Marcel TENA. Marian AJ\DRONACHE ' Dinu $ERBAI{pSCUNicolae bneCOUIR' Carmen DRAGOMIR i Tudor DEACONU

Dumitru SAVUI FSCU

Matemattcdt'

culegete de exercitr Si Problemepentru clasa aXl-a

WGn4 Edibfil

CUPRINS

4 Sisteme de ecuafii liniareProbleme rczolvateProbleme propuse

474755

60@

73

73

7474

76

83839t

9696

101

108108124

271

272

1. PERMUTARI' . PROBLEME REZOLVATE

i. Sa." calculeze produsul o ' t in fiecare din cazurile:(r23 4) (t.z 34)u1":[+i;r)t,:[i ,43);

,"=[l ?,,i i),,:(l iii])Rezotvare.ulor:f1

2 3 4) rl z 3 4):f1 2 3 1),14 r 3 r.,l'[r ? 4 r.,l:[+ t 2 3)'

o,*:(1 ',', i i) (l '^', i ;):(l i i i "):"2. Sd se calculeze o'* in fiecare din cazurile:

, (t 2 3'\. ,\ - (t 2 3 +\ (t 2 3 4 s),)":[, i;), u1":[+ 1; t)i ';":[r 3 4 s 2)'

Rezolvare.ad:f^ 2"3\ (r 2 3) (t z :)\3 ; ;l ti 1 z):lz: rJfl

(rzz\(tzt\fi2r\03:o''"=U;;,lt;;;):l;;;):e'Deoarece2006:3'668+2teztilticd

or*:o3.668.d=(or)uut.62 =068,o, :oz -(l 2 3)

., -, -(t 2 3 4) rr z 3 4):f r , l' -i: t.)'

*^n,u1"':[+;; iJ [;3, r.J:[r z 3 4):eAtuncr

or* =

62. loo3 :(or)t*t = etffi3 = e.

.)"':(l i '^ i ;) (l i '^ i ;):(l '^ i : i) Anarogoblinem

,(123 45) 4o'=[, s 2 3 +)sro:e'

Atuncio,*=o4.50l+2_(oo)'o,.d=e5o|.o,=o,=[l,r,'i',)

3. S[ se determine inversele permutdrilor:(1.2 ! 4 5)

[+ s r 3.2)'r z)-(r 2 3 4')

: +J=[r + t z);

Permutiiri

4. SI se rczolve ecualiile: o x: x pi r o: r in fiecare din cazurile:_\_ (t 2 3) _ (t 2 3) (r 2 3 4\ (1 2 3 4\ato:[t 3 2.i:':[3 t;1' r)":[i i ;;)t':l;;;;)

Rezolvare. a) o x = r <+ o-'(o x) = o-rt <)

.=o',:(l ; 3) (l ? ;):(l i )(:1 )1; ? i)b) xo=r <) (xo)o-r=ro-r€>

*=ro.=(1. i ,^ 4) f3 t 4 l\ (r 2 3 4).f l 2 3 4):fl 2-[+ 3 2 rJ'[r 2 3 q):lq 3 2 r.,J'[z 4 t 3) t3 r

34\4 2)'

5. S[ se determine inversiunile permutlrilor:. (t 2 3 4\ (t , i 4 5'). (t 2 3 r)u)

", =[+ 1 ; z), at ",=[i ; ; ; ;),") o,=[,i n-t n-2 t).Rezolvare. a) Deoarece. o, (1) : 4 , o, (2) rezurtd cr perechea (1, 2) este inversiune a lui o,.Analog oblinem inversiunile: (1, 3); (1, 4) qi (3,4); b) Inversiunile lui o, sunt (2, 4); (2,5);Q, 4); (3,5); (4, 5); c) Toate perechile (i, j) w I < i < j ( n sunt inversiuni.6. SI se stabileasc[ semnul permutirilor:

^\_ (t23 4s).,_\ (t23 4) (t,z 3 ...r)ar o,:[r 2 4 t t)t u) o,:[a ; ; iJ' '1 ",=U n--1 ,'-, ... ';)Rezolvare. a) o, areosingurdinversiune: (3,4).Rezultdc6e(o,):-ldeci o, esteimparl.b) Inversiunile lui o, sunt (1, 2); (1,3); (1,4); (2,3); (2,4) 9i (3, 4). Cum o, aie 6 inversiunirezultlci e(o, ) : 1, deci o, este par[. c) Deoarece toate perechile (i, j)cu I < i <jr < n sunt

inversiuni renilli'cdnum6rulinversiunilorlui o', este (n-l)+(n-2)+...+2+l=n(n--1).2

Dacd, n : 4k atunci "r";', :ro(4k -t), debi e(o, ) : l.

