ecuatii_diferentiale

8/3/2019 ecuatii_diferentiale

1/252

13

ECUAII DIFERENIALE

Prof. univ. dr. IORDAN DUDA

I. ECUAII DIFERENIALE

I.1. Noiunea de ecuaie diferenial

Studiul ecuaiilor difereniale a nceput o dat cu apariia calcululuidiferenial i integral. Necesitatea considerrii ecuaiilor difereniale apare directdin cele dou modele care au condus la constituirea conceptelor fundamentale aleanalizei, tangente la o curbi viteza n micarea neuniform.

Fie [ ]: ,f a b funcia a crui grafic este cutat, [ ]bax ,0 ; ecuaia

tangentei la grafic n punctul ( )( )00 , xfx este ( ) ( )( )000 xxxfxfy = .Tangenta intersecteaz axa Ox n punctul dat de ( ) ( )( )000 xxxfxf = ;

subtangenta este( )

( )0xf

xf

. Relaia care trebuie s determine curba este astfel

( )( ) 00

0 xxf

kxf

= .

Ecuaia la care am ajuns se scrie

xy

ky

=

iar funciile f care verific relaia ( )( ) xxf

kxf

= se numesc soluii ale

ecuaiei difereniale.

Ecuaii operatoriale

Fie X i Y dou mulimi i YXf : o aplicaie. Formulmurmtoarea problem: dndu-se un element Yy , s se gseasc elementele

Xx , pentru care( ) yxf = (1.1.)

Aceast problem se numete ecuaie operatorial.Printr-o soluie a unei ecuaii operatoriale nelegem un element Xx

care verific relaia (1.1.). Teoria ecuaiilor operatoriale se construiete n legturcu structura cu care sunt nzestrate mulimile X i Y. Dac X i Y suntnzestrai cu o structur de spaiu liniar peste un corp K, ecuaia (1.1.) se numete


2/252

14

liniar, dac f este o aplicaie liniar. Dac 0y vom spune c ecuaia liniareste neomogen sau ecuaie afin, iar dac 0=y ecuaia (1.1.) se numete liniari omogen. Notm cu yS mulimea soluiilor ecuaiei (1.1.). Observm c 0S este

nucleul lui f , adic fS Ker0 = .

Ecuaii difereniale

Dac X i Y sunt mulimi de funcii, atunci ecuaia (1.1) se numeteecuaie funcional n sens larg. O ecuaie funcional n care apare funcianecunoscut numai sub operaii algebrice se numete ecuaie funcional n sensrestrns.

O ecuaie funcional n care intervine funcia necunoscut mpreun cuanumite derivate ale sale se numete ecuaie diferenial.

Dac funcia necunoscut este de o singur variabil, ecuaia diferenial senumete ecuaie diferenial ordinar. Dac funcia necunoscut este de mai multevariabile, ecuaia diferenial se numete ecuaie cu derivate pariale.

Exemplu. Considrm aplicaia 2: , ( ) ( )yxyx ,, ialegem

[ ] ( )( ) [ ]baxxyxbaCyX ,,,,1

= , [ ]baCY ,= i aplicaia YXf : , ( ) ( ) ( )( )= yyyfy , . Ecuaia diferenialconvenim s o scriem sub forma ( )yxy ,= , adic o ecuaie diferenial deordinul nti.

Ecuaii integrale

Fie un deschis din n , aplicaiile 21:nF D + ,

2 12:

nK D + i spaiile

( ) ( ) ( )( )( ){ }

1, , , ,X C x x K x d D

=

, ( ),Y C= .

Ecuaia funcional( ) 0=f , (1.2.)

unde YXf : este definit prin ( )[ ]( ) ( ) ( )( ) = dxKxxFxf ,,, senumete ecuaie integral de tip Fredholm. Prin diferite particularizri ale lui FiK obinem diferite clase de ecuaii integrale.Pentru 1=n ecuaia obinut poartnumele de ecuaie integral de tip Volterra.


3/252

15

Inecuaii operatoriale

Fie YXf : , unde Y este nzestrat cu o structur de ordine. Fie datYy . Se cere s se determine elementele Xx , astfel nct

( ) yxf . (1.3.)Obinem astfel o inecuaie operatorial. Un element Xx , care satisface

(1.3.), se numete soluie a acestei inecuaii. Clase importante de inecuaiioperatoriale sunt inecuaiile difereniale i inecuaiile integrale.

Un rol important n cele ce urmeaz l au inecuaiile liniare de forma

( ) ( ) ( ) ( )+x

a

dssysxxy , [ ]bax , (1.4.)

pentru care avem urmtorul rezultat.Lema 1 (Gronwall). Fie funciile y, i continue pe [ ]ba, , iar

( ) 0 x pentru [ ]bax , . Dac y verific (1.4.), atunci y verific iinegalitatea

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+

x

a

x

a

dsdssxxy exp , [ ]bax , .

Corolar 1.Dac

( ) ( ) ( ) ( ) ++x

a

x

a

dssysdssmAxy , [ ]bax , (1.5.)

unde A funciile y, m i sunt continue pe [ ]ba, , iar ( ) 0xm i( ) 0 x pentru [ ]bax , , atunci y verificinegalitatea

( ) ( ) ( )

+

x

a

x

a

dssdttmAxy exp .

Rezultatul anterior poate fi reformulat dup cum urmeaz:Dac

( ) ( ) ( ) ( )+x

a

dttytxxy , [ ]bax ,

unde funciile y, i sunt continue pe [ ]ba, , ( ) 0 x pentru [ ]bax , , iar este primitiva unei funcii integrabile pozitive, atunci

( ) ( ) ( )

x

a

dttxxy exp , [ ]bax , .


4/252

16

I.2. Metode elementare de integrare a ecuaiilor difereniale

Ecuaiile difereniale pentru care putem s indicm o procedur efectivpentru determinarea formei generale a soluiei sunt puine la numr. Vom analizan cele ce urmeaz cteva tipuri de asemenea ecuaii. Astzi aceast problemprezint un interes secundar, ns, considerm necesar s prezentm cteva tipuride ecuaii difereniale rezolvabile prin cuadraturi i care intervin frecvent nexemple i aplicaii.

Ecuaii cu variabile separabile

Numim astfel ecuaiile difereniale de forma( ) ( )ygxfy =' , ( )bax , (1.6.)

unde funcia f este continu pe intervalul ( )ba, , iar funcia este continuidiferit de zero pe un interval ( )dc, (eventual nemrginit).

O soluie a acestei ecuaii este o funcie ( ) ( ) ( )dcba ,,,: derivabil i astfel nct ( ) ( ) ( )( )xgxfx = , ( ) ,x . Pentru definireaacestei funcii pornim de la faptul c este o soluie pentru (1.6.). Fie

( ): ,G c d o primitiv a funciei g1

, deci G este derivabil (i continu). n

plus, deoarece 01

g

, rezult c G este strict monotoni fiind continu, obinem

c G este inversabil. Fie F o primitiv a funciei f . Atunci

( )CFG += 1 , unde C este o constant arbitrar.Intervalul de definiie a funciei este format din mulimea punctelor

( )bax , astfel nct ( ) CxF + se afl n domeniul de definiie al funciei 1G ,adic ntre ( )yG

cylim i ( )yG

dylim .

Din cele prezentate mai sus rezult regula de integrare a ecuaiilordifereniale cu variabile separate:

Se mparte ecuaia (1.6.) la ( )yg i se obine ecuaia( )

( )dxxfyg

dy= care are

n membrul stng doar variabila y , iar n cel drept doar variabila x . Se integreaz cei doi membri adugnd celui drept o constant.


5/252

17

Ecuaia omogen

S considerm acum ecuaia diferenial

=x

yhy , (1.7.)

unde h este o funcie continu pe intervalul ( )dc, . Ecuaia (1.7.) se numete

ecuaie omogen, deoarece funcia ( )

=x

yhyxf , este omogen de gradul zero

(n general 2:f este funcie omogen de gradul dac

( ) ( )xfttxf = ).Fie o soluie a ecuaiei (1.7.) definit pe un interval ( ), ce nu conine

punctul 0=x . S notm ( )( )x

xxu

= i s observm c funcia

( ) ( )dcu ,,: este derivabili ( ) ( )( ) ( )[ ]xuxuhx

xu =1

. Rezult c u este

soluia unei ecuaii cu variabile separabile i conform cu cele prezentate anterior,funcia u poate fi determinat pn la o constant, ceea ce implic posibilitatea dea determina soluia .

Observm c orice soluie a ecuaiei cu variabile separabile asociatgenereaz o soluie a ecuaiei omogene.

Diverse ecuaii de ordinul nti, chiar dac nu au forma (1.7.) se reduc prinsubstituii simple la ecuaii cu variabile separabile sau omogene.

Considerm ecuaia

++++

=111 cybxa

cbyaxf

dx

dy, (1.8.)

unde 111 ,,,,, cbacba sunt constante.

i) S presupunem c 0212 =+ cc , adic ecuaia (1.8.) este de forma

++

=ybxa

byaxf

dx

dy

11

care este o ecuaie omogen. Cu substituia zxy = ultima ecuaia setransform n

zzba

bzafzx

++

=11

care este o ecuaie cu variabile separabile.


6/252

18

ii) Dac 0212 + cc i 011 baab , dreptele

( ) 0: =++ cbyaxD i ( ) 0: 1111 =++ cybxaD se intersecteaz n punctul ( )00 ,yx . Facnd schimbarea de variabil

0xxu = i de funcie 0yyv = obinem ecuaia

++

=vbua

bvauf

du

dv

11

care este de forma i), deci cu schimbarea de variabil zuv = se obine oecuaie cu variabile saparabile.

iii) Dac 0212 + cc i 011 = baab , dreptele

( ) 0: =++ cbyaxD i ( ) 0: 1111 =++ cybxaD sunt paralele. Din 011 = baab rezult

kb

b

a

a== 11 ,

deci

( )

++

++=

1cbyaxk

cbyaxf

dx

dy (1.9.)

Dac facem schimbarea de funcie zbyax =+ , ecuaia se transform n

++

=

1

1

ckz

czfa

dx

dz

b

care este o ecuaie cu variabile separabile dac

01

+

++

ackz

czbf ,

a crei soluie este de forma ( )xCx =+ sau ( )byaxCx +=+ , unde este o primitiv pentru funcia

ackzczbfz +

++

1

.

Ecuaii difereniale liniare de ordinul nti

O clas deosebit de important de ecuaii difereniale pentru care soluiilepot fi gsite prin cuadraturi o reprezint ecuaiile de forma

( ) ( )xbyxay += (1.10.)n cazul n care ( ) 0=xb , ecuaia este cu variabile separabile i admite

soluia ( ) ( )( )xFCxy exp= , unde F este o primitiv a funciei a . S observm


7/252

19

c dac a este o funcie continu pe intervalul I, iar Ix 0 , o primitiv n Ieste dat de

( )x

x

dssax0

,

deci o soluie a ecuaiei difereniale omogene este dat de

( ) ( )

=

x

x dssaCxy 0exp .

Pentru 0xx = deducem ( )0xyC= , deci putem scrie soluia y sub forma

( ) ( ) ( )

=

x

x

dssaxyxy0

0 exp .

Pentru a obine forma soluiei n cazul 0b , s considerm o soluie oarecare definit pe Ii s definim funcia prin

( ) ( ) ( )

=

x

x

dssaxx

0

exp

Funcia astfel definit este derivabili avem

( ) ( ) ( )

=

x

x

dssaxbx0

exp ,

de unde deducem

( ) ( ) ( ) ( )

+=

x

x

t

x

dtdssatbxx0 0

0 exp

Pe de alt parte ( ) ( )00 xx = ,

( ) ( ) ( )

=

x

x

dssaxx0

exp

deci

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+

=

x

x

x

t

x

x

dtdssatbdssaxx00

0 expexp (1.11.)

Am obinut o formul care individualizeaz complet soluia cu ajutorulvalorii ei ntr-un punct 0x .


8/252

20

Observaii1. Metoda folosit pentru obinerea soluiei (1.11.) se numete metoda variaiei

constantelor pentru c scriind

( ) ( ) ( )

=

x

x

dssaxx0

exp ,

am considerat soluia general a ecuaiei omogene (pentru 0=b ) n careconstanta

Cam nlocuit-o cu func

ia

( )x.

