Funcii convexe cu aplicaii n calculul variational Introducere ...............................................................................................................pag. 2 Capitolul I Funcii convexe de o variabil real .......pag. 3 Definirea funciilor convexe ............................pag. 4 Continuitatea i convexitatea funciilor convexe. ................................pag. 7 Convexitatea funciilor derivabile. .......................................................pag. 8 Capitolul II Funcii convexe de mai multe variabile ...........................................pag.11 Funcie convex...........................................................................................pag.12 Direcie posibil...........................................................................................pag.14 Derivata dup direcie..................................................................................pag.16 Subgradient.................................................................................................pag.17 Extreme globale ale funciilor convexe ......................................................pag.25 Funcii convexe de clas C2, de mai multe variabile ..................................pag.28 Capitolul III Clase speciale de funciiconvexe...................................................pag.29 Inegalitatea lui Young..................................................................................pag.30 Spaii Orlicz..................................................................................................pag.39 Ecuaii de evoluie........................................................................................pag.44Page 1Funcii convexe cu aplicaii n calculul variational Capitolul IV Aplicaii ale funciilorconvexen calcul variaional......................pag.54 Capitolul V Aplicaii............................................................................................pag. 62 Bibliografie .............................................................................................................pag.70Funcii convexe joac un rol important n aproape toate ramurile matematicii, precum i alte domenii ale tiinei i ingineriei.Noiunea de funcie convex este la fel de fundamental, ca i cea defuncie pozitiv sau de cretere afuncie. Din acest motiv noiunea are locul su aparte n teoriafunciilor reale. Teoria funciilor convexe face parte din obiectul general al convexitii, din moment ce o funcie convex este una a crei epigraf este o mulime convex. Cu toate acesteaeste o teorie important n sine. Analiza grafic este unul dintre primele subiectele n matematic careimpune conceptul deconvexitate. Aceastaaregeneralizarepentru cazulde maimultevariabile,caz utilizat n unele probleme de optimizare in teoria controlului.Din acest motivfuncia convex a fost extins la spaii Banachi chiar mai departe. Convexitate dei pare o noiunesimpl, este de fapt o chestiunedestul de complicat, pentru cei care nu au studiat ndeajuns analiza matematic. Page 2Funcii convexe cu aplicaii n calculul variationalLucrarea de fa i propune s trateze aspecte teoreticeale noiunilor de convexitate.Tratarea acestor noiuni este fcut att prin mijloace elementare, ct i prin tehnici de calcul diferenial i integral. Primelecapitolepregtescbazeleteoreticealeacestornoiuni, care vorfiutilizaten ultimul capitolul, rezervat aplicaiilor. S-au pus n evident diferitele concepte de convexitate i condiii minimaledeechivalenalor. Multedintreaplicaii alesesunt problemepropuse elevilor la diferite etape ale Olimpiadei de Matematica n ultimii ani.Page 3Funcii convexe cu aplicaii n calculul variationalDefinirea funciilor convexeDefiniiaI.1. Ofuncie , unde esteuninterval, senumeteconvex, respectiv concav, dac oricare ar fi are loc inegalitatea (I.1)respectiv are loc inegalitatea (I. )oricare fi numerele cu. Se observceste concav dac si numai daceste convex. Prin urmare, este suficient sstudiemnumai funciileconvexe, deoarece proprieti;efunciilor concavevor rezulta innd seam de aceast observaie.Dac n relaia (I.1), respectiv n (I. ), inegalitatea este strict oricarea ar fi cu funciaeste strict convex, respectiv strict concav.De asemenea, relaia (I.1) mai poate fi scris sub forma echivalent (I.2)cu, deci analog(I. ) poate fi scris sub forma echivalent (I. )Page 4Funcii convexe cu aplicaii n calculul variationalcu.Interpretare geometric. DefiniiaI.1. admiteointerpretaregeometricsimplcarepermitesnedmseama numai dupgraficdacofunctieesteconvex(concav) saunu. Funciaesteconvex (concav) dac i numai dac oricare ar fi dou puncte de pe graficul funciei , graficul cuprins intre aceste puncte este situat sub (deasupra) sau pe segmentul determinat de punctele respective. Fig.1Fig.2.ntr-adevr, puncteledeforma cui , inumai acestea, reprezint puncte din intervalul determinat de i , iar punctul se afl pe segmentul determinat de punctelei de pe grafic. Este suficient s comparm poziia punctului Page 5Funcii convexe cu aplicaii n calculul variationalcu a punctului de pe grafic.Observaie. O funcie este convex i concav n acelai timp dac i numai dac graficul ei esteun segment neparalella axa . Prin urmare, singurele funcii convaxe i concave n acelai timp sunt cele de forma ,adic functia polinom de gradul I.Cu alte cuvinte, funcia este convex dac i numai dac oricare ar fi cu , punctul se afl sub sau pe segmentul determinat de i, ca n figura de mai jos.Fig. 3.Se observ c aceasta are loc dac i numai dac ntre pante avem relaia.innd seama de expresia pantei n funcie de coordonatele punctelor, obinem(I.3.)Pe de alt parte, observm ceste convex dac i numai dac, n conditiile precizate asupta punctelor, triunghiuleste orientat pozitiv, ceea ce dup cum se tie din geometrie revine la Page 6Funcii convexe cu aplicaii n calculul variational . (I.4.)Observaii.1.Se poate arta direct prin calcule folosind proprietile determinanilor c (I.3.) i (I.4.) sunt echivalente, fiecare caracteriznd proprietatea de convexitate a funciei .2. Din aceleai considerente geometrice, inegalitatea (I.3.) este echivalent cu fiecare din inegalitile: (I. .) (I. .)Continuitatea i convexitatea funciilor convexe.Lem.Dac esteconvexatunci pentru orice ,funciadefinit prineste cresctoare.Demonstaie.nesen, aceastproprietateestecontinutninegalitileechivalente (I.3.), (I. .), (I. .) sau (I.4.). ntr-adevr , dac, pot aprea urmtoarele situaii:a.b.c.n fiecare caz, lund astel nctfolosim una dininegalitile (I.3.), (I..) sau (I. .) pentru a obine i. Spre exemplu, n cazul a. putem luaPage 7Funcii convexe cu aplicaii n calculul variational,iar din (I. .)obinem:,deci .n cazul b. se folosete inegalitatea (I.3), iar n cazul c. inegalitaea (I. .), obinnd de fiecare dat, adiceste cresctoare.Teorema I.1.Dac este convex, atunci n orice punt interior intervalului admite derivate laterale finite.Demonstraie.Apelmlaproprietatea funciilor monotonede aadmite limitelaterale. ntruct este interior, existin intervaluluiastfel nct i deci are n limite laterale finite, deci admitederivate laterale finite.Consecina I.1.O funcie convex este n mod necesar continu n orice punct interior intervalului de definiie.Demonstaie.Tot dinpropritilelimitelor lateralealefunctiilor monotonerezultc oricare ar fi dou puncteinterioare intervalului pe care este definit o funcie convex , cu , avem.(I.5)Observaie.O funcie convex pe un interval nchis poate s nu fie continu n extremiti, spre exemplu, definit prineste convex (din grafic), dar nu este continu n capete.Page 8Funcii convexe cu aplicaii n calculul variationalConvexitatea funciilor derivabile.Teorema I.2. Dac este derivabil pe, atunci ea este convex dac i numai dac derivata sa este cresctoare pe.Demonstraie. Din(I.5) rezultclar cderivataunei functii convexederivabileeste cresctoare. Pentru a stabili reciproca, vom arta c prin orice trei puncte din n relaia avem inegalitatea caracteristic pentru functiile convexe, (I.3) . Aplelnd la teorema creterilor finite exist i astfel nct

