f fg i mecanica cuantica 27.04

FIZICA*F* FG. MECANICA CUANTICA

1

FG.

MECANICA CUANTICA

I


2

CUPRINS

I

Introducere 5 Capitolul FG.01. Bazele experimentale ale mecanicii cuantice 6

FG.01.1. Radiatia termica. Ipoteza cuantelor 6 FG.01.2. Efectul fotoelectric. Ipoteza fotonilor 15 FG.01.3. Efectul Compton 21 FG.01.4. Presiunea luminii 26 FG.01.5. Experimentul lui Franck si Hertz 27 FG.01.6. Modelul atomic al lui Bohr. 29 FG.01.7. Dualismul unda corpuscul. Ipoteza lui de Broglie. Experimentul Davisson-Germer 39 FG.01.8. Ecuatia lui Schrodinger. Functia de unda (pachetul de unde) 42 FG.01.9. Relatiile de incertitudine ale lui Heisenberg 44

Capitolul FG.02. Descrierea matematica a mecanicii cuantice 48 FG.02.1. Spatii vectoriale 48 FG.02.2. Spaii Hilbert 51 FG.02.3. Operatori liniari 54 FG.02.4. Operatori hermitici 55 FG.02.5. Reprezentarea vectorilor i a operatorilor 61 Capitolul FG.03. Fundamentele mecanicii cuantice 64 FG.03.1. Descrierea starii in mecanica cuantica 64 FG.03.2. Variabilele dinamice in mecanica cuantica 80 FG.03.3. Observabile si reprezentari in mecanica cuantica 87 FG.03.4. Procesul de masura in mecanica cuantica 93 FG.03.5. Postulatele mecanicii cuantice 96 FG.03.6. Reprezentarile Schrodinger si Heisenberg 100 FG.03.7. Descrierea evolutiei cauzale. Ecuatia lui Schrodinger 107 FG.03.8. Alte descreri ale mecanicii cuantice 110Capitolul FG.04. Sisteme cuantice simple 115 FG.04.1. Introducere 115 FG.04.2. Particula in groapa de potenial unidimensionala 115 FG.04.3. Particula in groapa de potential tridimensionala 116 FG.04.4. Particula n groapa de potenial cu perei finii 117 FG.04.5. Bariera de potenial 119 FG.04.6. Efectul tunel 121 FG.04.7. Oscilatorul armonic 123Capitolul FG.05. Atomul de hidrogen 128 FG.05.1. Ecuatia lui Schrodinger pentru miscarea in camp central 128 FG.05.2. Rezolvarea ecuatiilor momentului cinetic 129 FG.05.3. Solutia ecuatiei Schrdinger pentru partea radiala a functiei de unda 131 FG.05.4. Orbitali atomici 138 FG.05.5. Proprieti magnetice ale atomului. Magnetonul Procopiu - Bohr 141 FG.05.6. Definirea cuantica a momentului magnetic 143 FG.05.7. Efectul Zeeman 144 II Capitolul FG.06. Spinul si momentul magnetic de spin 152


3

FG.06.1. Momentul cinetic de spin 152 FG.06.2. Experimentul Stern si Gerlach. Momentul magnetic de spin 153 FG.06.3. Teoria lui Pauli a spinului electronic 158 FG.06.4. Modelul vectorial al momentului cinetic 163 FG.06.5. Sisteme de particule identice 164Capitolul FG.07. Spectre atomice 169 FG.07.1. Nivelele de energie i strile electronilor n atom 169 FG.07.2. Sistemele hidrogenoide 171 FG.07.3. Considerarea efectelor relativiste. Structura fin 174 FG.07.4. Procese radiative. Reguli de selecie 177 FG.07.5. Clasificarea periodic a elementelor 186 FG.07.6. Atomii metalelor alcaline 189Capitolul FG.08. Informatica cuantica 193 FG.08.1. Informatia cuantica 193 FG.08.2. Unitatea de informatie cuantica. Qubitul 193 FG.08.3. Entanglementul cuantic 195 FG.08.4. Teleportarea informatiei cuantice. Modelare fizica 198 FG.08.5. Modelarea matematica a procesului de teleportare cuantica 199 FG.08.6. Experimente de teleportare 201 FG.08.7. Comunicatii cuantice. Criptografia cuantica 206 FG.08.8. Informatica cuantica. Calculatorul cuantic 207 FG.08.9. Bibliografie specifica informaticii cuantice 207Capitolul FG.09. Aplicaii de laborator i simulare numeric (ALBSN) 212 FG.09.01. Bazele experimentale ale mecanicii cuantice 212 FG.09.02. Descrierea matematica a mecanicii cuantice 214 FG.09.03. Fundamentele mecanicii cuantice 214 FG.09.04. Sisteme cuantice simple 215 FG.09.05. Atomul de hidrogen 216 FG.09.06. Spinul si momentul magnetic de spin 216 FG.09.07. Spectre atomice 216 FG.09.08. Informatica cuantica 216 FG.09.09. Dezvoltari si aplicatii ale mecanicii cuantice 217Capitolul FG.10. Autoevaluare (AEV) Capitolul FG.10.01. Bazele experimentale ale mecanicii cuantice Exerciii i probleme rezolvate ... Exerciii i probleme propuse .. ntrebri/ chestiuni recapitulative ................................................................................................... Capitolul FG.10.02. Descrierea matematica a mecanicii cuantice Exerciii i probleme rezolvate ... Exerciii i probleme propuse .. ntrebri/ chestiuni recapitulative ................................................................................................... Capitolul FG.03. Fundamentele mecanicii cuantice Exerciii i probleme rezolvate ... Exerciii i probleme propuse ntrebri/ chestiuni recapitulative ................................................................................................... Capitolul FG.04. Sisteme cuantice simple

Exerciii i probleme rezolvate ... Exerciii i probleme propuse............................................................................................ ntrebri/ chestiuni recapitulative ................................................................................................... Capitolul FG.05. . Atomul de hidrogen Exerciii i probleme rezolvate ... Exerciii i probleme propuse ..................................................................... ntrebri/ chestiuni recapitulative ................................................................................................... Capitolul FG.06. Spinul si momentul magnetic de spin Exerciii i probleme rezolvate ... Exerciii i probleme propuse ..................................................................................


4

ntrebri/ chestiuni recapitulative ................................................................................................... Capitolul FG.07. Spectre atomice Exerciii i probleme rezolvate ... Exerciii i probleme propuse .. ntrebri/ chestiuni recapitulative ................................................................................................... Capitolul FG.08.Informatica cuantica Exerciii i probleme rezolvate ... Exerciii i probleme propuse ................................................................................... ntrebri/ chestiuni recapitulative ................................................................................................... F_Glosar cuvinte cheie

Cuvnt-cheie Cod capitol Aplicatie FG.07 Atomul de hidrogen FG.01 Bariera de potenial FG.04 Boson FG.06 Calculator cuantic FG.08 Camp central FG.05 Clasificarea periodic a elementelor FG.07 Comunicatie cuantica FG.08 Criptografie cuantica FG.08 Distributia cuantica a cheilor FG.08 Dualismul unda corpuscul FG.01 Ecuatia radiala FG.05 Ecuatia Schrodinger FG.01 Ecuatia Schrodinger atempotala FG.04 Efect Compton FG.01 Efect fotoelectric FG.01 Efect relativist FG.07 Efectul tunel FG.04 Efect Zeeman FG.05 Element chimic FG.07 Emisie stimulata FG.07 Entanglementul cuantic FG.08 Evolutie cauzala FG.03 Experimentul Davisson si Germer FG.01 Experimentul Franck - Hertz FG.01 Experimentul Stern - Gerlach FG.06 Experiment teleportare FG.08 Fermion FG.06 Functia de unda FG.01 Groapa de potenial FG.04 Holografie FG.07 Informatica cuantica FG.08 Informatie cuantica FG.08 Ipoteza-de Broglie FG.01 Ipoteza cuantelor FG.01 Ipoteza fotonilor FG.01 Laser FG.07 Magnetonul Procopiu - Bohr FG.05 Mecanica cuantica FG.03 Metal alcalin FG.07 Modelul atomic Bohr, FG.01 Modelare fizica FG.08


5

Modelare matematica FG.08 Model vectorial FG.06 Moment cinetic FG.06 Moment cinetic de spin FG.06 Moment magnetic FG.05 Moment magnetic de spin FG.06 Nivel energetc FG.07 Observabila FG.03 Operator hermitic FG.02 Operator liniar FG.02 Orbital atomic FG.05 Oscilatorul armonic FG.04 Pachetul de unde FG.01 Paradoxul EPR FG.08 Particule identice FG.06 Particula libera FG.04 Postulatele mecanicii cuantice FG.03 Perechea EPR FG.08 Presiunea luminii FG.01 Proces de masura cuantic FG.03 Proces radiativ FG.07 Proces de teleportare FG.08 Proprietate magnetica FG.05 Qubit FG.08 Qubit sursa FG.08 Qubit tinta FG.08 Qubit auxiliar FG.08 Radiatie termica FG.01 Regula de selecie FG.07 Relatiile de incertitudine Heisenberg FG.01 Reprezentarea Heisenberg FG.03 Reprezentare operator FG.03 Reprezentarea Schrodinger FG.03 Reprezentare vector FG.02 Sistem hidrogenoid FG.07 Spatiu Hilbert FG.02 Spatiu vectorial FG.02 Spectru atomic FG.01 Spectru energetic discret FG.07 Spin electronic FG.06 Stari Bell FG.08 Stare cuantica FG.03 Stare excitata FG.07 Stare fundamentala FG.07 Stare legata FG.07 Statistica Bose-Einstein FG.06 Statistica Fermi-Dirac FG.06 Structura fin FG.07 Teleportare cuantica FG.08 Teleportare informatie cuantica FG.08 Teoria lui Pauli FG.06 Transmisia cuantica a informatiei FG.08 Unitatea de informatie FG.08 Unitatea cuantica de informatie FG.08


6

Variabila dinamica FG.03 Vector de stare FG.02

Bibliografie 267.


7

Introducere

Teoria cuantica in fizica urmareste sa modeleze nivelul cuantic de structura si miscare a materiei printr-o continua rezonanta cu natura, prin intermediul faptelor experimentale al caror rezultat si suport a fost si este in continuare. Acest nivel cuantic se refera la sistemele fizice avnd

"aciunea" de ordinul de mrime al constantei lui Planck ( 346,6260755(40) 10 J sh = ). Criteriul de stabilire a naturii cuantice a unui sistem fizic dat este reprezentat de relatiile de incertitudine ale lui Heisenberg, care descriu implicit, caracterul dual ondulatoriu-corpuscular al sistemelor cuantice. Legile de evoluie ale sistemelor cuantice precum si acelea ale procesului de observare i msur vor fi evidentiate ca urmare, in lucrare, luand in considerare comportarea duala a acestor sisteme ce se manifesta, in general la scara atomica sau nucleara, in electronica, fizica solidului, micro si nanatehnologii, optoelectronica si fotonica, stiinta materialelor si ingineria cuantica, biologie si medicina moderna etc., fiind specifice, generic vorbind, interactiilor din lumea "microparticulelor" unde si corpusculi si a campurilor. Aplicarea legilor fizicii clasice pentru studiul sistemelor cuantice nu mai este posibila intrucat rezultatele obtinute pe baza teoriei clasice sunt n contradicie cu datele experimentale, studiul fizicii cuantice fiind in consecinta, absolut necesar.