Dacd n:4k +t atunci n(n:t) :ro(4k +t). deci e( o, ) : I

2

Dacd n: 4k +2 arunci 'fu:l) :pr +\gk+ l) , deci c( o, ) : - t.

Dacd n:4k+3 atunci "@:r:gk+3)(2k+l),dec.i e(o,):- l.7. SI se arute cd ecuafiile:

^\..2 (t 2 3) lt z 3a) r'=[3 ; ;),x e s,; o; *- =[o 3 I

(r ? ?\Rezolvare.

") ":[; ; i) Cum inversiunile lui o sunt (1,2); (1,3) 9i (2,3) rezultd ci

e(o):- LDacir eS, gi 12:oatunci- t:e(o) :e(xr):e(x.x)=e(x).e(x):(c(x))2 =1,

contradicfie. u)rieo:(l 2 3 4') ^'[+ 3 I Z)' CuJJj'inversiunile lui osunt (1,2);(1,3);(1,4); (2,3);

(2, 4) rezultdcd s(o) :.-1. Dacd r €So $i xa: o atunci - I : e(o) : t(xa) =(e(x;)a =1,

Permut[ri 4

a\,), * . So ; nu au solulii.

contradictie' " (t z:\

8. S[ se rezolve ecua{iile: u) ,':|.3 1 2),

Rezolvare. a)Dacd x e s, este solufie a ecualiei atunci x(r(l)) : 3; x(x(z)): 1 9i x(x(3)) : 2.

Daci r(1) : I atunci r(.r(l)) = ,(1), deci r(l) : 3, contradic,tie'

Dacr x(1) :2 atuncirixitil : x(2), deci x(2) :3.

Rezulte cdt x(x(2)): x(3), de unde (3) : l. ob(inem: ,, = (l 3 ?) tt ""'" '; :(l i ))

rezult6 c[ x6 este solulie. DacE x(1) :3 rentltd ca r0(l)) : {3), deci r(3) : 3 : x(l)' fals' Deci

.r0 este unica solulie a ecualiei date.

b) Oaca r € So este o solu{ie a ecualiei date, atunci x(x(l) : l, x(x(Z)):4, x(x(3)):2 9i

x(.x(4) = 3. Dac[ x(2) : I atunci x(r(2)) : r(1), deci x(l) : 4. Rezult5 r(x(l) : x(4), de unde

,1+) : 1 : x(2), fals. Dacd x(2) : 2 annci x(x(2)) : x(2), deci x(2): 4, contradiclie'

Dacd xQ): 4 atunci x(x(2)) - x(4), de utde r(4) : 4 : x(2), fals'

oaca xi21: 3 obrinem: x1x1zy: r(3) = r(3): 4 =x(r(3)) : x(4) = x$):2 si oblinem:

(123 4\^ , (123 4)..:f, ; i )) "" r; = [i ; ; ;) rezultd cr xo este unica solulie a ecuafiei date'

e.Fi.":(l ?;) ',"=(l i) i)a) Sd se determine toate permutdrile x e S, cu proprietatea cE ox : x o'

b) S[ se determine toate permutarile r e su cu proprietatea cd r x: x t.

Rezolvare.u) pier:(l ? ').,S.. Atunciox:.ro<+ o:xo, ' <+".*,,._., (a b c)__,(r 23)(t23\(t23\(a Dc\ (t 23)(a D:).Dac6a:l=*[; i;):l;;;] t,;;l[i i iJ *[: I 2J:[. o b)'L)dvdu-t-)

(1 23'):e.Dacda:2=c:l*b:3 (t 23) 'c:3=a:2+x:[r 2 3) ='':[z 3 r)=a"(t 23) '

,

DacL a=3+c:2=b: I =x:[3 I 2):".

e So. Atunci r,x:xr e\: x tr-l <,

xes,; o),':(l '^) 1),,.o'

2 3 a\(, b c d)4 2 :.J'It 2 3 4)

b)Fi",:(: l', t(r 2 3 4\ fl

':[obca.,}'[',(r€) [r

2 3 +\:(" b c d)4 2 3) [a d b ")'234\234)Rezult[ a : l. Dacd b : 2 atsnci d : 4 Sic = 3. Obline-, :(l

Dicvt b= 3 atunci d:2 sic : 4. obline* r:(l i '^ :) Dacd b: 4 atunci d:3 si c:2'

oblinemr =(i i )

Permut[ri

I

10. Fie dtlaz<...<an, n numere reale. Pentru f,recare o €E ngtiim cu f num[ruIaraaqt,l + azdo14 * ...* a,eorn . Sd se determine t e S, pentru care:

a) Q este maxim; b) ( este minim. .

