x� y

x+ y3) f(x; y) = xy 4) f(x; y) =

x2 + y2

x2 � y2

5) f(x; y) =xp

x2 + y26) f(x; y) = esin

yx 7) f(x; y) =

px2 � y2 8) f(x; y) =

arcsin

sx2 � y2

x2 + y29) f(x; y) = ln

�x+

px2 + y2

�.

d) S¼a se calculeze derivatele partiale@f

@x;@f

@ysi@f

@zîntr-un punct oarecare:

1) f(x; y; z) = x3y2z+2x� 3y+ z+5 2) f(x; y; z) = (xy)z 3) f(x; y; z) = zxy 4)

f(x; y; z) = ln (xy + z) 5) f(x; y; z) =1p

x2 + y2 + z2.

e) S¼a se arate c¼a functia u îndeplineste conditia al¼aturat¼a:

1) u(x; y; z) = (x� y) (y � z) (z � x) ;@u

@x+@u

@y+@u

@z= 0.

2) u(x; y; z) = x+x� y

y � z;@u

@x+@u

@y+@u

@z= 1.

2. Derivarea functiilor compuse

a) S¼a se calculeze f 0(t) dac¼a

1) f(t) = F (et; ln t) 2) f(t) = eF (cos t; t2) 3) f(t) = ln sin

u(t)

v(t)4) f(t) = (u(t))v(t) ;

u(t) = sin t; v(t) = cos t 5) f(t) = F (t2 + 1; ln t; sin t) 6) f(t) =w(t)p

u2(t) + v2(t).

14

b) S¼a se calculeze@f

@xsi@f

@ydac¼a

1) f(x; y) = F (x2�y2; exy) 2) f(x; y) = lnF (x2+y; xy) 3) f(x; y) = arctgu(x; y)v(x; y)

4) f(x; y) = u(x; y)v(x;y) 5) f(x; y) = F (x2; xy; x+y) 6) f(x; y) = F (x; '(x); (x; y)).

c) S¼a se calculeze@f

@x;@f

@ysi@f

@zdac¼a

1) f(x; y; z) = F (x2+ y2+ z2; x+ y+ z) 2) f(x; y; z) = F (xyz; x+ y� z; cos yz)3) f(x; y; z) = F (x+ y; '(xz); (x+ z; y + z)).

d) S¼a se arate c¼a functiile urm¼atoare satisfac relatiile scrise în dreptul �ec¼areia:

1) f(x; y) = F (x+ ay);@f

@y= a

@f

@x.

2) f(x; y) = y' (x2 � y2) ;1

x

@f

@x+1

y

@f

@y=

f

y2.

3) f(x; y) = xy' (x2 � y2) ; xy2@f

@x+ x2y

@f

@y= (x2 + y2) f .

3. Derivate partiale de ordin superior

a) S¼a se calculeze derivatele partiale de ordinul doi@2f

@x2;@2f

@x@y;@2f

@y@xsi@2f

@y2ale

functiei

1) f(x; y) = ln (x2 + y2) 2) f(x; y) =p2xy + y2 3) f(x; y) = arctg

x+ y

1� xy.

b) S¼a se calculeze derivatele partiale de ordinul doi ale functiei f(x; y; z) =px2 + y2 + z2.

c) S¼a se calculeze@3f

@x@y@zpentru f(x; y; z) = x�y�z .

d) S¼a se calculeze@3f

@x@y2pentru f(x; y; z) = sin (xy).

e) S¼a se arate c¼a functiile urm¼atoare satisfac ecuatia lui Laplace@2f

@x2+@2f

@y2= 0.

1) f(x; y) = arctgy

x2) f(x; y) =

q(x� a)2 + (y � b)2 3) f(x; y) =

x

x2 + y24)

f(x; y) = ex cos y 5) f(x; y) = ex sin y.

f) S¼a se arate c¼a functia f(x; y) =x

y

hu(y) + v(

y

x)i; u; v 2 C2(R); veri�c¼a relatia

x2@2f

@x2+ xy

@2f

@x@y� y

@f

@y= 0:

4. Functii diferentiabile

15

a) Folosind de�nitia, s¼a se arate c¼a functia f(x; y; z) = ax + by + cz este difer-entiabil¼a în (x0; y0; z0).

b) S¼a se arate c¼a functia f este diferentiabil¼a în (0; 0) :

1) f(x; y) =

8>><>>:(x2 + y2) sin

1

x2 + y2; dac¼a x2 + y2 6= 0

0; dac¼a x2 + y2 = 0

.

