For ţe electrodinamice (FED)

2

Câmp magnetic invariabil în timp(regim magnetostatic):• produs de corpuri magnetizate imobile,• studiat de Coulomb în mod similar cu cel

electrostatic, prin măsurarea forţelor magnetostatice între magneţi permanenţi

Spectrul liniilor vectorului inducţie magnetică trasat pentru un magnet

permanent în formă de bară

For ţe magnetostatice de interacţiune între doi

magneţi permanenţi

Ac ţiuni pondero – motoare în câmp magnetic

3

Câmp magnetic produs de curenţi de conducţie: spectrul liniilor de câmp depinde de

geometria circuitului

Câmp magnetic staţionar produs de conductoare parcurse de curent de conducţie invariant în timp(curent continuu)• a fost pus în evidenţă de Oerstedt• studiat experimental de Biot şi Savard • analizat teoretic de LaplaceForţele care se exercită asupra conductoarelor parcurse de curent, rezultate din interacţiunea dintre câmpurile magnetice individuale, se numesc for ţe electrodinamice şi au fost studiate experimental de Ampere

Forţa Lorentz - forţa cu care câmpul magnetic acţionează asupra sarcinilor electrice aflate în mişcare

For ţa magnetoelectric ă – forţa de interacţiune dintre câmpul magnetostic şi câmpul magnetic staţionar al curenţilor de conducţie

� FED - forţe mecanice care apar ca rezultat al interacţiunii dintrecâmpurile magnetice create de curenţii de conducţie

� FED depind de � valoarea curenţilor care interacţionează� configuraţia geometrică a conductoarelor� aşezarea lor în spaţiu

� Modulul FED este proporţional cu produsul curenţilor care interacţionează

� în cazul regimurilor normale de funcţionare aceste forţe electrodinamice au valori relativ mici � FED de ordinul 1...10 dN

� în cazul regimurilor de avarie însă (scurtcircuite), valoarea acestor forţe devine importantă şi se pot produce în acest fel distrugeri ale echipamentelor parcurse de curenţii de defect� FED de ordinul 104...106 dN

5

kj iiFED ~

6

Nivelul FED şi eforturile mecanice generate de acestea determin ă dimensionarea mecanic ă a echipamentelor şi instala ţiilor care con ţin căile de curent

� Stabilitatea electrodinamică (SED) a echipamentelorelectrice caracterizează capacitatea lor de a rezista laacţiunile mecanice ale curenţilor de scurtcircuit şi estedeterminată de stabilitatea elementului celui mai slab.

� Dacă solicitările depăşesc limita fixată prin SED apardistrugeri mari şi instalaţia este scoasă din funcţiunepentru un timp îndelungat.

7

Relaţii generale de calcul

� Metode de evaluare a FED� evaluarea directă a interacţiunii curent - câmp magnetic

(teoremele Biot – Savart şi Ampere – Grassmann)� evaluarea variaţiei energiei magnetice a sistemului

(teoremele forţelor generalizate în câmp magnetic)� FED se evaluează:

� în regim staţionar (curent invariant în timp)� în regim ne-staţionar (curent variabil în timp)

� curent cu variaţie aperiodică� curent cu variaţie armonică

� Pentru circuite� monofazate� trifazate

In cazul general, cand un curent electric circulă pe o cale de curent de o forma oarecare care se gaseste intr-un camp magnetic exterior neomogen B, forta electrodinamica dF, care actioneaza asupra fiecarui element de curent de lungimeds- in lungul caruia campul considerat este constant – este data de relatia:

BsdiFdrrr

×=in care vectorul ds este orientat in sensul pozitiv al curentului, forta dFdepinzand in mare masura de orientarea acestui element în raport cu orientarea locală a inducţiei. Vectorul dF are modulul:

α= sinBdsiFdr

ţi este perpendicular pe planul format de cei doi vectori (ds respectiv B)Unghiul α este definit de sensurile pozitive ale elementului ds respectiv vectorului B (regula mâinii drepte)

Referitor la forţa electrodinamică (FED)

9

Evaluare direct ă a FED � conductoare filiforme� regim staţionar (mărimi invariante în timp)

Fig. 1

Fig. 2

Calculul FED folosind teorema lui Ampere se bazează pe conceptul de element de curent. În principiu, un circuit parcurs de curent poate fi descris, indiferent de forma sa fizică, ca un ansamblu de elemente infinit mici de curent (Fig. 1 slide anterior). Un element de curent este un segment infinit mic de conductor filiform (secţiune transversală neglijabilă), cu lungimea ds, parcurs de un curent i .Teorema lui Ampere se bazează pe 5 mărimi vectoriale reprezentate în Fig. 2 (slide anterior):ds1 – element infinit mic de curent aparţinând circuitului (C1) parcurs de curentul i1, mărime vectorială orientată în sensul de circulaţie al curentului i1, unitate de măsură (m); ds2 – element infinit mic de curent aparţinând circuitului (C2) parcurs de curentul i2, mărime vectorială orientată în sensul de circulaţie al curentului i2, unitate de măsură (m);R12=R12 uR12 – distanţa care separă cele două elemente de curent, mărime vectorială oreintată după versorul uR12, unitate de măsură (m);d 2F12 – forţa elementară care se exercită asupra elementului de curent ds1 datorită câmpului magnetic creeat de curentul i2 care circulă prin elementul de curent ds2, mărime vectorială, unitate de măsură (N)d 2F21 – forţa elementară care se exercită asupra elementului de curent ds2 datorită câmpului magnetic creeat de curentul i1 care circulă prin elementul de curent ds1, mărime vectorială, unitate de măsură (N)

