matematica calcul variational

CALCUL VARIATIONAL CU APLICATII IN INGINERIE

Constantin Udriste, Ionel Tevy

POSDRU/86/1.2/S/62485

PREFAT A

Cursul de Calcul Variational cu Aplicatii ^n Inginerie se preda studentiloringineri, anul IV, de la Facultatea de Stiinte Aplicate, sectia matematica-informatica, din Universitatea Politehnica Bucuresti. Anumite teme se predausi la alte facultati, ^n special la cursurile de master sau doctorat, ind nelipsitedin lucrarile ce se pot publica ^n revistele categorisite acum "ca ind ISI".

Capitolele au fost structurate dupa importanta, accesibilitatea si impactulnotiunilor teoretice capabile sa contureze un viitor specialist bazat pe instru-mente de optimizare matematica. Tatonarile si variantele intermediare s-au^ntins pe un numar de sapte ani, duca^nd la selectarea celor mai importante simaneabile notiuni si atinga^nd maturitatea prin aceasta varianta pe care ne-amdecis sa o publicam.

Tematica cursului include sase capitole: extremele functionalelor diferentia-bile; principii variationale; modele bazate pe energii; levitatie, senzori, di-namica geometrica, miscarea particulelor, va^nt; extreme cu legaturi neolonome,probleme- extremale libere si conditionate.

Autoritatea stiintica pe care o avem ne-a permis sa ne impunem punctulde vedere asupra tematicii si asupra tipurilor de rationamente ce merita sa eoferite cititorilor de texte de calcul variational. Totul a fost structurat ^n bene-ciul optimizarii functionalelor ce descriu fenomene zice sau ingineresti sem-nicative. Pentru deblocarea mintii studentilor, am preferat un limbaj simpli-cat, specic matematicilor aplicate, trimita^nd cititorii de matematica puracatre bibliograe. Experienta ^ndelungata ca profesori de matematica ^n uni-versitati tehnice ne-a pregatit sa expunem uent idei dezbracate de formalizariexcesive, cu mare impact asupra ^ntelegerii de catre studenti a fenomenelornaturale ^nta^lnite ^n inginerie si economie precum si ^mbracarea acestora ^nhaina matematica. I^n acest sens, am preferat modelarea matematica ca su-port stiintic de prezentare inteligenta a lumii reale si am evitat hatisul denotiuni abstracte specic matematicii pure.

Problemele de noutate au fost denitivate ^n urma unor discutii repetatecu profesorii de la Facultatea de Stiinte Aplicate, ^n special cu cei interesati deoptimizarea functionalelor, carora le aducem multumiri si ga^nduri de apreciere.Suntem deschisi la orice fel de observatii sau critici ce aduc benecii didacticepentru teoriile de calcul variational.

Ianuarie 2012 Constantin Udriste, Ionel Tevy

iii

CONTINUT

PREFAT A . . . . . . iii

Cap. 1. EXTREMELE FUNCTIONALELOR DIFERENTIABILE . . . . . . 11 Functionale diferentiabile . . . . . . 12 Extremele functionalelor diferentiabile . . . . . . 53 Variatia a doua; conditii suciente de extrem . . . . . . 144 Optim cu restrictii; principiul de reciprocitate . . . . . . 18Bibliograe . . . . . . 21

Cap. 2. PRINCIPII VARIATIONALE . . . . . . 231 Probleme cu conditii naturale la frontiera . . . . . . 232 Sucienta prin testul Legendre-Jacobi . . . . . . 273 Dinamica Lagrangiana unitemporala . . . . . . 304 Testul de invexitate . . . . . . 315 Dinamica Lagrangiana multitemporala . . . . . . 325.1 Cazul functionalelor integrale multiple . . . . . . 345.2 Testul de invexitate . . . . . . 345.3 Cazul functionalelor integrale curbilinii

independente de drum . . . . . . 365.4 Testul de invexitate . . . . . . 39Bibliograe . . . . . . 40

Cap. 3. MODELE OPTIMALE BAZATE PE ENERGII . . . . . . 431 Problema brachistochronei . . . . . . 432 Fra^nghii, lanturi si cabluri . . . . . . 453 Pendule . . . . . . 473.1 Pendulul plan . . . . . . 473.2 Pendulul sferic . . . . . . 483.3 Pendulul de lungime variabila . . . . . . 49

vii

4 Baloane de sapun . . . . . . 49

5 Grinda ^ncastrata . . . . . . 506 Ecuatia unei microstructuri evolutive . . . . . . 517 Evolutia unui sistem format dinmai multe particule . . . . . . 52

7.1 Conservarea momentului liniar . . . . . . 537.2 Conservarea momentului unghiular . . . . . . 547.3 Conservarea energiei . . . . . . 558 Coarda vibranta . . . . . . 559 Membrana vibranta . . . . . . 5910 Ecuatia Schrodinger din mecanica cuantica . . . . . . 62Bibliograe . . . . . . 63

Cap. 4. LEVITATIE, SENZORI, DINAMICA GEOMETRICA,

MISCAREA PARTICULELOR, VA^NT . . . . . . 65

1 Levitatia magnetica . . . . . . 651.1 Subsistemul electric . . . . . . 671.2 Subsistemul electromecanic . . . . . . 651.3 Modelul neliniar al starilor . . . . . . 661.4 Modelul bidimensional liniarizat al starilor . . . . . . 672 Problema senzorilor . . . . . . 672.1 Problema simplicata . . . . . . 682.2 Extinderea problemei simplicate . . . . . . 693 Miscarea unei particule ^nca^mpul gravito-vortex nestationar . . . . . . 70

4 Dinamica geometrica generata de un curent side o metrica Riemanniana . . . . . . 71

5 Miscarea particulei ^ncarcate ^nca^mpul electromagnetic . . . . . . 72

5.1 Dinamica geometrica uni-temporala indusa depotentialul vectorial A . . . . . . 74

5.2 Dinamica geometrica uni-temporala produsa deinductia magnetica B . . . . . . 75

5.3 Dinamica geometrica uni-temporala produsa deca^mpul electric E . . . . . . 75

viii

5.4 Potentiale asociate formelor electromagnetice . . . . . . 765.5 Potential asociat cu 1-forma electrica E . . . . . . 765.6 Potential asociat 1-formei magnetice H . . . . . . 785.7 Potential asociat la 1-forma potential A . . . . . . 786 Teoria va^nturilor si dinamica geometrica . . . . . . 796.1 Dinamica geometrica pendulara si va^ntul pendular . . . . . . 806.2 Dinamica geometrica Lorenz si va^ntul Lorenz . . . . . . 82Bibliograe . . . . . . 83

Cap. 5. EXTREMALE CU LEGATURI NEOLONOME . . . . . . 85

1 Modele cu legaturi olonome si neolonome . . . . . . 852 Cilindru rostogolitor ca model cu legaturi olonome . . . . . . 863 Disc rostogolitor (unicicleta) ca model cu legaturi neolonome . . . . . . 873.1 Geodezice neolonome . . . . . . 883.2 O cale simplicata de obtinere a geodezicelor . . . . . . 903.3 Dinamica unicicletei . . . . . . 904 Legaturi neolonome la automobil ca robot cu patru roti . . . . . . 925 Legaturi neolonome la trailerul cu mai multe remorci . . . . . . 936 Exemple . . . . . . 957 Probleme . . . . . . 95Bibliograe . . . . . . 98

Cap. 6. PROBLEME: EXTREMALE LIBERE SI CONDIT IONATE . . . . . . 99

1 Extremale ale functionalelor integrale simple . . . . . . 992 Extremale ale functionalelor integrale curbilinii . . . . . . 1023 Extremale ale functionalelor integrale multiple . . . . . . 1044 Extremale ale functionalelor integrale simple

cu restrictii ecuatii diferentiale . . . . . . 1085 Extremale ale functionalelor integrale simple

cu restrictii neolonome . . . . . . 1136 Extremale ale functionalelor integrale simple

cu restrictii izoperimetrice . . . . . . 1167 Extremale ale functionalelor integrale multiple

cu restrictii ecuatii cu derivate partiale . . . . . . 1198 Extremale ale functionalelor integrale multiple

cu restrictii neolonome . . . . . . 121

ix

9 Extremale ale functionalelor integrale multiple

cu restrictii izoperimetrice . . . . . . 12310 Extremale ale functionalelor integrale curbilinii

cu restrictii ecuatii cu derivate partiale . . . . . . 12511 Extremale ale functionalelor integrale curbilinii

cu restrictii neolonome . . . . . . 12712 Extremale ale functionalelor integrale curbilinii

cu restrictii izoperimetrice . . . . . . 129Bibliograe . . . . . . 132

LISTA DE NOTIUNI . . . . . . 135INDEX DE NOTIUNI . . . . . . 139

x

CAPITOLUL 1

EXTREMELE FUNCTIONALELOR DIFERENTIABILE

Motto: "Te ^nvata mama minte:Si i-a dat un ou erbinte "

Tudor Arghezi - Zdreanta

Calculul variational are ca scop generalizarea constructiilor analizei clasice, pentru re-

zolvarea problemelor de extremum ^n spatii functionale. I^n acest Capitol, introductiv, vom

studia problema functionalelor diferentiabile pe diverse clase de functii.

1 Functionale diferentiabile

Sa amintim mai ^nta^i denitia functiei diferentiabile din analiza clasica.Fie o functie f : D Rn ! R: Daca functia f(x) = f(x1; x2; :::; xn) are

derivate partiale continue ^n raport cu ecare dintre variabilele x1; x2; :::; xn,atunci la cresterea argumentului cu h = (h1; h2; :::; hn) avem

f(x+ h) f(x) =nX

j=1

@f

@xj(x)hj + r(x; h):

Primul termen din membrul drept reprezinta diferentiala functiei f ^n punctulx, o forma liniara de cresterea argumentului, vectorul h; cel de-al doilea termeneste abaterea de la aproximarea liniara si este mic ^n raport cu h, ^n sensul ca

limh!0

r(x; h)

khk = 0:

Denitia precedenta se poate extinde imediat la cazul functiilor f : D U! V, unde U;V sunt spatii vectoriale normate. Daca U este un spatiu defunctii, iar V = R, se foloseste termenul de functionala.

Denitia 1 Functia f este diferentiabila ^n punctul x 2 D daca existaun operator liniar si continuu L(x; ) si o functie continua r(x; ) astfel ^nca^tpentru orice vector h 2 U sa avem

10 f(x+ h) f(x) = L(x; h) + r(x; h);

20 limh!0

r(x; h)

khk = 0:

1

2 Extremele functionalelor diferentiabile

Operatorul liniar si continuu L(x; ) este derivata functiei f ^n punctul x.Pentru un vector h 2 U, xat si t > 0, vectorul

(x; h) = limt!0

f(x+ th) f(x)t

2 V;

daca limita exista, se numeste variatia functiei f ^n punctul x dupa directia h.O functie, de variabile reale, diferentiabila are derivate dupa orice directie.

Proprietatea se pastreaza si pentru functii ^ntre spatii vectoriale normate. Maiexact are loc urmatoarea

Propozitie Daca functia f : D U ! V este diferentiabila ^n punctulx 2 D, atunci pentru orice vector h 2 U functia f(x+ th), de variabila realat 0, este derivabila ^n raport cu t, pentru t = 0 si

df

dt(x+ th)jt=0 = f(x; h) = L(x; h):

Demonstratie Derivata cautata este evident f(x; h) si atunci

df

dt(x+ th)jt=0 = f(x; h) = lim

t!0f(x+ th) f(x)

t

= limt!0

L(x; th) + r(x; th)

t= lim

t!0tL(x; h) + r(x; th)

t

= L(x; h) + limth!0

r(x; th)

kthk khk = L(x; h):

Exemple 1. Orice operator liniar si continuu T : U! V este, evident, ofunctie diferentiabila ^n orice punct x si T (x; h) = L(x; h) = T (h) deoarece

T (x+ h) T (x) = T (h):

Fie f o functie. Cele mai simple exemple de functionale sunt: (1) "aplicatiaunei functii pe valoarea sa ^ntr-un punct", f ! f(x0), unde x0 este un punctxat; (2) functionale denite prin integrale. Noi ne vom ocupa ^n continuarenumai de asemenea functionale.

