functii derivabile
TRANSCRIPT
ELEMENTE DE ANALIZA MATEMATICAFUNCTII DERIVABILE
Der
ivat
a u
nei
fu
nct
ii in
tr-u
n p
un
ct
DefinitieFie punct de acumulare.
▪Daca exista limita functiei in punctul
, numim valoarea acestei limite derivata functiei f
in punctul si o notam .
▪Daca exista si este finita, spunem ca f este
derivabila in .
▪Daca , functia f nu este derivabila in
, dar are derivata in acest punct.
Deci:
TeoremaDaca f este derivabila in , atunci f este continua in acest punct.ConsecintaO functie nu este derivabila in punctele dediscontinuitate.ObservatieReciproca acestei teoreme nu este adevarata.Exista functii continue intr-un punct care nu sunt derivabile in acest punct.Exemplu
este continua in punctul
, dar nu este derivabila in acest punct, pentru ca
Der
ivat
e la
tera
le
Derivata stangaFie punct de acumulare.
▪Daca exista limita stanga a functiei
in punctul , numim valoarea acestei limite derivata stanga a functiei f in punctul si
o notam .
▪ Daca exista si este finita, spunem ca f este
derivabila la stanga in .Deci:
Derivata dreaptaFie punct de acumulare.
▪Daca exista limita dreapta a functiei
in punctul , numim valoarea acestei limite derivata
dreapta a functiei f in punctul si o notam .
▪ Daca exista si este finita, spunem ca f este
derivabila la dreapta in .
Deci:
TeoremaFunctia f are derivata in punctul de acumulare f are derivate laterale egale in acest punct.Consecinta
f este derivabila in punctul de acumulare
1
Inte
rpre
tare
a ge
omet
rica
a d
eriv
atei
intr
-un
pu
nct
Fie unde I este un interval si punct interior intervalului.Presupunem ca f este continua in .
▪Daca f este derivabila in , graficul functiei are in punctul tangenta a carei panta este .
Ecuatia tangentei este: .
▪Daca , graficul functiei are in punctul tangenta verticala, de ecuatie .
Punctul este un punct de inflexiune al graficului.
▪Daca (derivate laterale infinite si diferite), graficul functiei are in punctul
semitangenta verticala. Punctul se numeste punct de intoarcere al graficului.
▪Daca si cel putin una din derivatele laterale este finita, graficul functiei are in punctul
doua semitangente distincte(formeaza un unghi). Punctul se numeste punct unghiular al graficului
Der
ivat
a u
nei
fu
nct
ii p
e o
mu
ltim
e
Fie o submultime cu toate punctele de acumulare.DefinitieSpunem ca f este derivabila pe E daca f este derivabila in orice punct din multimea E.DefinitieFunctia se numeste derivata lui f pe E; operatia prin care se obtine se numeste derivare.ObservatieDerivata functiei intr-un punct este un numar real, iar derivata functiei pe o multime este o functie.
Op
erat
ii c
u f
un
ctii
der
ivab
ile
Fie o submultime cu toate punctele de acumulare.Teorema(derivarea sumei si a produsului)Daca f si g sunt derivabile pe E atunci functiile sunt derivabile pe E si: .Teorema( derivarea catului)
Daca f si g sunt derivabile pe E iar atunci functia este derivabila pe E si
Teorema(derivarea functiei compuse)Fie .Daca f este derivabila pe I iar g este derivabila pe J atunci functia este derivabila pe I si
.Teorema(derivarea functiei inverse)Fie sunt intervale, o functie continua si bijectiva.
Daca f este derivabila pe I si este derivabila pe J si ,
unde .
2
Der
ivat
e d
e or
din
su
per
ior
Derivata de ordinul doiFie o functie derivabila pe multimea si derivata lui f.▪Spunem ca f este de doua ori derivabila in punctul de acumulare daca este derivabila in , adica
exista si este finita. Valoarea acestei limite se numeste derivata de ordinul doi a lui f in
si se noteaza .Deci:
▪Spunem ca f este de doua ori derivabila pe multimea E daca functia este derivabila pe E. Notam cu
functia derivata a lui si o numim derivata a doua a lui f (sau derivata de ordinul doi). Deci .
Derivata de ordinul n , (derivata de ordinul zero); (derivata de ordinul intii sau prima derivata);
;
; ... ; .Daca o functie f este de n ori derivabila pe E, , vom spune ca f este indefinit derivabila pe E.Functiile elementare sunt indefinit derivabile pe domeniul lor de derivabilitate.
Aplicatie (determinarea ordinului de multiplicitate al unei radacini pentru functiile polinomiale)Numarul este radacina multipla de ordinul a functiei polinomiale f .
Formule utile
(Leibniz)
REGULI DE DERIVARE
3
TABEL CU DERIVATELE FUNCŢIILOR ELEMENTARE
Functia Derivata Domeniul de definitie Domeniul de derivabilitatec 0 R Rx 1 R R
R Rcel puţin cel puţin
R* R*
R R*
R RR RR RR R
R R
R R
TABEL CU DERIVATELE FUNCŢIILOR COMPUSE
4
Functia Derivata Domeniul de derivabilitate
u
arcsin u
arccos u
arctg u
arcctg u
5