elemente de calculul probabilitatilor

7/24/2019 Elemente de Calculul Probabilitatilor

1/13

Anexa 1

Elemente de calculul probabilitilor(aspect teoretic succint)

1. O experiena se numete aleatoare

daca nainte de a fi efectuata nu sepoate preciza cu certitudine care va fi

rezultatul sau, acesta aparindintimplator.

2. Vom numi domeniu de proailitatimulimea tuturor rezultatelor posiilela efectuarea unei experienealeatoare. !e noteaz"# $.

%. Vom numi eveniment un element almulimii &($) , unde prin &($) amnotat mulimea parilor mulimii $.

'. !e numete eveniment imposiilevenimentul care nu se realizeaz"niciodat". Acesta va corespundemulimii vide din mulimea parilor

lui $.

. !e numete eveniment siurevenimentul care se realizeaz" cucertitudine la orice efectuare a uneiexperiene aleatoare.

*. Efiind domeniul posiilit"ilor inle"tura cu o experiena aleatoare,elementele mulimii $ se numescevenimente elementare.

+. !e numete proailitate o funcie p#

&($) -/10 cu propriet"ile#a) &($) 1/

) &(A 3) &(A)4 &(3),( ) A, 3 &($)/

A53 6.

7. 8efiniia clasica a proailitatii#

&(A)n

m , unde

m-nr. de cazuri favoraile apariieievenimentului A/

n-nr. total de experiene (posiilitati/cazuri)

9. :ie $ domeniul de posiilitati finit si$i, 1; < ;n, evenimentele

ec=iproaile, atunci, atunci p($i)n

m

$sena rezolv"rii prolemelor consta

in determinarea lui nsau m, sau aamelor valori.


2/13

Anexa 2

Observaii utile(referitor la calculul proailit"ilor)

1.


3/13

Anexa %

Model de nscriere a unei probleme de probabilitate

Problema: n aonat a format reit un nr. de telefon/ n?a reinut ine ultimele 2 cifre.are este proailitatea ca aonatul va forma in cele din urma, nr. si vavori cu persoana respectiva.

!ursa# Baisc=i, V./ Baisc=i, C. Datematica. Danual pentru clasa a V


4/13

=iin"u# ,,Nitera AVG !BN, 27. 1+* p. (p. 72?7+)

Problema 1: Aflai num"rul cazurilor eal posiile in cazul experimentului#-nr. 2/ p.7%0 )aruncarea unei monede/

(modificata) a) aruncarea a doua monede/ ) aruncarea a trei monede/ c) aruncarea a patru monede/

d) aruncarea a cinci monede/

$xperiena

$venimente

Analiza

:ormule

alcule

Gum"rul

total de cazuri eal posiile

(n)

B"spuns

Cema pentru

acas"

Problema 2: Aflai num"rul cazurilor eal posiile in cazul experimentului#

Aruncarea monedei

) a) ) c) d)

1. !D 1. !D 1. DDD 1.DDDD 1. DDDDD2. D! 2. D! 2. DD! 2.DDD! 2.DDDD! %. !! %. D!D %.DD!D %.DDD!D

'. DD '. !DD '.D!DD '.DD!DD . !!D .!DDD .D!DDD *. !D! *.!!DD *.!DDDD +. D!! +.!D!D +PPPP. 7. !!! 7.!DD! 7PPPP. 9.D!D! 9PPPP. 1.DD!! 1PPPP. 11.D!!D 11PPPP. 12.!!!D 12PPPP.

1%.!!D! 1%PPPP. 1'.!D!! 1'PPPP. 1.D!!! 1PPPP. 1*.!!!! 1*PPPP.. P P P %2. PPPP

n 2> n 2> n 2> n 2> n 2>

> Q > Q > Q > Q > Qn 2Q Q n 2Q Q n 2Q Q n 2Q Q n 2Q Q

Q Q Q Q Q

? ? ? ? !a se completeze

taloul de mai sus


5/13

-nr. %/ p.7%0 ) aruncarea unui zar/

(modificata) a) aruncarea a doua zaruri/ ) aruncarea a trei zaruri/ c) aruncarea a patru zaruri/ d) aruncarea a cinci zaruri/

$xperiena $veniment

Analiza

:ormule

alcule

Gum"rul total

de cazuri eal posiile (n)

Problema 3 Aflai num"rul cazurilor eal posiile in cazul dintr?o urna cu#-nr. '/ p.7%0 a) + ile ale/ % ile roii/ * ile alastre/ ) 9 ile ale/ ile roii/ 2 ile alastre/ c) ' ile ale/ 9 ile roii/ + ile alastre/ d) 2 ile ale/ 9 ile roii/ 22 ile alastre/

