Profesor: Ardelean Eva

Proiectare

didactică

Titlul lecției: Funcția liniară

Unitatea de învățământ: Șc. Gimn. Nr. 2, Cărăsău Tipul lecției: mixtă

Discilina: Matematică Durata: 50′

Clasa: a VIII-a Locul de desfășurare: sala de clasă

Unitatea de învățare: Funcții Data: ………………..

Competențe generale:

CG2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțuri matematice

CG3. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situații concrete

Competențe specifice:

CG2-2. Utilizarea valorilor unor funcții în rezolvarea unor ecuații și a unor inecuații

CG3-2. Reprezentarea în diverse moduri a unor corespondente și/sau a unor funcții în scopul caracterizării acestora

Obiective operaționale:

1. Cognitive:

La sfârșitul orei, elevii vor fi capabili să:

2. Afective:

La sfârșitul orei, elevii vor fi capabili să:

3. Psiho-motorii:

La sfârșitul orei, elevii vor fi capabili să:

Determine domeniul de definiție și domeniul

de valori a unei funcții liniare

Reprezinte grafic o funcție liniară

Verifice apartenența unui punct la graficul unei

funcții

Determine coordonatele unui punct care

aparține graficului unei funcții liniare

trăiască un sentiment de satisfacție în

realizarea unei activități

participe cu plăcere la orele de matematică

își exprime propriile sentimente / gânduri

Scrie lizibil în caiete, pe fișă și la tablă manifeste atenție distributivă, capacitate de

concentrare intensă și tenacitate.

Valori și atitudini:

Dezvoltarea unei gândiri deschise și creative; dezvoltarea inițiativei, independenței în gândire și în acțiune pentru a avea disponibilitate de a aborda sarcini

variate

Manifestarea tenacității, perseerenței, capacității de concentrare și a atenției distributive

Dezvoltarea spiritului de observație

Dezvoltarea simțului estetic și critic, a capacității de aprecia rigoarea, orinea și eleganța în arhtectura rezolvării unei probleme sau a construirii unei teorii

Formarea obișnuinței de a recurge la concepte și metode matematice în abordarea unor situații cotidiene sau pentru rezolvarea unor probleme practice

Formarea motivației pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viața socială și profesională

Strategii didactice:

1. Metode didactice: 2. Mijloace de învățământ: 3. Forme de organizare a clasei: 4. Evaluare:

Conversația euristică

Problematizarea

Descoperirea dirijată

Algoritmizarea

Exercițiul

Culegere

Fișe de lucru

Frontală

Individuală

Evaluare continuă, formativă

Obervarea sistematică a elevilor

Bibliografie:

“Programa școlară Matematică”, București, 2009

“Pedagogie și elemente de psihopedagogie”

- Editura: Risoprint, 2014

- Autori: Casandra Abrudan, Valentin Cosmin Blândul, Adela Bradea, Renata Cerecel, Nicoleta Elena Chioncel, Letiția Filimon, Claudia Hanga, Vasile Marcu,

Mariana Marinescu, Ioana Mărginean, Laurențiu Mândrea, Florica Orțan, Karla Peter, Claudia Pop, Carmen Popa, Cecilia Sas, Cristina Zdrehuș

“Matematică. Exerciții și probleme cls a VIII-a”

- Editura: Niculescu, 2015

- Autori: Oana-Dana Ciorăneanu, Rozica Ștefan, Valeria Buduianu, Mădălina Călărașu, Gabriel Toader

“Matematică. Algebră, geometrie clasa a VIII-a, partea a II-a”

- Editura: Paralela 45, 2015

- Autori: Anton Negrilă, Maria Negrilă

Evenimentele

instruirii Activitatea profesorului Activitatea elevilor

Strategii

didactice

1. Moment

organizatoric 2-3 minute

Profesorul notează absențele. Face observații și

recomandări dacă este cazul.

Elevii răspund la întrebările puse de profesor, își însușesc

observațiile și recomandările primite. Conversația

2. Reactualizarea

cunoștințelor 10 minute

- Ce este o funcție?

- Prin ce este caracterizată o funcție?

- O funcție este o corespondență care asociază fiecărui

element din A un unic element din B

- Domeniu de definiție, codomeniu și legea de corespondență

Conversația

Oservarea

sistematică

Achiziționarea de cunoștințe noi (30 minute)

3. Captarea

atenției

Profesorul desenează pe tablă un sistem de două axe

ortogonale și le cere elevilor să reprezinte punctele de

coordonate:𝐴(−3; −2), 𝐵(−2, −1), 𝐶(−1,0), 𝐷(0,1), 𝐸(1,2), 𝐹(2,3), 𝐺(3,4), 𝐻(4,5).