2. Soluia general a unei ecuaii difereniale liniare este o funcie de forma( ) ( )xCxy += , (1.12.)

adic o familie de curbe care depind liniar de o constant arbitrar. Reciproc,orice familie de curbe care depind liniar de o constant arbitrar verific oecuaie liniar de ordinul nti. ntr-adevr, ( ) ( )xCxy += i daceliminm pe C ntre aceast relaie i (1.12.) obinem

( )( )

( )( )x

xy

x

xy

=

,

adic( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )xxxxxx

yx

x

y

+

= care este o ecuaie liniar de ordinul nti.

Ecuaii de tip Bernoulli

La ecuaii liniare se reduc ecuaiile de forma

( ) ( ) += yxbyxay , (1.13.)

, :a b I continue, { }\ 0,1 , numite ecuaii Bernoulli.Pentru a deduce forma soluiei, considerm :I , derivabil, strict

pozitiv, soluie a ecuaiei (1.13.), adic

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

+= xxbxxax i fie ( ) ( )( ) = 1xxu . Rezult u derivabili

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]xbxuxaxu += 1 deci u este o soluie a unei ecuaii liniare. Reciproc, dac u este soluie a ecuaieiliniare

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]xbxuxaxu += 1 i ( ) 0>xu n I, atunci este soluie a ecuaiei (1.13.).


9/252

21

Ecuaii difereniale de tip Riccati

Forma general a ecuaiilor difereniale de tip Riccatieste dat de

( ) ( ) ( )xcyxbyxay ++= 2 , x (1.14.)unde a , b i c sunt funcii continue pe intervalul I.

Ecuaia (1.14.) nu este, n general, integrabil prin caudraturi. Totui, ncazurile n care printr-un mijloc oarecare se gsete o soluie particular, integrareadevine posibil.

Fie 0 o soluie a ecuaiei (1.14.), iar o soluie arbitrar pentru aceiaiecuaie. Pentru funcia 0= avem

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )xxxbxaxxbxxx ++== 02

0 2

deci este soluia unei ecuaii Bernoulli cu 2= , prin urmare se poate construisoluia a ecuaiei Riccati.

Ecuaii difereniale de tip Lagrange

Numim ecuaii difereniale de tip Lagrange, ecuaiile( ) ( )yyxy += (1.15.)

unde i sunt funcii continue difereniabile pe un interval din i( ) pp pentru toi p .

Presupunnd c y este soluie a ecuaiei (1.15.) pe intervalul RI ,rezult prin derivare

( ) ( ) ( )yyyyxyy ++= (1.16.)

unde2

2

dx

ydy = . Notnd cu p funcia y , din (1.16.) rezult

( )( )

( )( )pp

px

pp

p

dp

dx

+

= (1.17.)

care este o ecuaie liniar n x . Rezolvnd aceast ecuaie, gsim pentru oexpresie de forma

( )CpAx ,= (1.18.)unde C este o constant arbitrar. Din ecuaia (1.15.) se obine atunci

( ) ( ) ( )ppCpAy += , (1.19.)Interpretnd p drept un parametru, (1.18.) i (1.19.) devin ecuaiile

parametrice ale necunoscutei y care verific (1.15.). Cu alte cuvinte, folosindmetoda indicat mai sus, soluia ecuaiei (1.15.) se obine sub form parametric.


10/252

22

Ecuaia de tip Clairaut

Ecuaia de tipul( )yyxy += (1.20.)

este o ecuaie de tip Clairaut. Acest tip de ecuaie este un caz particular de ecuaiede tip Lagrange i anume cazul cnd ( ) pp = .

Prin derivarea ecuaiei (1.20.) obinem( )yyyyxy ++=

de unde rezult( )( ) 0=+ yxy . (1.21.)

Prin urmare, avem dou tipuri de soluii. Prima este definit de 0=y care prin integrare d

( ) 21 CxCxy += (1.22.)unde 1C i 2C sunt constante arbitrare. De fapt, introducnd (1.22.) n (1.20.) se

constat c 1C i 2C nu sunt independente ci ( )12 CC = . Prin urmare( )11 CxCy += (1.23.)

unde 1C este o constant arbitrar.

O alt categorie de soluii se obine din( ) 0=+ yx (1.24.)Procednd ca la ecuaia de tip Lagrange, notm py = i din (1.24.)

obinem ecuaiile parametrice( )( ) ( )

+=

=

pppy

px (1.25.)

ale unei soluii pentru ecuaia de tip Clairaut.Soluia sub forma (1.23.) este soluia general a ecuaiei de tip Clairaut,

iar soluia de forma (1.25.) este osoluie singular a ecuaiei de tip Clairaut.Observaie. Soluia general a ecuaiei de tip Clairaut este o familie de

drepte ce depind de un parametru C. Eliminnd pe C ntre ecuaia( )CCxy += i derivata n raport cu C, ( ) 0=+ Cx obinem curba

( )( ) ( )

+=

=

CCCy

Cx

care este integrala singular. Prin urmare integrala singular este nfurtoareafamiliei de curbe reprezentat de integrala general.


11/252

23

Ecuaii difereniale de tipul ( )yxfy = ,

Notm py = , deci( )pxfy ,= (1.26.)

i derivnd n raport cu x , innd cont cp este o funcie de x obinem

( ) ( )dx

dppx

p

fpx

x

fp ,,

+

= (1.27.)

care este o ecuaie rezolvat n raport cudxdp . Dac putem integra pe (1.27.)

avem ( )Cxp ,= care introdus n (1.26.) ne conduce la soluie general cutat( ) ( )( )Cxxfxy ,,= .

Ecuaii de tipul ( )yyfx = ,

Notm py = , deci( )pyfx ,= (1.28.)

i derivnd n raport cu y , considernd pe i p funcia de y , avem

( ) ( )dydppy

pfpy

yf

p

+

= ,,1 (1.29.)

deoarece

pdx

dydy

dx 11== .

Dac putem integra pe (1.29.), care este o ecuaie diferenial n p i y ,

explicit n raport cudy

dp, obinem

( )Cyp ,= . (1.30.)Dac introducem (1.30.) n (1.28.) rezult soluia general cutat

( )( )Cyyfx ,,= .

Ecuaii de forma ( ) 0,, =yyxF

Analizm n cele ce urmeaz cazurile cnd o ecuaie de ordinul nti deforma

( ) 0,, =yyxF (1.31.)poate fi integrat prin cuadraturi.


12/252

24

Presupunem c 31 2:F I I I este de clas1C . O funcie

1: III derivabil cu 2: II i ( ) ( )( ) 0,, = xxxF , Ix estesoluie a ecuaiei (1.31.). Dac se d un punct ( )000 ,, zyx astfel ca

( ) 0,, 000 =zyxF i ( ) 0,, 000

zyxz

F, din teorema funciilor implicite exist o

funcie f de clas 1C definit ntr-o vecintate a punctului ( )00 ,yx cu valori

ntr-o vecintate a lui z astfel nct( )( ) 0,,, =yxfyxF , ( ) 000 , zyxf = .

Dac este o soluie a ecuaiei difereniale ( )yxfy ,= definit defuncia f , avem ( ) ( )( )xxfx = , , deci

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) 0,,,,, = xxfxxFxxxF i este soluia problemei date.

Rezult c putem reduce, cel puin local, problema gsirii soluiilor

ecuaiei ( ) 0,, =yyxF , ( ) 0,,

yyx

y

Fla problema gsirii soluiei unei ecuaii

difereniale n form normal.

Deoarece aceast cale presupune rezolvarea prealabil a unei probleme defuncii implicite, ea nu este n general convenabil n studiul unor ecuaiiparticulare cnd poate exista sperana unor procedee alternative mai simple pentrugsirea soluiilor. n cele ce urmeaz vom considera trei procedee alternative.1. Primul procedeu reduce gsirea soluiilor unei ecuaii de forma considerat la

(1.31.) la gsirea soluiilor unui sistem de trei ecuaii difereniale

( )

( )

( ) ( )

=

=

=

zyxyFzzyxxFdtdz

zyxz

Fz

dt

dy

zyxz

F

dt

dx

,,,,

,,

,,

. (1.32.)

Presupunem c reuim s gsim ( ) ,, o soluie a acestui sistem, astfelnct

( ) 00 x= , ( ) 00 y= , ( ) 00 z= .

Atunci, deoarecez

F

este o funcie continu, exist un interval ce conine

originea astfel ca pentru t n acest interval s avem

( ) ( ) ( )( ) 0,,

tttz

F


13/252

25

deci ( ) 0

tdt

d, de unde rezult c funcia este inversabil n acest interval

i fie inversa sa. Avem ( )( ) xx = i ( )( ) tt = . Fie ( ) ( )( )xx = ,( ) ( )( )xx = .

Funcia este soluie a problemei date cu ( ) 00 yx = i ( ) 00 zx = .Rezult c funcia ( ) ( ) ( )( )tttFt ,, este o constant C i cum

pentru 0=t obinem 0=C rezult c funcia ( ) ( ) ( )( )tttFt ,, esteidentic nul. Lund n relaia obinut ( )xt = i innd cont de faptul c

( ) ( )xx = , deducem( )( ) ( )( ) ( )( )( ) 0,, xxxF .

n acest fel problema gsirii soluiilor ecuaiei ( ) 0,, =yyxF a fostredus la problema gsirii soluiilor unui sistem de trei ecuaii difereniale scrissub forma normali la o problem de inversare a unei funcii.

2. n ipoteza 0z

F, putem reduce problema gsirii soluiilor ecuaiei (1.31.) la

problema gsirii soluiei unui sistem de dou ecuaii difereniale scris sub

forma normal. S considerm sistemul.

( ) ( )

( )

+

=

=

zyxz

F

zyxy

Fzzyx

x

F

dx

dz

zdx

dy

,,

,,,, (1.33.)

S presupunem c am gsit ( ) ( )( )xx , o soluie a sistemului (1.33.),astfel nct

( ) 00 yx = , ( ) 00 zx = , ( ) 0,, 000 =zyxF .

Atunci este soluie a ecuaiei (1.31.). n anumite cazuri este convenabil alt sistem asociat i anume,

presupunnd

( ) ( ) 0,,,,

+

zyxy

Fzzyx

x

F

considerm sistemul


14/252

26

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

+

=

+

=

zyxy

Fzzyxx

F

zyxz

Fz

dz

dy

zyxy

Fzzyx

x

F

zyxz

F

dz

dx

,,,,

,,

,,,,

,,

(1.34.)

Fie ( ), o soluie a acestui sistem cu( ) 00 xz = , ( ) 00 yz = , ( ) 0,, 000 =zyxF .

n plus, dac admitem ( ) 0,, 000

zyxz

F, rezult 0

z

deci funcia

este inversabil. Dac este inversa funciei , definim ( ) ( )( )xx = .Atunci este soluie a ecuaiei (1.31.)

3. S indicm acum un procedeu care permite reducerea problemei (1.31.) lagsirea soluiei unei singure ecuaii difereniabile scrise n forma normal. S

presupunem c am gsit funciile hgf ,, definite pe un domeniu D din2

cu valori reale de clas 1C , astfel nct

( ) ( ) ( )( ) 0,,,,, vuhvugvufF .Presupunnd 0 vv gfh , considerm ecuaia

vv

uu

gfh

fhg

du

dv

= . (1.35.)

Fie ( ) Dvu 00 , , o soluie a ecuaiei (1.35.) cu ( ) 00 vu = ipresupunem c

( )

( )0

,

,

=

vu

vu

gg

ff

vuD

gfD

n ( )00 ,vu , deci ntr-o vecintate a acestui punct. Funcia definit prin( ) ( )( )uufu = , este inversabil, ( ) 00 xu = . Fie inversa funciei i( ) ( ) ( )( )( )xxgx = , . Atunci este soluia ecuaiei date.

n acest fel problema rezolvrii ecuaiei (1.31.) s-a redus la rezolvareaecuaiei (1.35.) scris sub form normali la inversarea unei funcii.


15/252

27

I.3. Modele matematice prezentate prin ecuaii difereniale

Un proces de modelare matematic const din urmtoarele etape maiimportante:(i) Formularea problemei de cercetat. Se formuleaz problema n termenii

disciplinei n care apare. Aceast etap se realizeaz n interioruldisciplinei.

(ii) Construirea modelului matematic asociat problemei de cercetat. Pronindde la problema dat

, se realizeaz

o cercetare interdisciplinar

urm

rind

gsirea unui model ct mai fidel pentru aceast problem. Aceast etapajuti la finalizarea primei etape.

(iii) Studiul modelului matematic. Reducnd problema de baz la o problemde matematic, se trece la studiul acestei probleme. De regul, etapa serealizeaz n interiorul matematicii.

