Clasaa 9-a - 1 - Ecuatia de gradul doi-functia de grad doi Ecuatiade graduldoi .Formagenerala:- Ecuatia de gradul al doilea este ecuatia :0 2 + +c bx ax

unde : a , b , ccoeficienti a , b , c R a 0 Discriminantul ecuatiei: - Discriminantul ecuatiei de gradul al doilea este expresia : - 42c a b RadacinasauSolutiea ecuatiei: - Numarul se numesteradacinasausolutiea ecuatieidaca este adevarata propozitia:0 2 + +c b a Radacinile ecuatiei de grad doi:Ecuatia de gradul doi Functia de gradul doiClasaa 9-a - 2 - Ecuatia de gradul doi-functia de grad doi - Discutiedupadiscriminantul ecuatiei: 1).Daca >0 ecuatiaaresolutiirealex1 , x2 R cu proprietatea ca: x1 x2 2

1abx + 2 2abx 2). Daca =0 ecuatiaaresolutiirealex1 , x2 R cu proprietateaca : x1 = x2 2 2 1abx x ss 3). Daca 0 , 2- abxse numeste punct de minimal functiei .- Daca a0functia f are minim . Minimuleste :Ecuatia de gradul doi Functia de gradul doiClasaa 9-a - 6 - Ecuatia de gradul doi-functia de grad doi 4

a adica

,_

2

abf4

a - Daca a +0 7 5 0 7 2 x xx x

b). '>< + 0 - - 0 - 3 21222x xx x c). ( )' +

10032 2322xxx d). ' +>122 3 - - 22x xx x e).- 18 25 8 52< + 0 - - 0 6 - 5 - 1 2 4 32x xxx x j). ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )' ++ + + 0 - 3 2 3 2 2 1 3 1 2 32x xx x x xx x x x k). '+xx

6). 9 3 - -2++x xx x 10). xxx x23- -122

11). 0 6 5 -2> xx

12).0 10 - 3 22 + + xx

13).2-36 52+x xx

14). 0 243> ++xx

15). 8 - -9 12 2< +x x

16).( ) 0 2 - 3 - 32< x x 17). 33 42+ > + + xx x 18). 3 3 - -3 22 < xx x

19). 0 1 2 -32 + + xx 20). x x x x2 2- -2 2 3 +

21). 0 2 3 -2 2 + +x x x 22). 2 7 3 10 2 2+ + + +x x x x 23). 9 15 7 -2< +x x

24). 1 1 2 6 -2 +x x

25). 6 5 -2+xx 27). 21 - x2 - 3x + m x mmx sa nu aiba nici o solutie .Exercitiu:Sa se determine valorile luimastfel incat ecuatia:( ) ( )0 6 74 3 2 3- -2 + mx m x m

sa aiba radacini reale . Exercitiu: Fie fractia E =( )

2221m x xmx mx+ ++ + + +.Sa se determine m astfel incat fractiaEsa aiba senssisa fie pozitiva pentru oricex R. Exercitiu:Sa se determine parametrulm Rastfel incat intre radacinile ecuatiilor urmatoare sa existe relatia scrisa in dreptul fiecareia: a). ( )0 5 21 2 + + +mxx m 2 -2 1x x b). ( ) ( )0 35 3 2 2 + + x m x m x x2 1

c). ( )01-2 2 + mx mxx x2 12

d). ( )0 13 2 + + + +m mxx m x x2 13 e). ( )0 533

2 + + + mx mx

38

2221 +x x Ecuatia de gradul doi Functia de gradul doiClasaa 9-a - 13 - Ecuatia de gradul doi-functia de grad doi f). ( ) ( )0 37 5- -2 + + +mx m x m x x x x2 1 2 1+

g). ( )0 11- -2 + mx mmx 4 3231 +x x

h). ( ) ( )01 22

22 + + + mmmxx 21

12 1 +x x Exercitiu: Determinati valorile luim R, pt. care ecuatia :1). ( ) ( )0 6 74 3 2 3- -2 + mx m x mare doua radacini reale ; 2). ( ) ( )0 6 53 2 2 2-2 + + mx m x m nu are radacini reale. Exercitiu:Determinati valorile luim R, pt. care ecuatia : ( ) ( )0 -33 2 1 22 + mx m x mare cel putin o radacina reala .Exercitiu:Aflati valorile parametrului real m pentru care :1). ( ) R ,-0 112 < + + xmx mmx

2). ( ) ( ) R, -0 6 53 2 2 22 > + + xmx m x m 3). R ,2 -- 31222 ++ xx xmx x

Exercitiu:Determinati mR astfel incat:1). R, 5

2 24 322 + + x x m mxx m 2).( ) ( )si , ,2 1 2 120 0 0 31 3 1 2x x x x mx m x m > < > + + + + + Exercitiu:Determinati valorile parametrului mR pentru care radacinile urmatoarelor ecuatii indeplinesc conditiile indicate :1).( ) ( )x x mx m x m2 12, -0 0 6 21 2 1 < < + + + 2).( )x x x x mx mmx2 1 2 12si , , -0 0 0 21 2 > > < + + +3).( )x x x x mx mx2 1 2 12si , , -0 0 0 51 2 < > < + + Ecuatia de gradul doi Functia de gradul doi