In cursul de fata, prezentarea noilor idei, in contextul aparitiei acestora, prin evidentierea reala a salturilor in gandire este de prima importanta pentru un spirit creator, dinamic in fizica, dar si in formarea viitorului inginer confruntat cu cele mai diferite probleme de proiectare si realizare a unor materiale si instalatii moderne in care fizica cuantica este determinanta. Afirmatia lui Dirac cu privire la sistemele cuantice: " sarcina noastra este de o coordona intr-o teorie coerenta legile la care sunt supuse", reprezinta obiectivul principal al acestui curs de mecanica cuantica, care se doreste modern, riguros unitar, orientat inspre student. Pregatirea acestuia ca inginer este complexa si presupune pe langa o gandire creatoare si corecta si competente aplicative privind realizarea si utilizarea unor aparate si instalatii sofisticate in cele mai diferite domenii dar si competitivitate in contextul provocator la nivel global.

Cursul isi propune sa contribuie la acest proces de formare a viitorului inginer fiind dedicat studentilor tuturor facultatilor cu profil tehnic si de fizica din tara dar si altor specialisti din cercetarea stiintifica si industrie precum si doctaranzilor si cadrelor didactice.


8

Capitolul FG.01. Bazele experimentale ale mecanicii cuantice

Cuvinte-cheie:.

radiatia termica, ipoteza cuantelor, efectul fotoelectric, ipoteza fotonilor. efectul Compton, presiunea luminii, experimentul Franck - Hertz, modelul atomic Bohr, spectru energetic,

atomul de hidrogen, dualismul unda-corpuscul, ipoteza-de Broglie,. experimentul Davisson si Germer, ecuatia Schrodinger, functia de unda, pachetul de unde, relatiile de incertitudine

Heisenberg

FG.01.1. Radiatia termica. Ipoteza cuantelor

Prin radiatie termica se intelege radiatia de natura electromagnetica emisa de corpuri datorita agitatiei termice a atomilor si moleculelor. Spectrul acestei radiatii este continuu, de la zero la infinit, fiind dependent de temperatur, undele componente avand amplitudini, faze i direcii de polarizare distribuite haotic. Radiaia termic aflat ntr-o regiune limitat din spaiu, de exemplu, o incinta inchisa, aflata n echilibru termic cu corpurile nvecinate constituie radiatia de echilibru. Este vorba de un echilibru dinamic caracterizat de egalitatea fluxurilor energetice emise si absorbite, intrucat la echilibru schimburile de energie nu inceteaza. La echilibru, radiaia termic din incint este omogen, izotrop fiind independent de geometria si natura incintei. Din punct de vedere termodinamic, radiaia termic constituie un sistem caracterizat de parametrii de stare i Vp, T , incat primele studii asupra radiatiei termice au avut la baza datele experimentale si metodele termodinamicii.

Mrimile fizice utilizata in studiul radiaiei termice sun prezentate in tabelul FG.01.1.1

Tabelul FG.01.1.1

Nr.crt.

Marimea Definitia Relatia de definitie Observatii

1 Puterea de emisie spectrala, E ( emisivitatea sau emitanta)

Fluxul energetic emis de unitatea de suprafa, ntr-un interval spectral n jurul lungimii de und .

d

tSE

SE

dddd

ddd

== ;

E este energia radiant iar fluxul energetic emis.

2. Radian integral, R

Mrimea

reprezint puterea de emisie spectral dependent de frecvena a radiaiei.

E

==00

dd EER

=c

= dd EE


9

3. Densitatea volumic de energie radiant, E

Energia radianta pe unitatea de volum

VE

E dd= ;

V reprezint volumul incintei.

4. Intensitatea energetic, I a unei surse punctiforme, ntr-o direcie dat

Fluxul energetic emis n unitatea de unghi solid n jurul direciei considerate.

=

ddI ;

d reprezinta elementul de unghi solid.

5. Strlucirea energetic, B ntr-un punct al unei surse, dup o direcie.

Intensitatea energetic n direcia considerat, pe unitatea din suprafaa normal pe direcia dat.

= cosdd

SIB ;

direcia considerata face cu normala la suprafa unghiul .

Se arata ca:

BcE= 4

6. Presiunea radiaiei, p asupra suprafeei pe care este incident.

-Experienta lui Lebedev,1901.

-Variaia impulsului fotonilor incideni N n unitatea de timp, pe unitatea de arie (teoria cuantica).

cNhp /=

Se arata ca:

3Ep

= (Ecuaia termic de stare a radiaiei termice; teoria termodinamica).

7. Ecuaia de bilan energetic a fluxurilor radiante incident pe o suprafa , absorbit

A ,

reflectat i

transmisR

T .

++= dddd TRA ; desemneaz fluxurile spectrale corespunzatoare.

8. Puterea relativa de absorbie,

A

= AA . Daca , 1=Acorpurile sunt

absolut negre (absorbante).


10

9. Puterea relativa de reflexie:

= RR . Daca , 1=Rcorpurile sunt

absolut albe

(reflectatoare).

10. Puterea relativa

transmisie:

= TT . Daca , 1=Tcorpurile sunt

absolut transparente.

Evident ca:

1=++ TRA .

Corpurile absolut negre prezinta o importanta deosebita pentru studiul radiatiei termice, deoarece din proprietatile generale de emisie si absorbtie ale corpului negru pot fi deduse proprietatile corespunzatoare si ale altor categorii de corpuri. In natura nu exista corpuri absolut negre dar se pot realiza dispozitive care sa se comporte ca un corp negru pe un domeniu de frecventa. De exemplu, funinginea si negrul de platina se apropie prin proprietatile lor foarte mult de corpul negru. Modelul experimental de corp negru il constituie o cavitate sferica sau cilindrica incalzita uniform, prevazuta cu o mica deschidere. Intrucat o "raza de lumina " care patrunde prin deschidere in cavitate sufera un numar foarte mare de reflexii si absorbtii succesive, aceasta nu mai poate parasi cavitatea astfel incat se comporta ca un corp negru. Radiatia de echilibru din interior are o distributie spectrala asemanatoare cu ceea a corpului negru astfel incat prin deschidere se obtine in exterior radiatie de corp negru.

a. Legile radiaiei termice

La sfritul secolului al XIX-lea, nelegerea proprietilor radiaiei termice era nesatisfacatoare, curbele experimentale ale emisivitii spectrale ( )E neputand fi explicate n mod riguros, pe baza cunotinelor existente la acea dat. Adoptarea unui nou mod de abordare de catre Planck, care a introdus in fizica "ipoteza cuantelor" a condus la clarificarea tuturor problemelor privind radiaia termic, dar a complicat lucrurile pentru fizica clasic ale crei limite erau evidente. Fizica cuantic explic in prezent n mod natural i riguros radiaia termic i toate fenomenele legate de aceasta, insa in dezvoltarea fizicii cuantice au avut un rol determinant legile experimentale ale radiatiei termice.

1. Legea lui Kirchhoff

Studiind pe cale termodinamica radiatia termica de echilibru dintr-o cavitate vidata in care se gaseec mai multe corpuri, Gustav Kirchhoff a stabilit in primul rand ca densitatea spectrala a radiatiei este omogena in interiorul cavitatii fiind functie de temperatura dar independenta de natura si proprietatile corpurilor din cavitate, respectiv de peretii acesteia. Totodata, Kirchhoff a formulat urmatoarea lege care-i poarta numele:


11

"Raportul dintre puterea spectral de emisie i puterea relativ de absorbie a oricarui corp aflat la

o temperatura data este independent de natura i proprietile fizice ale corpului fiind o funcie universal, univoc, de temperatur i frecvena radiaiei".

E A

Sub forma matematica legea lui Kirchhoff se exprima astfel:

( TfAE

,= ). (FG.01.1.1)

In cazul corpului negru definit prin conditia 1=nA se obtine:

( ) nn

ETfAE

== , , (FG.01.1.2)

rezultat care arata ca funcia universal a lui Kirchhoff ),( Tf reprezint chiar emisivitatea a corpului negru. Studiul radiatiei termice de echilibru presupune cunoasterea functiei universale de distributie

spectrala a emisivitatii corpului negru, avand temperatura ca parametru.

nE),( Tf

Fig. FG.01.1.1 Fig. FG.01.1.2

Curba experimentala calitativa de distributie spectrala a radiatiei de corp negru este prezentata pentru diferite temperaturi in figura FG.01.1.1. Se observa cresterea cu temperatura a emisivitatii corpului negru si deplasarea spre lungimi de unda mai mici a maximului corepunzator emisivitatii maxime. In figura FG.01.1.2 se prezinta comparativ curbele care dau emisivitatea corpului negru si aunui corp oarecare, punandu-se in evidenta puterea de emisie mai scazuta a corpurilor cu putere relativa de absorbtie subunitara. Pe baza legii lui Kirchhoff se poate explica, de exemplu, emisia de lumina de catre flacara unei lumanari. Intrucat corpurile cu putere de absorbtie mare au si putere de emisie mare, lumina unei flacari este data de radiatia pronuntata a particulelor " negre" din zona de ardere a materialului. Nu acelasi lucru se poate spune despre un bec cu gaz unde are locoardere completa.

Legea Stefan-Boltzmann


12

Un pas important n cunoaterea funciei ( , )f T l constituie legea Stefan-Boltzmann care are urmtorul enun:

"Radianta integral a corpului negru este proporional cu puterea a patra a temperaturii absolute", adica:

4R T= (FG.01.1.3) unde:

0dR E

=

4

(FG.01.1.4)

iar este constanta Stefan-Boltzmann i are valoarea: 8 25,6693 10 Wm K = . (FG.01.1.5)

Relaia anterioar a fost gsit n anul 1879 de ctre Joef Stefan i demonstrat pe cale termodinamic, n anul 1884 de ctre Ludwig Boltzmann, care a aplicat radiaiei termice de echilibru dintr-o cavitate prevzut cu mic un orificiu (corp negru) ecuaia fundamental a termodinamicii:

d d dT S E p V= + . (FG.01.1.6) De asemenea, s-au utilizat relaiile termodinamice:

d dd dV T

p ETT V

= p+ (FG.01.1.7)

3Ep = (FG.01.1.8)

precum i relaiile:

4 4E B Rc c

= = (FG.01.1.9)

dintre densitatea de energie E , strlucirea B a pereilor cavitii i radiana integral R, care se obin imediat din relaiile de definiie. Rezult imediat ecuaia diferenial a densitii de energie:

d 4d

EET T

= , (FG.01.1.10)

care, prin integrare, poate fi scris sub forma (FG.01.1.3) a legii Stefan-Boltzmann.

Legea deplasrii a lui Wien

Datele experimentale au artat c exist o legtur direct ntre distribuia spectral a radiaiei emise de un corp negru i temperatura acestuia.

Astfel, Wilhelm Wien a stabilit (n 1893) c exist o dependen liniar ntre frecvena pentru care curba care d distribuia spectral a emisivitii corpului negru prezint un maxim i temperatura absolut, conform relaiei:

max bT = (FG.01.1.11) care exprim legea deplasrii a lui Wien, n care b, numeric egal cu 1,96 c (c este valoarea vitezei luminii n vid) i exprimat n HzK1, este o constant a crei valoare a fost gsit experimental.