(iv) Interpretarea soluiei problemei matematice din punctul de vedere al problemei de baz. Este vorba de o cercetare interdisciplinar a creicomplexitate ine de natura problemei de baz, ct i de natura aparatuluimatematic ce se utilizeaz n aceast cercetare.

Dezintegrarea radioactiv

S-a verificat fizic c radioactivitatea este direct proporional cu numrulde atomi din substana radioactiv. Astfel, dac ( )tx este cantitatea de materienedezintegrat la momentul t, viteza de dezintegrare ( )tx este proporional cu

( )tx adic( ) ( )txtx = (1.36)

unde este o constant pozitiv depinznd de materialul radioactiv. Soluiageneral a ecuaiei (1.36.) este dat de

( ) ( 00tt

extx= , t (1.37.)

Drept msur a vitezei de dezintegrare se ia aa-numita perioad de njumtire,adic timpul necesar pentru dezintegrarea unei jumti din cantitatea de substan.

Din formula (1.37) rezult 2ln1

=T .

Un model matematic al creterii populaiei

Dac ( )tp este populaia unei anumite specii la momentul t iar ( )ptd , este diferenial dintre rata natalitii i cea a mortalitaii, atunci, n ipoteza cpopulaia este izolat (adic nu au loc emigrri sau imigrri), viteza de cretere apopulaiei ( )tp va fi egal cu ( )ptd , . Un model simplificat de cretere apopulaiei presupune c ( )ptd , este proporional cu p , cu alte cuvinte, p vaverifica ecuaia diferenial


16/252

28

pp = , = constant. (1.38.)Soluia ecuaiei (1.38.) este ( ) ( )00

tteptp = ceea ce conduce la legea malthisiana creterii populaiei.

Un model mai realist a fost propus de biologul olandez Verhulst. n acest

model se ia ( )ptd , de forma 2pp unde este o constant pozitiv foartemic n raport cu . Acest model neliniar de cretere ia n considerareinteraciunea dintre indivizii speciei i anume efectul inhibator al aglomerrii.

Ecuaia diferenial 2ppp = are soluia general( ) ( ) ( )( )( ) 10000 exp

+= ttppptp

unde ( )00 ,pt reprezint condiiile iniiale.

Modelul Lotka-Volterra

Un sistem biologic n care dou specii 1N i 2N convieuiesc ntr-o zon

limitat astfel nct indivizii speciei 2N (rpitorii) se hrnesc numai cu indivizii

din specia 1N (prada) iar acetia din urm se hrnesc cu resursele zonei n caretriesc.

Dac notm cu ( )tN1 , ( )tN2 numrul indivizilor din prima, respectiv adoua specie la momentul t, modelul matematic al sistemului biologic de mai suseste descris de sistemul diferenial

+=

=

2122

2111

NdNcNN

NbNaNN,

unde a , b , c , d sunt constante pozitive.

Un model matematic al epidemiilor

Vom descrie un model matematic elaborat de Karmac i McKendric.S considerm o populaie format din n indivizi i o maladie n care

infecia se rspndete prin contact direct. Se presupune c indivizii infectai vor fifie izolai, fie devin imuni prin vindecare. Prin urmare, populaia este compus laun momet t din trei categorii ( )tx , ( )ty , ( )tz reprezentnd respectiv, indiviziineinfectai, indivizii infectai care circul liberi i indivizii izolai. Vom presupunec viteza de infectare x este proporional cu numrul y , reprezentnd numrulcontactelor dintre indivizii neinfectai i cei infectai. De asemenea, indiviziiinfectai devin izolai cu o vitez proporional cu numrul lor.


17/252

29

Prin urmare, ecuaiile care guverneaz procesul sunt urmtoarele (ca de

obicei am notatdt

d=' ):

=++

==

nzyx

yxyy

xyx

Din primele dou ecuaii de obinea

=

x

x

y

x

adic

11

=

=

xx

x

dx

dy

i prin integrare se gsete soluia

( )0

00 lnx

xxxyxy

++= .

Oscilatorul armonic

S considerm micarea unui punct material de mas m care se deplaseazpe drepta orizontal Ox sub aciunea forei elastice F ndreptat ctre origineaO . Dac notm cu ( )tx distana, n momentul t de la punctul de origine, din legeaa doua a lui Newton rezult c ecuaia micrii va fi Fxm = . Pe de alt parte, Ffiind o for elastic va fi de forma xF 2= . Rezult astfel c micareapunctului este descris de ecuaia diferenial de ordinul doi

02 =+ xxm (1.39.)Un model mai complex al micrii este cel n care se admite existena unei

fore de frecare proporionale cu viteza, adic de forma xb , ct i a unei fore

exterioare ( )xf aplicate masei punctului. Se obine atunci ecuaia diferenial( ) ( )xfxFxbxm =++ .

Pendulul matematic

S considerm problema oscilaiilor unui pendul. Fie ( ) ( )tlts = , l fiindlungimea firului i ( )t unghiul firului fa de vertical. mgP= , unde m estemasa punctului material i g acceleraia gravitaional.

Fora P se descompune n dou componente dintre care una este anulatde rezistena firului. Micarea se desfoar sub aciunea componentelor

sinmg . Ecuaia diferenial a micrii este ( ) ( )tmgtml = sin sau


18/252

30

( ) ( ) 0sin =+ tl

gt .

Considernd numai oscilaii mici, putem lua aproximatix ( ) ( )tt sin

i ecuaia devine ( ) ( ) 0=+ tl

gt . Se verific imediat c orice funcie de forma

( )

+= t

l

gkt sin

este soluie a ecuaiei.

II. PROBLEMA CAUCHY

Vom prezenta unele rezultate clasice privind existena, unicitatea idependena de date a soluiei problemei Cauchy pentru ecuaii i sisteme de ecuaiidifereniale.

Considerm sistemul de ecuaii difereniale

( )yxfy ,= (2.1.)

unde : n nf .Problema lui Cauchy relativ la sistemul (2.1.) const n

aceea c se d un punct ( ) 00 ,yx i se cer soluiile ecuaiei (2.1.) ce satisfaccondiia

( ) 00 yxy = . (2.2.)Condiia (2.2) poart denumirea de condiie iniial sau condiia lui

Cauchy.Din punct de vedere geometric, problema lui Cauchy revine la a determina

curbele integrale ale ecuaiei (2.1.) ce trec prin punctul ( )00 ,yx .Se observ cu uurin c proble Cauchy (2.1.)-(2.2.) este echivalent cu

ecuaia integral Volterra

( ) ( )( )+=x

x

dssyxfyxy0

0 , . (2.3.)

II.1. Existena i unicitatea local

Vom ncepe studiul problemei lui Cauchy pentru ecuaii de ordinul nti.

Problema lui Cauchy pentru ecuaii difereniale de ordinul nti

Teorema 1.Presupunem verificate urmtoarele condiii:1. Funcia f este continupe mulimea

( ){ }2 0 0, ,D x y x x a y y b= (2.4.)


19/252

31

2. Funcia f este lipschitzian ca funcie de y pe mulimea D, adic existoconstantpozitivL astfel nct

( ) ( ) zyLzxfyxf ,, , ( ) ( ) Dzxyx ,,, (2.5.)

Atunci exist o soluie unic ( )xyy = a problemei Cauchy (2.1.)-(2.2.)

definit pe intervalul { }0I x x x = , unde

=

M

ba,inf , iar

( ) ( ){ }DyxyxfM = ,,sup .

Problema lui Cauchy pentru sisteme difereniale de ordinul nti

Considerm sistemul diferenial( )nii yyxfy ,...,, 1= , ni ,...,1= (2.6.)

cu condiiile iniiale

( ) 00 ii yxy = , ni ,...,1= (2.7.)unde funciile nff ,...,1 sunt definite pe un paralelipiped de forma:

( ) nibyyaxxyxD ii ,...,1,,,0

0 == (2.8.)

din spaiul +1n dimensional 1n+ .Teorema 2.Presupunem csunt ndeplinite urmtoarele condiii:

1. Funciile if, ni ,...,1= sunt continue pe D .

2. Funciile if, ni ,...,1= sunt lipschitziene n ( )nyyy ,...,1= pe D , adicexist 0>L astfel nct

( ) ( )

{ } ninjzyLzzxfyyxf

jj

nini

,...,1,1,max

,...,,,...,, 11

=

(2.9.)

pentru toi ( )nyyx ,...,, 1 , ( )nzzx ,...,, 1 din D .Atunci existo soluie unic

( ) ( ) ( )( )xyxyxy

n,...,

1= a problemei Cauchy

(2.6.)-(2.7.) definit pe intervalul { }0I x x x = unde

=M

ba,inf

i

( ) ( ){ }DyyxyyxfM nni = ,...,,,...,,max 11 .Formularea teoremei de existeni unicitate pentru problema (2.6.)-(2.7.)

pare s arate c nu exist o diferen de fond ntre ecuaiile difereniale i sistemulde ecuaii difereniale de ordinul nti. Adoptnd notaia vectorial vom vedea c,de fapt, nici forma ecuaiilori sistemelor difereniale nu difer.


20/252

32

n cele ce urmeaz vom considera spaiul n al vectorilorn dimensionali ( )nyyy ,...,1= , nzestrat cu structura liniar (vectorial) i cu

norma

{ }niyy i ,...,1,max == , ( )nyyy ,...,1= .Pe spaiul n nzestrat cu aceast norm (de fapt cu oricare alta, deoarece

normele pe spaiile finit dimensionale sunt echivalente) se poate dezvolta un calculdiferenial i integral analog celui existent pentru funciile scalare. Pe un interval Idin , vom numi funcie vectorial pe I o aplicaie : ny I de forma

( ) ( ) ( )( )xyxyxy n,...,1= , unde iy sunt funcii scalare definite pe I.

Funcia : ny I se numete continu (ntr-un punct sau un interval)dac funciile coordonate { }niyi ,...,1, = sunt continue. Funcia y se numetederivabil n Ix 0 dac iy , ni ,...,1= au aceast proprietate. Prin derivata

funciei y n x , notat ( )xy se nelege vectorul ( ) ( )( )xyxy n ,...,1 . Osemnificaie analog o are noiunea de difereniabilitate sau de integrabilitate

pentru funciile vectoriale cu valori n n .n particular, vom nota

( ) ( ) ( )

= x

a

n

x

a

x

a

dssydssydssy ,...,1

unde ( ) ( ) ( )( )sysysy n,...,1= .

n acelai context, irul { }ky de funcii vectoriale pe I converge (uniformsau punctual) la : ny I dacirul coordonatelor sale are aceeai proprietate.Dup cum uor se poate observa, toate aceste noiuni admit o formulare echivalent

n terminologia normei spaiului n . De exemplu, continuitatea funciei

: ny I n punctul Ix 0 revine la condiia ( ) ( ) 0lim 00

=

xyxyxx

. n mod

analog se poate defini derivata, integrala sau convergena.S revenim acum la problema Cauchy (2.6.)-(2.7.). Dac notm cu

: ny I funcia vectorial ( )nyy ,...,1 i cu :nf D funcia

( ) ( ) ( )( )nnn yyxfyyxfyxf ,...,,,...,,...,,, 111= sistemul (2.6.) devine

( )yxfy ,= (2.10.)iar condiia iniial (2.7.) se scrie

( ) 00 yxy = (2.11.)unde ( )0010 ,..., nyyy = .

n notaie vectorial teorema 2 se poate formula dup cum urmeaz.


21/252

33

Teorema 3.Presupunem verificare urmtoarele condiii:

1. Funcia : nf D este continu.2. Funcia f este lipschitziann y pe D, adicexist 0>L astfel nct:

( ) ( ) zyLzxfyxf ,, , ( ) ( ) Dzxyx ,,, . Atunci exist o soluie unic y a problemei (2.10.)-(2.11.) definit pe

intervalul { }0I x x x = , unde

=

M

ba,inf i

( ) ( ){ }DyxyxfM = ,,sup .

Problema Cauchy pentru ecuaii difereniale de ordin superior

S considerm ecuaia diferenial de ordinul n ( ) ( )( )1,...,,, = nn yyyxgy (2.12.)

cu condiia Cauchy

( ) 000 yxy = , ( )010 yxy = , ,

( ) ( ) 0 101

= n

n yxy , (2.13.)

unde ( )0 10100 ,...,,, nyyyx este fixat n 1n+

Teorema 4.Presupunem verificate urmtoarele condiii:1. Funcia g este continu pe mulimea D definit prin:

( ){ }01 0 1, ,..., , , 1,...,nn i iD x y y x x a y y b i n= = (2.14.)2. Exist 0>L astfel nct:

( ) ( ) { }1 1, ,..., , ,..., max ,1n n i ig x y y g x z z L y z i n pentru toi ( ) ( )nn zzxyyx ,...,,,,...,, 11 .

