Ministerul Educaiei i Cercetrii tiinifice Centrul Naional de Evaluare i Examinare

Prob scris la matematic M_t-nat Varianta 9 Filiera teoretic, profilul real, specializarea tiine ale naturii

Pagina 1 din 1

Examenul de bacalaureat naional 2015 Proba E. c)

Matematic M_t-nat Varianta 9

Filiera teoretic, profilul real, specializarea tiine ale naturii Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord 10 puncte din oficiu. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore.

SUBIECTUL I (30 de puncte) 5p 1. Calculai raia progresiei aritmetice ( ) 1n na , tiind c 3 6a = i 4 8a = . 5p 2. Determinai valoarea minim a funciei :f , ( ) 2 9f x x= . 5p 3. Rezolvai n mulimea numerelor reale ecuaia 2 3 1x x+ = + .

5p 4. Determinai numrul submulimilor cu dou elemente ale mulimii { }1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 . 5p 5. n reperul cartezian xOy se consider punctele ( )2,1A i ( )0,3B . Determinai ecuaia dreptei AB . 5p 6. Calculai lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC n care 8AB = i 6C

pi= .

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consider matricele 1 23 4

A =

i ( ) 23 6x

B x

=

, unde x este numr real.

5p a) Artai c det 2A = .

5p b) Rezolvai n mulimea numerelor reale ecuaia ( )( )2det 8B x I+ = , unde 2 1 00 1I

=

.

5p c) Determinai numrul real x pentru care ( ) ( )A B x B x A = . 2. Pe mulimea numerelor reale se definete legea de compoziie asociativ 7 7 56x y xy x y = + .

5p a) Artai c ( )7 7 7 = . 5p b) Artai c ( )( )7 7 7x y x y = + , pentru orice numere reale x i y . 5p c) Calculai 1 2 3 2015 .

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte) 1. Se consider funcia ( ): 0,f + , ( ) lnxf x e x x= + .

5p a) Artai c ( ) ( )1

1lim

1xf x f

ex

=

.

5p b) Determinai ecuaia tangentei la graficul funciei f n punctul de abscis 1x = , situat pe graficul funciei f .

5p c) Artai c funcia f este convex pe intervalul ( )0,+ .

2. Se consider funcia ( ): 1,f + , ( ) 11

f xx

=

+.

5p a) Artai c ( )1

0

1 32

dxf x = .

5p b) Artai c ( )1

2

0

1 ln 22

x f x dx = + .

5p c) Determinai volumul corpului obinut prin rotaia n jurul axei Ox a graficului funciei [ ]: 0,1g , ( ) ( )g x f x= .