2. Sa consideram functionala

J(x()) =Z baL(t; x(t))dt;

denita pe spatiul C[a; b] al functiilor continue pe segmentul [a; b], ^nzestrat cunorma convergentei uniforme. Lagrangianul functionalei, functia L(t; x), este

CALCUL VARIATIONAL CU APLICATII IN INGINERIE 3

presupus continuu si cu derivate partiale de ordinul ^nta^i continue ^n domeniula t b; 1 < x < +1. Sa determinam variatia functionalei J(x()) ca^ndargumentul x(t) creste cu h(t):

4J(x()) = J(x+ h) J(x) =Z ba[L(t; x(t) + h(t)) L(t; x(t))]dt:

Deoarece functia L este diferentiabila avem

L(t; x+ h) L(t; x) = @L@x

h+ r(t; x; h);

unde

limh!0

r(t; x; h)

h= 0:

De aceea

J(x; h) =

Z ba

@L(t; x(t))

@xh(t)dt:

Altfel, conform propozitiei precedente si formulei de derivare a integralelor cuparametru, avem

J(x; h) =dJ

d"(x+ "h)j"=0 = d

d"

Z baL(t; x(t) + "h(t))dtj"=0 =

=

Z ba

@L(t; x(t))

@xh(t)dt: (1)

3. Sa consideram functionala

J(x()) =Z baL(t; x(t); x0(t))dt;

denita pe spatiul C1[a; b] al functiilor cu derivata continua pe segmentul[a; b], ^nzestrat cu norma convergentei uniforme a derivatelor. Lagrangianulfunctionalei, functia L(t; x), este presupus continuu si cu derivate partiale deordinul ^nta^i continue ^n domeniul a t b; 1 < x < +1.

Aplica^nd formula de derivare a integralelor cu parametru obtinem

J(x; h) =dJ

d"(x+ "h)j"=0

=d

d"

Z baL(t; x(t) + "h(t); x0(t) + "h0(t))dtj"=0 =

=

Z ba

@L

@x(t; x(t); x0(t))h(t) +

@L

@x0(t; x(t); x0(t))h0(t)

dt: (2)


I^n mod analog, putem extinde rezultatul la functionala

J(x()) =Z baL(t; x(t); x0(t); :::; x(m)(t))dt;

denita pe spatiul Cm[a; b] al functiilor cu derivate continue pa^na la ordinulm inclusiv, pe segmentul [a; b]. Astfel avem

J(x; h) =

Z ba

@L

@xh(t) +

@L

@x0h0(t) + :::+

@L

@x(m)h(m)(t)

dt: (3)

4. Putem sa consideram si functionale care depind de mai multe variabilefunctii, de exemplu

J(x1(); :::; xn()) =Z baL(t; x1(t); :::; xn(t); _x1(t); :::; _xn(t))dt;

denita pe spatiul (C1[a; b])n, ale carui elemente sunt functiile vectoriale x(t) =(x1(t); :::; xn(t)); t 2 [a; b], cu norma convergentei uniforme a derivatelor

kxk = maxt2[a;b]

[jx1(t)j; :::; jxn(t)j; j _x1(t)j; :::; j _xn(t)j ]

(prin _x s-a notat derivata ^n raport cu t.)Presupuna^nd ca Lagrangianul L are derivate partiale continue, nota^nd

h(t) = (h1(t); :::; hn(t)), obtinem pentru variatia functionalei J ,

J(x; h) =

Z ba

@L

@x1h1(t) + :::+

@L

@xnhn(t) +

@L

@ _x1_h1(t) + :::+

@L

@ _xn_hn(t)

dt:

(4)5. I^n nal, sa consideram functionale ale caror argumente sunt functii de

mai multe variabile reale. Ca exemplu vom lua, mai ^nta^i, functionala integralamultipla

J(w()) =Z Z

L(x; y; w(x; y); wx(x; y); wy(x; y)) dx dy;

unde am notat pentru prescurtare

wx =@w

@x; wy =

@w

@y:

Functionala este denita pe spatiul C1() al functiilor cu derivate partialecontinue pe domeniul compact R2, ^n acest spatiu norma ind data prin

kwk = max(x;y)2

[ jw(x; y)j; jwx(x; y)j; jwy(x; y)j ] :


Presupuna^nd ca Lagrangianul L are derivate partiale continue, variatia functionaleiJ la cresterea argumentului w cu h(x; y) este

J(w; h) =dJ

d"(x+ "h)j"=0 =

=d

d"

Z Z

L(x; y; w + "h;wx + "hx; wy + "hy) dx dyj"=0 =

=

Z Z

@L

@wh+

@L

@wxhx +

@L

@wyhy

!dx dy : (5)

Un alt exemplu ^l constituie functionala integrala curbilinie (in)dependentade drum

J(w()) =Z[L1(x; y; w(x; y); wx(x; y); wy(x; y)) dx+

+L2(x; y; w(x; y); wx(x; y); wy(x; y)) dy ];

unde este o curba de clasa C1 pe portiuni care uneste doua puncte xateA; B ^ntr-un domeniu compact R2.

I^n mod analog, la cresterea argumentului functie cu h(x; y), variatia functionaleieste

J(w; h) =

Z

@L1@w

h+@L1@wx

hx +@L1@wy

hy

!dx+

@L2@w

h+@L2@wx

hx +@L2@wy

hy

!dy :

(6)


Fie o functionala J : D U ! R, denita pe o submultime D a unui spatiuvectorial normat U de functii. Prin denitie, functionala J are un minim(relativ) ^n punctul x0 din D, daca exista o vecinatate V , a punctului x0,astfel ^nca^t

J(x0) J(x); 8x 2 V \D:Daca punctul x0 are o vecinatate V , ^n care are loc inegalitatea contrara

J(x0) J(x); 8x 2 V \D;

spunem ca x0 este punct de maxim (local) pentru functionala J . Punctele deminim sau de maxim se numesc puncte de extrem (relativ).


I^n analiza clasica, punctele de extrem ale unei functii diferentiabile segasesc printre punctele critice, adica printre punctele care anuleaza derivatelede primul ordin. O proprietate asemanatoare are loc si ^n cazul functionalelorpe spatii vectoriale normate de functii.

Propozitie Daca x (functie) este un punct de extrem pentru functionalaJ , interior multimii D si daca J este diferentiabila ^n acest punct, atunciJ(x; h) = 0 pentru orice crestere h.

Demonstratie Fie h o crestere a argumentului x (functie); deoarece xeste punct interior al multimii D, functia J(x + th) de variabila reala t estedenita pe ^ntreg intervalul [-1, 1]. Aceasta functie are ^n t = 0 un punctde extrem si este derivabila ^n acest punct. Atunci derivata ei se anuleaza ^nt = 0. Rezulta

J(x; h) =dJ(x+ th)

dtjt=0 = 0:

Orice punct x ^n care variatia J(x; h) a functionalei J se anuleaza identic^n raport cu h se numeste punct stationar sau punct critic al functionalei.

Deci, pentru stabilirea punctelor de extrem ale unei functionale trebuieexprimata variatia J(x; h), determinate punctele critice (cele ^n care variatiase anuleaza identic ^n raport cu h) si apoi alese dintre acestea punctele demaxim si/sau de minim.

Comentariu Variatia J(x; h) a functionalei J este o functionala liniarasi continua pe spatiul vectorial normat U pe care este denita J . MultimeaU a tuturor functionalelor liniare si continue pe U se numeste spatiul dual.Astfel evaluarea variatiei unei functionale impune existenta unor teoreme dereprezentare pentru spatiul dual.

De exemplu, pentru orice functionala liniara L : Rn ! R exista un vectora = (a1; :::; an) 2 Rn asfel ^nca^t

L(h) = a1h1 + :::+ anhn; 8h 2 Rn:

De asemenea, orice functionala liniara si continua L : C[a; b] ! R, pespatiul functiilor continue, se poate scrie sub forma

L(h) =

Z bah(t) dgL(t) ;

unde gL este o functie cu variatie marginita si continua la dreapta (F. Riesz).Pentru continuarea programului de determinare a punctelor de extrem,

anularea identica a variatiei ^nta^ia, avem nevoie de urmatorul rezultat.Lema fundamentala a calculului variational Daca x este o functie

continua pe intervalul [a; b] si daca pentru orice functie continua h, nula ^n a


si b, este adevarata egalitateaZ bax(t)h(t)dt = 0 ;

atunci x(t) = 0; 8t 2 [a; b].Demonstratie Sa presupunem ca ar exista un punct t0 2 [a; b] ^n care

x(t0) 6= 0. Fie x(t0) > 0. Atunci exista o vecinatate V = (t0 "; t0 + "), alui t0 ^n care x(t) > 0. Sa consideram o functie continua h, strict pozitiva ^nvecinatatea V si nula ^n afara acesteia (de exemplu, h(t) = (tt0+")(t0+"t)pentru t 2 V ). AtunciZ b

ax(t)h(t)dt =

Z t0+"t0"

x(t)h(t)dt > 0;

ceea ce contrazice ipoteza si ^ncheie demonstratia lemei.Observatii 1) Multimea de functii h pentru care trebuie vericata egal-

itatea din lema poate deseori redusa. Dupa cum se vede din demonstratialemei fundamentale, functiilor h le putem impune conditii de derivabilitate deorice ordin, anularea spre capetele intervalului etc. Esential este ca pentruorice t 2 [a; b] si orice " > 0 sa existe ^n multimea functiilor test o functiestrict pozitiva ^n intervalul (t0 "; t0 + ") si nula ^n rest.

2) I^ntr-o formulare asemanatoare si cu modicari evidente ale demonstrati-ei, lema fundamentala a calculului variational se mentine ^n vigoare si pentrufunctii de mai multe variabile.

3) De asemenea, putem observa ca ^n constructiile precedente este sucientca functionala J sa e denita pe o varietate liniara sau cel putin pe o multimeconvexa: odata cu doua puncte x si x+h sa se ae ^n multimea de denitie sitoate punctele de forma x+ th pentru orice t 2 R sau macar t 2 [1; 1]. Maiexact, putem impune restrictii (conditii) punctelor de extrem si variatiilor h,rama^na^nd ^nsa ^ntr-o varietate liniara.

Exercitiu a) Fie x o functie de clasa Ck pe intervalul [a; b]. Daca pentruorice h 2 Ck[a; b], nula ^n a si b, ^mpreuna cu primele sale k 1 derivate, esteadevarata egalitatea Z b

ax(t)h(k)(t)dt = 0 ;

atunci x este un polinom de grad k 1.b) Enuntul precedent rama^ne ^n vigoare si daca x este numai o functie

continua.Solutie a) Proprietatea "x este un polinom de grad k 1" este echiva-

lenta cu "x(k) = 0, pentru orice t 2 [a; b]". Ne inspiram din demonstratia


lemei fundamentale. Sa presupunem ca ar exista un punct t0 2 [a; b] ^n carex(k)(t0) 6= 0. Fie x(k)(t0) > 0. Atunci exista o vecinatate V = (t0 "; t0 + "),a lui t0 ^n care x

(k) > 0. Sa consideram functia h 2 Ck[a; b] denita prinh(t) = (t t0 + ")k(t0 + " x)k, pentru t 2 V si nula ^n rest. Presupuna^nd caV (a; b), functia h, ^mpreuna cu primele k 1 derivate, este nula ^n a si b.Integra^nd de k ori prin parti se obtineZ b

ax(t)h(k)(t)dt = x(t)h(k1)(t)jba

Z bax0(t)hk1(t)dt = :::

= (1)kZ bax(k)(t)h(t)dt = (1)k

Z t0+"t0"

x(k)(t)h(t)dt 6= 0;

(> 0 sau < 0 dupa cum k este par sau impar) ceea ce contrazice ipoteza.b) Demonstram, mai ^nta^i, urmatorul rezultat: O functie g, continua pe

[a; b], este derivata de ordin k a unei functii h de clasa Ck, nula ^n a si b,^mpreuna cu primele sale k 1 derivate, g = h(k), daca si numai dacaZ b

atp g(t) dt = 0 ; 8p 2 f0; 1; :::; k 1g : (P )

Evident, daca g = h(k), proprietatea (P ) rezulta integra^nd prin parti deca^te ori este necesar.

Reciproc, notam

h(t) =

Z ta

Z ska

:::

Z s2a

g(s1) ds1:::dsk =1

n!

Z tag(s)(t s)k1 ds :

Atunci h(k) = g si h(a) = h0(a) = :::h(k1)(a) = 0, iar egalitatile din propri-etatea (P ), ^n care punem g = h(k) si integram prin parti, ne dau succesivh(k1)(b) = ::: = h0(b) = h(b) = 0.