Atunci problema Cauchy (2.12.)-(2.13.) admite o soluie unicy definit

pe intervalul { }0I x x x = , unde

=

M

ba,inf i

( ) ( ){ }DyyxyyyyxgM nnn = ,...,,,...,,,...,,sup 111 .

Problema de existen a lui Peano

Vom demonstra acum un rezultat de existen pentru problema Cauchy(2.6.)-(2.7.) datorat lui Peano. n linii mari, se afirm c numai n ipoteza decontinuitate asupra lui f , problema Cauchy (2.6.)-(2.7.) admite cel puin o soluientr-o vecintate a momentului iniial.


22/252

34

Teorema 5.Fie : nf D o funcie continu, unde D este

( ){ }1 0 0, ,nD x y x x a y y b+= . Atunci problema Cauchy (2.6.)-(2.7.) admite cel puin o soluie pe

intervalul { }0I x x x = , unde

=

M

ba,inf i

( ) ( ){ }DyxyxfM = ,,sup .Observaie. Nu se poate deduce din teorema 5 unicitatea solu iei

problemei lui Cauchy. n general, numai din ipotaza de continuitate asupra funcieif soluia problemei lui Cauchy (2.6.)-(2.7.) nu este unic.

II.2. Existena i unicitatea global

S considerm sistemul diferenial (n notaia vectorial)( )yxfy ,= (2.15.)

unde 1: n nf + este o funcie continu pe mulimea deschis

din 1n+ .Vom presupune c funcia

feste local lipschitzian n

ype

, cu alte

cuvinte pentru orice submulime compact K exist 0>KL astfel ca

( ) ( ) zyLzxfyxf K ,, , ( ) ( ) Kzxyx ,,, (2.16.)

unde este norma uniform pe n adiv { }niyy i = 1,max .Teorema 6. Presupunem c funcia f este continu pe i local

lipschitzian n y . Atunci, oricare ar fi punctul ( )00 ,yx din exist ntr-ovecintate a punctului 0x o soluie unic ( )xy = sistemului (2.15.) cu condiiainiial ( ) 00 yx = .

Teorema 6 poate fi reformulati astfel:

Fie :n

f I G continu n GI i local lipschitzian nGI n raport cu Gy . Atunci pentru orice ( )00 ,yx din GI exist un

interval J coninnd 0x i o soluie a sistemului (2.15.) definit pe J cu

proprietatea ( ) 00 yx = . n plus aceastsoluie este unic.Att existena, ct i unicitatea problemei Cauchy au loc ntr-o vecintate a

punctului 0x . Cu toate acestea ne putem atepta ca unicitatea s aib un caracterglobal.

Teorema 7 (unicitate global). Fie i dou soluii ale sistemului(2.15.) definite pe intervalele (deschise) I respectiv I . Fie IIx 0 astfel

nct( ) ( )00

xx = . Atunci( ) ( )

xx = pentru orice IIx .


23/252

35

Definiie- O soluie a sistemului (2.15.), definitpe un interval [ ]baI ,= se numete

prelungibil dac exist o alt soluie a sistemului (2.15.) definit pe uninterval II astfel nct ( ) ( )xx = pentru orice Ix .

- O soluie definit pe [ ]baI ,= se numete prelungibil la dreapta dacexist bb > i o soluie definitcel puin pe intervalul [ ]ba , astfel nct

( ) ( )xx =pentru

[ ]bax ,.

- O soluie definit pe [ ]baI ,= se numete prelungibil la stnga dacexis aa


24/252

36

Teorema 10. Fie 1n+ = i ( )xy = o soluie saturat la dreapta,definit pe intervalul [ )Xx ,0 . Atunci are loc una i numai una din urmtoareledousituaii:(i) +=X ;(ii) ( ) +=

x

xlim .

Teorema 10 spune c o soluie este definit fie pe ntreaga semidreapt,

fie explodeaz n timp finit (fenomen ntlnit n literatur sub denumirea de blow-up).

II.3. Continuitatea soluiei n raport cu parametriii cu condiiile iniiale

Am vzut c n anumite condiii, fiind dat un punct iniial ( )00 ,yx exist osoluie maximal unic a crei valoare n 0x este 0y . n cele ce urmeaz vom

studia cum depinde aceast soluie de ( )00 ,yx . n general, dac sistemul de ecuaiidifereniale depinde continuu de un numr de parametrii va rezulta c soluiile sunti ele funcii continue de parametrii. Acest aspect are o anumit semnificaie fizic:

pentru fenomene descrise de sisteme de ecuaii difereniale, mici abateri sau erorin condiiile iniiale sau n nsi legea de evoluie nu defirmeaz prea puternic procesul. Cum asemenea perturbaii sau erori sunt ntotdeauna inevitabile,proprietatea de continuitate n raport cu condiiile iniiale i cu parametrii asigurc descrierea evoluiei proceselor prin ecuaii difereniale i date iniiale esteadecvat.

Teorema 11.Fie 1n+ , l mulimi deschise, : nf o funcie continu pe , local lipschitzian n ( ),y , adic pentru orice

compactK~

din exist 0~ >K

L astfel ca

( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2, , , , n ln Kf x y f x y L y y +

pentru orice ( ) ( ) Kyxyx~

,,,,, 2211 .Fie ( ) 00 ,yx , 0 . Notm cu ( );xy soluia maximal a

sistemului

( )= ,,yxfdx

dy

care pentru 0xx = ia valoarea 0y . Fie intervalul de definiie al soluiei ( )0;xy ,

iar JJ compact. Atunci pentru orice 0> exist cu proprietatea c


25/252

37

1. soluia ( );xy este definitpe J ;2. ( ) ( ) astfel ca

( ) ( ) 00;;

exist cu proprietatea c pentru


26/252

38

matricea derivatelor pariale ( )000

~,; yxxy

y

este matricea fundamentalde soluii

a sistemului ( )( )zyxxyxy

f

dx

dz00

~,;,

= .

Teorema 15. Fie : n nf I G de clas 1C n GI ,

( ) GIyx 00 ,~ , 0J intervalul de definiie al soluiei ( )00 ,

~; yxxy i 0JJ

compact.Atunci existo vecintate U a lui 0

~x astfel nct pentru Ux 0 soluia

( )00 ,; yxxy este definit pe J , difereniabil n raport cu 0x n punctul 0~x i

derivata sa ( )000

,~; yxxx

y

este soluia sistemului ( )( )zyxxyxy

f

dx

dz00 ,

~;,

=

determinatde condiia ( ) ( )000 ,~~ yxfxz = .

III. ECUAII DIFERENIALE LINIARE

O ecuaie liniar de ordinul n este de forma

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfyxayxayx nnn =+++ ...110 , Ix (3.1.)unde naaaf ,...,,, 10 sunt funcii continue pe un interval I al axei reale. Dac

0=f ecuaia (3.1.) se numete omogen, n caz contrar ea este neomogen.

O soluie a ecuaiei (3.1.) este o funcie ( )ICy n cu proprietatea c( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfxyxaxyxaxyx n

nn =+++ ...110 , Ix .n cele ce urmeaz vom face un studiu pentru ecuaia (3.1.) presupunnd,

pentru nceput, c ( ) 00 xa pentru orice Ix , deci dup mprirea cu 0a iapoi redenumirea funciilor obinem ecuaia

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfyxayxay nnn =+++ ...11 , Ix .

III.1. Ecuaii difereniale liniare omogene

Considerm operatorul ( ) ( )ICICL n : definit prin( ) ( ) ( ) ( ) ( )yxayxayyL n

nn +++= ...: 11 . (3.2.)Operatorul L este liniar. Determinarea soluiilor ecuaiei

( ) ( ) ( ) ( ) 0...11 =+++ yxayxay n

nn (3.3.)

revine la determinarea nucleului lui L . Evident, nucleul lui L este un subspaiuvectorial din ( )ICn . Suntem interesai de dimensiunea nucleului lui L .


27/252

39

Propoziia 1.Dac ( )ICyy nn1

1 ,..., sunt liniar dependente, atunci

determinantul

( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xyxyxy

xyxyxy

xyxyxy

yyxW

nn

nn

n

n

n

112

11

1

21

1 ,...,;

=

este identic nul.Determinantul ( )nyyxW ,...,; 1 este wronskianulfunciilor nyy ,...,1 sau

determinantul lui Wronsky.Propoziia 2. Dac ( )Lyy n Ker,...,1 sunt liniar independente, atunci

( ) 0,...,; 1 nyyxW pentru orice Ix .Ca o consecin a celor de mai sus obinem c dac ( )Lyy n Ker,...,1 ,

atunci ( )nyyxW ,...,; 1 sau este identic egal cu zero i n acest caz sistemul defuncii este liniar dependent, sau este diferit de zero pentru orice Ix i n acestcaz sistemul de funcii este liniar independent. Mai mult, avem urmtorul rezultatdatorat lui Liouville.

Propoziia 3.Dac ( )Lyy n Ker,...,1 , atunci

( ) ( ) ( )

=

x

x

nn dssayyxWyyxW0

1101 exp,...,,,...,, . (3.4.)

Formula (3.3.) este cunoscut n literatur ca formula lui Abel-Liouville.Propoziia 4.Existn ( )LKer n funcii liniar independente.Teorema 1. Nucleul operatorului L definit de (3.2.) are dimensiunea n

adic ( ) nL =Kerdim .O baz a lui ( )LKer se va numi sistem fundamental de soluii pentru

ecuaia (3.3.). Dac nyy ,...,1 este un sistem fundamental de soluii, atunci soluiageneral a ecuaiei (3.1.) este

nnyCyCy ++= ...11 ,deci problema integrrii ecuaiei omogene revine la a construi un sistemfundamental de soluii pentru aceast ecuaie.

Se observ c n funcii formeaz un sistem fundamental de soluii peintervalul I daci numai dac sunt soluii i sunt liniar independente.

Remarca 1. Orice 1+n soluii ale unei ecuaii difereniale de ordinul n definite pe un interval I sunt liniar dependente pe I.


28/252

40

Construcia ecuaiei difereniale liniare de ordinul n cu un sistem fundamental de soluii dat

n cele de mai sus s-a vzut c unei ecuaii difereniale liniare i putempune n coresponden un sistem fundamental de soluii formate cu n funcii liniarindependente.

Problema pe care o considerm acum este cea a determinrii unei ecuaiidifereniale liniare de ordinul n care are un sistem fundamental de soluii format

cu n funcii liniar independente date pe un interval I.Teorema 2.Douecuaii difereniale de ordinul n, omogene( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0... 1

11 =++++

yxayxayxay nnnn

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0... 11

1 =++++ yxbyxbyxby nn

nn

care au acelai sistem fundamental de soluii pe un interval datI, sunt identice peI, adic ( ) ( )xbxa kk = , nk ,...,1= , Ix .

Din teorema 2 deducem c un sistem nyy ,...,1 fundamental de soluii pe

I determin o ecuaie diferenial de ordinul n i numai una, pentru care

nyy ,...,1 este un sistem fundamental de soluii pe I. Aceast ecuaie este

( ) ( ) ( )

0

1

1

1

=

nn

nn

n

n

yyy

yyy yyy

(3.5.)

dup cum se verific imediat.

III.2. Ecuaii difereniale liniare neomogene

Considerm ecuaia (3.1.). Fie 0y o soluie particular a ecuaiei (3.1.) i

y o soluie oarecare a ecuaiei (3.1.). Avem ( ) ( ) ( ) 000 == yLyLyyL , deci

( )fyy Ker0 . Prin urmare, dac nyy ,...,1 este un sistem fundamental desoluii ale ecuaiei omogene ( ) 0=yL , atunci soluia general a ecuaieineomogene este

=

+=n

iiiyCyy

10

adic problema integrrii unei ecuaii difereniale neomogene revine ladeterminarea unei soluii particulare a ecuaiei neomogene i la determinarea unuisistem fundamental de soluii pentru ecuaia omogen.

Dac se cunoate un sistem fundamental de soluii pentru ecuaia omogen,atunci urmtoarea metod a variaiei constantelor, datorat lui Lagrange, permitedeterminarea unei soluii particulare a ecuaiei neomogene.