O alt form a legii de deplasare, n funcie de lungimea de und max care corespunde maximului emisivitii, este dat de expresia


13

mT A = (FG.01.1.12)

unde este constanta lui Wien. 20,289782 10 m KA = Legea lui Wien este n deplin concordan cu datele experimentale.

Prin urmare, conform legii deplasrii, maximul emisivitii spectrale se deplaseaz, cu creterea temperaturii, spre lungimi de und mai mici. De exemplu, la temperaturi mici maximul radiaiei emise se situeaz n infrarou, trecnd succesiv n rou, galben, violet , cnd temperatura crete.

Legea semiempiric de distribuie spectral a lui Wien

Tot din considerente termodinamice, Wien a artat (n 1893) c distribuia spectral a densitii de energie are forma general

3 fE T = (FG.01.1.13)

adic funcia fT depinde numai de raportul T

, pn la nite constante.

n anul 1896, tot Wien propune pentru funcia T forma semiempiric

f TT

= e (FG.01.1.14)

(unde i sunt nite constante) urmrind s obin cea mai bun aproximare a curbei experimentale. O form echivalent a expresiei (FG.01.6.14) a legii lui Wien este dat de relaia

5 g( )E T = (FG.01.1.15) unde

2

1g( ) eC

TT C = (FG.01.1.16)

i are urmtorul enun: puterea de emisie a corpului negru la o anumit temperatur este invers proporional cu puterea a cincea a lungimii de und, C1 i C2 fiind constantele lui Wien (pn la un factor care depinde doar de produsul T).

Observaie: Se poate arta c formula lui Wien poate fi privit ca o modificare a legii lui Boltzmann pentru distribuia particulelor independente aflate n echilibru statistic, observaie care prezint interes pentru teoria dual, ondulatoriu corpuscular a luminii.

Dei nu a cptat o fundamentare teoretic riguroas i prezint limitri experimentale pregnante la frecvene mici, unde emisivitatea spectral trebuie s fie proporional cu ptratul frecvenei, legea lui Wien constituie, totui, cea mai bun descriere a distribuiei spectrale a radiaiei termice.

Legea de distribuie spectral Rayleigh-Jeans

Cutnd o explicaie teoretic pe baza teoriei ondulatorii a lui Fresnel i Young a radiaiei corpului negru, lordul Rayleigh (John William Strutt) gsete o formul pentru distribuia spectral a radiaiei termice care este apoi simplificat de J. H. Jeans, fiind astfel cunoscut sub numele de legea Rayleigh-Jeans i avnd urmtoarea expresie matematic:

4

8E kT

= (FG.01.1.17)


14

Formula (FG.01.1.15) arat c puterea de emisie a corpului negru la o anumit temperatur este invers proporional cu puterea a patra a lungimii de und.

Aceast formul, care prezice o cretere parabolic cu frecvena a emisivitii n tot spectrul, este n concordan cu experiena numai pentru lungimi de und mari sau pentru temperaturi nalte. Pentru lungimi de und mici, formula duce la o cretere continu, spre infinit, a emisivitii spectrale, care, astfel, nu mai prezint maximul cunoscut din experien (neconcordana a fost denumit de P. Ehrenfest catastrofa ultraviolet). Se observ c aceast lege completeaz, ntr-un anumit sens, legea lui Wien care, dimpotriv, modeleaz bine realitatea pentru lungimi de und mici.

Modul de deducere a relaiei (FG.01.1.17), prezentat n continuare, suscit ns un interes deosebit, deoarece este cel utilizat de Planck la stabilirea formulei corecte de distribuie spectral a radiaiei termice (fiind, de fapt, o combinare a metodei Rayleigh-Jeans i a celei folosite de Planck pentru a regsi formula Rayleigh-Jeans pe alt cale).

n principiu, se consider n concordan cu teoria ondulatorie a luminii c radiaia dintr-o incint la echilibru termic se prezint sub form de unde staionare (moduri de vibraie) ca urmare a suprapunerii undelor directe i reflectate (se admite c lungimile de und implicate sunt mici n comparaie cu neregularitile microscopice ale suprafeelor reflecttoare).

Expresia densitii spectrale de energie din cavitate se poate obine multiplicnd energia asociat fiecrei astfel de unde (mod de vibraie) cu densitatea de moduri de vibraie din cavitate.

Asociindu-se oscilatori pereilor incintei, pentru fiecare dintre frecvenele din cavitate, se constat c, odat cu echilibrul radiaiei termice din incint se atinge i echilibrul statistic al acestor oscilatori. ntruct energia medie a unui astfel de oscilator este kT, conform principiului echipartiiei energiei pe grade de libertate, se admite c energia unui mod de vibraie al cavitii este, de asemenea, kT. Prin urmare, pentru a gsi densitatea de energie a radiaiei termice din cavitate trebuie s calculm densitatea corespunztoare de moduri, adic numrul modurilor pe unitatea de volum i pe unitatea de frecven (Se tie c, pentru o cavitate ale crei dimensiuni sunt mari n comparaie cu lungimea de und, modurile normale ale cavitii sunt independente de forma acesteia).

S-a obinut, pentru densitatea de moduri pe interval de frecven, expresia final: 2

3

d 8d NNV c

= = d (FG.01.1.18) astfel nct densitatea spectral de energie a corpului negru va fi dat de relaia

2

3

8E kTc

= (FG.01.1.19) formul n concordan cu forma (FG.01.1.15) pentru aceasta.

Observaie: Legtura dintre expresiile (FG.01.1.17) i (FG.01.1.19) ale densitii spectrale de energie

se obine innd seama de relaiile d dE E = i c = .

Legea de distribuie spectral a lui Planck. Ipoteza cuantelor

Forma original a studiilor lui Planck asupra radiaiei termice cuprinde dou etape: o prim etap se ncheie cu stabilirea formulei care i poart numele, privind distribuia spectral a radiaiei termice n deplin concordan cu faptele experimentale; a doua etap, dedicat fundamentrii teoretice a acestei formule, a dus la introducerea ipotezei cuantelor.

Principalele elemente teoretice i experimentale utilizate de Planck n studiile sale au fost urmtoarele:

a) Planck a obinut mai nti, pentru energia medie a oscilatorului o expresie de tipul


15

( , )e 1kT

E T =

(FG.01.1.20)

Din legea lui Wien, combinat cu legea Rayleigh-Jeans, rezult c energia medie a oscilatorului trebuie s aib forma

3

( , ) f8cE T

T = (FG.01.1.21)

prin urmare, cele dou ecuaii (FG.01.1.20) i (FG.01.1.21) sunt compatibile dac

h = (FG.01.1.22) unde h este o constant de proporionalitate, astfel nct legea lui Planck se scrie, sub forma final,

2

38( , )

e 1E h

kT

Tc =

(FG.01.1.23)

adic densitatea de energie este dat de produsul dintre densitatea de moduri i energia medie a unui mod.

Deoarece prin aplicarea condiiilor 0 , 0h sau pentru a se trece la cantitile infinitezimale dup metoda lui Boltzmann se distruge valabilitatea, demonstrat experimental, a formulei lui Planck, acesta face ipoteza revoluionar c h are o valoare finit, iar oscilatorii pierd i absorb energie n

0h

mod discontinuu, prin cuanta de energie h = . Constanta universal h, cu dimensiunea de aciune, numit constanta lui Planck, a fost determinat i

are valoarea .34(6,62559 0,00016) 10 J sh = Observaie: n unele prezentri teoretice se mai utilizeaz notaia

2h= h , astfel nct energia cuantei are

expresia = . n cele ce urmeaz, se vor folosi ambele notaii, n funcie de situaie. hIpoteza lui Planck, greu de acceptat n perioada n care a fost fcut (ntruct principiul schimbului

de energie n mod continuu era fundamental pentru toate teoriile fizice) avea s constituie piatra de temelie a Mecanicii cuantice.

Teoria lui Planck a fost structurat, mai trziu, introducndu-se ipoteza cuantelor sub forma unui postulat fundamental privind imposibilitatea fragmentrii infinite a spaiului fazelor.

Extinznd la studiul radiaiei termice cuantificarea oscilatorilor microscopici prin care Planck modeleaz particulele radiante din cavitatea cu radiaie termic (i, n consecin, modurile de oscilaie ale cavitii) se poate calcula densitatea spectral de energie ( , )E T a radiaiei termice multiplicnd densitatea de moduri dat de relaia (FG.01.1.18) cu energia medie a unui mod (oscilator) pe care o vom calcula n cele ce urmeaz.

Fie N numrul oscilatorilor microscopici din cavitate astfel nct:

0 1 20

... nn

N N N N N

== + + + + (FG.01.1.24)

unde Nn este numrul oscilatorilor aflai n starea cu n cuante de energie h . Conform distribuiei Boltzmann, populaiile strilor Nn sunt date de relaii de tipul

'enhkT

nN N= , (FG.01.1.25)

constantele N rezultnd din condiia de normare:


16

0' e

nhkT

nN

== N , (FG.01.1.26)

deci

0

'e

nhkT

n

NN

=

=

(FG.01.1.27)

Energia total a celor N oscilatori va fi

( ) ( )1 000 0

0 0

ee( ) 'e ( )

e e

nhnhkTkT

nhnkTnkT

t n nh nhn n kT kT

n n

nhE N nh N nh N N

==

= == =

= = = =

=

( ) ( )11 0

0

1e

1 e1

e 1e1 e

nhkT h

kT kTnkTnnh

kTkT hkTn

hNhN N

=

=

= = =

. (FG.01.1.28)

Prin urmare, energia medie a unui oscilator va fi:

e 1

thkT

E hEN

= =

,

rezultat n concordan cu relaia originar (FG.01.1.19) a lui Planck.

Rezult, pentru densitatea spectral de energie a corpului negru i pentru emisivitatea spectral a acestuia, respectiv, relaiile:

( ) 33 58 1 8 1e 1 e

E h hkT kT

h hcc

= = 1c (FG.01.1.29)

i 3

22 1

e 1hkT

hEc

=

(FG.01.1.30)

sau 2

52 1

e 1hckT

hcE

= . (FG.01.1.31)

care reprezint forme echivalente ale legii lui Planck.

Concluzii privind termodinamica radiaiei termice obinute din analiza formulei lui Planck

Analiznd diferitele forme echivalente ale legii lui Planck, rezult generalitatea acestei legi, prin faptul c este n deplin concordan cu datele experimentale i c din ea pot fi obinute toate celelalte legi ale radiaiei termice prezentate. Astfel:

- Legea deplasrii a lui Wien se obine anulnd derivata n raport cu lungimea de und a densitii spectrale de energie:

( ) ( ) ( )( )2

4 5

2

10

5 e 1 e 1 ( )d 8d

e 1

hc hchckT kTkT

E hckT

hc

+ = = 0 ; (FG.01.1.32)


17

care reprezint ecuaia transcendent max

5 ehckThc

kT 5 =

(FG.01.1.33)

a crei soluie (grafic) are valoarea max

4,96511423hckT

= , de unde

2max 0,289782 10 m K4,96511423

hcTk

= = , (FG.01.1.34)

adic legea deplasrii i constanta lui Wien, A.