I^ntorca^ndu-ne la problema propusa, sa notam g(t) = x(t) (c0 + c1t +:::+ ck1tk1) si sa determinam coecientii c0; c1; :::ck1 astfel ^nca^t functia gsa verice egalitatile proprietatii (P ). Proprietatiile de ortogonalizare ^ntr-unspatiu vectorial euclidian asigura existenta acestei determinari. Atunci putemlua h(k) = g si obtinem

0 =

Z bax(t) g(t) dt =

Z ba(g(t) + (c0 + c1t+ :::+ ck1tk1)) g(t) dt =

=

Z bag2(t) dt+

Z ba(c0 + c1t+ :::+ ck1tk1) g(t) dt =

Z bag2(t) dt:

Rezulta g(t) = 0; 8t 2 [a; b], adica x este un polinom de grad cel mult k 1.


Observatie Rezultatul precedent ilustreaza pe o situatie concreta egali-tatea U?? = U , pentru orice subspatiu ^nchis al unui spatiu Hilbert.

Sa examinam depistarea punctelor critice pentru functionalele ale carorvariatii au fost determinate ^n sectiunea precedenta.

1. Evident, o functionala liniara si continua T : U ! R, nenula, nu arepuncte critice.

2. Pentru functionalele de tipul

J(x()) =Z baL(t; x(t))dt;

variatia este data de formula (1). Atunci, aplica^nd lema fundamentala obtinemecuatia

@L

@x(t; x(t)) = 0 : (7)

Ecuatia de mai sus se poate rezolva, conform teoremei functiilor implicite,obtina^ndu-se solutii x = x(t), ^n jurul punctelor (x0; y0) ^n care

@L

@x(t0; x0) = 0;

@2L

@x2(t0; x0) 6= 0:

3. Un loc aparte, generic ^n calculul variational, ^l au functionalele de tipul

J(x()) =Z baL(t; x(t); x0(t))dt:

Variatia acesteia este data de formula (2) :

J(x; h) =

Z ba

@L

@x(t; x(t); x0(t))h(t) +

@L

@x0(t; x(t); x0(t))h0(t)

dt :

Integra^nd prin parti cel de-al doilea termen, variatia capata forma

J(x; h) =

Z ba

@L

@x ddt

@L

@x0

h(t) dt+

@L

@x0h(t)jba :

Pentru ca x sa e punct de extrem trebuie sa avem J(x; h) = 0, identic ^nraport cu h(t). I^ntruca^t printre variatiile h se gasesc si acelea pentru careh(a) = h(b) = 0, uza^nd de observatiile la lema fundamentala, obtinem cafunctia x care realizeaza extremul trebuie sa verice ecuatia (diferentiala deordinul al doilea, cel mult)

@L

@x ddt

@L

@x0

= 0: (8)


Ecuatia de mai sus se numeste ecuatia Euler - Lagrange ; solutiile sale senumesc extremale ale functionalei date.

Deci, functiile x care realizeaza un extrem se gasesc printre extremalelefunctionalei.

Ecuatia (8) se scrie explicit

@2L

@x0@x0x00 +

@2L

@x@x0x0 +

@2L

@t@x0 @L

@x= 0:

Daca aceasta ecuatie este de ordinul al doilea, atunci solutia sa generala de-pinde de doua constante arbitrare, astfel ca pentru alegerea unei anumitesolutii trebuie sa impunem conditii suplimentare.

Extremale cu capete xe. Impunem extremalelor valori date la capeteleintervalului de integrare: x(a) = x1; x(b) = x2. I^n acest caz avem numaih(a) = h(b) = 0 si conditia necesara de extrem se reduce la ecuatia Euler -Lagrange (8). Aceasta ^mpreuna cu conditiile la capete determina, ^n general,o extremala unica.

Extremale cu ordonate libere la capete. Sa presupunem xat numai punc-tul x(a) = x1 . Atunci, ^n urma ecuatiei Euler - Lagrange rama^ne conditia@L

@x0h(b) = 0. Deoarece h(b) este arbitrar, se obtine ca o a doua conditie

@L

@x0(b; x(b); x0(b)) = 0. I^n acest fel obtinem din nou o extremala unica. Ul-

tima egalitate se numeste conditie la limita naturala.Evident, daca lasam libere ordonatele ^n ambele capete, vom obtine doua

conditii la limita naturale.Extremale cu capete pe curbe date. Sa presupunem din nou x(a) = x1 ,

iar capatul din dreapta al gracului extremalei variabil pe o curba data x =g(t). I^n acest caz functionala J(x()) devine o intrgrala cu limita superioaravariabila. Pentru variatia functionalei obtinem, aplica^nd formula de derivarea integralelor cu parametru,

J(x; h) =dJ

d"(x+ "h)j"=0

=d

d"

Z b(")a

L(t; x(t) + "h(t); x0(t) + "h0(t))dtj"=0 =Z ba

@L

@x(t; x(t); x0(t))h(t) +

@L

@x0(t; x(t); x0(t))h0(t)

dt+L(b; x(b); x0(b))b0(")j"=0;

unde b este dat de egalitatea x(b) = g(b):Pentru a evalua b 0(")j"=0, utilizam conditia pe capatul din dreapta, adica

x(b(")) + "h(b(")) = g(b(")) :


Deriva^nd, ^n raport cu " si puna^nd " = 0, obtinem

x0(b) b0(0) + h(b) = g0(b) b0(0) ;

de unde

b0(0) =h(b)

g0(b) x0(b) :

Atunci, dupa o integrare prin parti si observatia ca putem lua h(a) = 0, gasim

J(x; h) =

Z ba

@L

@x ddt

@L

@x0

h(t) dt+

+

@L

@x0(b; x(b); x0(b)) L(b; x(b); x

0(b))g0(b) x0(b)

h(b) :

Deoarece variatia h este arbitrara, obtinem, ca mai ^nainte, ecuatia Euler -Lagrange (8) si apoi conditia de transversalitate

@L

@x0(b; x(b); x0(b)) L(b; x(b); x

0(b))g0(b) x0(b) = 0 (9)

(conditia de transversalitate impune g0(b) x0(b) 6= 0 , adica extremala sicurba x = g(t) sa nu e tangente ^n punctul de contact).

Evident, daca si capatul din dreapta al gracului extremalei este variabilpe o curba data x = f(t), vom avea si ^n acest capat o conditie similara detransversalitate

@L

@x0(a; x(a); x0(a)) L(a; x(a); x

0(a))f 0(a) x0(a) = 0 ;

unde a este dat de egalitatea x(a) = f(a) .

Rezultatele se extind pentru functionale cu derivate de ordin superior,

J(x()) =Z baL(t; x(t); x0(t); :::; x(m)(t))dt;

pleca^nd de la expresia (3) a variatiei. Integra^nd prin parti de mai multe ori siutiliza^nd lema fundamentala, ecuatia Euler - Lagrange capata forma

@L

@x ddt

@L

@x0

+

d2

dt2

@L

@x00

:::+ (1)m d

m

dtm

@L

@x(m)

= 0 ; (10)

o ecuatie diferentiala de ordinul 2m.


4 Pentru functionale care depind de mai multe variabile functii

J(x1(); :::; xn()) =Z baL(t; x1(t); :::; xn(t); _x1(t); :::; _xn(t))dt;

extremalele sunt date de un sistem de ecuatii Euler - Lagrange

@L

@xi ddt

@L

@ _xi

= 0; i = 1; :::; n: (11)

Problemele la care sunt supuse extremalele se pun si se rezolva ca ^n cazulprecedent.

5 I^n cazul functionalei integrala multipla

J(w()) =Z Z


variatia este data de relatia (5). Integra^nd prin parti si utiliza^nd formula luiGreen obtinem

J(w; h) =

Z Z

"@L

@w @@x

@L

@wx

@@y

@L

@wy

!#h(x; y) dx dy+

+

Z Z

"@

@x

@L

@wxh

+

@

@y

@L

@wyh

!#dx dy

=

Z Z

"@L

@w @@x

@L

@wx

@@y

@L

@wy

!#h(x; y) dx dy+

+

Z@

h(x; y)

@L@wy

dx+@L

@wxdy

!;

unde @ reprezinta frontiera domeniului .Daca functia w este punct de extrem, trebuie sa avem J(w; h) = 0, identic

^n raport cu h. T ina^nd cont ca avem variatii h nule pe frontiera @, aplicamlema fundamentala precum si observatiile ce o ^nsotesc. Gasim ca functia wtrebuie sa verice ecuatia cu derivate partiale (de ordinul doi), numita ecuatiaEuler - Lagrange, (uneori ecuatia Euler-Ostrogradski),

@L

@w @@x

@L

@wx

@@y

@L

@wy

!= 0 : (12)

Solutiile acestei ecuatii se numesc suprafete extremale ; orice punct de extremeste o suprafata extremala.


I^n nal sa examinam extremele functionalei integrala curbilinie

J(w()) =Z[L1(x; y; w(x; y); wx(x; y); wy(x; y)) dx

+L2(x; y; w(x; y); wx(x; y); wy(x; y)) dy ];

unde este o curba de clasa C1 pe portiuni care uneste doua puncte xateA; B ^ntr-un domeniu compact R2.

Variatia acestei functionale este data de formula (6) care, dupa o integrareprin parti, devine

J(w; h) =

Z

"@L1@w

@@x

@L1@wx

@@y

@L1@wy

!#h dx

+

"@L2@w

@@x

@L2@wx

@@y

@L2@wy

!#h dy

+

Z

"@

@x

@L1@wx

h

+

@

@y

@L1@wy

h

!#dx +

"@

@x

@L2@wx

h

+

@

@y

@L2@wy

h

!#dy :

Pentru a avea un extrem este necesar sa anulam, identic ^n raport cu h, variatiaJ(w; h). I^n acest scop folosim variatii h, cu h(A) = h(B) = 0, pentru care

@

@y

@L1@wy

h

!=

@

@x

@L2@wx

h

:

Sistemul de mai sus are ^ntotdeauna solutie ind de tip factor integrant. Pentrudimensiuni mai mari, superioare lui 2, situatia este ceva mai complicata si va rezolvata ^n capitolele urmatoare.

Astfel conditia de punct critic devineZ

"@L1@w

@@x

@L1@wx

@@y

@L1@wy

!#h dx

+

"@L2@w

@@x

@L2@wx

@@y

@L2@wy

!#h dy = 0;

pentru orice variatie h ^n conditiile precedente.Va trebui sa distigem doua situatii dupa cum integrala este luata pe o

curba xata sau este independenta de drum. Vom face, pentru prescurtare,urmatoarele notatii:

L1 = @L1@w

@@x

@L1@wx

@@y

@L1@wy

!;


L2 = @L2@w

@@x

@L2@wx

@@y

@L2@wy

!;

L = (L1 ;L2) :a) Daca integrala este luata pe un drum xat : x = x(t); y = y(t), iar =

( _x; _y) este ca^mpul viteza al curbei, conditia de punct critic este ortogonalitateape a ca^mpurilor L si , adica,

L1 _x+ L2 _y = 0: (13)

b) Daca functionala este independenta de drum, conditia de punct critic(13) trebuie sa e ^ndeplinita pentru orice vector si atunci obtinem sistemul

@L1@w

@@x

@L1@wx

@@y

@L1@wy

!= 0

@L2@w

@@x

@L2@wx

@@y

@L2@wy

!= 0 : (14)

3 Variatia a doua; conditii suciente de extrem

Cel de al treilea pas ^n rezolvarea problemelor variationale este alegerea dintrepunctele critice a acelora ce realizeaza efectiv un extrem. I^n situatii concrete,provenite din geometrie, zica, inginerie sau economie, realizarea extremeloreste impusa de natura problemei. Teoretic vorbind, trebuie sa gasim conditiisuciente de extrem. Pentru aceasta denim variatia a doua a unei functionale.

Sa ne ^ntoarcem la denitia diferentiabilitatii, denitia 1, si sa presupunemca functia f este derivabila pe ^ntreg domeniul sau de denitie D. Atuncioperatorul derivata L(x; ) devine o functie ^ntre doua spatii normate

L(; ) : D U! L(U;V) ;

unde L(U;V) este spatiul normat al operatorilor liniari si marginiti de la U laV. Daca aceasta functie este diferentiabila ^ntr-un punct x 2 D, derivata ^n xa functiei L se numeste derivata a doua a functiei f ^n punctul x. Derivata adoua este un operator biliniar si continuu de la U la V sau, prin identicareavariatiilor, un operator patratic.

Concret, ^n cazul functionalelor de care ne-am ocupat anterior avem urma-toarele rezultate.


Denitia 2 Daca variatia J(x; h) este diferentiabila ca functie de x,variatia ei (J(x; h))(k) se numeste variatia a doua a functionalei J si senoteaza 2J(x;h; k).