i .Cum i este cresctoare, rezult c.Prin urmare, are loc relaia (I.3) i deci este convex. Consecin. Daceste de dou ori derivabil pe , atunci este convex dac i numai dac.Demonstraie. Din caracterizarea monotoniei cu ajutorul derivatei, n ipotezele noastre este cresctoare dac i numai dac derivata ei, adic, este nenegativ.Observaie. Toate proprietile de monotonie cresctoare pentru cazul funciilor convexe setransformnmonotoniedescresctoarepentrucazul functiilorconcave. Spreexemplu, o funcie derivabil este concav dac i numai daceste descresctoare, iar dac n plus este de dou ori derivabil, ea este concav dac i numai dac.Page 9Funcii convexe cu aplicaii n calculul variationalAadar, n cazul funciilor de dou ori derivabile, studiul intervalelor de convexitate i concavitate revine la studiul semnului derivatei de ordinul al doilea. Punctele n care derivata de ordinul aldoilea seanuleaz saui schimb semnul se numescpuncte de inflexiune. Aceste puncte sunt caracterizate prin faptul c de o parte funcia este convex, iar de cealalt parte esyte concav, ca n figura de mai jos. Exemplul I.1.Funcia este convex dac i concav dac. Pentru se obtine o funcie liniar care este n acelai timp convex i concav. ntr-adevr,i folosim consecina.Fig. 4. Exemplul I.2.Funciilei sunt convexe pe mulimea lor de definiie.Exemplul I.3.Funcia are derivata de ordinul al doilea , deci este concav dac i convex pentru . n particular,este convex, iareste concav. Cum rezult c produsul a dou functii convexe poate s nu fi tot o funcie convex.Exemplul I.4.S studiemconvexitatea funciei . Avem , deci ++ ++ +0- - - - --Page 10Funcii convexe cu aplicaii n calculul variationalAadar este convex pe intervalul i concav pe intervalul , iar este punct de inflexiune. Observm c fiferena a dou funcii convexe nu este n general tot o funcieconvex, deoarecepeintervalul funciile i sunt ambele convexe.Page 11Funcii convexe cu aplicaii n calculul variationalFuncie convexFuncia real, unde convex, este definit prin definiia convex dac, i , . n acest caz, oricare ar fi puncteledin i numerele pozitive dincu punctuli are loc inegalitatea: (II.1)sau pentrupunctul i are loc inegalitatea: .(II. )Pentru obinem inegalitatea (I.1) din definiia funciei convexe.Verificarea inegalitii (II.1) sau a inegalitii (II. ) se face prin inducie matematic. Pentru este adevrat. Presupunem c are loc inegalitatea pentru i trebuie s artm c are loc i pentru . Aadar trebuie s artm c orice numere pozitive dincu i dinavem iPage 12Funcii convexe cu aplicaii n calculul variational (II. )Deoareceirezult c .Avem .Cum prin ipotez proprietatea este adevrat pentru, dac lumobinem,iar(II.1) implic. (*)innd seama cde expresia lui i ceste convex (deci are loc relaia (I.1)) obinemPage 13Funcii convexe cu aplicaii n calculul variationalsau . (**) Din relatiile (*) i (**) se obine inegalitatea dorit (II. ). Prin urmare, relaia (II.1) sau relaia (II. ) este adevrat pentru orice.Particulariznd funciaobinem diferite inegaliti. ProprietateaII.1.Dac este o mulime convex, suntconvexei , atunci sunt convexe.Proprietatea II.2. Dac este o mulime convex,convex iconvex i monoton cresctoare, interval, atuncieste convex.Teorema II.1.O funcie real convex pe o mulime convex dineste continu n orice punct interior.Direcie posibilFiei din. Vectorul dineste prin definiie direcie posibilpentru relativ la dac . Mulimea acestora se noteaz cu i reprezint un con. Page 14Funcii convexe cu aplicaii n calculul variationalFig.5n cazul unei mulimi convexe cu cel puin dou puncte, relativ la fiecare punct al acesteia exist cel puin o direcie posibil, iar n cazul mulimiidefinit prin,,, nu exist nici o direcie posibil relativ la. n aceeai situaie se afl orice mulime cu un singur punct. De asemeni, dac este poriunea de plan limitat de ramura de parabol cu vrful n i axa. este mulimea punctelor din cadranul nti (paralela prin la taie ramura de parabol numai n situaia din figura 5).Dac oI, oricedineste direcie posilil pentru relativla.Direciile posibile intervin n caracterizarea convexitii.Lema II.1. Fie. convex neredus la un punct. este convex dac i numai dac i direcie posibil pentru relativla, funcia ,unde este interval din de extremitii, unde ieste convex. Page 15Funcii convexe cu aplicaii n calculul variationalDemonstaie. Necesar. Fie i,.Suficient.FieFie i , este direcie posilib pentru relativ la (unde ). Conform cu ipoteza, funcia este convex n particular pe, atunci,adic .Derivata dup direcie.Fiedirecieposibilpentrupentrurelativla . Derivata luindup direcia este +0limtdacaceast limit existiestefinit. Cndestepunctinteriorallui , coincide cuderivatalui Gteaux a lui n dup, prezena ns n analiza convex a acestei uoare generalizri este necesar. Proprietatea II.3. Dac oI idifereniabil n atunci oricare ar fi , direcie posibilrelativ la, exist id.(II.2)O funcie convex pe o mulime convex are, n fiecare punct relativ interior (mulimea acestora nu este vid), derivat dup orice vector director al nfurrii afine.Page 16Funcii convexe cu aplicaii n calculul variationalTeorema II.2. Fie convex neredus la un punct i convex. Oricare ar fi din i orcare ar fi vector director al lui exist. n particular cnd oS , oS oricare ar fi din.Demonstraie. Prima afirmaie. Fie i spaiul su director, adic. Conform definiiei a... Fie a... Dac avem, dar de asemenicci , prinurmare , este direcie posibil relativ la. Conform lenei II.1 funcia este convex pe este derivabil la dreapta n 0,.A doua afirmaie. oS i deci concluzia.Observaia II.1. ntr-un punct din este posibil ca s nu aib derivat dup nici o direcie. ceasta este spre exemplu cazul pentru n punctele i;este convex pe, [ ]o1 , 1 , n, de pild, direciile posibile sunt numere reale strict pozitive, avem , iar +0limt .ntr-un punct de minim global, derivata dup orice direcie posibil, cnd exist, este . Reciproca teoremei II.2.Fie convex neredus la un punct iconvex. Dac npunctul dinare derivat dup oricedirecie posibil , iar , atuncieste punct de minim global pentru.Demonstraie. Fiepunct arbitrar fixat din, , este direcie posibil relativla deoarece , din ( ). Conformcuipoteza Page 17Funcii convexe cu aplicaii n calculul variational. Seconsiderfuncia i . esteconvexpe , deci este monoton cresctoare pe , prin urmare, cum exist (), +0limt 0inf> t i deoarece, rezult pe, n particular, adic .SubgradientDefiniii.. Graficul lui este multimea. Epigraful(supragraficul ) lui este multimea epi Hipograful (subgraficului) lui este muliea hipo Proprietatea II. 4. este semocontinu inferior pe cnd i numai cnd epi f este nchis. Fig. 6.