$xperiena $xtraerea ilelor

$venimente

Analiza a) ) c) d)

:ormule n1Q n1Q n1Q n1Q

alcule n2Q n2Q n2Q n2Q

Gum"rul n%Q n%Q n%Q n%Q

total de n n14n24n% n n14n24n% n n14n24n% n n14n24n% cazuri n Q 4 Q 4 QQ n Q 4 Q 4 QQ n Q 4 Q 4 QQ n Q 4 Q 4 QQ posiile (n)

B"spuns Q Q Q Q

Problema


6/13

-nr. +/ p.7%?7'0 Aflai proailitatea extraerii ilei de culoare#a) ala/

) neara/c) roie/d) alastra/

$xperiena $xtraerea ilelor din urna

$venimente A EApariia ilei de culoare alaF 3 EApariia ilei de culoare nearaF EApariia ilei de culoare roieF 8 EApariia ilei de culoare alastraF

Analiza ! " # $

:ormule n1Q n1Q n1Q n1Q

alcule n2Q n2Q n2Q n2Q

Gum"rul n%Q n%Q n%Q n%Q

total de n n14n24n%4n' n n14n24n%4n' n n14n24n%4n' n n14n24n%4n'cazuri n Q 4 Q 4 Q 4 QQ n Q 4 Q 4 Q 4 QQ n Q 4 Q 4 Q 4 QQ n Q 4 Q 4 Q 4QQ

posiile (n)

Gum"rul &(A)n

m &(3)

n

m &()

n

m &(8)

n

m

total de

cazuri &(A) =

&(3) =

&() =

&(8) =

favoraile(m)

B"spuns Q Q Q Q

(in procente)

Problema %


7/13


8/13

-nr. 9/ p.7'0 urna. Aflai proailitatea ca num"rul de pe ila# a) se divide la '/

) impartit la ', da restul 1/ c) impartit la ', da restul 2/ d) impartit la ', da restul %/


$venimente A EGum"rul se divide la 'F

3 EGum"rul se mparte la ' si da restul 1F EGum"rul se mparte la ' si da restul 2F 8 EGum"rul se mparte la ' si da restul %F

Analiza ! " # $

:ormule G'>4 G'>41 G'>42 G'>4%

alcule 1/2/%/'//*/ 1/2/%/'//*/ 1/2/%/'//*/ 1/2/%/'//*/

Gum"rul total +/7/9/1/11/ +/7/9/1/11/ +/7/9/1/11/ +/7/9/1/11/

de cazuri 12/1%/1'/ 12/1%/1'/ 12/1%/1'/ 12/1%/1'/ posiile (n) nQ nQ nQ nQ mQ mQ mQ mQ

Gum"rul total

de cazuri &(A) =

&(3) =

&() =

&(8) =

favoraile (m)

B"spuns# Q Q Q Q(fracie ordinara)

Problema '


9/13

a) mai mic decIt +/ ) cuprins intre * si 1%/ c) cuprins intre 12 si 1/ d) mai mare decIt 1/


$venimente A EGum"r mai mic decIt +F

3 EGum"r cuprins intre * si 1%F

EGum"r cuprins intre 12 si 1F 8 EGum"r mai mare decIt 1F

Analiza ! " # $

:ormule 1/2/%/'//*/+/ 1/2/%/'//*/+/ 1/2/%/'//*/+/ 1/2/%/'//*/+/

alcule 7/9/1/11/12/1%/ 7/9/1/11/12/1%/ 7/9/1/11/12/1%/ 7/9/1/11/12/1%/

Gum"rul total 1'/1/1*/1+/17/ 1'/1/1*/1+/17/ 1'/1/1*/1+/17/ 1'/1/1*/1+/17/

de cazuri nQ nQ nQ nQ mQ mQ mQ mQposiile (n)

Gum"rul total &(A)n

m &(3)

n

m &()

n

m &(8)

n

m

de cazuri

favoraile (m) &(A) =

&(3) =

&() =

&(8) =

B"spuns Q Q Q Q

(in procente)

Problema (


10/13

-nr. 11/ p.7'0 din urna. Aflai proailitatea ca, ila extrasa sa ai" num"rul# a) diviziil cu / ) diviziil cu */ c) diviziil cu +/ d) diviziil cu 7/ e) sa nu fie diviziil cu unul dintre numerele /*/+/R

$xperiena $xtraerea ilelor din urna $venimente A EGum"r diviziil cu F $ EGum"r care nu e diviziil cu F

3 EGum"r diviziil cu *F : EGum"r care nu e diviziil cu *F EGum"r diviziil cu +F S EGum"r care nu e diviziil cu +F 8 EGum"r diviziil cu 7F T EGum"r care nu e diviziil cu 7F