Propozitie Daca functionala J este de doua ori diferentiabila, atunci

2J(x;h; h) =d2

d"2J(x+ "h)j"=0 :

Pe de alta parte sa presupunem ca abaterea de la aproximarea liniara,r(x; h), mica ^n raport cu h, poate aproximata cu un operator patratic,adica

r(x; h) = A(h; h) + r1(x; h)

limh!0

r1(x; h)

khk2 = 0 ;

unde A este un operator biliniar simetric. Atunci are loc urmatoarea propri-etate:

Formula Taylor de ordinul al doilea Avem egalitatea

A(h; h) =1

22J(x;h; h)

si ^n consecinta

4J(x()) = J(x+ h) J(x) = J(x; h) + 122J(x;h; h) + r1(x; h) :

I^n continuare vom prescurta 2J(x;h; h) prin 2J(x; h)I^n cazul ^n care x este punct critic, extremala, J(x; h) = 0, natura punctu-

lui critic este data de functionala patratica 2J(x; h). Ca si ^n cazul functiilorreale de variabile reale are loc urmatoarea

Teorema a) Conditie necesara Daca extremala x este un punct deminim al functionalei J , atunci 2J(x; h) 0 pentru orice h.

b) Conditie sucienta Daca pentru extremala x este ^ndeplinita conditia

2J(x; h) > Ckhk2 (C > 0fixat)

pentru orice h, atunci x este punct de minim pentru functionala J .Observatie Conditia b) nu poate slabita puna^nd 2J(x; h) > 0. De

exemplu, pentru functionala

J(x()) =Z 10x2(t)(t x(t)) dt


pe spatiul C[0; 1], functia nula x(t) = 0;8t 2 [0; 1], este punct critic si

2J(x = 0; h) =

Z 102t h2(t) dt > 0

pentru orice variatie h. Totusi J ia si valori negative ^n orice vecinatate afunctiei nule: pentru " > 0 si functia x"(t) = " t daca t < " si nula ^n rest,

J(x"()) =Z "0(" t)2(") dt < 0 :

Doua exemple de utilizare a variatiei de ordinul al doilea.

1 Pentru functionala J(x()) =Z baL(t; x(t))dt; variatia a doua este

2J(x; h) =

Z ba

@ 2L

@x2(t; x(t))h2(t) dt :

Pe de alta parte, dezvolta^nd dupa puterile lui h, ^n jurul punctului critic x,gasim

J(x; h) =

Z ba

1

2

@ 2L

@x2(t; x(t))h2(t) + r2(x; h)h

3(t)

!dt

=

Z bah2(t)

1

2

@ 2L

@x2(t; x(t)) + r2(x; h)h(t)

!dt ;

unde r2(x; ) este o functie marginita ^n jurul lui h = 0. Rezulta ca punctulcritic x este punct de minim al functionalei J , daca si numai daca

@ 2L

@x2(t; x(t)) > 0 ; 8t 2 [a; b]:

2 Pentru functionala J(x()) =Z baL(t; x(t); x0(t)) dt; variatia a doua este

2J(x; h) =1

2

Z ba

@ 2L

@x2h2 + 2

@ 2L

@x@x0hh0 +

@ 2L

@x0 2h0 2

!dt :

T ina^nd cont ca 2hh0 = (h2)0 si integra^nd al doilea termen prin parti, variatiaa doua devine

2J(x; h) =

Z ba

F (t)h2 +

1

2

@ 2L

@x0 2h0 2

!dt ; (15)


unde am notat F (t) =1

2

@ 2L

@x2 ddx

@ 2L

@x@x0

!!.

Conditia necesara Legendre Daca functia extremala x este punct deminim pentru J , atunci

@ 2L

@x0 2(t; x(t); x0(t)) 0 ; 8t 2 [a; b]:

Demonstratie Folosim acelasi procedeu ca ^n cazul lemei fundamentale.

Presupunem ca ^ntr-un punct t0 2 [a; b] avem @2L

@x0 2(t0; x(t0); x

0(t0)) < 0. Atunciaceeasi inegalitate va avea loc si pe o vecinatate U a punctului t0. Construimo variatie h(t0 + ), de clasa C

1, care sa aiba valori cuprinse ^ntre 0 si 1, sase anuleze ^n afara vecinatatii U si h(t0) = 1. I^n plus vom cere ca derivatafunctiei h sa e sucient de mare ^n modul pe anumite intervale. De exemplu,

daca U = (t0 "; t0 + "), putem lua h(t0 + ) = 1"4(m + ")2("m)2, daca

j j < "m

si 0 ^n rest. Un calcul direct ne daZj j< "

m

h(t0 + ) d =256

105

m

":

Daca@ 2L

@x0 2(t; x(t); x0(t)) C < 0, ^n U , avem

2J(x; h) Z bajF (t)j dt 256

105

m

"C

si atunci putem alege m astfel ^nca^t 2J(x; h) < 0, ceea ce contrazice conditianecesara de minim.

Conditia lui Legendre se extinde la functii de mai multe variabile. Astfel,daca functia extremala w este punct de minim pentru functionala

J(w()) =Z Z


atunci forma patratica

Q(h) = wxx(x; y) (h1)2 + 2wxy(x; y)h

1h2 + wyy(x; y)(h2)2

este pozitiv semidenita ^n orice punct din (notatia w reprezinta derivatede ordinul al doilea).

Conditii suciente de extrem specice si comode sunt greu de obtinut;unele, mai mult sau mai putin clasice, vor date ^n capitolele urmatoare.


4 Optim cu restrictii; principiul de reciprocitate

I^n problemele precedente functiile necunoscute erau arbitrare ^n multimea dedenitie a functionalei, ind supuse numai unor conditii pe frontiera. Ne vomocupa ^n continuare de probleme ^n care functiile necunoscute sunt supuseunor conditii privind ^ntreaga lor comportare. 1

1 Probleme izoperimetrice Cea mai simpla problema izoperimetricaeste urmatoarea: Sa se gaseasca functia x = x(t), extremum pentru functionala

J(x()) =Z baL(t; x(t); x0(t))dt; (16)

care are valori date la capetele intervalului x(a) = x1; x(b) = x2 si vericaconditia suplimentara

K(x) =

Z baG(t; x(t); x0(t))dt = c (constant): (17)

Sa presupunem ca x = x(t) este functia cautata si sa consideram variatia"h+ k asfel ^nca^t K(x+ "h+ k) = c, unde " si sunt parametri, iar h si ksunt functii pentru care h(a) = h(b) = k(a) = k(b) = 0. 2 Problema izoperi-metrica revine acum la armatia: Functia de doua variabile reale

J("; ) =

Z baL(t; x(t) + "h(t) + k(t); x0(t) + "h0(t) + k0(t))dt

are ^n punctul (0; 0) un extremum conditionat de restrictia

K("; ) =

Z baG(t; x(t) + "h(t) + k(t); x0(t) + "h0(t) + k0(t))dt = c:

Teoria multiplicatorilor lui Lagrange arma ca atunci exista un numar asfel^nca^t punctul (0; 0) este punct critic pentru functia ("; ) = J("; )+K("; ).Conditiile de punct critic

@

@"(0; 0) = 0;

@

@(0; 0) = 0;

1Cronologic, se pare ca prima problema de acest tip a fost problema Didonei (sec. IXaCh): Dintre toate curbele ^nchise de lungime data sa se gaseasca aceea care ^nchide o ariemaxima.

2Familia variatiilor depinde de doi parametri, deoarece variatia cu un singur parametrunu satisface ^n general conditia K = constant.


ne dau, via integrari prin parti, respectivZ ba

@L

@x ddt

@L

@x0

+

@G

@x ddt

@G

@x0

(t;x(t);x0(t))

h(t) dt = 0 ;

Z ba

@L

@x ddt

@L

@x0

+

@G

@x ddt

@G

@x0

(t;x(t);x0(t))

k(t) dt = 0 ;

pentru orice variatii h si k, nule ^n a si b; ^n consecinta paranteza dreapta dinintegralele de mai sus trebuie sa se anuleze si obtinem urmatoarea

Teorema Daca numarul real c nu este valoare extremala pentru integrala(17), atunci solutiile problemei izoperimetrice (16) + (17) sunt functii ex-tremale, fara conditii suplimentare, pentru functionala

J (x()) =Z baL(t; x(t); x0(t)) dt ;

unde L(t; x(t); x0(t)) = L(t; x(t); x0(t)) + G(t; x(t); x0(t)).I^ntr-adevar, rezolva^nd ecuatia diferentiala, de ordinul al doilea (cel mult),

@L@x

ddt

@L@x0

= 0 ; (18)

obtinem solutia generala depinza^nd de si de ^nca doua constante arbitrare.Cele trei constante se determina din restrictia (17) si conditiile la capeteleintervalului.

2 Principiul de reciprocitate Ecuatia (18) mai rezolva si urmatoareaproblema: dintre toate curbele care unesc doua puncte date, sa se determinecurba la variatia careia J = 0 de ^ndata ce K = 0 (curbele care rezolva oastfel de problema se numesc extremale conditionate).

I^ntr-adevar, daca functia x() verica ecuatia (18), avem (J+K) = 0; daratunci conditia K = 0 implica J = 0, adica x este o extremala conditionata.

Reciproc, se foloseste o proprietate simpla din teoria generala a functionale-lor liniare: daca functionala liniara f se anuleaza pe orice vector pe care se anu-leaza si functionala liniara g, atunci cele doua functionale sunt proportionale:

f(h) = g(h); 8h ( fixat):

Revenind la problema izoperimetrica, sa observam ca ^nmultind functia Lde sub integrala (16) cu o constanta nenula, familia de extremale a integraleinu se schimba; atunci putem scrie lagrangianul L sub forma simetrica

L = 1L+ 2G ;


unde 1 si 2 sunt constante. I^n aceasta reprezentare functiile L si G au rolurisimetrice. Daca excludem situatia 1 = 0 sau 2 = 0, obtinem principiul dereciprocitate: problema J = extrem cu conditia K = constant are aceeasifamilie de extremale ca si problema K = extrem cu conditia J = constant.

Extremum cu legaturi: problema LagrangeMetoda multiplicatorilorlui Lagrange este aplicabila si ^n cazurile ^n care luam drept curbe admisi-bile, curbe situate pe o suprafata, curbe integrale ale unui sistem de ecuatiidiferentiale sau curbe situate ^n multimi de nivel constant ale unor functionale.Aceasta situatie poarta numele de problema (generala) a lui Lagrange.

O astfel de problema este, de exemplu: Sa se gaseasca extremul functionalei

J(x(); y()) =Z baL(t; x(t); y(t); x0(t); y0(t)) dt; (19)

^n multimea curbelor de clasa C1, verica^nd relatia diferentiala

G(t; x(t); y(t); x0(t); y0(t)) = 0 (20)

si cu anumite conditii suplimentare la extremitati. Pentru rezolvarea acesteiprobleme utilizam urmatoarea

Teorema Daca curba 0 = (x; y) realizeaza extremul functionalei (19) cuconditia (20) si daca pe 0 una din derivatele Gx0 sau Gy0 nu se anuleaza,atunci exista o functie (t), asfel ^nca^t 0 sa e extremala, fara conditii su-plimentare, pentru functionala

J (x(); y()) =Z baL(t; x(t); y(t); x0(t); y0(t)) dt ;

unde L(t; x; y; x0; y0) = L(t; x; y; x0; y0) + (t)G(t; x; y; x0; y0).I^ntr-adevar, rezolva^nd sistemul diferential, presupus de ordinul al doilea,

@L@x

ddt

@L@x0

= 0 ;

@L@y

ddt

@L@y0

= 0 ; (21)

la care se adauga ecuatia (20), gasim functiile necunoscute x; y; . Acesteadepind de patru constante arbitrare, deoarece sistemul se transforma, ^n modnatural, ^ntr-un sistem de patru ecuatii de ordinul unu ^n variabilele ; x; y; u; v^ntre care exista relatia (20) : G(t; x; y; u; v) = 0. Conditiile la capete deter-mina aceste patru constante.

Desi teorema are o demonstratie specica, pe care nu o dam, remarcam caare loc un rezultat al analizei functionale, similar cu cel amintit la principiulde reciprocitate: Fie X si Y doua spatii vectoriale normate, J : X ! R


o functionala diferentiabila si G : X ! Y un operator diferentiabil. Dacax0 2 X este un punct ^n care

(i) variatia G(x0; ) : X! Y este surjectiva,(ii) F (x0; h) = 0 de^ndata ce G(x0; h) = 0,

atunci exista o functionala liniara si continua : Y ! R astfel ^nca^tF (x0; ) = G(x0; ) : (22)

I^n cazul relatiei (20), Y este spatiul C[a; b] al functiilor continue si atunci

G(x0; y0; h) =Z ba(t) G(x0; y0; h) dt :

Bibliograe

[1] R. Courant, D. Hilbert, Methods of Mathematical Phisics (v. I ), Inter-science Publishers, Inc., New York, 1966.