(Reprezentari grafice n C2 pentru cazul )Page 18Funcii convexe cu aplicaii n calculul variationalDemonstraie. Seconsideraaplicaia . festes.c.i. F este s.c.i. este nchis a din R, dar (care este nchis este nchis, la translaie): => .Proprietatea II. 5. Fie convex, este convex convex.Demonstraie.Necesar. Fiedin i din. ( f este convex), deci(, .(II.3)Suficient. Fiei din Si din, fiind n epi fconvex, i se ine seama de definiia supragraficului.Se considerfuncia real i fiedin . Un vector din este prin definiie subgradient (respectiv supragradient) al lui n dacdin avem (respectiv Osimpl schinbare de semn va permite transferul proprietilor subgradientului la supragradient.Mulimea subgradienilor lui n se desemneaz prin.Exemple 1.Graficdefuncierealcuovariabilreal, convexpeomulimeconvex, este subgradient unic n : ( lungimea catetei), , unghiul format de tangenta orientat n la grafic cu axa.Page 19Funcii convexe cu aplicaii n calculul variationalFig.72. are n fiecare punct , sau, un subgradient unic egal cu iar n fiecare punct din un subgradient unic egal cu. n punctual , orice din[0, ]estesubgradient (justificgeometric elementar i verific cu: subgradieni => subgradient din). n punctul, ,, orice din [ ; ] este subgradient pentru. n concluzie sau =>Fig.8.Page 20Funcii convexe cu aplicaii n calculul variationalProprietatea II. 6.(Existena subgradientului.) Orice funcie real convex pe o mulime convex din are, n fiecare punct interior al acesteia, un subgradient.Demonstraie. Fie, convex, convex . este punct frontier pentru epi f (cci orice vecintate a acestui punct cuprinde o mulime de forma. deschis, interval centrat n, epi feste convex (Propr.II.5.), (litera va indica n cuprinsul demonstraiei matricea transpus): a.. : . (II.4)altcum luandn (II.4) limita pentru se obine o contradicie,i chiar. ntr-adevar, fie prin absurd. Din (II.4) rezult (II.5)ns pentru suficient de mic , i deci din (II.5), contradicie. Astfel fiind, senmulteten(II.4) cu , , din epi f (II.6)unde , se iaCorolar. Daceste strict convex pe convex, pentru orice punct din oS ,n cu proprietatea +Demonstraie. Fie din a.. (II.7)i, prin absurd a.. (din (II.8)Page 21Funcii convexe cu aplicaii n calculul variational. (II.9)Se ia n (II.7) i se intr n contradiciecu (II.9).Reciproc. Dac convex, are subgradient n fiecare punct din oS, atunci este convex pe oS,dar nu neaparat pe S.Fig.9Demonstraie. Prima afirmaie. Fiedin oS i din),(II.10). fiindsubgradient al lui n , din . nparticular pentru i,,se nmultete respectiv cu i i se adun. A doua afirma ie . 2.Page 22Funcii convexe cu aplicaii n calculul variationalare subgradient unic egal cuin fiecare punct din oS, dar nu este convex pecci nu este convex din cauza arcului de parabol situat n planul.n general ntre gradient i subgradient nu exist nici o legatur. n cazul funcie convexe situaia ns se schimb.Proprietatea II. 7. Fieconvex i convex. Dac este difereniabil n din oS , atunci este subgradient unic al luin, deci.Demonstraie. Fie subgradient al lui n(Prop. II.6), deoarece din isuficient de mic pentru ca, atunci (II.11)Se presupune nc suficient de mic pentru a scrie relaia de difereniabilitate n (II.12),din (II.11) i (II.12), i pentru .Exemple1. ntr-adevar, presupunem prin absurd ca este subgradient al lui n, atunciPage 23Funcii convexe cu aplicaii n calculul variationaldin sau din,n particular, se ia limita pentru, contradicie. Pe de alt parte are subgradient n fiecare punct (Prop.II.7, este convex),,ccii reciproc.2. Fie este convex pe i difereniabil pe}, deci => cci , deoarece din, cnd se ia, rezult iar cnd de asemeni.ProprietateaII.8.Fie convexiconvex. Oricarearfi dinoS este nevid convex i compact. Demonstraie. (conform Prop.II.6), este convex.Fie din i din . , din , , senmuletecu , respectiv i se adun, ,din. este nchis. Fiedin . Se ia , ,. Avem, , din , se ia limita pentru , , din , , estemrginit. Fie a.. . Deoarece 0limx x, se poate presupunesuficient de mic pentru a avea din, unde. Fie oarecare din. Presupunem. Pentru Page 24Funcii convexe cu aplicaii n calculul variational, i deci. Cnd, de asemeni i deci concluzia.TeoremaII.3.Fie convexi convex. Oricarearfi dinoSi oricare ar fi,. (II.13)Demonstraie. . Fie oarecare din . ,din, pentru din, unde,, deci , din , ,+0limt .Se va arta, pentru a obine formula din enun, c n a. . . Se consider intervalul , a.. , din i mulimile , . i sunt convexe n plus. ntr-adevr, fiedin. Dac, din, atunci , iar dac din a.. , atunci i deci, iari, . Deci, dac dina.. ( , din, din. (II.14)Pentru i avem. nfapt cci dacpresupunemprin absurd( , din, din, dar pentru se obine: din,(II.15)Page 25Funcii convexe cu aplicaii n calculul variationalse ia suficient de mic pentru ca , din (II.15), contradicie. Astfel fiind, fie, , se nlocuiete n (II.14) i lund limita pentru se obine: , din, din. (II.16)Nu rmne dect a luan(II.16)pentru a conchide i apoi pentru a conchide.Extreme globale ale funciei convexe Proprietatea II.8.Fie i din . n acest caz are loc relaia .Demonstraie. ntr-adevr, cci , din, din.Proprietatea II.9. Fie convex i din punct de minim local pentru Daceste convex, este punct de minim global, iar daceste strict convex, este punct de minim global unic.Demonstraie. Prima afirmaie. Se consider sferoidul cu proprietatea II.8., adic dini fie, prin absurd, dina.. . Atunci, , avem:. (II.17)Pentrusuficient de mici proprietatea II.9. intr n contradicie cu proprietatea II.8.A doua afirmaie. Fie prin absurd din a.. . Dar , contradicie, deoarece este conformprimei afirmaii punct de minim global.Page 26Funcii convexe cu aplicaii n calculul variationalRemarcm c dac este convex, atunci mulimea este convex.Proprietatea II.10.Fie convex i este convex. Dac f este difereniabil n din oSavem: punct de minim global.Demonstraie.punct de minim global , dar.Teorema II.4.Fieconvex i convex i convex. din estepunct deminimpentru pe daci numai dac aren unsubgradient cu proprietatea c Demonstraie. Mulimile ,sunt evident nevidecomplexe, dar i disjuncte. n, i din a.. din (II.18) i din .(II.19)Dac n (II.19) se iau i , rezult, iar dac n (II.18) se ia obinem(II.20)Din (II.20) => pe de o parte, iar pe de alt parte. Avem chiar, cci dac prin absurd presupunem, avemdeoarece , se ia a.. , dar din(II.18) , nparticularpentru seobine , , contradicie. Astfel fiind se mparte n (II.18) i (II.19) cu i punnd => din (II.21) i