- Legea Stefan-Boltzmann se obine din calculul integralei

( ) ( )343 5 42 2 2 30 0 0

d2 d 2 215e 1 e 1

h hkT kT

h hkT kTh h kT k 4 4R E d T T

c c h c h

= = = = = (FG.01.1.35)

(deoarece 3 4

0d

e 1 15xx x

= ), rezultnd astfel i constanta Stefan-Boltzmann: 5 4

8 22 3

2 5,67 10 W m K15

kc h

= = 1 (FG.01.1.36)

- Legea lui Wien se obine pentru lungimi de und mici sau pentru temperaturi joase, astfel c este

ndeplinit condiia 1kThc

. Neglijnd unitatea de la numitor n relaia ( FG.01.1.30), obinem:

2

5

2 ehckThcE

= (FG.01.1.37)

adic legea lui Wien exprimat de relaiile (FG.01.1.15, FG.01.1.16) i constantele lui Wien, 16 2

1 2 3,7 10 WC hc= = m (FG.01.1.38)

22 1,43 10 m K

hcCk

= = (FG.01.1.39)

Observaie: ntruct constanta Stefan-Boltzmann, i Wien, A din legile corespunztoare ale radiaiei termice pot fi determinate experimental relativ simplu, fiecare dintre relaiile (FG.01.1.34) i (FG.01.1.36) pot fi utilizate pentru determinarea constantei lui Planck. Constanta lui Planck poate fi, de asemenea, determinat din msurri spectroscopice i din msurri asupra efectului fotoelectric.

FG.01.2. Efectul fotoelectric. Ipoteza fotonilor

Introducere

Prin efect fotoelectric se nelege eliberarea de electroni de ctre o substan sub aciunea radiaiilor electromagnetice situate ntr-un anumit domeniu spectral.

Efectul poate fi extern (propriu-zis), atunci cnd electronii sunt eliberai din substan n afara volumului acesteia fiind caracteristic metalelor, sau intern (fotoconductibilitate), atunci cnd sub aciunea radiaiei are loc o cretere a numrului de purttori de sarcin n substan fiind caracteristic semiconductoarelor i izolatoarelor. Ca un alt tip de efect fotoelectric poate fi considerat i fotoionizarea, care const n eliberarea de electroni de ctre atomii izolai sub aciunea radiaiei electromagnetice (de


18

exemplu, vaporii monoatomici). Numeroase lichide sau gaze precum i numeroi compui organici prezint, de asemenea, efect fotoelectric.

n cele ce urmeaz ne vom referi la efectul fotoelectric propriu-zis, studiul acestuia determinnd introducerea n fizic a ipotezei fotonilor (de ctre Einstein) ipotez care, alturi de cea a cuantelor (a lui Planck) definitiveaz concepia dual, de und-corpuscul, asupra radiaiei.

Efectul fotoelectric a fost descoperit n anul 1888 de ctre Heinrich Rudolf Hertz n cursul experimentelor legate de descoperirea undelor radio (descrcrile electrice ntre doi electrozi erau stimulate de lumina produs de alte scntei electrice). Experimente de pionierat asupra efectului fotoelectric au mai efectuat W. L. F. Hallwachs i A. G. Stoletov.

Se pot imagina diferite tipuri de dispozitive experimentale pentru punerea n eviden a efectului fotoelectric. Amintim n acest sens experimentul clasic al lui Hallwachs: sub influena unui fascicul luminos produs de un arc electric, un electroscop (ncrcat negativ) se descarc i (descrcat fiind) se ncarc pozitiv, datorit emisiei de electroni prin efect fotoelectric.

Faptul c particulele ncrcate emise prin efect fotoelectric sunt electroni, a fost artat de Philipp

Lenard n 1889, prin determinarea raportului em

(sarcina specific) pentru particulele emise de o suprafa

metalic sub aciunea unui flux de radiaii ultraviolete.

Legile experimentale ale efectului fotoelectric

Dispozitivul experimental tipic pentru studiul efectului fotoelectric este prezentat schematic n figura FG.01.2.1.

Fig. FG.01.2.1. Diod fotoelectric pentru studiul efectului fotoelectric i o caracteristic I-U.

Doi electrozi metalici sunt aezai ntr-un balon vidat prevzut cu o fereastr pentru fluxul de radiaie incident pe suprafaa catodului. ntre anod i catod se aplic o tensiune reglabil ca valoare i ca polaritate. Tensiunea aplicat tubului i curentul prin circuit pot fi msurate cu un voltmetru i , respectiv, cu un ampermetru, montate convenabil n circuit. Iluminnd catodul K de exemplu cu radiaie ultraviolet, se constat c n circuit se stabilete un curent care nu poate fi pus dect pe seama fotoelectronilor emii de catod, care nchid circuitul prin interiorul tubului vidat.

Dac polaritatea tensiunii exterioare este astfel aleas nct se opune deplasrii electronilor spre anod, exist o valoare a acesteia pentru care curentul fotoelectric se anuleaz; aceasta este numit tensiune de stopare i satisface ecuaia:

2

2SmeU = v (FG.01.6.54) (FG.01.2.1)

n care e, m i v sunt, respectiv, sarcina, masa i viteza fotoelectronilor.


19

Dac polaritatea tensiunii exterioare este astfel aleas nct favorizeaz trecerea electronilor de la catod spre anod, se constat o cretere a curentului fotoelectric cu tensiunea aplicat, pn la o valoare de saturaie a acestui curent, valoare pentru care toi electronii emii de catod sunt colectai de anod.

Studiul efectului fotoelectric a condus la stabilirea urmtoarelor legi experimentale ale acestuia:

1. Intensitatea curentului fotoelectric de saturaie este proporional cu fluxul radiaiei incidente de structur spectral dat (legea lui Stoletov).

Fig. FG.01.2.2.

2. Energia cinetic a fotoelectronilor emii depinde liniar de frecvena radiaiei incidente i este independent de intensitatea acesteia.

Fig. FG.01.2.3. Fig. FG.01.2.4.

3. Exist o frecven limit a radiaiei incidente, numit frecven de prag fotoelectric, dependent de natura suprafeei iradiate, sub care efectul fotoelectric nu se mai produce (pragul fotoelectric se mai numete i pragul rou, dup culoarea radiaiei de prag utilizate n experimentele care au dus la stabilirea acestei legi).

4. Efectul fotoelectric se produce practic instantaneu (sub 109 s).

O parte dintre aceste legi au fost stabilite, pentru prima dat, nc din anul 1902, de ctre P. Lenard care a constatat urmtoarele: viteza electronilor emii nu crete cu creterea fluxului de radiaie; timpul de producere al efectului fotoelectric este foarte mic; sub frecvena de prag, efectul fotoelectric nu se mai produce.

Aceste observaii experimentale ale lui Lenard veneau n contradicie cu teoria ondulatorie a luminii, conform creia: viteza fotoelectronilor ar fi trebuit s creasc odat cu creterea fluxului de radiaie i cu timpul ct acesta acioneaz; timpul de producere al efectului fotoelectric ar fi trebuit s fie mult mai mare; efectul ar trebui s aib loc n prezena radiaiei de orice frecven.

Prin urmare, teoria ondulatorie a luminii era incapabil s explice legile experimentale ale efectului fotoelectric.

Ipoteza fotonilor i explicarea efectului fotoelectric

Explicaia corect a acestui efect n deplin concordan cu legile experimentale prezentate mai sus a fost dat de ctre A. Einstein, pe baza ipotezei fotonilor, n anul 1905.


20

Avnd ca punct de plecare ipoteza cuantelor a lui Planck, Einstein c radiaia trebuie s aib un caracter dual, ondulatoriu-corpuscular, astfel c fasciculul de lumin se comport ca un ansamblu de corpusculi (numii fotoni), energia fiecrui foton fiind

h = , (FG.01.2.2) iar impulsul su fiind

fhpc= . (FG.01.2.3)

fotonii identificndu-se prin urmare cu cuantele de energie ale lui Planck.

Observaii:

Alte forme sub care poate fi scrise energia i impulsul fotonului sunt:

2c hh = = = hk (FG.01.2.4)

i, respectiv,

2fh hkp = = = hk sau, vectorial, fp k=

rr h , (FG.01.2.5)

unde i sunt, respectiv, pulsaia i vectorul de und ataate fotonului. Aceste expresii rezult innd seama de caracterul ondulatoriu al fotonului.

kr

Termenul foton a fost introdus n 1926 de G. N. Lewis, fiind sugerat de termenii electron, introdus de Stoney n 1891 i proton, introdus de Rutherford n 1920.

Mecanismul de producere a efectului fotoelectric este, conform ipotezei fotonilor a lui Einstein, urmtorul: n procesul de interaciune foton-electron, care are loc sub suprafaa metalului, fotonul i cedeaz electronului ntreaga sa energie ; ca urmare, energia cinetic a electronului devine h =

0T T h= + , (FG.01.2.6) unde este energia cinetic a electronului naintea interaciunii i este, conform teoriei clasice, egal cu

0T h32 kT (sutimi de electronvolt, la temperatura camerei).

n cazul n care un electron a prsit suprafaa metalului prin efect fotoelectric, el a pierdut o parte din energie Lc, n interiorul reelei cristaline n ciocniri inelastice i o alt parte Lex, sub form de lucru mecanic de extracie; ceea ce rmne se regsete sub forma energiei cinetice a fotoelectronilor, astfel nct se poate scrie ecuaia de bilan energetic a lui Einstein:

2

0 2c exmh T L L + = + + v . (FG.01.2.7)

Neglijnd Lc i T0 n relaia de mai sus, se poate scrie legea efectului fotoelectric, sub form simplificat, astfel:

2

2 exm h L= v (FG.01.2.8)

sau, echivalent, 2

(2 p

m h= v ) . (FG.01.2.9)


21

Se poate observa c legile efectului fotoelectric capt o interpretare simpl pe baza relaiilor de mai sus.

Astfel, curentului fotoelectric de saturaie IS cu mrimea fluxului este evident, numrul fotoelectronilor eliberai fiind proporional cu numrul fotonilor incideni.

Observaii:

Se constat experimental c numrul fotonilor care extrag efectiv un electron din metal este mult mai mic dect numrul fotonilor incideni; diferena dintre numrul fotonilor incideni n unitatea de timp, nf i numrul fotoelectronilor emii n unitatea de timp, Ne determin creterea energiei de agitaie termic a reelei cristaline.

Raportul e

f

Nn

= (FG.01.2.10)

se numete randament cuantic i are valori cuprinse ntre 104 i 1012.

Relaiile (FG.01.2.1) i (FG.01.2.9) pot fi unite ntr-o singur relaie:

( )ph = SeU , (FG.01.2.11) reprezentat grafic n figura FG.01.2.5.

Fig. FG.01.2.5.

Pe baza acestei relaii, Robert Millikan a determinat constanta lui Planck, msurnd panta dreptei ridicate experimental (pentru sodiu, vezi figura FG.01.2.5) i utiliznd sarcina electric a electronului msurat de el nsui n alt experiment (referitor la deplasarea n cmpul electric al unui condensator a particulelor de ulei ncrcate experimentul lui Millikan, 1911).

Interpretarea undelor electromagnetice ca un flux de fotoni este n deplin concordan cu existena energiei i impulsului cmpului electromagnetic ca mrimi de stare ale acestuia.