[2] C. Fox, An Introduction to the Calculus of Variations, Dover Publications,Inc., New York, 1963.

[3] E. Langamann, Introduction to Variational Calculus, INTERNET, 2008.

[4] M. A. Lavrentiev, L. A. Liusternik, Curs de Calcul Variational, EdituraTehnica, 1955.

[5] M. L. Krasnov, G.I. Makarenko, A. I. Kiselev, Problems and Exercises inthe Calculus of Variations, Mir Publishers, Moscow, 1975.

[6] I. B. Russak, Calculus of Variations, MA4311, Lectures Notes, Depart-ment of Mathematics, Naval Postgraduate School, Monterey, California,93943, July, 2002.

[7] G. E. Silov, Analiza Matematica (curs special), Editura Stiintica si En-ciclopedica, Bucuresti, 1989.

[8] C. Udriste, Geometric Dynamics, Mathematics and Its Applications, 513,Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London, 2000.

[9] C. Udriste, L. Matei, Lagrange-Hamilton Theories (in Romanian), Mono-graphs and Textbooks 8, Geometry Balkan Press, Bucharest, 2008.

[10] E. T. Whittaker, A Treatise on The Analytical Dynamics of Particles &Rigid Bodies, Cambridge University Press, 1989.

CAPITOLUL 2

PRINCIPII VARIATIONALE

Motto: "Zice unul: - Dragul meu,Asa cui faceam si eu,

Poate chiar mai dichisit,

I^nsa, vezi, nu m-am ga^ndit."

Arghezi - Cuiul

In acest Capitol vom studia probleme variationale adaptate, ^mpreuna cu conditii la

frontiera, conditii subsidiare sau restrictii impuse asupra clasei solutiilor admisibile care

produc valori extremale pentru o functionala data. Vom insista si asupra conditiilor suciente

(testul Legendre-Jacobi, testul de invexitate) pentru existenta minimului sau maximului unei

functionale.

1 Probleme cu conditii naturale la frontiera

Problema 1 Fie L(x; y; y0) un Lagrangian de clasa C2. Sa se gaseasca functiax! y(x) de clasa C2 pentru care functionala

I(y()) =Z x2x1

L(x; y(x); y0(x))dx

are valoare extrema, ca^nd una sau ambele conditii y(x1) = y1; y(x2) = y2 lafrontiera nu sunt prescrise.

Solutie Presupunem ca functia y = y(x) produce o valoare extrema si con-struim o variatie y"(x) = y(x) + "h(x) de clasa C

2. Substituim ^n functionalasi obtinem functia (integrala cu un parametru)

I(") =

Z x2x1

L(x; y(x) + "h(x); y0(x) + "h0(x))dx:

Prin ipoteza " = 0 este o valoare extrema a lui I("). Deci, aplica^nd derivareasub semnul integral, gasim

0 = I 0(0) =Z x2x1

@L

@yh+

@L

@y0h0dx:

Integra^nd prin parti al doilea termen de sub integrala, deducem

0 = I 0(0) =@L

@y0hjx2x1 +

Z x2x1

@L

@y ddx

@L

@y0

h dx: (1)

23

24 Principii variationale

Presupunem ca y = y(x) este solutia ecuatiei Euler-Lagrange

@L

@y ddx

@L

@y0= 0

(ecuatie diferentiala de cel mult ordinul al doilea) pe intervalul [x1; x2]. Pentruca relatia (1) sa e satisfacuta este necesar ca

@L

@y0hjx2x1 =

@L

@y0(x2)h(x2) @L

@y0(x1)h(x1) = 0:

In cazul punctelor xate y(x1) = y1; y(x2) = y2, ecuatia Euler-Lagrange^mpreuna cu h(x1) = h(x2) = 0 garanteaza relatia (1). In cazul ^n care ambelecapete sunt variabile, valorile h(x1); h(x2) sunt arbitrare si ca relatia (1) sa eadevarata trebuie sa impunem ecuatia Euler-Lagrange ^mpreuna cu conditiile

@L

@y0(x1) = 0;

@L

@y0(x2) = 0: (2)

Aceste conditii se numesc conditii naturale la frontiera sau conditii de transver-sabilitate pentru problema de extrem. Apar natural urmatoarele cazuri:

(i) puncte terminale xate Daca capetele gracului y(x1) = y1; y(x2) =y2 sunt xate, atunci nu exista nici o variatie ^n aceste capete, adica h(x1) =h(x2) = 0;

(ii) conditii la frontiera mixte Daca y(x1) = y1 este xat si y(x2) = y2este arbitrar, atunci trebuie sa impunem h(x1) = 0;

@L@y0 (x2) = 0;

(iii) conditii la frontiera mixte Daca y(x1) = y1 este arbitrar si y(x2) =y2 este xat, atunci trebuie sa impunem

@L@y0 (x1) = 0; h(x2) = 0;

(iv) capete variabile Daca punctele y(x1) = y1 si y(x2) = y2 sunt arbi-trare, atunci trebuie sa impunem conditiile (2).

Conditiile la frontiera ^n care variatia h se anuleaza se numesc conditii lafrontiera esentiale, sau conditii la frontiera de tip Dirichlet, sau conditii lafrontiera geometrice. Conditiile naturale la frontiera se mai numesc si conditiila frontiera de tip Neumann, sau conditii la frontiera dinamice. Evident caputem avea conditii mixte la frontiera. Terminologia de aici se extinde si laprobleme multidimensionale.

Problema 2 Fie L(x; y; y0; y00) un Lagrangian de clasa C3. Sa se gaseascafunctia x! y(x) de clasa C4 pentru care functionala

I(y()) =Z x2x1

L(x; y(x); y0(x); y00(x)) dx

are valoare extrema.


Solutie Fie y = y1 y = h variatia in y. Daca y este solutia problemei,atunci prima variatie a functionalei noastre este

I =

Z x2x1

@L

@yy +

@L

@y0y0 +

@L

@y00y00

dx = 0:

Utilizam integrarea prin parti. Pentru al doilea termen de sub integrala punem

u =@L

@y0; du =

d

dx

@L

@y0

dx; dv = y0dx; v = y:

Variatia I se scrie ^n formaZ x2x1

@L

@yy d

dx

@L

@y0

y d

dx

@L

@y00

y0

dx+

@L

@y0yjx2x1 +

@L

@y00y0jx2x1 = 0:

Din nou integram prin parti referitor la al treilea termen de sub integrala.Gasim

I =

Z x2x1

@L

@y ddx

@L

@y0

+

d2

dx2

@L

@y00

!y dx

+

@L

@y0 ddx

@L

@y00

yjx2x1 +

@L

@y00y0jx2x1 = 0:

Ecuatia Euler-Lagrange

@L

@y ddx

@L

@y0+

d2

dx2@L

@y00= 0

este o ecuatie diferentiala de cel mult ordinul patru. Conditiile la frontierasunt

@L

@y0 ddx

@L

@y00

yjx2x1 = 0;

@L

@y00y0jx2x1 = 0:

Daca y(x1) = y1; y(x2) = y2; y0(x1) = y11; y0(x2) = y12 sunt xate, atunci y

si y0 se anuleaza ^n x1 si ^n x2. Alternativ, putem avea conditiile la frontieranaturale

@L

@y0 ddx

@L

@y00

jx2x1 = 0;

@L

@y00jx2x1 = 0:

Evident, combinatiile conduc la conditii la frontiera mixte.Exemplu Sa se gaseasca functia x! y(x) de clasa C4 pentru care functionala

I(y()) =Z x2x1

a(x)(y00)2(x) b(x)(y0)2(x) + c(x)y2(x)

dx

are valoare extrema.


Solutie Lagrangianul L = a(x)(y00)2 b(x)(y0)2 + c(x)y2 are derivatelepartiale

@L

@y= 2c(x)y;

@L

@y0= 2b(x)y0; @L

@y00= 2a(x)y00:

Rezulta ecuatia Euler-lagrange (de ordinul al patrulea)

c(x)y +d

dx(b(x)y0) +

d2

dx2(b(x)y00) = 0; x1 x x2:

La aceasta se adauga conditiile la frontiera:(i) daca y si y0 se anuleaza la capete, atunci y(x1) = y1; y(x2) =

y2; y0(x1) = y11; y0(x2) = y12 trebuiesc prescrise;(ii) daca y se anuleaza la capete, iar y0 nu se anuleaza la capete, atunci

y(x1) = y1; y(x2) = y2 trebuiesc prescrise si conditiile naturale@L@y00 (x1) =

0; @L@y00 (x2) = 0 trebuie sa e vericate; ^n acest caz y00(x1) si y00(x2) au valori

xate;(iii) daca y nu se anuleaza la capete, iar y0 se anuleaza la capete, atunci

y0(x1) = y11; y0(x2) = y12 trebuiesc prescrise si conditiile naturale@L

@y0 ddx

@L

@y00

(x1) = 0;

@L

@y0 ddx

@L

@y00

(x2) = 0

trebuie sa e satisfacute;(iv) daca variatiile y si y0 nu se anuleaza la capete, atunci conditiile

naturale la frontiera sunt

@L

@y00(x1) = 0;

@L

@y00(x2) = 0

@L

@y0 ddx

@L

@y00

(x1) = 0;

@L

@y0 ddx

@L

@y00

(x2) = 0:

Problema 4 Fie L(x; y; w;wx; wy) un Lagrangian de clasa C2. Fie R2

cu frontiera simpla ^nchisa @ de clasa C1 pe portiuni. Sa se gaseasca functia(x; y)! w(x; y) de clasa C2 pentru care functionala

I(w()) =Z

L(x; y; w(x; y); wx(x; y); wy(x; y)) dx dy

are valoare extrema.Solutie Utilizam notatiile variationale. Impunem ca prima variatie sa e

zero,

I =

Z

@L

@ww +

@L

@wxwx +

@L

@wywy

!dx dy = 0:


Pentru N = @L@wx w si M = @L@wy w, aplicam teorema Green ^n plan,Z

@N

@x @M

@y

dx dy =

Z@

M dx+N dy:

Deoarece

@N

@x=

@L

@wxwx +

@

@x

@L

@wx

w;

@M

@y= @L

@wywy @

@y

@L

@wy

!w;

gasim

I =

Z

@L

@wDx @L

@wxDy @L

@wy

!w dx dy

+

Z@

@L@wy

dx+@L

@wxdy

!w = 0:

In acest mod functia w(x; y) este o solutie a EDP Euler-Lagrange

@L

@wDx @L

@wxDy @L

@wy= 0

(cel mult de ordinul al doilea) la care adaugam conditii la frontiera. Dacaw = 0, atunci functia w(x; y) trebuie specicata pe @, adica w(x; y)j@ =dat (probleme Dirichlet). Daca w 6= 0, atunci impunem conditia naturala lafrontiera (probleme Newmann)

@L@wy

dx+@L

@wxdy

(x;y)2@ = 0:Ultima conditie poate scrisa utilizand vectorul normal unitar la frontiera

@ : ~ = x(s)~ + y(s)~. In acest caz dds =~t = dxds~ +

dyds~ este versorul tangent

si ~n = dyds~ dxds~ este vectorul normal unitar. Cu acestea conditia naturala lafrontiera se scrie

~n @L

@wx~ +

@L

@wy~

! (x;y)2@ = 0:2 Sucienta prin testul Legendre-Jacobi

Traditional, drept conditie sucienta pentru existenta unui extremum al uneifunctionale se considera a testul lui Legendre-Jacobi. Noi adaugam ^n con-tinuare, testul de invexitate, care a aparut in literatura mai noua.