29/252

41

Fie nyy ,...,1 un sistem fundamental de soluii ale ecuaiei omogene (3.3).Cutm soluia particular a ecuaiei (3.1.) sub forma

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xyxCxyxCxy nn++= ...11 , Ix . (3.6.)Avnd n funcii nedeterminate, putem impune 1n condiii de o

asemenea manier ca problema s aib o form simpl. Avem

( ) ( ) ( ) ( ) ( )==

+=n

iii

n

iii xyxCxyxCxy

11

.

Impunem condiia

( ) ( ) 01

==

n

iii xyxC . (3.7.)

Atunci

( ) ( ) ( ) ( ) ( )==

+=n

iii

n

iii xyxCxyxCxy

11

Impunem a doua condiie de forma

( ) ( ) 01

==

n

iii xyxC . (3.8.)

i aa mai departe pn la derivata de ordinul 1n :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )=

=

+=n

i

nii

n

i

nii

n xyxCxyxCxy1

1

1

21

i impunem condiia

( ) ( ) ( ) 01

2 ==

n

i

nii xyxC . (3.9.)

Din

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )=

=

+=n

i

nii

n

i

nii

n xyxCxyxCxy1

1

1

nlocuind ( )nyyy ,...,, n ecuaia (3.1.) rezult

( ) ( ) ( ) ( )xfxyxCni

nii =

=

1

1 . (3.10.)

Prin urmare, din (3.7.)-(3.10.) se obine pentru nCC ,...,1 sistemul deecuaii algebrice

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

=

==

=

=

xfxyxC

nkxyxC

n

i

nii

n

i

kii

1

1

1

2,...,1,0,0


30/252

42

Acest sistem este compatibil i are o soluie unic, deci ( ) ( )xxC 11 = ,( ) ( )xxC 22 = , , ( ) ( )xxC nn = . Se determin ( ) ( )xCxC n,...,1 i se

nlocuiete n (3.6.) obinndu-se soluia particular pentru ecuaia (3.1.)

III.3. Ecuaii difereniale liniare cu coeficieni constani

Am vzut n paragrafele anterioare c integrarea unei ecuaii diferenialeliniare revine la determinarea unui sistem fundamental de soluii.

Pentru ecuaiile difereniale cu coeficieni constani de forma( ) ( ) ( ) 0...: 11 =+++=

yayayyL nnn (3.11.)

unde 1,..., na a putem s determinm un sistem fundamental de soluii.Cutm soluii particulare de forma

rxey = , r Are loc relaia

( ) ( )rfeeL rxrx = (3.12.)unde

( ) nnn ararrf +++= ...11

este polinomul caracteristic, iar ( ) 0=rf este ecuaia caracteristic ataat ecuaiei(3.11.).Se arat cu uurin c

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

++

+= n

nrxrx z

n

rfz

rfzrfezeL

!...

!1. (3.13.)

Observm c pentru integrarea ecuaiei difereniale (3.11.) trebuie sinemseama de natura rdcinilor ecuaiei caracteristice ( ) 0=rf .

i)Ecuaia caracteristic are n rdcini reale i distincte

Fie nrr,...,1 rdcinile ecuaiei caracteristice. n acest caz, un sistemfundamental de soluii al ecuaiei difereniale (3.11.) este ( ) xrexy 11 = ,

( ) xrexy 22 = , , ( )xnr

n exy = , deoarece

( ) ( )

112

11

21...11

111

,...,,

++=

nn

nn

nxnrrn

rrr

rrreyyxW

iar soluia general a ecuaiei (3.11.) estexnr

nxr eCeCy ++= ...11 .


31/252

43

ii)Ecuaia caracteristic are rdcini reale multiple

Fie 1rr= o rdcin cu ordinul de multiplicitate p a ecuaiei

caracteristice, adic ( ) 01 =rf , ( ) 01 = rf , ,( ) ( ) 01

1 = rf p , ( ) ( ) 01 rfp .

Identitatea (3.13.) devine n acest caz

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

++= n

np

pxrxr z

n

rfz

p

rfezeL

!...

!111 .

nlocuind pe z cu 1,...,,1 pxx obinem 01 =xreL , 01 =xrxeL , ,

( ) 011 = xrp exL adic ( ) xrexy 11 = , ( ) xrxexy 12 = , , ( ) xrpp exxy 11= suntsoluii ale ecuaiei difereniale (3.11.). Deci soluiei 1rr= , multipl de ordinul p ,a ecuaiei caracteristice, i corespunde soluia

( ) ( )xQeeCxCxCy xrxrppp 11112110 ... =+++= pentru ecuaia diferenial (3.11.), unde ( )xQ1 este un polinom de grad celmult 1p .

S presupunem c ecuaia caracteristic ( ) 0=r are rdcinile reale i

distincte dou cte dou krr,...,1 , multiple cu ordinele de multiplicitate respectiv

kpp ,...,1 astfel ca npk

ii =

=1

.

n acest caz ecuaia diferenial (3.11.) are soluiilexre 1 , xrxe 1 , , xrp ex 111 , ,

xkre ,xkrxe , ,

xkrkp ex1

(3.14.)

care formeaz un sistem fundamental de soluii.Soluia general a ecuaiei difereniale (3.11.) n cazul rdcinilor multiple

este dat de

( ) ( ) ( )xQexQexy kxkrxr ++= ...11

unde ( )xQi sunt polinoame n de grad cel mult 1ip , ki ,...,1= .

iii)Ecuaia caracteristic are rdcini complexe

Soluiile particulare gsite la punctele precedente sunt n acest cazcomplexe. Ele formeaz un sistem fundamental, deoarece proprietile pentrusoluii reale rmn valabile, ele bazndu-se pe proprieti algebrice valabile i ncorpul numerelor complexe. Dar se pot gsi i n acest caz soluii reale.

ntr-adevr, dac ( ) ( ) ( )xvxuxy i+= este o soluie a ecuaiei difereniale(3.11.), avem ( ) ( ) ( ) 0ii =+=+ vLuLvuL adic ( ) 0=uL , ( ) 0=vL . Dac

+= ir este o soluie a ecuaiei caracteristice, atunci i = ir este o


32/252

44

soluie deoarece coeficienii ecuaiei caracteristice sunt reali. Acestor dou soluiile corespund pentru ecuaia diferenial (3.11.) soluiile reale

xey x = cos1 , xeyx = sin2

care sunt i ele liniar independente.Dac ecuaia caracteristic are rdcini complexe multiple, se procedeaz

la fel ca la punctul ii). Adic, n ipoteza c += ir este o rdcin multipl deordin p a ecuaiei caracteristice i = ir va fi o soluie multipl de ordin p

a aceleiai ecuaii. Lor le corespund soluiile liniar independentexe x cos , xxe x cos , , xex xp cos1

xe x sin , xxe x sin , , xex xp sin1 .

Cazul neomogen

Determinarea unei soluii particulare pentru ecuaia neomogen se poateface cu metoda variaiei constantelor a lui Lagrange. Totui, n anumite cazuri, sepoate determina mai uor o soluie particular a ecuaiei

( ) ( ) ( )xgyayay nnn =+++ ...11 . (3.15.)

i) Presupunem c este un polinom de grad m , adic

( ) mmxxg ++= ...0 .

Dac 0na , ecuaia diferenial (3.15.) are o soluie de forma

( ) mmxxy ++= ...0

unde coeficienii m ,...,0 se obin prin identificare.

Dac 0=na , , 01 =+pna , iar 0pna , ecuaia (3.15.) are o soluiede forma

( ) ( )mmp xxxy ++= ...0 (3.16.)unde coeficienii m ,...,0 se determin prin identificare.

ii) Presupunem c are forma( ) ( )mmx xexg ++= ...0 .

Dac nu este rdcin a ecuaiei caracteristice, ecuaia diferenial(3.15.) are o soluie de forma

( ) ( )mmx xexy ++= ...0 unde coeficienii m ,...,0 se determin prin identificare.

Dac este o rdcin multipl de ordin p a ecuaiei caracteristice,ecuaia diferenial (3.15.) are o soluie de forma

( ) ( )mmpx xxexy ++= ...0 unde coeficienii

m ,...,

0se determin prin identificare.


33/252

45

iii) Considerm ecuaiile difereniale( ) ( ) ( ) xxPeyayay xn

nn ==+++ cos...11 (3.17.)( ) ( ) ( ) xxPezazaz xn

nn =+++ sin...11 (3.18)unde , , iar P un polinom avnd gradul m . Punnd zyw i+= ,avem

( ) ( ) ( ) ( )xPewawaw xnnn + =+++ i11 ... .

Aplicnd rezultatele de la punctul ii) obinem: Dac n ecuaiile (3.17.) i (3.18.) P este un polinom de gradul m i dac+ i nu este rdcin a ecuaiei caracteristice, atunci ecuaiile

difereniale (3.17.) i (3.18.) au soluii de forma

( ) ( )[ ]xxQxxQe x + sincos 21 unde 1Q i 2Q sunt polinoame de gradul m ale cror coeficieni sedetermin prin identificare.

Dac n ecuaiile (3.17.) i (3.18.) P este un polinom de gradul m i dac+ i este rdcin multipl de ordinul p a ecuaiei caracteristice,

atunci ecuaiile difereniale (3,17,) i (3,18.) au soluii de forma

( ) ( )[ ]xxQxxQxe px + sincos 21 unde 1Q i 2Q sunt polinoame de gradul m ale cror coeficieni sedetermin prin identificare.

III.4. Ecuaii difereniale liniare reductibile la ecuaii difereniale liniarecu coeficieni constani

Pentru ecuaia diferenial liniar

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0..: 11 =+++= yxayxayyL n

nn (3.19.)

se consider n cele ce urmeaz dou categorii de transformri, una de variabilindependent, iar alta a variabilei dependente.

Propoziia 5. Dac ecuaia (3.19.) este reductibil la o ecuaie

diferenial liniar cu coeficieni constani prin schimbarea variabileiindependente ( )xtt= , atunci t este o primitiv a funciei ( )n n xaCx , unde

C este o constant.

Ecuaia diferenial Euler

Ecuaia diferenial liniar( ) ( ) ( )xgyayxayxayx nn

nnnn =++++

111

1 ... (3.20)

unde ka , nk ,...,1= , ( )ICg i care se consider pentru 0x este numitecuaia diferenial a lui Euler.


34/252

46

Prin schimbarea de variabil tex = sau xt ln= , ecuaia diferenial(3.20.) se transform ntr-o ecuaie diferenial cu coeficieni constani.

Ecuaia diferenial

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1

1 1...n nn n

n nax b y a ax b y a xy a y g x

+ + + + + + = (3.21)

unde ka , nk ,...,1= , ( )ICg , prin schimbarea de variabiltebax =+ se

transform ntr-o ecuaie diferenial liniar de ordinul n cu coeficieni constani.

Pentru integrarea ecuaiilor difereniale neomogene (3.20.) i (3.21.) sefolosete n general metoda variaiei constantelor a lui Lagrange.

III.5. Proprieti ale soluiilor ecuaiilor diferenialeliniare de ordinul doi

O ecuaie diferenial de ordinul doi poate s apar sub una dinurmtoarele trei forme:

( ) ( ) ( )xfyxbyxay 1=++ , ( )ICfba 1,, (3.22.)

( )( ) ( ) ( )xfyxqyxp 2=+ , ( )ICfqpp 2,,, , ( ) 0xp (3.23.)

( ) ( )xfyxcy 3=+ , ( )ICfc 3, (3.24.)

numite forma normal, forma autoadjunct respectiv forma redus.n anumite condiii impuse coeficienilor acestor ecuaii, cele trei formesunt echivalente.

O alt particularizare a ecuaiilor difereniale liniare de ordinul doi estefaptul c sunt echivalente cu ecuaiile de tip Riccati.

Pentru ecuaia diferenial liniar (3.22.) omogen, adic0=++ byyay (3.25.)

avem urmtoarele proprieti.Propoziia 6.Fie a, b continue pe intervalulI .

1) Dac y este o soluie a ecuaiei (3.25.) i ntr-un punct Ix 0 avem

( ) ( ) 000 == xyxy , atunci y este o funcie identic nulpe I.

2) Dac y este o soluie a ecuaiei (3.25.) care are un zero Ix 0 , adic( ) 00 =xy , atunci y i schimbsemnul n vecintatea lui 0x .

3) ntr-un interval de lungime finit [ ] I, , orice soluie a ecuaiei (3.25.)are cel mult un numr finit de zerouri.