Prin urmare, legile generale de conservare ale energiei i impulsului se pot scrie pentru sistemele complexe formate din fotoni (caracterizai de energia = h i impulsul p k= rr h ) i microsistemele cu care interacioneaz (electroni, atomi etc.), caracterizate de energia E i impulsul P

r sub forma:

i i fE E+ = + h h f

f

(FG.01.2.12)

i i fP k P k+ = +r rr r

h h (FG.01.2.13)

un de indicii i i f specific strile dinaintea interaciunii i, respectiv, dup interaciune.

Observaie:


22

n procesul de interaciune foton-electron, pentru un electron complet liber legile de conservare ale energiei i impulsului nu pot fi satisfcute simultan:

- considernd 2

cin 2mE = v ar trebui s avem simultan

2

2m h= v i hm

c=v , adic (!) 2c=v

- considernd 2cin 0( 1)E m c= ar trebui s avem simultan i 20( 1)m c h = 0 hm c c = , adic

(innd seama de relaia ) , deci 2 2 2 1 = + 0 = 0 = (!). n consecin, interaciunea foton-electron caracteristic efectului fotoelectric implic prezena unui sistem exterior (de ex. o reea cristalin) care s preia o parte din impulsul electronului.

Alte aspecte privind studiul efectului fotoelectric

a) n cazul n care energia cinetic a fotoelectronului este mult mai mare n raport cu energia de repaus a electronului ( ) ca urmare a energiei ridicate a cuantei incidente (de ex. radiaii X) fotoelectronul se comport relativist, astfel nct n studiul efectului fotoelectric va trebui s utilizm legile dinamicii relativiste.

20 0,511 MeVm c

b) n teoria cuantic a lui Fowler se arat dependena de temperatur a efectului fotoelectric, evideniindu-se variaia emisiei fotoelectronice cu frecvena n vecintatea pragului (care este definit riguros numai pentru 0 KT ).

c) Msurrile efectuate asupra efectului fotoelectric au permis calculul tensiunilor de prag (deci al frecvenelor de prag sau al lungimilor de und de prag) pentru majoritatea materialelor utilizate n aplicaii.

Pentru exemplificare dm, mai jos, lungimile de und de prag pentru cteva materiale tipice:

Metalul Cs K Na Li Ta Hg Au Fe

prag [nm] 590,0 550,0 540,0 500,0 305,0 273,5 265,0 261,0 De remarcat dificultile de msurare a tensiunilor de prag, ca urmare a dou cauze:

- efectul fotoelectric parazit de pe anodul colector (poate fi nlturat prin confecionarea anodului dintr-un alt material n raport cu cel al catodului astfel nct radiaia incident s aib lungimea de und situat ntre cele dou praguri).

- diferena de potenial de contact care apare ntre anod i catod n cazul n care acestea sunt confecionate din materiale diferite (poate fi nlturat fcnd msurtori succesive cu anozi i catozi confecionai din trei metale diferite, dup metoda lui Millikan).

d) Un alt aspect interesant al efectului fotoelectric l constituie efectul fotoelectric selectiv. Conform celor prezentate mai sus, curentul fotoelectric de saturaie scade cu lungimea de und la flux incident constant, efectul fotoelectric fiind numit normal. ns, n anumite cazuri se constat dependena curentului de saturaie de direcia de polarizare a luminii incidente i de unghiul de inciden al acesteia i apariia unui maxim pronunat pentru o anumit lungime de und (adic efectul fotoelectric este selectiv). O explicaie parial a fenomenului a fost posibil folosind teoria ondulatorie a luminii, ns explicaia riguroas se face n teoria cuantic a interaciunii cmp-substan.

e) Numeroase alte aspecte specifice prezint efectul fotoelectric intern (fotoconductibilitatea) i fotoionizarea.

De exemplu, n cazul fotoconductibilitii semiconductoarelor, fotonii absorbii determin trecerea electronilor din banda de valen (sau de pe nivelele impuritilor donoare) n banda de conducie, crendu-se astfel purttori de sarcin care, n prezena unui cmp electric, modific esenial proprietile conductoare ale materialului. Fenomenul se produce numai dac fotonii incideni au o energie mai mare dect lrgimea


23

benzii interzise a materialului, Eg (sau dect EC Ed) pentru a face posibil trecerea electronilor n banda de conducie. Aceast frecven minim a fotonilor, sub care acetia nu sunt absorbii, joac rolul frecvenei de prag a efectului fotoelectric extern.

Fotoionizarea const n extragerea electronilor din atomii izolai sub aciunea radiaiei electromagnetice. Experimental, apariia electronilor i a ionilor pozitivi n interiorul unei mase de vapori supuse iradierii poate fi evideniat prin metodele spectrografiei de mas. Exist o energie minim de ionizare a atomilor, care determin o frecven de prag de ionizare sub care fenomenul nu se produce, frecvena de prag de ionizare corespunznd frecvenei de prag din cazul efectului fotoelectric extern.

Se constat c, pentru acelai tip de atomi, energia de ionizare este mai ridicat dect energia de extracie a electronilor din reeaua cristalin, unde electronii se afl aproape liberi, diferen explicabil n teoria cuantic.

FG.01.3. Efectul Compton

Evidenierea experimental a efectului Compton

Efectul Compton const n difuzia radiaiilor X sau n procesele de interaciune cu diverse substane nsoit de modificarea lungimii de und a radiaiei incidente, funcie de unghiul de difuzie. Fenomenul este caracteristic substanelor care prezint electroni slab legai (de ex. grafitul, parafina).

Primele experimente de difuziune a razelor X au fost efectuate n anul 1905 de ctre C. G. Barkla, care a interpretat rezultatele obinute pe baza teoriei clasice a difuziei a lui J. J. Thomson.

Din msurrile de intensitate efectuate, Barkla a fcut primele estimri ale numrului de electroni din atomi, dar nu a putut explica diferenele observate n raport cu teoria clasic pentru razele X dure, datorit imposibilitii efecturii de msurtori spectroscopice (primele spectroscoape au aprut dup ce Max von Laue, n 1912 i W. L. Bragg n 1914 au efectuat experimentele lor de difracie pe cristale).

Experimentele de difuzie a razelor X au fost reluate n anul 1923 de ctre Arthur H. Compton, care a studiat radiaia X mprtiat de un strat subire de grafit cu ajutorul unui spectrometru Bragg cu cristal. Configuraia experimental utilizat n acest scop este prezentat n figura FG.01.3.1.

Fig. FG.01.3.1.

Din msurrile experimentale efectuate asupra fasciculului difuzat se constat c ntre lungimile de und ale radiaiei X incidente i cele ale radiaiei X difuzate sub un unghi exist relaia:

20 (1 cos ) 2 sin 2C C

= = = (FG.01.3.1)

unde este o constant numit lungime de und ComptonC 12( 2,42626 10 m)C = . Explicarea efectului Compton pe baza teoriei fotonice

Efectul Compton a fost explicat pentru prima dat de ctre A.H. Compton i P. Debye n anul 1923, aplicnd interaciunii foton-electron legile clasice ale ciocnirii a dou corpuri (legea conservrii energiei i legea conservrii impulsului), pe baza ipotezei fotonice a lui Einstein.


24

Fig. FG.01.3.2.

Interaciunea caracteristic efectului Compton este prezentat schematic n figura FG.01.3.2, electronul slab legat al substanei difuzate fiind considerat n repaus.

Caracteristicile dinamice ale fotonului i electronului care intervin n interaciunea studiat sunt urmtoarele:

Energie Foton Electron naintea interaciunii 0h 20m c

dup interaciune h 2 20 2E c p m c= + Impuls Foton Electron

naintea interaciunii 0hc 0

dup interaciune hc p

Conform legilor de conservare a energiei i a impulsului, pot fi scrise relaiile: 2 2

0 0 0h m c h c p m c + = + + 2 2 (FG.01.3.2)

0

0 1 1k kh h pc c = +r r r (FG.01.3.3)

unde 0

1 , 1 i k k pr r r sunt, respectiv, versorul direciei de propagare a fotonului incident, versorul direciei de

propagare a fotonului difuzat i impulsul electronului dup interaciune.

Relaia (FG.01.3.3) este echivalent cu dou ecuaii scalare, obinute prin proiectarea ecuaiei vectoriale pe dou direcii perpendiculare (una paralel cu direcia fotonului incident i cealalt perpendicular pe aceasta) n raport cu care se definesc unghiurile i de difuziune ale fotonului i, respectiv, electronului dup interaciune:

0 cos cosh h pc c = + (FG.01.3.4)

0 sin sih pc= + n (FG.01.3.5)

Din relaiile de mai sus se obine, prin eliminarea unghiului , expresia impulsului: 2 2

2 20( cos ) ( sin )

h hpc c

= + 2 (FG.01.3.6)

care, introdus n relaia (FG.01.3.2) a legii conservrii energiei, conduce la ecuaia:


25

(20 0

1 1 1 coshm c

= ) (FG.01.3.7) (FG.01.3.7) care se scrie, n funcie de lungimile de und implicate, sub forma standard: care se scrie, n funcie de lungimile de und implicate, sub forma standard:

20

0 0

(1 cos ) 2 sin2

h hm c m c

= = = , (FG.01.3.8)

de unde, prin comparare cu relaia experimental (FG.01.3.1), rezult expresia lungimii de und Compton:

0C

hm c

= . (FG.01.3.9)

Din analiza relaiei (FG.01.3.8) rezult c ecartul lungimii de und este o funcie cresctoare de unghiul de difuziune , fiind independent de natura substanei difuzante i de lungimea de und a radiaiei incidente, 0. Totodat, se observ c ecartul este ntotdeauna pozitiv, ntruct energia fotonului scade n urma interaciunii, diferena de energie fiind preluat de electronul implicat, sub form de energie cinetic. Ecartul ca funcie de unghiul de difuzie atinge valoarea maxim pentru = , cnd i este nul pentru = 0. Se constat c lungimea de und Compton este lungimea de und pentru care energia fotonului asociat acestei lungimi de und este egal cu energia de repaus a electronului:

2 C =

20 0 0,511 MeV

C

hcE m c= = = . (FG.01.3.10)

Studiile experimentale evideniaz prezena n spectrul radiaiei difuzate i a lungimii de und iniiale. Astfel, odat cu creterea unghiului de mprtiere, raportul dintre intensitile componentelor cu lungimile de und i 0 se schimb n favoarea componentei (vezi figura FG.01.3.3, n care pe ordonat este reprezentat intensitatea fasciculului difuzat; evident, pentru = 0 ordonata va indica intensitatea fasciculului incident). Calculul de mai sus s-a fcut pentru interaciunea unui foton cu un electron slab legat, dar care a fost considerat liber, astfel c prin ciocnire fotonul i cedeaz energie electronului. Apariia componentei 0 se explic prin natura elastic a interaciunii dintre foton i un electron mai strns legat, situat pe un strat mai profund al atomului, astfel nct fotonul difuzat nu i schimb, practic, lungimea de und (ciocnirea se face n acest caz cu tot atomul, electronul rmne legat de atom astfel nct ecartul de frecven calculat va depinde de masa atomului, deci va fi foarte mic).

Fig. FG.01.3.3.

n mod asemntor se explic interaciunea, fr modificarea lungimii de und, a fotonului cu reeaua cristalin a unui solid. Componenta cu frecvena nedeplasat din spectrul radiaiei difuzate se mai numete component Thomson; ca urmare a difuziei de tip Thomson care o caracterizeaz (difuziune fr schimbarea lungimii de und).