Fie L(x; y; y0) un Lagrangian de clasa C2 asociat functiei x! y(x) de clasaC2. Consideram din nou functionala

I(y()) =Z x2x1

L(x; y(x); y0(x))dx

si presupunem ca y = y(x) este un punct de extrem ce satisface conditiiley(x1) = y1; y(x2) = y2. Fie y"(x) = y(x) + "h(x) o variatie de clasa C

2 cesatisface conditiile h(x1) = h(x2) = 0. Atunci functionala I se ^nlocuieste cuintegrala I("). Pe aceasta o dezvoltam ^n serie Taylor dupa puterile lui " (injurul punctului " = 0). Gasim

I(") =

Z x2x1

L(x; y"(x); y0"(x))dx = I(0) + I

0(0)"+ I 00(0)"2

2+ :::

Pe de alta parte, primele doua derivate sunt

I 0(0) =Z x2x1

@L

@yh+

@L

@y0h0dx

I 00(0) =Z x2x1

@2L

@y2h2 + 2

@2L

@y@y0hh0 +

@2L

@y02h02

!dx:

Ne ocupam de variatia de ordinul ^nta^i. Integra^nd prin parti, ea se scrie

I 0(0) =@L

@y0hjx2x1 +

Z x2x1

@L

@y ddx

@L

@y0

h dx:

Deoarece h este o variatie arbitrara cu h(x1) = h(x2) = 0, din I0(0) = 0 gasim

conditiile necesare

@L

@y ddx

@L

@y0

= 0; y(x1) = y1; y(x2) = y2:

Daca este asa, semnul diferentei I(") I(0) este dat de I 00(0). Daca I 00(0) >0, pe arcul extremal, atunci I(0) este un minim; daca I 00(0) < 0, pe arculextremal, atunci I(0) este un maxim; daca I 00(0) ^si schimba semnul pe arculextremal, atunci I(0) nu este un extrem; daca I 00(0) = 0 pe arcul extremal,atunci putem face apel la derivate de ordin superior.

Sa analizam variatia a doua I 00(0) stiind ca h(x1) = h(x2) = 0 si @L@y ddx

@L@y0

= 0; y(x1) = y1; y(x2) = y2. Daca y(x) este solutie a ecuatiei Euler-

Lagrange si daca I(y) este valoare minima, atunci I 00(0) 0; daca y(x) estesolutie a ecuatiei Euler-Lagrange si daca I(y) este valoare maxima, atunciI 00(0) 0.


A doua variatie I 00(0) se poate transcrie sub diferite forme.In primul ra^nd, integra^nd prin parti termenul din mijloc, gasim

I 00(0) = h2@2L

@y@y0jx2x1 +

Z x2x1

h2

@2L

@y2 ddx

@2L

@y@y0

!+

@2L

@y02h02

!dx:

Daca luam h(x1) = h(x2) = 0, atunci

@2L

@y2 ddx

@2L

@y@y0> 0;

@2L

@y02> 0

sunt conditii necesare si suciente de minim.In al doilea rand, scriem

I 00(0) =Z x2x1

Lyyh

2 + Lyy0hh0+ h0 Lyy0h+ Ly0y0h0 dx:

Integram termenul al doilea prin parti,

I 00(0) =h2Lyy0 + hh

0Ly0y0x2x1+

Z x2x1

h2Lyy h2 d

dxLyy0 h d

dx

h0Ly0y0

dx:

Primul termen este nul prin ipoteze. Nota^nd

A(h) =d

dx

Ly0y0h

0 Lyy ddx

Lyy0

h;

al doilea termen poate scris ^n forma

I 00(0) = Z x2x1

hA(h)dx:

Operatorul diferential A are forma

A(u) =d

dx

p(x)

du

dx

q(x)u;

unde p(x) = Ly0y0 si q(x) = Lyy ddxLyy0 : Ecuatia diferentiala

A(u) =d

dx

p(x)

du

dx

q(x)u = 0; x 2 [x;x2]

se numeste ecuatie diferentiala Jacobi. Operatorul diferential A() este unoperator Sturm-Liouville autoadjunct ^n sensul

uA(h) hA(u) = ddx

p(x)(uh0 hu0)


(identitatea lui Lagrange).

Revenim la variatia a doua, pe care o scriem sub forma

I 00(0) = Z x2x1

h

uuA(h)dx =

Z x2x1

h

u

hA(u) +

d

dx

p(x)(uh0 hu0) dx:

In ultima integrala, integram prin parti,

U =h

u; dV =

d

dx

p(x)(uh0 hu0) dx

dU =uh0 hu0

u2dx; V = p(x)(uh0 hu0):

Puna^nd p = Ly0y0 , deducem

I 00(0) =h

uLy0y0(uh

0 hu0)jx2x1 Z x2x1

h2

uA(u)dx+

Z x2x1

Ly0y0

h0 hu

0

u

2dx:

Adaugam conditiile: (i) presupunem h(x1) = 0; h(x2) = 0 (dispare primultermen); (ii) presupunem ca u este solutia ecuatiei Jacobi A(u) = 0; x 2[x1; x2], u(x1) = 0; u

0(x1) 6= 0 (dispare al doilea termen); (iii) presupunemh0 hu0u 6= 0 (semnul celui de al treilea termen este dat de semnul lui Ly0y0).

Concluzii (conditiile suciente ale lui Legendre-Jacobi): (1) daca Ly0y0 0; x 2[x1; x2], atunci valoarea I(y) este minima.

3 Dinamica Lagrangiana unitemporala

Se considera functionala

I(x()) =Z t1t0

L (x(t); _x(t); t) dt

unde x = (x1; : : : ; xn) = (xi(t)); i = 1; n este o colectie de n functii (sauechivalent, o functie cu valori ^n Rn, adica x : [t0; t1]! Rn) si L = L(x; _x; t) ofunctie de clasa C2 de 2n+1 variabile x; _x; t. Dorim sa extremizam functionalaI(x()) cu conditiile la capete x(t0) = x0 si x(t1) = x1.Teorema. O functie x() de clasa C2 care extremizeaza functionala I satisface^n mod necesar ecuatiile diferentiale Euler-Lagrange

@L

@xi ddt

@L

@ _xi= 0


si conditiile la capete x(t0) = x0 si x(t1) = x1.

Aici avem un sistem de n EDO, de regula de ordinul al doilea, cu n functiinecunoscute xi(). Teorema arata ca daca sistemul Euler-Lagrange are solutii,atunci minimizantul (maximizantul) functionalei I (presupuna^nd ca exista)va printre solutii. Solutiile sistemului Euler-Lagrange sunt numite extremalesau puncte critice ale Lagrangianului L.

Demonstratie Consideram ca x(t) este o solutie a problemei precedente.Construim o alta functie ^n jurul lui x(t) de forma x(t) + "h(t); astfel ^nca^th(t0) = 0; h(t1) = 0. Aici este un parametru "mic", iar h este o variatie"mica". Functionala devine o functie de , adica o integrala cu un parametru

I(") =

Z x1x0

Lx(t) + "h(t); _x(t) + " _h(t); t

dt:

Se impune conditia necesara de extrem,

0 =d

dI(")

"=0

= ( ) =Z t1t0

@L

@xjhj +

@L

@ _xj_hj(t) dt

= BT+

Z t1t0

@L

@xj ddt

@L

@ _xj

hj dt;

unde

BT =@L

@ _xjhj(t)

t=t1t=t0

sunt termeni pe frontiera, obtinuti prin integrare partiala. Daca functia x(t)este xata la capete, atunci termenii BT dispar, deoarece h(t0) = 0; h(t1) = 0.Lua^nd functia vectoriala h arbitrara, gasim sistemul de ecuatii diferentiale dinteorema.

Dinamica descrisa de EDO Euler-Lagrange de ordinul al doilea se numestedinamica Euler-Lagrange unitemporala.

3.1 Testul de invexitate

Sa formulam o conditie sucienta ne-standard pentru existenta minimuluifunctionalei

J(x()) =Z t2t1

L(t; x(t); _x(t))dt;

unde t 2 [t1; t2], L este un Lagrangian de clasa C2, iar x : [t1; t2]! Rn este ofunctie de clasa C2.


O functie x(t) se numeste punct critic al functionalei J daca este solutiasistemului Euler-Lagrange

@L

@xi ddt

@L

@ _xi= 0;

la care se adauga conditiile la capete.

Denitie Fie x; x : [t1; t2] ! Rn functii de clasa C2. Daca exista ofunctie vectoriala (t; x; x; _x; _x) 2 Rn cu = 0 pentru x(t) = x(t), astfel^nca^t

J(x()) J(x()) Z t2t1

i

@L

@xi+di

dt

@L

@ _xi

!dt;

pentru orice functie x(), atunci J se numeste invexa ^n punctul x() pe in-tervalul [t1; t2] ^n raport cu functia vectoriala .

Functionala J se numeste invexa daca este invexa ^n orice punct x().Teorema Functionala J este invexa daca si numai daca ecare punct critic

este un punct de minim global.

Demonstratie Presupunem ca functionala J este invexa. Atunci, dacax(t) este solutie a sistemului Euler-Lagrange, avem

J(x()) J(x()) Z t2t1

@L

@xi ddt

@L

@ _xi

i dt+ i

@L

@ _xijt2t1 = 0;

Rezulta ca un punct critic este un punct de minim global.

Reciproc, presupunem ca ecare punct critic este punct de minim global.Daca x(t) este un punct critic, atunci punem = 0. Daca x(t) nu este unpunct critic, atunci

@L

@xi ddt

@L

@ _xi6= 0

pentru cel putin un indice i. Vectorul nenul

i =@L

@xi ddt

@L

@ _xi

ne permite sa denim vectorul

k =L(t; x; _x) L(t; x; _x)

2ijijk:

Ca^mpul vectorial , astfel denit, satisface relatia din denitia invexitatii.


4 Dinamica Lagrangiana multitemporala

I^n mod uzual coordonatele spatiale si timpul joaca roluri distincte: o coordo-nata spatiala este deseori un indice asociat unui grad de libertate, iar coordo-nata timp este timpul zic ^n care evolueaza sistemele zice. Aceasta teorieeste satisfacatoare pa^na ne ^ndreptam atentia spre ecuatii relativistic invari-ante (ca^mpuri chirale, sine-Gordon, etc). I^n plus, ^n unele probleme ziceutilizam un 2-timp t = (t1; t2), unde t1 ^nseamna timpul intrinsec si t2 estetimpul observatorului. De asemenea, exista o multime de probleme unde nuavem nici un motiv sa preferam o coordonata alteia. Iata de ce ne referim lafunctii care depind de mai multe variabile timp si care modeleaza evolutiilegeometrice multidimensionale. I^n acest sens, prin multi-timp ^ntelegem unparametru vectorial de evolutie.

Fie xi, i = 1; : : : ; n, variabilele de ca^mp din spatiul tinta Rn, e t, =

1; : : : ;m, variabilele multi-timp din spatiul sursa Rm si e xi =@xi

@tvitezele

partiale. Acestea determina bratul jeturilor de ordinul unu

J1(Rm; Rn) = f(t; xi; xi)g Rm+nm+n:

4.1 Cazul functionalelor integrale multiple

Presupunem ca dam un Lagrangian neted L(t; x(t); x(t)); t 2 Rm+ : Fixammulti-timpii t0; t1 2 Rm+ si doua puncte x0; x1 2 Rn. Paralelipipedul t0;t1 Rm+ , xat prin punctele diagonal opuse t0 = (t

10; :::; t

m0 ) si t1 = (t

11; :::; t

m1 ),

este echivalent cu intervalul ^nchis t0 t t1, ^n raport cu ordinea partialaprodus pe Rm+ . Problema clasica a calculului variational cere sa gasim o m-foaie x() : t0;t1 ! Rn de clasa C2 care minimizeaza functionala integralamultipla

I(x()) =Z

t0;t1

L(t; x(t); x(t))dt1:::dtm;

dintre toate functiile x() care satisfac conditiile la frontiera x(t0) = x0; x(t1) =x1 sau x(t)j@t0;t1 = dat, utiliza^nd functii variatii constra^nse prin conditii lafrontiera. Conditiile necesare sunt continute ^n urmatoarea

Teorema (EDP Euler-Lagrange multi-timp) Fie D operatorul dederivare totala in raport cu t = (t). Daca m-foaia x() minimizeaza functiona-la I(x()) ^n sensul precedent, atunci x() este solutie a EDP Euler-Lagrangemulti-temporala

@L

@xiD @L

@xi= 0; i = 1; :::; n; = 1; :::;m; (E L)1


care satisface conditiile la frontiera.Aici avem un sistem de n EDP, de regula de ordinul doi, cu n functii

necunoscute xi(). Teorema arata ca daca sistemul (E L)1 are solutii,atunci minimizantul functionalei I (presupuna^nd ca exista) va printre solutii.Solutiile sistemului (E L)1 sunt numite extremale sau puncte critice ale La-grangianului L.