Ce am obține dacă am continua să așezăm tot mai multe

puncte de coordonate între punctele deja reprezentate pe

sistemul de coordonate?

Elevii își repezintă sistemul de axe de coordonate pe

caiete și punctele date. Observă cu atenție și concluzionează că

se va obține o dreaptă.

Conversația

Descoperirea

dirijată

Observarea

sistematică

4. Comunicarea

titlului lecției și

a obiectivelor

operaționale

După cum se observă din exemplul anterior, dacă

domeniul de definiție, mulțimea din care își ia valorile x-ul este

mulțimea numerelor reale, atunci ajungem să reprezentăm o

dreaptă. Astăzi vom studia acele funcții care au graficul o

dreaptă. Ele se numesc funcții liniare, deci titlul lecției de

astăzi este: Funcția liniară.

Elevii sunt atenți la expicațiile profesorului și își notează

titlul lecției pe caiete.

Conversația

Astăzi veți învăța să reprezentați grafic o funcție

liniară, să stabiliți dacă un punct aparține sau nu de graficul

acesteia, să aflați coordonatele punctului de intersecție a unei

funcții liniare cu axele de coordonate și să stabiliți

coordonatele punctului de intersecție a graficelor a două

funcții liniare reprezentate în același sistem de axe de

coordonate.

5. Dirijarea

învățării și

obținerea

performanței

Def.:

O funcție de tipul 𝒇: ℝ ⟶ ℝ, 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 + 𝒃, unde 𝒂 și 𝒃

sunt numere reale se numește funcție liniară.

Reprezentarea geometrică graficului unei funcții liniare

este o dreaptă.

De câte puncte avem nevoie pentru a trasa o dreaptă?

De câte puncte de coordonate vom avea nevoie ca să

trasăm graficul unei funcții liniare?

Deoarece o dreaptă este determinată de două puncte, rezultă

că pentru a trasa graficul unei funcții liniare este suficient să

dăm variabilei 𝑥 două valori distincte și să calculăm 𝑓(𝑥) în

fiecare dintre cele două puncte.

Observații:

1. Dacă 𝑎 = 0, funcția 𝑓: ℝ ⟶ ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, se

numește funcție constantă. Graficul ei este o dreaptă

paralelă cu axa 𝑂𝑥 care trece prin punctul de

coordonate (0, 𝑏).

2. Un punct 𝑀(𝑎, 𝑏) ∈ 𝐺𝑓 ⟺ 𝑓(𝑎) = 𝑏

Profesorul propune spre rezolvare exercițiul 1 de pe fișa de

lucru și le comunică elevilor că subpunctele rămase le rămân

ca și temă de casă.

Elevii își notează lecția în caiete.

Răspund la întrebările profesorului.

Ex1. Fișa de lucru

Reprezentați grafic următoarele funcții:

a) 𝑓: ℝ ⟶ ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3

b) 𝑓: ℝ ⟶ ℝ, 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 5

c) 𝑓: ℝ ⟶ ℝ, 𝑓(𝑥) = 1 − 3𝑥

d) 𝑓: ℝ ⟶ ℝ, 𝑓(𝑥) = 4𝑥

e) 𝑓: ℝ ⟶ ℝ, 𝑓(𝑥) = −2

f) 𝑓: ℝ ⟶ ℝ, 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 5

Rezolvare:

f) 𝑓: ℝ ⟶ ℝ, 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 5

𝑓(−2) = 3 ∙ (−2) + 5 = −6 + 5 = −1 ⟹ 𝐴(−2, −1)

𝑓(−1) = 3 ∙ (−1) + 5 = −3 + 5 = 2 ⟹ 𝐵(−1,2)

𝑥 − ∞ − 2 − 1 + ∞

𝑓(𝑥) − 1 2

Conversația

Algoritmizarea

Exercițiul

Observarea

sistematica

𝑥

𝑦

𝑂

−2 −1

−1

−2

𝑮𝑓

1𝑢𝑚

e) 𝑓: ℝ ⟶ ℝ, 𝑓(𝑥) = −2

𝑓(1) = −2 ⟹ 𝐴(1, −2)

𝑓(2) = −2 ⟹ 𝐵(2, −2)

𝑥 − ∞ 1 2 + ∞

𝑓(𝑥) − 2 − 2

Ex.2. Fișa de lucru

Fie funcția 𝑓: ℝ ⟶ ℝ, 𝑓(𝑥) = 7 − 𝑥. Precizați care dintre

punctele următoare aparțin graficului funcției 𝑓:

𝐴(1,6), 𝐵(−3,10), 𝐶(0,7), 𝐷(9,2)

Rezolvare:

𝐴(1,6) ∈ 𝐺𝑓 ⟺ 𝑓(1) = 6 ⟺ 7 − 1 = 6 ⟺ 6 = 6 "A" ⟹

⟹ 𝐴(1,6) ∈ 𝐺𝑓

𝐵(−3,10) ∈ 𝐺𝑓 ⟺ 𝑓(−3) = 10 ⟺ 7 − (−3) = 10 ⟺

⟺ 7 + 3 = 10 ⟺ 10 = 10 "A" ⟹ 𝐵(−3,10) ∈ 𝐺𝑓

𝐶(0,7) ∈ 𝐺𝑓 ⟺ 𝑓(0) = 7 ⟺ 7 − 0 = 7 ⟺ 7 = 7 A ⟹

⟹ 𝐶(0,7) ∈ 𝐺𝑓

𝐷(9,2) ∈ 𝐺𝑓 ⟺ 𝑓(9) = 2 ⟺ 7 − 9 = 2 ⟺ −2 = 2 F

⟹ 𝐷(9,2) ∉ 𝐺𝑓

𝑥

𝑦

𝑂

−2

2 1

𝑮𝑓

Ex. 3. Fișa de lucru

Fie 𝐺ℎ graficul funcției ℎ: ℝ ⟶ ℝ, ℎ(𝑥) = 4𝑥 − 1. Aflați

numărul real 𝑎 dacă:

a) 𝐴(10, −𝑎) ∈ 𝐺ℎ

b) 𝐵(−2,3𝑎) ∈ 𝐺ℎ

c) 𝐶(−6, −5𝑎) ∈ 𝐺ℎ

Rezolvare:

a) 𝐴(10, −𝑎) ∈ 𝐺ℎ ⟹ ℎ(10) = −𝑎 ⟹ 4 ∙ 10 − 1 = −𝑎

⟹ 39 = −𝑎 ⟹ 𝑎 = −39

b) 𝐵(−2,3𝑎) ∈ 𝐺ℎ ⟹ ℎ(−2) = 3𝑎 ⟹ −8 − 1 = 3𝑎 ⟹

⟹ 𝑎 = −3

c) 𝐶(−6, −5𝑎) ∈ 𝐺ℎ ⟹ ℎ(−6) = −5𝑎 ⟹ −25 = −5𝑎

⟹ 𝑎 = 5

Sistematizarea, consolidarea cunoștințelor (7-8 minute)

6. Asigurarea

retenției și a

transferului

cunoștințelor

Ex. 4. Fișă de lucru

Reprezentați în două sisteme de axe ortogonale diferite

următoarele funcții:

𝑓: {1,2,4,5} ⟶ ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2

𝑔: ℝ ⟶ ℝ, 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 2

Verificați pentru ambele funcții dacă punctul 𝐴(3,5) se află sau

nu pe graficele celor două funcții.

Conversația

Observarea

sistematică

7. Tema pentru

acasă

Din culegerea Clubul Matematicienilor + exercițiile ramase de

pe fișa de lucru Coversația

Fișă de lucru

1. Reprezentați grafic următoarele funcții:

a) 𝑓: ℝ ⟶ ℝ, 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3

b) 𝑓: ℝ ⟶ ℝ, 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 5

c) 𝑓: ℝ ⟶ ℝ, 𝑓(𝑥) = 1 − 3𝑥

d) 𝑓: ℝ ⟶ ℝ, 𝑓(𝑥) = 4𝑥

e) 𝑓: ℝ ⟶ ℝ, 𝑓(𝑥) = −2

f) 𝑓: ℝ ⟶ ℝ, 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 5

2. Fie funcția 𝑓: ℝ ⟶ ℝ, 𝑓(𝑥) = 7 − 𝑥. Precizați care dintre punctele următoare aparțin graficului funcției 𝑓:

𝐴(1,6), 𝐵(−3,10), 𝐶(0,7), 𝐷(9,2)

3. Fie 𝐺ℎ graficul funcției ℎ: ℝ ⟶ ℝ, ℎ(𝑥) = 4𝑥 − 1. Aflați numărul real 𝑎 dacă:

a) 𝐴(10, −𝑎) ∈ 𝐺ℎ

b) 𝐵(−2,3𝑎) ∈ 𝐺ℎ

c) 𝐶(−6, −5𝑎) ∈ 𝐺ℎ