Mai.2015 Facultatea de Matematic i Informatic

Exemplu subiect pentru examenul scris la algebr, SERIA 101

Numele i prenumele ............................................................... Grupa .........................

Subiectul 1: 20 puncte

5 p a) Definete: polinom simetric; rdcin a unui polinom.

5 p b) Scrie polinomul n funcie de polinoamele simetrice fundamentale.

5p c) n maxim 4 rnduri, scrie ideile de demonstraie pentru formulele lui Newton (referitoare la polinoame simetrice)

5p d) Determin ecuaiile de grad n pentru care , unde

, iar * + sunt rdcinile ecuaiei.

Subiectul 2: 20 puncte

5 p a) Definete: dimensiunea unui spaiu vectorial; morfism de spaii vectoriale.

10 p

b) Fie V spaiul vectorial real al polinoamelor cu coeficieni reali, de grad 2. Notm cu T : V V, aplicaia definit prin f (P) = restul mpririi polinomului (X 1) P la polinomul X3. Determin forma canonic Jordan a lui T.

5 p c) Demonstreaz c intersecia a dou subspaii ale unui spaiu vectorial, este tot un subspaiu vectorial.

Subiectul 3: 20 puncte

5 p a) Definete: rangul unei matrice cu elemente ntr-un corp; determinantul unei matrice.

5 p 1. b) Demonstreaz c exist un unic polinom F(X) de grad 3, cu coeficieni raionali, pentru care F(1) = 1, F(2) = 1, F(3) = 0, F(4) = 2.

5 p c) Enun i demonstreaz regula lui Cramer de rezolvare a sistemelor liniare.

5 p d) Fie A o matrice nenul din Mm,n(R). Presupunem c rang(A) = r. Demonstreaz c matricea A se poate scrie ca o sum de r matrice de rang 1 din Mm,n(R), dar nu se poate scrie ca o sum de mai puin de r matrice de rang 1.

Subiectul 4: 20 puncte

5 p a) Enun proprietatea de universalitate a produsului tensorial de spaii vectoriale, preciznd toate conceptele care apar n enun.

5 p b) Justific dac ( ) este aplicaie biliniar de R-spaii vectoriale.

10 p c) Determin numrul aplicaiilor multiliniare , peste corpul

1 Acest subiect este doar un exemplu: n examen, structura subiectelor, punctajul i gradul de dificultate pot s difere