din .(II.22)Page 27Funcii convexe cu aplicaii n calculul variationalDin (II.22) pentruse obinedin, iar (II.21) afirm c pentru fixardin, =>, prin urmare(prin absurd), este subgradient pentru n.Proprietatea II.11. Fieconvex, din i din . Condiia necesar i suficient cai suficient cnd n plus este convex pe este din .Demonstraie. Necesar. Fie arbitrar fiat din , i => ,se ia limita pentru .Suficient. dinavem.Proprietatea II.12. Fie convex io mulimea compact. n acest caz, cel puin unul dintre puncteleextreme ale lui este punct de maxim global pepentru.Demonstraie. continu, deci n particular este continu i pe i deci i atinge marginea superioar pe ntr-un punct din Fie acesta . Daceste punct exrem pentru, demonstratia s-a ncheiat. n caz contrar, fiind punctele extreme ale lui => =>.Cel puin un coeficient este , de exemplu i dac prin absurd, atunci, adic,contradicie,deci.Page 28Funcii convexe cu aplicaii n calculul variationalFuncii convexe de clas 2C,de mai multe variabile n aceast seciune generalizm caracterizarea funciilor convexe derivabile de dou oridefinite pe intervale din R, la funcii difereniabile de dou ori pe mulimi deschisei convexe din Rn. Teorema II.5. Fie Uo mulime convex i deschis din Rn, iar U f : R o funcie difereniabil. Funcia f este convex dac i numai dac U y x x y x f x f y f + , ), )( ( ) ( ) (,adic dac i numai dac hiperplanul tangent la graficul funciei ntr-un punct oarecare rmne mereu sub grafic. S presupunem c U f :Reste o funcie de clas 2Cpe mulimea U convex i deschis dinRn. Fixmun punct oarecare U x .Folosind formula lui Taylor pentru U r x B y ) , ( obinem) ))( ( (21) )( ( ) ( ) (2x y x y x f d x y x f x f y f + + + ,unde( ) 1 , 0 depinde de x i y.Conform teoremei anterioare (Necesitatea), dac feste convex, atunci pentru x y suficient de mic avem 0 ) ))( ( (2 + x y x y x f d , de unde + h h x y x f d , 0 ) ))( ( (2 Rn. inndseamadecontinuitateaderivatelor parialealefuncieif,deducempentruy tinznd laxc h h x f d , 0 ) )( (2Rn, adic forma ptratic) (2x f deste pozitiv semidefinit. Amdemonstrat c) (2u f deste pozitiv semidefinit pentru orice uRn. Reciproc, dac forma ptratic ) (2u f deste pozitiv definit pentru orice uRn, atunci din Page 29Funcii convexe cu aplicaii n calculul variationalaceast ipotez i formula lui Taylor deducem c ) , ( ), )( ( ) ( ) ( r x B y x y x f x f y f + . Se arat c inegalitatea precedent se extinde la cazulU y . Conformteoremei precedente (Suficiena), rezult c U f : R este funcie convex. Teorema II.6. Fie Uo mulime convex i deschis din Rn, iar U f : R o funcie declas2C.Funciafesteconvexdacinumai dacformaptratic(hessianaluif) nj ij ij inh h xx xfh h h x f d1 ,22 , 12) ( ) ,..., )( ( este pozitiv semidefinit n orice punctU x . Corolar.Fie U o mulime convex i deschis din Rn, iar U f :R o funcie de clas 2C.Funcia feste concav dac i numai dac forma ptratic ) (2x f deste negativ semidefinit n orice punctU x . Demonstraie. festeconcavdaci numai dacopusaeif g esteconvex. Aplicnd teorema precedent funciei f g de clas 2C, observm c g este convex pe Udac i numai dac nh h x g d R , 0 ) )( (2,U x .Dar,U x h h x f d h x g dn , ), )( ( ) )( (2 2R . Deci f este concav dac i numai dac nh h x f d R , 0 ) )( (2. Observaia. II.2 Dac hessiana este pozitiv definit ntr-un punct U x , adic atunci > h h x f d , 0 ) )( (2R} 0 \{n, atunci funcia feste strict convex ntr-o vecintate a luix.Reciproca nu este adevrat. Page 30Funcii convexe cu aplicaii n calculul variationalExemplu. Fie n j i a Aij,..., 2 , 1 , ), ( o matrice ptratic simetric (n j i a aji ij, ..., 2 , 1 , , ), cu elemente numere reale. Se numete form ptratic pe Rn o funcie de forma nQ R : R, nj ij i ij nh h a h h h Q1 ,2 , 1) ,..., (.Sedemonstreaz c formaptraticQeste pozitivsemidefinit (respectiv, pozitiv definit) dac i numai dac valorile proprii (toate reale) ale matriceiA sunt pozitive (respectiv, strict pozitive).Folosind un criteriu care conduce la un numr mai mic de calcule putem spune c:forma ptratic Q este pozitiv semidefinit (respectiv, pozitiv definit) dac i numai dac toideterminanii matricelor formate cu elementele din primele p linii i primele p coloane ale matriceiA sunt pozitivi (respectiv, strict pozitivi). Este vorba despre determinanii Aa a aa a aa a aa aa aandet ,..., , ,33 32 3123 22 2113 12 11322 2112 112 11 1 .Se observ c pentru funcia Q difereniala de ordinul al doilea (hessiana) ntr-un punct oarecare este chiar Q. Folosind teorema anterioar rezult urmtorul Corolar.O form ptratic pe Rn este funcie convex (respectiv, strict convex) dac i numai dac forma ptratic este pozitiv semidefinit (respectiv, pozitiv definit). n particular, rezult co form ptratic pozitiv definit avnd un punct de minim local i atingenacel punct minimul global. Aceastobservaieesteutilnuneleaplicaii ale metodei celor mai mici ptrate. Exerciii. 1.S se arate c urmtoarele mulimi sunt convexe:a) ;' m i b x a x x x x x Anji j ijnn,.., 2 , 1 , , : ) ,..., , (12 1R. Page 31Funcii convexe cu aplicaii n calculul variationalSedaun j m i a Aij,..., 2 , 1 , ,.., 2 , 1 ), ( omatricecuelementerealei numerelereale . ,.., 2 , 1 , m i bi b) ;' niii nnaxx x x x x E1222 11 , : ) ,..., , ( R. Se dau numerele reale strict positive . ,.., 2 , 1 , n i aiRezolvarea) Notm m i b x a x x x x x Anji j ijnn i,.., 2 , 1 , , : ) ,..., , (12 1;' R. Atunci miiA A1 . Funciilenjj ij ix a x f1) ( sunt liniare, deci convexe, pentru m i ,.., 2 , 1 . Atunci fiecare din mulimile ) ,.., 2 , 1 ( m i Aieste convex (din definiia funciilor convexe rezult c preimaginea printr-o funcie convex a oricrui interval de forma ] , ( b este mulime convex). Rezult c mulimeaA este convex, ca intersecie de mulimi convexe. b) Funcia niniixaxx Q122, ) ( R este o form ptratic pozitiv definit, aadar este funcie (strict) convex pe nR. MulimeaE(un elipsoid n-dimensional reunit cu interiorul su) este preimaginea prinfunciaconvexQa intervalului] 1 , (, deci este mulime convex.Page 32Funcii convexe cu aplicaii n calculul variational2.Fie 112 11) ,.., , (