Demonstratie Consideram ca x(t) este o solutie a problemei precedente.Construim o alta functie ^n jurul lui x(t) de forma x(t)+"h(t), cu hj@t0;t1 = 0.Aici este un parametru "mic", iar h este o variatie "mica". Functionaladevine o functie de , adica o integrala cu un parametru,

I(") =

Z

t0;t1

L (t; x(t) + "h(t); x(t) + "h(t)) dt1:::dtm:

Se impune conditia necesara de extrem,

0 =d

dI(")

"=0

= ( ) =Z

t0;t1

@L

@xjhj +

@L

@xjhj

!(t) dt1:::dtm

= BT+

Z

t0;t1

@L

@xjD @L

@xj

!hj dt1:::dtm;

unde D este operatorul de derivare totala, care actioneaza dupa regula

D

@L

@xjhj!= hjD

@L

@xj

!+

@L

@xjDh

j ;

unde dupa , respectiv j, se face sumare. Termenii

BT =

Z

t0;t1

D

@L

@xjhj!dt1:::dtm =

Z@t0;t1

@L

@xjhjn(t)d

contin date pe frontiera, obtinute prin formula divergentei, utiliza^nd vec-torul unitar n(t) normal la frontiera @t0;t1 . Termenii BT dispar, deoarecehj@t0;t1 = 0. Lua^nd functia vectoriala h arbitrara, gasim sistemul de ecuatiidin teorema.

Dinamica descrisa de EDP Euler-Lagrange de ordinul al doilea se numestedinamica Euler-Lagrange multitemporala.


Formulam o conditie sucienta moderna pentru existenta minimului functionalei

I(x()) =Z

t0;t1

L(x(t); x(t); t)dt1:::dtm;


unde t 2 t0;t1 , L este un Lagrangian de clasa C2, iar x : t0;t1 ! Rn este ofunctie de clasa C2.

O functie x(t) se numeste punct critic al functionalei I daca este solutiasistemului Euler-Lagrange

@L

@xiD @L

@xi= 0;

la care se adauga conditia la frontiera.Denitie Fie x; x : t0;t1 ! Rn functii de clasa C2. Daca exista o

functie vectoriala (t; x; x; _x; _x) 2 Rn cu = 0 pentru x(t) = x(t), astfel^nca^t

I(x()) I(x()) Z

t0;t1

i

@L

@xi+ (D

i)@L

@xi

dt1:::dtm;

pentru orice functie x(), atunci I se numeste invexa ^n punctul x(t) pe in-tervalul [t1; t2] ^n raport cu functia vectoriala .

Functionala I se numeste invexa daca este invexa ^n orice punct x().Teorema Functionala I este invexa daca si numai daca ecare punct critic

este un punct de minim global.Demonstratie Presupunem ca functionala I este invexa. Atunci, daca

x(t) este solutie a sistemului Euler-Lagrange, avem

I(x()) I(x()) Z

t0;t1

@L

@xiD @L

@xi

i dt+

Z@t0;t1

i@L

@xind = 0:

Rezulta ca un punct critic este un punct de minim global.Reciproc, presupunem ca ecare punct critic este punct de minim global.

Daca x(t) este un punct critic, atunci punem = 0. Daca x(t) nu este unpunct critic, atunci

@L

@xiD @L

@xi6= 0;

pentru cel putin un indice i. Vectorul nenul

i =@L

@xiD @L

@xi

ne permite sa denim vectorul

k =L(t; x; x) L(t; x; x)

2ijijk:



4.3 Cazul functionalelor integrale curbiliniiindependente de drum

Un Lagrangian neted L(t; x(t); x(t)); t 2 Rm+ produce doua 1-forme netede^nchise (complet integrabile):

- diferentiala

dL =@L

@tdt +

@L

@xidxi +

@L

@xidxi

de componente (@L

@t;@L

@xi;@L

@xi), ^n raport cu baza (dt ; dxi; dxi);

- restrictia lui dL la (t; x(t); x(t)), adica pullback-ul

dLj(x(t);x(t);t) = @L

@t+

@L

@xi

@xi@t

+@L

@xi@xi

@t

!dt ;

de componente (ce contin si acceleratii partiale)

DL =@L

@t(t; x(t); x(t)) +

@L

@xi(t; x(t); x(t))

@xi

@t(t)

+@L

@xi(t; x(t); x(t))

@xi@t

(t);

^n raport cu baza dt .Fie L(t; x(t); x(t))dt

o 1-forma Lagrange ^nchisa (complet integrabila),adica, DL = DL sau explicit

@L@t

+@L@xi

@xi

@t+@L@xi

@xi@t

=@L@t

+@L@xi

@xi

@t+@L@xi

@xi@t

:

Daca exista un Lagrangian L(x(t); x(t); t) cu proprietateaDL = L (pullback-ul precedent este 1-forma ^nchisa data), atunci functia x(t) este solutie a sis-temului complet integrabil de EDP (de ordinul al doilea)

@L

@t+

@L

@xi@xi

@t+

@L

@xi

@xi@t

= L :

Fie t0;t1 o curba arbitrara de clasa C1 pe portiuni care uneste punctele t0

si t1. Introducem o noua problema de calcul variational cera^nd sa gasim o m-foaie x() : t0;t1 ! Rn de clasa C2 care sa minimizeze functionala integralacurbilinie independenta de drum (actiune)

J(x()) =Zt0;t1

L(t; x(t); x(t))dt ; = 1; :::;m;


dintre toate functiile x() care satisfac conditiile la frontiera x(t0) = x0; x(t1) =x1 sau x(t)j@t0;t1 = dat, utiliza^nd functii variatii constra^nse prin conditii lafrontiera si prin conditii de ^nchidere (complet integrabilitate) ale 1-formeiLagrange.

Problema fundamentala: cum putem caracteriza functia x() care re-zolva problema variationala asociata functionalei J?

Teorema Presupunem ca exista un Lagrangian L(x(t); x(t); t) cu propri-etatea DL = L :

1) Daca m-foaia x() este o extremala a lui L, atunci ea este de asemeneao extremala a diferentialei dL.

2) Daca m-foaia x() minimizeaza functionala J(x()), atunci x() esteo solutie a EDP multi-timp

@L

@xiD @L

@xi= ai; i = 1; :::; n; = 1; :::;m; (E L)2

care satisface conditiile la frontiera, unde ai sunt constante arbitrare.A doua parte a teoremei arata ca daca sistemul (EL)2 de EDP are solutii,

atunci minimizatorul functionalei J (presupuna^nd ca exista) se aa respectivprintre solutii.

Demonstratie: 1) In primul ra^nd,

0 = d

@L

@xiD @L

@xi

!=

@(dL)

@xiD @(dL)

@xi:

Pe componente, aceasta ^nseamna

@

@xi

@L

@xj

D @

@xi

@L

@xj

= 0

@

@xi

@L

@xj

D @

@xi

@L

@xj

= 0

@

@xi

@L

@t

D @

@xi

@L

@t

= 0:

2) Rezultatul este obtinut prin egalitatile

0 =@(dL)

@xiD @(dL)

@xi= d

@L

@xiD @L

@xi

!:

TeoremaDacam-foaia x() minimizeaza functionala J(x()), atunci x()este o solutie a EDP multi-timp

@L@xi

D @L@xi

= 0; ; = 1; :::;m; (E L)3


care satisface conditiile la frontiera.Teorema arata ca daca sistemul (E L)3 de EDP are solutii, atunci min-

imizatorul functionalei J (presupuna^nd ca exista) se aa respectiv printresolutii.

Demonstratie. Consideram ca x(t) este o solutie a problemei precedente.Implicit ea trebuie sa satisfaca conditiile de complet integrabilitate ale 1-formeiL(t; x(t); x(t))dt

, adica,

@L@t

+@L@xi

@xi

@t+@L@xi

@xi@t

=@L@t

+@L@xi

@xi

@t+@L@xi

@xi@t

:

Construim o alta functie ^n jurul lui x(t) de forma x(t)+ "h(t), cu h(t0) =0; h(t1) = 0. Aici este un parametru "mic", iar h este o variatie "mica".Functionala devine o functie de , adica o integrala cu parametru,

J(") =

Zt0;t1

L (t; x(t) + "h(t); x(t) + "h(t)) dt :

Acceptam ca variatia h satisface conditiile de complet integrabilitate ale 1-formei

L (t; x(t) + "h(t); x(t) + "h(t)) dt :

Aceasta conditie adauga EDP

@L@xi

@hi

@t+@L@xi

@hi@t

=@L@xi

@hi

@t+@L@xi

@hi@t

;

care arata ca multimea functiilor h(t) este un spatiu vectorial, iar multimeafunctiilor x(t) + "h(t) este un spatiu an. Se impune

0 =d

dJ(")

"=0

= ( ) =Zt0;t1

@L@xj

hj +@L

@xjhj

!dt

= BT+

Zt0;t1

@L@xj

D @L@xj

!hj dt ;

unde D este operatorul de derivare totala, care actioneaza dupa regula

D

@L

@xjhj!= hjD

@L

@xj

!+@L

@xjDh

j :

Utilizam variatii h nule in capete si pentru care

D

hi@L@xi

!= D

hi@L@xi

!:


Astfel se restra^nge spatiul vectorial al variatiilor h(t) la un subspatiu. Atuncitermenii pe frontiera se scriu

BT =

Zt0;t1

D

@L

@xjhj!dt

=

Zt0;t1

D

@L

@xjhj!dt =

@L

@xjhj jt1t0 :

Termenii BT se anuleaza deoarece h(t0) = 0; h(t1) = 0. Rama^ne

0 =

Zt0;t1

@L@xj

D @L@xj

!hj dt :

Deoarece curba t0;t1 este arbitrara, gasim sistemul de ecuatii cu derivatepartiale din teorema.

Dinamica descrisa de PDE Euler-Lagrange de ordinul al doilea se numestedinamica Euler-Lagrange multitemporala.


Sa formulam acum o conditie sucienta neortodoxa pentru existenta mini-mului functionalei

J(x()) =Zt0;t1

L(t; x(t); x(t))dt ; = 1; :::;m;

unde t 2 t0;t1 , L(t; x(t); x(t))dt este o 1-forma Lagrangian de clasa C2,iar x : t0;t1 ! Rn este o functie de clasa C2.

O functie x(t) se numeste punct critic al functionalei J daca este solutiasistemului Euler-Lagrange

@L@xi

D @L@xi

= 0;

la care se adauga conditiile la frontiera.Denitie Fie x; x : t0;t1 ! Rn functii de clasa C2. Daca exista o

functie vectoriala (t; x; x; _x; _x) 2 Rn cu = 0 pentru x(t) = x(t), astfel^nca^t

J(x()) J(x()) Zt0;t1

i@L@xi

+ (Di)@L@xi

!dt;

pentru orice functie x() si pentru orice curba t0;t1, atunci J se numesteinvexa ^n punctul x() pe intervalul t0;t1 ^n raport cu functia vectoriala .


Functionala J se numeste invexa daca este invexa ^n orice punct x().Teorema Functionala J este invexa daca si numai daca ecare punct critic

este un punct de minim global.

Demonstratie Presupunem ca functionala J este invexa. Atunci, dacax(t) este solutie a sistemului Euler-Lagrange, avem

J(x()) J(x()) Zt0;t1

@L@xi

D @L@xi

!i dt

+

Zt0;t1

D

i@L@xi

!dt = 0:

Rezulta ca un punct critic este un punct de minim global.

Reciproc, presupunem ca ecare punct critic este punct de minim global.Daca x(t) este un punct critic, atunci punem = 0. Daca x(t) nu este unpunct critic, atunci 9 2 f1; :::;mg, 9i 2 f1; :::; ng, sa zicem = 1; i = 1,pentru care

@L1@x1

D @L1@x1

6= 0:

Ca^mpul vectorial de componente

1 =@L1@x1

D @L1@x1

; i = 0; i 6= 1

ne permite sa denim ca^mpul vectorial de componente

1 =L1(t; x; _x) L1(t; x; _x)

2ijij1; i = 0; i 6= 1:


Bibliograe

[1] C. Fox, An Introduction to the Calculus of Variations, Dover Publications,Inc., New York, 1963.

[2] E. Langamann, Introduction to Variational Calculus, INTERNET, 2008.

[3] M. L. Krasnov, G.I. Makarenko, A. I. Kiselev, Problems and Exercises inthe Calculus of Variations, Mir Publisheres, Moscow, 1975.


[4] I. B. Russak, Calculus of Variations, MA4311, Lectures Notes, Depart-ment of Mathematics, Naval Postgraduate School, Monterey, California,93943, July, 2002.

[5] C. Udriste, Geometric Dynamics, Mathematics and Its Applications, 513,Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London, 2000.

[6] C. Udriste, L. Matei, Lagrange-Hamilton Theories (in Romanian), Mono-graphs and Textbooks 8, Geometry Balkan Press, Bucharest, 2008.

[7] E. T. Whittaker, A Treatise on The Analytical Dynamics of Particles &Rigid Bodies, Cambridge University Press, 1989.

