Capitolul 5

Dinamica punctului material. Fore conservative

n acest capitol vom studia principalele mrimi mecanice care definesc micarea unui punct material. n final, vom introduce o clas special, important, de fore: forele conservative.

Fie P un punct material de mas m, avnd vectorul de poziie . ( )txDup cum am vzut, definim vectorul impuls al punctului P prin egalitatea:

. ( )tm xp &=

Dimensiunea fizic a impulsului este MLT-1. Fiind dat un punct O, drept originea reperului inerial la care se raporteaz

micarea, vom defini momentul cinetic al punctului material P n raport cu polul O a fi vectorul:

. === OPmO xxxpxK ,)( &

Este evident c momentul cinetic reprezint momentul impulsului fa de

polul O. Dimensiunea sa fizic este ML2 T-1. A treia mrime fundamental a dinamicii punctului material este energia

cinetic. Definim energia cinetic a unui punct material P a fi scalarul, dat de relaia:

2

21 x&m=T .

Dimensiunea sa fizic este ML2 T-2 . n fine, definim lucrul mecanic efectuat de o for F , care deplaseaz

punctul material P, avnd vectorul de poziie , de-a lungul unei curbe date, ntre punctele A i B, a fi scalarul definit de integrala curbilinie:

= OPx

. xF d=

AB

ABL

Mrimea scalar xF dd =L se numete lucru mecanic elementar, iar scalarul:

xF &==tL

ddP

definete puterea mecanic.

Dimensiunea fizic a lucrului mecanic este ML2 T-2, iar unitatea sa de msur se numete joule (simbolul J). 1 joule reprezint lucrul mecanic efectuat de o for de 1 newton la o deplasare de 1 metru.

Dimensiunea fizic a puterii mecanice este ML2 T-3, unitatea sa de msur fiind watt-ul (simbol W). 1 watt reprezint puterea necesar efecturii unui lucru mecanic de 1 joule ntr-o secund. Un cmp de fore F(x) se numete conservativ ( potenial) dac exist un cmp

scalar astfel nct: ( )x

( ) ( )xxF = grad .

n acest caz, lucrul mecanic efectuat de fora F ntre punctele A i B nu

depinde de drumul , ci numai de capetele lui:

AB

( ) ( ) ( ) ( )

====AB AB AB

AB ABL xxxxF ddgradd .

Reciproc, dac vom presupune c lucrul mecanic nu depinde de drumul

parcurs (adic, este o funcie de stare), atunci putem defini potenialul al forei F, prin formula:

( )x (5.1) ,d)(

0

xFxxx

=

unde x0 este vectorul de poziie al punctului iniial, iar x(t) este vectorul de poziie al punctului curent. Se obine uor relaia: (5.2) )()(grad xFx = .

n concluzie, un cmp de fore este conservativ dac i numai dac lucrul mecanic este o funcie de stare.

Dac drumul este nchis ( A=B ), este evident c rezultatul precedent se

reduce la condiia

( ) ( ) 0d == AB

xF ,

unde este un drum nchis, care conine punctul A. Din teorema lui Stokes rezult c relaia precedent este echivalent cu

0rot =F ,

adic F este un cmp irotaional de fore. Acest rezultat este valabil pentru un domeniu simplu conex i pentru un cmp de fore regulat

, vezi [12]. Pentru definirea operatorilor gradient i rotor, ca i pentru proprietile lor, pot fi consultate lucrrile [5] i [6]. ( ( )[ ] ( ))RRF 231 i CC n final vom da cteva exemple de fore conservative. 1) Primul exemplu de for conservativ este greutatea unui punct material de

mas m, gG m= . n raport cu un reper cartezian, care are axa Oz orientat dup verticala ascendent, kG gm= , unde g este acceleraia gravitaional, presupus a fi constant, iar k este versorul axei Oz. n acest caz potenialul forei gravitaionale va avea forma:

Czm += g

unde C este o constant scalar arbitrar. 2) Al doilea exemplu de for conservativ se refer la forele centrale. Definim

o for central n raport cu punctul O, a fi un vector invariant la grupul micrilor plane ce las fix punctul O. Din aceast definiie se vede uor c dreapta suport a unei fore centrale trece prin O i c modulul forei depinde doar de distana de la punctul ei de aplicaie la punctul O. n concluzie, expresia matematic a unei fore centrale este:

(5.3) .||,,)F()( xxxxF === rOPr

r

Dac F(r) < 0 fora central se numete atractiv, iar dac F(r) > 0 fora central se numete repulsiv. Din formula (5.3) rezult uor c , deci forele centrale sunt conservative.

0rot =F

Cel mai simplu exemplu de for central este cel al forei elastice. n acest

caz se numete modul de elasticitate. Aceast expresie a forei elastice se bazeaz pe experimentele unidimensionale (legea Hooke).

( ) 0const.unde, >== kkxxF

Potenialul forei elastice are forma:

( ) Cxki

i += =

3

1

2

2)(4.5 x ,

unde 3,1, =ixi , sunt componentele carteziene ale vectorului x.

Cel mai celebru exemplu de for central este fora de atracie universal

( )rr

Mmf xxF = 2 , care, n particular, reprezint fora de atracie pe care Soarele (de mas M) o exercit asupra unei planete (de mas m), aflat la distana r. Constanta f (constanta atraciei universale) este determinat experimental i are valoarea Potenialul forei de atracie universal are forma:

)./(10673,6 2311 skgmf =

(5.5) Cr

mMf += )(x .

Exerciii i probleme: 1) Din (5.1) s se obin relaia (5.2).

2) n cazul forelor centrale (5.3), s se arate c ele sunt irotaionale.

3) S se deduc potenialul forei elastice sub forma (5.4).

4) S se deduc potenialul forei de atracie universal sub forma (5.5).