Evaluarea forţei elementare d 2F12 se face în două etape:Etapa 1: calculul dH12 respectiv dB12 în punctul M2 (formula Biot-Savard-Laplace)Etapa 2: calculul forţei electrodinamice elementare (Teorema Ampere)

mărimile bold sunt mărimi vectoriale

11

Etapa 1- evaluarea intensit ăţii câmpului magnetic dH 12

Inducţia magnetică dB12 rezultă folosind legea legăturii dintre B ţi H

( )[ ]

( ) ( )[ ]Tdd

R

sdid

CMpunctulin

CMpunctulin

mA

CMpunctulin

→⋅µ=

→×π

=

∈∈

∈

2212

2212

312

1211

2212 4

HB

RH

rr

rrr

Vectorul dH12 este câmpul magnetic elementar (infinit mic de ordinul I), generat în punctul M2 situat la distanţa R12 pe circuitul (C2), de circulaţia curentului i1 prin lungimea elementară de conductor (ds1)

FED elementar creată ăn M2 de interacţiunea dintre elementul ds2 parcurs de curentul i2 ţi inducţia magnetică dB12 creat de elementul de curent i1ds1

-direcţia forţei este perpendiculară pe planul format de vectorii ds2 si dB12- în acest caz forţa elementară este un infinit mic de ordinul 2

1222122 BdsdiFd

rrr×=

Etapa 2- evaluarea for ţei electrodinamice dF 12 rezultată în punctul M2din interacţiunea câmpului magnetic de inducţie dB12 cu curentul i2 careparcurge elementul de circuit ds2. Distanţa dintre elementul de circuit ds1(fiind sursa câmpului magnetic elementul de curent ds1 este denumitelement motor) ţi elementul de circuit ds2 este R12

2111212 BdsdiFd

rrr×=

Dacă elementul ds2 este element motor, FED elementar în M1 este

13

Forma diferen ţială a legii lui Ampere

( )312

121221122212

2

4 R

sdsdiidsdid

RBF

rrrrrr ××

πµ=×=

( )

{ }1221

2122321

212121211121

2

4

RR

BR

BF

rr

rrrrr

rrr

−=

×−=××π

µ=×= dsdiR

sdsdiidsdid

- sursa de câmp magnetic:elementul infinit mic de curent

aparţinând circuitului (C1) - FED exercitată asupra element infinit mic de circuit aparţinând circuitului (C2) parcurs de curentul

11 sdir

2sdr

2i

- sursa de câmp magnetic ∈ (C2)- FED exercitată asupra ∈ (C1) parcurs de curentul

22 sdir

1sdr

1i

Se demonstrează că cele două FED elementare de interacţiune nu sunt reciproce, respectiv

212

122 FF

rrdd ≠

14

motor circuitul - (C2) ,4

motor circuitul - (C1) ,4

)2C(321

212

)1C(

121

21

)1C(312

121

)2C(

221

12

∫∫

∫∫

××π

µ=

××π

µ=

R

sdsd

ii

R

sdsd

ii

RF

RF

rrrr

rrrr

Metoda elementar ă este aplicabil ă în cazul configura ţiilor simple de conductoare filiforme

Forma integral ă a legii lui AmpereFED de interacţiune între (C1) ţi (C2) se obţin printr-o dublă integrare:integrare pe conturul motor (cel care creează câmpul magnetic) urmată de integrare pe conturul pe care se doreţte evaluarea forţei

15

Cazul cel mai simplu – conductoare filiforme paralele infinit lungi

Forţa exercitată asupra unui segmentde lungime L aparţinând conductorului C2

[ ]NLa

iiF 210

2πµ=2

- curenţi de acelaţi sens:conductoarele se atrag

- curenţi de sens contrar:conductoarele se resping

==m

N

a

ii

L

Ffk

2102

2πµ

rezultă forţa specifică(forţa pe unitatea de lungime de conductor):

Dacă conductoarele au secţiunea circulară de rază r atunci FED este

( ) [ ]NLra

iiF

−= 210

2πµ

2

Exemplu de interacţiune electrodinamică a două conductoare lungi, filiforme, rectilinii ţi paralele, parcurse de curenţi de intensităţi diferite

(a)-în acelaţi sens (FED de atracţie) (b)-în sensuri opuse (FED de respingere).

Sunt reprezentate (într-un plan perpendicular pe direcţia conductoarelor):- variaţia modului inducţiei magnetice B;- spectrul liniilor de câmp pentru vectorul B (inducţie)

Variaţia Brezultant

Spectrul liniilor de

câmp pentru Brezultant

17

Conductoare coplanare, rectilinii, filiforme, paralele, de lungime finită (L)

Se calculează folosind forţa specifică(forţa pe unitatea de lungime) dedusăpentru cazul anterior (conductoare de lungime infinită) corectată cu un factor adimensional φ care depinde deraportul a/L

=m

N

L

aii

afk ϕ

πµ

210

2

L

a

L

a

L

a −

+=

2

1ϕ

Efectul lungimii finite a conductoarelor: forţa specifică este mai mică decât în cazul conductoarelor de lungime infinită situate la aceeași distanţă a