CAPITOLUL 3

MODELE OPTIMALE BAZATE PE ENERGII

Motto: "Carte frumoasa cinste cui te-a scrisIncet ga^ndita, gingas cumpanita;

Esti ca o oare, anume ^norita

Ma^inilor mele, care te-au deschis."

Arghezi - Ex libris

In acest Capitol prezentam ca^teva aplicatii selectate din stiinta si inginerie (brachisto-

chrona, lanturi, baloane de sapun, grinda ^ncastrata, microstructuri evolutive, sisteme de par-

ticule, coarda vibranta, membrana vibranta, ecuatia Schrodinger), unde calculul variational

este indispensabil. Pentru problemele uni-dimensionale, conditiile la capete vor specicate.

Pentru problemele multidimensionale, sunt necesare conditii la frontiera. Textele traditionale

se opresc doar la conditii necesare de extrem, ^ntruca^t problemele tratate au sigur solutii si

odata gasite, ele sunt si nu altele. Noi precizam si conditii suciente, dar subliniem ca

principiile matematice nu sunt ^ntru totul echivalente cu cele zice.

1 Problema brachistochronei

In 1696 John Bernoulli si-a imaginat urmatoarea problema a brachistochronei(^n greceste, brachistos = cel mai scurt, chrones = timp).

Problema B Un punct material aluneca neted si fara frecare, sub actiuneagravitatiei, pe un r subtire, de la punctul P0(x0; y0) la punctul P1(x1; y1).Aati forma rului, daca miscarea se realizeaza ^n cel mai scurt timp.

Solutie Presupunem ca gracul functiei y = y(x) reprezinta forma rului.Fie m masa punctului material si v viteza sa. In punctul P (x; y) actioneazaforta gravitationala de marime F = mg, unde m este masa punctului ma-terial. Lucrul mecanic este dat prin formula L = Fd. Energia cinetica sescrie T = 12mv

2. Lucrul mecanic efectuat se identica cu variatia energieipotentiale mg(y y0) ca^nd ne mutam din punctul y0 spre punctul y. Variatiacorespunzatoare a energiei cinetice este 12m(v

2 v20). Teorema lucru mecanic- energie impune

mg(y y0) = 12m(v2 v20):

Presupunem ca particula de masa m = 1 pleaca din repaus, adica, v0 =0. De asemenea stim ca v = dsdt , unde s este abscisa curbilinie, adica ds =

43

44 Modele optimale bazate pe energii

q1 + y02 dx. Rama^ne dsdt =

p2g(y y0). Rezulta functionala

T =

Z x2x1

ds

v=

1p2g

Z x2x1

q1 + y02py y0 dx:

Deoarece Lagrangianul L = 1p2g

p1+y02pyy0 nu depinde de variabila x, ecuatia

Euler-Lagrange @L@y ddx @L@y0 = 0 se inlocuieste cu integrala prima y0 @L@y0 L = csau

y02q(y y0)(1 + y02)

q1 + y02py y0 = c:

Aceasta ecuatie diferentiala este o ecuatie cu variabile separate

py y0p

c2 (y y0)dy = dx:

Pentru simplicare facem substitutia y = y0 + k2 sin2 . Gasim

dy = 2k2 sin cos d; dx = 2k2 sin2 d:

x

y

P (x , y )0 0 0

P(x ,y)

P (x , y )1 1 1m 0

Figura 1: Brachistochrona


In felul acesta ecuatia Euler-Lagrange are solutia parametrica

x = x0 +1

2k2(2 sin 2); y = y0 + 1

2k2(1 cos 2);

care reprezinta o familie de cicloide. Constantele k si x0; y0 se obtin dinconditia ca cicloida sa treaca prin punctul (x1; y1) (vezi g.1). Solutia asigura

minimul functionalei timp deoarece @2L

@y02 > 0 (testul Lagrange).

2 Fra^nghii, lanturi si cabluri

Problema FLCAati forma unui lant exibil de lungime L ce uneste punctele(`; h) si (`; h), h > 0; L > 2`, lasat liber sub inuenta gravitatiei.

Solutie Principiu zic: pozitia de echilibru a cablului corespunde la en-ergie potentiala minima. Fie densitatea de masa pe unitatea de lungime,constanta. Elementul de masa dm este localizat ^n punctul (x; y). Acest el-ement de masa are energia potentiala dV = (dm)gy = (ds)gy, unde ds =q1 + y02dx. Energia potentiala totala V =

R `` dV = g

R `` y

q1 + y02 dx este

constra^nsa prin L =R ``q1 + y02 dx. Astfel functia y = y(x) trebuie sa e

un punct de minimum al functionalei energie potentiala restrictionate. Ava^ndo problema cu restrictie izoperimetrica, exista un multiplicator Lagrange constant, ce schimba problema cu restrictii ^n problema fara restrictii

miny()

Z ``

gy

q1 + y02 +

q1 + y02

dx:

Noul Lagrangian este

L = (gy + )q1 + y02:

Ecuatia Euler-Lagrange @L@y ddx @L@y0 = 0 devined

dx

gyy0 + y0q1 + y02

gq1 + y02 = 0:

Deoarece Lagrangianul L nu depinde de variabila x, ecuatia Euler-Lagrangese transforma ^n integrala prima y0 @L@y0 L = c sau y02 = (gy+)

2

c2 1. Cu

schimbarea de functie gy + = cz, obtinem ecuatia cu variabile separatedzpz21 =

gc dx cu solutia implicita ln

z +

pz2 1

= gc x + b. Selectam

b = gc , rezolvam ^n raport cu z si revenim la y. Gasim solutia de forma

y(x) = g

+c

gcosh

g(x )c

:


In consecinta, forma lantului este gracul functiei cosinus hiperbolic (vezig.2). Deoarece ^n latina lantul se cheama "catena", pentru solutia problemeiprecedente s-a adoptat numele de "catenary", ^n roma^na "lantisor". Constantac se xeaza prin conditia

L =

Z ``

q1 + y02 dx =

Z ``

cosh

gx

c

dx =

2c

gsinh

g`

c

:

Figura 2: Gracul functiei cosinus hiperbolic

Relatiile y(`) = y(`) = h si o alegere potrivita a constantei conducla constanta = 0 (vezi g.2). Solutia gasita asigura minimul functionalei

deoarece @2L

@y02 > 0 (testul Lagrange-Jacobi).

a

m

g

Figura 3: Pendulul plan


3 Pendule

Cele mai simple si mai instructive sisteme mecanice sunt pendulele (g.3, g.4,g.5).

3.1 Pendulul plan

Fie Oy axa verticala. Avem (g.3)

L = T U; T = mv2

2; U = mgy;

undem este masa pendulului, v2 = _x2+ _y2 este patratul lungimii vitezei, g esteacceleratia caderii libere. Din cauza restrictiilor, sistemul este descris doar deunghiul dintre bratul pendulului si directia negativa a axei Oy. Observamca v2 = `2 _2, x = ` sin ; y = ` cos ; unde ` este lungimea bratului. Astfel

L = m`21

2_2 + !2 cos

; !2 =

g

`:

Ecuatia Euler-Lagrange este

= !2 sin :

Conditia de sucienta@2L

@ _2> 0 este satifacuta.

m1

1 l1

m2

2l2

Figura 4: Pendule cuplate


0

m1

x1

m2

l

Figura 5: Corp care aluneca, cu pendul atasat

3.2 Pendulul sferic

Fie axa Oz verticala si ^ndreptata ^n jos. Forma generala a Lagrangianuluieste

L = T U; T = mv2

2; U = mgz:

Cele doua grade de libertate sunt parametrizate prin unghiurile sferice si '.Raza sferei este chiar lungimea bratului `. Deoarece

x = ` sin cos'; y = ` sin sin'; z = ` cos ;

gasim_x = ` _ cos cos' ` _' sin sin'_y = ` _ cos sin'+ ` _' sin cos'

_z = ` _ sin :Rezulta

v2 = _x2 + _y2 + _z2 = `2( _2 + _'2 sin2 ):

Deducem Lagrangianul

L = m`

1

2_2 +

1

2_'2 sin2 + !2 cos

:

Cele doua ecuatii Euler-lagrange sunt

= _'2 sin cos !2 sin ; ddt( _' sin2 ) = 0:


3.3 Pendulul de lungime variabila

Presupunem ca lungimea bratului pendulului ` depinde de timp, adica ` = `(t)este o functie data. Pornim ca la pendulul plan, adica

L = T U; T = mv2

2; U = mgy = mg` cos :

Acum viteza se ^mparte ^n doua componente: componenta v? = ` perpendi-culara pe r si componenta vk = _` paralela cu rul. Rezulta v2 = v2? + v

2k =

`2 _2 + _`2. Astfel putem scrie Lagrangianul

L = m

1

2`2(t) _2 + g`(t) cos +

1

2_`2:

Masa este constanta si ultimul termen din Lagrangian nu modica ecuatiaEuler-Lagrange. Rama^ne

d

dt(`2(t) _) = g`(t) sin :

4 Baloane de sapun

Consideram gracul unei functii y = y(x) de clasa C2, xat prin capeteley(x1) = y1 si y(x2) = y2. Rotindu-l ^n jurul axei Ox obtinem o suprafata derotatie .

Problema BS Gasiti curba y = y(x) astfel ^nca^t suprafata de rotatie sa aiba arie minima.

Solutie Elementul de arie al suprafetei este d = 2yds = 2yq1 + y02 dx.

Obtinem functionala arie

S =

Z x2x1

2yq1 + y02 dx

al carui minim dorim sa-l aam. Deoarece Lagrangianul L = 2yq1 + y02

nu depinde de x, ecuatia Euler-Lagrange @L@y ddx @L@y0 = 0 se ^nlocuieste cuintegrala prima y0 @L@y0 L = c sau explicit cu

yy02q1 + y02

yq1 + y02 = c:


Aceasta ecuatie diferentiala se scrie ^n forma simplicata dxdy =c1py2c21

, unde

c1 = c, cu solutia y(x) = c1 coshxc2c1

, unde c2 este o constanta. Constan-

tele c1 si c2 se xeaza prin conditiile y(x1) = y1 si y(x2) = y2. Astfel obtinemun "catenoid" (vezi g.6). Solutia gasita asigura minimul functionalei deoarece@2L@y02 > 0 (testul Legendre).

x

y = y(x), = 0

y = y(x), = pi

(x2 , y

2 )

ds (x

1 , y

1 )

y

Figura 6: Un catenoid

5 Grinda ^ncastrata

Un sistem supus la solicitari externe atinge echilibrul termic, adica energialibera a lui Gibbs este minimizata. Acest principiu termodinamic permite sagasim forma la echilibru a unui corp elastic supus la solicitari externe.

Ca exemplu, consideram o grinda elastica supusa la solicitarea lateralaw(x), ca ^n g.7. Ignora^nd contributia entropica, energia libera a lui Gibbseste entalpia H, adica "energia elastica stocata - lucrul mecanic efectuat desolicitarea externa".


0 L

w(x)

y(x)

x

y

Figura 7: Grinda elastica

Presupuna^nd ca grinda are tensiunea liniara T , entalpia poate scrisa cao functionala de functia y(x), de clasa C2, care da forma grinzii (accepta^nd cay0(x)


Primul termen contorizeaza alternanta (x) = 1, iar al doilea termen intro-duce o penalizare a energiei libere pentru interfata lichid-solid. Extremalelesunt solutii ale ecuatiei Euler-Lagrange

00(x) 0(x) 2U(2(x) + 1) = 0:

7 Evolutia unui sistem format dinmai multe particule

Consideram un sistem de N particule, xate prin vectorii de pozitie ~ri =~ri(t); i = 1; N si prin masele mi; i = 1; N . Daca ~Fi este forta totala actiona^ndpe particula i, atunci legea lui Newton se scrie mi ~ri = ~Fi. Notam cu ~rivariatia pozitiei particulei i si utiliza^nd produsul scalar, putem scrie

NXi=1

mi (~ri; ~ri)NXi=1

(~Fi; ~ri) = 0:

Ultimul termen reprezinta lucrul mecanic W =PN

i=1(~Fi; ~ri) al fortelor ~Fi

datorat deplasarilor ~ri. Reamintim ca unitatea de masura pentru forta ~Feste Newtonul [N], unitatea de masura pentru variatie ~r este metrul [m], iarunitatea de masura pentru lucrul mecanicW este joule-ul = 1 newton metru.

Pe de alta parte folosim identitatea

NXi=1

(mi ~ri; ~ri) =NXi=1

mi

d

dt

_~ri; ~ri

1

2mi _~ri; _~ri

:

Daca introducem energia cinetica

T =NXi=1

1

2mi_~ri;

matematica calcul variational

Documents