26

Studiul electronilor difuzai Compton

Referitor la electronii difuzai Compton (electronii de recul), din legea conservrii energiei rezult c energia cinetic imprimat acestora este dat de relaiile:

02

2 0

02

0

(1 cos )

1 (1 cos

hm cT h c m h

m c

= = = + )

. (FG.01.3.11)

Valoare unghiului de recul al electronului se obine innd seama de relaia de conservare a impulsului (vezi figura 6.):

02

0

1tg(1 ) tg

2hm c

= + (FG.01.3.12)

Deoarece 0 , rezult c unghiul se va afla ntotdeauna n cadranul al patrulea. Raportul dintre energia cinetic a electronului difuzat i cea a fotonului incident este dat de relaia:

0 0

Th

= + ; (FG.01.3.13)

rezult c, pentru acelai unghi de difuzie , energia electronului de recul crete cu creterea frecvenei fotonului incident.

Verificri experimentale

n anul 1925 Compton i Simon au artat, cu ajutorul unei camere Wilson c valoarea unghiului dintre direcia fotonului difuzat i cea a fotonului incident este n concordan cu valoarea calculat utiliznd legile de conservare ale energiei i impulsului, pe baza ipotezei fotonice.

Astfel, electronul de recul i fotoelectronii produi de radiaia difuzat prin efect fotoelectric (fotonii nu las urme n camera Wilson) sunt vizualizai prin urmele pe care le produc dup direcii alese n concordan cu relaia (FG.01.3.12).

Alte experimente, realizate de Bethe i Geiger, au verificat simultaneitatea apariiei electronului de recul i a fotonului difuzat. Configuraia experimental utilizeaz dou contoare Geiger. Un fascicul de raze X produce efect Compton ntr-o atmosfer de H2. Un contor, cu fereastr de Pt i atmosfer de aer absoarbe electronii de recul i evideniaz fotonii difuzai prin intermediul fotoelectronilor produi de acetia prin efect fotoelectric; cellalt contor, cu atmosfer de H2, reacioneaz la electronii difuzai Compton, nefiind practic influenat de fotonii difuzai Compton, slab absorbii de hidrogen. Montnd cele dou contoare ntr-un lan de msur cu coinciden, numrul mare de coincidene constatat experimental confirm simultaneitatea apariiei electronului de recul i a fotonului difuzat.

Prin urmare, explicarea efectului Compton pe baza teoriei fotonice este n deplin concordan cu faptele experimentale.

Efectul Compton multiplu

Analiza radiaiei Compton difuzate pune n eviden posibilitatea producerii unui efect Compton multiplu, deplasarea lungimii de und a radiaiei fiind dat, n acest caz, de relaia:

( )1 0

(1 cos )n

n ii

hm c=

= (FG.01.3.14) i fiind unghiul de difuziune n etapa i din procesul multiplu, cu n etape, considerat.


27

Pentru exemplificare se consider efectul Compton dublu. Considernd cazul particular n care fotonul incident i cei doi fotoni mprtiai se afl n acelai plan, relaia (FG.01.3.14) devine:

( )20

2 1 cos cos2

hm c

= (FG.01.3.15)

unde 2 12

= reprezint unghiul dintre prima direcie de mprtiere i bisectoarea unghiului de observaie (vezi figura FG.03.3.4). Relaia (FG.01.3.15) rmne valabil i n cazul general, n care cei trei fotoni considerai nu mai au impulsurile coplanare.

21

( )1 2 12 = 1 2 = + Fig. FG.01.3.4.

Calculndu-se valorile extreme pentru ( )1 i ( )2 , prin atribuirea de valori convenabile unghiurilor i , se pot stabili elemente suficient de difereniere experimental a efectelor Compton simplu i Compton dublu.

Efectul Doppler

Se tie c efectul Doppler const n variaia frecvenei radiaiei recepionate n raport cu frecvena radiaiei emise de ctre o surs atunci cnd aceasta i observatorul care o recepioneaz se afl n micare relativ ntre ele.

Teoria ondulatorie a luminii explic efectul Doppler prin variaia aparent a lungimii de und a radiaiei datorit micrii relative.

n anul 1922, Schrdinger arat c efectul Doppler poate fi de asemenea explicat utilizndu-se ipoteza fotonilor a lui Einstein, oferind n acest fel o confirmare n plus a acestei ipoteze (care statueaz caracterul dual al radiaiei).

Considerm un atom de mas m i vitez rv care emite un foton de impuls hc dup direcia (vezi

figura FG.01.3.5).

y

rv

hc

rv

rv rvcosh

c

sinhc

+ r rv v

x

Fig. FG.01.3.5.

Pentru variaii mici ale vitezei atomului n urma procesului de emisie, legea conservrii impulsului dup direciile Ox i Oy se scrie astfel:

coshmc = v (FG.01.3.16)


28

sinhmc = v (FG.01.3.17)

Prin emisia cuantei de energie h are loc att variaia energiei cinetice a atomului, ct i o modificare a strii sale interne, pus n eviden de energia E , astfel nct legea conservrii energiei se va scrie:

2 2 2( ) ( )2mh E = + v v v v (FG.01.3.18)

Din relaiile (FG.01.3.17) i (FG.01.3.18), innd seama de inegalitatea 2 1h

mc , se obine expresia

frecvenei cuantei difuzate:

1 cos

Eh

c

=

v (FG.01.3.19)

Pentru , relaia (FG.01.3.19) reprezint frecvena cuantei emise de atomul n repaus: 0=v

0Eh

= (FG.01.3.20)

prin urmare

00 1 cos

1 cos cc

= + vv

(FG.01.3.21)

adic formula cunoscut a efectului Doppler.

n mod analog, pe baza ipotezei fotonice se poate obine formula efectului Doppler relativist (din scrierea corespunztoare a legilor de conservare ale energiei i impulsului, nainte i dup emisia fotonului).

Formula (FG.01.3.20) este n deplin concordan i cu postulatele lui Bohr referitoare la atomul de hidrogen.

FG.01.4. Presiunea luminii

Ipoteza ca radiatia exercita o presiune asupra corpurilor pe care cade apartine lui Kepler (in jurul anului 1600) care a incercat sa explice prin existenta presiunii exercitate de radiatia emisa de Soare cozile cometelor care sunt orientate intotdeauna in directie opusa Soarelui. In termodinamica, in anul 1876, Bertoli a facut o experienta in care deplasarea unui piston intr-o incinta vidata nu poate fi explicata decat prin ipoteza existentei presiunii radiatiei.

S-a constatat ca presiunea radiatiei poate fi calculata cu formula 3Ep

= cunoscuta astazi ca fiind ecuatia termica de stare a radiatiei termice. O metoda directa de masurare a presiunii radiatiei a fost propusa in anul 1901 de catre Lebedev, cara a efectuat urmatoarea experienta. Intr-o incinta vidata a a suspendat cu un fir de cuart, in pozitie orizontala o bara foarte usoara, suspendata cu un fir de cuart. Doua foite de mica, una argintata cealalta innegrita au fost lipite pe capetele barei, astfel incat cele doua foite se comporta diferit in raport cu lumina incidenta de la o sursa puternica. Ca urmare are loc torsionarea firului, care se poate masura cu ajutorul deviatiei spotului luminos incident pe foite, fiind posibila o masurare cantitativa a presiunii radiatiei.

Explicarea presiunii radiatiei pe baza teoriilor clasice ondulatorie si corpusculara ale luminii nu sunt satisfacatoare, fiind in contradictie si cu alte fapte experimentale privind natura acesteia. Teoria cuantica a facut posibila interpretarea riguroasa a presiunii radiatiei cu ajutorul ipotezei fotonilor. Conform acestei


29

ipoteze, presiunea luminii este determinat de variaia impulsului fotonilor incideni n unitatea de timp, pe unitatea de arie. De exemplu, pentru N fotoni incidenti, pe o suprafa absorbant ( ) : 1=A cNhp /= sau pentru o suprafa perfect reflecttoare pp 2'= ( )1=R . In general, pentru o suprafata vand un factor de reflexie rezulta pentru presiunea luminii expresia cunoscuta:

).1( += pp FG.01.5. Experimentul lui Franck si Hertz

Studiul emisiei i absorbiei radiaiei de ctre atom pe baza modelului strilor energetice staionare l-a fcut pe Bohr s afirme (n anul 1913) c, n virtutea caracterului intrinsec al acestor stri staionare, atomului i se poate furniza energie pentru excitare att prin intermediul radiaiei externe ct i pe alt cale, cum ar fi bombardamentul electronic.

Un astfel de experiment de bombardament electronic al atomului a fost efectuat de James Franck i Gustav Hertz, care au comunicat rezultatele obinute n anul 1914.

Dispozitivul experimental utilizat de acetia, de tip triod (ca i n experimentul lui Lenard) este prezentat n figura FG.01.5.1. Se observ c, ntre anod i catod se aplic un potenial accelerator, pe cnd ntre gril i anod un potenial de frnare pentru electroni. n incinta de sticl se afl vapori de mercur (sau alte specii de atomi) la o presiune sczut, ntre atomii de mercur i electronii accelerai de gril avnd loc n mod continuu procese de ciocnire elastic sau neelastic.

Fig. FG.01.5.1.

Spre deosebire de experimentul lui Lenard (unde se studiau atomii care se ionizau n decursul ciocnirilor cu electronii) n acest experiment se urmrete comportamentul electronilor n interaciunile lor cu atomii care pot trece (sau nu) n stri energetice excitate.

Cu ajutorul dispozitivului de mai sus sunt pui n eviden acei electroni care i pierd energia ntr-o ciocnire neelastic cu atomii, msurndu-se curentul anodic n funcie de tensiunea de accelerare a grilei (vezi figura FG.01.5.2).

Fig. FG.01.5.2.


30

Contribuia electronilor la curentul anodic va fi dat de acei electroni care au energia cinetic suficient de mare pentru a nvinge tensiunea de frnare a anodului.

Pe de alt parte, excitarea atomilor de mercur din incint se poate realiza prin ciocniri neelastice cu electronii dac energia acestora atinge valorile , etc. (care caracterizeaz diferenele

energetice dintre starea fundamental i diferite stri excitate ale atomului), numite energii de rezonan1,reV 2 ,reV 2 ,reV

.

Aceste energii de rezonan corespund unor poteniale de rezonan , etc., pe care le

msurm cu ajutorul potenialului de accelerare (vezi figura FG.01.5.3). 1,rV 2 ,rV 2 ,rV

GKV

Fig. FG.01.5.3.

Observaie: Excitarea atomilor de mercur se face prin procese de tipul A e A e T + = + , numite ciocniri de spea nti.

Interpretarea caracteristicii experimentale din figura 11 se face n felul urmtor. Pentru energii cinetice ale electronilor electronii sufer ciocniri elastice cu atomii de mercur fr a-i pierde

energia, astfel nct are loc o cretere corespunztoare a curentului anodic. Dac energia cinetic a electronilor satisface condiia atunci, electronii, prin ciocnire neelastic, vor ceda energia

atomilor de Hg, care vor trece n prima stare excitat. Ca urmare, energiile electronilor care au suferit

ciocniri neelastice scad brusc, producnd o scdere nsemnat a curentului anodic.

