2. Testarea ipotezelor statistice (testul Z i Student)TESTAREA IPOTEZELOR STATISTICE

Testul ZTestul Student (t)

3. Testarea ipotezelor statistice privind eantioanele de volum mare

2. Testarea ipotezelor statistice (testul Z i Student)

*Testarea ipotezelor statistice

Structura cursului 2:

1. Repartiia normal normat (Z)2. Testarea ipotezelor statistice privind media populaiei generale pentru eantioane de volum mare3. Considerente teoretico-metodologice privind Repartiia Student (t)4. Testarea ipotezelor statistice privind media populaiei generale pentru eantioane de volum mic

2. Testarea ipotezelor statistice (testul Z i Student)

2. Testarea ipotezelor statistice (testul Z i Student)*1. Repartiia normal normat (Z)Este ntlnit i sub denumirea de repartiie normal standard sau repartiie normal redusVariabila aleatoare are o repartiie normal normat cu media zero i dispersia egal cu 1 avnd funcia de repartiie Graficul funciei de repartiie normal normat

Graficul repartiiei normale este simetric fa de axa ordonatelor yy, iar valoarea maxim este atins n punctul f(0)=0,398904. Punctele de inflexiune sunt z = -1 i z = +1.

2. Testarea ipotezelor statistice (testul Z i Student)

2. Testarea ipotezelor statistice (testul Z i Student)*1. Repartiia normal normat (Z) continuare 1Funcia de repartiie a variabilei aleatoare normal normat este:

Deoarece curba este simetric, deci F (0) = 0,5, din definiia funciei repartiiei avem:

Important din punct de vedere aplicativ este i funcia

cu graficul:

2. Testarea ipotezelor statistice (testul Z i Student)

2. Testarea ipotezelor statistice (testul Z i Student)*1. Repartiia normal normat (Z) continuare 2Valorile funciilor de repartiie i sunt tabelate.

fundamentul formrii repartiiei normale reduse (normat) este reprezentat de proprietatea repartiiei normale prin transformarea de variabil definit

Se aplic pentru eantioane de volum mare:

Elemente de baz utilizate n testri: este parametrul estimator al mediei colectivitii este medie ipotetic sau presupus la nivelul colectivitii este eroarea medie de selecie

2. Testarea ipotezelor statistice (testul Z i Student)

2. Testarea ipotezelor statistice (testul Z i Student)*2. Testarea ipotezelor statistice privind media populaiei generale pentru eantioane de volum mare (1)Elementele teoretice ale testului unilateral stngaStatistica testuluiIpotezele:NulAlternativ Regiunea de respingere:Dacatuncise respinge

2. Testarea ipotezelor statistice (testul Z i Student)

3. Testarea ipotezelor statistice privind eantioanele de volum mare*2. Testarea ipotezelor statistice privind media populaiei generale pentru eantioane de volum mare (2)Elementele teoretice ale testului bilateralStatistica testuluiIpotezele:NulAlternativ Regiunea de respingere:Dacatuncise respingese respingese respingesau

3. Testarea ipotezelor statistice privind eantioanele de volum mare

3. Testarea ipotezelor statistice privind eantioanele de volum mare*2. Testarea ipotezelor statistice privind media populaiei generale pentru eantioane de volum mare (3)Elementele teoretice ale testului unilateral dreaptaStatistica testuluiIpotezele:NulAlternativ Regiunea de respingere:Dacatuncise respinge

3. Testarea ipotezelor statistice privind eantioanele de volum mare

3. Testarea ipotezelor statistice privind eantioanele de volum mare*2. Testarea ipotezelor statistice privind media populaiei generale pentru eantioane de volum mare (EXEMPLU)Patronul unui restaurant dorete s fluidizeze activitile de servire. n prezent se presupune c timpul de servire este normal distribuit de medie 130 minute i abaterea medie ptratic de 15 minute. Se dorete s se verifice dac timpul mediu de servire difer de 130 minute.Pentru aceasta nregistreaz timpii de servire pentru un eantion de 100 clieni. Timpul mediu obinut este 120 minute. Patronul alege ca nivel de ncredere probabilitatea de 99%.

3. Testarea ipotezelor statistice privind eantioanele de volum mare

3. Testarea ipotezelor statistice privind eantioanele de volum mare*2. Testarea ipotezelor statistice privind media populaiei generale pentru eantioane de volum mare(EXEMPLU- continuare 1)Rezolvare:E1 Ipoteza nulE2 Ipoteza alternativ

E.3 - tipul testului: deoarece , i utilizm test Z bilateral; se ncepe construirea graficului

E.4 n funcie de nivelul de ncredere al testului statistic

i se stabilete :Z tabelar (teoretic) , iar valorile se trec pe graficRegiunea de respingere (critic): dac

atunci ipoteza nul se respinge

3. Testarea ipotezelor statistice privind eantioanele de volum mare

3. Testarea ipotezelor statistice privind eantioanele de volum mare*2. Testarea ipotezelor statistice privind media populaiei generale pentru eantioane de volum mare(EXEMPLU- continuare 2)Se determin astfel:

se scade din 0,5

se caut valoarea 0,495 ntre valorile tabelate ale funciei integrale a lui Laplace i (eventual prin interpolare) se determin valoarea cutat

z0,00....0,070,080,09...................2,40,4918...0,49320,49340,49362,50,4938...0,49490,49510,49522,60.4953...0,49620,49630,4964..................