4) Toate zerourile oricrei soluii neidentic nule pentru ecuaia diferenial(3.25.) sunt simple.

5) Dac 1y i 2y sunt soluii ale ecuaiei (3.25.)i ( ) ( ) 00201 == xyxy , atunci

1y i 2y difer printr-un factor constant, adic exist C astfel nct( ) ( )xCyxy 12 = , pentru orice Ix .


35/252

47

Teorema 3 (principiul de maxim). Dac ( ) 0


36/252

48

Evident, sistemului (4.1.) (respectiv (4.2.)) i se poate aplica teorema localde existen i unicitate mpreun cu toate rezultatele referitoare la existena i

unicitatea global a soluiilor. n concluzie, pentru orice ( )0 0,nx y I exist o

soluie saturat unic a sistemului (4.1.) verificnd condiia iniial( ) 00 yxy = . (4.5.)

Este interesant de menionat c, n acest caz, domeniul de existen alsoluiei saturate coincide cu intervalul I de continuitate al elementelor ija i ib .

IV.1. Sisteme difereniale liniare omogene

Vom studia n acest paragraf sistemul (4.2.) (respectiv (4.4.)) n ipoteza c( )ICaij . Dm pentru nceput o teorem de structur a mulimii soluiilor.Teorema 1. Mulimea soluiilor sistemului omogen (4.2.) formeaz un

spaiu vectorial de dimensiune n .Din teorema 1 rezult c ( )LKer admite o baz format cu n elemente.

Fie { }nyy ,...,1 o asemenea baz . Cu alte cuvinte, nyy ,...,1 reprezint n soluiiliniar independente ale sistemului (4.4.), adic singurele constante nCC ,...,1 pentru

care are loc egalitatea ( ) ( ) 0...11 =++ xyCxyC nn , Ix sunt cele nule ( 0...21 ==== nCCC ).

Matricea ( )xY ale crei coloane sunt funciile nyy ,...,1 se numetematrice fundamental de soluii ale sistemului (4.4). Este uor de vzut cmatricea ( )xY este soluie a ecuaiei

( ) ( ) ( )xYxAxY = (4.6.)(am notat cu Y matricea format cu derivatele elementelor matricii ( )xY ).

Matricea fundamental nu este unic. Dac ( )xY este o matricefundamental, atunci orice matrice ( ) ( ) CxYxZ = , unde C este o matriceconstant nesingular este matrice fundamental de soluii ale sistemului (4.4.); ireciproca este adevrat.

Propoziia 1.Fie ( )xY o matrice fundamentala sistemului (4.4.). Oricesoluie a sistemului (4.4.) se reprezintsub forma

( ) ( ) cxYxy = , Ix (4.7.)unde c este un vector constant n 2 (constant n , dar depinznd de y ).

Dac nyy ,...,1 sunt soluii ale sistemului (4.4.) vom nota prin ( )xW determinantul matricei ( )xY , adic ( ) ( )[ ]xYxW det= .


37/252

49

Teorema 2 (Wronsky). Sistemul de soluii { }nyy ,...,1 este fundamentaldaci numai dacwronskianul lor, ( )nyyxW ,...,; 1 este nenul ntr-un punct alintervalului I (echivalent pe ntreg intervalulI).

Teorema 3 (Liouville). Dac { }nyy ,...,1 este un sistem de n soluii alesistemului (4.4.), atunci pentru orice x , 0x din I avem

( ) ( ) ( )( )

=

x

xnn dssAyyxWyyxW

0101 trexp,...,;,...,; (4.8.)

unde ( )( ) ( )=

=n

iii xasA

1

tr .

IV.2. Sisteme difereniale liniare neomogene

Considerm sistemul liniar neomogen (4.3.)

( ) ( )xbyxAdx

dy+= ,

unde elementele matricei A i a vectorului b sunt funcii continue pe un interval

I din .Teorema 4. Fie ( )xY o matrice fundamental de soluii a sistemului

omogen (4.4.) i ( )xy~ o soluie particulara sistemului neomogen (4.3.). Soluiagenerala sistemului (4.3.)se reprezintsub forma

( ) ( ) ( )xycxYxy ~+= , Ix (4.9.)unde c este un vector arbitrar din n .

Rezultatul urmtor precizeaz coninutul teoremei 4, oferind o formul dereprezentare pentru soluia particulary~ .

Teorema 5 (formula variaiei constantelor). Fie ( )xY o matricefundamental a sistemului omogen (4.4.). Atunci soluia general a sistemului

neomogen (4.3.)se reprezintsub forma

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +=x

x

dssbsYxYcxYxy0

1 , Ix (4.10.)

unde nc i Ix 0 .Observaie. Din (4.10.) rezult c soluia sistemului (4.3.) care verific

( ) 00 yxy = este definit de formula

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +=x

x

dssbsYxYyxYxYxy0

100

1 , Ix . (4.11.)


38/252

50

n teoria sistemelor matricea U definit prin ( ) ( ) ( )sYxYsxU 1, = ,Isx , se numete, adesea, matricea de tranziie a sistemului (4.3.). Dac pentru

un sistem de ecuaii difereniale liniare cunoatem matricea de tranziie, atunci

( ) ( ) ( ) ( )+=x

x

dssbsxUyxxUxy0

00 ,, , Ix

este soluia sistemului (4.3.) care verific condiia ( ) 00 yxy = .

IV.3. Sisteme difereniale liniare cu coeficieni constani

Vom studia n cele ce urmeaz sistemul diferenial (4.4.) Ayy = undematricea )ijaA = este o matrice constant. Vom nota cu ( )xSA matriceafundamental a sistemului (4.4.) care verific condiia iniial ( ) ESA =0 unde Eeste matricea identitate.

Propoziia 2.Familia ( ){ }AS x x are urmtoarele proprieti:(i) ( ) ( ) ( )zSxSzxS AAA =+ , ,x z ;(ii) ( ) ESA =0 ;(iii) ( ) ( )uxSuxS AA

xx0

0

lim =

, nu .

Propoziia 2 exprim faptul c familia ( ){ }AS x x este un grupcontinuu de transformri liniare ale spaiului n n el nsui.

Structura matricei AS

Pentru a construi o matrice fundamental de soluii vom face ctevaconsideraii preliminare. Fie dat un ir de matrici { }kA de dimensiune nn sconsiderm seria

AAk

k ==0

. (4.12.)

Se pune proble definirii convergenei seriei (4.12.)

Definiie. Spunem c seria

=0kkA converge la A dac irul sumelor

pariale =

=j

kkj AB

0

converge n normla matricea A, adic

0ABj ,pentru j . (4.13.)


39/252

51

Avnd n vedere c (4.13.) revine la convergena pe componente, este uorde vzut c criteriul lui Cauchy de convergen pentru serii numerice rmneadevrat i n cazul seriilor de matrici. n particular, se menine adevrat iurmtorul criteriu de convergen.

Propoziia 3. Dac seria de matrici

=0kkA este majorat de o serie

numeric convergent , adic kk aA , unde += m exist ,kjP

astfel nct aplicaiile k i k , ( )= mk ,...,1 definite prin:

( )( )

=

=

1

1

,Rem

j

jkj

xk xPex , x

( )( )

=

=

1

1

,Imm

j

jkj

xk xPex , x

(4.18.)

sunt soluii liniar independente ale ecuaiei (4.4.).

3) Soluiile ( ) ( )= mkAk ,...,1,sp din (4.17.) i (4.18.) constituie un

sistem fundamental de soluii ale sistemului (4.4.).

4) Dac ( )Asp i ( ) 1=m , atunci 0

P este un vector propriu pentru .Utiliznd teorema de mai sus se obine urmtorul algoritm pentru obinerea

unei matrici fundamentale de soluii.Pasul 1. Se determin spectrul ( )Asp , ca mulimea rdcinilor ecuaiei

caracteristice ( ) 0det = AE ; pentru fiecare ( )Asp se reine( )m , ordinul de multiplicitate al valorii proprii .

Pasul 2. Pentru fiecare ( )sp A pentru care ( ) 1=m se rezolvsistemul

( ) 0= uEA i se alege { }\ 0nu o soluie nenul a acestui sistem; se consider

( ) xeux = drept soluie a ecuaiei (4.4.) corespunztoare valorii proprii .

Pasul 3. Pentru fiecare ( )Aspi += , 0> pentru care ( ) 1=m serezolv n n sistemul algebric

( ) 0= uEA i se alege o soluie { }\ 0nu a acestui sistem; reinem

( ) ( ) = uex xRe , ( ) = uexIm

drept soluii ce corespund valorilor proprii i .


43/252

55

Pasul 4. Pentru fiecare ( )sp A pentru care ( ) 1>= mm se caut

0 1 1, ,...,n

mP P P astfel ca

( )

=

=

1

1

m

j

jj

x xPex

s fie soluie a ecuaiei (4.4.); prin identificarea coeficienilor dinidentitatea ( ) ( )xAx = se obin relaiile

( ) 01 = mPAE , ( ) ( ) 11 ++= jj PjPAE , 0,...,2= mj care se scriu echivalent prin

( ) 00 = PAEm

, ( ) 0!1

PAEj

P jj = , 1,...,0 = mj ;

se aleg m vectori liniar independeni ,0k nP , mk ,...,1= care sunt

soluii ale ecuaiei ( ) 00 = PAEm

, se definesc

( ) kjkj PAEjP ,0

,

!

1 = , 1,...,0 = mj , mk ,...,1=

i se obin

( )

=

=

1

0

,m

j

jkj

xk xPex , mk ,...,1=

drept soluii liniar independente corespunztoare valorii proprii cuordinul de multiplicitate ( ) 1>= mm .

Pasul 5. Pentru ( )Aspi += , 0> pentru care ( ) 1>= mm se caut

0 1 1, ,...,n

mP P P astfel ca

( )

=

=

1

1

~m

j

jj

x xPex

s verifice identitatea ( ) ( )xAx = . De aici prin identificareacoeficienilor se obin relaiile

( ) 01 = mPAE , ( ) ( ) 11 ++= jj PjPAE , 0,...,2= mj care se scriu echivalent prin

( ) 00 = PAEm

, ( ) 0!1

PAEj

P jj = , 1,...,0 = mj ;

se alege o baz{ }mkP k ,...,1,,0 = pentru ( )mAEKer , se definesc

( ) kjkj PAEjP ,0

,

!

1 = , 1,...,0 = mj , mk ,...,1=


44/252

56

i se obin

( )

=

=

1

0

,Rem

j

jkj

xk xPex

( )

=

=

1

0

,Imm

j

jkj

xk xPex

drept soluii liniar independente corespunztoare valorilor proprii i

cu ordinul de multiplicitate ( ) ( ) 1>== mmm .Pasul 6. Se renumeroteaz cele n soluii obinute n paii precedeni

( ) ( ){ } { }nk mkA == ,...,,...,1,sp 1 care constituie un sistem fundamental de soluii pentru ecuaia (4.4.).Soluia general se scrie sub forma

( ) ( )=

=n

iii xcxy

1

.

IV.4. Proprieti ale zerourilor soluiilor sistemelor liniare

Vom considera n acest paragraf un sistem de forma011 =++ zbyay , 022 =++ zbyaz (4.19.)

unde ( )ICbbaa 2121 ,,, .

Teorema 9.Fie ( )tzy, o soluie nenula sistemului (4.19.).(i) Dac ( ) 01 xb , Ix , atunci zerourile lui y sunt simple i mulimea

lor este finit.(ii) Dac ( ) 02 xb , Ix , atunci zerourile lui z sunt simple i mulimea

lor este finit.Teorema 10 (M. Nicolescu). Fie [ ]baCba ii ,, i ( ) ( ) 021


45/252

57

V.1. Probleme la limit pentru ecuaii difereniale liniare

ncepem cu o problem la limit pentru o ecuaie liniar de ordinul doi. Fie( ) fryyqypyL =++= (5.1.)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1121112111 =+++= bybyayayyU ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2222122212 =+++= bybyayayyU

(5.2.)

unde [ ]baCfrqp ,,,, , , ,ij ij i i presupunem c rangul matricei

22212221

12111211

este doi, iar ( ) 0xp pentru [ ]bax , .Condiiile (5.2.) se numesc condiii la limite, iar problema determinrii

unei funcii [ ]baCy ,2 care verific ecuaia (5.1.) i condiiile la limite (5.2.) senumeteproblem la limite sauproblem Sturm-Liouville.