,Sr

T eV . -pentru se obine o serie negativ, discret a valorilor energiei, al crei termen general tinde ctre zero.

n

() Antrenarea nucleului Dac se ine seama i de micarea nucleului, formulele obinute anterior pentru descrierea

atomilor/ionilor hidrogenoizi trebuie s fie corectate, deoarece aproximaia de punct fix a nucleului nu este riguros valabil dect pentru o mas infinit a acestuia (n raport cu masa electronului).

Ecuaiile de micare ale ansamblului electron-nucleu se scriu, n referenialul laboratorului, sub forma (vezi figura FG.01.6.1):

0 ( )m r f r= r&& 0r (FG.01.6.21) 0( )MR f=

r r&& r (FG.01.6.21) Z

M R

unde: m0 este masa de repaus a electronului; M este masa de repaus a nucleului; , rr R

r i sunt vectorii de poziie al electronului, al nucleului

i, respectiv, al centrului de mas; Crr

( )f este fora de interaciune dintre cele dou particule; iar este versorul direciei dintre cele dou particule. Crr r

Adunnd cele dou relaii se poate scrie: Fig. FG.01.6.1.

0( )d m r MRdt

+ =rr &&&& 0 (FG.01.6.22) sau , (FG.01.6.23) 0 const.m MV+ =

rrv

adic impulsul total al sistemului nucleu-electron se conserv.

innd seama de raza vectoare a centrului de inerie,

0

0C

m r MRrm M

+= +rrr

(FG.01.6.24)

se obine:

0 ( ) (Cm r r M R r = )Crr r r (FG.01.6.25)

adic paralelismul vectorilor Cr rr r CR rr r

i, implicit, coliniaritatea punctelor M, m i C.

m0

C r

Crr

rrr

Y

X


38

De asemenea, din relaiile (FG.01.6.22) i (FG.01.6.23) rezult (deoarece ) 0 const.M m+ = const.Cr =r& (FG.01.6.26)

Relaia (FG.01.6.24) exprim faptul c punctul C (care este centrul de ineriei al celor dou particule) se mic uniform sau este n repaus i, totodat, reprezint o alt form a legii conservrii impulsului sistemului celor dou particule.

Alegnd originea sistemului de coordonate chiar n centrul de inerie C ( ), cele dou particule se mic n jurul punctului C pe orbite asemenea, astfel nct studiul micrii sistemului poate fi nlocuit cu studiul micrii unei singure particule, situat la distana fa de centrul de inerie C i avnd masa (numit mas redus

0Cr =r

)

0

00 1

m M mmM m0

M

= =+ + (FG.01.6.27)

ntr-adevr, din ecuaiile (FG.01.6.21) i (FG.01.6.21), prin scdere, se obine:

00

1 1 ( )r R f rm M

= + rr &&&& r (FG.01.6.28)

sau 01 ( )f r =

r r&& (FG.01.6.29)

unde , (FG.01.6.30) r R = rr r

adic ecuaia de micare cutat.

Prin urmare, pentru a se ine seama de micarea proprie a nucleului, n relaiile cantitative care descriu atomii/ionii hidrogenoizi masa electronului n micare trebuie nlocuit cu masa redus a celor dou particule.

ntruct 1836

10 Mm se obine, pentru masa redus, o valoare cu 0,07% mai mic dect m0.

Acelai rezultat se obine calculnd direct valoarea energiei sistemului nucleu-electron, ca i n cazul considerrii nucleului ca fiind fix. Lundu-se n considerare micarea real cu frecvena unghiular a celor dou mase n jurul centrului de mas definit prin expresia:

00M mM r m r= (FG.01.6.31)

Mr i fiind razele de giraie ale celor dou particule, se scriu relaiile de cuantificare pentru momentul

cinetic total: 0m

r

0

2 20M mM r m r n + = h (FG.01.6.32)

i condiia de echilibru ntre forele centripet i centrifug:

0

0

0

2 22 2

0 220 0

0

4 ( )4 1

M mM m

m

e eM r m rr r mr

M

= = = + + (FG.01.6.33)

astfel nct pentru valoarea energiei totale a atomului de hidrogen E T U= + se obine expresia:


39

( )00

22 2 2 2

00

12 8m M M m

eE T U m r M rr r

= + = + +( ) (FG.01.6.34)

i, n final: 4

02 2 2 2

0 0

132n

m eEm M n

= + h (FG.01.6.35)

adic expresia (FG.01.6.15), pentru Z = 1 i n care masa electronului a fost nlocuit cu masa redus a sistemului atomic.

() Explicarea seriilor spectrale Exprimarea frecvenei liniei spectrale emise de atom prin relaia (FG.01.6.6) ca diferen a doi

termeni spectrali conform principiului de combinare al lui Ritz-Rydberg permite o interpretare elegant a seriilor spectrale cu ajutorul modelului atomic al lui Bohr.

ntr-adevr, tranziiile spectrale ntre dou stri energetice oarecare En i Em ale atomului, prezise de teoria lui Bohr i de formula lui Rydberg au loc conform relaiilor simultane

2 2

1 1n mm n H m n

E E cR T Th m n = = = (FG.01.6.36)

care evideniaz o concordan perfect a celor dou teorii ale emisiei i absorbiei radiaiei cuantificate, explicabil prin faptul c termenii spectrali corespund din punct de vedere fizic unor anumite stri energetice staionare bine definite ale atomului. Rezultatul se poate generaliza pornind de la liniile spectrale aranjate n serii pentru toate liniile spectrale emise sau absorbite prin tranziii atomice.

Reprezentarea grafic a nivelelor de energie ale atomului de hidrogen i a tranziiilor corespunztoare seriilor spectrale ale acestuia este cunoscut sub numele de diagrama nivelelor de energie sau diagrama termenilor spectrali (vezi figura FG.01.6.2).

Fig. FG.01.6.2.

Observaie:

Diagrama din figura FG.01.6.2 este simplificat, necuprinznd structura fin a nivelelor energetice ale atomului de hidrogen i ignornd faptul c nu toate tranziiile ntre dou nivele oarecare sunt permise (exist reguli de selecie, a cror interpretare este posibil doar n teoria cuantic modern).

Determinarea constantei lui Rydberg pentru hidrogen din teoria atomic a lui Bohr se face cu ajutorul relaiilor (FG.01.6.34) i (FG.01.6.35); se obine relaia:

40

3 008 1

Hm eR

mh cM

= + (FG.01.6.37)


40

care poate fi extins uor pentru toi atomii/ionii hidrogenoizi. Expresia se simplific n mod corespunztor dac se neglijeaz efectul de antrenare a nucleului.

Teoria lui Bohr a permis nu numai justificarea formulei lui Balmer i calculul constantei lui Rydberg, dar i prevederea seriilor spectrale Lyman, Paschen, Brackett, Pfund i Humphreys, nesituate n vizibil.

De asemenea, cu ajutorul teoriei lui Bohr se pot calcula i spectrele obinute experimental ale atomilor/ionilor hidrogenoizi (D, He+, Li++ ).

Din punct de vedere fizic, tranziiile atomice nsoesc fenomenele de excitare, dezexcitare i ionizare care au loc n atom sub influena diferiilor factori, cum ar fi: agitaie termic, nclzire, iluminare, ciocniri, prezena unor cmpuri electrice sau magnetice, prezena unor radiaii nucleare etc.

Atunci cnd un atom absoarbe un foton cu energie mai mare dect cea necesar ionizrii sale, electronul eliberat prin efect fotoelectric are o energie cinetic egal cu diferena , undeih E iE este energia de ionizare.

Atunci cnd are loc fenomenul invers, fiind captat un electron avnd o anumit energie cinetic de ctre un ion, frecvena fotonului emis este mai mare dect cea corespunztoare limitei seriei, spectrul de emisie fiind continuu.

De observat c din relaiile (FG.01.6.36) rezult c energia nivelelor atomului poate fi pus direct n

legtur cu formula lui Balmer, astfel nct termenii spectrali de tipul 2H

nhcRE

n= se mai numesc termeni

Balmer.

Dac se consider cunoscut acest termen i se utilizeaz formula (FG.01.6.11) a razei celei de a n-a orbite a lui Bohr i expresia vitezei unghiulare pe orbit a electronului

2

3

4 HcR Zn

= (FG.01.6.38)

rezult, pentru momentul cinetic orbital al electronului aflat pe orbit expresia: 2

OL mr n= = h (FG.01.6.39) adic regula de cuantificare a lui Bohr (FG.01.6.8).

Prin urmare, se pot postula condiiile de cuantificare ale lui Bohr i din acestea s se obin temenii Balmer sau se pot considera cunoscui termenii Balmer i atunci rezult n mod direct condiiile de cuantificare.

Acest raionament conduce la concluzia c n modelul atomic cu elemente cuantice al lui Bohr cuantificarea momentului cinetic este esenial.

Observaie:

Se poate arta c i n alte cazuri, cum ar fi, de exemplu, cel al moleculei n rotaie privit ca rotator rigid, din condiiile de cuantificare a momentului cinetic se obin valori cuantificate pentru energie n concordan cu experiena, date de formula:

22

2 28nE n

I=

h (FG.01.6.40)

numit termen Deslandres (dup numele fizicianului francez Henri-Alexandre Deslandres), I fiind momentul de inerie al moleculei n jurul axei fixe de rotaie.

FG.01.7. Dualismul unda corpuscul. Ipoteza lui de Broglie. Experimentul Davisson-Germer


41

a. Teoria undelor asociate de Broglie

Dificultile de interpretare ale caracterului dual al radiaiei, exprimat de relaiile teoriei fotonice al lui Einstein,

E h= (FG.01.7.1) hp = (FG.01.7.2)

pe de o parte i caracterul discontinuu al strilor staionare ale electronului n atomul lui Bohr (care contrazicea legile mecanicii clasice, nefiind cunoscute astfel de comportri discrete dect n studiile privind radiaia: de exemplu, modurile de oscilaie a radiaiei dintr-o cavitate sau condiiile de interferen) pe de alt parte, l-au condus pe Louis de Broglie la observaia c nici electronii nu pot fi privii ca simpli corpusculi.

ntruct n relaiile (FG.01.6.1) i (FG.01.6.2) apar n primul membru proprieti corpusculare iar n al doilea membru proprieti ondulatorii ale radiaiei, de Broglie formuleaz (n anul 1924) ipoteza c un astfel de paralelism ar putea exista i pentru particulele materiale cu mas de repaus foarte mic, astfel nct acestea ar trebui s aib unele dintre caracteristicile ondulatorii ale cuantelor de lumin (al cror caracter corpuscular nu este nlturat de faptul c au masa de repaus nul).

Ca urmare, de Broglie admite c fiecrei particule i se asociaz un sistem de unde n aa fel nct traiectoria particulei coincide cu cea a razei care reprezint sistemul de unde asociat.

Principalele elemente ale teoriei lui de Broglie sunt urmtoarele:

Din teoria lui Einstein rezult c unei unde plane de frecven unghiular , amplitudine A i vector de und , reprezentat prin expresia k

r

i( )e k r tA = r r (FG.01.7.3) i se asociaz o cuant de lumin de energie E = h i impuls p k= rr h , astfel nct ecuaia capt forma

i (e

p r EtA

=r r

h ) (FG.01.7.4)

care evideniaz caracteristicile corpusculare ale cuantei: energia E i impusul, pr .