Rezolvare. a) Fie o e S, pentru care To este maxim. Un astfel de o existii pentru c[ mullimea

t 4 | " e S, ) este finiE. Fie I < i <j< z gi t : o. (7). ObservIm cI t(i) : o(il, r(il: o(t) 9ir(k): o(k),V f e {1, 2,...,n} \ {ii}.Cum { 27. rezultdcdcl{1o11.1* o2ao1r, *.,. * aia6(it + ,.. + a ja6t jt + .,,+ anoor,)2

>qrot1r.1 + qzat1z1 + ... + aiaa<i) + ...+ a jat(j) + ,,.+ aila.@). Din consideraliile de mai sus ob,tinem:

aiaotit+aiaorjt>aiQo,i1*ojQo,,t deci (a, -ar)(a",,r-ao1it)> 0. Cum I < j avem a,-ar<0deci ao,,, 3 oo(,). Dar o(l) + o(7)

"gi in consecinli aou) l ac(j), deci o(i) < o(f) .

cum o(l)<o(r),v i<jrentltdcdo:e. b)Fieo es, pentru care To esteminim.un

rafionamentanalognearatdci o(i)>o(i) ,V i<jd""i":(; ,,_, ,t_, ... 1)11. Fie 4 1 az I az I eq $i 4 < b, < b, <Dr. SI se arat cd

arb, + arb, + a rb, + a nbo < a rb, + a rb u + a rb, + a ob, < a rbo + a rb, + a rb, + a nb, .

.Rezolvare. Pentru o €So, notim cu { numdrul orbolrl*azbo(z)+azbo1z1+a+bo1ty. Fie o e^go

penfru care To este maxim. Dacr I < i <j( 4 gi t : o . (D atlunci r*27", deunde rezultd cd

a,b^r+a,b^,))aibo11 *a,b,r,.,. Oblinem (a,-a,)(b"1a-4t;l)>0. Cum i < j rezultl

di-ai 40, deci bo1i1>bo1i1, de unde o(i)>o(7). Rezurtii " :(i

i i 1) "*u o eso

pentru care To este minimd obfinem analog cI o(l) < oU) ,y i < j, deci t : e.

Rezulta cd r"<ru<ro,v 6 e .s, \ {e, o}.r"r* s:(1 i i l) oortr"* concluzia.

12. Fie o € s, . Sd se arare "a 7.o(-k) , ,.frk

Rezolvare.Penffu o e S,, notdm cu d numirut i+. Dacd o e S, pentru care ( este

minim. Printr-un rationamenr analog oblinem .5 "0)*9(i) < "(i)* "(A ,v i < j.Rezurtr cdtllt

Rezultl cI o : e, deci T">T":il: n,k=l

VteS,.'13. Fie n > 3 gi o e,S, cu proprietate a cd o. r : r . o, V o e S, . SI se arate cd a : e.

Rezolvare. Evident e'r: r. e,Y t e S,, debi permutarea identici are proprietatea din enun!.Presupunemciexistio €,s, cuproprietateadinenun! qio*e.Atunciexistri e {1,2,...,n}cuo(i) + i.Fie /: o(r) 9i deoarece r> 3 putemaleget e {1,2,..."n} cu k+i, k*7. Cum ocomuti cu 6rice permutare qezulta cd, o . (j k): (i k). o 9i in particular o . {j k)(i): (j k) . o(i).

(b1;y-o17;)ti l<0,

deci o(i)<o(7) ,y i < j.

Permutlri

Daro. (j k)(i): o(,):i$i (/ k)'o(r): f fn:kdeunde oblinem7: k, contradiclie' inconcluzie o: e.

14. Fie o € S, . Sd se arate cd exist[p e N* astfel incdt op = e .

Rezolvare. Considerlm func{ia f : N* + S,, f(k):oo. Deoarece N* este infinitl iar S, este

finiti rbzulti c5 f nu e injectivd. Atunci existi r', -/ e N* cu i < / $i f(r) : f(/). Rezultd ci

o':o),deci o':oi.oi*i.Prinamplificarecu (o')-' oblinem o'-'=e.Lttdmp:i-l e N*.

