ecuatia caldurii la proiect

7/22/2019 Ecuatia Caldurii La Proiect

1/33

ECUATIA CALDURII

O forma a ecuatiei Poissonindicatii pentru proiect


2/33

preliminarii

Ecuatiile elementelor

Asamblarea problemei

Conditiile la limita

Solutia

Post-procesare


3/33

preliminarii


Alegerea cea mai simpla

Polinomul de gradul 1:

Alegerea alternativa

Polinom de gradul 2 sau 3


4/33

preliminarii

Fie u1, u2 valorile functiei in capetele elementului

Impunand conditiile

u(x1)=u1

u(x2)=u2

... se determina constantele a0

si a1


5/33

preliminarii


Valorile constantelor a

... cu solutiile


6/33

preliminarii

Notam functiile de interpolare N1 si N2

Atentie ! N1 si N2 sunt functii de x !


7/33

preliminarii

Functia de aproximare:

... Functia de aproximare este o functie de

variabila x prin intermediul functiilor N1 si N2 !


8/33

preliminarii

Asa arata functiile de x implicate in aproximare

Nod 1

Nod 2


9/33

functia

Determinarea functiei care descrie functionareaelementului

Urmatorul pas: obtinerea unei potriviri optime

Metoda directa

Metoda reziduurilor ponderate

Metoda variationala


10/33

Functia-un exemplu

Fie ecuatia diferentiala care descrie propagarea

caldurii cu solutia T(x,t) (x-distanta, t-timpul)

...cu valorile limita T(0,t)=T1; T(L,t)=T2


11/33

Functia-un exemplu

Enuntul problemei:

Gasiti solutia ecuatiei prin exacta si apoi prin metoda

elementului finit in cazul propagarii caldurii printr-o

bara de lungime 10 cm. Cu temperaturile la capeteT(0,t)=40 si T(10,t)=200 in cazul unei surse de

caldura uniforme f(x) = 10


12/33

Functia-un exemplu

Ecuatia de rezolvat

Solutia exacta


13/33

Functia-un exemplu

Rezolvare cu MEF

Functia de aproximare

Nod 1

Nod 2


14/33

Functia-un exemplu

Metoda directa (pentru f(x)=0)

Se foloseste relatia dintre fluxul de caldura si

gradientul de caldura data de legea lui Fourier

... unde q=fluxul de caldura iar k=coeficientul

conductivitatii termale


15/33

Functia-un exemplu

Propagarea caldurii presupune conditiile initiale

Legatura cu valorile distantei


16/33

Functia-un exemplu

... scrisa sub forma matriceala


17/33

Functia-un exemplu

Metoda reziduurilor ponderate

Presupune ca ecuatia nu are solutie exacta

... In partea stanga aparand un termen R (reziduu) in locde zero


18/33

Functia-un exemplu

Metoda reziduurilor ponderate cere gasirea unui

minim pentru valorile reziduale conform relatiei

... unde D este domeniul iar W sunt functii pondere

liniar independente


19/33

Functia-un exemplu

Functiile pondere pot fi valorile Ni calculate

anterior (functiile de interpolare)


20/33

Functia-un exemplu

Pentru bara unidimensionala din problema se obtine

...care se poate rescrie


21/33

Functia-un exemplu

Formula anterioara se prelucreaza astfel (prin

integrare prin parti)

...si prin calcularea termenilor individuali


22/33

Functia-un exemplu

Cu valorile individuale N1(x2)=0 si N1(x1)=1 se

poate scrie


23/33

Functia-un exemplu

Se introduc valorile anterioare in ecuatia initiala si

avem pentru i=1

... si i=2


24/33

Functia-un exemplu

Integrand prin parti am obtinut

Introducerea conditiilor de frontiera

Se micsoreaza gradul ecuatiei de la 2 la 1

Se poate observa semnificatia fizica a termenilor care

apar


25/33

Functia-un exemplu

Sa calculam efectiv termenii

Pentru i=1 avem

... Cu solutia


26/33

Functia-un exemplu

... Si pentru i=2


27/33

Functia-un exemplu

Matriceal relatia precedenta se poate scrie


28/33

Functia-un exemplu

Pentru forma generala se obtine


29/33

Functia-un exemplu

Asamblarea problemei

1. Alocarea nodurilor

elementul Nod local Nod global

1 1 1

2 2

2 1 2

2 3

3 1 3

2 4

4 1 4

2 5


30/33

Functia-un exemplu

Cum se reflecta in matrice


31/33

Functia-un exemplu

Ca sitem de ecuatii.... Cu T1 si T5 cunoscute


32/33

Functia-un exemplu

Obtinem solutia


33/33

Tema pentru proiect

Scrieti o aplicatie MathCad care sa implementeze

algoritmul prezentat si care sa puna in evidenta

elementele esentiale care pot fi selectate de catre

utilizator.

ecuatia caldurii la proiect

Documents