,_

ni inxx x x f , unde ) , 0 ( ) 0 , ( + ix pentru . ,.., 2 , 1 n i S se arate c funcia dat este concav pe mulimea { } n i x x x x x x Kinn P,.., 2 , 1 , 0 , : ) ,..., , (2 1 > R i convex pe mulimea{ } n i x x x x x x Kinn N,.., 2 , 1 , 0 , : ) ,..., , (2 1 < R .RezolvareEfectund calculele obinem, prin diferenieri successive, pornind de la :1 11

,_

ni ix fniiixdxfdf12 2, ( ) niiixdxfdfff d13232222 2.Atunci

,_

,_

,_

niiini ini iixdxx xdxff d13212132121.Folosim inegalitatea lui Cauchy:

,_

,_

,_

niiniinii ib a b a121221. Considerm n inegalitatea lui Cauchy, ,..., 2 , 1 , ) ( , ) (2 / 1 3 2 / 1n i x b x ai i i i unde ' < >n i xn i xii,.., 2 , 1 , 0 daca , 1,..., 2 , 1 , 0 daca , 1.Rezult c pentru n i xi,.., 2 , 1 , 0 < avem 02 f d (pozitivsemidefinit), decifesteconvexpeNK.Analog, pentrun i xi,.., 2 , 1 , 0 > 02 f d (negativ semidefinit), deci f este concavpe PK . Page 33Funcii convexe cu aplicaii n calculul variationalInegalitatea lui YoungInegalitatea lui Young afirm c:Page 34Funcii convexe cu aplicaii n calculul variational pentru,oricndi; aceast egalitate exist dac i numai dac .Aceasta este o consecin pentru convexitate strict a funciei exponeniale. Adicpentru toate cu.Un rezultzat asemenea se poateobine prin studierea variaie a funcieiundeeste un parametru. are un minim globalstrict la, care include pentru orice , cu .W.H.Younga doveditcde fapt o inegalitateanterioar este mult mai general pentru .Teorema III.1. (Inegalitatea lui Young) Dac presupunem ceste o funcie n cretere continu, astfel nct i,are loc inegalitateapentru orice, i egalitatea are loc dac i numai dac.Demonstraie. Folosind definiia derivatei putem dovedi cu uurin c funcia Page 35Funcii convexe cu aplicaii n calculul variationaleste derivabil, cu identic 0. Aceasta implic i i concluziateoremei, este clar.Sensul geometric a inegalitii lui Young este indicat n figura de mai jos.Fig.10( zonele din dou triunghiuri curbilinii depete aria dreptunghiului cu laturile u i v)Inegalitatea lui Young este sursa mai multor inegaliti de baz ale matematicii. Dintre aceste aceplicaii, dou se refer la funciile complexe definite pe o msur arbitrarn spaiu .Teorema III. 2. (Inegalitatea Rogers-Hlder pentru) Dac cu , iar , , iar este ni avem urmtoarea relaie d fgX(III.1)i d fgX (III.2)Page 36Funcii convexe cu aplicaii n calculul variationali, astfel, . (III.3)Rezultatul de mai sus se extinde i pentru perechile i . n domeniul complementar,i, semnul inegalitii n (III.1) - (III.3) ar trebui s fie inversat.Pentru inegalitatea (III.3) este numit inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz.Demonstraie. Prima inegalitatea este banal. Dac f sau geste zeroaproape peste tot, i a doua inecuaie este banal. Altfel, folosind inegalitatea lui Young avempentru orice x din X, astfel nct. Deci, d fgX