2) f(x; y) =

8>><>>:xy(x2 � y2)

x2 + y2; (x; y) 6= (0; 0)

0; (x; y) = (0; 0)

.

c) S¼a se arate c¼a functia f(x; y) = cosxy este diferentiabil¼a pe R2.

d) S¼a se arate c¼a functia f nu este diferentiabil¼a în (0; 0).

1) f(x; y) =

8><>:x

x+ y; x+ y 6= 0

0; x+ y = 0

.

2) f(x; y) =px2 + y2.

3) f(x; y) =

8>><>>:x3

x2 + y2; (x; y) 6= (0; 0)

0; (x; y) = (0; 0)

.

5. Diferentiala si derivata unei functii de mai multe variabile

S¼a se scrie derivata si diferentiala functiei f în punctul a:

1) f(x; y) = cosxy; a = (p�

2;

p�

3).

2) f(x; y; z) = 2x+ 7y � z; a = (1; 1; 1).3) f(x; y; z) = ln(1 + x2 + y2 + z2); a = (2; 1; 3).4) f(x; y; z; u) =

px2 + y2 + z2 + u2; a = (5;�1; 3; 2).

6. Diferentiale de ordin superior si dezvolt¼ari Taylor

a) S¼a se scrie diferentialele de ordinul doi si trei ale functiei f în punctul a:1) f(x; y) = x3 + y3 � 2xy(x� y); a = (2;�1).2) f(x; y) = e2x+3y; a = (1; 1).3) f(x; y; z) = x2 + y2 + z2 � xy + xz; a = (1; 2; 1).4) f(x; y; z) = '(x+ y + z); a = (5; 7; 3).

b) S¼a se scrie formula lui Taylor de ordinul m pentru functia f în punctul a:1) m = 3; f(x; y) = ex cos y; a = (0; �).2) m = 3; f(x; y) = e2x ln(1 + y); a = (0; 0).3) m = 2; f(x; y; z) = x3 + y3 + z3 � 3xyz, a = (1; 1; 1).

16

7. Functii implicite

a) S¼a se calculeze f 0(0) pentru functia f de�nit¼a implicit de ecuatia�x2 + y2

�3 � 2 �x2 + y2�+ 1 = 0

si care satisface conditia f(0) = 1.

b) S¼a se calculeze f 0(x); f 00(x) si f 000(x) pentru functia f de�nit¼a implicit de

ecuatiax2

a2+y2

b2= 1.

c) S¼a se calculeze f 0(0); f 00(0) si f 000(0) pentru functia f de�nit¼a implicit deecuatia

x2 � xy + 2y2 + x� y � 1 = 0si pentru care f(0) = 1.

d) S¼a se calculeze@f

@x(�1; 0) si @f

@y(�1; 0) dac¼a f(x; y) este functia de�nit¼a im-

plicit de ecuatia x2 + y2 � z2 + xy = 0 si f(�1; 0) = 1.

e) S¼a se calculeze derivatele partiale de ordinul doi în punctul (2; 0) ale functieif(x; y) de�nit¼a implicit de ecuatia

2x2 + 2y2 + z2 � 8xz � z + 8 = 0

si f(2; 0) = 1.

f) Dac¼a f(x; y) este de�nit¼a implicit de ecuatia ��xz;y

z

�= 0 s¼a se arate c¼a

x@f

@x+ y

@f

@y= f:

g) Dac¼a f(x; y) este de�nit¼a implicit de ecuatia � (x+ y + z; x2 + y2 + z2) = 0s¼a se arate c¼a

(y � f)@f

@x+ (f � x)

@f

@y= x� y:

17