Din condiia de invarian relativist a fazei undei se obine pentru impulsul fotonului expresia

Epc

= (FG.01.7.5)

Dac, n continuare, se admite ipoteza lui de Broglie a undelor asociate particulelor materiale i se consider, de exemplu, cazul unui electron de energie E i impuls pr care, datorit caracteristicilor sale ondulatorii se comport ca o und n condiii experimentale corespunztoare (de exemplu: difracia), atunci vectorul su de propagare va fi dat de relaia

pk =rrh (FG.01.7.6)

astfel nct se obine pentru lungimea de und asociat expresia

2p = h (FG.01.7.7)


42

Pe de alt parte, innd seama de expresia relativist a energiei electronului avnd masa de repaus m0 2 2

02E c p m c= + (FG.01.7.8)

rezult, pentru cazul ultrarelativist ( 0p m c ) expresia (FG.01.6.5) care d legtura dintre energie i impuls pentru cuanta de lumin ( ). 0 0m

n cazul nerelativist se obine pentru energie expresia aproximativ: 2

20

02pE m cm

= + . (FG.01.7.9)

innd seama de ecuaiile (FG.01.6.7) i (FG.01.6.9) rezult, pentru electronul accelerat ntr-un cmp de potenial U, lungimea de und asociat:

0

2 1,5 V nm2 Um eU

= h (FG.01.7.10)

De exemplu, pentru rezult 410 VU = 12,2 pm = , adic o lungime de und situat n domeniul razelor X, astfel nct ne putem atepta la difracia pe cristale a electronilor accelerai corespunztor, asemntor razelor X.

O dezvoltare a teoriei lui de Broglie privind modul de reprezentare a particulelor printr-un sistem de unde asociate limitat spaial va fi fcut ulterior, n cadrul prezentrii caracterului universal al dualismului corpuscul-und. Pentru exemplificare, n tabelul FG.01.7.1 se prezint lungimile de und B asociate unor particule materiale de diferite mase i viteze.

Tabelul FG.01.7.1.

Nr. crt. Tipul particulei Masa de repaus m0 [kg] Viteza [ms1] B [m] 1. Electroni leni 9,311031 0,01 7,27102 2. Electroni leni 9,311031 1 7,27104 3. Electroni rapizi 9,311031 5,94106 1,221010 4. Particule alfa 6,671027 6,94104 1,431012 5. Particule alfa 6,671027 6,94107 6,561015

b. Confirmri experimentale ale naturii ondulatorii a particulelor materiale

Experiena de difracie cu electroni a lui Davisson i Germer

Teoria lui de Broglie privind caracterul dual al particulelor materiale implic schimbri fundamentale ale concepiei asupra fenomenelor i proceselor din lumea microparticulelor.

Era ns necesar confirmarea experimental a naturii ondulatorii a particulelor materiale aa cum rezult din teoria lui de Broglie. Imediat dup apariia teoriei, W. Elsasser evideniaz faptul c, dac teoria lui de Broglie este corect, diferite particule materiale (cum ar fi, de exemplu, electronii) ar trebui s produc fenomene de difracie.

innd seama c lungimea de und asociat de Broglie a electronilor, convenabil accelerai, se situeaz n domeniul spectral al razelor X, fenomenele de difracie a electronilor s-ar putea evidenia asemntor difraciei razelor X pe cristale.


43

Fig. FG.01.7.1.

Un astfel de experiment de difracie a electronilor a fost efectuat pentru prima dat n anul 1927 de ctre Davisson i Germer.

Configuraia experimental utilizat de acetia este prezentat n figura 15. Electronii emii de un filament incandescent sunt accelerai i colimai n tunul electronic TE la tensiuni de ordinul sutelor de voli i dirijai ctre un cristal de Ni fixat ntr-un suport care se poate roti n jurul unei axe paralele cu direcia de inciden a fasciculului electronic. Electronii reflectai (difractai) de cristal au o distribuie unghiular care poate fi determinat cu ajutorul unui colector (cilindru Faraday) conectat la un instrument de msur (electrometru). n acest scop, colectorul se poate roti pe un cadran gradat semicircular cu centrul n punctul de impact al electronilor pe cristal, poziia fiind dat de unghiul al razei sale vectoare cu direcia fasciculului incident. Dispozitivul poate fi prevzut i cu un reglaj pentru poziia azimutal a colectorului, dat de un alt unghi , astfel nct colectorul se poate mica pe o emisfer (acest reglaj al azimutului poate fi obinut, pentru o tietur convenabil a cristalului, prin rotirea suportului su).

Modificnd unghiul azimutal , se constat o variaie periodic a curentului prin detector. Pentru o valoare fix a unghiului i cu o tensiune de accelerare constant se pot construi diagramele polare ale intensitii fasciculelor electronilor colectai. Caracterul selectiv al proceselor de reflexie, evideniat prin apariia unor maxime secundare (vezi figura 16) a fost interpretat admindu-se teoria lui de Broglie privind natura ondulatorie a fasciculului de electroni. Ca i n cazul difraciei razelor X pe cristale, electronii prezint fenomene de difracie, lungimea de und asociat de Broglie verificnd legea lui Bragg ( 2 sind n = , cu n natural).

Dispozitivul experimental prezentat poate fi utilizat i pentru determinarea dependenei intensitii fasciculului difractat de mrimea impulsului electronilor.

Fig. FG.01.7.2.


44

FG.01.8. Ecuaia lui Schrdinger. Funcia de und (Pachetul de unde)

a. Istoric

Cu peste douazeci si cinci de ani inainte ca Planck sa formuleze ipoteza cuantelor William Rowan Hamilton (matematician si astronom) a fost preocupat de gasirea unei singure legi de miscare pentru particulele materiale si razele de lumina pornind de la analiza principiului lui Fermat[9]:

=B

A

dt 0 ,(FG.01.8.1)

unde A si B sunt doua puncte prin care trece raza de lumina.

In acest scop Hamliton a evidentiat analogia dintre principiul lui Fermat si principiul care-i poarta numele, privind miscarea unei particule cu energia constanta:

=B

A

Tdt 02 , (FG.01.8.2)

unde T este energia cinetica a particulei.

Pornind de la ideea lui de Broglie conform careia unei particule i se asociaza un grup de unde care se propaga cu viteza particulei de energie E,

Erwin Schrodinger arata ca pentru = hE se obtine formula lui de Broglie

ph= , (FG.01.8.3)

unde p este impulsul particulei.

Prin urmare, traiectoria particulei descrisa de mecanica clasica este asemanatoare razei optice al carei traiect este dat de optica fasciculelor (geometrica).

Stiindu-se ca optica geometrica este un caz limita al opticii ondulatorii, Schrodinger si-a propus sa gaseasca analogul opticii ondulatorii pentru miscarea particulelor, adica o "mecanica ondulatorie", in concordanta cu teoria lui de Broglie si cu alte rezultate privind dualismul corpuscul-unda.

Analizand ecuatia fundamentala de propagare a undelor:

01 22

22

2=

tvx, (FG.01.8.4)

unde este amplitudine undei iar v viteza de faza a acesteia Schrodinger arata necesitatea introducerii unei marimi pentru " amplitudinea" undei asociate particulei, numita "functie de unda" care sa verifice o ecuatie asemanatoare ecuatiei (7...4) si in care sa intervina o viteza de faza rezultata

pe baza corespondentei dintre ecuatiile 1 si 2:

)(2

.UEm

Constv = , (FG.01.8.5)

unde s-a identificat constanta din ecuatia de mai sus cu energia particulei.

S-a obtinut astfel ecuatia unidimensionala:


45

0)(2 222

=+ UEm

x h, (FG.01.8.6)

cunoscuta sub numele ecuatia lui Schrodinger atemporala.

b. Ecuatia de unda generala

O astfel de ecuatie trebuie sa indeplineasca conditiile:

- sa fie liniara astfel incat solutiile sale sa poata fi suprapuse pentru a se putea explica fenomenele de de interferenta si difractie;

- in coeficientii ecuatiei sa nu intervina decat constante ale particulei cum ar fi masa, sarcina electrica sau constante generale cum ar fi constanta lui Planck etc.

Intrucat aceasta ecuatie diferentiala trebuie sa fie spatio-temporala si sa admita ca solutii functii de unda de forma:

)( Etpri

eh ,

)( Etpri

e h , )(1cos Etpr h , )(

1sin Etpr h , (FG.01.8.7)

se observa ca diferentierea unor astfel de componente in raport cu timpul are ca efect multiplicarea acestora cu E (sau ) iar diferentierea acestora in raport cu coordonata spatiala are ca efect multiplicarea lor cu p (sau k).

Ca urmare, relatia:

m

pE2

2= , (FG.01.8.8)

sugereaza faptul ca ecuatia diferentiala de unda trebuie sa fie de ordinul intai in raport cu timpul si de ordinul doi in raport cu coordonatele spatiale.

Admitand o ecuatie de unda pentru particula libera avand forma generala:

2

2

xt =

(FG.01.8.1)

si punand conditia ca functia de unda a particulei libere de forma:

)( Etpxi

e= h (FG.01.8.10)

sa fie soluit e a acestei ecuatii, rezulta:

mi2h= . (FG.01.8.11)

Prin urmare se ajunge la o ecuatie de unda pentru particula libera avand forma generala:

2

22

2 xmti

= hh (FG.01.8.12)


46

cunoscuta sub numele de ecuatia lui Schrodinger temporala.

Forma tridimensionala a acestei ecuatii este urmatoarea:

=

mti

2

2hh . (FG.01.8.13)

Se arata usor ca intr-un camp de forte ecuatie de unda Schrodinger pentru particula cuantica are forma generala:

+= )),(

2(

2trU

mti hh , (FG.01.8.14)

care reprezinta ecuatia fundamentala a mecanicii cuantice, rezultatele experimentale validand-o si ridicand-o la rangul de principiu, dupa cum se va arata in capitolul FG.03.

FG.01.9. Relaiile de incertitudine ale lui Heisenberg

a. Superpozitia undelor. Pachetul de unde.

Incercarile de a compatibiliza teoriile ondulatorie si corpusculara ale radiatiei, in concordanta cu faptele experimentale trebuia se porneasca de la analiza ecuatiei de unda:

)](exp[0 rktiEErrrr = . (FG.01.9.1)

Fiind infinit extinsa in spatiu si timp, unda de lumina reprezentata prin ecuatia (FG.01.9.1) nu are niciuna dintre proprietatile corpusculilor de lumina care sunt bine localizati in spatiu si timp, deci descrierea radiatiei prin astfel de unde, obtinute prin simpla inlocuire in ecuatia (FG.01.9.1) a

caracteristicilor corpusculare, pe baza relatiilor lui Einstein = h si kp rhr = sub forma:

= )(exp0 rpEtiEE rrhrr

(FG.01.9.2)

nu constituie un model satisfacator de analiza.

Tinand seama insa de liniaritatea ecuatiilor diferentiale de propagare a undelor electromagnetice se pot construi grupuri de unde sau pachete de unde, prin superpozitia unui numar foarte mare de unde de forma (FG.01.9.2) si ajustarea coresp

f fg i mecanica cuantica 27.04

Documents