Dac 021 == condiiile la limite (5.2.) se numesc omogene iar dac nplus 0=f problema la limite se numete omogen.

Atam problemei (5.1.)-(5.2.) problema omogen corespunztoare

( )0=yL (5.3.)

( ) 01 =yU , ( ) 02 =yU (5.4.)Este uor de vzut c problema (5.1.)-(5.2.) are cel mult o soluie daci

numai dac problema omogen asociat (5.3.)-(5.4.) are numai soluia nul.Dac considerm aplicaiile

[ ] [ ]baCbaCL ,,: 2 ; ( )yLy [ ] RbaCU ,: 21 ; ( )yUy 1 [ ] RbaCU ,: 22 ; ( )yUy 2

atunci aceste aplicaii sunt liniare i mulimea soluiilor problemei (5.3.)-(5.4.) este( ) ( ) ( )21 KerKerKer UUL i prin urmare formeaz un subspaiu liniar al lui

[ ]baC ,2

. Unicitatea revine la faptul c ( ) ( ) ( ) { }0KerKerKer 21 =UUL .Cum ( )LKer este un spaiu liniar bidimensional, fiind format din

mulimea soluiilor unei ecuaii difereniale liniare de ordinul doi, orice( )Ly Ker se scrie sub forma 2211 yCyCy += , unde { }21 ,yy formeaz un

sistem fundamental de soluii pentru ecuaia (5.3.). Impunnd condiia ca y s

aparin lui ( ) ( )21 KerKer UU obinem sistemul( ) ( )( ) ( )

=+

=+

0

0

222121

212111

yUCyUC

yUCyUC


46/252

58

a crei rezolvabilitate este caracterizat de rangul matricei

( )( ) ( )( ) ( )

=

2212

2111

yUyU

yUyUyU

Dac { }21~,~ yy este un alt sistem fundamental de soluii i T este o

aplicaie liniar nesingular, atunci ( ) ( )yTUyU =~ i deci rangul lui U nudepinde de alegerea bazei lui ( )LKer . Din acest motiv rangul matricei U se

numete rangul problemei la limite.S trecem acum la studiul rezolvabilitii problemei la limite (5.1.)-(5.2.).Dac rangul problemei (5.1.)-(5.2.) este doi, atunci restricia lui L la

( ) ( )21 KerKer UU este injectivi deci putem s vorbim de inversa aplicaiei( ) ( ) [ ]baCUUL ,KerKer: 21

Vom construi pe 1L i vom vedea c 1L este un operator integral iarnucleul acestui operator se va numifuncia lui Green a problemei la limite date.

Funcia lui Green

Prin funcia lui Green a problemei (5.1.)-(5.2.) nelegem o funcie

[ ] [ ]: , ,G a b a b , ( ) ( )sxGsx ,, ce satisface urmtoarele condiii:(i) [ ] [ ]( )babaCG ,, ;(ii) Pentru orice [ ]bas , funcia ( )sxGx , este de clas 2C pe mulimea

[ ] { }sba \, i

( ) ( )( )sp

ssx

Gss

x

G 1,, =

+

;

(iii) Funcia ( )sxGx , este soluie a ecuaiei ( ) 0=yL pe mulimea[ ] { }sba \, i satisface condiiile liniare i omogene ( ) ( ) 021 == yUyU .Teorema 1.Dacproblema la limite omogende rang doi (5.3.)-(5.4.) are

numai soluia nul, adic ( ) ( ) ( ) { }0KerKerKer 21 =UUL , atunci funcia luiGreen existi este unic.

Teorema 2. Dac problema omogen are numai soluie nul , atunciproblema la limite

( ) fyL = (5.5.)( ) 01 =yU , ( ) 02 =yU (5.6.)

are o soluie i numai una pentru orice [ ]baf , . Mai mult, soluia este datde

( ) ( ) ( )=b

a

dssfsxGxy , (5.7.)

unde G este funcia lui Green a problemei (5.5.)-(5.6.).


47/252

59

Prin urmare, 1L , aplicaia invers a restriciei lui L la( ) ( )21 KerKer UU este [ ] [ ]baCbaCL ,,:

21 , fLf 1 i este definitprin

( )( ) ( ) ( )=b

a

dssfsxGxfL ,1 .

Remarc.Dacproblema omogende rangul doi are numai soluia nul,

atunci pentru orice [ ]baCf , , 1 2,

problema( ) fyL = , ( ) 11 =yU , ( ) 22 =yU are o soluie i numai una. Mai mult, soluia este datde

( ) ( ) ( ) ( )xgdssfsxGxyb

a

+= , , [ ]bax ,

unde G este funcia Green pentru problema (5.3.)-(5.4.) iar este un element din

( )LKer care verificcondiiile ( ) 11 =gU , ( ) 22 =gU .Dac 1y i 2y este un sistem fundamental de soluii pentru ecuaia

( ) 0=yL , atunci orice element din ( )LKer este de forma 2211 yCyCy += .Condiiile la capete devin

( ) ( ) 1212111 =+ yUCyUC , ( ) ( ) 2222121 =+ yUCyUC .Deoarece problema la limit este de rangul doi matricea

( )( ) ( )( ) ( )

=

2212

2111

yUyU

yUyUyU

este nesingulari deci se poate determina n mod unic 1C i 2C din sistemul demai sus.

Probleme la limit pentru ecuaii difereniale liniare de ordin n

Rezultatele prezentate anterior se pot extinde la orice ecuaie diferenial

liniar de ordin 2>n ; astfel, dacL este operatorul diferenial( ) ( ) ( )

=

=n

j

jj yxayL

0

: (5.8.)

condiiile la limit vor fi de forma( ) =yU (5.9.)

unde ( ) ( ) ( )[ ]tm yUyUyU ,...,1= iar

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]

=

+=1

0

n

k

kjk

kjkj byayyU , mj ,...,1=

unde m este rangul matricei ( )kjjkjk ,

, i ( )tm= ,...,1 .


48/252

60

Se pot determina uor condiiile de compatibilitate a problemei la limite( ) fyL = , m

dac se cunoate soluia general a ecuaiei ( ) fyL = ; scriind

=

+=n

jjj yyCy

1

~

vor trebui determinate constantele nCC ,...,1 pentru a se verifica condiiile la limit

( ) =yU , ceea ce este echivalent cu rezolvarea sistemului liniar( ) ( ) =+

=

yUUCn

jjj

~1

format cu m ecuaii cu n necunoscute. Acest sistem va fi compatibil dac( ) ( )

( ) ( )

nmm

n

yUyU

yUyU

1

111

,

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

mmnmm

n

yUyUyU

yUyUyU

~

~

1

11111

au acelai rang; dac r este acest rang, atunci problema la limit omogen( ) 0=yL , ( ) 0=yU

admite exact rn soluii liniar independente.Problema la limit omogen va avea mereu soluii nenule dac nm < ;dac nm = vor exista soluii nenule numai dac matricea ( ))kj yU este singular,iar dac nm > , n general nu sunt soluii nenule.

n particular, n cazul mn = are loc urmtoarea alternativ: dacproblema la limitomogenadmite numai soluia nul, atunci problema la limitneomogenadmite numai o singursoluie.

Soluii fundamentale i funcii Green

Propoziia 1.DacL este un operator difereniar liniar definit prin

( ) ( )( )

==n

j

j

j yxayL 1

unde [ ]baCaj , , ( ) 0xan [ ]bax , iar nyy ,...,1 este un sistem

fundamental de soluii pentru ecuaia ( ) 0=yL , atunci funcia

[ ] [ ]: , ,k a b a b definitprin


49/252

61

( )( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )xyxy

sysy

sysy

sysy

swsa

sxsxk

n

nn

n

n

n

n

1

221

1

1

2

sgn,

=

unde ( ) 1sgn =sx dac sx > , ( ) 1sgn =sx dac s< iar w estewronskianul soluiilor nyy ,...,1 , are urmtoarele proprieti:

(i) n fiecare din triunghiurile bsxa


50/252

62

V.2. Probleme la limite neliniare

n acest paragraf ne propunem s studiem rezolvabilitatea unor probleme lalimit neliniare. Considerm pentru nceput problema local

( )yxfy ,= (5.11.)( ) =ay , ( ) =by (5.12.)

unde [ ]( ), ,n nf C a b .

Presupunem c [ ]( )2 , , nC a b este soluie a problemei(5.11.)-(5.12.), adic

( ) ( )( )xxfx = , , [ ]bax , (5.13.)( ) = a , ( ) = b (5.14.)

Considerm urmtoarea problem bilocal( )( )xxfy = , (5.15.)

( ) =ay , ( ) =by (5.16.)Aceast problem are soluie unici anume

( ) ( ) ( )( )

+

+=

ab

ax

ab

xbdsssfsxGxy

b

a

,, (5.17.)

unde

( )

( )( )

( )( )

=

xsdac

xsdac

,

ab

sbaxab

xbas

sxG (5.18.)

Dar funcia este soluie a problemei (5.13.)-(5.14.), deci y definit de(5.17.) este egal cu . n acest mod am artat c y este soluie a ecuaieiintegrale Fredholm

( ) ( ) ( )( )

+

+= abax

ab

xbdssysfsxGxy

b

a,, (5.19.)

Cum i reciproca este adevrat, are loc urmtorul rezultatPropoziia 2.Problema bilocal(5.11.)-(5.12.) este echivalentcu ecuaia

integral(5.19.).Dac n locul condiiilor la limit (5.12.) considerm condiiile la limit

( ) 11 =yU , ( ) 22 =yU (5.20.)unde

( ) ( ) ( ) ( ) ( )bybyayayyU iiiii +++= 2121 , 2,1=i atunci avem urmtorul rezultat.


51/252

63

Propoziia 3.Dacproblema la limitare rangul doi, iar G este funcialui Green pentru problema la limit

fy = , ( ) 01 =yU , ( ) 02 =yU ,atunci problema bilocal(5.11.)-(5.12.) este echivalentcu ecuaia integral

( ) ( ) ( )( ) ( )xhdssysfsxGxyb

a

+= ,, (5.21.)

unde h este o soluie a problemeify = , ( ) 11 =yU , ( ) 22 =yU .

De asemenea are loc urmtorul rezultat.Propoziia 4.Dacproblema

gy = , ( ) 01 =yU , ( ) 02 =yU (5.22.)

are soluie unicpentru [ ]( ), , ng C a b , soluie ce se reprezintsub forma

( ) ( ) ( )=b

a

dssgsxGxy , ,

atunci problema bilocal( )yyxfy = ,, , ( ) 01 =yU , ( ) 02 =yU

este echivalentcu ecuaia integrodiferenial

( ) ( ) ( ) ( )( ) =b

a

dssysysfsxGxy ,,, (5.23.)

Sisteme integrale de tip Fredholm

Anterior am vzut c o problem la limit este echivalent cu o ecuaieintegral de tip Fredholm. Acesta este motivul pentru care ne ocupm de studiulacestor tipuri de ecuaii integrale.

Considerm urmtorul sistem de ecuaii de tip Fredholm

( ) ( )( ) ( )xgdssysxKxy

b

a += ,, , [ ]bax , (5.24.)unde

[ ] [ ]( ), , , nK C a b a b J , [ ]( ), , ng C a b , nJ .Relativ la sistemul (5.24.) avem urmtorul rezultat de existeni unicitate.Teorema 4.Presupunem c

(i) [ ] [ ]( ), , ,n nK C a b a b i [ ]( ), , ng C a b ;(ii) exist 0>KL astfel nct

( ) ( ), , , , nn KK x s u K x s v L u v

pentru orice [ ]basx ,, i , nu v ;


52/252

64

(iii) ( ) 1KL astfel nct

( ) ( ), , , , nn KK x s u K x s v L u v

pentru orice [ ]basx ,, i orice Jvu , ;(iii) ( ) rabMK , unde numerele KM i r sunt astfel nct

( ) KnR MusxK ,, , [ ]basx ,, , Ju i

( ) [ ]( ){ }, , , ny B g r f C a b f g r = implic ( ) Jxy pentru orice [ ]bax , ;

(iv) ( ) 1


53/252

65

n aceste condiii, dac *z este o soluie a sistemului (5.25.), atunci( )

( )abLab

zyK

+

121** (5.26.)

S aplicm rezultatele de mai sus pentru existena i unicitatea soluieibilocale (5.11.)-(5.12.). Dup cum am vzut aceast problem este echivalent cu oecuaie integral de forma

( ) ( ) ( )( ) ( )xgdssysfsxGxy

b

a += ,, (5.27.)unde G este funcia lui Green pentru problema ( ) 0=yL , ( ) 0=yU , iarg este osoluie a problemei bilocale ( ) 0=yL , ( ) =yU .