i acest lucru dovedete relaia (III.2), iar inegalitatea (III.3) este imediat.Observaia III.1. (Condiie pentru egalitatea n teorema III. 2.) Observm c dac i d fX implic aproape peste tot,egalitate n (1) are loc dac i numai dac(III.4)pentru orice constant real iaproape la fiecare x.Presupunemc . nscopul deaobineegalitatean(2), estenecesar i suficient s avem Page 37Funcii convexe cu aplicaii n calculul variationalaproape peste tot. n cazul egalitii n inegalitatea lui Young se arat c aceasta este echivalent cu (III.5)aproape peste tot, adicaproape peste tot,pentru orice numere nenegative A i B.Dac avem egalitate n (III.2) dac i numai dac exist o constant astfel nct aproape peste tot, i pentru aproape fiecare punct n cazul n care.Teorema III.3. (Inegalitatea lui Minkowski). Pentru i avem.(III.6)n cazul discret aceast inegalitate devine(III.7)n aceast form, se extinde la gama complementare, cu semnul inegalitatea invers. Demonstraie. Pentru , inegalitatea (IV.6) urmeaz imediat de la. Pentru avem,care arat c.Mai mult, conform teoremei III.2.+ + + d f g f d g fXpXp| | | | | |1 d g g fXp| | | |1+ +, (III.8)Page 38Funcii convexe cu aplicaii n calculul variationalunde , i rmne s se constate c.Observaie. Dac, vom obine egalitatea n (6) dac i numai dac exist o funcie pozitiv msurabil astfel nctaproapepestetot pe . Atunci avemegalitatean(6) daci numai dac aproape peste tot, pentru.n cazul particular n careeste spaiul msur asociate cu msura de numrare pe un setfinit,,Vom prelua formele clasice discrete a inegalitilor de mai sus. De exemplu, versiunea discret a inegalitii Rogers-Hlder poate fi scris sub forma:pentrufiecare .Pedealtparte, unmoment derefleciearatc putem trece imediat la aceste inegaliti discrete la analogiile lor integrale, ceea ce corespunde la spaiile de msur finit.Observaie.Este important s observm c toate inegalitile numerice de forma pentru(III.9)Page 39Funcii convexe cu aplicaii n calculul variationalundefeste o funcie continu i n mod pozitiv omogen de grad 1 (care este ),extind la contextul Grile Banach, prin intermediul unui calcul funcionale inventat de A.J.Yudin i J.L.Krivine. Acest lucru ne permite s nlocuiasc variabilelor reale a lui f cu elemente pozitive ale uui spaiu Banach.De asemenea, tuturor inegalitilor numerice de forma (III.9), ataat la funcii continue, pn la contextul de C *- algebr. De fapt, n-uplele de numere reale pot fi nlocuite de n-uple de elementele pozitive din C *- algebr.Spaii OrliczSpaiileOliczsuntuncazparticulardespaii, fiindtotodatmai generalecaspaiile ,. DefiniiaIII.1.SenumeteN-funcieofuncie (unde )cu proproetile: este continu, convex i n plus,Se poate arta c orice N-funcie se reprezint sub forma unde este o funcie cresctoare, continu la dreapta, cu ,i astfel nct , dac . Rezult imediat c estestrict cresctoare, stabilind o bijecie a luipe.Cu ajutorul funciilor i de mai sus putem defini funciile i, dup cum urmeaz: ,iPage 40Funcii convexe cu aplicaii n calculul variationalSe arat c are aceleai proprieti cu (se numete inversa la dreapt a lui) c este inversa la dreapt a lui i deci c este o N-funcie.Funciile ise numesc N-funciicomplementare n sensul lui Young. Avem inegalitatea lui Young:pentru oricei. Dac p este strict cresctoare, atunci este bijecie i este chiar inversa lui . Vom spune c genereaz pe.Se spune c N-funcia satisface condiia dac exist o constant i un numr real, cu proprietatea c, pentru orice. Aceast condiieeste extrem de important pentru teoria spaiilor Orlicz. O condiie mai tare dect condiiaeste condiia:existcu proprietatea c, pentru orice. Se arat c n ambele cazuri. Condiia echivaleaz cu faptul c pentru orice exist i exist, cu proprietatea c, pentru orice.Exemple de N-funcii.1. Lumunnumr i fie . Cuajutorul ei construimfuncia . Inversa lui este, undeeste conjugatul lui, adic , i funcia complementar lui este.nacest caz, i i ndeplinesccondiia (chiar condiia ), dei, ngeneral, complementara unei funcii care ndeplinete condiianu ndeplinete condiia.2. Fie . Atunci . Inversa lui este . Prin integrarea prin pri, obinem . Se poate arta c Mnu ndeplinete condiia dar N ndeplinete condiia.Page 41Funcii convexe cu aplicaii n calculul variationaln mulimea N-funciilor se introduce o relaie de preordine dup cum urmeaz. Fie i dou N-funcii. Prin definiiedac exist o constanti un numr real , cuproprietatea c pentruorice avem . Dac i von spune c i sunt echivalente. Se arat c dac, atunci, unde este complementara Young a lui FieF un spaiu cu msur (F estemsurabil,adiceste finit i complet)i o N-funcie. Cu ajutorul lor definim mulimea .Seremarc daci numai dac . Aceastremarcpermites introducemn urmtoarearelaie de echivalen .Mai mult, dac este n i , atunci este n. Aadar, dac este mulimea ct, vom scrie , nelegnd c de fapt este vorba de clasa funciei .Mulimea se numete clasa lui Orlicz ataat lui i. Deoarece n general va fi subneleas, vom nota n cele ce urmeaz n loc de . De asemenea, deoarece pentru i echivalenteavem, vomscrie pentruadesemnavaloarea comun pe clasa de echivalen a lui. Proprieti ale claselor lui Orlicz:a.este o mulime convex (n general nu este spatiu vectorial).b. Dac satisface condiia , atunci este spatiu vectorial.c. Presupunem c satisface condiia. Page 42Funcii convexe cu aplicaii n calculul variationalFie i n. Vom scrie Mnpentru a desemna faptul c. Un irde elemente dinse numete ir Cauhy dac . Se poate arta c daceste ir Cauhy, exist n cu.d. Presupunem ceste total finit i are proprietatea lui Darboux. n aceste condiii este spatiu vectorial dac i numai dac satisface condiia.e.Presupunem ceste total finit i are proprietatea lui Darboux. Fiei dou N-funcii. Atunci incluziuneaare loc dac i numai dac exist i cu proprietatea c , pentru orice. n cazul cnd este msura discret pe mulimea numerelor naturale, obinem clasa lui Orlicz format din iruri. AnumeFieF un spaiu cu msur, o N-funcie i N funcia sa complementar n sensul lui Young. Se introduce urmtoarea norm funcional saturat (norma lui Orlicz) pe mulimea a funciilor msurabile pozitive.Atunci esteonormfuncionalcuproprietatealui Fatou. Evident cnorma functional asociat lui este.Cuajutorul lui se construiescspatiilecorespunztoare ,pe care le vomnota simplu cu. Spaiile se numesc spaii Orlicz. Ele sunt spatii Banach. Vom nota norma lui Page 43Funcii convexe cu aplicaii n calculul variationalnprin . Aadar, nzestrat cu norma. Aici este clasa de egalitate a lui.Este util de vzut c (am identificat funciile cu clasele lor n). De asemenea.Proprieti ale spaiilor Orlicz:a. Avemi pentruorice din aveminegalitatea . n general, incluziuneaeste strict, deoarece coincide cu spaiul liniar generat n de.b. Dac este un element neutru din , elementul este n i avem .c. Dac satisface condiia , atunci.d. Dac satisface condiiai spaiul total are msur finit, atunci.e. Presupunem c spaiul total are msur finit. Fie ini , rezult ceste n i.f. Presupunem c spaiul total are msur finit. Fiein. Dac converge lan, atunci (adic irul). n plus, dac satisface condiia, convergena n norm (adic n) este echivalent cu convergena n medie.Page 44Funcii convexe cu aplicaii n calculul variationalg. Presupunem c spaiul total are msur finit. Atunci se arat c pentru orice funcie din avem:h. Presupunem c spaiul totalare msur finit i c are proprietatea lui Darboux. n aceste condiii, se pot compara spaiile Orlicz i generate de dou N-funcii i.i. Se arat c incluziunea de mulimiare loc dac i numai dac. Se arat c dac , atunci exist o constant cu proprietatea c pentru orice din avem: , adicincluziuneaestecontinu. nfine, egalitateademulimi are loc dac i numai dac i sunt echivalente (i atunci i spatiile Banach ,).Ecuaii de evoluieFieXun spaiu Banach i X dualul su(deci mulimea funcionalelor definite peX). Considerm familia de seminorme ( ) ( ) x x x px, , X x . Aceast familie induce peXo topologie de spaiu local convex, numit topologie slab, n care convergena se definete astfel: ( ) ( ) X x x x x x x xndefslabn, , ,.Analog, pe Xputem defini o structur de spaiu local convex n care topologia este definitdefamiliadeseminorme:( ) ( ) x x x px, , pentru X x . Astfel, convergenaslab afuncionalelor se definete: Page 45Funcii convexe cu aplicaii n calculul variational( ) ( ) X x x x x x x xndefslabn, , ,Dac notm cu X bidualul luiX , atunci avem, n general, X XDac avemiX X (ideci X X), spunem c X este spaiu reflexiv. Toate spaiile Hilbert sunt spaii reflexive. Reamintim c: ( ) ( )pppdx x y y1. (III.10)Convergena slab n( ) pLse traduce prin:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) q nn nL z x z x y dx x z x y y y,Teorema III.4. i) Un spaiu BanachXeste reflexiv dac i numai dac orice mulime mrginit dinXeste slab compact. ii) O mulime mrginit n dualul unui spaiu Banach este slab compact.TeoremaIII.4.(Mazur) Pentru o mulime convex, nchiderea tare coincide cu nchiderea slab.Definiia. III.2FunciaR X : se numete inferior semicontinu dac( ) ( ) X x x yx y , inf lim Reamintim c:( )( )( ) y yV yx Vx y inf sup inf limVAnalog, ( )( )( ) y yV yx Vx y sup inf sup limVOreformulareadefiniiei unei funcii inferiorsemicontinu: Funciaesteinferior semicontinu dac mulimea ( ) } : { x x este mulime nchis, pentru orice . Page 46Funcii convexe cu aplicaii n calculul variationalExemplu de funcie inferior semicontinu. FieCo multime nchis. Funcia definit prin ( )' C xC xx , , 0 este inferior semicontinu.Folosim prescurtarea s.c.i. pentru inferior semicontinu.Teorema III.5 Dac funcia este convex i s.c.i., atunci este mrginit inferior de o funcie afin, adicR i X x0 a.. ( ) ( ) X x x x x + , ,0 Teorema III.7FieXun spaiu Banach reflexiv iR x : o funcie convex i s.c.i. Dac, n plus, ( ) + xx lim, atunci i atinge efectiv infimum-ul peX .Demonstraie. Notm cu ( ) x dX x inf. S demonstrm cd este un numr finit. Dac presupun prin absurd c d , atunci exist un ir { } X xn a. ( ) x . Artm c irul { }nxeste mrginit. Dac nu ar fi mrginit atunci nxi atunci, din ultima ipotez, avem( ) + nx , deci contradicie. Deoarece { }nx este mrginit deducem c ( ) { }nx i deci putem considera c( )nd x dn1+ . Deoarece { }nx este mrginit, putem extrage un subir care s fie convergent0x xkn . Din ( ) ( ) d xnd xknk + 01 .Considerm mulimea ( ) { } + d x X x A :care este nchis i convex, deci slab nchis pentru cXeste spaiu reflexiv. AtunciA conine odat cu un ir i limita sa slab: 0 0x A x A xkn Page 47Funcii convexe cu aplicaii n calculul variational este efectiv atins, cci ( ) d x 0 i varianta ( ) d x M .LumMsuficient de mare astfel nct K .Pentru c este convex deducem c mulimeaKeste convex.Deoarece este s.c.i. rezult cKeste mulime nchis. Din definiie mulimeaKeste simetric, deci echilibrat. Artmacumc K esteabsorbant, adic0 , , > t R t X y astfel nct K ty . Definim funcia g prin ( ) ( ) ty t g , este clar c ( ) t g este funcie convex i pentru tsuficient de mic,( ) t geste finit, deci < + t t g , , (asta rezult din faptul c ( ) D Int0). Aadar( ) t geste continu i( ) M t g , pentrutsuficient de mic, adic ( ) M t g i( ) M t g . Dindefiniialuigrezultc( ) M ty i( ) M ty astfel c K ty , deciK =absorbant. n concluzie, Ksatisface ipotezele teoremei lui Beer i atunciKconine o sfer cu centrul n origine:

( ) ( ) , 0 , 0 S x K S avem ( ) M x , ( ) M x . (III.11)Page 48Funcii convexe cu aplicaii n calculul variationalObinemastfel c este mrginit superior pe o sfer cu centrul n origine. Vom arta c aceast ultim condiie este suficient pentru ca s fie continu. Deci este mrginit pe sfer: ( ) M x , dac x. Putem scrie

0 1

,_

+ x xxxx,(III.12)ultimul zero l gndim ca ( ) 0 .Aplicm n aceast egalitate: ( ) ( ) 0 1

,_

+

,_

xxxxx, x,n care am folosit c este convex. Deci:

( ) xMx x ,. (III.13)Apoi, ( ) ( ) ( ) ( ) x x xx x x + +

,_

,_

2121212 20 0 ( ) ( ) ( ) xMx x x innd cont de (IV.13). Deci ( ) x , xMx. (III.14).Din (IV.13) i (IV.14) deducem c ( ) < x , xMx. (III.15).De aici este evident c pentru ( ) 0 0 x x , adic este continu.Definiia. III.3FunciaR X : este difereniabil Gateaux n0xdac ( ) X x grad0 astfel nct Page 49Funcii convexe cu aplicaii n calculul variational( ) ( )( ) ( ) X x x x gradx x x + , , lim00 00 unde prin ( ) , am notat produsul scalar.Definiia. III.4 Funcia R X : este difereniabil Frechet n 0x dac ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) X x x x x grad x x x + + , ,0 0 0 ,unde funcia are proprietatea c ( ) 0 lim0xx.Definiia. III.5Fie funcia] ( , : X ,este continu i s.c.i. Numim subgradientul lui n X x0, notat ( )0x , urmtoarea mulime: ( ) ( ) ( ) ( ) { } X x x x x x x X x x , , :0 0 0 Definiia. III.6Spunem c funcia este subdifereniabil n 0x dac subgradientul lui n 0x este nevid, adic ( ) 0x .Proprietatea. III.1Daceste difereniabil Gateaux n0xatuncieste subdifereniabil n 0x i ( ) ( )0 0x grad x .Demonstraie. Pentru c este difereniabil Gateaux deducem c ( ) ( )( ) ( ) X x x x gradx x x + , , lim00 00 .Lum aici 0x x x

