Ecuaţiile lui Lagrange

1. Ecuaţiile lui Lagrange de speţa întâi

Se studiază mişcarea unui sistem de N puncte materiale sau de corpuri,care au h grade de libertate,deci poziţia este dată la un moment dat de coordonatele generalizate q1 , q2 ,…. , qh;

Vectorul de poziţie rk al unui punct oarecare Ak al sistemului va fi de forma:

rk=rk (q1 , q2 ,…. ,qh , t ) (k=1,2 ,…., N )()

Deplasarea virtuală δ rk va fi:

δ rk=∂r k∂q1

δ q1+∂rk∂q2

δ q2+…+∂ r k∂qh

δ qh()

sau:

δ rk=∑ ∂ r k∂q j

δ q j ( j=1,2 ,…,h )()

Se subliniază că timpul este considerat constant.

Pentru studiul mişcării sistemului se aplică mai întâi principiul lui d’Alembert:

∑ (Fk−mkak ) ⋅δ r k=0()

Introducem în relaţia ( ) expresia ( ) a lui δ rk şi obţinem relaţia :

∑k=1

N

(Fk−mkak ) ∙∑j=1

h ∂r k∂q j

δ q j=0()

Schimbând ordinea de însumare ,se obţine:

∑j=1

h [∑k=1N

(Fk−mk ak )∂ rk∂q j ]δ q j=0()

care se scrie astfel:

[∑k=1N

(Fk−mk ak )∂r k∂q1 ]δ q1+[∑k=1

N

(Fk−mk ak )∂rk∂q2 ]δ q2+…+[∑k=1

N

(Fk−mk ak )∂rk∂q1 ]δ q1()

Deoarece legătura este olonomă şi în consecinţă δ q1 , δq2 ,…,δ qh sunt independente şi diferite de zero,pentru că ecuaţia ( ) să fie satisfăcută,este necesar ca,coeficienţii lor să fie nuli,adică:

∑k=1

N

(Fk−mkak )∂ rk∂q j

=0 ()

Unde j poate fi oricare din 1,2,…,h.

Cele h relaţii ( ) reprezintă h ecuaţii de mişcare ale sistemului având drept necunoscute pe q1 , q2 ,…,qh .

Relaţia ( ) se mai poate scrie :

∑k=1

N

mkak∂ r k∂q j

=¿∑k=1

N

Fk∂r k∂q j

, ( j=1,2,…,h )()¿

Relaţie care reprezintă ecuaţiile lui Lagrange de speţa I.

Aceste ecuaţii pot fi scrise sub o formă mai utilă,pentru aplicaţii după cum urmează.

2. Ecuaţiile lui Lagrange de speţa a doua.

Ţinând seama că ak=d vkdt

şi

Q j=∑k=1

N

Fk∂r k∂q j

()

este forţa generalizată,relaţia ( ) se scrie:

∑k=1

N

mkd vkdt∙∂ rk∂q j

=¿Q j()¿

sau:

∑k=1

N

mkddt (vk ∙ ∂ rk∂q j )−¿∑

k=1

N

mk v kddt ( ∂r k∂q j )=¿Q j()¿¿

În această relaţie se fac următoarele înlocuiri:

a)∂ rk∂q j

=˙∂rk˙∂q j

=vk˙∂qk

( conform regulei lui l Hopital)

b)ddt ( ∂r k∂q j )= ∂

∂q j (d rkdt )=∂vk∂q j

( prin schimbarea operatorilor de derivare)

Şi se obţine:

∑ mkddt (vk ∙ ∂ rk∂q j )−∑ mk vk ∙

∂ vk∂q j

=Q j

sau

ddt

∂∂q j

(∑ mk vk2

2 )− ∂∂q j

(∑ mk vk2

2 )=Q j

sau

ddt ( ∂ E∂ q̇ j )− ∂ E∂q j=Q j , j=1,2,…,h ( )

Acestea sunt ecuaţiile lui Lagrange de speţa a doua.

Mărimea Q j se numeşte forţă generalizată asociată coordonatei generalizate q j;

E este după cum se recunoaşte uşor energia cinetică a sistemului.

Ecuaţiile lui Lagrange de speţa a doua pun în evidenţă după cum se vede din forma lor,contribuţia fiecărei coordonate generalizate în procesul de variaţie sl energiei cinetice datorită acţiunii forţelor active. Pentru scrierea ecuaţiilor lui Lagrange într-o problemă concretă se calculează mai întâi expresia energiei cinetice în funcţie de coordonatele şi vitezele generalizate iar apoi se efectuează operaţiile de derivare din ecuaţiile ( ).

Calculul forţelor generalizate se poate efectua fie după formula din ( ) fie observând că valoarea Q j este aceeaşi cu valoarea lucrului mecanic virtual al forţelor active pentru o deplasare virtuală în care δ qs=0 pentru s≠ j iar δ q j=1.

Într-adevăr,în acest caz avem:

δL=∑ Fk ∙ δ rk=∑k

Fk∑s

∂rk∂qs

∙ δ qs=∑ Fk∂rk∂q j

∙1=¿Q j() .¿