Se observ cu uurin c dac f este o funcie Lipschitz n raport cu y ,

atunci i funcia Gf este Lipschitz n raport cu y . Vom nota cu GfL o constant

Lipschitz pentru operatorul Gf . Aplicnd pentru ecuaia (5.27.) teoremele deexisteni unicitate stabilite mai sus, obinem urmtoarele rezultate.

Teorema 7.Presupunem c

(i) [ ]( ), ,n nf C a b ;

(ii) f este Lipschitz n raport cu al doilea argument, adic( ) ( ) vuLvxfuxf f ,, , ,

nu v ;

(iii) ( ) 1


54/252

66

n condiii de continuitate asupra lui problema (5.28.)-(5.29.) esteechivalent cu ecuaia integral

( ) ( ) ( )( )=b

a

dsszsgsxGxz ,,

Din teorema de dependen obinem urmtorul rezultat.Teorema 9.Presupunem c:

(i) problema bilocal ( )yxfy ,= , ( ) 0=ay , ( ) 0=by satisface condiiiledin teorema 4 i notm cu *y unica soluie a acestei probleme;

(ii) [ ]( ), ,n ng C a b ;(iii) ( ) ( ) ( )


55/252

67

LIMBAJE FORMALE I AUTOMATE

Prof. univ. dr. GRIGORE ALBEANU

I. LIMBAJE

I.1.Alfabet. Cuvnt. Limbaj

Definiie.Unalfabet(vocabular) este o mulime finiti nevidale creielemente sunt numitesimboluri(litere).

Notaie. Alfabetele (vocabularele) se vor nota prin semne precum: V, VN,VT, etc.

Definiie.Fie = {a1, a2 , ..., an } un alfabet(n 1). Orice secvenx = ai1ai2...air, aij, 1 jr, se numete cuvnt (ir, fraz) peste . Lungimeacuvntului x se noteaz cu |x| i este egal cu r. Convenim s considerm i

cuvntul ,,format cu zero simboluri pe care-l notm cu pe care-l numim

cuvntul vidsauirul nul.Notaie. Mulimea tuturor cuvintelor peste se noteaz cu *, iar

mulimea tuturor cuvintelor nenule, *-{}, se noteaz cu +.Observaie. Mulimea * este monoid n raport cu operaia de

concatenare a cuvintelor definit prinxy = ai1ai2...airaj1aj2...ajs,

undex = ai1ai2...air, y = aj1aj2...,ajs, aip (1pr), ajq (1qr),

deoarece operaia de concatenare este asociativ, iar este element neutru.Observaie. Dac0 = {}, 2 = (mulimea cuvintelor de lungime 2),

3 = 2 (mulimea cuvintelor de lungime 3), n = n-1 (mulimea cuvintelor delungime n; n>1), atunci

a) * = 0

k

k ;

b) + = 1

k

k .

Definiie.Orice submulime L * se numete limbajpeste .

I.2.Operaii cu limbaje

Limbajele fiind mulimi, operaiile obinuite ale teoriei mulimiloracioneaz i asupra limbajelor. Pentru alfabetul fixat, au sens reuniunea,intersecia, complementara (fa de *) i diferena limbajelor. Aceste operaii vor

fi notate, n mod uzual, prin , , C i -.


56/252

68

Definiie.Fie L1 (peste1) i L2 (peste2), limbaje. AtunciL1L2 = {uv| u L1, v L2 }

se numeteconcatenareasauprodusullimbajelorL1i L2.Observaie

L{}={}L=L;L = L = ,

pentru oricare limbaj L, unde este limbajul vid.Definiie.Fie L *.nchiderea Kleene a limbajului L este limbajul

L* = 0k

kL ,

undeL0 = {}, Ln+1 = Ln L, n0.

Notaie. L+ = 1k

kL .

Observaie. Dac L este un limbaj -liber (nu conine cuvntul vid), atunciL+ = L* - {}.

Definiie. Fie irurile x, y * i x = ai1ai2...air. Dac exist u, v *astfel nct y = uxv, spunem c x este subcuvnt(subir) al lui y. Dac existv * astfel ncty = xv, atunci x esteprefixal lui y, iar dacexistu * astfel

ncty = ux, atunci x estesufixal lui y. irulrsturnat(x) = air...ai2ai1se numetersturnatul(oglinditul) lui x.Notaie. Pentru un ir y *, notm prin Sub(y), Pref(y), Suf(y) mulimea

subcuvintelor, prefixelori, respectiv, a sufixelor cuvntului y.Definiie.Fie L *.Atunci

Sub(L) = Lx

x

)(Sub ; Pref(L) = Lx

x

)(Pref ; Suf(L) = Lx

x

)(Suf .

Observaie. n mod similar, se poate defini rsturnatul (oglinditul)limbajului L.

Definiie. Fie ansamblul(U, V, s), unde U, V sunt vocabulare, iars : V P(U*) este o aplicaie oarecare. Aplicaia s extinsla V*prin

s()={}, s(xy)=s(x)s(y), x, y V*,

iar apoi la limbaje, se numetesubstituie.Dac s(a) este o mulime finit, pentru orice a V, atunci s se numete

substituie finit, iar dac s(a) are exact un element pentru fiecare a din V, atunci seste un homomorfismi scriem s(a) = x, n loc de s(a) = {x}. Dac s(a) nu coninecuvntul vid, pentru orice a din v, atunci s este substituie -liber, sauhomomorfism-liber(cnd este cazul).

Exemplu [Definirea inductiv a limbajelor]: Fie = {a, b}. Definim,recursiv, limbajul L * prin urmtoarele reguli:

1) L;2) Dac xL atunci axb L;3) Orice cuvnt din L se obine prin aplicarea regulilor anterioare de un

numr finit de ori.


57/252

69

Se poate arta c L = {anbn| n0}.Teorema 1 [Levi]. Fie un alfabeti x, y, u, v *.Dacxy = uv, atunci

a) |x| > |u| existw*, x = uw i v = wy; b) |x| = |u| x = u i y =v;c) |x| < |v| existw*, u = xw i y = wv.

Propoziia 1 [* este mulime numrabil]. Daceste alfabet, atunci* este mulime numrabil.

I.3. Expresii regulate

Definiie.Fie un alfabet. Mulimea expresiilor regulate peste este(prin definire recursiv) compusastfel:a) este o expresie regulat;b) este o expresie regulat;c) a este o expresie regulatpentru oricare a ;d) dac r i s sunt expresii regulate, atunci (r+s), (rs) i (r*) sunt expresii

regulate;e) singurele expresii regulate sunt cele obinute prin regulile 1-4.

Definiie.Fie r o expresie regulat peste alfabetul . Limbajul L(r),desemnat de expresia r, este obinut astfel:

1) L() = ; L()={}, L(a) = {a};2) L(r+s)=L(r)L(s); L(rs)=L(r)L(s); L(r*) =(L(r))*,se numete limbajul expresiei regulate r.

Observaie. Dac presupunem c ordinea operaiilor (pe baza prioritii deaplicare) este *, ., + atunci se poate renuna la paranteze.

Definiie. Limbajul asociat unei expresii regulate se numete limbajregulat.

II. AUTOMATE FINITE

II.1. Automatul finit determinist (AFD)

Definiie. Un AFD (automat finit determinist) este o structurM = (Q, , , q0, F) unde:Q o mulime finiti nevidde elemente numite stri; - un alfabet de intrare;:QxQ este o funcie parial (parial definit), numitfuncie de

tranziie;q0 Q este starea iniiala automatului M;F Q o mulime nevid, numitmulimea strilor finale.


58/252

70

Observaie. Unui AFD i se poate asocia un digraf (o diagram detranziie) astfel:

- nodurile digrafului sunt strile automatului (corespund elementelormulimii Q);

- dac(q, a) = p atunci, n digraf, exist un arc de la nodul q la nodul p,etichetat cu simbolul a;

- digraful nu conine alte noduri i alte arce n afara celor specificate maisus.

Pentru a citi uor o diagram de tranziie, se accept marcarea, n moddiferit, a strii iniiale i a strilor finale.Definiie.Numimextinderea funciei funcia^:Qx*Q definitprin

^(q,)=q; ^(q,a)= (q,a), pentru oricare a ; ^(q, wa)= (^(q,w), a), pentruoricare a i w*. Deoarece^(q,a)= (q,a), pentru oricare a se noteaz^ tot cu,frnici o confuzie.

Propoziia 1.(q, uv)= ((q,u), v),pentru oricare u, v *.Definiie.Fie M =(Q, , , q0, F) un AFD.Limbajul acceptatde M, notat

L(M), este:L(M) = {u | u *, (q0, u) F}.

II.2.Automatul finit nedeterminist (AFN)

Definiie. Un AFN (automat finit nedeterminist) este o structurN = (Q, , , q0, F), unde Q, , q0i F au aceeai semnificaie din definia 2.1., iar:QxP(Q), mulimea submulimilor lui Q.

Observaie.Diagrama de tranziie (digraful asociat automatului) se obineca n observaia anterioar.

Definiie.Numimextinderea funciei de tranziiefuncia^:Qx*P(Q)definitastfel:

^(q,)={q}; ^(q, wa)={p|exist r^(q,w), p(r,a)}.Dacw=, obinem^(q, a)= (q,a), oricare a . Astfel, se noteaz^ tot cu,frnici o confuzie.

Observaie.(,u)=;

(P,u)=Pq

uq

),( , oricare PQ, P.

Definiie.Fie N un sistem AFN.Limbajul acceptatde N este:L(N) = {w | w *. (q0, w)F}.

II.3. Puterea de acceptare a sistemelor AFD i AFN

Propoziia 2.Orice limbaj acceptat de un AFD este acceptat de un AFN.Propoziia 3.Fie L un limbaj acceptat de un AFN.Atunci existun AFD,

notat cu M, astfel nctL(M) = L.


59/252

71

Teorema 1. Automatele finite nedeterministe au aceeai putere deacceptare ca automatele finite determinste. Sistemele AFNi AFDsunt echivalentedin punctul de vedere al clasei limbajelor acceptate.

II.4. Sistemele AFN i expresiile regulate

Propoziia 4.Fie r o expresie regulat. Atunci exist un AFN carerecunoate limbajulL(r).

Propoziia 5.DacL este un limbaj acceptat de un AFD, atunci L este o

mulime regulat.Teorema 2.Un limbaj este regulat daci numai daceste recunoscut de

un AFN (decii de un AFD).Teorema 3 [Kleene]. Familia limbajelor regulate este cea mai mic

familie de limbaje care conine limbajele finite i este nchis la reuniune, produs(concatenare) i la operaia * (nchiderea Kleene).

II.5. Minimizarea automatelor finite

Teorema 4[Myhill-Nerode].Fie L* un limbaj. Urmtoarele afirmaiisunt echivalente:1) L este un limbaj regulat;

2) L este reuniunea unor clase de echivalenale unei congruene drepte de rangfinit;

3) RelaiaL*x* definitprin:u L v daci numai dacoricare w * astfel nctuw L vw Leste o congruendreaptde rang finit.

Demonstraie1 2. Dac L este limbaj regulat, atunci exist un AFD M = (Q, , , q0, F) astfelnct L(M)=L. Relaia M *x* definit prin u M v dac i numai dac(q0,u) = (q0, v) este o relaie de echivalen, chiar o congruen dreapt de rangfint (u M v i w * uw M vw) ale crei clase de echivalen sunt n numr celmult egal cu numrul strilor automatului M. Deducem c L este reuniunea claselor

de echivalen corespunztoare strilor finale ale automatului M.2 3. Se verific uor cL este o congruen dreapt de rang finit.3 1. Se construiete automatul M = (Q, , , q0, F), unde Q este mulimea(finit) a claselor de echivalen a relaiei L, q0 este clasa de echivalen acuvntului vid , F este mulimea claselor de echivalen a cuvintelor limbajuluiL, iar este definit astfel. Fie [w] clasa de echivalen a cuvntului w. Atunci,orice [w] Q i orice a , ([w],a)= [wa] (definire consistent).

Fie w *. Atunci w L(M) daci numai dac(q0, w) F dacinumai dac([], w) F daci numai dac [w] F daci numai dac w L.Deci L(M)=L.


60/252

72

Teorema 5.AutomatulM construit anterior(

ecuatii_diferentiale

Documents