3. Testarea ipotezelor statistice privind eantioanele de volum mare

2. Testarea ipotezelor statistice (testul Z i Student)*2. Testarea ipotezelor statistice privind media populaiei generale pentru eantioane de volum mare(EXEMPLU- continuare 3)E.5: se determin valoarea statistic a testului calculat pe baza datelor din eantion

iar aceasta se plaseaz pe grafic

2. Testarea ipotezelor statistice (testul Z i Student)

2. Testarea ipotezelor statistice (testul Z i Student)*2. Testarea ipotezelor statistice privind media populaiei generale pentru eantioane de volum mare(EXEMPLU- continuare 4)E. 6: Se verific dac valoarea testului cade n regiunea critic i se ia decizia n consecin

Cum

sunt suficiente motive pentru a respinge ipoteza nul (este adevrat ipoteza alternativ )

Timpul mediu de servire este diferit de 130 minute.

2. Testarea ipotezelor statistice (testul Z i Student)

2. Testarea ipotezelor statistice (testul Z i Student)*4.1. Considerente teoretico-metodologiceprivind repartiia StudentPentru eantioanele de volum redus , forma distribuiei de eantionare a mediei depinde de forma populaiei generale din care este extras eantionulDac nu se cunoate dispersia colectivitii generale atunci dispersia eantionului este posibil s nu ofere o aproximare foarte bun a lui n consecin, n locul statisticii care necesit cunoaterea cu o bun aproximare a lui se utilizeaz ststistica:

2. Testarea ipotezelor statistice (testul Z i Student)

2. Testarea ipotezelor statistice (testul Z i Student)*4.2.Testarea ipotezei privind media populaiei generalepentru eantion de volum micIpotezele statistice sunt pentru testul bilateral

pentru testul unilateral dreaptapentru testul unilateral stnga

Pentru eantioane de volum mic , statistica testului utilizat este:

2. Testarea ipotezelor statistice (testul Z i Student)

2. Testarea ipotezelor statistice (testul Z i Student)*4.2.Testarea ipotezei privind media populaiei generale pentru eantion de volum micDac pragul de semnificaie este stabilit atunci regiunea de respingere este: pentru test bilateral

pentru test unilateral dreapta pentru test unilateral stnga

2. Testarea ipotezelor statistice (testul Z i Student)

2. Testarea ipotezelor statistice (testul Z i Student)*4.2.Testarea ipotezei privind media populaiei generale pentru eantion de volum micExempluConducerea unei companii apeleaz la 5 experi pentru a previziona profitul companiei n anul curent. Valorile previzionate sunt 2,6; 3,32; 1,80; 3,43; 2,00 (miliarde lei). tiind c profitul n anul anterior profitul a fost de 2,01 miliarde lei, se poate concluziona cu o probabilitate de 95% c media previziunilor experilor este semnificativ mai mare dect cifra anului anterior ?Rezolvare:

2. Testarea ipotezelor statistice (testul Z i Student)

2. Testarea ipotezelor statistice (testul Z i Student)*4.2.Testarea ipotezei privind media populaiei generale(continuare exemplu - 2)E1:E2:E.3 - tipul testului: deoarece , utilizm testul t (test t unilateral dreapta) i se ncepe construirea graficuluiE.4 n funcie de nivelul de ncredere al testului statistic

i se stabilete :t tabelar (teoretic) , iar valorile se trec pe graficRegiunea de respingere (critic): dac

atunci ipoteza nul se respinge

2. Testarea ipotezelor statistice (testul Z i Student)

2. Testarea ipotezelor statistice (testul Z i Student)*4.2.Testarea ipotezei privind media populaiei generale (continuare exemplu - 3)Se determin astfel:

Se caut n tabelul cu valorile repartiiei Student n funcie de probabilitate i numrul gradelor de libertate (f=n-1)

Nivel de semnificaie pentru testul bilateraln0,500,200,100,050,02...11,0003,0786,31412,70631,821........................40,7411,5332,1322,7763,747........................n0,250,100,050,250,01...Nivel de semnificaie pentru testul unilateral

2. Testarea ipotezelor statistice (testul Z i Student)

2. Testarea ipotezelor statistice (testul Z i Student)*4.2.Testarea ipotezei privind media populaiei generale (continuare exemplu - 4)E5: se calculeaz valoarea numeric a testului statistic pe baza datelor din eantion

2. Testarea ipotezelor statistice (testul Z i Student)

2. Testarea ipotezelor statistice (testul Z i Student)*4.2.Testarea ipotezei privind media populaiei generale (continuare exemplu - 5)E6: Se verific dac valoarea testului cade n regiunea critic i se ia deciziaCumacceptm ipoteza nul Rezult c nu se poate trage concluzia c media profitului previzionat pentru anul curent va fi semnificativ mai mare dect profitul anului trecut (2,01 milioane lei)

2. Testarea ipotezelor statistice (testul Z i Student)

****