( ) ( ) ( )( ) ( ) X x x x x gradx x x x + , , lim0 00 0 00

(III.16)Dar este convex i atunci ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x x + + +0 0 0 01 1.nlocuim n (III.16) i obinem:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0, , x x x grad x x x x x x x grad .Page 50Funcii convexe cu aplicaii n calculul variationalDe aici, deducem c ( ) ( )0 0x x grad .Se poate apoi arta c ( )0x grad este singurul element al lui ( )0x .Exemple de subdifereniale 1.R R : ,( ) x x . Se tie c nu este difereniabil n00 x . Vom arta c este subdifereniabil n 00 x. ( ) ( ) ( ) { } R x x x x x x x X x , , , , 0 { } [ ] 1 , 1 , , , ;' xxx X x R x x x x X xAadar avem: ( ) [ ]'>< 0 1,0 , 1,1 -0, 1xxxx 2. Notm cu F aplicaia de dualitate a spaiului X, adic: ( ) ( ) { } X x x x x x X x x FXX , , :22, Xspaiu Banach.Vrem s artm c subdifereniala funciei( )221x x este tocmaiF , adic ( ) ( )0 0x F x .Fie: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) X u u x x u x X u u x x u x x x , ,2121, ,02 20 0 0 0 .Lum ( ) ( ) ( ) + + + 20202020 021, ,2121v x x x v v x v x x v x u ( ) + X v v v x , , 221 220 ( ) X v v v x x v + , ,2,20. Trecem la limit0 :Page 51Funcii convexe cu aplicaii n calculul variational( ) X v v x x v , ,0.n particular, dac lum 0x v ( ) ( ) ( )020 020 0, x F x x x x x x x .Verificmacum implicaia invers: lum ( )0x F x i s artm c ( )0x x . Din ( ) 0x F x( )22, XXx x x x . Avem ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u x u x x u x x u x x x u x 02 2020 0 021, , , , adic( ) ( ) ( ) u x x u x 0 0,i n baza definiiei subdiferenialei avem c ( )0x x .Teorema III.10FieXun spaiu Banach i R X : o funcie convex i s.c.i. atunci ( ) ( ) D D.Demonstraie. Considerm mulimea ( ) ( ) { } x R X x H, ,. MulimeaHeste numitepigrafulfuncieii esteomulimeconvexi nchis. Fie( ) ( ) H F x xr 0 0,frontieralui H . Atunci( ) ( ) H Int x x ,0 0 + , cusuficient demic. Deoareceestes.c.i. obinem c este continu n 0x. Apoi ( ) ( ) + .Page 66Funcii convexe cu aplicaii n calculul variationaliii. , deci=> .3. Dac este convex, atunci exist.Rezolvare:Notam ,,pentruorice , existaun aanct , deunde i deducemDeoarece este convexa, ea este i subaditiv . Din defini ia marginii inferioare cu proprietateai rezult c,deci,. Analog pentru.Page 67Funcii convexe cu aplicaii n calculul variational4. Fieo funcie convex i un ir de numere reale pentru care:.S se arate c :Rezolvare:Fie funcia, cu, atunci i funcia, pentrucarecare este evident.Atunci avem:, ,deci 5. Fie un interval i o funcie strict convex. Dac,i atunci este strict cresctoare pe Rezolvare:Funciileconvexe, sunt continuepeinteriorul intervalului i admit derivate laterale monoton cresctoare in punctele interioare lui I.Page 68Funcii convexe cu aplicaii n calculul variationalDac i din interiorul lui, adic monoton cresctoare pe.Fie fixai ispresupunemc , adicfiindmonotonpe esteconstant. ns ,adic nu ar fi convex. Nu poate avea loc ,deci funcia f este strict cresctoare pe .6. Fiederivabil de dou ori pe cu. Dac , demonstrai c:Rezolvare:Funciaeste derivabil pedeci i peFie o diviziune echidistant a intervalului de norm. Atunci avem:Page 69Funcii convexe cu aplicaii n calculul variationalDin faptul c f este convex avem:i deci7. ncercnd s definii un alt tip de funcie, apropiat de cel de funcie convex, adic , artai c o astfel de funcie nu exist.Rezolvare:Fixm Pentru fiecare ntreg definim. Lund, i nlocuind n relaia dat, avem:deunde prin nsumare pentru n ( ) valori consecutive obinemAceast inegalitate nu poate avea loc ns pentru orice n, deci nu exist astfel de funcii.Page 70Funcii convexe cu aplicaii n calculul variational I. Chiescu Spaii de funcii, Editura tiinific i enciclopedic, Bucureti, 1983 J. Crngaru- Calcul variational , Editura didactic i pedagogic, Bucureti, 2002.Page 71Funcii convexe cu aplicaii n calculul variational N. Gheorghiu, T. Precupanu Analiz matematic,Editura didactic i pedagogic, Bucureti, 1979. C. Meghea, I. MegheaTratat decalcul diferenial i calcul integral , Editura Tehnic, Bucureti, 1997 C.P. Niculescu, L.E.Persson Complex function and their aplications , 2004 M. Nicolescu Analiz matematic (Vol.I), Editura Didactic i pedagogic, Bucureti, 1966. M. Rocule Analiz matematic,Editura didactic i pedagogic, Bucureti, 1978. C. Udrite, E. TnsescuMinime i maxime ale funciilor reale de variabile reale, Editura Tehnic, Bucureti, 1980ROMNIAMINISTERUL EDUCAIEI, CERCETRII, TINERETULUI I SPORTULUIUNIVERSITATEA Vasile Alecsandri din BACUFACULTATEA DE TIINECalea Mreti, nr. 157, Bacu, 600115Tel. ++40-234-542411, tel./ fax ++40-234-516345http://stiinte.ub.ro; e-mail: stiinte@ub.ro

Page 72Funcii convexe cu aplicaii n calculul variationalDECLARAIE DE AUTENTICITATEprivind elaborarea lucrrii de disertaieSubsemnatul/subsemnat SORLECU(VADANA) DIANAIULIANAdeclar pe propria rspundere c:a) lucrarea a fost elaborat personal i mi aparine n ntregime;b) nu au fost folosite alte surse dect cele menionate n bibliografie;c) nu au fost preluate texte, date sau elemente de grafic din alte lucrri sau din alte surse fraficitatei frafi precizatsursaprelurii, inclusivncazul ncaresursao reprezint alte lucrri ale mele;d) lucrarea nu a mai fost folosit n alte contexte de examen sau de concurs.Data, Semntura,Page 73