Analiza ! " # $ E ) * +

:ormule 1/2/%/'/ 1/2/%/'/ 1/2/%/'/ 1/2/%/'/ 1/2/%/'/ 1/2/%/'/ 1/2/%/'/ 1/2/%/'/

alcule /*/+/7/ /*/+/7/ /*/+/7/ /*/+/7/ /*/+/7/ /*/+/7/ /*/+/7/ /*/+/7/ PPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPPP/ 17/19/2/ 17/19/2/ PPPPPPPPPPPPPPPPP17/19/2/

Gum"rul total

de cazuri mQ mQ mQ mQ mQ mQ mQ mQ posiile(n) nQ nQ nQ nQ nQ nQ nQ nQ

Gum"rul total

de cazuri &(A)n

m/ &(3)

n

m/ &()

n

m/ &(8)

n

m/ &($)

n

m/ &(:)

n

m/ &(S)

n

m/

&(T)n

m /

favoraile(m)

&(A) =

/&(3) =

/&() =

/&(8) =

/&($) =

/&(:) =

/&(S) =

/&(T) =

/

B"spuns Q Q Q Q Q Q Q Q

(fracie zecimala)

Problema , onfecionai cartonase pe care scriei numerele de la 1 la %. Amestecai


11/13

-nr. 12/ p. 7'0 cartonaele si extraei unul. Aflai proailitatea ca pe cartonase sa fiescrisa# a) o putere cu exponent natural al lui 2/

) o putere cu exponent natural al lui %/ c) o putere cu exponent natural al lui '/ d) o putere cu exponent natural al lui /

$xperiena $xtraerea cartonaelor numerotate

$venimente AE2nF 3 E%nF E'nF 8 EnF

Analiza ! " # $

:ormule 1/2/%/'//*/+/7/ 1/2/%/'//*/+/7/ 1/2/%/'//*/+/7/ 1/2/%/'//*/+/7/

alcule 9/1/11/12/1%/1'/ 9/1/11/12/1%/1'/ 9/1/11/12/1%/1'/ 9/1/11/12/1%/1'/

Gum"rul total 1/1*/PP/2/ 1/1*/PP/2/ 1/1*/PP/2/ 1/1*/PP/2/

de cazuri 2/21/PP/2*/ 2/21/PP/2*/ 2/21/PP/2*/ 2/21/PP/2*/ posiile(n) 2+/27/29/%/ 2+/27/29/%/ 2+/27/29/%/ 2+/27/29/%/ nQ nQ nQ nQ

Gum"rul total mQ mQ mQ mQ

de cazuri

favoraile (m) &(A)n

m &(3)

n

m &()

n

m &(8)

n

m

&(A) =

&(3) =

&() =

&(8) =

B"spuns# Q Q Q Q

(fracie ordinara)


12/13

Problema 1 onfecionai cartonase pe care scriei numerele de la 1 pina la %.-nr. 1%/ p.7'0 Amestecai cartonaele si extraei unul. Aflai posiilitatea ca pe

cartona va fi scrisa#a) r"d"cina p"trata a unui num"r din intervalul -1/90/

) r"d"cina p"trata a unui num"r din intervalul -1/29*0/ c) r"d"cina p"trata a unui num"r din intervalul -%1/ 0/

$xperiena $xtraerea cartonaelor numerotate

$venimente A E n -1/90F

3 E n -1/29*0F

E n -%1/0F

Analiza ! " #

:ormule -1/90 -1/29*0 -%1/0

alcule mQ mQ mQ

Gum"rul total nQ nQ nQ

de cazuri &(A)n

m &(3)

n

m &()

n

m

posiile (n) &(A) =

&(3) =

&() =

Gum"rul total

de cazuri favoraile (m)

B"spuns Q Q Q Q

(in procente)


13/13

Problema1) 2 Problema & a)1'

%

a) ' )+

2

1'

'=

) 7 c)+

2

1'

'=

c) 1* d)1'

%

d) %2

Problema 2 ) * Problema ' a) %L a) %* ) %L ) 21* c) 1L

c) 129* d) 2L d) +++*

Problema 3 a) 1* Problema ( a) .2 ) 1* ).1 c) 2 c) .1 d)%% d) .1

Problema a) 2'L Problema , a)1(

2

%.

'=

) 2L )1.

1

%.

%=

c) %2L c)1(

1

%.

2=

d) 2'L d)1(

1

%.

2=

Problema % a) .%'+7 Problema 1 a) 1L ) .2* ) %L c) .2* c) 1.+L d) .1%

elemente de calculul probabilitatilor

Documents