15.FieHosubmullimeneviddalui { cuproprietateactrxyeHoicatearfrxeHsiyeH'Si se arate c[ inveisa oricdrei permutiiri din I/apar{ine lui 1L

Rezolvare.Fiex e H.DatoitAproprietSlii dinenun{ rentlticd} e H,V k e N*. Fiep e N*

astfel incdt./ : e. Cum x2p-t e H reztfltd ctr (*o)' ' *-' e H, deci x-t e H'

tuofbnc ?ro?il"te

l. SI se calculeze produsele ot gi to in fiecare din cazurile:34\t 2)'

(t234 s\ (t23 4s)c)o:[2 l 3 + s,J; ':[r z-4 s 3)'

2. Sa se calculeze o'oo; g los' ui or07 in fiecare din cazuiile:

,":(l 1 '^ ;), ,"=(l i '- i ;), ',":(; ', 1 i ; :)Si se determine inversele permutlrilor:

,"=(l i',),b)":(l ?',i',), .,":(l 2ii',:)SI se rezolve ecualiile o x.: x 9i x o: t in fiecare din cazurile:

,":(l 3 ;), ,:(1 i i), ,":(l i i i)' ':(l 1', i),. (t23 4s) (t23 4s)

"1"=[+ s 3 z t);":lz 3 4 s t)'Fi.":[l ? ) i), .:(l i ', i) ''

-:(i i ', i) "serezorvein so

ecuafiile:

s6 se.determine inversiunile permut5rilor urm[toare precum qi semnul lor.

, (12 34). (123 4s) \-(t234s 6)

"1":[+ i ; ;), b)o:[4 i I 2 1); ";o:[+ I s 3 2 6lSI se dbtermine numErul inversiunilor permutdrilor urmetoare:

- (t 2 3 4 ... n n+l n+2 2n\.u)":[z 4 6 8 ... 2n I 3 ... 2n-t);

(t 2 3\ (t 2 3)u; ":[: r z)t ':\z t 3);

b)":[; ? i ^^)' ,:(I ',

7.

Permutiiri

10.

11.

12.

n n+l n+2 ... 2n\.2n-t 2 4 ... zn )'n i+l n+2 n+3 2n. 2n+l 2n+2 2n+3 3z ).3n 1 4 7 ...3n-2 2 5 8 3n-t)'n n+l n+2 n+3 ... 2n 2n+l 2n+2 2n+3 ... fu)

3n-2 2 5 8 .,3n-l 3 6 9 ...'3n)'

I f) = O. Sd se determine I gi.7 astfel incdt o sd fie perrnutare

9. S5 se arate c[ urmltoarele. ecua]ii nu au solutii:

",,,=(l ii i;),r€s,;b)/=(l i,,iz f),,.,",

"1,'=(l ?iizi"),res,srserezolveecualiile:r r'=(l i'r),xes,; o) r,=(l i i i ;),S[ se determine toate permutdrile r e S, care permutd cu permutare u r:( ! 2 3

(zr 4

Se considerd numerele reale 0 lar l dz <...< an

'nla) Pentru ce permutare o e S, suma Q: I= este maximd?

is dioo(i)

nlb) Pentru ce permutare o e S, suma 4: I _ este miniml?

ii aiaoti)

13. Se consideri numerele reale a, l et 1 ...1an .

a) pentru ce permutare o e S, suma ,r:Lk, - o"r,t) este maximl?,=rt

b) Pentru ce permutare o e S, suma T,:Z(o, - oo,,t)'. este miniml?

14. Fier23 9i o €,S,. SI searate"a Ig9>gti k' 36

15. SA se determine numdrul permut6rilor din S, care au o singurl inversiune, n > 2.

16. sa se determine numrrul permutiirilor din s, care au exact doud inversiun i, n 2 3.

17. Fie r e N, n ) 3 qi 2<k<n.Dacd i1,i2,...,1u suntfrnumere distincte dinmullimea {1,2,...;n|, notiim cu (i1,i2,...,ik ) permutarea o e S, pentru care:

a) o(1,) =i* o(iz)=\,..., o(ir-)=iu gi o(l*)=1,;b) o(f) = j,V j e {1.2,..., r?} \ {it,i2,...,ik}.

,":[l i i :

. (tz3c) o:[3 6 s

ar":(l ,^ I ..

8. rieo:(l 2 3 4

\64i3pax6.

r c ,Sr.

15)s 3)'

Permut[ri